MATEMÁTICAS. Posgrado en Nanotecnología. Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano 2016 Departamento de Física

Transcripción

1 MAEMÁICAS Posgrado e Naoecología Dr. Robero Pedro Duare Zamorao 16 Deparameo de Física

2 EMARIO. Series de Fourier 1. Iroducció.. Desarrollo de Fourier. 3. Expasioes de Fourier de medio rago.

3 Iroducció. Se dice que ua ució () es periódica, co periodo, si el domiio de () coiee ao a como a + ; y si ( + ) = ( ) Auque ambié saisace las codicioes aeriores, el valor míimo de será el que usaremos e lo que sigue.

4 Ua deiició. Ua serie de Fourier es ua expasió de ua ució periódica (), co periodo, e érmios de ua suma iiia de seos y coseos que oma la orma ( ) a ( a cos b si ) 1 E oras palabras, cualquier ució periódica se puede reescribir como ua suma de ucioes armóicas muliplicadas por cosaes por deermiar. E el desarrollo aerior, se cosidera que la ució () iee ua periodicidad deiida; si embargo, más adelae veremos que auque la ució o sea periódica podremos hacer u aálisis de Fourier mediae la rasormada iegral de Fourier.

5 U ejemplo gráico. () Fució periódica a a cos 1 = b si a cos b si + + +

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7 Ua deiició... Regresado al desarrollo de Fourier para la ució periódica () co periodo, a saber ( ) a ( a cos b si ) 1 se ecuera que los coeiciees a y b esá dados por a ( )cos d y b ( )si d Co a ( ) d

8 Ua deiició... A la caidad que aparece e las expresioes aeriores se le cooce como recuecia udameal y esá dada por dode es el periodo de la ució (). El cálculo y esudio de las series de Fourier se cooce como aálisis armóico y es exremadamee úil al esudiar ucioes periódicas arbirarias y hacer u aálisis de la misma e érmios de su coeido recuecial o especro de recuecias.

9 U ejemplo. Deermia la represeació e series de Fourier de la siguiee ució ()

10 Solució. Primero deermiemos el periodo, y escribamos la expresió maemáica de la ució () = ( ) 1,, 1 1 ( ) ( )

11 Solució. A coiuació calculemos los coeiciees del desarrollo de Fourier a () d a ( )cos d ( ) d 1d d si si 1cos d d Como es u eero, el seo se aulará, por lo que a 1

12 Solució. Por oro lado, el coeiciee b esá dado por cos 1 cos 1si d d 1 de uevo, como es u eero, podemos adverir que o b ( )si d 1 cos cos3 cos5 1 cos cos4 cos6 1 cos ( 1) 1

13 Solució. co lo que b 1 ( 1) /, impar, par Fialmee, la serie de Fourier resula ser a a b ( ) ( 1 cos si ) 1 1 ( 1) si 1 1 ( ) si si 3 si 5 3 5

14 Uas aoacioes exras. Es imporae mecioar que la serie obeida aeriormee, e pricipio, es ua serie iiia; si embargo, e muchas siuacioes será suiciee cosiderar u úmero iio de érmios para obeer la aproximació deseada, oda vez que coorme sumamos érmios el resulado va covergiedo a la ució origial (). Alguas ideidades úiles (para eero): si( x) si x cos( x) si si cos 1 cos cos ( 1) x

15 Uas aoacioes exras. Para el ejemplo aerior, e las siguiees gráica vemos que la suma de érmios se va aproximado a la ució origial. 1 ( ) si si 3 si si si si 3 3

16 7 si 7 si 5 5 si 3 3 si si 5 5 si 3 3 si

17 si si 7 si 5 5 si 3 3 si 3 si 3 si 3 3 si 1

18 Oro ejemplo. Dada () = deiida e el iervalo [-1,1] y co periodo =, bosqueje la gráica ere = -3 y = 3 y calcule los coeiciees de la serie de Fourier correspodiee. La gráica de la ució iee la orma = así que

19 A coiuació calculamos los coeiciees del desarrollo 1 a ( ) d ( ) d d a

20 Para calcular esa iegral, usamos el méodo de iegració por pares, así que y sucesivamee 1 1 a ( )cos d cos d a si si 1 1 d a si [ si( )] cos 1 1

21 usado que si(-x) = -si(x), a cos cos( ) y dado que cos(-x) = cos(x) eemos que a Para ermiar, calculemos el coeiciee b 1 1 b ( )si d si d 1 1

22 es decir b Lo que lleva a que b 1 1 cos cos 1 1 cos [ cos( )] si 1 ( 1) 1 d cos si si( ) cos ( 1) 1

23 SERIES E INEGRALES DE FOURIER Co lo aerior, para la ució () = deiida e el iervalo [-1,1] y co periodo =, la serie de Fourier resula ser a a b ( ) ( 1 cos si ) ó 1 ( 1) ( ) si 1 ( ) si si si 3 3

24 U ejercicio Dada () = e el iervalo [,], () = e el iervalo [,4] y co periodo = 4, bosqueje la gráica ere = y = 1 y calcule los coeiciees de la serie de Fourier correspodiee. La gráica es v () = 4

25 U ejercicio Los coeiciees a 4 ( ) 1 4 d 4 [1 ( 1) ] a ( )cos d 4 b ( )si d

26 U ejercicio Así que la serie es a a b ( ) ( 1 cos si ) 1 [1 ( 1) ] cos si 1

27 Alguas cosideracioes de simería. Ua ució () es par si su gráica es simérica respeco al eje verical, es decir ( ) ( ) ( ) Alguos ejemplos de ucioes pares so los siguiees ( ) ( ) cos

28 Alguas cosideracioes de simería. La iegral de ua ució par de A a +A () par A +A es el doble de la iegral de a +A, es decir A A A ( ) d ( ) d par par

29 Alguas cosideracioes de simería. Ua ució () es impar si su gráica es aisimérica respeco al eje verical, es decir ( ) ( ) ( ) Alguos ejemplos de ucioes impares so los siguiees ( ) 3 ( ) si

30 Alguas cosideracioes de simería. La iegral de ua ució impar de A a +A impar () A +A se aula, es decir A A ( ) impar d

31 Produco de ucioes pares e impares. De acuerdo a la clasiicació preseada aeriormee, el produco de ucioes saisace las siguiees propiedades: (par) x (par) = par (impar) x (impar) = par (par) x (impar) = impar (impar) x (par) = impar

32 La simería e los coeiciees de Fourier. De las propiedades de las ucioes pares e impares, se puede demosrar que: 1. para ucioes pares: / 4 a ( )cos d b. para ucioes impares: a a b / 4 ( )si d

33 La simería e los coeiciees de Fourier. Fució () par () a / / ( )cos d 4 / ( )cos d b / / ( )si d (par) (par) (par) (par) (impar) (impar)

34 (impar) SERIES DE FOURIER a La simería e los coeiciees de Fourier. Fució () impar a / / / / ( ) d (impar) ( )cos d b () / / ( )si d (impar) (impar) 4 / ( )si d (impar) (par) (par)

35 Hasa ese puo hemos cosiderado ucioes periódicas, por lo que aplicar la eoría de Fourier para hacer u desarrollo ha sido direco. Si embargo, e muchas siuacioes ísicas lo que se iee so ucioes o periódicas, pero eso o debe represear mayor problema ya que (casi) siempre se puede deiir sobre u iervalo dado y = y = 1 y = 1

36 Por lo aerior, resula muy úil exeder la ució o periódica e ua ució periódica aes de calcular su represeació e serie de Fourier. Para ello, ormalmee preerimos usar algua de las simerías visas aeriormee (par o impar) para la exesió periódica, e lugar de ua exesió periódica ormal, ya que el uso de ua ució co ciera simería (par o impar) os proporcioará coeiciees cero de cualquiera de las a o b de la expasió lo que puede proporcioar ua expasió más secilla de la serie de Fourier correspodiee.

37 y() l () l l l l l 3 3l () par l l l l l 3 3l () impar l l l l l 3 3l l y, ) ( ) ( ) ( ) ( l l Exesió periódica, ) (, ) ( ) ( l y l y ) ( ) ( l l Exesió periódica par Fució o periódica, ) (, ) ( ) ( l y l y ) ( ) ( l l Exesió periódica impar

38 Expasió de Fourier de medio rago. La serie de Fourier de ua exesió periódica par o impar de ua ució o periódica se le llama serie de Fourier de medio rago. Lo aerior se debe a que la ució o periódica se cosidera como la miad de la ució expadida, ya sea por ua ució par o ua ució impar. par () impar () 3l l l l l 3l 3l l l l l 3l

39 Expasió de Fourier de medio rago. Si la ució o periódica se exiede mediae ua ució par eoces los coeiciees b se aula y, por lo ao, el desarrollo de la ució se reduce a ( ) a a cos 1 que sólo coiee el desarrollo e érmios de coseos, por lo que se le cooce como Serie coseo de Fourier de medio rago.

40 Expasió de Fourier de medio rago. Si la ució o periódica se exiede mediae ua ució impar eoces los coeiciees a se aula y, por lo ao, el desarrollo de la ució se reduce a ( ) 1 si que sólo coiee el desarrollo e érmios de seos, por lo que se le cooce como Serie seo de Fourier de medio rago. b

41 Ejercicios. 1. Usado cosideracioes de simería, cosruya ua serie de medio rago para las siguiees ucioes: a) = para < <. b) = para 1 < < 1. Cosruya la serie de Fourier complea para cada ua de las ucioes aeriores y compare sus resulados.

42 MAEMÁICAS Posgrado e Naoecología Dr. Robero Pedro Duare Zamorao 16 Deparameo de Física