Modelos discretos de probabilidad

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1 UNIDAD 6 Modelos discreos de probabilidad Objeivos Al fializar la uidad, el alumo: disiguirá y resolverá ejercicios de cada uo de los modelos discreos: biomial, geomérico, biomial egaivo, hipergeomérico y Poisso resolverá problemas de aplicació de variable aleaoria discrea e ideificará el modelo empleado

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3 Iroducció E la uidad aerior se aalizó el cocepo de variable aleaoria discrea, se mecioó su imporacia y además se hizo éfasis e que las variables aleaorias o era sólo ua represeació más de los eveos sio que iroduce la eoría de fucioes al esudio de las probabilidades; por ao, se les hereda odas las propiedades y operacioes de las fucioes. E coclusió, el esudio de las variables aleaorias se puede llevar a cabo de maera similar al de las fucioes. E la presee uidad se aalizará ua clasificació de las variables aleaorias discreas más comues, se ecorará su domiio, su rago y sus parámeros más comues, como el valor esperado y la variaza. Se comieza co el proceso de variable discrea más secillo, llamado proceso de Beroulli, que sirve de aecedee al modelo de variable discrea biomial. Poseriormee, se esudiará u modelo co pruebas idepediees ifiias: el modelo geomérico; para fializar, los experimeos aleaorios (de pruebas idepediees) co el uso del modelo biomial egaivo o de Pascal. El esudio coiúa dado u giro hacia los modelos cuyas pruebas e el experimeo so depediees: el modelo hipergeomérico, propicio e el esudio de las écicas de calidad, para los casos e que se realiza muesreos aleaorios (si reemplazo) e poblacioes divididas e arículos co y si defecos. Para fializar la uidad, se esudia el modelode Poisso, el cual se aplica e las líeas de espera, la eoría de ivearios, ecéera. La forma de rabajo de esa uidad es la siguiee: e cada modelo se da las defiicioes y fórmulas correspodiees para las variables, cálculo de probabilidades, disribució de probabilidad, valor esperado y variaza y, por úlimo, se resuelve ejemplos co base e los resulados obeidos. 6. Modelo biomial U experimeo a meudo cosise e pruebas repeidas, cada ua co dos posibles resulados que se puede eiquear como éxio o fracaso. Por ejemplo, al lazar ua moeda, el resulado que sea objeo de esudio (cara águila) será cosiderado éxio y el oro resulado (cara sol) será fracaso co probabilidades p y q = p, respécivamee; si los esayos que se repie so idepediees y la probabilidad de éxio permaece cosae e cada esayo, el proceso se deomia proceso de Beroulli, es decir Defiició 6. U experimeo aleaorio se llama de Beroulli cuado cumple las siguiees res codicioes 2. Cada prueba iee sólo dos resulados: éxio y fracaso. 3. La probabilidad de éxio e ua prueba es p y la de fracaso es q = p, y se maiee cosaes de prueba e prueba.

4 72 Defiició 6.2 A cada ua de las pruebas efecuadas e u experimeo de Beroulli se les llama esayos de Beroulli. Por éxio e u esayo se eiede el cumplimieo de la variable aleaoria; es decir, si la variable X se defie como: caidad de arículos defecuosos, u éxio será u arículo defecuoso. Se cosidera u cojuo de experimeos de Beroulli. La variable que cuaifica el úmero X de éxios e experimeos de Beroulli se deomia variable aleaoria biomial. La disribució de probabilidad de esa variable aleaoria defie el modelo biomial: Defiició 6.3 U experimeo de Beroulli puede coverirse e u experimeo biomial si la variable aleaoria X represea la caidad de éxios e esayos de Beroulli; es decir, si los esayos que se repie so idepediees, se geera el modelo biomial para la variable aleaoria X B( ;, p) P( X ) C p q, =,, 2, 3,..., A coiuació se presea alguos ejemplos e los que es posible comprobar si la variable aleaoria defiida e el problema es o o biomial. Ejemplo. U sisema de res radares para deecar carros a gra velocidad se isala e ua carreera. Cada radar fucioa de maera idepediee co probabilidad de.99 de deecar u carro que viaje co gra velocidad. Se calcula la probabilidad de que u carro que viaja a gra velocidad por dicha carreera o sea deecado. Cosiderado la variable aleaoria X: caidad de radares que deeca el carro que viaja co gra velocidad se deermia si ese experimeo es de ipo biomial. Es ecesario verificar que se cumple las codicioes de u experimeo biomial. el experimeo cosise e res esayos, cada uo de ellos deermia si el radar deeca o o al carro que viaja a gra velocidad. Por las codicioes del problema es posible observar que so idepediees al pasar el carro a gra velocidad por u radar sólo puede ocurrir ua de dos cosas: que sea o o deecado; es decir, u éxio o u fracaso el éxio (que sea deecado) de las codicioes del problema se coserva cosae de radar e radar e igual a.99; de igual maera el fracaso es. A coiuació se presea dos ejemplos dode o se cumple las codicioes de u experimeo biomial (es decir, o se cumple algua de las las res codicioes de Beroulli).

5 73 2. E el ejemplo aerior se cambia las codicioes e la deecció de los radares, de al forma que e la deecció ésos siga siedo idepediees, pero las probabilidades de deecar u carro a gra velocidad sea diferees de radar e radar. Ése o es u experimeo de Beroulli, pueso que o cumple la codició 3: las probabilidades de éxio y fracaso so diferees e los esayos. 3. Si se cambia la codició de idepedecia de la deecció de los radares, es decir, que la probabilidad de deecar del segudo radar depeda del resulado del primero y la del ercero, del segudo, o es u experimeo biomial, pueso que o se cumple las codicioes de Beroulli (codició de esayos idepediees). A coiuació se presea dos ejemplos e los que se puede observar la imporacia de elegir los elemeos de la muesra co y si reemplazo. 4. Ua ura coiee diez esferas, res rojas y siee azules. Se exrae cuaro, ua ras ora co reemplazo. Se defie la variable aleaoria discrea X: caidad de esferas rojas de las cuaro exraídas se deermia si ese experimeo es de ipo biomial Es ecesario verificar que se cumple las codicioes para que sea u experimeo biomial. Primero, o exise coradicció e el experimeo co respeco a las caidades, pueso que al permiirse el reemplazo se puede exraer cualquier caidad de esferas rojas. El experimeo cosise e cuaro esayos, e cada uo de ellos se deermia si la esfera exraída es roja. Por las codicioes del problema, se puede observar que las exraccioes so idepediees, pueso que al volver a colocar la esfera e la ura, e la seguda exracció se iee las mismas codicioes iiciales; es decir, el primer esayo o ifluye e el segudo. Al exraer ua esfera de la ura sólo puede ocurrir que sea o o roja; es decir, u éxio o u fracaso. El éxio de que la esfera exraída sea roja se coserva cosae de exracció e exracció e igual a.3. Por ao, el fracaso es E el experimeo aerior se cambia la codició y se exrae sólo res, ua ras ora, pero si reemplazo; el experimeo o es biomial, pueso que se alera la idepedecia, al y como se mecioó e la uidad 4 sobre los eveos idepediees. De esos dos ejemplos, es posible observar que la codició co y si reemplazo es fudameal para el experimeo biomial. Se simboliza P(X = ): la probabilidad de que e el experimeo biomial ocurra éxios de u oal de esayos Esa probabilidad co frecuecia se simboliza por B(;, p), la cual represea el modelo biomial, dode se quiere eer éxios de esayos co probabilidad de éxio p e cada esayo. Ahora se presea la fórmula para calcular las probabilidades: Teorema 6. Dada ua variable aleaoria biomial X, y R X = {,,..., }, co éxio p y fracaso q = p, se cumple B( ;, p) P( X ) C p q, =,, 2, 3,...,

6 74 Co el uso de la defiició de ua variable aleaoria biomial, se iee esayos de Beroulli idepediees co probabilidad de éxio p y fracaso q = p; como os ieresa la probabilidad de que sea éxios, para cuado los primeros esayos sea exiosos p p p q q q p q éxios fracasos Falaría coocer cuáos de ales producos puede ocurrir e el experimeo; de las écicas de coeo (uidad 3) se sabe que podemos acomodar y elemeos iguales de de dode se deduce C!( )!, formas! P( X ) C p q E u modelo biomial la disribució de probabilidad esá dada por la defiició 6.4. Defiició 6.4 Se llama disribució de probabilidad biomial de ua variable aleaoria biomial al cojuo de parejas (, B(;, p)), para =,,...,. Co el siguiee eorema se comprobará que efecivamee la defiició aerior se raa de ua disribució de probabilidad, es decir, la suma de odas sus probabilidades es igual a uo. Teorema 6.2 Dada ua variable aleaoria biomial X, co disribució (, B(;, p)), para =,,...,, co éxio p y fracaso q = p, eoces B( ;, p) C p q La demosració se obiee del biomio de Newo co a = p y b = q = p. Se susiuye ( a b) C a b C p q ( p q) ( ) Para ermiar co el esudio del modelo biomial, se deduce las fórmulas para calcular los parámeros de valor esperado y la variaza.

7 75 Teorema 6.3 El valor esperado y la variaza de ua variable aleaoria discrea X co disribució biomial, que cosa de esayos, co éxio p y fracaso q = p, so a) E(X) = p b) V(X) = pq a) Co el uso de la defiició de valor esperado de ua variable aleaoria discrea para la disribució biomial, se iee E( X) C p q C p q C p q C p q Al hacer el cambio de variable = m +, cuado = m = m = y = m m m ( ) m m ( ) m m E( X) ( m ) C p q p ( m ) C p q m De las propiedades de combiaorias, se iee dode Co el uso de ( m ) C C m E( X) p C p q m m m m ( ) m eoces m m m ( ) m C p q ( p q) E(X)=p b) Co el eorema 5.2 para calcular la variaza V(X) = E(X 2 ) [E(X)] V( X) C p q [ E( X)] ( ) C p q ( p) ( ) C p q C p q ( p) ( ) C p q 2 2 ( ) C p q ( ) C p q p 2 Al hacer el cambio de variable = m + 2, cuado = 2 m = 2 m = y =

8 76 2 m m ( m 2 2 2) 2 2 m m V( X) ( m 2)( m ) C p q p ( m 2)( m ) C De las propiedades de combiaorias, se iee m 2 2 m 2 ( m 2)( m ) C ( ) C m 2 2 m ( p q 2) m como 2 2 m 2 m ( 2) m m V( X) ( ) p C p q p 2 ( p) eoces 2 m 2 ( 2) Cm p m q m V( X) ( ) p p ( p) ( p) p p ( p) p( p) pq Noa Para resolver problemas sobre modelos de variable discrea, se recomieda seguir los res pasos siguiees: I. Defiir la variable aleaoria e esudio. II. Ideificar el modelo al que pereece la variable defiida. III. Aplicar las fórmulas correspodiees para el cálculo de probabilidades, valor esperado y variaza. Ejemplo 2. U sisema de res radares para deecar carros a gra velocidad se isala e ua carreera. Cada radar fucioa idepedieemee, co.99 de probabilidad de deecar u carro que viaja co gra velocidad. Cosiderado a la variable aleaoria X: el úmero de radares que deeca al carro que viaja co gra velocidad, se calcula a) la disribució de probabilidad para X b) el valor esperado y la variaza de X I. E ese ejemplo el primer puo para la solució de problemas ya se llevó a cabo, pueso que la variable ya se defiió X: el úmero de radares que deeca al carro que viaja co gra velocidad II. Ideificació del modelo. Es de disribució biomial, pueso que e el ejemplo aerior, resuló que X iee ua disribució biomial co R X = {,, 2, 3}. III. Aplicació de las fórmulas. Se iee a) del eorema 6., para p =.99 y q =. resula 3 3 P( X ) C (. 99) (. ). P( X ) C 3 (. 99) (. ) P( X 2) C (. 99) (. ) P( X 3) C (. 99) (. )

9 77 b) del eorema 6.3, se obiee E( X) p 3(. 99) V( X) pq 3(. 99)(. ) Ua ura coiee diez esferas, res rojas y siee azules. Se exrae cuaro, ua ras ora co reemplazo. a) deermiar cuáas esferas de las exraídas se espera sea de color azul b) calcular la probabilidad de que al meos dos sea azules I. Defiició de la variable X: caidad de esferas azules de las cuaro exraídas II. Ideificació del modelo. Ya se llevó a cabo, pueso que e el ejemplo, umeral 4, resuló que X iee ua disribució biomial co III. Aplicació de las fórmulas RX, 7 p yq 7 3, 2, 3, 4,.. 3 a) del eorema 6.3, E(X) = p = 4(.7) = 2.8 b) P( X 2) P( X 2) P( X 3) P( X 4) o por su complemeo, resula Co el eorema 6., para los cálculos P( X 2) P( X ) P( X ) dode P( X ) C (. 7) (. 3) P( X ) C 4 (. 7) (. 3) P( X 2) De ua producció de orillos % resula co defecos. Si se oma ua muesra de diez orillos, se calcula la probabilidad de ecorar o más de dos orillos defecuosos. I. Defiició dela variable X: caidad de orillos defecuosos e la muesra. II. Ideificació del modelo. Se iee que % de la producció de orillos es defecuosa, ese porceaje se cosidera ivariable e los esayos del experimeo y por cosiguiee los resulados será idepediees y la muesra es fiia =. Cada que se aalice u orillo puede ocurrir sólo u caso, o es defecuoso o o, es decir, se iee úicamee uo de los dos resulados.

10 78 El éxio p =. cosise e que el orillo sea defecuoso, y el fracaso q =.9; ambos so cosaes de esayo e esayo. Como cumplió co las res codicioes de Beroulli, la variable edrá ua disribució de ipo biomial. III. Aplicació de las fórmulas. Se iee P( X 2) P( X ) P( X ) P( X 2) Co el uso de la fórmula del eorema6., e cadauadelasprobabilidadesaerio- de aeriores y efecuado los cálculos correspodiees, se iee P( X 2) C (. ) (. 9) C (. ) (. 9) C (. ) (. 9) Se puede cocluir que es poco probable (.9298 =.72) que se ega más de dos orillos defecuosos e ua muesra de diez. A coiuació se presea ua serie de hisogramas para la disribució biomial, co diez esayos y diferees valores de p, desde. hasa.9; dode podemos apreciar que la disribució biomial es más simérica cuado el valor de p se aproxima a.5, mieras que para los valores más alejados se observa u sesgo e su comporamieo. E esas gráficas se puede observar que la disribució es sesgada. Cuado p.5 se iee u sesgo a la derecha, mieras que e los valores de p.5, el sesgo es a la izquierda.4 p =..4 p = Variable aleaoria Variable aleaoria p =.2 p = Variable aleaoria Variable aleaoria p =.3 p = Variable aleaoria Variable aleaoria

11 p =.4 p = Variable aleaoria Variable aleaoria.4 p = Variable aleaoria Esas gráficas ayuda a compreder más la simería de la disribució biomial co respeco a p y p cuado p iede a.5. Ejercicio. La revisió aduaal e el aeropuero se realiza aleaoriamee mediae u semáforo, si al pasar ua persoa se aciva la luz roja, se revisa sus pereecias; e caso de acivarse la luz verde, el viajero pasa si revisió. La luz roja aparece co % de frecuecia. Si se oma ua muesra de 8 persoas, calcula a) la probabilidad de que res o más sea revisadas b) la probabilidad de que meos de cico sea revisadas c) de persoas, cuáas se espera que sea revisadas? 2. Si e geeral, quice de cada hijos de padres alcohólicos ace co deficiecias físicas o meales a) calcula la probabilidad de que de los próximos diez acimieos (de padres alcohólicos), por lo meos dos iños resule co deficiecias físicas o meales b) de los próximos 2 acimieos (de padres alcohólicos), calcula cuáos iños se espera que o ega deficiecias físicas o meales 3. Ua máquia produce geeralmee 5% de arículos defecuosos. Se oma ua muesra al azar de ocho arículos. Si ésa produce más de dos objeos defecuosos, se revisará oda la producció. a) calcula la probabilidad de que ocurra la ispecció b) calcula cuáos arículos se espera que o resule defecuosos e ua muesra de 5

12 8 4. U exame cosa de 2 preguas de verdadero y falso. U esudiae que o se ha preparado decide lazar al aire ua moeda para respoder; aoa verdadero si la cara de la moeda es sol y falso si es cara águila. a) si para aprobar el exame iee que coesar por lo meos 7% de las preguas correcamee, calcula la probabilidad de que pase el exame b) calcula la probabilidad de que coese a lo más la miad de las preguas correcamee 5. De ciera població % sufre diabees. Si se seleccioa 2 persoas al azar a) calcula la probabilidad de que al meos dos de esas persoas sea diabéicas b) calcula la caidad de persoas que se espera sea diabéicas 6.2 Modelo geomérico El modelo biomial que se aalizó proporcioa respuesa a ua gra caidad de problemas co pruebas idepediees. Si embargo, e la prácica co gra frecuecia se ecuera oro ipo de problemas (ambié de esayos idepediees) que, a diferecia del modelo biomial, o iee ua caidad fiia de pruebas por realizar sio que el experimeo se ermia hasa que se obiee el primer éxio. A ese ipo de modelo se le llama geomérico (debido a su fórmula para calcular sus probabilidades). Defiició 6.5 U experimeo aleaorio se llama geomérico si cumple co cuaro codicioes. El experimeo cosa de esayos idepediees. 2. Cada esayo iee sólo dos resulados: éxio y fracaso. 3. La probabilidad de éxio e u esayo es p y la de fracaso q = p, y se maiee cosaes de esayo e esayo. 4. El experimeo ermia cuado se obiee el primer éxio e u esayo. Después de defiir el experimeo, se proporcioa ua defiició para la variable aleaoria correspodiee. Defiició 6.6 Se llama variable aleaoria geomérica a la variable aleaoria discrea X geomérico, que represea la caidad de pruebas ecesarias hasa obeer el primer éxio. A coiuació se presea alguos ejemplos de variable aleaoria geomérica. Ejemplo 3. Al lazar ua moeda se defie la variable aleaoria X: caidad de lazamieos hasa que resule cara águila 2. Si 35% de ua població esá a favor de u cadidao, se puede defiir la variable aleaoria X: caidad de persoas que se va a erevisar al azar hasa obeer la primera que esé a favor del cadidao

13 8 3. Si ua máquia de refrescos sumiisra u poco más de 2 ml por vaso y derrama 5% de refresco, se defie la variable aleaoria como X: caidad de vasos despachados hasa obeer uo que se derrame Se simboliza por G(; p) = P(X = ) a la probabilidad de que el primer éxio ocurra e el esayo. La fórmula para calcular las probabilidades de u modelo geomérico esá dada e el siguiee eorema. Teorema 6.4 Dada ua variable aleaoria geomérica X, co éxio p y fracaso q = p, eoces G( ; p) P( X ) q p,, 2, 3, Co el uso de la defiició de variable aleaoria geomérica, se iee que las primeras pruebas so fracasos e idepediees co probabilidades q = p. Mieras que la ésima prueba es el primer éxio, y ambié es idepediee co probabilidad de éxio p. Dode P( X ) q q... q p q p veces Después de ecorar la fórmula para el cálculo de probabilidades, se defie la disribució de probabilidades correspodiee. Defiició 6.7 Se llama disribució de probabilidad de ua variable aleaoria geomérica X co éxio p, a las parejas (, G(; p)), para =, 2,... Noa De la defiició de variable aleaoria co disribució geomérica se debe observar que el rago de la variable, a diferecia de la biomial, comieza e uo y o ermia, es decir, es ifiio. Después de defiida la disribució geomérica, se verifica que la defiició se refiere a ua disribució de probabilidad. Teorema 6.5 Dada ua variable aleaoria geomérica X co disribució (, G(; p)) para =, 2,..., co éxio p y fracaso q = p, eoces G( ; p) q p Se obiee co el uso de la progresió geomérica q q q q, y el límie lím q, para q

14 82 G( ; p) q p p lím q p lím N N N q N q p q p p Fialmee, se obiee las fórmulas correspodiees a los cálculos del valor esperado y la variaza de ua variable co disribució geomérica, eso úlimo co el uso del siguiee eorema, el cual o se demosrará, debido a que es ecesario eer coocimieo de series uméricas covergees. Teorema 6.6 Dada ua variable aleaoria discrea X co disribució geomérica, co éxio p y fracaso q = p, eoces se cumple E( X) V( X) p p 2 p E los modelos geoméricos se presea co frecuecia probabilidades de los ipos: P( X ) o P( X ), por lo que es coveiee eer fórmulas adecuadas para sus cálculos. Teorema 6.7 Dada ua variable aleaoria discrea X co disribució geomérica, éxio p y fracaso q = p, eoces P( X ) q, P( X ) P( X ) q, para =, 2,... La primer fórmula, P(X ), se deduce de las defiicioes de disribució geomérica, y la sumaoria de ua progresió geomérica i i P( X ) pqi p q p q p i i i La seguda fórmula se obiee por el complemeo de la primera P( X ) P( X ) P( X ) ( q ) q Para el cálculo de probabilidades de u modelo geomérico se verificará las res codicioes de Beroulli o biomiales. q q q Ejemplo 4. Si 25% de ua població esá a favor de u cadidao para las eleccioes presideciales, al momeo de realizar erevisas a) se obiee la probabilidad de que la primer persoa que esé a favor del cadidao se ecuere después de la quia persoa erevisada b) calcular cuáas persoas se espera erevisar hasa ecorar la primera que esé a favor del cadidao

15 83 I. Defiició de la variable X: caidad de persoas que se va a erevisar aleaoriamee hasa obeer la primera que esé a favor del cadidao II. Ideificació del modelo. Ya se llevó a cabo pueso que e el ejemplo 3, umeral 2, se obuvo que X cumple co ua variable geomérica co p =.25 y q =.75. III. Aplicació de las fórmulas a) del eorema 6.7, P(X 5) = q 5 = (.75) 5 =.2373 b) del eorema 6.6, E(X) = /p = /.25 = 4 2. U jugador de baloceso aciera 8% de sus lazamieos de iros libres a la caasa, por parido. Se calcula la probabilidad de que e sólo uo de los siguiees cico paridos aoe su primer caasa de iros libres después del segudo lazamieo. Se supoe que las codicioes de juego, de parido e parido, so idepediees Se defie la variable aleaoria X: caidad de los siguiees cico paridos e que aoa ua caasa después del segudo lazamieo De la codició de idepedecia, X iee ua disribució biomial co = 5 y éxio p. Para ecorar el valor de p es ecesario recordar su sigificado: p represea el éxio de X, es decir que e u parido el jugador aoa ua caasa después del segudo lazamieo. Para calcular el valor de p, primero se defie la variable aleaoria Y: caidad de lazamieos e u parido hasa aoar su primer caasa Como se puede observar, Y iee disribució geomérica co p Y =.8 (el subídice se emplea para difereciarla del éxio de X) Y Y p P( Y 2) q ( p ) (. 8). 4 Fialmee, por defiició de variable biomial P( X ) C 5 p q 4 5(. 4)(. 96) Para cocluir el esudio de la disribució geomérica, se aaliza que ésa es sesgada hacia la derecha.9 p =.8.9 p = Variable aleaoria Variable aleaoria

16 84 Ejercicio 2. Ua máquia de refrescos sumiisra u poco más de 2 ml por vaso y derrama 5% de los vasos despachados. Defiimos a la variable aleaoria X: caidad de vasos despachados hasa obeer el primero que se derramará Cosidera que la máquia despacha el líquido de maera idepediee vaso co vaso y calcula la probabilidad de que el primer vaso que sederrame sea después del quiceavo. 2. Tres persoas e ua cafeería laza moedas al aire; la cara que resule disia pagará la cuea. Si los res resulados so iguales, se laza las moedas uevamee hasa que resule ua disia. a) calcula la probabilidad de que se ecesie más de cuaro ieos para obeer u perdedor que pague la cuea b) deermia e qué ieo se espera eer al perdedor 3. U ispecor ecoró que e seis de diez iedas que visió se presea irregularidades. Si el ispecor visia ua serie de iedas al azar, calcula la probabilidad de que a) se ecuere la primera ieda co irregularidades después de revisar la cuara ieda b) deermia cuáas iedas se espera que visie para ecorar la primera co irregularidades 4. E u loe de arículos hay 3% de defecuosos. Si se oma arículos al azar, uo ras oro, hasa ecorar uo defecuoso, calcula la probabilidad de ecorar uo defecuoso después de ispeccioar cico. 5. Se esima que 7% de ua població de cosumidores prefiere ua marca paricular de pasa de diees, A, calcula la probabilidad de que al erevisar a u grupo de cosumidores a) se ega que erevisar exacamee a res persoas para ecorar el primer cosumidor que prefiere la marca A b) se ega que erevisar por lo meos a diez persoas para ecorar el primer cosumidor que prefiere la marca A 6.3 Modelo de Pascal o biomial egaivo El modelo de Pascal es la combiació ere los modelos biomial y geomérico. E el modelo de Pascal los esayos del experimeo se realiza hasa obeer el -ésimo éxio. El modelo se formaliza co la siguiee defiició.

17 85 Defiició 6.8 U experimeo aleaorio se llama de Pascal o biomial egaivo, cuado cumple las cuaro codicioes siguiees. El experimeo cosa de esayos idepediees. 2. Cada esayo iee sólo dos resulados; éxio y fracaso. 3. La probabilidad de éxio e u esayo es p y la de fracaso q = p, y se maiee cosaes de esayo e esayo. 4. El experimeo ermia cuado ocurre el -ésimo éxio. Defiició 6.9 A la variable aleaoria discrea X de pruebas ecesarias hasa obeer el -ésimo éxio, se le llama variable aleaoria de Pascal o biomial egaiva. Ejemplo 5. Al lazar ua moeda se defie a la variable aleaoria X: caidad de lazamieos hasa que resule cico caras águila 2. E ua població, 35% esá a favor de u cadidao para las eleccioes presideciales. Se defie la variable aleaoria X: caidad de persoas que se erevisará al azar hasa obeer la décima que esé a favor del cadidao 3. Ua máquia de refrescos sumiisra poco más de 2 ml por vaso y derrama 5%. Se defie la variable aleaoria X = caidad de vasos despachados hasa obeer el ercero derramado Se simboliza la probabilidad de que el -ésimo éxio ocurra e el -ésimo esayo, Pas p P X ( ;, ) ( ). Teorema 6.8 Dada ua variable aleaoria de Pascal X, co éxio p y fracaso q = p, eoces Pas ( ;, p) P( X ) C p q, =, +, + 2, + 3,... Co la defiició de variable aleaoria de Pascal se iee que e lasprimeras pruebas hay éxios y fracasos, mieras que la -ésima prueba es el -ésimo éxio, odas ellas so idepediees co probabilidad de éxio p y fracaso q = p. Del modelo biomial, se sabe que las primeras pruebas puede ocurrir de C p q E visa de que la -ésima prueba debe ser éxio, se iee Pas ( ;, p) C p q p C p q

18 86 Defiició 6. Se llama fució de probabilidad de Pascal o biomial egaiva a p( x) Pas ( ;, p) x,, 2,, x,, 2, y a las parejas correspodiees (, p()), para =, +, + 2,..., se les llama disribució de probabilidad de ua variable aleaoria biomial egaiva. A coiuació, se eucia, si demosració, el eorema que muesra que efecivamee las parejas aeriores se refiere a ua disribució de probabilidad. Teorema 6.9 Dada ua variable aleaoria discrea X co disribució biomial egaiva (, p()), para =, +, + 2,..., co éxio p y fracaso q = p, eoces Pas ( ;, p) C p q De forma similar, se formulará el eorema que muesre las fórmulas para calcular el valor esperado y la variaza de ua disribució biomial egaiva. La demosració del eorema ambié se omiirá dada su exesió. Teorema 6. Dada ua variable aleaoria discrea X co disribució biomial egaiva (, p()), para =, +, + 2,..., co éxio p y fracaso q = p, eoces E( X) V( X) p ( p) p 2 Ejemplo 6. E ua població, 35% esá a favor de u cadidao para las eleccioes presideciales: a) se calcula la probabilidad de que la ercer persoa que esé a favor del cadidao sea la quia persoa erevisada b) se calcula cuáas persoas se espera erevisar para ecorar la ercera que esé a favor del cadidao Se defie la variable aleaoria X: caidad de persoas que se va a erevisar al azar hasa obeer la ercera que esé a favor del cadidao X iee disribució de Pascal; por ao, de los eoremas 6.8 y 6., se iee a) Pas ( 5; 3,. 35) C p q 6(. 35) (. 65) b) E(X) = / p = 3/.35 =

19 87 2. Ua máquia de refrescos sumiisra u poco más de 2 ml por vaso y derrama 5%. Se calcula la probabilidad de que el segudo vaso derramado sea el décimo despachado. Se puede defiir la variable aleaoria X: caidad de vasos despachados hasa obeer el segudo derramado Pas ( ; 2,. 5) C p q 9(. 5) (. 95) Ejercicio 3. U coador ecoró que ueve de diez audiorías a compañías coiee errores imporaes. Si el coador revisa la coabilidad de ua serie de compañías, calcula la probabilidad de que: a) la ercera coabilidad co errores susaciales sea la ocava revisada b) la seguda coabilidad co errores imporaes se ecuere después de revisar la ercera 2. U explorador perforará ua serie de pozos peroleros e ciera área hasa ecorar uo producivo. La probabilidad de que ega éxio es.2, calcula la probabilidad de que el segudo pozo producivo se ecuere hasa el décimo pozo perforado. 3. De los aspiraes para ciero rabajo idusrial 3% iee ereamieo avazado e programació. Los aspiraes so erevisados uo ras oro y seleccioados al azar. Si ua empresa ecesia res aspiraes co u ereamieo avazado e programació, calcula la probabilidad de ecorar el ercer aspirae co u ereamieo avazado e programació hasa la veieava erevisa. 4. Se sabe que ua moeda esá cargada de forma al que, la probabilidad de que salga cara águila es cuaro veces la de que salga cara sol. Si la moeda se laza varias veces, calcula la probabilidad de que se ecesie meos de cico lazamieos para obeer la seguda cara águila y cuáos lazamieos se espera realizar para obeer la ercera cara sol. 6.4 Modelo hipergeomérico Los dos modelos esudiados hasa ahora se refiere a pruebas idepediees; pero, qué pasa cuado las pruebas de los experimeos o so idepediees. Por ejemplo, e ua empresa es ecesario efecuar chequeos cosaes de la producció co el fi de llevar u bue corol de calidad. Al realizarse el muesreo, ése edrá que hacerse si reemplazo; de ese modo, se deermia que las pruebas so depediees. Por ao, o es posible aplicar iguo de los modelos esudiados. El problema aerior se solucioa co ua ueva variable aleaoria a la que se llama variable aleaoria hipergeomérica. U modelo probabilísico será de ipo hipergeomérico cuado los experimeos que se realiza co respeco a u eveo E so ales, que sus pruebas o so idepediees. E esos modelos se cosidera loes de arículos, los cuales esá cosiuidos de elemeos divididos e dos clases. El experimeo cosise e elegir ua muesra del loe

20 88 si reemplazo y calcular las probabilidades cuado sus elemeos pereezca a ua de las clases. Para formalizar el modelo, se iee la siguiee defiició. Defiició 6. U experimeo aleaorio se llama hipergeomérico si cumple las siguiees res codicioes:. El experimeo se realiza cosiderado u loe de amaño N, e el cual sus elemeos esá divididos e dos clases de amaños m y N m. 2. Se oma ua muesra de amaño, si reemplazo del loe. 3. Se calcula las probabilidades de que elemeos de ua de las clases esé e la muesra de amaño. A las clases se les llama éxios y fracasos, para coservar la ermiología de los modelos aeriores. Al iroducir u modelo uevo es ecesario ombrar las variables aleaorias que sea ecesarias para su esudio. Defiició 6.2 La variable aleaoria discrea X que represea a la caidad de elemeos que se ecuera e la muesra pereeciee a la clase de éxios, se llama variable aleaoria hipergeomérica. A coiuació se presea dos ejemplos devariables aleaorias hipergeoméricas. Ejemplo 7. Ua ura coiee quice esferas, cico rojas y diez azules. Se oma ua muesra si reemplazo de cuaro esferas. Es posible defiir la variable aleaoria X: caidad de esferas azules de la muesra 2. E u loe de 2 auos usados se iee cico descompuesos. Se oma ua muesra si reemplazo de res auos. Es posible defiir la variable aleaoria X: caidad de carros descompuesos e la muesra Se simboliza por H(; N,, m) = P(X = ) la probabilidad de que exisa éxios e la muesra de amaño, omada si reemplazo de ua població cosiuida úicamee de dos clases (éxios y fracasos), y de amaño N e la que se ecuera m elemeos de la clase de éxios. A coiuació se presea ua fórmula para calcular las probabilidades de variables aleaorias hipergeoméricas. Teorema 6. Dada ua variable aleaoria hipergeomérica X, co m éxios e ua població de amaño N, de la cual se elige ua muesra al azar de amaño, eoces C C H( ; N,, m) P( X ),máx m N, mí, m N C m N m

21 89 Para obeer la fórmula, se emplea la defiició clásica de probabilidad. Para la caidad de elemeos del espacio muesral se iee que ua muesra de amaño se puede omar si reemplazo de u loe de amaño N de C N maeras. m Igualmee, la oma de elemeos de la clase de éxios se puede realizar de C maeras, y fialmee los resaes elemeos de la muesra se oma de la clase N de fracasos de C m maeras. Por ao, del pricipio de muliplicació, la muesra que m N coega éxios y fracasos se puede obeer de C C m maeras. Co la defiició clásica de probabilidad y dividiedo ambos resulados, se iee H( ; N,, m) P( X ) m N m C N C C Para cocluir la demosració fala verificar que sólo puede omar valores e el rago máx m N, mí, m. La acoació aerior es válida pueso que o puede ser mayor al amaño de la muesra i ampoco mayor a la caidad de elemeos de la clase de los éxios m. Por ao, se cocluye mí, m. La acoació siguiee se obiee pueso que o puede ser egaivo i meor a cero. Cuado N m, o puede ser meor a la caidad (N m) = + m N. Por ao, se cocluye máx m N,. Al combiar las dos acoacioes aeriores queda demosrado máx m N, mí, m Después de ecorar la fórmula para el cálculo de probabilidades de las variables aleaorias hipergeoméricas, se defiirá su disribució de probabilidades. Defiició 6.3 Dada ua població de amaño N co m éxios y de la cual se oma ua muesra de amaño si reemplazo, se llama disribució de probabilidad de ua variable aleaoria hipergeomérica a las parejas (, H(; N,, m)), dode máx m N, mí, m Noa De la defiició de variable aleaoria co disribució hipergeomérica, se debe observar que el rago de la variable o ecesariamee iicia e cero o e uo. Después de defiir a la disribució hipergeomérica para comprobar si se raa de ua disribució de probabilidad, se aalizará el siguiee eorema. Su demosració se realiza co base e las combiaorias y el pricipio de muliplicació; aquí se omiirá por o eer mayor rascedecia. Teorema 6.2 Dada ua variable aleaoria hipergeomérica X co disribució (, G(; p)) co m éxios, e u loe de amaño N e el cual se elige ua muesra si reemplazo de amaño, eoces mí, m H( ; N,, m) mí, m máx m N, máx m N, m N m N C C C

22 9 Fialmee, se presea las fórmulas para calcular el valor esperado y la variaza de ua variable aleaoria co disribució hipergeomérica, las cuales se ecuera e el siguiee eorema, dode ambié se omiirá su demosració. Teorema 6.3 Dada ua variable aleaoria hipergeomérica X co disribució (, G(; p)) y co m éxios, e u loe de amaño N e el cual se elige ua muesra si reemplazo, de amaño, eoces E( X) m N V( X) m N m N N N E la solució de problemas, a diferecia de las oras dos disribucioes, es más secillo ideificar a los modelos hipergeoméricos por la codició de la oma si reemplazo. Pero los pasos a seguir e la solució de problemas so los mismos: defiició de la variable, ideificació y aplicació de fórmulas para los cálculos. Ejemplo 8. Ua caja coiee 2 discos duros para compuadora, colocados e forma verical y si ecimarse. Se supoe que hay res defecuosos; si se oma al azar cuaro de ellos, se calcula la disribució de probabilidad para X: caidad de defecuosos e la muesra. I. Defiició de la variable. X ya esá delimiada. II. Ideificació del modelo. La muesra se oma si reemplazo y las clases e que se divide el loe de discos so dos: bueos y defecuosos. Por ao, X iee disribució de ipo hipergeomérico co N = 2 y caidad de discos defecuosos m = 3. La muesra elegida es de amaño = 4. III. Aplicació de las fórmulas. Se iee Para el rago de X, se oma e cuea Por ao, máx m N, mí, m máx 4 3 2, mí 4, 3 eso es 3 Las probabilidades se calcula co los resulados del eorema 6. C C 2 38 C C P( X )., P( X ) C C C C 48 P( X 2) , P( X 3 ) C C C C E u loe de diez compoees elecróicos e bue esado se agrega res defecuosos. Ua persoa compra cuaro de ales compoees para reparar elevisores, se calcula la probabilidad de que la persoa ega que regresar a reclamar al vededor por haber obeido compoees defecuosos.

23 9 I. Defiició de la variable. X: caidad de compoees defecuosos e la muesra II. Ideificació del modelo. Por las codicioes del problema se deduce que la muesra se omó si reemplazo; además de que el amaño del loe es fiio e igual a rece y sólo se iee dos clases de compoees, bueos y defecuosos. De eso, se deduce que X es ua variable hipergeomérica co N = 3, = 4, m = 3. III. Aplicació de las fórmulas. Por las codicioes del problema, se sabe que la persoa reclamará si u compoee resula defecuoso. Por ao, la probabilidad que se debe calcular es C C P( X ) P( X ) C 3 4 Ese resulado idica que probablemee el comprador regresará a reclamar Ua de las máquias para elaborar orillos miliméricos se descompuso, por lo que ua gra caidad de orillos resuló defecuosa. Para raar de eviar pérdidas, e cada caja de 3 orillos se coloca cico defecuosos (25 si defecos). El vededor de orillos comieza a recibir reclamos debido a las piezas defecuosas y decide cambiar de proveedor si al ispeccioar aleaoriamee seis orillos de la siguiee caja resula dos o más defecuosos. Se calcula la probabilidad de que el vededor cambie de proveedor. I. Defiició de la variable X: caidad de defecuosos e la selecció de seis orillos II. Ideificació del modelo. Por las codicioes del problema, se deduce que la muesra se omó si reemplazo; además de que el amaño del loe es fiio e igual a 3 y sólo se iee dos clases de compoees, co y si defecos. Por ao, X es ua variable hipergeomérica, co N = 3, = 6 y m = 5. III. Aplicació de las fórmulas. Se calcula la probabilidad de que e ua caja se ecuere dos o más defecuosos e la ispecció aleaoria de seis de ellos. C 5 C6 25 P( X 2) P( X ) P( X ) C C C C es la probabilidad de que e ua oma aleaoria de seis orillos de ua caja resule dos o más defecuosos. Ejercicio 4. Supó que u radiorrecepor coiee seis rasisores, de los cuales dos so defecuosos. Se prueba res rasisores omados al azar. Dada Y = caidad de defecuosos ecorados, calcula la disribució de probabilidad para Y.

24 92 2. E u loe de diez proyeciles se dispara cuaro al azar. Si el loe coiee cico proyeciles que o dispara a) calcula la probabilidad de que loscuaro dispare b) calcula cuáos de los cuaro se espera que dispare 3. Para hacer u repore de corol de calidad sobre la fabricació de videos, de u loe de 25 se oma ua muesra al azar de cico de ellos y se prueba, e caso de que o se ecuere elemeos defecuosos, el repore se deermia como saisfacorio. Calcula la probabilidad de que el repore resule saisfacorio si e el loe se ecuera cuaro videos defecuosos. 4. E la aduaa de u aeropuero, debido a la gra afluecia de pasajeros, sólo se revisa a % de ellos a la salida. Si de u grupo de 2 urisas, doce iee compras muy por arriba de la caidad permiida, calcula la probabilidad de que dos persoas revisadas ega que pagar los impuesos correspodiees por exceso de compras permiidas. 5. Se oma si reemplazo ocho objeos de u loe co quice si defecos y seis co defecos. a) calcula la probabilidad de que se ecuere dos defecuosos ere los ocho objeos de la muesra b) calcula cuáos se espera que o ega defecos 6.5 Modelo de Poisso El úlimo de los modelos probabilísicos discreo que se aalizará es el modelo de Poisso. Ese modelo esudia los experimeos cuyos resulados iee lugar e iervalos coiuos, 2 de iempo, áreas, volúmees, ec. Aes de seguir, cabe mecioar que el modelo de Poisso es de variable aleaoria discrea, pueso que e sus experimeos sólo ieresa la caidad de resulados que puede ocurrir e u iervalo (de los aes mecioados), mas o la coiuidad del iervalo. El modelo de Poisso iee muchas aplicacioes: se emplea geeralmee cuado se desea opimar los iempos, ao de espera como de servicio; a ese ipo de problemas se les llama líeas de espera o eoría de colas. La formalizació del modelo de Poisso, desde uesro puo de visa, es ua de las más complicadas (de los modelos discreos), ya que hace referecia a la eoría ifiiesimal, por lo que se omiirá alguas de sus demosracioes. Noa Para ejemplificar la defiició de experimeo de Poisso al hablar de iervalo, se hará referecia al iempo (omado e cuea que e lugar de iempo se podría raar de u área, u volume, ecéera). E hoor al maemáico fracés Siméo-Deis Poisso, quie ació e Pihiviers, e 78, y murió e Paris, e 84. Fue uo de los creadores de la física-maemáica y auor de ua serie de rabajos sobre mecáica celese, elasicidad, capilaridad, cálculo de probabilidades y mageismo. 2 Debido a los iervalos coiuos e los que ocurre los modelos de Poisso, ésos iee esrecha relació co los modelos coiuos de ipo expoecial; eso se aalizará e la uidad 8.

25 93 Defiició 6.4 U experimeo de Poisso debe cumplir las siguiees res codicioes:. Los resulados de iervalos que o iee puos e comú so idepediees. Eso es, los resulados que ocurre e (, 2 ) so idepediees de los que rascurra e el iervalo ( 3, ), cuado los iervalos so disjuos. Se dice que el experimeo de Poisso, e su 4 ejecució o iee memoria. 2. La probabilidad de que u resulado ocurra e u iervalo de iempo mucho muy pequeño (, + ) es ua caidad de orde. Eso es, la probabilidad de obeer exacamee u resulado e u iervalo pequeño es proporcioal a la logiud del iervalo. 3. La probabilidad de que ocurra más de u resulado e el rascurso del iervalo (, + ) es ua caidad mucho más pequeña que más resulados e u iervalo pequeño es míima. De acuerdo co la meodología que se ha adopado, se pasa a la defiició de la variable aleaoria correspodiee, y los experimeos o procesos de Poisso. Defiició 6.5 A la variable aleaoria X resulados que ocurre e el iervalo de iempo (, ), se le llama variable aleaoria de Poisso. E esas codicioes resula que X es discrea co valores:,, 2, 3,... Los iervalos depede del experimeo y puede ser: u miuo, u día, ua semaa, u año, ecéera. u mero cuadrado o cúbico, ua hecárea, ecéera. A coiuació se presea alguos ejemplos de experimeos aleaorios que se cosidera dero de u modelo de Poisso. Ejemplo 9. La caidad de llamadas elefóicas a u comuador e u iervalo de cico miuos. 2. La caidad de accidees auomoores mesuales e u crucero deermiado. 3. La caidad de carros que llega a u esacioamieo e ua hora deermiada. 4. El úmero de parículas que pasa a ravés de u coador e u milisegudo. 5. La caidad de errores de capura por págia e u documeo. 6. Caidad de árboles ifecados por cieros gusaos e u área deermiada. 7. Llegadas de cliees a ua ieda durae u deermiado iervalo de iempo. Se simboliza por P( ; ) P( X ): la probabilidad de que e el experimeo de Poisso ocurra resulados e u iervalo (, ) (dode es u parámero que será defiido al fial del eorema 6.5). E el siguiee eorema se proporcioa la fórmula para calcular probabilidades de modelos de Poisso; si embargo, debido a su complejidad o se hará la demosració. Teorema 6.4 Dada X como ua variable aleaoria de Poisso e el iervalo (, ) y R X = {,, 2,...}, (represeado por la logiud del iervalo (, )), eoces P( ; ) P( X ) e! =,, 2,...

26 94 De acuerdo co la meodología adopada, a coiuació se defie la disribució de probabilidad correspodiee. Defiició 6.6 Se llama disribució de probabilidad de Poisso a las parejas (, P(; )), para igual a,, 2, 3,... E el siguiee y úlimo eorema de la uidad se verifica que efecivamee la defiició aerior se refiere a ua disribució de probabilidad. Además se deduce las fórmulas correspodiees al valor esperado y la variaza de la variable. Teorema 6.5 Dada X como ua variable aleaoria de Poisso e u iervalo de logiud y R X = {,, 2,...}, co parámero eoces 2 P( ; ) E( X) V( X) La sumaoria se deduce de maera imediaa de la serie pueso que P( ; ) e x x! ( ) e e ( )!! Para el valor esperado se empleará la serie y el cambio de variable = m. e x x! ( e ) e E( X) ( ) e! ( ) e ( )! m ( ) m e e ( )! m! m m m e ( e ) Para la variaza se empleará el eorema V( X) E( X ) E ( X) E X( X ) E( X) E ( X) Calculado E(X(X )) de la misma forma e que se realizó e el valor esperado E( X( X )) ( ) ( ) e! 2 ( ) e ( 2)! m ( ) m 2 m! e 2 ( ) e m ( ) m m! 2 ( ) e ( e ) ( ) 2

27 95 Por cosiguiee E el eorema 6.4 se preseó el parámero, el cual se puede ierprear ahora, pueso que e el eorema 6.5 se demosró que E(X) = ; por ao, E( X) represea la razó esperada de resulados e el iervalo de esudio. E caso de que = (ua hora, u día, u mero, ec.), la fórmula aerior se reduce a = E(X), y se emplea la fórmula simplificada para el cálculo de probabilidades P(, ) V( X) E X( X ) E( X) E ( X) ( ) ( ) ( ) e! Ejemplo. E ua ieda los cliees llega al mosrador coforme ua disribució de Poisso co u promedio de diez cada hora. E ua hora dada, se calcula la probabilidad de que llegue al meos cico cliees. I. Defiició de la variable X: caidad de cliees que llega a la ieda II. Clasificació del modelo. El promedio es de diez cliees cada hora cliees hora e u iervalo de ua hora dada, es decir, = h III. Aplicació de las fórmulas. Se emplea co 5 y se calcula P(, ) P( X 5) P( X 4) P( X ) P( X ) P( X 2) P( X 3) P( X 4) e! e ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e ( )!! 2! 3! 4! La probabilidad es basae grade, pueso que al cosiderar u valor esperado de diez cliees será muy probable que cico o más cliees llegue e el rascurso de ua hora (ver los hisogramas co diferees valores de E(X) al fial del ejercicio siguiee). 2. Al revisar la calidad e el pulido de u lee, ciera compañía acosumbra deermiar el úmero de machas e la superficie cosiderado el lee defecuoso si res o más de ales machas, asperezas y oro ipo de defecos aparece e él. Si el promedio es dos defecos por cm 2, calcula la probabilidad de que u lee de cuaro cm 2 o sea cosiderado defecuoso.

28 96 I. Defiició de la variable aleaoria X: caidad de defecos que aparece e el lee. II. Ideificació del modelo. El promedio es dos defecos por cm 2 ; es decir, 2 defecos cm 2 Para que u lee de 4 cm 2 sea revisado, se iee que = 4 cm 2. III. Aplicació de las fórmulas. Se iee, por ao E(X) = = 8 defecos. Para que u lee o sea cosiderado defecuoso debe eer meos de res defecos. Por ao, la probabilidad que se debe calcular es que u lee de 4 cm 2 ega meos de res defecos (es decir, esé e bue esado) P( X 3) P( X ) P( X ) P( X 2) e ( 8) e ( 8) e ( 8)!! 2!. 38 A coiuació se presea alguos hisogramas para la disribució de Poisso. E ellos se puede apreciar que la disribució de probabilidades se cocera alrededor del valor esperado. Es decir, co valores esperados pequeños, la disribució de probabilidad se cocera e los puos iiciales, poseriormee, las probabilidades se aproxima a cero. E los hisogramas de abajo se aprecia que, al aumear el valor de µ, la disribució se aproxima a u modelo simérico: = = = = Variable aleaoria Variable aleaoria = = = = Variable aleaoria Variable aleaoria.4 = = Variable aleaoria

29 97 Ejercicio 5. Ua secrearia promedia dos errores al escribir ua págia. Si los errores so idepediees y sigue u proceso de Poisso, calcula la probabilidad de que comea uo o más errores e la siguiee págia que escriba. 2. Si el úmero de coches que llega a u esacioamieo es de ocho cada hora y su llegada sigue el proceso de Poisso, calcula la probabilidad de que e u periodo de diez miuos llegue al esacioamieo (comea el resulado obeido) a) ere res y seis auomóviles b) más de dos auomóviles 3. Al revisar la calidad e el pulido de u lee, ciera compañía acosumbra deermiar el úmero de machas e la superficie, cosiderado el lee defecuoso si res o más de ales machas, asperezas y oro ipo de defecos aparece e él. Si el promedio es de dos defecos por cm 2, co disribució de Poisso a) calcula la probabilidad de que u lee de cm 2 o sea cosiderado defecuoso b) calcula la probabilidad de que u lee redodo co u diámero de cm o se le caalogue como defecuoso 4. Desde 996, el cierre de empresas por problemas fiacieros ha ocurrido, e promedio, a razó de 5.7 cierres por año. Supó que el úmero de cierres por año iee disribució de Poisso, calcula la probabilidad de que igua empresa cierre durae u periodo de cuaro meses. 5. Supó que ua cajera de u baco aiede e promedio a 4.5 cliees por cada diez miuos y que la caidad de persoas aedidas sigue u proceso de Poisso, calcula la probabilidad de que ua cajera aieda a sólo dos cliees e el rascurso de los siguiees diez miuos. Ejercicios propuesos. La probabilidad de que u moor, recié ajusado, ire aceie e los primeros m por los reees es de.5. Si diez auomóviles se ajusa e u aller mecáico a) calcula la probabilidad de que por lo meos dos ire aceie por los reees b) de los siguiees 2 auomóviles que se ajusaro e dicho aller, calcula cuáos se espera que ire aceie por los reees 2. Segú las esadísicas de ua ciudad, e ciera zoa se comee e promedio diez asalos diarios a coducores de auos. Si los asalos so idepediees y se apega a u proceso de Poisso a) calcula la probabilidad de que e u día se comea más de diez asalos b) calcula la probabilidad de que ere las 6: y 2: AM o se comea asalos 3. La probabilidad de que u esudiae de aviació apruebe el exame escrio para obeer su licecia de piloo es.6, calcula la probabilidad de que apruebe el exame e el ercer ieo.

30 98 4. Si el coso de pasaje por persoa e el raspore público es $2.5 y cada vehículo raspora e promedio doce pasajeros cada 3 miuos, supoiedo que la caidad de persoas rasporadas sigue ua disribució de Poisso a) calcula el igreso esperado por día de rabajo de u chofer (u día de rabajo equivale a diez horas), si iviere 2 pesos diarios e gasolia b) calcula la probabilidad de que e u iervalo de 3 miuos, raspore a lo más la miad del promedio dado aeriormee 5. Ua caja coiee cuaro arajas y dos mazaas. Se oma res fruas si reemplazo. Si X es la variable aleaoria defiida como el úmero de arajas que se omaro a) calcula la probabilidad de que P(X 2) b) calcula la probabilidad aerior si se permie el reemplazo 6. E u almacé los cliees llega al mosrador de caja e promedio de siee por hora, de acuerdo ua disribució de Poisso. E ua hora dada, calcula la probabilidad de que a) o llegue más de res cliees b) llegue exacamee cico cliees 7. E ua població 4% es fumador. Si se oma ua muesra de 2 persoas al azar a) calcula la probabilidad de que diez sea fumadores b) calcula la probabilidad de que más de siee sea fumadores 8. La probabilidad de que u cliee acuda al mosrador de ua ieda de abarroes e cualquier periodo de u segudo es.. Supó que los cliees llega de maera aleaoria y, por ao, las llegadas e cada iervalo de u segudo so idepediees a) calcula la probabilidad de que la primer llegada ocurra durae el ercer iervalo de u segudo b) calcula la probabilidad de que la primer llegada ocurra después del ercer iervalo de u segudo 9. Tres persoas laza ua moeda al aire, el dueño de la moeda que resule co cara disia pagará la comida. Si los res resulados so iguales las moedas se laza uevamee, calcula la probabilidad de que se ecesie más de dos ieos para deermiar al perdedor.. U loe de 25 ciescopios de color se somee a u procedimieo de prueba de acepació. Ése cosise e omar cico ciescopios si reemplazo y probarlos; si dos o meos ciescopios falla se acepa el loe, e caso corario se rechaza. Supó que el loe coiee cuaro ciescopios defecuosos a) calcula la probabilidad de que el loe pase la prueba b) calcula cuáos de los cico ciescopios se espera que o resule defecuosos