Introducción a la Estadística Descriptiva

Transcripción

1 Iroduccó a la Esadísca Descrpva ª Edcó Carla Re Graña María Raml Díaz

2 ITRODUCCIÓ A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. ª Edcó o esá permda la reproduccó oal o parcal de ese lbro, su raameo formáco, la rasmsódeguaformaoporcualquermedo,aseaelecróco,mecáco,porfoocopa,por regsro u oros méodos, s el permso prevo por escro de los ulares del Coprgh. DERECHOS RESERVADOS 007, respeco a la seguda edcó e español, por ebblo, S. L. ETBIBLO, S. L. C/. Rafael Alber, 6 bajo zq. Sa. Crsa 1517 Oleros (La Coruña) Spa Tlf: Fax: [email protected] ISB: Depóso Legal: C Drecora Edoral: Crsa Seco Edora: Lorea Bello Produccó Edoral: Gesbblo, S. L. Impreso e España Pred Spa

3 PRESETACIÓ Ese maual preede ser sólo ua prmera aproxmacó al aálss cuaavo de lasseresdedaosdelasvarables. Ese po de aálss ha sdo mu crcado, porque la formacó que coee los úmeros esá sujea a errores de medcó que codcoa los resulados obedos. Además, la erpreacó que se hace de ellos es subjeva, de maera que los msmos úmeros puede ser leídos de dsas formas por persoas dsas. Pero, auque es cero que cuado los resulados que proporcoa se erprea de forma sesgada o poco objeva puede obeerse coclusoes absurdas, s somos cudadosos al valorarlos, odas las éccas cuaavas, cluso las más secllas, puede proporcoar formacó mu eresae. El aálss esadísco de las varables puede abordarse, báscamee, desde la perspecva de ua sola o de varas varables. Co el efoque uvarae, al que se refere la prmera pare de ese maual, o se preede explcar el comporameo de la varable esablecer gua relacó de causaldad. Por ao, o es ecesaro dspoer de gua formacó relava al comporameo de oras varables. Para efecuarlo, basa coocer ua sere de daos de la varable e esudo. Por supueso, e prmer lugar, es ecesaro eer correcamee especfcado el coedo de la sere. Por ejemplo, por lo que se refere a las ulzadas para el aálss del ursmo, debe coocerse el dso sgfcado que ee las seres de vsaes ursas, o las dferecas ere ursmo emsor, recepor e ero. Y debemos saber ambé s la sere proporcoa formacó global o parcal, como sucede co la que se refere sólo al ursmo hoelero, s los daos esá e cadades físcas o evalores,sseraadevalores,sésossoomalesoreales;slasereseha vso afecada por algú cambo meodológco, s la formacó ha sdo obeda de forma exhausva o procede de ua ecuesa sujea a errores de muesreo, ecéera. La varable que queremos esudar debe esar perfecamee defda desde el puo de vsa esadísco; debe ser coocda e odos sus aspecos. Ua vez cumpldo ese requso, puede aplcarse alguas de las éccas uvaraes más smples, ales como el aálss gráfco, el cálculo de las prcpales meddas de poscó, dspersó, coceracó forma, el aálss de seres emporales, ecéera.

4 PRESETACIÓ Respecoalaálssgráfco,laeleccódelaescalaqueseomaelosejespuede hacer que la mpresó vsual que recbmos de la sere sea mu dsa. Segú que escalas se ome puede parecer que la sere varía rápdamee es mu rregular o que varía leamee es mu regular. Así que es ecesaro ser razoable co el po de gráfco que se elge mu cudadosos co su erpreacó. La meda las demás meddas de poscó o meddas cerales, como la medaa la moda, raa de represear o de codesar la formacó coeda e la sere de daos. Pero la meda o es más que ua medda resume de la sere, e ocasoes, proporcoa sólo ua formacó parcal, que puede ser mu poco represeava de ella. Ha alguos ejemplos mu populares al respeco. Segú la formacó que proporcoa la meda, s u dvduo come dos pollos oro guo, guo de los dos ee hambre, porque por érmo medo, se ha comdo u pollo cada uo. S u dvduo mee la cabeza e el horo los pes e el cogelador, ee la emperaura meda deal. Cualquera de esos ejemplos, poe de mafeso la ecesdad de complemear la formacó que proporcoa la meda co algú dcador de la dspersó de la varable, como la varaza o la desvacó ípca. Cuado esas meddas oma valores elevados, como sucede e los casos señalados, la meda es u resume de la sere mu pobre, mu poco fable. Es coveee valorar cojuamee la medda de poscó ceral de dspersó. El aálss de seres emporales perme alsarlas para desacar la edeca que sgue. Pero, a veces, precsamee las rregulardades elmadas so mporaes para deecarlospuosexraños,quepuedecoeer mucha formacó. Por ejemplo, el año 199 es especal para las seres de ursmo e España, porque cocurre varos feómeos mporaes: se celebró la Olmpada e Barceloa, Madrd fue Capal Culural de Europa e Sevlla se celebró la Exposcó Uversal. S suavzamos la sere elmamos el pco correspodee a ese año, esa formacó se perde. Por ao, el alsado ambé es ua écca que debe ser ulzada co precaucoes. E el efoque mulvarae, que se aborda e la seguda pare del maual, se procede al esudo cojuo de las varables para aalzar la relacó ere ellas, lo cual perme reducr la cerdumbre co la que se oma las decsoes de plafcacó gesó. Las éccas esadíscas más secllas para cuafcar el grado de relacó que exse ere dsas varables so el aálss de la covaraza, la correlacó la regresó leal, e el caso más smple, que es el caso bvarae. Respeco a ese po v

5 PRESETACIÓ de aálss, ambé es ecesaro esablecer alguas precsoes, porque la relacó eredosvarables,xe,puedeadoparformasmudversas. Se dce que ua relacó es de causaldad; es decr, que la varable x es la causa de la varable, s sólo s las varacoes de x provoca varacoes e. Ua relacó es de erdepedeca s la relacó se da e los dos sedos; es decr, los valores de x flue e los valores de smuláeamee los valores de flue e los dex. Euarelacódreca,laasocacóqueseobservaerexesedebea que ambas depede de ua ercera varable z. Y falmee, ambé puede suceder quelaasocacóerelosvaloresdexeseafruodelacasualdad,sedoésala relacó que coocemos como espura. Las éccas que se ulza para aalzar la exseca de relacó ere las varables perme cuafcar hasa que puo esá relacoadas, pero o perme, s embargo, deducr cuál es po de relacó que exse ere ellas. So los coocmeos a pror sobre el comporameo del feómeo esudado los que sugere la exseca ceras relacoes ere las varables, que los daos las éccas esadíscas, úcamee, cofrma o refua. E cosecueca, su ulzacó requere u coocmeo prevo delfeómeodecovaracóqueseesáesudadoparaaplcarloscorrecamee. E defva, esos que hemos comeado so sólo alguos ejemplos que poe de mafeso el hecho de que al abordar cualquer aálss esadísco, sempre debe eerse e cuea que s se efecúa gorado el problema cocreo al que se refere será, precsamee, u aálss esadísco gorae. Pero a pesar de que los méodos cuaavos ee lmacoes, ambé ofrece u amplo abaco de posbldades para exraer la formacó que coee los úmeros. Desde esa perspecva, abordamos la elaboracó de ese lbro co la ecó de faclar ua prmera vsó, mu smple, respeco a las éccas más elemeales para proceder al aálss de las seres de daos. Carla Re Graña María Raml Díaz v

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7 Coedo 1. Elaboracó de ablas de daos esadíscos Daos esadíscos Elaboracó de ablas esadíscas udmesoales Tablas de dsrbucó de frecuecas co daos s agrupar Tablas de dsrbucó de frecuecas co daos agrupados Elaboracó de la abla de dsrbucó de frecuecas co EXCEL Represeacoes gráfcas Aálss de ablas de daos esadíscos Iroduccó Meddas de poscó de edeca ceral o cerales Meddas de poscó de edeca ceral Meddas de poscó o cerales Meddas de dspersó absoluas relavas Meddas de dspersó absoluas Meddas de dspersó relavas Meddas de forma Meddas de coceracó úmeros ídces Iroduccó úmeros ídces smples complejos Cambo de base elace de seres Ídces de precos. Deflacó de seres Seres emporales Defcó represeacó gráfca Compoees de ua sere de empo Aálss de la edeca medae el méodo de las medas móvles Aálssdelasvaracoesesacoalesmedaeelméodo de la razó a la meda móvl. Desesacoalzacó Aálss de la evolucó emporal de ua sere. Tasa de varacó Dsrbucoes bdmesoales de frecuecas Iroduccó Tablas de correlacó cogeca Dsrbucoes margales Dsrbucoes codcoadas v

8 COTEIDO 5.. Covaracó o varacó cojua Correlacó Correlacó co EXCEL Aálss de regresó Iroduccó El ajuse mímo cuadráco ordaro Propedades del ajuse El coefcee de deermacó Regresó co EXCEL Ejerccos cuesoes v

9 TEMA 1 ELABORACIÓ DE TABLAS DE DATOS ESTADÍSTICOS 1.1. Daos esadíscos La prmera uldad de la esadísca es la de proporcoar u cojuo de ormas que perme elaborar las ablas umércas adecuadas para cuafcar u deermado feómeo. Dcho feómeo esá formado por u cojuo de persoas o cosas que llamamos poblacó. Las persoas o cosas que egra ua poblacó se deoma elemeos o udades esadíscas. Cada uo de los elemeos de ua poblacó puede descrbrse segú uo o varos caraceres. Por ejemplo, s el objevo de u deermado aálss so los vajeros que llega a u país, puede cerarse la aecó e su edad, su esado cvl, su país de procedeca, ecéera. S esamos eresados e el esudo de la edad de los vajeros, se raa de aalzar ua caracerísca que oma valores umércos, a la cual deomamos varable. E cambo, s os eresa, por ejemplo, su país de procedeca, se raa de aalzar ua caracerísca cualava, deomada arbuo. Los arbuos o so, pues, suscepbles de cuafcarse e la forma covecoal medae ua escala umérca. Al observar las dferees varables o arbuos se obee u cojuo de resulados, umérco o o, deomado cojuo de daos. Los obedos al observar u arbuo se deoma modaldades, meras que los correspodees a ua varable se deoma valores. E fucó del úmero de valores que puede omar las varables, se dsgue las dscreas de las couas. Las dscreas so aquellas que puede omar u úmero fo (o fo umerable) de valores; por ejemplo, el úmero de vsaes que recbe u país, el úmero de plazas de u hoel, ecéera. Las couas so aquellas que puede omar fos valores dero de u ervalo; el gaso medo por persoa de los ursas que vsa u país es, por ejemplo, ua varable coua. 1

10 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Segú el po de valores observados, se dsgue las varables emporales de las aemporales. Las prmeras hace refereca la msma udad esadísca e dferees períodos de empo (meses, rmesres, años o cualquer ora udad emporal); por ejemplo, la asa de ocupacó brua de u hoel deermado cada año de los compreddos ere Las segudas se refere a dferees udades esadíscas e u msmo período de empo; por ejemplo, la asa de ocupacó brua de dsos hoeles e el año Elaboracó de ablas esadíscas udmesoales Tablas de dsrbucó de frecuecas co daos s agrupar os ocupamos ahora de la elaboracó de ua abla esadísca referda a ua sola varable; es decr, que sólo recoge la formacó correspodee a ua caracerísca de cada uo de los elemeos de la poblacó. Supogamos, por ejemplo, que hemos obedo formacó umérca sobre los precos de los meús servdos durae u día e u resaurae deermado. Dcha formacó es la sguee: Preco = {6, 8, 6, 8, 6, 8, 1, 6, 8, 8, 6, 8, 8, 8, 1, 1, 8, 8, 1, 6, 8, 6, 6, 8, 1, 6, 6, 6, 6, 6} euros Podemos observar que sólo ha res precos dferees, 6, 8 1 euros, que se repe, además sus valores esá desordeados. La formacó así preseada resula mu poco maejable a efecos de su aálss esadísco. E prmer lugar debemos ordear, de meor a maor preco, por ejemplo, agrupar los valores comues e ua abla. A ese proceso se le deoma abulacó. E la columa de la zquerda de la abla se presea los valores x de los res precos correspodees a los meús que se ha servdo el día elegdo, meras que e la columa de la derecha fgura el úmero de veces que se repe cada uo de ellos. E esadísca, el úmero de veces que se repe cada valor o dao de la varable se deoma frecueca absolua (o smplemee frecueca), e geeral, se represea por.

11 Elaboracó de ablas de daos esadíscos E ese ejemplo 1 = 13, lo que sgfca que el prmer valor de la varable se repe 13 veces; es decr, que se ha servdo 13 meús de 6 euros; = 1, lo que sgfca que el segudo valor de la varable se repe 1 veces; es decr, que se ha servdo 1 meús de 8 euros 3 = 5, lo que sgfca que el ercer valor de la varable se repe 5 veces; es decr, que se ha servdo 5 meús de 1 euros. Tabla 1.1. Preco de los meús Preco (x ) úmero de meús servdos ( ) x 1 = 6 1 = 13 x = 8 = 1 x 3 = 1 3 = 5 Toal 30 Sumado las frecuecas absoluas se obee el úmero oal de valores observados de la varable, que represeamos por. E ese ejemplo: = = = 30. E geeral: Ahora be, la frecueca absolua o da ua dea respeco a s es o o elevada. Para saberlo, debemos referrla al cojuo de los daos. Tabla 1.. Frecueca absolua relava x f 6 13 f 1 = 1 / = 0, f = / = 0, f 3 = 3 / = 0,17 Toal 30 1,00 Defmos así la frecueca relava, f, que se obee por cocee ere la frecueca absolua ( ) el úmero oal de daos (). 3

12 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Dada su defcó, es obvo que el valor mímo de la frecueca relava es cero su valor máxmo es la udad. Por ao, la frecueca relava es ao más elevada cuao más próxmo esá su valor a uo. La Tabla 1. recoge los valores de las frecuecas relavas para la dsrbucó de los precos. E ella, las frecuecas relavas esá expresadas e ao por uo, pero ambé se puede expresar e ao por ceo, mulplcado por ce cada uo de sus valores. Tedremos, así, que el 43 por ceo de los meús servdos ha sdo de 6 euros, el 40 por ceo ha sdo de 8 euros el 17 por ceo resae ha sdo de 1 euros. La suma de las frecuecas relavas es gual a la udad: E ese ejemplo: f 1 + f + f 3 = 0,43 + 0,40 + 0,17 = E geeral: f També puede eer erés calcular las frecuecas acumuladas, ao absolua como relava. La frecueca acumulada absolua, que represeamos por, dca el úmero de valores de la varable guales al cosderado o ferores a él, se obee sumado, para cada valor, su frecueca absolua más las correspodees a los valores aerores de la varable. Tabla 1.3. Frecueca acumulada absolua x f ,43 1 = 1 = ,40 = 1 + = ,17 3 = = 30 Toal 30 1,00 represea la frecueca absolua acumulada correspodee al segudo valor de la varable (8 euros) que se cfra e 5, lo que os dca que se ha servdo 5 meús co u preco gual o feror a 8 euros. Podemos observar, además, que la 4

13 Elaboracó de ablas de daos esadíscos prmera frecueca absolua acumulada es gual a la prmera frecueca absolua, que la úlma frecueca absolua acumulada cocde co el úmero de daos dspobles, que e uesro ejemplo so 30. E geeral: = = = 1 La frecueca acumulada relava, represeada por F, se obee al dvdr cada frecueca acumulada absolua ( ) ere el úmero oal de daos (), o be sumado, para cada valor, su frecueca relava más las correspodees a los valores aerores de la varable. Tabla 1.4. Frecueca acumulada relava x f F ,43 13 F 1 = 1 / = f 1 = 0, ,40 5 F = / = f 1 + f = 0, ,17 30 F 3 = 3 / = f 1 + f + f 3 = 1,00 Toal 30 1,00 La frecueca acumulada relava correspodee al segudo valor de la varable, F, dca, pues, que el 83 por ceo de los meús servdos e el resaurae ee u preco gual o feror a 8 euros. Como puede observarse, la prmera frecueca relava acumulada es gual a la prmera frecueca relava, la úlma frecueca relava acumulada es gual a la udad. E geeral: F = f 1 + f + + f = f = 1 1 Por úlmo, los daos puede presearse e ua abla que resume odo lo expueso aerormee. Esa abla recoge los valores de la varable sus frecuecas, absoluas relavas, smples acumuladas. Dado su coedo, se la cooce co el ombre de abla de dsrbucó de frecuecas. Cosderado que odas las demás puede obeerse a parr de la frecueca absolua, se represea como los dferees valores que e cada caso oma el par (x, ). 5

14 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla 1.5. Dsrbucó de frecuecas x f F , , ,40 5 0, , ,00 Toal 30 1,00 Hasa ahora, como hemos vso, la formacó se ha dspueso asocado a cada valor de la varable su frecueca. Esa forma de presear los daos se ulza cuado la varable oma u pequeño úmero de valores dsos. Ahora be, s la varable oma u úmero grade o mu grade de valores dsos dspoemos los daos de esa maera, se obee uas columas mu largas, que o proporcoa la vsó de cojuo deseada Tablas de dsrbucó de frecuecas co daos agrupados S el úmero de valores que oma la varable es sufceemee grade resula acosejable, para ua maor comoddad e el raameo de la formacó, agrupar esos valores e u úmero reducdo de clases o ervalos. La agrupacó de los daos facla su maejo, pero debe eerse e cuea que, meras que e las dsrbucoes o agrupadas dspoemos de oda la formacó correspodee a ua varable, e las dsrbucoes agrupadas se perde pare de la formacó. Por ejemplo, supogamos que se dspoe de los daos correspodees a los precos pagados por las cosumcoes realzadas e ua cafeería a lo largo de u deermado día. Dado que exse muchos valores dferees de la varable compreddos ere 0 15 euros, para eer ua vsó de cojuo, las cadades pagadas se ha agrupado e clases o ervalos. Los valores de la varable sus correspodees frecuecas absoluas se presea e la Tabla 1.6, que recoge e la prmera columa los cco ervalos cosderados, de los cuales L -1 es el exremo feror L es el exremo superor. Como puede observarse, la abla proporcoa formacó respeco a cuáas cosumcoes de ere 3 6 euros se ha servdo e el esablecmeo, pero o dca s ha habdo cosumcoes de 4 ó 5 euros, o cuáas se ha servdo de cada 6

15 Elaboracó de ablas de daos esadíscos uo de los mpores compreddos e el ervalo. Obvamee, para la elaboracó de la abla es ecesaro recoger el máxmo de formacó, pero como se ha señalado, al hacer la agrupacó, auque se facla el raameo de los daos, pare de la formacó se perde. Tabla 1.6. Preco de las cosumcoes Preco (L -1 L ) úmero de cosumcoes ( ) Para agrupar los daos de ua varable e ervalos o clases es ecesaro, e prmer lugar, coocer el recorrdo o rago de la varable, que es la dfereca ere su maor meor valor. E el ejemplo aeror el recorrdo de la varable es de 15 0 = 15 euros. A couacó, hemos de decdr la amplud de los ervalos, que se represea como c es la dfereca ere su exremo superor su exremo feror; es decr, c = L L -1. E geeral es recomedable que, e la medda de lo posble, los ervalos sea de amplud cosae, a que e alguos aspecos es más secllo el raameo esadísco de la formacó. o obsae, por ecma de ese requso, debe esar el de que la abla esadísca resulae exprese lo más felmee posble las caraceríscas de la varable, por lo que e alguos casos será preferble que los ervalos sea de amplud varable. E el ejemplo aeror, los ervalos cosderados ee ua amplud cosae, gual a 3 euros. Cuado la amplud es cosae, el recorrdo es gual al úmero de ervalos por su amplud. Luego, s se cooce la amplud puede deducrse el úmero de 7

16 Iroduccó a la Esadísca Descrpva ervalos; o be, s se fja el úmero de ervalos puede deermarse la amplud. Para esablecer el úmero de ervalos que debe cosderarse o ha reglas fjas, auque e la prácca suele osclar ere Ua vez esablecdo el úmero de ervalos a cosderar su amplud, se plaea el problema de deermar a qué ervalo correspode u valor de la varable cuado cocde co uo de sus exremos. Habualmee se cosdera que los ervalos so semaberos por la zquerda, lo cual se deoa como (L -1 L ], sgfca que se compoe de odos aquellos valores compreddos ere L -1 L, cludo el exremo superor excludo el feror. E el ejemplo que hemos plaeado, ua cosumcó de 6 euros puede esar, e prcpo, cluda e el ervalo compreddo ere 3 6 euros o e el sguee, de 6 a 9 euros. S los ervalos cosderados so semaberos por la zquerda, como es habual, esá cluda e el ervalo de 3 a 6 euros. S embargo, esa o es la úca posbldad, pueso que ambé puede defrse ervalos cerrados [L -1 L ] que clue los dos exremos, aberos (L -1 L ) que o clue guo de los dos exremos, o semaberos por la derecha [L -1 L ) que clue el exremo feror pero o el superor. Tabla 1.7. Preco de las cosumcoes L -1 L x 0 3 1, , , , ,5 5 Por úlmo, como valor represeavo de cada ervalo se oma su puo medo x = (L -1 + L ) /, al que se deoma marca de clase. S e el ejemplo cosderado se calcula las marcas de clase, la abla de frecuecas absoluas de la varable es al como la Tabla 1.7. Para complear la 8

17 Elaboracó de ablas de daos esadíscos dsrbucó de frecuecas co daos agrupados, debe segurse el procedmeo que se ha descro e el caso de los daos s agrupar. E cualquera de los dos casos, el proceso de obecó de esa abla es mucho más secllo ulzado ua hoja de cálculo Elaboracó de la abla de dsrbucó de frecuecas co EXCEL El programa se ejecua hacedo doble clc co el raó e el coo de acceso dreco o be pchado el boó Ico Programas EXCEL. De esa forma, se abre ua hoja de cálculo e blaco. La prmera operacó que se debe realzar para elaborar la abla de dsrbucó de frecuecas es la roduccó de los daos. Por ejemplo, supogamos que se dspoe de la formacó correspodee a la edad de los clees de u deermado esablecmeo hoelero: Edad = {19, 5, 3, 44, 51, 8, 3, 0, 60, 45, 54, 3, 5, 36, 40, 45, 33,, 55, 48, 5, 40, 3, 45, 33, 19, 36,, 48, 3, 5, 36, 8, 19, 5,, 3, 44, 45, 55, 3, 5, 60, 40, 45, 33,, 8, 44, 45} años Se súa el cursor co el raó e la celda A1, e la que se roduce x como ombre de la varable. A couacó, e la celda A, se eclea el prmer dao (19), e la celda A3 el segudo (0), así sucesvamee, hasa que se haa roducdo odos los daos e celdas cosecuvas de la columa A. Para pasar de ua celda a ora, puede ulzarse el raó, las eclas de dreccó o la ecla Iro. El sguee paso cosse e ordear los daos de meor a maor. Para ello se pcha el meú Daos, e el que se elge la opcó Ordear. Al efecuar esa operacó, se abre u cuadro de dálogo e el que se debe dcar que queremos ordear los daos e orde ascedee segú los valores de la varable x. Falmee, se pcha Acepar para ejecuar la operacó. 9

18 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Ua vez ordeados los daos, para obeer los valores de las frecuecas absoluas, es ecesaro coar cuáas veces se repe cada uo de los valores de la varable. Para efecuar esa operacó, os suamos e la celda B1 le damos el ombre. E la celda B se pcha e el meú Iserar, el submeú Fucó. Elegmos las fucoes Esadíscas dero de ellas Coar. A couacó se abre u cuadro de dálogo e el que se dca el rago de celdas que queremos que cuee. Como, e prmer lugar, queremos saber cuáas celdas coee el úmero 19, debemos dcar el rago A:A4, pchado co el raó la celda A, s solar, arrasrádolo hasa la celda A4. Al pchar Acepar aparecerá u úmero 3, que dca que ha 3 celdas co u valor gual a 19. Tabla 1.8. Frecuecas absoluas A B C 1 x os suamos ahora e la celda que esá a la derecha del sguee valor, es decr e la celda B5, efecuamos el msmo proceso para coar cuáas celdas coee el valor 0. La operacó se repe hasa falzar. Luego se elma las flas e las que la 10

19 Elaboracó de ablas de daos esadíscos celda correspodee a la frecueca esá vacía, sombreádolas co el raó la sruccó Elmar del meú Edcó. Se obee así la Tabla 1.8, que coee los valores de la varable sus correspodees frecuecas absoluas. Para complear la abla de dsrbucó, debe obeerse el reso de las frecuecas. Comezamos por obeer la columa correspodee a las frecuecas relavas. Como se ha dcado, dchas frecuecas se obee dvdedo cada frecueca absolua ere el úmero oal de daos, que es la suma de las frecuecas absoluas. Para obeer el úmero de daos, se súa el cursor e la celda B19, se ejecua la sruccó Iserar Fucó Maemácas Suma, que abre u cuadro de dálogo e el que debemos dcar el rago de celdas que se desea sumar. E ese caso, dcho rago es B:B18. Al Acepar, e dcha celda aparece el resulado de la suma; e ese caso, 50. Tabla 1.9. Obecó de la dsrbucó de frecuecas A B C D E F 1 x f F 19 3 =B/B$19 =B =D/B$ =B3+D (B:B18)=50 0 Ua vez efecuada esa operacó, se súa el cursor e la celda C, para dcar la fórmula para el cálculo de las frecuecas relavas. La correspodee al prmer valor de la varable se obee dvdedo su frecueca absolua, que es el valor que ocupa la celda B, ere el úmero oal de daos, que es el valor que ocupa la celda B19. Puede observarse que ere la lera B el úmero 19 se sera el símbolo $, para dcar que al copar esa fórmula e las demás casllas sempre se ha de omar como deomador el valor fjo coedo e la celda B19. 11

20 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Para obeer el valor de la seguda frecueca relava se seleccoa co el raó la celda C, que coee la fórmula para el cálculo de f 1, e el meú Edcó elegmos Copar. Se coloca ahora el raó e la celda C3, se pcha s solar el boó, se arrasra hasa la celda C18, e el meú Edcó se seleccoa Pegar (que, e las ablas hemos represeado co el símbolo ). Co ese procedmeo se obee las frecuecas relavas para los demás valores de la varable. A couacó, se formula las columas D E para obeer las frecuecas acumuladas, absoluas relavas, de la forma que se dca e la Tabla 1.9. Ua vez efecuado el proceso descro, debe obeerse u resulado al como el que se muesra a couacó: Tabla Dsrbucó de frecuecas A B C D E F 1 x f F ,06 3 0, ,0 4 0, ,08 8 0, , , ,1 16 0, , , ,10 4 0, ,06 7 0, , , , , , , ,1 4 0, , , ,0 45 0, ,0 46 0, , , , , ,00 0 Los resulados obedos e esa abla debe ser ales que: 1. La suma de la columa de frecuecas absoluas es el úmero de daos. La suma de la columa de frecuecas relavas es gual a la udad 1

21 Elaboracó de ablas de daos esadíscos 3. El valor de la úlma frecueca absolua acumulada es el úmero de daos 4. El valor de la úlma frecueca relava acumulada es gual a la udad S fuese ecesaro corregr la erada de alguo de los daos cales, la hoja de cálculo opera de al maera que auomácamee corrge odas las operacoes efecuadas co él. Supogamos ahora que el hoel al que se ha hecho refereca preede ofrecer u deermado servco drgdo a sus clees más jóvees que, para aalzar s resulará reable, desea coocer el porceaje de clees que ee ua edad gual o feror a 35 años cuál es el úmero de clees que ee ua edad superor a 35 años. Esa formacó puede obeerse a parr de la abla de dsrbucó de frecuecas. 1. Porceaje de clees co edad gual o feror a 35 años: Dado que o ha clees de 34 de 35 años, debemos deermar el porceaje de clees co edad gual o feror a 33 años. La frecueca relava acumulada correspodee a 33 años (0,54) dca que el 54 por ceo de los clees ee ua edad gual o feror a 33 años.. úmero de clees co edad superor a 35 años: Observado la columa de las frecuecas absoluas acumuladas, sabemos que ha 7 persoas que ee ua edad gual o feror a 33 años. S el úmero oal de clees es de 50, 3 (= 50 7) ee ua edad superor a 33, por ao, a 35 años, a que o ha clees de 34 de 35 años. Auque la abla de dsrbucó de frecuecas recoge oda la formacó dspoble respeco a ua varable, puede resular úl raducrla e u gráfco que perma asmlar rápdamee s esfuerzo sus prcpales caraceríscas. 13

22 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 1.3. Represeacoes gráfcas Las represeacoes gráfcas so u medo complemearo para descrbr el feómeo que se raa de aalzar. Ere ellas, puede hacerse refereca, báscamee, a los dagramas de líeas, de barras, a los hsogramas de frecuecas a los dagramas de secores. Los dagramas de líeas de barras se ulza cuado la varable oma u úmero reducdo de valores dferees; es decr, co dsrbucoes o agrupadas e ervalos. Esas represeacoes gráfcas se realza medae u ssema de ejes de coordeadas caresaas, omado, geeralmee, e el eje de abscsas, la escala para los valores de la varable e el de ordeadas, la escala para los valores de las frecuecas. S se represea u puo para cada par formado por u valor de la varable su correspodee frecueca, (x, ), se obee u cojuo de puos. S los puos ue co ua líea, se obee el dagrama de líeas. S para cada valor de la varable se raza ua barra vercal co alura gual a la frecueca, se obee el dagrama de barras. El hsograma de frecuecas se ulza cuado los valores de la varable esá agrupados e ervalos. Se ulza, ambé, u ssema de ejes de coordeadas caresaas. E el eje de abscsas se súa los ervalos de la varable, sobre ellos, omádolos como base, se cosrue recágulos de al forma que su área sea gual a la frecueca absolua de cada ervalo. S los ervalos so de amplud cosae, la alura de los recágulos cocdrá co las correspodees frecuecas absoluas, a que al ser las bases guales, las áreas depederá sólo de la alura. E cambo, s los ervalos so de amplud varable, la alura de los recágulos debe cocdr co la desdad de frecueca (d ), que se defe como el cocee ere la frecueca absolua la amplud de cada ervalo. Así, el área del recágulo (= base x alura) cocde co la frecueca absolua del ervalo. E efeco: Área = base x alura = c x d = c x ( / c ) = 14

23 Elaboracó de ablas de daos esadíscos E geeral, para represear feómeos cualavos, suele ulzarse los dagramas de secores, auque ése o es u uso exclusvo, pueso que ambé se ulza de forma geeralzada cuado se rabaja co varables. El dagrama cosse e dvdr u círculo e secores cuo águlo ceral sea proporcoal a la frecueca absolua correspodee, por cosguee, su área resule ambé proporcoal a dcha frecueca. Veamos alguos ejemplos de cada uo de esos pos de represeacoes gráfcas, ulzado la hoja de cálculo EXCEL. E prmer lugar, represeamos gráfcamee los 50 valores de la varable x = edad de los clees de u esablecmeo hoelero, coedos e la Tabla 1.8, a la que se ha hecho refereca e el epígrafe Para ello, e la hoja que coee los daos de la varable, se súa el cursor e ua celda e blaco e el meú Iserar se elge la opcó Gráfco. Esa sruccó ca el assee para gráfcos. Se abre eoces u cuadro de dálogo e el que se debe deermar el po de gráfco. Supogamos que se elge el po Líeas. Pchado co el raó el boó Sguee, el assee pde formacó respeco a s los daos de la varable que se desea represear se ha roducdo e flas o e columas. Marcamos la caslla de verfcacó Columas. A couacó debe dcarse el rago de daos que se desea represear, que esá formado por las celdas e las que fgura los valores de las frecuecas absoluas, a que ésas so las que deerma las aluras. Se pcha, eoces, la pesaña Seres, para dcar el ombre de la varable, que fgura e la celda A1, el rago de los Róulos del eje de caegorías (x), formado por las celdas correspodees a los valores de la varable, A:A18. El ercer paso del assee para gráfcos perme añadr, s se desea, el íulo, algua leeda, la ubcacó, ecéera. Ua vez falzado el gráfco, el cuadro de dálogo ofrece dos posbldades: suar el gráfco e ua hoja ueva, o be serarlo como u objeo e la msma hoja e la que se ha roducdo los daos. El resulado obedo será smlar al que se presea e el Gráfco

24 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Gráfco 1.1. Edad de los clees Sguedo el procedmeo descro, pero elgedo como po de gráfco Columas, se obee el dagrama de barras, que será aálogo al sguee: Gráfco 1.. Edad de los clees S como po de gráfco se elge Barras, se oma la escala para los valores de la varable e el eje de ordeadas para las frecuecas e el de abscsas, al revés de lo que hemos hecho hasa ahora. Veamos, a couacó, la represeacó de esa msma abla de daos seleccoado el po de gráfco Barras. 16

25 Elaboracó de ablas de daos esadíscos Gráfco 1.3. Edad de los clees Supogamos ahora que se desea efecuar la represeacó gráfca de los daos que coee la Tabla 1.6, relavos a la varable x = preco de las cosumcoes realzadas durae u día e ua cafeería, a la que se ha hecho refereca e el epígrafe Gráfco 1.4. Preco de las cosumcoes Para hacer ese gráfco co EXCEL, el procedmeo es el msmo que e el caso del dagrama de barras. Para dcar que el acho de las barras cocde co el amaño del ervalo, ha de seleccoarse Opcoes dero del Formao de Seres de Daos, que aparece al pulsar el boó derecho del raó cuado esá seleccoadas las barras, e roducr el valor cero como acho de rago. 17

26 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Para ver como se hace el gráfco cuado los ervalos so de amplud varable, vamos a ulzar la formacó coeda e la Tabla 1.11, que se refere a la varable x = úmero de días de esaca de los clees de u hoel. Tabla Días de esaca L -1 - L d = / c 4 6 3, , , ,60 E ese caso, el procedmeo es el msmo que e los aerores, excepo porque e el rago de daos debe dcarse las celdas e las que fgura los valores de las desdades de frecueca, obedas por cocee ere la frecueca absolua la amplud del ervalo. El resulado obedo será smlar al Gráfco 1.5, dode puede observarse que odas las columas ee el msmo acho, como s odos los ervalos uvese la msma amplud, pero la alura de las barras o cocde co la frecueca, so co la desdad de frecueca de cada ervalo. 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0 0,5 0, Gráfco 1.5. Días de esaca També podemos represear la varable x = preco de las cosumcoes, a la que a os hemos referdo, empleado el dagrama de secores. Para ello, se elge el 18

27 Elaboracó de ablas de daos esadíscos po de gráfco Crcular el resulado obedo será como el que se presea e el Gráfco Gráfco 1.6. Preco de las cosumcoes El gráfco de secores puede ulzarse ambé para represear u arbuo. Por ejemplo, supogamos que se dspoe de la formacó correspodee a la dsrbucó por movo del vaje de los vsaes de u deermado puo urísco que se presea e la Tabla 1.1. Tabla 1.1. Dsrbucó por movo del vaje Movo del vaje úmero vsaes Vacacoal 100 Relgoso 5 egocos 30 Vsas famlares amgos 0 Co esos daos, seleccoado el po Crcular, pero esa vez co la opcó Efecos e 3 dmesoes, obedremos u resulado smlar al que se recoge e el Gráfco 1.7. Auque los que hemos vso hasa ahora so los pos de gráfco más ulzados, la hoja de cálculo EXCEL ofrece muchas oras posbldades. Como ejemplo, hemos recogdo e los Gráfcos la formacó correspodee a la dsrbucó por movo del vaje, co alguos oros. E parcular, el Gráfco 1.8 correspode al po Clídrco el Gráfco 1.9 al po Barras rúsco. 19

28 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Vacacoal Relgoso egocos Vsas Gráfco 1.7. Movo del vaje Vacacoal egocos Gráfco 1.8. Movo del vaje Vsas 0 egocos 30 Relgoso 5 Vacacoal 100 Gráfco 1.9. Movo del vaje 0

29 TEMA AÁLISIS DE TABLAS DE DATOS ESTADÍSTICOS.1. Iroduccó La abla de dsrbucó de frecuecas proporcoa ua formacó deallada del comporameo de ua varable, cuas caraceríscas prcpales puede ser rápdamee vsualzadas medae u gráfco. Pero, e muchos casos, es eresae dspoer ambé de alguas meddas que resuma adecuadamee la formacó coeda e los daos, prcpalmee por lo que se refere a los valores cerales, la dspersó, la coceracó la forma. El esudo cojuo de odas esas caraceríscas perme eer ua vsó codesada complea del feómeo a aalzar. Así, por ejemplo, e el aálss de la edad de los clees de u deermado esablecmeo hoelero puede ser eresae coocer qué edad ee por érmo medo, cuál es la edad que ee la maoría de los clees, qué edad deja por ecma por debajo de ella el msmo úmero de clees, ecéera. Las meddas esadíscas que se ulza para cuafcar esas caraceríscas que se refere a los valores cerales de las varables se deoma meddas de poscó. Esas meddas de edeca ceral seza odos los valores de la dsrbucó, pero proporcoa sólo ua formacó parcal, especalmee s la varable oma valores mu dferees ere sí, pueso que, e al caso, los valores cerales de la sere so poco represeavos de la sere e su cojuo. Por eso debe valorarse ambé la dspardad o la dspersó de los daos. E el ejemplo propueso, la edad de los clees e promedo codesa la formacó dspoble respeco a los valores de la varable edad, pero o proporcoa gua formacó respeco a su varabldad. Sería eresae valorar ambé la dspardad de las edades, lo cual puede hacerse medae la ulzacó de alguas meddas de dspersó. 1

30 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Los valores de las meddas de dspersó so, como hemos dcho, dcavos de la maor o meor dspardad ere los valores de la varable, pero o proporcoa dealles respeco a la amplud del ervalo e el cual se cocera la maoría de dchos valores. E el ejemplo que vemos aalzado, es eresae coocer la edad de los clees e promedo algú dcador respeco al grado de dspersó de las edades. Pero dados los valores de esas meddas, la sere es mu dsa s la maoría de las edades esá mu coceradas e oro al promedo uos pocos valores so mu dsos que s la dsrbucó se repare aproxmadamee por gual ere odos los valores de la varable. Para proceder al aálss de esa cuesó se defe las meddas de coceracó. Por úlmo, ambé proporcoa formacó relevae las meddas relavas a la forma del hsograma de frecuecas, e especal, a su smería o asmería a su maor o meor apuameo. La dsrbucó de las edades es más o meos smérca s el úmero de valores de la edad que esá por ecma por debajo de uo dado es aproxmadamee el msmo. S la dsrbucó de las edades es apuada, la maoría de los valores de la edad se cocera e oro a uo dado, meras que s es plaa, los valores esá meos cocerados. Para cuafcar esas caraceríscas de la dsrbucó, se ulza las meddas de forma... Meddas de poscó de edeca ceral o cerales..1. Meddas de poscó de edeca ceral La meda arméca, o más abrevadamee el promedo o la meda, es la medda de poscó de edeca ceral más ulzada. Su cocepo es mu secllo, pueso que se raa de reparr por gual el valor global o cojuo de las observacoes de la varable ere el úmero de daos dspobles. Se defe, por ao, por cocee ere la suma de los valores de la varable el úmero oal de daos. Al calcularla debe eerse e cuea que para obeer la suma de los valores de la varable es ecesaro sumar los producos de cada valor por el úmero de veces que se repe; es decr, por su frecueca absolua.

31 Aálss de ablas de daos esadíscos Para dar la defcó de la meda e érmos aalícos, se la represea como x, meras que, como sabemos, x hace refereca a cada valor de la varable x a la frecueca correspodee a cada valor. De esa forma: x1 x 1 x x x x 1 La meda ee e cuea, por ao, odos los valores observados de la varable. Es uo de sus valores, probablemee o observado, vee dado e las msmas udades de medda. Veamos ahora, co u ejemplo, cómo se calcula la meda arméca e el caso más secllo de dsrbucoes o agrupadas e ervalos. E la Tabla.1 se presea los daos relavos a la edad de los parcpaes e ua acvdad recreava ofrecda e u paquee urísco. Tabla.1. Edad de los parcpaes Edad (x ) º de parcpaes ( ) Para obeer el promedo de edad de los parcpaes e la acvdad, se cosrue la Tabla., e la que se añade a la Tabla.1, la columa que recoge los producos de los valores de la varable por sus correspodees frecuecas la fla que recoge las sumas de las frecuecas absoluas de los producos de los valores de la varable por sus frecuecas absoluas. 3

32 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla.. Cálculos ermedos para la obecó de la meda x x Toal De la formacó que proporcoa la abla, se deduce el valor medo de la edad: x11 x x x x x ,08 50 Luego, los parcpaes e la acvdad ee ua meda de edad de 6 años, aproxmadamee. E el caso de las dsrbucoes agrupadas e ervalos, para el cálculo de la meda arméca se asume la coceracó e el puo medo de odos los valores cludos e cada ervalo, por ao, se ulza la marca de clase como valor represeavo. Tabla.3. Esablecmeos hoeleros segú el úmero de habacoes o de habacoes (L -1 L ) o de esablecmeos ( ) Por ejemplo, supogamos que se desea coocer cuáas habacoes ee, por érmo medo, los hoeles ubcados e u deermado mucpo, que se dspoe de la formacó recogda e la Tabla.3. 4

33 Aálss de ablas de daos esadíscos El procedmeo de cálculo es exacamee el msmo que e el caso de las dsrbucoes s agrupar, excepo porque e ese caso, ha de calcularse prevamee la marca de clase de cada ervalo, al como se muesra e la Tabla.4. Tabla.4. Cálculos ermedos para la obecó de la meda L -1 L x x ,50 3, ,50 1, , , , , , ,50 Toal 9 307,50 De la formacó que proporcoa esa abla, se deduce la meda de habacoes por hoel: x x 1 1 x... x 55 5 x 1 307,5 34,17 9 Luego, por érmo medo, los hoeles del mucpo ee uas 34 habacoes. El cálculo de la meda puede realzarse rápdamee co EXCEL. S los valores de la varable se repe ua sola vez, be porque o exse valores guales, be porque o se ha agrupado los valores comues, basa co roducr los daos suar el cursor e ua celda vacía, e la cual se ejecua la sruccó Iserar Fucó Esadíscas Promedo, especfcado el rago e el que se ha roducdo los daos. S las frecuecas absoluas o so uaras, la meda se obee sguedo las sruccoes que se presea e la Tabla.5, que proporcoará u resulado smlar al mosrado e la Tabla.6. E dchas ablas, x represea los dsos valores de la varable x e el caso de dsrbucoes s agrupar de las marcas de clase de los correspodees ervalos e el caso de dsrbucoes agrupadas. 5

34 Iroduccó a la Esadísca Descrpva El ejemplo umérco elegdo para lusrar el procedmeo correspode a los daos relavos a la edad de los parcpaes e la acvdad recreava ofrecda e el paquee urísco al que se refere la Tabla.1. Tabla.5. Procedmeo para la obecó de la meda co EXCEL A B C D 1 x x 18 =A*B (1) (1) 9 Toal (B:B8) () (C:C8) () 10 Meda =C9/B9 11 (1) Prevamee debe coparse la celda C () Iserar Fucó Maemácas Suma, para el correspodee rago de valores Tabla.6. Obecó de la meda co EXCEL A B C D 1 x x Toal Meda 6,08 11 La meda arméca ee alguas propedades eresaes, que so aplcables e dsos coexos. Ere oras, esá las sguees: 1. La suma de las desvacoes de los valores de la varable co respeco a su meda arméca es cero. 6

35 Aálss de ablas de daos esadíscos Esa propedad puede expresarse empleado el leguaje maemáco de la sguee forma: (x x) 1 0 E efeco: Suma de frecuecas absoluas = º de daos () x 1 (x x) (x x ) x x x x x Se mulplca dvde por Meda arméca ( x ). S a odos los valores de ua varable se les suma ua cosae k, la meda arméca queda aumeada e esa cosae; es decr, el valor de la meda se ve afecado por los cambos de orge. Para demosrarlo, parmos de ua dsrbucó (x, ), cua meda arméca esx. Cosderamos ahora ua ueva dsrbucó, resulado de efecuar u cambo de orge a la varable x, (x o, ). Segú esa propedad, la meda arméca de la ueva dsrbucó seráx o =x + k. E efeco: x o o x 1 (x k) 1 (x k ) 1 x 1 k 1 x k 3. S odos los valores de ua varable se mulplca por ua cosae k, su meda arméca ambé queda mulplcada por esa cosae; es decr, a la meda arméca le afeca los cambos de escala. Para demosrarlo, parmos de ua dsrbucó (x, ), cua meda arméca esx. Cosderamos ahora ua ueva dsrbucó, resulado de efecuar u cambo de escala a la varable x, (x e, ). Segú esa propedad, la meda arméca de la ueva dsrbucó seráx e = kx. 7

36 Iroduccó a la Esadísca Descrpva E efeco: x e e x 1 (kx ) 1 k x 1 kx 4. La suma de los cuadrados de las desvacoes de los valores observados de la varable respeco a ua cosae cualquera k es míma cuado dcha cosae es la meda arméca. Esa propedad puede expresarse e érmos maemácos de la sguee forma: S (x k) 1 es míma s k x Para demosrar esa propedad, recordamos que la prmera codcó de mímo de ua fucó es que sea ula su dervada. E ese caso, la dervada de S co respeco a k debe ser ula. Por ao, se obee la dervada de S co respeco a k, se guala a cero se resuelve, para deducr el valor que ha de eer k para que la codcó de mímo se cumpla. S (x k) k 1 0 (x k) (x k ) x k x k k x 1 x 5. S de u cojuo de daos se obee p subcojuos dsjuos; es decr, que o ee gú elemeo e comú, la meda arméca del cojuo se relacoa co las medas armécas de los subcojuos a ravés de la expresó: x x 1 1 x... x P p p x 1 8

37 Aálss de ablas de daos esadíscos E efeco, cosderemos ua dsrbucó formada por los valores de ua varable, co la que se forma dos subcojuos que o ee valores e comú: el prmero de ellos, coee los j prmeros valores de la varable el segudo coee los j elemeos resaes, de al maera que el prmer subcojuo ee 1 daos el segudo = 1 daos 1 + =. x x 1 1 x x j j x j+1 j+1 x j+ j+ x 1 Eoces: x 1 x 1 j1 1 x j j1 x x 1 1 1x1 x j x Aalzamos, a couacó, alguos ejemplos práccos e los que resula úl aplcar esas propedades: 1. Cco empresaros dsos ha elaborado el presupueso para u deermado complejo urísco. Las valoracoes de cada uo de ellos, e mles de euros, ha sdo las sguees: Tabla.7. Presupuesos Empresaro Presupueso A 78 B 84 C 75 D 788 E 84 9

38 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Como cálculo defvo se opó por cosderar la meda de esos cco valores, de maera que el presupueso se cfró e 797,6 mles de euros. Al revsar las cfras, s embargo, se observó que guo de los empresaros había edo e cuea los gasos de prmer esablecmeo, que ascede a 60 ml euros, que debería haber sdo sumados e odos los presupuesos propuesos aes de calcular la meda. Teedo e cuea esa formacó, cuál sería el presupueso correco? S a odos los valores de la varable se le debe sumar k = 60 ml euros (es decr, 60 udades, pueso que los presupuesos esá expresados e mles de euros) de gasos de prmer esablecmeo, x o x k = x + 60, lo que equvale a efecuar u cambo de orge de la varable. Comox o =x + k = 797, = 857,6, luego el presupueso alcazaría la cfra de 857,6 mles de euros.. Sabedo que u euro equvale a 166,386 peseas, cuál sería el valor del presupueso preseado como defvo e el aparado aeror expresado e mles de peseas? Se raa de u cambo e las udades de medda de la varable; es decr, de u e cambo de escala, pueso que cada valor de la varable e mles de peseas sería x = 166,386x = kx. Comox e = kx = 166,386 x 857,6 = 14.69,634. Luego el presupueso medo, ua vez efecuado el cambo de escala, sería de 14.69,634 mles de peseas. 3. De ua deermada dsrbucó de frecuecas se sabe que la suma de los cuadrados de las desvacoes de los valores observados de la varable respeco a ua cosae cualquera k es míma cuado k = 57. Qué formacó proporcoa ese dao? Sabemos que (x k) es míma cuado k =x. 1 Luego s esa expresó es míma cuado la cosae k es gual a 57, 57 es el valor de la meda arméca. 30

39 Aálss de ablas de daos esadíscos 4. E u parque de araccoes la meda de gasos por vsae es de 4 euros. Sabedo que los adulos gasa ua meda de 6 euros los ños gasa ua meda de 1 euros, calcule el porceaje de adulos de ños que vsa el parque. Sabemos que la meda de gaso del cojuo de los vsaes del parque es de 4 euros. Coocemos ambé los valores de las medas correspodees a dos subcojuos dsjuos formados, el prmero de ellos, por los adulos, cua meda de gaso es de 6 euros el segudo, por los ños, cua meda de gaso es de 1 euros. Falmee, ambé sabemos que el oal de vsaes del parque es la suma de los adulos los ños, = 1 +, luego s al parque era 1 adulos, los ños so = 1. La meda del cojuo de los daos se relacoa co la meda de los subcojuos a ravés de la expresó: x1 x x 1 Luego: 1 6 ( 1 )1 4 de dode: 4 = = 5 3 Y el porceaje de adulos sobre el oal es: P 1 = Es decr, el 60 por ceo de los vsaes del parque so adulos el 40 por ceo resae so ños. 31

40 Iroduccó a la Esadísca Descrpva E el aálss cuaavo del Secor Turísco ambé es de uso frecuee la meda arméca poderada, que se deoa comox w. La peculardad es que, e el cálculo de esa meda, se le asga a cada valor de la varable ua poderacó o peso (w ) dso de su correspodee frecueca absolua. La expresó geeral para su cálculo es la sguee: x w x1w1 x w... x w w w... w 1 x w 1 w 1 Veamos, co u ejemplo, e qué casos puede eer erés, cuál es el procedmeo de cálculo para la obecó de esa medda. Supogamos que se dspoe de los daos relavos al gaso daro esmado e euros de los ursas de ua deermada zoa, segú la caegoría a la que correspode el esablecmeo hoelero e el que se aloja. Tabla.8. Gaso daro Caegoría Gaso (x ) Tres esrellas 10 1 Dos esrellas 60 1 Ua esrella 30 1 S para calcular el gaso medo daro se ulza ua meda arméca smple, se deduce que por érmo medo los ursas gasa al día 70 euros, a que: x x 1 1 x x x Ahora be, supogamos que se dspoe, además, de la formacó recogda e la Tabla.9 respeco al úmero de hoeles de cada caegoría que se ubca e dcha zoa. Sabemos, por ao, que e la zoa se ubca 80 hoeles, de los cuales cas el 60 por ceo so de ua esrella, algo más del 30 por ceo so de dos esrellas sólo u 10 por ceo so de res esrellas. Para obeer u valor del gaso medo más 3

41 Aálss de ablas de daos esadíscos realsa, por ao, el de los ursas alojados e hoeles de ua esrella debe pesar e el cálculo de la meda el 60 por ceo del oal, el de los alojados e hoeles de dos esrellas el 30 por ceo del oal el de los alojados e hoeles de res esrellas el 10 por ceo del oal. Tabla.9. Gaso daro Caegoría o de hoeles Gaso (x ) Tres esrellas Dos esrellas Ua esrella Por eso, e u caso como ése, sería más apropado calcular ua meda arméca poderada, ulzado como poderacoes el úmero de esablecmeos de cada caegoría. De ese modo, se ee: x w x1w1 x w x 3w w w w x w 1 3 w , Luego el gaso medo daro sería de 48,38 euros, free a los 70 euros que se obee como meda arméca smple. Para la obecó de la meda poderada co EXCEL, el procedmeo es el msmo que el que se ulza para obeer la meda smple, susuedo e las correspodees sruccoes el valor de la frecueca absolua por el de los facores de poderacó para cada valor. Ora de las meddas de poscó de edeca ceral es la medaa, que se deoa como M e, es el valor de la varable que súa el msmo úmero de daos por ecma que por debajo de él, sempre cuado los valores de la varable esé ordeados de forma crecee o decrecee, como es habual. 33

42 Iroduccó a la Esadísca Descrpva S las frecuecas absoluas so uaras; es decr, cada valor de la varable se repe ua sola vez, be porque o exse valores guales, be porque o se ha agrupado los valores comues, para obeer el valor de la medaa ha de cosderarse dos suacoes: 1. El úmero de daos es mpar: e ese caso la medaa es el valor de la varable que ocupa el lugar ceral de la sere. Así, s los daos de la varable so, 5, 6, 9, 15 la medaa es M e = 6, a que ese valor deja dos daos por ecma dos por debajo de él.. El úmero de daos es par: e ese caso, e la dsrbucó ha dos valores cerales, guo de ellos es exacamee la medaa, so que, geeralmee, se oma como medaa la meda arméca de los dos valores. Por ejemplo, s los daos de la varable so 3, 4, 7, 9, 15, 0, 3, 4, los valores cerales so 9 15, que deja res daos por ecma res por debajo de ellos. La medaa será, pues, M e = (9 + 15) / = 1. Cuado se raa de obeer la medaa para dsrbucoes o agrupadas e ervalos co frecuecas absoluas dsas de uo, e prmer lugar, se calcula las frecuecas absoluas acumuladas correspodees a cada valor de la varable. A couacó, separamos la dsrbucó e dos mades, calculado el valor de ½. Falmee, se busca, e la columa correspodee a las frecuecas absoluas acumuladas, el prmer valor que es superor o gual a ½. S la frecueca absolua acumulada supera a ½, la medaa es el valor x de la varable correspodee a dcha frecueca. E el caso de que la frecueca absolua acumulada cocda exacamee co ½, covecoalmee se oma como medaa la meda arméca del valor x de la varable al que correspode dcha frecueca el sguee, x +1. Veamos u par de ejemplos, co los daos que fgura e las Tablas.10.11, que correspode al úmero de persoas que pracca ua deermada acvdad de empo lbre segú las horas semaales que le dedca, e dos esablecmeos dsos. 34

43 Aálss de ablas de daos esadíscos E el prmer caso, el úmero oal de daos es = 5. Luego, ½ = 1,5. La prmera frecueca absolua acumulada maor que 1,5 es 3 = 14. Por ao, la medaa es el valor de la varable al que le correspode 3 = 14; es decr, x 3 = 5. Por ao, e el prmer esablecmeo, el úmero de persoas que dedca 5 horas o meos 5 horas o más a la semaa a dcha acvdad es el msmo. Tabla.10. Obecó de la medaa e el Caso 1 x M e = > ½ Tabla.11. Obecó de la medaa e el Caso x M e = ½ (5+7) = ½ E el segudo caso, el úmero oal de daos es = 4. Luego, ½ = 1. Al observar la columa de las frecuecas absoluas acumuladas resula que 3 vale 1; es decr, que cocde exacamee co ½. El valor de la varable al que le correspode 3 = 1 es x 3 = 5, la medaa es: M e x x Es decr, e el segudo esablecmeo, el úmero de persoas que dedca 6 horas o meos 6 horas o más a la semaa a dcha acvdad es el msmo. 35

44 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Para dsrbucoes agrupadas e ervalos, depedeemee de que su amplud sea cosae o varable, ese procedmeo perme deermar el ervalo e el que se ecuera la medaa, pero o su valor, que se aproxma medae la expresó: M e L 1 1 c dode L -1 es el líme feror del ervalo correspodee a la prmera frecueca acumulada maor o gual que ½, c es la amplud del ervalo, es la frecueca absolua correspodee a dcho ervalo -1 es la frecueca acumulada correspodee al ervalo medaamee aeror. Para lusrarla, ulzamos la dsrbucó de frecuecas que fgura e la Tabla.1, que se refere al úmero de vajes daros de los auobuses de ua deermada compañía, clasfcados e fucó de la dsaca recorrda e klómeros. Tabla.1. Obecó de la medaa L -1 L I. M e = > ½ El úmero oal de daos es = 100. Luego, ½ = 50. La prmera frecueca absolua acumulada maor que 50 es 3 = 58; por ao, la medaa esará e el ervalo 4 6. Para cocrear su valor: M e ,43 8 Es decr, 5,43 klómeros es la dsaca que deja gual úmero de vajes por debajo que por ecma de ella, o lo que es lo msmo, los auobuses de esa compañía 36

45 Aálss de ablas de daos esadíscos efecúa el msmo úmero de vajes a ua dsaca feror o gual a 5,43 klómeros que a ua dsaca gual o superor a 5,43 klómeros. També e las dsrbucoes agrupadas e ervalos puede suceder, auque es poco frecuee, que la frecueca absolua acumulada cocda exacamee co ½. E al caso, la medaa cocde exacamee co el líme superor del ervalo al que correspoda dcha frecueca acumulada. Para el cálculo de la medaa co EXCEL e el caso de frecuecas uaras, se roduce los valores de la varable se súa el cursor e ua celda vacía. Se seleccoa e el meú la opcó Iserar Fucó Esadíscas Medaa, e el cuadro de dálogo que se abre, se dca el rago e el que se ha roducdo los daos. Al Acepar, se obee el valor de la medaa. Cuado las frecuecas o so uaras, ua opcó es desagrupar los daos para que ega frecuecas uaras, ulzado adecuadamee las sruccoes Copar Pegar, ulzar el procedmeo auomáco descro e el párrafo aeror. Ora opcó es calcular las frecuecas absoluas acumuladas e la forma descra e el epígrafe 1..3, efecuar las operacoes maemácas que defe la medaa, segú que se rae de ua dsrbucó agrupada o o agrupada e ervalos. La moda es el valor de la varable que más veces se repe; es decr, el que ee ua maor frecueca absolua. E geeral, o suele ulzarse como úca medda de poscó, so que se presea acompañado a la meda o a la medaa. La excepcó es el caso de los arbuos, a que es la úca de las meddas de edeca ceral que puede obeerse. E el caso de dsrbucoes o agrupadas e ervalos, la deermacó de la moda es medaa. Smplemee, es el valor x de la varable al que le correspode u valor maor de la frecueca absolua. Veamos u ejemplo, co los daos del úmero de persoas que pracca ua deermada acvdad de empo lbre segú las horas semaales que le dedca, a los que a os hemos referdo. 37

46 Iroduccó a la Esadísca Descrpva E el prmer esablecmeo, la moda es x 3 = 5 horas, pueso que la maor frecueca absolua regsrada es 3 = 8. Tabla.13. Obecó de la moda e el Caso 1. M o = 5 x > = 8 Tabla.14. Obecó de la moda e el Caso. M o = 7 x > = 7 E el segudo esablecmeo, s embargo, la moda es x 4 = 7 horas, pueso que la maor frecueca absolua regsrada es 4 = 7. Para las dsrbucoes agrupadas e ervalos de gual amplud, se ulza ese msmo procedmeo para deermar el ervalo modal. Pero, de forma smlar a lo que sucede e el caso de la medaa, hemos de cocrear el valor aproxmado de la moda a ravés de la sguee expresó: M o L c dode L -1 es el exremo feror del ervalo al que le correspode ua maor frecueca absolua, -1 es la frecueca absolua correspodee al ervalo medaamee aeror al modal, +1 es la frecueca absolua del ervalo sguee al modal c es la amplud del ervalo modal, que, e ese caso de amplud cosae, cocdrá co la de los demás. 38

47 Aálss de ablas de daos esadíscos Así, por ejemplo, la Tabla.15 recoge la formacó correspodee al úmero de servcos presados por las empresas de resauracó de ua deermada zoa, agrupados e ervalos de gual amplud. Tabla.15. Obecó de la moda L -1 - L I. M o > = La frecueca absolua más elevada es 3 = 1. Sabemos, pues, que la moda esá e el ervalo Para cocrear aproxmadamee su valor: M o , El valor de la dsrbucó que más veces se repe es, por ao, 130,77. E el caso de dsrbucoes agrupadas e ervalos de amplud varable, para obeer la moda, e lugar de las frecuecas absoluas se ulza las desdades de frecueca, el ervalo modal es aquél al que le correspode la maor. Para cocrear su valor: M o L 1 d d 1 1 d 1 c que es déca a expresó ulzada e el caso de dsrbucoes agrupadas e ervalos de gual amplud, excepo porque, como hemos dcho, las desdades de frecueca susue a las frecuecas absoluas. Para lusrar el procedmeo para su obecó, se ulza los daos que correspode a la dsrbucó de frecuecas de la varable úmero de empleados e acvdades del secor hoselería e u deermado mucpo, que se recoge e la Tabla

48 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla.16. Obecó de la moda L -1 L d ,50 I. M o ,00 >d = , ,0 La desdad de frecueca más elevada es d = 3, luego la moda esará e el ervalo Para deermar su valor aproxmado: M o ,57 1,5 Luego, 18,57 es la aproxmacó del valor de esa dsrbucó que más veces se repe. E odas las dsrbucoes que hemos vso hasa ahora la moda es úca. S embargo, dada su defcó, es obvo que eso o es ecesaramee así. Co frecueca, podemos ecorar dsrbucoes bmodales, rmodales, ecéera, que ee más de ua moda. Para la obecó de la moda co EXCEL sólo es ecesaro obeer los valores de las frecuecas absoluas sguedo el proceso descro e el epígrafe 1..3., e el caso de dsrbucoes agrupadas, efecuar las operacoes maemácas que defe la moda segú que los ervalos sea de amplud cosae o varable. E defva, ao la moda como la medaa la meda so dcadores de la edeca ceral de las varables, su cálculo es u smple proceso mecáco que o ee gua dfculad. La medda más ulzada es, s duda, la meda arméca, e la que se basa mulud de éccas de aálss esadísco. S embargo, cuado e la dsrbucó ha valores exremos, la meda, al eer e cuea odos cada uo de los valores de la varable, puede proporcoar ua represeacó dsorsoada de la edeca ceral 40

49 Aálss de ablas de daos esadíscos de los daos. E ese caso, la medaa o la moda, a las que o les afeca los valores exremos, proporcoa u valor más realsa de dcha edeca. Por ora pare, s los daos so de auraleza cualava, la meda la medaa puede obeerse, de al maera que la moda es la úca medda de edeca ceral dspoble.... Meddas de poscó o cerales Los dcadores aalzados e el epígrafe aeror proporcoa u valor ceral que puede cosderarse que seza o codesa el cojuo de valores de ua varable. De las res meddas que se ha cosderado, sólo la medaa hace refereca a ua deermada poscó dero del cojuo de valores de la varable, pueso que deja la mad de los valores de la varable por debajo por ecma de ella. Esa dea respeco a la poscó se puede geeralzar defedo u cojuo de dcadores, que se deoma cuales, que perme deermar que poscó ocupa u valor cocreo de la varable respeco al cojuo de sus valores, pueso que so los puos de la dsrbucó que la dvde e ervalos que comprede el msmo úmero de valores. Ere los cuales de uso más frecuee esá los cuarles, que so los res valores de la dsrbucó que la dvde e cuaro pares guales; es decr, e cuaro ervalos dero de cada cual esá cludos el 5 por ceo de los valores de la varable. De forma smlar puede defrse los qules, que dvde la dsrbucó e cco pares guales, los decles, que la dvde e dez pares guales, los perceles, que la dvde e 100 pares guales. osoros os ceraremos solamee e los cuarles. Tal como se muesra e el dagrama de la pága sguee, el prmer cuarl Q 1 es el valor de la dsrbucó que ocupa el lugar ¼, deja a su zquerda el 5 por ceo de los daos el 75 por ceo resae a su derecha. El segudo cuarl Q es valor de la dsrbucó que ocupa el lugar ¼ = ½, que deja a su zquerda el 50 por ceo de los daos el 50 por ceo resae a su derecha, de al maera que cocde co la medaa. El ercer úlmo cuarl Q 3 ocupa el lugar 3 ¼, deja a su 41

50 Iroduccó a la Esadísca Descrpva zquerda el 75 por ceo de los daos a su derecha el 5 por ceo resae. El méodo de cálculo es smlar al que hemos vso para la medaa. Q 1 Q = M e Q 3 /4 /4 /4 /4 ¼ ¼ 3 ¼ E el caso de dsrbucoes o agrupadas e ervalos, e prmer lugar, debe obeerse las frecuecas absoluas acumuladas correspodees a cada valor de la varable. Para obeer el prmer cuarl, se dvde el úmero oal de daos ere cuaro, se seleccoa el prmer valor de la columa de frecuecas absoluas acumuladas maor o gual que ¼ el valor de la varable al que le correspode esa frecueca acumulada es el prmer cuarl. Para obeer el segudo o el ercer cuarl hemos de calcular ¼ = ½ o 3 ¼, respecvamee, reper el procedmeo descro. Así por ejemplo, supogamos que se dspoe de los daos recogdos e la Tabla.17, respeco a los precos, expresados e euros, de las bebdas servdas e ua cafeería al úmero de cosumcoes realzadas a cada preco. El prmer cuarl Q 1 es el valor de la dsrbucó que ocupa el lugar ¼ = 18,75. El prmer valor de la columa de frecuecas absoluas acumuladas que lo supera es 1 = 0. Por ao, Q 1 = 1. Luego e el grupo formado por el 5 por ceo de las bebdas más baraas servdas, el preco máxmo es de u euro. Podemos ambé calcular el preco más bajo que edrá ua bebda e el grupo formado por el 5 por ceo de las bebdas más caras. Esa cfra es el valor que oma el ercer cuarl, Q 3 que es el que correspode a la prmera frecueca absolua acumulada maor o gual a 3 ¼ = 56,5. Por ao, Q 3 es gual a 3 a que 65 es el prmer valor de la columa correspodee a las frecuecas absoluas acumuladas maor que 56,5. 4

51 Aálss de ablas de daos esadíscos Tabla.17. Obecó de los cuarles Q 1 = 1 Q 3 = 3 x 1,00 0 0, , , , > ¼ 4 > 3 ¼ E el caso de dsrbucoes agrupadas e ervalos, al gual que sucede co la medaa, el hecho de que los ervalos sea de amplud cosae o varable o afeca al cálculo de los cuarles. Sguedo el méodo que acabamos de expoer, se obee el ervalo e el que se ecuera los cuarles. Su valor aproxmado puede cocrearse por medo de la expresó: Q r L 1 r 4 1 c dode r oma el valor 1, ó 3 segú que se rae del prmer, segudo o ercer cuarl, L -1 es el líme feror del ervalo correspodee a la prmera frecueca absolua acumulada maor o gual que ¼, c es la amplud del ervalo, su frecueca absolua -1 la frecueca absolua acumulada correspodee al ervalo medaamee aeror. Para lusrar el caso de las dsrbucoes agrupadas, se dspoe de la formacó que proporcoa la Tabla.18, e la que fgura los sueldos mesuales de los empleados de u esablecmeo hoelero e u año deermado. Los sueldos varía ere euros. Ulzado los cuarles, se puede dvdr la dsrbucó e cuaro pares guales, de al forma que, por ejemplo, el ercer cuarl dca cuáo gaa como mímo u empleado que se súa e el grupo formado por el 5 por ceo de los empleados que maor sueldo ee. 43

52 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla.18. Obecó de los cuarles I. Q 3 L -1 - L > 3 ¼ Para coocer el valor de la dsrbucó que ocupa el lugar 3 ¼ = 71,5, e prmer lugar, se deerma e qué ervalo esá suado. La prmera frecueca absolua acumulada maor que 71,5 es 4 = 80, luego el ercer cuarl omará u valor compreddo ere euros. Para cocrearlo: ,5 60 Q3 L 1 C Por lo ao, como mímo, u empleado que se súa e el grupo formado por el 5 por ceo de los que maor sueldo ee, gaa 1.17 euros. Al gual que ocurría co la medaa, la obecó de los cuarles co EXCEL es mu seclla, sempre cuado los valores de la varable se repa ua sola vez, be porque o exse valores guales, be porque o se ha agrupado los valores comues. Para ello, después de roducr los daos, se súa el cursor e ua celda e blaco se seleccoa e el meú Iserar, la opcó Fucó Esadíscas Cuarles. E el cuadro de dálogo que se abre se dca, e Marz, el rago e el que hemos roducdo los valores de la varable, e Cuarl, 1, ó 3 segú queramos calcular el prmer, segudo o ercer cuarl. Cuado las frecuecas o so uaras, ua opcó es desagrupar los daos para que ega frecuecas uaras, ulzado adecuadamee las sruccoes Copar Pegar, ulzar el procedmeo auomáco descro e el párrafo aeror. Ora opcó es calcular las frecuecas absoluas acumuladas e la forma descra e el epígrafe 1..3, efecuar las operacoes maemácas que defe los cuarles, segú que se rae de ua dsrbucó agrupada o o agrupada e ervalos. 44

53 Aálss de ablas de daos esadíscos.3. Meddas de dspersó absoluas relavas Las meddas de poscó de edeca ceral perme codesar la formacó dspoble respeco a ua varable, pero su uldad depede de hasa qué puo esas meddas de síess so represeavas de la dsrbucó. S, por ejemplo, deermamos la meda arméca de la edad de dos dvduos que ee años, el resulado que se obee es el msmo que s calculamos la meda de edad de oros dos dvduos que ee 5 35 años. E cualquera de los dos casos, la edad promedo es de 30 años. S embargo, e el prmer caso, 30 es u valor escasamee represeavo de los valores 10 50, que esá cosderablemee alejados de él, pueso que la desvacó de cada valor co respeco a la meda es de 0 udades. E el segudo caso, s embargo, 30 es u valor razoablemee represeavo de 5 35, que o so valores excesvamee alejados de él, pueso que la desvacó de cada valor respeco a la meda es de 5 udades. S queremos coocer e qué grado la meda arméca de ua dsrbucó resume adecuadamee el cojuo de los daos, debe aalzarse la desvacó de cada valor respeco a la meda, a que s odos los valores esá próxmos a ella, es represeava, pero e caso coraro, es poco represeava de la sere de daos sólo proporcoa ua formacó parcal respeco a su comporameo. E cosecueca, para evar coclusoes erróeas, complear la formacó que proporcoa las meddas de poscó, hemos de presearlas acompañadas de, al meos, ua medda de dspersó que dque el grado de proxmdad que exse ere los valores de la varable. Esa varabldad o dspersó puede valorarse a parr de la maor o meor desvacó de los valores de la varable respeco a cualquera de las meddas de poscó de edeca ceral. Dado que la más ulzada es la meda arméca, e ese epígrafe os refermos a las meddas de dspersó respeco a ella, absoluas, como la varaza la desvacó ípca, relavas, como el coefcee de varacó de Pearso. 45

54 Iroduccó a la Esadísca Descrpva.3.1. Meddas de dspersó absoluas La varaza, s, es u dcador de la dspersó de los daos co respeco al valor medo de la varable. Se defe como el promedo de los cuadrados de las desvacoes de los valores de la varable respeco a su meda arméca, poderados por sus respecvas frecuecas: s (x 1 x) 1 (x x)... (x x) (x x) 1 Para calcular la varaza o es precso hallar las dferecas ere los valores de la varable la meda para elevarlas al cuadrado, a que, operado e el umerador de la fraccó que la defe: (x x) (x xx x ) (x xx x ) x x x x x x(x) x x x 1 1 Eoces: s (x x) 1 1 x x 1 1 x 1 x El valor umérco de la varaza es maor cuao más dspersos esá los valores de la varable, por ao, cuao meos represeava es la meda. Dada su defcó, la varaza esá expresada e las udades de medda de la varable elevadas al cuadrado. Para expresar la varabldad e las msmas udades que la varable, se defe la desvacó ípca o desvacó esádar, s, como la raíz cuadrada posva de la varaza. 46

55 Aálss de ablas de daos esadíscos Veamos, ahora, co u ejemplo, cómo se calcula la varaza la desvacó ípca e el caso más secllo de dsrbucoes o agrupadas e ervalos. Para ello, vamos a ulzar de uevo los daos correspodees a la edad de las 50 persoas que parcparo e ua acvdad recreava, que ha servdo a e el epígrafe..1 para lusrar el cálculo de la meda arméca. Tabla.19. Cálculos ermedos para la obecó de la varaza x x Toal Sabemos que la edad promedo de los parcpaes es de 6,08 años. Para obeer la varaza, se cosrue la columa de producos x la fla de oales de esa columa de la de frecuecas absoluas. Co esa formacó, se ee: s x x 6,08 70,3 s 70,3 8,38 50 La desvacó ípca de la edad de los parcpaes e la acvdad es, por ao, 8,38 años. Al gual que para la meda arméca, e el caso de dsrbucoes agrupadas e ervalos, para el cálculo de la varaza se ulza la marca de clase como represeae de cada ervalo. Como ejemplo, ulzamos de uevo los daos relavos a los esablecmeos hoeleros ubcados e u deermado mucpo, clasfcados por el úmero de 47

56 Iroduccó a la Esadísca Descrpva habacoes, que se ha empleado a e el epígrafe..1, para el cálculo de la meda arméca co ese po de dsrbucoes. Tabla.0. Cálculos ermedos para la obecó de la varaza L -1 L x x , , , , , , , , , ,5 Toal ,5 Sabemos que el valor medo de la varable es de 34,17 habacoes. Eoces: s x ,5 x 34,17 67,55 s 67,55 5,05 9 Y la desvacó ípca resula gual a 5,05 habacoes. Para la obecó de la varaza la desvacó ípca co EXCEL cuado las frecuecas so uaras, ua vez roducdos los daos, se súa el cursor e ua celda vacía se ejecua la sruccó Iserar Fucó Esadíscas Varaza (o Desvacó Típca). Se abre u cuadro de dálogo e el que se dca el rago e el que esá los valores de la varable al Acepar, se obee el resulado. Cuado las frecuecas o so uaras, las sruccoes que debe segurse fgura e la Tabla.1. Al ejecuarlas, el resulado obedo será smlar al mosrado e la Tabla.. E esas ablas, x represea los dsos valores de la varable para dsrbucoes s agrupar las correspodees marcas de clase para las dsrbucoes agrupadas. El ejemplo umérco elegdo para lusrar el procedmeo correspode a los daos relavos a la edad de los parcpaes e ua acvdad recreava. 48

57 Aálss de ablas de daos esadíscos Tabla.1. Procedmeo para la obecó de la varaza co EXCEL A B C D 1 x x 18 =A^*B (1) (1) 9 Toal (B:B8) () (C:C8) () 10 Varaza =(C9/B9) 6,08 11 Desvacó ípca =Raíz(B10) (3) (1) Prevamee debe coparse la celda C () Iserar Fucó Maemácas Suma, para el correspodee rago de valores (3) Iserar Fucó Maemácas Raíz, para el correspodee rago de valores Tabla.. Obecó de la varaza co EXCEL A B C D 1 x x Toal Varaza 70,3 11 Desvacó ípca 8,38 Alguas de las propedades más eresaes de la varaza la desvacó ípca so las sguees: 1. Como se deduce de su defcó, la varaza la desvacó ípca so sempre posvas, pueso que la varaza es el cocee de ua suma de cuadrados (es decr, es ua suma e la que odos los sumados so posvos) el úmero de daos ( > 0) la desvacó ípca es su raíz cuadrada posva. 49

58 Iroduccó a la Esadísca Descrpva. A la varaza a la desvacó ípca o les afeca los cambos de orge; es decr, s a odos los valores de ua varable se les suma ua cosae k, la varaza la desvacó ípca o varía. Para demosrarlo, parmos de ua dsrbucó de frecuecas (x, ), co meda armécax varaza s. S se efecúa u cambo de orge, la meda arméca de la ueva dsrbucó (x o, ) esx o =x + k. E cuao a la varaza: s o o (x 1 o x ) (x k x k) 1 (x x) 1 s S a la varaza o le afeca el cambo de orge, ampoco le afeca a la desvacó ípca: s o s o s s 3. A la varaza a la desvacó ípca les afeca los cambos de escala, pueso que al mulplcar odos los valores de ua varable por ua cosae k, la desvacó ípca queda mulplcada por dcha cosae, la varaza por su cuadrado. Para demosrarlo, parmos de ua dsrbucó de frecuecas (x, ), co meda armécax varaza s. S se efecúa u cambo de escala, la meda arméca de la ueva dsrbucó (x e, ) esx e = kx. E cuao a la varaza: s e e (x 1 e x ) (kx kx) 1 k 1 (x x) k s Por cosguee, la desvacó ípca de la ueva dsrbucó quedará mulplcada por la cosae k, a que: s e s e k s ks 50

59 Aálss de ablas de daos esadíscos U problema que se plaea co frecueca es el de comparar la dspersó de dos o más dsrbucoes. Dado que las desvacoes ípcas mde la dspersó e oro a la meda vee dadas e las msmas udades de medda que la correspodee varable, sólo so drecamee comparables cuado so guales las medas armécas las dos varables que se preede comparar esá dadas e las msmas udades. E oro caso, es correco efecuar la comparacó a ravés de las desvacoes ípcas, hemos de recurrr a algua de las meddas de dspersó relavas, que se cocrea e forma de cocee. Ere ellas esá el coefcee de aperura, el recorrdo relavo oras, pero ua de las más ulzadas es el coefcee de varacó de Pearso..3.. Meddas de dspersó relavas El coefcee de varacó, CV, se defe por cocee ere la desvacó ípca la meda arméca de la varable e dca, por ao, el úmero de veces que la desvacó ípca coee a la meda. Dado que la desvacó ípca la meda esá expresadas e las msmas udades, al efecuar el cocee, el valor que se obee es admesoal. El valor mímo del coefcee de varacó es cero, que es el valor que oma cuado es gual a cero el umerador de la fraccó; es decr, la desvacó ípca. E al caso, odos los valores de la varable so guales a la meda, de maera que la dspersó de los valores e oro a la meda es ula la meda es ua represeacó perfeca de la sere de daos. La meda es ao más represeava cuao más próxmo a cero esá el coefcee de varacó, cuao más elevado es el coefcee de varacó, meos represeava es la meda. El coveee de esa medda es que s es gual a cero el deomador de la fraccó; es decr, la meda de la varable, carece de sgfcado. Veamos u ejemplo de su aplcacó. Supogamos que el salaro medo mesual de los rabajadores del Hoel A es de 589 euros al mes su desvacó ípca de 74,5 euros; que el salaro medo mesual de los rabajadores del Hoel B es de 691 euros 51

60 Iroduccó a la Esadísca Descrpva al mes su desvacó ípca de 49 euros. Cuál de los dos salaros medos es más represeavo de su dsrbucó? Se observa, e prmer lugar, que auque las dos varables que se desea comparar esá meddas e las msmas udades, o ee medas guales, por lo que o sería correco comparar drecamee los valores de las desvacoes ípcas, que so meddas de dspersó respeco a la meda arméca. Calculamos, por ao, los correspodees coefcees de varacó. s 74,5 CV A = A = 0,165 (1,65 por ceo) x 589 A s 49 CV B = B = 0,710 (71,0 por ceo) x 691 B El salaro medo mesual es más represeavo e el caso del Hoel A, a que la dspersó es mucho meor. De hecho, e el caso del Hoel B, la meda del salaro o es represeava de la dsrbucó, pueso que la dspersó es mu elevada: la desvacó ípca es más del 70 por ceo del valor medo de la varable..4. Meddas de forma Para aalzar la forma de las dsrbucoes, e parcular, vamos a referros a dos de sus caraceríscas prcpales: la asmería el apuameo. Co respeco a la asmería, se dce que ua dsrbucó de frecuecas es smérca cuado los valores de la varable equdsaes de u valor ceral (por ejemplo, la meda arméca) ee la msma frecueca absolua. E al caso, su represeacó gráfca es al que la mad de la msma es gual a la ora mad. S se doblase por la mad el hsograma de frecuecas de la varable, las dos mades sería semejaes. E oro caso, la dsrbucó es asmérca. El hsograma represeado e el Gráfco.1 se ha obedo co los valores observados de ua varable e ua deermada muesra, que o es más que ua represeacó aproxmada de la poblacó a la que pereece, ao mejor, cuao más grade es su amaño. Cuado la muesra es pequeña, el hsograma ee u 5

61 Aálss de ablas de daos esadíscos aspeco quebrado. Pero, s la varable es coua, el amaño de la muesra puede aumear defdamee, aumeado así el úmero de valores observados de la varable. x x = M e = M o Gráfco.1. Hsograma de frecuecas x Gráfco.. Líea suavzada del hsograma de frecuecas E érmos gráfcos, e el hsograma aumea el úmero de barras, que se va hacedo cada vez más esrechas. El polígoo de frecuecas va suavzado su forma, hasa que e el líme, cuado el úmero de ervalos ede a fo, por ao, su amplud ede a cero, presea el aspeco deal de ua curva compleamee suavzada, como la que se muesra e el Gráfco.. 53

62 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Auque exse dversos méodos esadíscos que perme la obecó de esa líea deal, de momeo, basa co cosderar que podría obeerse suavzado la líea escaloada del hsograma. Como puede observarse, la curva obeda e ese caso es smérca, de al maera que la meda arméca, la medaa la moda cocde. Tee ua coa máxma decrece haca los exremos, s corar uca al eje de abscsas. Tee, además, dos puos de flexó o de cambo de curvaura, que equdsa de los valores cerales. Falmee, el perfl de la curva es smlar al de ua campaa, por lo que se dce que la dsrbucó es campaforme. Se ha observado que los daos umércos de ua gra cadad de feómeos, ao aurales como socales, se rge por ua dsrbucó de frecuecas que presea esas caraceríscas, por lo que habualmee se deoma dsrbucó ormal. La dsrbucó ormal es, como hemos vso, smérca. Pero exse oras dsrbucoes, ao campaformes como o campaformes, que presea asmerías a la derecha o posvas o a la zquerda o egavas. Se dce que exse asmería a la derecha o posva s la curva ee cola a la derecha; es decr, s las frecuecas descede más leamee por la derecha que por la zquerda. Por el coraro, s la curva presea cola a la zquerda; es decr, s las frecuecas descede más leamee por la zquerda que por la derecha, se dce que la dsrbucó presea asmería a la zquerda o egava. Para medr la asmería de ua dsrbucó puede emplearse dferees coefcees. Dos de los más ulzados, so los de Pearso Fsher. El coefcee de asmería de Pearso se defe como: A P x M s o E ua dsrbucó campaforme smérca, su valor es gual a cero, pueso que la meda la moda so guales. 54

63 Aálss de ablas de daos esadíscos S el coefcee es maor que cero, la meda esá a la derecha de la moda, la dsrbucó es asmérca a la derecha o posva. S el coefcee es meor que cero, la meda esá a la zquerda de la moda, la dsrbucó es asmérca a la zquerda o egava. A modo de ejemplo, se aalza la asmería de la dsrbucó de los precos (e euros) por habacó e los hoeles ubcados e ua deermada zoa urísca, recogda e la Tabla.3. Tabla.3. Precos por habacó Preco por habacó (L -1 L ) º de hoeles ( ) Para obeer el coefcee de asmería de Pearso es ecesaro calcular prevamee la meda, la moda la desvacó ípca de la dsrbucó, eedo e cuea que esá agrupada e ervalos de amplud varable. Los cálculos ermedos se presea e la Tabla.4. Tabla.4. Obecó del coefcee de asmería de Pearso L -1 L x x x c d 0 45, , , , , ,0 7.56, , , ,0.500, , , , , , ,0 330, , , , , , ,007 Toal 8.040, ,75 55

64 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Co la formacó que proporcoa dcha abla, se obee los sguees resulados: x 5 x 1.040,5 7,875 8 d 0,1333 M L c , 48 d d 0,1777 0, o x 94.17, 75 S x 7, , s 5.193,796 7,068 A P x M s o 7,875 51,48 0,97 7,068 Por ao, la dsrbucó es asmérca a la derecha o posva, al como puede observarse ambé e la correspodee represeacó gráfca, que muesra cola a la derecha, pueso que las desdades de frecueca descede más leamee por la derecha que por la zquerda. 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Gráfco.3. Hsograma de frecuecas Obsérvese que e ese gráfco, las aluras de las barras o cocde co las frecuecas absoluas, so que, como la dsrbucó de los precos esá agrupada e 56

65 Aálss de ablas de daos esadíscos ervalos de amplud varable, dchas aluras cocde co las desdades de frecueca. Para el cálculo del coefcee de asmería de Pearso co EXCEL, debe ejecuarse las sruccoes recogdas e la Tabla.5. Al efecuarlas, se obedrá u resulado smlar al que muesra la Tabla.6. Tabla.5. Procedmeo para el cálculo de A P co EXCEL A B C D E F G 1 L -1 L x x x c d 0 45 =(0+45)/ 8 =B*C =B^*C =45-0 =C/F =(45+60)/ 10 = =(60+90)/ 4 = =(10+571)/ 1 = Toal (C:C7) (D:D7) (E:E7) 9 Meda =D8/C8 10 Varaza =(E8/C8)-(B9^) 11 D. Típca =Raíz(B10) 1 Moda =45+(G4/(G+G4))*E3 13 C. Pearso =(B9-B1)/B11 Tabla.6. Obecó de A p co EXCEL A B C D E F G 1 L -1 L x x x c d 0 45, , , , , ,0 7.56, , , ,0.500, , , , , , ,0 330, , , , , , ,00 8 Toal 8.040, ,75 9 Meda 7, Varaza 5.193, D. Típca 7,068 1 Moda 51,48 13 C. de Pearso 0,97 El coefcee de asmería de Pearso es mu secllo, pero ee el coveee de que o resula demasado fable para medr asmerías relavamee 57

66 Iroduccó a la Esadísca Descrpva pequeñas. Además, dada su defcó, sólo es váldo para dsrbucoes umodales campaformes. Ua alerava más geeral es el coefcee de asmería de Fsher, que se defe como: A F 1 s 3 3 (x x) / E el caso de smería, ese coefcee es gual a cero. S la dsrbucó es asmérca a la derecha, oma u valor posvo oma u valor egavo s se raa de ua dsrbucó asmérca a la zquerda. Para obeer el valor del coefcee co los daos de los precos por habacó, eemos a, porque los hemos calculado prevamee, los valores de la meda la desvacó ípca. Sólo es ecesaro obeer la suma de las desvacoes de cada valor respeco a la meda elevadas al cubo por la frecueca absolua, recogda e la Tabla.7. Tabla.7. Obecó del coefcee de asmería de Fsher L -1 L x x -x (x -x) 3 (x -x) ,5 8-50, , , ,5 10-0, , , ,0 4,15 9,59 38, ,0 3 3, , , ,0 9, , , , , , ,60 Toal ,00 Eoces: A 1 F (x x) s 3 3 / / 8 3, ,068 58

67 Aálss de ablas de daos esadíscos El valor que se ha obedo para el coefcee de asmería de Fsher es maor que cero, por lo que podemos coclur que se raa de ua dsrbucó asmérca a la derecha o posva al como muesra su gráfco al como dca ambé el coefcee de asmería de Pearso. Para el cálculo del coefcee de asmería de Fsher co EXCEL, debe ejecuarse las sruccoes recogdas e la Tabla.8. Al efecuarlas, se obedrá u resulado smlar al que muesra la Tabla.9. Tabla.8. Procedmeo para el cálculo de A F co EXCEL A B C D E F 1 L -1 L x x x (x -x) =(0+45)/ 8 =B*C =B^*C =(B-$9)^3*C =(45+60)/ =(60+90)/ =(10+571)/ 1 8 Toal (C:C7) (D:D7) (E:E7) (F:F7) 9 Meda = D8/C8 10 Varaza = (E8/C8)-(B9^) 11 D. Típca = Raíz(B10) 1 C. Fsher =(F8/C8)/B11^3 Tabla.9. Obecó de A F co EXCEL A B C D E F 1 L -1 L x x x (x -x) , , , , , ,0 7.56, , , ,0.500,00 38, , , , , ,0 330, , , , , , ,60 8 Toal 8.040, , ,00 9 Meda 7, Varaza 5.193, D. Típca 7,068 1 C. Fsher 3,110 59

68 Iroduccó a la Esadísca Descrpva La ora caracerísca que vamos a esudar e relacó co la forma de ua dsrbucó es su apuameo o cuross. Las meddas de cuross se aplca a dsrbucoes campaformes; es decr, umodales smércas, o co ua lgera asmería. Tomado como refereca la curva ormal, que se ha descro e ese epígrafe, la cuross es el maor o meor apuameo co respeco a ella. Se dce que ua curva es mu apuada, s es más ala esrecha que la ormal s es más plaa acha que la ormal, se dce que es poco apuada. La curva ormal de refereca es mesocúrca, meras que se llama lepocúrcas las curvas más apuadas que la ormal placúrcas las meos apuadas que la ormal. Como crero de apuameo se elge el de las dsacas de cada valor de la varable respeco a su meda elevadas a la cuara poeca, de al maera que, para medr el grado de apuameo de ua dsrbucó, se ulza el deomado coefcee de exceso, al que se deoa como g. Dcho coefcee se defe como: g (x x) 1 s 4 4 / 3 El prmer sumado de esa expresó, es el grado de apuameo correspodee a la dsrbucó de frecuecas aalzada. El segudo, es el grado de apuameo para la dsrbucó ormal. Luego el coefcee de exceso es la dfereca ere el apuameo de la dsrbucó correspodee el de ua ormal que ega su msma meda varaza. S su valor es gual a cero, la dsrbucó es gual de apuada que ua ormal de gual meda varaza; es decr, que es mesocúrca. S el coefcee de exceso es maor que cero, la dsrbucó es más apuada que ua ormal de gual meda varaza; es decr, es lepocúrca. S el coefcee de exceso es meor que cero, la 60

69 Aálss de ablas de daos esadíscos dsrbucó es meos apuada que ua ormal de gual meda varaza; es decr, es placúrca. Paredo de los daos del ejemplo aeror, que se refere a los precos (e euros) por habacó de los hoeles ubcados e ua deermada zoa urísca, se procede a la obecó del coefcee de exceso, para lo cual se elabora la Tabla.30, que coee los correspodees cálculos ermedos. Tabla.30. Obecó del coefcee de exceso L -1 L x x -x (x -x) 4 (x -x) ,5 8-50, , , ,5 10-0, , , ,0 4,15 0,39 81, ,0 3 3, , , ,0 9, , , , ,65 1,0178E Toal Eoces: g (x x) 1 s 4 4 / / , , ,068 Por ao, la dsrbucó es lepocúrca; es decr, es más apuada que ua ormal de gual meda varaza. E cuao a la obecó del coefcee de exceso co EXCEL, se descrbe el proceso e la Tabla.31, se muesra el resulado e la Tabla.3. 61

70 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla.31. Procedmeo para la obecó de g co EXCEL A B C D E F 1 L -1 L x X x (x -x) =(0+45)/ 8 =B*C =B^*C =(B-B$9)^4*C =(45+60)/ =(60+90)/ =(10+571)/ 1 8 Toal (C:C7) (D:D7) (E:E7) (F:F7) 9 Meda =D8/C8 10 Varaza =(E8/C8)-(B9^) 11 D.Típca =Raíz(B10) 1 Moda =G3+(G4/(G+G4))*F3 13 C. Apu. =((F8/C8)/B11^4)-3 Tabla.3. Obecó de g co EXCEL A B C D E F 1 L -1 L x x x (x -x) , , , , , ,0 7.56, , , ,0.500,00 81, , , , , ,0 330, , , , , , Toal 8.040, , Meda 7, Varaza 5.193, D. Típca 7,068 1 C. Apu. 10, Meddas de coceracó Falmee, se aalza alguas de las meddas de coceracó, que perme coocer el grado de equdsrbucó de la varable; es decr, que dca s los valores de la varable esá dsrbudos o o de forma equava. Las meddas de coceracó hace refereca, por ao, al maor o meor grado de gualdad e el reparo del oal de los valores de la varable. 6

71 Aálss de ablas de daos esadíscos Por ejemplo, s se aalza la dsrbucó de las perocacoes regsradas e esablecmeos hoeleros a lo largo de los 1 meses del año, como exremos, puede presearse dos casos: 1. Coceracó míma o equdsrbucó: s odos los meses del año se regsra el msmo úmero de perocacoes.. Coceracó máxma: s el oal de perocacoes se regsra e u solo mes del año. Para aalzar el grado de gualdad e el reparo de los valores de ua varable, geeralmee se ulza la curva de Lorez el ídce de G. La curva de coceracó o curva de Lorez perme efecuar el aálss de la coceracó desde el puo de vsa gráfco. Veamos u ejemplo de su aplcacó, co los daos correspodees a los salaros de los rabajadores (e mles de euros) al úmero de rabajadores que percbe cada salaro e ua deermada empresa hoselera, formacó que se presea e la Tabla.33. Tabla.33. Salaros de los rabajadores Salaros (x ) o Trabajadores ( ) S la dsrbucó de los salaros fuese oalmee gualara, el 10 por ceo de los rabajadores debería percbr el 10 por ceo del oal de los salaros, al 5 por ceo de los rabajadores debería correspoderle el 5 por ceo del oal de salaros, la mad de los rabajadores debería recbr la mad de los salaros, ecéera. E al caso, el reparo de los salaros sería equavo. 63

72 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Por el coraro, s la dsrbucó de los salaros esá mu cocerada, u porceaje pequeño de rabajadores percbe u porceaje mu elevado de la masa salaral. Por ao, para aalzar el grado de coceracó; es decr, el grado de desgualdad e la rerbucó de los dferees rabajadores, debe calcularse, e prmer lugar, los porceajes acumulados de valores de la varable de las frecuecas relavas, al como se muesra e la Tabla.34. La columa de valores de p recoge los porceajes de frecueca relava acumulada, que dca el peso que ee cada frecueca absolua acumulada sobre el oal de los daos, e porceaje. La columa de valores de q dca el valor acumulado de la varable, obedo como suma, para cada valor, del produco x más los aerores, expresado e porceaje. Tabla.34. Porceajes acumulados x F p = 100F x U = Ac (x ) q = 100(U / U ) , , , , , , 4 4 0, , , , , ,0 E ese caso, a ua frecueca relava acumulada del 1 por ceo, le correspode u valor acumulado de la varable del 4,1 por ceo, lo cual sgfca que el 1 por ceo de los valores observados del salaro correspode al prmer valor que oma la varable, que represea u 4,1 por ceo sobre su valor oal; es decr, que el 1 por ceo de los rabajadores recbe u 4,1 por ceo de los salaros. Los demás resulados de la abla, se erprea e los msmos érmos: el 40 por ceo de los rabajadores percbe el 3,3 por ceo de los salaros, el 7 por ceo de los rabajadores percbe el 56, por ceo de los salaros, ecéera. Ua vez efecuados esos cálculos, para represear gráfcamee la coceracó, se ulza u ssema de coordeadas caresaas, represeado e el eje de abscsas los valores que oma p e el de ordeadas los correspodees a q. 64

73 Aálss de ablas de daos esadíscos Al esar p q expresados e porceaje, la escala el campo de varacó de cada uo de los ejes cocde, de al maera que la curva de coceracó ecaja perfecamee e u cuadrado. E el cuadrado se raza la dagoal que ue el vérce feror zquerdo co el superor derecho. Esa dagoal, obvamee, pasa por el orge por odos los puos que ee coordeadas guales, por ao, represea la míma coceracó, a que e odos sus puos se cumple que p = q. Por el coraro, cuao más elevada es la coceracó, más elevado es el valor de q que le correspode a u valor pequeño de p, de al maera que la curva ede a cofudrse co los lados feror e zquerdo del cuadrado. Luego, la curva de Lorez dca ua coceracó débl s esá próxma a la dagoal del cuadrado ua coceracó maor a medda que se aleja de la dagoal q p Gráfco.4. Curva de Lorez de la dsrbucó de los salaros La curva de Lorez de la dsrbucó de los salaros o esá excesvamee alejada de la dagoal del cuadrado, luego o se observa e dcha dsrbucó ua elevada coceracó. El ídce de G resume e u solo valor umérco la formacó gráfca proporcoada por la curva de Lorez, pueso que es el doble del valor del área 65

74 Iroduccó a la Esadísca Descrpva compredda ere dcha curva la dagoal del cuadrado, bajo el supueso covecoal de que el área del cuadrado es gual a la udad. El valor del ídce esá, por ao, compreddo ere 0 1, pueso que s la curva cocde co la dagoal el área vale cero, s cocde co los lados del cuadrado es gual a ½. Dado que la coceracó es míma cuado la curva se superpoe a la dagoal máxma cuado la curva se superpoe a los lados del cuadrado, el ídce de G dca u grado maor de gualdad e el reparo cuao más próxmo a cero esá su valor u grado maor de coceracó cuao más próxmo a la udad esá su valor. També se basa e los valores que oma, e porceaje, la frecueca relava acumulada el valor acumulado de la varable, p q. Se defe de la sguee forma: 1 (p q ) 1 IG 1 p 1 Cuado la coceracó es máxma, q = 0, por ao, el ídce de G es gual a la udad. Cuado la coceracó es míma, p = q, por ao, el ídce de G es gual a cero. E el caso de la dsrbucó de los salaros, para obeer el ídce de G se efecúa los cálculos ermedos recogdos e la Tabla.35. Tabla.35. Obecó del ídce de G p = 100F q = 100(U / U ) p q 1 4,1 7,9 40 3,3 16,7 7 56, 15, ,1 9, ,8 3,

75 Aálss de ablas de daos esadíscos Y se ee: IG 1 (p q ) 1 53,5 0,174 1 p El ídce o esá alejado de cero, luego la dsrbucó esá escasamee cocerada. Veamos oro ejemplo del aálss de la coceracó de la dsrbucó. A u grupo de ursas que vsó Galca durae quce días, al fal de su esaca, se le preguó acerca del gaso (e euros) efecuado e dcho período. Los resulados de la ecuesa se presea e la Tabla.36. Tabla.36. Gaso urísco Gaso (L -1 L ) º de ursas ( ) Tabla.37 Cálculos ermedos para represear la curva de Lorez x F p = 100F x U = Ac (x ) q = 100(U / U ) , ,97 600, , , ,5 1,86 86, , ,5 47, , ,5 76, , , ,5 89, ,5 100,00 De la comparacó de las columas de valores de p q se deduce que el 10 por ceo de los ursas gasa aproxmadamee el 4 por ceo del oal del gaso de los 67

76 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 50 vsaes, el 4 por ceo gasa aproxmadamee el 13 por ceo del oal,, el 96 por ceo gasa aproxmadamee el 90 por ceo del oal. Co esos valores de p q se obee la curva de coceracó que se muesra e el Gráfco.5. Tabla.38. Cálculos ermedos para la obecó del ídce de G p = 100F q = 100 (U / U ) p q 10 3,97 6,03 4 1,86 11, ,85 16, ,47 11, , ,00 Para cuafcar la coceracó a ravés del ídce de G, es ecesaro obeer la columa de valores de las dferecas p q, cuos resulados fgura e la Tabla.38. Co la formacó que coee se deduce que: IG 1 (p q ) 1 51,03 0,180 1 p 8 1 El ídce de G esá próxmo a cero, lo cual dca que la dsrbucó del gaso o esá excesvamee cocerada. Ese resulado es coheree co el obedo para la curva de Lorez que, como puede verse e el Gráfco.5, o esá excesvamee alejada de la dagoal del cuadrado, de al maera que es dcava, gualmee, de que la coceracó del gaso es reducda. 68

77 Aálss de ablas de daos esadíscos q p Gráfco.5. Curva de Lorez de la dsrbucó del gaso El procedmeo para la obecó del ídce de G co EXCEL, se descrbe e la Tabla.39. Al ejecuar las sruccoes dcadas, el resulado obedo será smlar al mosrado e la Tabla.40. El ejemplo umérco elegdo para efecuar la aplcacó es el correspodee a la dsrbucó del gaso de los ursas. Tabla.39. Procedmeo para la obecó del ídce de G co EXCEL A B C D E F G H I 1 x F p = 100F x U = Ac(x ) q = 100(U /U ) p - q =B =C/C$7 =D*100 =A*B =F =(G/G$7)*100 =F-H 3 600,5 7 =C+B3 =G+F3 4 86, (E:E6) (H:H6) (I:I6) 9 IG =I8/E8 69

78 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla.40. Obecó del ídce de G co EXCEL A B C D E F G H I 1 x F p x U q p q , ,97 6, , , , ,5 1,86 11, , , ,5 47,85 16, , ,5 76,47 11, , , ,5 89,8 6, ,5 100,00 0, ,5 51,03 9 IG 0,180 70

79 TEMA 3 ÚMEROS ÍDICES 3.1. Iroduccó E los capíulos aerores se ha preseado las meddas más ulzadas para resumr la formacó que respeco a ua varable coee su abla de dsrbucó de frecuecas, prcpalmee por lo que se refere a los valores cerales, la dspersó, la coceracó la forma. os ocupamos ahora de aalzar las éccas esadíscas dseñadas para aalzar sus varacoes. Ere ellas esá los úmeros ídces, que perme esablecer comparacoes ere el valor que ua varable oma e ua observacó cocrea el correspodee a ora que se oma como refereca. La écca es adecuada para efecuar dchas comparacoes ao e el empo como e el espaco, auque lo más frecuee es que se aplque para el aálss de la evolucó emporal; es decr, para cuafcar los cambos a lo largo del empo. 3.. úmeros ídces smples complejos U úmero ídce es, por ao, ua medda que perme expresar e érmos porceuales cuáo ha aumeado o dsmudo ua varable e relacó a u deermado dao base o de refereca que, geeralmee, correspode a u período de empo. Para fjar el período base ha de eerse e cuea que los ídces se expresa como porceaje de varacó de la varable respeco a él, de maera que o debe correspoderle u dao aómalo o aípco que se deba a algú acoecmeo exraordaro. El valor de la varable e el período base ha de ser represeavo de la sere. Es frecuee, por ejemplo, elegr como refereca el período al que correspode la moda o (aproxmadamee) el valor medo. Habualmee se ulza la lera x para desgar a la varable objeo de esudo, su valor e el período base se represea por x 0 el correspodee al momeo a comparar, deomado valor acual o corree, se deoa por x. 71

80 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Para calcular el valor del ídce del momeo ésmo respeco al período base ( I 0 ) se dvde el valor corree (x ) por el que la varable oma e el período de refereca (x 0 ) se mulplca el cocee por ce; es decr, el ídce es el porceaje que supoe el valor corree respeco al del período de refereca: I 0 x x Ulzado el msmo procedmeo para odos los valores de la varable se obee la sere de úmeros ídces, que facla la descrpcó de su evolucó, al ser admesoal, perme efecuar comparacoes ere dsas varables auque esé expresadas e dferees udades de medda. Dada su defcó, el valor del ídce e el período base es gual a 100; e los períodos e los que es superor, la varable ha expermeado desde el período base u crecmeo e u porceaje gual a la cadad que excede de 100 e los períodos e los que es feror la varable ha expermeado desde el período base ua dsmucó e u porceaje gual a la cadad que fala hasa 100. A modo lusravo, e la sguee abla se presea la sere de ídces correspodees a la varable x = úmero de vajeros, que refleja los cambos porceuales que dcha varable ha expermeado e relacó al año 1995, que ha sdo el período omado como refereca. Tabla 3.1. úmeros ídces de la varable x = úmero de vajeros, año base 1995 Años º de vajeros 95 I , , , , , , , ,75 7

81 úmeros ídces El valor del ídce e el año 1996 se obee mulplcado por ce el cocee ere el valor de la varable e 1996 su valor e el período base, 1995 (= (30 / 73) x 100 = 84,5). De forma smlar, el valor del ídce e el año 1997 se obee mulplcado por ce el cocee ere el valor de la varable e 1997 su valor e el período base, 1995 (= (91 / 73) x 100 = 106,59), ecéera. Ua vez compleada la sere, puede observarse que co respeco a 1995, e 1996 se regsra ua dsmucó del úmero de vajeros del 15,75 (= ,5) por ceo, e el año 1997 se regsra u aumeo del 6,59 (= 106,59 100) por ceo, ecéera. Los úmeros ídces que se ha descro hasa ahora so smples, e el sedo de que seza la evolucó de ua sola varable, suele ulzarse co precos, cadades valores relavos. Cuado el objevo es aalzar la evolucó cojua de varables se ulza los úmeros ídces complejos, que se obee cosruedo, e prmer lugar, la sere de ídces smples para cada ua de las varables, promedádolos a couacó para ufcar la formacó. Cuado la mporaca que se le oorga a cada ídce smple e el complejo es la msma (ídces complejos o poderados), los smples se promeda ulzado ua meda arméca smple cuado el peso que se le oorga a cada ídce smple e el complejo es dferee (ídces complejos poderados), los smples se promeda ulzado ua meda arméca poderada. Los ídces complejos o poderados puede obeerse ambé sumado los valores correspodees a cada varable para cada período cosderado calculado a couacó los ídces smples de los valores agregados. Ese procedmeo se cooce como méodo de la meda agregava smple para ulzarlo es ecesaro que odas las varables mplcadas esé expresadas e las msmas udades de medda, pueso que e caso coraro, la suma o esá defda. E geeral, cuado los daos lo perme, es preferble ulzar ese méodo, a que la sere obeda refleja mejor la evolucó real del cojuo de las varables cosderadas. Veamos u ejemplo. Se dspoe de los daos proporcoados por el Baco de Daos TEMPUS del Isuo acoal de Esadísca (hp:// respeco a la varable x = úmero de ursas (mles de persoas) que vsaro España e el período 73

82 Iroduccó a la Esadísca Descrpva compreddo ere los años por carreera, x 1, e avó, x, e re, x 3 o e barco, x 4. Tabla 3.. úmero de ursas segú medo de raspore Años x 1 x x 3 x , ,06 41, , , , , , , , ,178.01, , ,074 41, , , ,134 48,1.51, , , , , , ,09 457, , , , , , , , ,01.73,994 El objevo plaeado es obeer ua sere de úmeros ídces que refleje la evolucó del úmero oal de ursas, omado como refereca el año Para ello, obeemos, e prmer lugar, los ídces smples para cada ua de las cuaro varables cosderadas. Tabla 3.3. úmeros ídces smples, año base 1995 Años x 1 x x 3 x ,00 100,00 100,00 100, ,68 103,0 157, 106, ,6 115,64 169,71 117, ,09 17,5 174,9 113, ,50 136,10 177,60 131, ,06 143,64 184,73 140, ,90 147,6 189,69 150, ,51 146,01 189,98 178, ,09 154,7 168,40 160,06 S se supoe que cada uo de esos ídces smples ee la msma mporaca e la cosruccó del complejo, debe promedarse calculado la meda arméca smple para cada año. 74

83 úmeros ídces Tabla 3.4. úmeros ídces complejos o poderados, año base 1995 Años Ídce , , , , , , , , ,1 S, por el coraro, se supoe que e la cosruccó del ídce complejo ha de darse u maor peso a los ídces smples correspodees a los medos de raspore más ulzados por los ursas, el promedo debe obeerse ulzado ua meda arméca poderada, sedo las poderacoes los porceajes de parcpacó de cada medo de raspore e el oal de vajeros rasporados, que se recoge e la abla sguee: Tabla 3.5. Porceaje de parcpacó de cada medo de raspore e el oal Años Carreera Avó Tre Barco Toal ,88 68,54 0,69 4,89 100, ,87 68,08 1,05 5,01 100, ,90 69,98 1,03 5,09 100, ,38 70,18 0,97 4,46 100, ,63 69,64 0,9 4,81 100,00 000,8 71,78 0,93 5,0 100, ,43 70,53 0,91 5,1 100, ,51 66,79 0,88 5,83 100, , 70,76 0,78 5,4 100,00 Los valores de la meda arméca poderada obeda para cada año ulzado esas poderacoes cosue la sere de úmeros ídces complejos poderados recogda e la abla de la pága sguee. Comparado las Tablas , puede observarse que los resulados obedos al ulzar los ídces complejos o poderados poderados so mu dsos. 75

84 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla 3.6. úmeros ídces complejos poderados, año base 1995 Años Ídce , , , , , , , , ,00 E ese caso, al dspoer de los daos correspodees a las cuaro varables cosderadas dado que odas ellas esá expresadas e las msmas udades de medda (mles de persoas), los ídces complejos o poderados puede obeerse ambé ulzado el méodo de la meda agregava smple. Tabla 3.7. úmeros ídces complejos o poderados Méodo de la meda agregava smple Años x 1 + x + x 3 + x 4 Ídce , , , , ,70 113, ,083 14, , , , , , , , , , ,43 Dado el procedmeo de cálculo, el méodo de la meda agregava smple proporcoa ua sere de úmeros ídces que refleja exacamee la evolucó del úmero oal de ursas, meras que los ídces complejos o poderados poderados obedos aerormee so sólo aproxmacoes. S se compara los resulados obedos e los res casos, puede observarse que la aproxmacó proporcoada por los ídces poderados es mejor que la obeda s se ulza los o 76

85 úmeros ídces poderados, de maera que cuado el ídce complejo debe calcularse paredo de los smples, es preferble promedarlos ulzado la meda poderada Cambo de base elace de seres Cuado se ulza úmeros ídces es frecuee que ua vez rascurrdo cero empo desde la eleccó del período base, el dao correspodee a dcho período perda su carácer de ormal o represeavo, de maera que resule coveee fjar u uevo período de refereca más próxmo al acual. Para efecuar u cambo de base smplemee se dvde cada valor de la sere de úmeros ídces ere el que oma e el que se va a cosderar como uevo período de refereca. Así, por ejemplo, e el epígrafe aeror se ha obedo los ídces e base 1995 para los ursas que llegaro a España por carreera e el período compreddo ere Dado el empo rascurrdo ere el perodo de refereca el acual, puede ser acosejable realzar u cambo de base de 1995 a 000. Para obeer los ídces e base 000 a parr de los que esá e base 1995, se dvde cada uo de los valores de la sere e base 1995 ere 118,06 que es el valor que e dcha sere correspode al uevo período de refereca, de maera que e el año 1995, el ídce e base 000 es 84,70 (= 100,00 / 118,06), e el año 1996 es 87,8 (= 103,68 / 118,06), ecéera. Tabla 3.8. úmeros ídces, e bases Años 95 I 00 I ,00 84, ,68 87, ,6 88, ,09 99, ,50 107, ,06 100, ,90 110, ,51 130, ,09 113,58 També es frecuee e la prácca dspoer de seres de úmeros ídces para ua varable, que abarca u período de empo más o meos largo, pero que esá e 77

86 Iroduccó a la Esadísca Descrpva dferees bases, lo cual mposbla su comparacó. S se dspoe, al meos para u período, de formacó correspodee a odas las seres, el problema puede resolverse medae u elace écco de seres, que cosse e efecuar uo o varos cambos de base. Veamos u ejemplo. Se dspoe de dos seres de úmeros ídces relavas a los precos de u deermado arículo, la prmera de ellas e base 1995 la seguda e base Tabla 3.9. úmeros ídces de la sere de precos, e bases Años Base 1995 Base , , , ,00 100, , , ,00 A f de dspoer de ua sere homogéea para el período compreddo ere es ecesaro elazar las dos seres, pasado la que esá e base 1995 a base 1998, que es más acual. Tabla Cambo de base 1995 a 1998 Años 95 I 98 I ,00 83, ,00 87, ,00 93, ,00 100,00 Ahora las dos seres de ídces esá e base 1998; es decr, so homogéeas, por ao, la sere elazada se obee smplemee pegádolas. 78

87 úmeros ídces Tabla Sere elazada Años Base , , , , , , , Ídces de precos. Deflacó de seres El ídce de precos más coocdo ulzado e España es el ídce de precos al cosumo (IPC) que elabora el Isuo acoal de Esadísca (IE), que ee por objeo medr la evolucó geeral de los precos. Se raa de u ídce complejo poderado, que seza la formacó correspodee a los ídces smples de u amplo cojuo de bees servcos que egra lo que se ha deomado cesa de la compra, que refleja las pauas de cosumo de las famlas españolas. E la acualdad, los bees servcos a los que se refere cosue los sguees grupos: 1. Almeos bebdas o alcohólcas 7. Traspore. Bebdas alcohólcas abaco 8. Comucacoes 3. Vesdo calzado 9. Oco culura 4. Vveda 10. Eseñaza 5. Meaje 11. Hoeles, cafés resauraes 6. Medca 1. Oros bees servcos que se dvde e subgrupos, ésos a su vez e clases, ésas úlmas, e subclases, cada vez más defdas o más cocreas. E parcular, los precos que se refere a la acvdad urísca se recoge e el udécmo grupo, hoeles, cafés resauraes, que refleja la evolucó de los precos de los vajes orgazados co "odo cludo". 79

88 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Ua vez que se deerma los bees servcos que egra la cesa, se valora las correspodees cadades cosumdas de cada uo de ellos a precos del período base del acual se elabora las seres de úmeros ídces smples correspodees. Dado que o odos los producos ee el msmo peso e el gaso oal de ua famla, para obeer el ídce complejo, el promedo se obee a ravés de la meda arméca poderada. El IPC que se obee de esa forma es el más comúmee ulzado para deflacar varables, proceso que cosse e coverr las seres de valores omales e seres de valores reales. El érmo omal hace alusó al valor de u be o servco expresado e udades moearas de cada año (por ejemplo, euros correes), meras que co el érmo real se hace refereca a su valor expresado e udades moearas de u año base (por ejemplo, euros cosaes). Para deflacar ua sere se calcula el cocee ere sus valores omales el ídce de precos más apropado e cada caso que, co frecueca, puede aproxmarse medae el IPC. Geeralmee, ese cocee se mulplca por ce, porque ambé el ídce de precos suele esar e porceaje. Pueso que e érmos omales la varable esá valorada e udades moearas de cada año el ídce de precos es el cocee ere los precos e udades moearas de cada año los precos e udades moearas del año base, al efecuar el cocee se obee el valor de la varable e udades moearas del año base; es decr, e érmos reales o ua vez elmado el efeco de la flacó. La sere de valores reales perme aalzar la evolucó real de la varable, e el sedo de que sus valores e érmos omales so el resulado de mulplcar cadades por precos de cada año, por lo que u aumeo (o ua dsmucó) ere dos períodos cualesquera puede ser debdo al aumeo (o dsmucó) que ha expermeado las cadades o que ha expermeado los precos, s que sea posble dsgur cual de los dos facores ha cambado o s ha cambado ambos smuláeamee, meras que sus valores e érmos reales so el resulado de mulplcar cadades por precos de u año base, por lo que u aumeo (o ua dsmucó) ere dos períodos cualesquera sólo puede ser debdo al aumeo (o dsmucó) que ha expermeado las cadades. 80

89 úmeros ídces Veamos u ejemplo. E la sguee abla se presea los valores omales de la varable x = gresos por ursmo expresados e mles de euros correes, omados de la web del IE aerormee cada, la sere de ídces e base 001. Tabla 3.1. Igresos por ursmo e mles de euros correes e ídces e base 001 Años Igresos Ídces ,334 30, ,05 3, ,539 37, ,001 41, ,037 47, ,779 5, ,158 57, ,833 64, ,378 73, ,594 83, ,655 9, , , ,440 97, , ,73 Esa sere dca que, por ejemplo, co respeco al año 001, e el año 003 los gresos por ursmo e érmos omales ha expermeado u crecmeo del 0,73 por ceo. Pueso que los ídces se ha obedo a parr de los valores omales de la varable, las varacoes observadas puede deberse a cambos e los precos o e las cadades. Para cuafcar los cambos que expermea las cadades, que so los que realmee da ua dea de la evolucó de la acvdad urísca, debe elmarse el efeco de los precos, calcular los ídces ua vez deflacada la sere. Para obeer la sere de valores reales de los gresos por ursmo basa co dvdrla por algú deflacor adecuado que, e ese caso, podría ser el ídce de precos uríscos. Dado que o se dspoe de formacó respeco a él, ulzaremos, como aproxmacó, el ídce de precos al cosumo e base 001. E la abla sguee se recoge las seres de gresos omales, el IPC los gresos reales. 81

90 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla Igresos por ursmo e érmos omales reales Sere deflacada co el IPC, e base 001 Años Igresos omales IPC Igresos reales ,334 65, , ,05 69, , ,539 74, , ,001 77, , ,037 81, , ,779 84,83.443, ,158 87, , ,833 89, , ,378 91, 9.385, ,594 93, , ,655 96, , , , , , , , , , ,984 Tabla Igresos por ursmo e mles de euros cosaes e ídces e base 001 Años Igresos Ídces ,771 46, ,74 46, ,564 50, ,58 53, ,419 58, ,647 61, ,547 65, ,075 7, ,651 80, ,17 89, ,036 95, , , ,884 93, ,984 94,4 8

91 úmeros ídces Como hemos comeado, co respeco al año 001, e el año 003 e los gresos por ursmo e érmos omales se observa u crecmeo del 0,73 por ceo. Pero ese crecmeo es sólo aparee, pueso que, a precos cosaes; es decr, ua vez elmado el efeco de la flacó, la varable realmee expermea ua dsmucó del 5,60 por ceo. 83

92

93 TEMA 4 SERIES TEMPORALES 4.1. Defcó represeacó gráfca Hemos dedcado el capíulo aeror al aálss de los cambos que ua varable expermea co respeco a u período de refereca. uesro objevo es, ahora, el esudo de los méodos más secllos para observar su evolucó. Ua sere emporal,, es el cojuo de valores de ua varable ordeados e el empo. Cada uo de dchos valores se desga geércamee como, dode el subídce represea el período al que se refere, que puede ser u año, rmesre, mes, semaa, día o cualquer ora udad emporal. Para aalzar su evolucó, geeralmee se comeza por represear gráfcamee la sere, suado sus valores e ordeadas e abscsas los períodos emporales a los que correspode. E cada caso, debe elegrse la escala adecuada para que el gráfco refleje la evolucó de la sere s dsorsoarla para que pueda observarse sus prcpales movmeos: las osclacoes a coro, medo largo plazo, la exseca de valores aómalos, ecéera. Supogamos, por ejemplo, que se dspoe de la sere emporal = úmero de vsaes (mlloes de persoas) que era e España correspodee al período compreddo ere los años que fgura e la Tabla 4.1. Tabla 4.1. úmero de vsaes Años = º vsaes , , , , , , , , ,59 85

94 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Sguedo el procedmeo descro e el epígrafe 1.3 para efecuar represeacoes gráfcas co EXCEL, el programa seleccoa de forma auomáca el ramo del eje de ordeadas e el que se ecuera los valores mímo máxmo de la varable del eje de abscsas correspodee al período emporal de refereca elge las escalas apropadas, proporcoado para la sere el sguee gráfco: Gráfco 4.1. úmero de vsaes E él puede observarse que la varable crece, s rregulardades mporaes, e forma aproxmadamee leal, se percbe ua ralezacó del crecmeo e el período compreddo ere De forma aáloga, puede efecuarse el gráfco de la sere emporal x = gresos (mles de euros) por ursmo, recogda e la Tabla 4.. Tabla 4.. Igresos por ursmo Años x = Igresos , , , , , , , , ,04 86

95 Seres emporales Co esos daos, se obee el Grafco 4.. E él se observa que la sere expermea u crecmeo aproxmadamee leal co u lgero desceso e 00, de maera que e 003 oma u valor smlar al regsrado e Gráfco 4.. Igresos por ursmo Ahora be, dado que las dos seres correspode al msmo período emporal, puede ser eresae represear ambas e u solo gráfco, para observar las smludes o dsmludes e su comporameo. Al hacerlo, se obee u resulado al como el Gráfco º vsaes Igresos por ursmo Gráfco 4.3. Escala smple 87

96 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Como puede verse, s e el gráfco cojuo se ulza ua sola escala, como (dadas las udades de medda de las varables) los valores del úmero de vsaes so mucho meores que los de los gresos por ursmo, la líea que los represea se superpoe al eje de abscsas o perme aprecar sus movmeos. Al msmo empo, al empezar la escala e valores mucho meores que el mímo de los gresos por ursmo, la líea correspodee se ve mucho más plaa que e el gráfco dvdual, de maera que su crecmeo parece más leo. Ese problema se resuelve ulzado dferees escalas para cada sere. U gráfco de esas caraceríscas puede efecuarse co EXCEL seleccoado la opcó líeas e dos ejes e los pos persoalzados de gráfco º vsaes Igresos por ursmo Gráfco 4.4. Doble escala Así, e el Gráfco 4.4, la escala de la zquerda correspode a los valores del úmero de vsaes la de la derecha a los de los gresos por ursmo, de maera que puede aprecarse co clardad los movmeos de ambas seres. 4.. Compoees de ua sere de empo El aálss clásco de las seres emporales pare de la dea de que cada valor de la varable es el resulado de la combacó de cuaro facores o observables que deerma su evolucó. 88

97 Seres emporales Dchos facores so el movmeo a largo plazo o edeca, que refleja la marcha geeral del feómeo aalzado; los movmeos a medo plazo o varacoes cíclcas, que geeralmee esá relacoados co los cclos ecoómcos de prosperdad recesó; las varacoes a coro plazo (rmesrales, mesuales, semaales, daras o de ora perodcdad) o varacoes esacoales, ocasoadas por causas peródcas, falmee los movmeos esporádcos o varacoes accdeales o resduales dervados de acoecmeos ocasoales. Las seres emporales o sempre coee los cuaro elemeos so que puede esar formadas sólo por alguo o alguos de ellos. Además, dchos elemeos puede combarse eórcamee de dferees maeras, sedo los esquemas de formacó más habuales el advo el mulplcavo, que supoe que los valores de la varable so el resulado de sumar o de mulplcar sus compoees. E las seres de ursmo, que so las que os eresa prcpalmee, suele ulzarse el esquema mulplcavo. Las compoees de maor erés so la edeca las varacoes esacoales. Descrbmos, a couacó, alguos de los méodos desarrollados para aslarlas Aálss de la edeca medae el méodo de las medas móvles Uo de los méodos más ulzados para aslar la edeca es el de las medas móvles, que cosse e suavzar las flucuacoes de la sere susuedo cada observacó por el promedo de dcha observacó las más cercaas. El úmero de daos co el que se calcula las medas móvles debe correspoder a ua udad emporal más larga que la de la sere, eedo e cuea que cuao maor es el úmero de érmos más se suavza las rregulardades. Geeralmee, s la sere es rmesral las medas so de cuaro érmos, s es mesual de doce, ecéera. Cuado para calcular la meda se ulza p érmos, se dce que la meda móvl es de orde p, e cuo caso el promedo de p valores cosecuvos de la sere correspode a ua observacó de la varable. Para deermar la correspodeca ere los valores de la varable los promedos calculados, ha que dsgur dos suacoes: 89

98 Iroduccó a la Esadísca Descrpva p es mpar E ese caso, el prmer valor de la meda móvl susue a la observacó correspodee al momeo ½ (p+1), el segudo al momeo ½ (p+3), el ercero al momeo ½ (p+5), así sucesvamee. Es decr, cada ua de las medas móvles susue a la observacó correspodee al momeo ½ (p+), sedo la sucesó de los úmeros aurales mpares. E la Tabla 4.3 se presea el procedmeo para obeer la edeca medae ua meda móvl de orde p = 3, e el caso de ua sere emporal,, compuesa por see observacoes. Tabla 4.3. Sere de medas móvles de orde p = 3 º observacó Meda móvl de orde 3 (MM3) P 1 1 P 3 P P 3 3 P 3 P P P 3 P P P 3 P P P 3 P E ese caso, como puede observarse, o se dspoe de formacó sufcee para el cálculo del prmer del úlmo valor de la sere de medas móvles. E geeral, s el orde de la meda móvl, p, es mpar, se perde las ½ (p+1) 1 prmeras úlmas observacoes.. p es par E ese caso ½ (p+1), ½ (p+3), ½ (p+5), ecéera, o so úmeros eeros, por lo que a cada meda móvl le correspode u puo ermedo suado ere dos valores cosecuvos de la varable o se puede deermar a cuál de ellos debe

99 Seres emporales 91 susur. Es decr, la sere de medas móvles queda "descerada" co respeco a los valores de la varable. Por ejemplo, al calcular la meda móvl de orde p = 4 para la sere emporal, se presea la sguee suacó: Tabla 4.4. Sere de medas móvles desceradas de orde p = 4 º observacó Meda móvl de orde 4 descerada (MM4 d ) 1 1, P 1 1 P 4 P , P 3 3 P 4 P , P P 4 P , P P 4 P Para resolver ese coveee debe calcularse ua meda móvl ere cada dos medas móvles desceradas cosecuvas, de al forma que el prmer valor de la sere de medas móvles ceradas susue a la observacó correspodee al momeo ½ (p+), el segudo al momeo ½ (p+4), el ercero al momeo ½ (p+6) así sucesvamee. Es decr, cada ua de las medas móvles susue a la observacó correspodee al momeo ½ (p+), sedo ahora la sucesó de los úmeros aurales pares.

100 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 9 El procedmeo se descrbe e la Tabla 4.5, e la que MM4 d MM4 C represea las medas móvles de orde 4 desceradas ceradas. Tabla 4.5. Sere de medas móvles desceradas ceradas de orde p = 4 Obs. MM4 d MM4 C 1 1, P 1 1 P 4 P P+1 P+3 = P+ 3, P 3 3 P 4 P P+3 P+5 = P+4 4, P P 4 P P+5 P+7 = P+6 5, P P 4 P E ese caso o se puede calcular los dos prmeros los dos úlmos valores de las seres de medas móvles. E geeral, s el orde de la meda móvl, p, es par, se perde las ½ (p+) 1 prmeras úlmas observacoes. Como ejercco para la aplcacó del procedmeo e cada uo de los dos casos descros, puede exraerse la edeca de la sere = gresos (mles de euros) correspodees a u grupo de esablecmeos uríscos e el período compreddo

101 Seres emporales ere , medae ua meda móvl de orde mpar (p = 3), co la cual se obee los resulados recogdos e la Tabla 4.6, ora de orde par (p = 4), que proporcoa los que fgura e la Tabla 4.7. Tabla 4.6. Medas móvles de orde mpar (p = 3) para la sere = gresos Años Igresos MM , ,13 1.3, ,07 1.9, , , ,3 1.35, , , , , , , , , , , , , , , , , , Igresos MM3 Gráfco 4.5. Sere gresos medas móvles de orde 3 93

102 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla 4.7. Medas móvles de orde par (p = 4) para la sere = gresos Años Igresos MM4 d MM4 c , , , , , , , ,95 1.3, , , , , , , , , , , , , , , , , ,7 1.53, , , , , , , , , Igresos MM3 MM4 Gráfco 4.6. Sere gresos medas móvles de órdees

103 Seres emporales E el Gráfco 4.5 puede observarse claramee como la sere de medas móvles, al haberse obedo promedado los valores de los gresos, suavza sus rregulardades, aslado la edeca. El Gráfco 4.6 muesra que la líea que correspode a las medas móvles de cuaro orde es meos rregular que la que correspode a las de orde res; es decr que, como hemos dcho, a medda que el valor de p aumea, las flucuacoes de la sere orgal se suavza más Aálss de las varacoes esacoales medae el méodo de la razó a la meda móvl. Desesacoalzacó Al aalzar el comporameo de los dcadores de la demada de ursmo, como cosecueca de la coceracó emporal de la acvdad urísca e el ercer rmesre del año, que cocde co las vacacoes escolares laborales para ua gra pare de la poblacó ocupada, suele observarse la exseca de ua fuere compoee esacoal. Resula, eoces, de gra erés aslar esa compoee, ao para su aálss específco, como para evar coclusoes erróeas al comparar daos correspodees a dferees meses o rmesres del msmo año. Uo de los méodos más secllos para hacerlo es el de de la razó a la meda móvl, cua aplcacó comeza co el cálculo de ua sere de medas móvles de cuaro érmos s la sere es rmesral, de doce s es mesual, ecéera, eedo e cuea que s el orde de las medas móvles es par, como es habual, ha de procederse al cerado de la sere. Auque eórcamee las seres puede formarse sguedo los esquemas advo o mulplcavo, el que se adopa co maor frecueca para las seres de ursmo es el esquema mulplcavo, por lo que os referremos exclusvamee a él. E ese caso, las compoees esacoal resdual se aísla dvdedo los valores de la sere orgal ere las medas móvles calculadas prevamee, el cocee obedo, o razó a la meda móvl, se deoma ídce de varacó esacoal, IVE. (TCER) IVE (E R) MMP (T C) 95

104 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Auque se puede expresar e ao por uo, geeralmee se mulplca el resulado por ce, el ídce se erprea como el porceaje que la sere orgal represea respeco a la de medas móvles, que recoge la edeca el cclo, de maera que cuafca los efecos de la esacoaldad la rregulardad e cada período. Por ejemplo, u ídce de varacó esacoal gual a 10 dca que, debdo al efeco esacoal resdual, e el período cosderado se observa e la sere u valor u 0 por ceo superor al que correspode a la edeca el cclo. Promedado los ídces de varacó esacoal se obee el ídce medo de varacó esacoal, IME, que, s la esacoaldad es esable se adme que los errores e cada subperíodo ede a compesarse, sólo clue la compoee esacoal. Por ejemplo, e ua sere mesual, el ídce medo de varacó esacoal del mes de eero se obee como la meda arméca de los ídces de varacó esacoal de odos los meses de eero dspobles e la muesra, para complear la sere, el proceso se repe para cada mes del año. Los ídces medos de varacó esacoal de ua sere mesual debe sumar 100 a que, s o exsese varacó esacoal, e cada mes su valor sería gual a 100. De forma smlar, s la sere es rmesral debe sumar 400. Cuado eso o sucede, cada ídce se ajuse medae ua smple regla de res, deomádose ahora, ídce medo de varacó esacoal ajusado, IMEA. Al dvdr la sere orgal ere esos ídces ajusados, se elma la compoee esacoal mulplcado por ce el cocee, se obee la sere desesacoalzada, que es la que debe ulzarse, por ejemplo, para comparar daos correspodees a dsos meses o rmesres del msmo año. (TCER) d (T C) R IMEA E 100 Para ver u ejemplo se procede, a couacó, a aslar la compoee esacoal a desesacoalzar la varable = vajeros (mles de persoas) alojados e esablecmeos hoeleros, ulzado la sere de perodcdad mesual que proporcoa el Baco de Daos TEMPUS del Isuo acoal de Esadísca (hp:// que se recoge e la Tabla

105 Seres emporales Tabla 4.8. Vajeros alojados e esablecmeos hoeleros , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 El proceso comeza aslado los compoees edeca cclo medae ua meda móvl de doce érmos cerada respeco a la sere orgal, cuo valor o puede obeerse para las ses prmeras para las ses úlmas observacoes. Los demás resulados fgura e la Tabla

106 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla 4.9. Tedeca cclo de la sere = vajeros MM1 c MM1 c MM1 c MM1 c MM1 c , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Para obeer los ídces de varacó esacoal, IVE, recogdos e la Tabla 4.10, se dvde la sere orgal ere la de medas móvles, de maera que ambé queda s deermar los ses prmeros los ses úlmos daos. 98

107 Seres emporales Tabla Ídces de varacó esacoal IVE IVE IVE IVE IVE , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Los valores que e la abla aeror se ha desacado e egra so los ídces de varacó esacoal correspodees a los meses de eero de odos los años observados. Por ejemplo, e el año 1995, el IVE del mes de eero es 58,51 lo que dca que, debdo al efeco esacoal, el valor de la sere es u 41,49 por ceo feror al de la edeca el cclo. La meda arméca de esos valores es el ídce medo, IME, correspodee al mes de Eero: IME eero IVEeero 56,71 58,5 º meses eero e la muesra 9 99

108 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Realzado esa operacó para los doce meses del año se ha obedo los ídces medos de varacó esacoal que se muesra e la Tabla Tabla Ídces medos de varacó esacoal Meses IME Eero 58,5 Febrero 67,93 Marzo 87,77 Abrl 105,3 Mao 115,96 Juo 118,41 Julo 19,85 Agoso 143,30 Sepembre 19,18 Ocubre 107,97 ovembre 7,04 Dcembre 64,74 La suma de esos ídces resula gual a 100,99, dado que debería ser 100, ha de ajusarse, de maera que cada uo de ellos se mulplca por 100 se dvde por 100,99 para obeer los ídces ajusados de la Tabla 4.1. Tabla 4.1. Ídces medos de varacó esacoal ajusados Meses IMEA Eero 58,47 Febrero 67,88 Marzo 87,70 Abrl 105,4 Mao 115,87 Juo 118,31 Julo 19,74 Agoso 143,18 Sepembre 19,07 Ocubre 107,88 ovembre 71,98 Dcembre 64,69 Como puede observarse, e los meses de abrl a ocubre el ídce medo ajusado es superor a ce, lo que dca que e esos meses el úmero de vajeros alojados e 100

109 Seres emporales esablecmeos hoeleros es superor a la meda mesual del año. Así, e el mes de julo, por ejemplo, es superor e u 9,74 por ceo. S embargo, e los meses de eero, febrero, marzo, ovembre dcembre el ídce medo ajusado es feror a ce, lo que dca que e esos meses el úmero de vajeros alojados e esablecmeos hoeleros es feror a la meda mesual del año. Por ejemplo, e el mes de eero, es feror e u 41,53 por ceo. Falmee, para proceder a la desesacoalzacó, se dvde los valores de la sere orgal de vajeros por los correspodees ídces medos ajusados, se obee la Tabla Tabla Sere de vajeros desesacoalzada d d d d d , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,19 101

110 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Por úlmo, la sere orgal se represea juo co la de medas móvles de orde p = 1, la sere desesacoalzada º vajeros Tedeca cclo Sere desesacoalzada Gráfco 4.7. úmero de vajeros, edeca cclo, sere desesacoalzada E ese gráfco, la sere de medas móvles refleja la edeca el cclo la desesacoalzada muesra la evolucó del úmero de vajeros ua vez elmada la compoee esacoal Aálss de la evolucó emporal de ua sere. Tasa de varacó Hemos vso a que los úmeros ídces perme esablecer comparacoes ere el valor que oma ua sere e u deermado período el correspodee a ua suacó de refereca que se oma como base. Pero, cuado lo que eresa es comparar cada valor observado co el aeror e el empo, la suacó de refereca varía para cada observacó, de maera que debe calcularse úmeros ídces co u período base varable (ídces e cadea) o puede recurrrse al cálculo de la asa de varacó. La asa de varacó o varacó relava de ua sere e el período respeco al aeror, 1, dca, e érmos porceuales, el cambo expermeado por la varable respeco al período aeror. Por ao, se defe como el cocee ere la 10

111 Seres emporales varacó de la varable e el período ( = -1 ) dvdda por su valor e el período cal ( -1 ), mulplcado por ce. TV Dada esa defcó, la asa de varacó es admesoal, por lo que es u srumeo adecuado para comparar la evolucó de dferees seres, auque esé expresadas e udades de medda dspares. Supoedo que, como es habual, -1 > 0, ua asa de varacó posva, dca que > -1 ; es decr, que del período 1 al período la varable ha expermeado u aumeo, ua asa de varacó egava dca que < -1 ; es decr, que del período 1 al período la varable ha expermeado ua dsmucó. Como ejemplo, se ha obedo las asas de varacó ermesual de la sere = vajeros alojados e esablecmeos hoeleros e el año 00 e el año 003, ulzado pare de los daos del ejercco de desesacoalzacó. Los resulados obedos fgura e la Tabla Tabla Tasas de varacó ermesual Meses TV Meses TV , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 103

112 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Los valores que oma la asa de varacó, ao e 00 como e 003, dca que el úmero de vajeros expermea u crecmeo desde febrero hasa agoso ua dsmucó desde sepembre hasa eero. Por ejemplo, ere febrero marzo de 00 la varable aumea u 35,60 por ceo, ere ovembre dcembre de 003 dsmue u 7,1 por ceo. S calculásemos las asas de varacó ermesual para oros años, ecoraríamos que esa suacó se repe, porque el úmero de vajeros alojados e esablecmeos hoeleros ee odos los años u comporameo smlar, alcazado valores mímos e los meses de eero máxmos e los de agoso. Por esa razó, cuado la sere que se desea aalzar ee ua fuere compoee esacoal, para aalzar su evolucó emporal suele calcularse, además, 1 o be la asa de varacó eraual, TV, que equvale a la asa de varacó ermesual ua vez desesacoalzada la sere, TV, refleja los cambos que la varable expermea e u período de doce meses cosecuvos. Tabla Tasa de varacó eraual Meses TV Eero ,41 Febrero ,5 Marzo ,04 Abrl ,46 Mao ,43 Juo ,6 Julo ,05 Agoso ,5 Sepembre ,71 Ocubre ,30 ovembre ,11 Dcembre ,09 104

113 Seres emporales Tabla Tasa de varacó ermesual de la sere desesacoalzada Meses TV Eero 4.913, ,84 3,41 Febrero 5.168, ,6-1,5 Marzo 5.44, ,45-7,04 Abrl 4.611, ,78 11,46 Mao 4.899, ,35 5,43 Juo 4.839, ,6 9,6 Julo 4.939, ,19 6,05 Agoso 5.157, ,5 4,5 Sepembre 4.8, ,85 4,71 Ocubre 4.968, ,71 3,30 ovembre 5.161, ,60 4,11 Dcembre 5.9, ,19 6,09 Como hemos dcho, los resulados coedos e cualquera de esas dos ablas perme cuafcar el cambo expermeado por el úmero de vajeros e u deermado mes del año co respeco al msmo mes del año aeror. Así, por ejemplo, e julo de 003, co respeco a julo de 00, el úmero de vajeros ha expermeado u crecmeo lgeramee superor al 6 por ceo. 105

114

115 TEMA 5 DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES DE FRECUECIAS 5.1. Iroduccó os hemos ocupado hasa ahora de los méodos que perme aalzar el comporameo de ua sola varable. E el efoque bvarae, que veremos a couacó, se procede al esudo cojuo de dos varables, aalzado cómo se dspoe sus daos e ua dsrbucó bdmesoal de frecuecas las éccas esadíscas más secllas para cuafcar la relacó ere ellas. Aes de ada, covee señalar que cuado ere u par de varables se observa la exseca de algua relacó se suele erprear como de causaldad, pero puede adopar oras formas. Ua relacó ere dos varables x e es de causaldad sólo cuado ua de ellas es la causa la ora es el efeco. E parcular se dce que x causa a s sólo s las varacoes e x provoca varacoes e. Esa relacó de causa efeco puede ser smuláea o desfasada e el empo. Por ejemplo, el úmero de ursas que vsa u lugar es e gra pare la causa de los gresos por ursmo e dcho lugar. E cuao a la relacó desfasada, el úmero de plazas e esablecmeos hoeleros e u deermado período es e pare la causa del úmero de plazas e el período sguee, especalmee s ere los dos períodos rascurre poco empo. Ua relacó de erdepedeca supoe, s embargo, que las dos varables so a la vez causa efeco; es decr, que las varacoes de x provoca varacoes e smuláeamee las varacoes de provoca varacoes e x. Por ejemplo, el preco de los alojameos depede del úmero de ursas alojados e u deso a la vez, el úmero de ursas alojados e u deso flue e el preco de los alojameos. E ua relacó dreca, la asocacó que se observa ere las varables x e se debe a que ambas depede de ua ercera varable z. Por ejemplo, los veles de ocupacó mesuales e dsos desos uríscos de "sol plaa" próxmos esá, 107

116 Iroduccó a la Esadísca Descrpva geeralmee, mu relacoados, debdo a que odos ellos depede de la esacó del año. Falmee, ambé puede suceder que la asocacó ere los valores de x e sea fruo de la casualdad, sedo ésa la relacó que coocemos como espura. Por ejemplo, es posble que el úmero de empleados e los esablecmeos hoeleros de u país esé mu relacoado co la superfce foresal quemada, pero eso sucede, úcamee, por casualdad. o exse ua relacó de causaldad, de causa efeco ere las varables. La asocacó ere ellas se debe al azar. Debe eerse e cuea que la formacó que proporcoa los daos de las varables o perme deermar cuál es la clase o el po de relacó que exse ere ellas, que se supoe a pror, a parr de los coocmeos eórcos respeco al comporameo de u deermado feómeo. Los méodos esadíscos que vamos a desarrollar so váldos, úcamee, para cofrmar o rechazar la exseca de dcha relacó valorar su esdad. Para ulzar ese po de éccas, obvamee, es ecesaro dspoer de alguas observacoes de las dos varables mplcadas e la relacó. Vamos a ver, e prmer lugar, cómo se seza la formacó correspodee, medae las ablas de correlacó cogeca Tablas de correlacó cogeca Supogamos que se desea aalzar smuláeamee dos caraceres x e de ua deermada poblacó. E al caso, la dsrbucó de frecuecas correspodee se represea como (x, j, j ), dode x e j smbolza u par de valores cualquera de las varables x e, j es la frecueca bdmesoal o frecueca absolua cojua, que dca el úmero de veces que cojuamee se presea el par (x, j ). Habualmee, los daos se presea e ua abla de doble erada smlar a la que fgura e la pága sguee, que se deoma abla de correlacó cuado las observacoes se refere a varables cuaavas abla de cogeca cuado los daos correspode a varables cualavas o arbuos. 108

117 Dsrbucoes bdmesoales de frecuecas Tabla 5.1. Tabla de correlacó o de cogeca j ésmo dao de la varable x 1... j... k. x j... 1k 1. x 1... j... k x 1... j... k x h h1 h hj hk h..j.1..j.k -ésmo dao de la varable x úmero de daos úmero de veces que se presea el par x, j E esa abla: k. j j1 smbolza el úmero de veces que la varable x oma el valor x depedeemee del valor que ome la varable. Aálogamee el úmero de veces que la varable oma el valor j co depedeca del valor que oma la varable x se represea por: h. j j 1 falmee: = h 1. k.j j1 es el úmero oal de daos dspobles. Como ejemplos, se presea a couacó ua abla de correlacó ua de cogeca. 109

118 Iroduccó a la Esadísca Descrpva La abla de correlacó coee la formacó correspodee a dos caraceres de los hoeles ubcados e ua provca española: x = caegoría del esablecmeo, que se ha agrupado e dos ervalos de amplud cosae gual a dos, e = úmero de plazas, que se ha agrupado e ses ervalos de dsa amplud. Tabla 5.. Tabla de correlacó de x e x j E esa provca exse por ao 1 hoeles que ee regsradas ere plazas ua caegoría que oscla ere las las 4 esrellas j j1 35 es el úmero hoeles que ee ere 0 esrellas, depedeemee del úmero de plazas que ee regsradas. 6. j j1 55 es el úmero hoeles que ee ere 4 esrellas, depedeemee del úmero de plazas que ee regsradas.. 1 j es el úmero de hoeles que ee ere 0 30 habacoes depedeemee de su caegoría.. j

119 Dsrbucoes bdmesoales de frecuecas es el úmero de hoeles que ee ere habacoes depedeemee de su caegoría. ( ). 7 j 1 4 es el úmero de hoeles que ee ere habacoes depedeemee de su caegoría. falmee: 7 = j j1 es el úmero oal de hoeles de la provca, co cualquer úmero de plazas de cualquer caegoría. La abla de cogeca se refere a dos caraceres de los vsaes españoles que llega a Galca: x = Comudad Auóoma de resdeca, cuos valores so los de odas las comudades auóomas españolas excepo Ceua Mellla, cuos daos se ha agregado a los de Adalucía, e = movo del vaje, para el cual se ha cosderado los valores más frecuees: el pasaje, la culura, la famla la raquldad, se ha agrupado los demás movos e oros. Tabla 5.3. Tabla de cogeca de x e x Pasaje Culura Famla Traquldad Oros. Adalucía Aragó Asuras Baleares Caaras Caabra Caslla-Leó Caslla-La Macha Caaluña

120 Iroduccó a la Esadísca Descrpva x Pasaje Culura Famla Traquldad Oros. Exremadura Galca Roja Madrd Murca avarra País Vasco Valeca j Por ao, de los vsaes que llega a Galca procedees de avarra, 7 vaja para ver el pasaje j j1 97 es el úmero de vsaes que llega a Galca procedees de Adalucía, depedeemee del movo del vaje. 5. j j1 34 es el úmero de vsaes que llega a Galca procedees de Aragó, depedeemee del movo del vaje. ( ) j j1 1 es el úmero de vsaes que llega a Galca procedees de la Comudad Valecaa, depedeemee del movo del vaje j

121 Dsrbucoes bdmesoales de frecuecas es el úmero de vsaes que vee a Galca para ver el pasaje, depedeemee de cuál sea su Comudad Auóoma de resdeca. 17. j es el úmero de vsaes que vee a Galca para coocer su culura, depedeemee de cuál sea su Comudad Auóoma de resdeca. ( ) j es el úmero de vsaes que vee a Galca por movos dferees de los aerores, depedeemee de cuál sea su Comudad Auóoma de resdeca. falmee: 7 = j j1 es el úmero oal de vsaes que llega a Galca por cualquer movo procedees de cualquer Comudad Auóoma Dsrbucoes margales A parr de ua dsrbucó bdmesoal de frecuecas (x, j, j ) puede aalzarse cada ua de las varables o arbuos por separado. Para ello debe deducrse de la abla de correlacó dos dsrbucoes udmesoales, que correspode a las varables o arbuos x e respecvamee, que se deoma dsrbucoes margales. La dsrbucó margal de la varable x () queda defda por los valores que oma dcha varable juo co sus correspodees frecuecas margales, eso es el 113

122 Iroduccó a la Esadísca Descrpva úmero de veces que la varable x () oma cada uo de sus valores co depedeca de los que ome la varable (x), que puede presearse de la sguee forma: Tabla 5.4. Dsrbucoes margales de x e x. j.j x x x j j. j.j x h h. k.k Paredo de la formacó que coee la Tabla 5., que se refere a las varables x = caegoría del esablecmeo e = úmero de plazas de los hoeles ubcados e ua provca española, se ha obedo las dos dsrbucoes margales correspodees. Tabla 5.5. Dsrbucó margal de x = caegoría del esablecmeo L -1 L Tabla 5.6. Dsrbucó margal de = úmero de plazas L -1 L.j

123 Dsrbucoes bdmesoales de frecuecas Ua vez obedas las dsrbucoes margales, puede aplcarse para cada varable odas las éccas de aálss que hemos vso e el caso las dsrbucoes udmesoales Dsrbucoes codcoadas La dsrbucó codcoada de la varable dado u valor de x = x, queda defda por los valores que oma la varable juo co sus correspodees frecuecas codcoadas. De forma smlar, la dsrbucó codcoada de la varable x dado u valor de = j, queda defda por los valores que oma la varable juo co sus correspodees frecuecas codcoadas. A la frecueca codcoada de j dado el valor de x = x se la desga (j/), se la defe como el úmero de veces que se presea el valor de = j sedo x = x. De gual forma, a la frecueca codcoada de x dado el valor de = j se la desga (/j) se la defe como el úmero de veces que se presea el valor de x = x sedo = j. Las dsrbucoes codcoadas de a x = x de x a = j puede presearse, eoces, de la sguee forma: Tabla 5.7. Dsrbucoes codcoadas de a x = x de x a = j j /x = x (j/) x / = j (/j) 1 1 x 1 1j x j j j x j k k x h hj..j Sguedo co el ejemplo aeror, se obee, e prmer lugar, la dsrbucó de = úmero de plazas codcoada a que x = caegoría del esablecmeo ome el valor x = 4; es decr, la dsrbucó del úmero de plazas de los esablecmeos hoeleros codcoada a que dchos esablecmeos ega ua caegoría de ere 4 esrellas, e segudo lugar, la dsrbucó de x = caegoría del esablecmeo 115

124 Iroduccó a la Esadísca Descrpva codcoada a que = úmero de plazas ome el valor j = 60 90; es decr, la dsrbucó de la caegoría de los esablecmeos hoeleros codcoada a que dchos esablecmeos ega ere plazas. Tabla 5.8. Dsrbucó codcoada de a x = 4 j /x = 4 (j/) Tabla 5.9. Dsrbucó codcoada de x a = x / = (/j) Covaracó o varacó cojua Para proceder al aálss de la relacó exsee ere dos varables, es eresae comezar examado el gráfco de los pares de valores observados de las varables, que se cosrue sobre u par de ejes caresaos e los que se súa escalas para las dos varables. Geeralmee se mde la varable x sobre el eje horzoal la varable sobre el eje vercal. E el plao, se dbuja u puo por cada par de valores observados de x de. La represeacó gráfca del cojuo de puos resulae o ube de puos se deoma dagrama de dspersó, su aálss vsual cosue u bue puo de parda, pueso que proporcoa ua ampla formacó sobre la covaracó sus caraceríscas. Cuado la ube de puos se cocera alrededor de ua líea reca, se dce que la asocacó ere x e es leal. 116

125 Dsrbucoes bdmesoales de frecuecas S la asocacó es leal la ube de puos es crecee; es decr, s los valores pequeños de x esá asocados a valores pequeños de los valores elevados de x esá asocados a valores elevados de, se dce que la asocacó ere las varables es leal dreca. E cambo, s la asocacó es leal la ube de puos es decrecee; es decr, s los valores pequeños de x esá asocados a valores elevados de los valores elevados de x esá asocados a valores pequeños de, se dce que la asocacó ere las varables es leal e versa. Puede ocurrr, s embargo, que el dagrama de dspersó o sugera ua reca, so que los puos puede aparecer aproxmadamee dspuesos sobre ua curva. E al caso, la asocacó ere las varables es o leal. Falmee, ambé es posble que la ube de puos dque la o exseca de asocacó ere las varables. Los gráfcos 5.1 a 5.4 so los dagramas de dspersó correspodees a varas suacoes comues: fuere asocacó leal posva, asocacó leal egava más débl, asocacó o leal auseca de asocacó. E el gráfco 5.1, la ube de puos es el dagrama de dspersó de las varables = perocacoes e esablecmeos hoeleros de vajeros procedees de Alemaa x = úmero de vajeros procedees de Alemaa. Ese gráfco muesra la exseca de ua clara relacó leal (e forma de líea reca) ere ellas. Además, la relacó es posva o dreca (cuado la varable x aumea la varable aumea ambé) los puos del dagrama aparece mu cocerados, lo que dca que la relacó ere las varables es mu esa. El gráfco 5. es el dagrama de dspersó correspodee a las varables = perocacoes e esablecmeos hoeleros de vajeros procedees de Alemaa x = po de cambo e marcos por pesea. E él puede observarse la exseca de ua relacó leal (e forma de líea reca), pero mucho meos clara que e el caso aeror, pueso que la ube de puos esá más dspersa. Además, la relacó es de po verso o egava (cuado la varable x aumea la varable dsmue vceversa). 117

126 Iroduccó a la Esadísca Descrpva x Gráfco 5.1. Asocacó leal posva ,010 0,015 0,00 0,05 0,030 x Gráfco 5.. Asocacó leal egava El gráfco 5.3 es el dagrama de dspersó de las varables = perocacoes e esablecmeos hoeleros de vajeros procedees de Alemaa x = po de cambo e peseas por udad de cuea europea, sugere la exseca de ua relacó ere las varables de po o leal o curvlíea. Falmee, el gráfco 5.4 es el dagrama de dspersó que correspode a las varables = perocacoes e esablecmeos hoeleros de vajeros procedees de Alemaa x = perocacoes e esablecmeos hoeleros de vajeros procedees de Fraca, muesra la exseca de relacó ere las varables, a que o parece que las varacoes de x supoga varacoes ssemácas e. 118

127 Dsrbucoes bdmesoales de frecuecas x Gráfco 5.3. Asocacó o leal x Gráfco 5.4. Auseca de asocacó El méodo gráfco de aálss de la covaracó srve o sólo para deecar la posble relacó ere dos varables so ambé para coocer sus caraceríscas. El procedmeo es, e el caso de dos varables, mu efcaz, además, sumamee secllo. Pero, auque el dagrama de dspersó ofrece formacó acerca de la asocacó ere dos varables, basada e la observacó vsual, e la prácca se acude a srumeos más precsos que perme la obecó de ua cuafcacó umérca de la esdad las caraceríscas de dcha asocacó. La covaraza es uo de esos srumeos. Se basa e las dferecas observadas ere los valores de x e respeco a sus correspodees medas. 119

128 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Así, para obeer su valor, se calcula para cada par (x, j ) de valores observados de x e el produco de las desvacoes respeco a sus medas, que deja por debajo de ellas los valores meores por ecma de ellas los valores maores de las varables, de al maera que para los valores pequeños de las varables esas dferecas so egavas para los valores elevados so posvas. El sgo la magud de los producos (x x) ( j ) obedos para odos los valores de de j deerma el valor de la covaraza. Cuado la relacó ere x e es leal crecee, a los valores más pequeños de x (x <x) les correspode los valores más pequeños de ( j <) a los valores más elevados de x (x >x) les correspode los valores más elevados de ( j >), de al maera que la maoría de esos producos so posvos es posva su suma. Además, cuao más esa sea la relacó, maor será la proporcó de producos posvos e el oal, por ao, la suma de los producos es elevada. E cambo, s la relacó es leal decrecee, a los valores más pequeños de x (x <x) les correspode los valores más elevados de ( j >) a los valores más elevados de x (x >x) les correspode los valores más pequeños de ( j <), de al maera que la maoría de esos producos so egavos su suma es egava. Además, cuao más esa sea la relacó, maor será la proporcó de producos egavos e el oal, por ao, la suma de los producos es egava, pero elevada e valor absoluo. Cuado o exse relacó ere las varables o se observa ua respuesa ssemáca de los valores de a los valores de x, de al maera que los producos de las desvacoes de las varables respeco a sus medas so ao posvos como egavos la suma de dchos producos es pequeña. E defva, s la suma de los producos de las desvacoes de x respeco a su meda por las desvacoes de respeco a su meda es posva, las varables maee ua relacó dreca, s es egava, las varables maee ua relacó versa. S las varables o ee ua relacó de po leal, la suma es gual a cero. 10

129 Dsrbucoes bdmesoales de frecuecas A parr de esa dea, la covaraza se defe como la meda arméca de los producos de las desvacoes de las varables x e respeco a sus respecvas medas; es decr, se defe por cocee ere la suma de los producos de las varables e desvacoes respeco a sus medas el úmero de observacoes: s x h k (x x)( 1 j 1 j ) j que de ua forma más abrevada puede calcularse a ravés de la expresó: s x h k x 1 j 1 j j x Ese cocee es posvo s es posva la suma egavo cuado la suma es egava, es gual a cero s sólo s es gual a cero la suma. Luego, el sgo de la covaraza dca que la relacó ere las varables es dreca s es posvo, que es versa s es egavo que o exse asocacó leal s es ula. Tabla Tabla de correlacó de x = gasos e = beefcos x = Gasos = Beefcos j Co los daos que coee esa abla se calcula, como ejemplo, la covaraza ere las varables beefcos gasos de las empresas uríscas ubcadas e ua deermada comarca. Debe eerse e cuea que, al raarse de ua dsrbucó agrupada e ervalos, ao para el cálculo de las medas armécas, como para el de la covaraza, debe ulzarse las marcas de clase. 11

130 Iroduccó a la Esadísca Descrpva h k x 1 j1 j j (1, ) (1, ) (, ) (, ) x h x 1. 1,5 9, ,9 k j 1 j.j ( ) Y la covaraza resula: s x h k x 1 j 1 j j x 18, Luego ere los beefcos los gasos de las empresas exse ua asocacó leal de po dreco Correlacó Dada su defcó, la covaraza esá expresada e el produco de las udades de medda de x e, o ee límes feror o superor. Por eso es ecesaro defr ora medda que o se vea afecada por problemas de escala o de comparabldad. La medda admesoal más ulzada para cuafcar el grado de asocacó leal ere dos varables es el coefcee de correlacó leal smple, que es el resulado de dvdr la covaraza por el produco de las desvacoes ípcas de x e. r x s x s s x 1

131 Dsrbucoes bdmesoales de frecuecas El coefcee de correlacó leal es ua medda admesoal de la esdad de la asocacó leal ere x e que oma valores compreddos ere 1 1, porque la covaraza de las varables puede ser posva o egava, pero e valor absoluo es meor o gual que el produco de las desvacoes ípcas. Cuado esá próxmo a sus valores exremos dca fuere asocacó leal, que es perfeca s es exacamee gual a uo o a meos uo (posva, s es posvo; egava, s es egavo). Cuado esá próxmo a cero, dca que la asocacó leal ere las varables es débl, sedo ula cuado es exacamee gual a cero. De la defcó del coefcee, se deduce medaamee que r x = r x ; es decr, que el grado de asocacó leal ere x es el msmo que ere x e. Además, r xx = r = 1; es decr, que cualquer varable ee ua correlacó posva perfeca cosgo msma. Sguedo co el ejemplo aeror dados los valores de las desvacoes ípcas s x 4,80 s 48, 99 se ha calculado el valor del coefcee de correlacó: r x s x s s x 16 0,07 4,80 48,99 resulado que dca que práccamee o exse relacó leal ere los beefcos los gasos de las empresas uríscas de la comarca seleccoada Correlacó co EXCEL Para obeer el valor del coefcee de correlacó leal smple co EXCEL efecuado los cálculos ermedos, e prmer lugar, se roduce los daos correspodees a las dos varables se calcula sus medas medae la sruccó Iserar Fucó Esadíscas Promedo. Para obeer las dferecas ere su meda ere x su meda se procede de la msma forma: e la prmera celda de la columa dode se desea que aparezca el resulado, se eclea el sgo gual co el raó se pcha la prmera celda de, se escrbe el sgo meos, se pcha co el raó el valor de la meda. Para dejar fjo e la dfereca ese valor, se escrbe el símbolo $ ere el ombre de la columa el de la 13

132 Iroduccó a la Esadísca Descrpva fla. Se ejecua la operacó pulsado Iro. Se pcha esa celda co el raó se copa. Se pega la operacó e el reso de las celdas de la columa. Para obeer los producos de las dferecas de respeco a su meda de x respeco a su meda, e la prmera celda de la columa dode se desea que aparezca el resulado, se eclea el sgo gual co el raó se pcha la prmera celda de meos su meda, se escrbe el sgo por, se pcha co el raó la prmera celda de x meos su meda. Se ejecua la operacó pulsado Iro. Se pcha esa celda co el raó se copa. Se pega la operacó e el reso de las celdas de la columa. Para obeer los cuadrados de las dferecas, e la prmera celda e la que se desea que aparezca el resulado se eclea el sgo gual, co el raó se pcha la prmera celda de (x) meos su meda se escrbe el símbolo ^ (que dca poeca) segudo de. Se ejecua la operacó pulsado Iro. Se pcha esa celda co el raó se copa. Se pega la operacó e el reso de las celdas de la columa. Co Iserar Fucó Esadíscas Promedo se obee los valores medos de las dferecas de respeco a su meda por x respeco a su meda (o la covaraza de x e ), de los cuadrados de las dferecas de respeco a su meda (o varaza de ) de los cuadrados de las dferecas de x respeco a su meda (o varaza de x). Co Iserar Fucó Maemácas Raíz, se obee las desvacoes ípcas. Falmee, co Isera Fucó Maemácas Cocee, se obee el valor del coefcee de correlacó leal smple ere las dos varables. Obvamee, es mucho más secllo ejecuar la sruccó Isera Fucó Esadíscas Coefcee de Correlacó, que proporcoa el resulado de forma medaa, auque o da los resulados ermedos. 14

133 TEMA 6 AÁLISIS DE REGRESIÓ 6.1. Iroduccó La regresó es oro srumeo esadísco de aálss de la relacó ere varables. E geeral, puede ulzarse para el aálss de la relacó que ua varable maee co u cojuo de oras k, pero e ese exo os refermos úcamee a la regresó leal smple. El érmo smple dca que e la relacó sólo ha dos varables mplcadas; es decr, sólo vamos a ocuparos del caso bvarae. El érmo leal hace refereca a la forma que adopa la relacó que, e prcpo, puede expresarse medae cualquer fucó maemáca: leal, polómca, parabólca, expoecal, ecéera. Cuado la regresó es leal, la relacó se formalza medae ua fucó leal, lo que e érmos gráfcos equvale a que la ube de puos del dagrama de dspersó que represea las observacoes de las varables esé, aproxmadamee, sobre ua líea reca. De hecho, lo que se preede co la regresó leal es ecorar la ecuacó de la reca sobre la que aproxmadamee se alea los puos de la ube. E cuao al érmo regresó, fue ulzado por Galo e u esudo relavo a las esauras de ua deermada poblacó, co el objevo de aalzar s exsía algua relacó ere las esauras de los padres las de los hjos. E dcho esudo se observó que los hjos de padres alos era, por érmo medo, más alos que la meda de la poblacó, pero más bajos que sus padres. Igualmee, los hjos de padres bajos era, por érmo medo, más bajos que la meda de la poblacó pero más alos que sus padres. Había, por ao, segú Galo, ua edeca de las esauras de los hjos, ao de padres alos como de padres bajos, a moverse, a volver o a "regresar" a la esaura meda de la poblacó. E la acualdad, la palabra abarca u cocepo más amplo. El aálss de regresó es el aálss de ua depedeca causal, ulaeral, exaca o de po esadísco. Por ao, 15

134 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 1. El aálss de regresó leal smple se ulza para aalzar la relacó ere dos varables bajo la hpóess de que es causal; es decr, debe supoerse que ua de las varables (x) es la causa de la ora (), que es el efeco. Obvamee, la écca es aplcable auque la relacó ere las varables sea o causal, pero o ee sedo puede coducr a coclusoes erróeas. La varable que se supoe depedee () se deoma ambé explcada, edógea o regresado. La varable que se supoe depedee (x) se deoma ambé explcava, exógea o regresor.. La relacó ere las varables se supoe ulaeral, ee u solo sedo; x es causa de pero o es causa de x; por ao, o exse erdepedeca. 3. La relacó ere las varables es exaca o de po esadísco. Como a hemos vso a parr de los dagramas de dspersó, auque las varables x e esé mu relacoadas, s represeamos e el plao pares de valores observados de x de, o ecoramos ua líea so ua ube de puos que puede esar más o meos cocerada alrededor de ua líea "deal". Auque la ube de puos puede esar mu cocerada, por ejemplo, alrededor de ua reca, o odos los puos esá sobre la reca. Luego, las observacoes de x de o se ajusa a ua le maemáca, que asga a cada valor de x u valor dado de, so que la relacó que exse ere ellas es de po esocásco, exse u cojuo de posbles valores de para cada valor dado de x. Para cerar la dea, aalzamos u ejemplo mu secllo: Ua hpóess razoable podría ser que el gaso e ursmo de ua famla () depede de la rea que percbe (x), de al maera que respode a las varacoes de la rea co varacoes del msmo sedo. Esas varables maee, por ao, ua relacó dreca: el gaso aumea s aumea la rea dsmue cuado la rea dsmue; es decr, e érmos maemácos, el gaso es ua fucó crecee de la rea: = f(x) O be, supoedo que f es ua fucó leal: = + x 16

135 Aálss de regresó La hpóess esablecda respeco al comporameo del gaso es ua le geeral que debería cumplrse para cualquer famla. Cocreado la relacó para ua famla deermada, se ee: = + x dode oma valores compreddos ere 1, sedo el úmero oal de famlas e el que esamos eresados. E esa ecuacó, eoces, es el gaso e ursmo correspodee a la ésma famla x es su rea. Además, al ser f ua fucó crecee, el coefcee es posvo. Dcho de ora forma: de acuerdo co esa gualdad, la úca causa de que varíe es que varíe x,, como hemos dcho, las varacoes posvas (egavas) de x debe supoer varacoes posvas (egavas) e. Teedo e cuea que: = -1 = + x ( + x -1 ) = x x -1 = (x x -1 ) = x Se deduce que la varacó de es gual al produco por la varacó de x, para que las dos varacoes ega el msmo sgo, debe ser maor que cero. La represeacó gráfca de la ecuacó = + x es ua reca al como la que se muesra e el Gráfco 6.1, que cora al eje de ordeadas a la alura de que ee como pedee, a que: x = 0 =, luego la reca pasa por el puo (0, ) m = / x = sedo > 0, luego la reca esá clada a la derecha el águlo que forma co ua paralela al eje de abscsas es gual a. La ecuacó = + x supoe la exseca de ua relacó exaca ere el gaso la rea, pueso que, de acuerdo co ella, dos famlas que ee la msma 17

136 Iroduccó a la Esadísca Descrpva rea ee exacamee el msmo gaso e ursmo. Como vemos, fjado u valor de x a le correspode u úco valor que vee dado por + x. Eso sgfca, por ejemplo, que para u cojuo de famlas co 100 udades de rea, el gaso e ursmo ha de ser, para odas ellas, exacamee gual a x x Gráfco 6.1. Represeacó gráfca de la ecuacó = + x Sabemos, s embargo, que eso o sucede. Dos famlas co la msma rea, puede eer gasos uríscos dferees. Por ejemplo, e u caso prácco de muesreo de 10 famlas co rea gual a 100 udades, e cuao a su gaso e ursmo, se obuvero como respuesas los sguees valores ordeados: {0,00; 5,60; 5,65; 5,90; 6,10; 6,10; 6,0; 6,5; 6,35; 10,00} udades. Como vemos, o odas las famlas ecuesadas, que ee ua rea exacamee gual, ee u gaso e ursmo gual. E esa muesra, las famlas declara gasos compreddos ere 0,00 10,00 udades, que oscla e oro a ua meda de 5,81 udades. E la maoría de los casos, los gasos so smlares a la meda, pero o guales. Lo msmo sucedería s el proceso de muesreo se repese para u cojuo de famlas co rea de 00, 300, 400 udades, o cualquer ora cadad. Ha que eer e cuea que, además de la rea, exse oras varables, ales como el úmero de membros de la famla, sus crcusacas parculares, sus afcoes o sus gusos, que afeca ambé al gaso e ursmo, de al maera que, para ua rea dada, el gaso o suele ser el msmo. 18

137 Aálss de regresó La exseca de esas varables omdas es lo que hace que las relacoes ere las varables o sea exacas, so aproxmadas. La hpóess esablecda calmee es que el gaso e ursmo depede de la rea. Pero, e la prácca, el gaso depede, además, de oras varables que ee pequeños efecos sobre él, de al maera que el gaso, auque es fucó de la rea, o es fucó exaca de la rea, so que la relacó ere las varables es exaca. Eso sgfca que la represeacó gráfca de la verdadera relacó exsee ere el gaso la rea o es ua reca, so ua ube de puos como la que muesra el Gráfco 6., e la que puede observarse como, dado u valor de la rea, el valor del gaso o es úco, so que exse u cojuo de dferees valores del gaso que so compables co él. x Gráfco 6.. Cojuo de posbles valores de fjado x Lo que sucede es que, geeralmee, e la prácca, de esos puos de la ube sólo so coocdos alguos. Más aú, habualmee, para cada valor observado de x se dspoe de u solo valor observado para. Los pares de valores observados de x e so los que se represea e el dagrama de dspersó al que correspode el Gráfco 6.3. El raameo de los daos, de las observacoes dspobles para las varables, co deermadas éccas, perme deducr uos valores umércos a b que esma, de forma más o meos correca, los coefcees que clue la ecuacó del modelo, que puede ulzarse para represear la reca esmada, que ambé vemos 19

138 Iroduccó a la Esadísca Descrpva e el gráfco. Esos valores umércos so, úcamee, esmacoes de los coefcees eórcos, pero o so sus verdaderos valores que, e realdad, sgue sedo descoocdos. x Gráfco 6.3. Dagrama de dspersó de x e Pero ua vez que dspoemos de esmacoes de los coefcees, podemos aalzar s los daos esadíscos de los que dspoemos cofrma la eoría propuesa; es decr, e ese caso, s el gaso varía cuado varía la rea s sus varacoes so del msmo sedo. El hecho de que las esmacoes obedas ega los sgos que eórcamee cabía esperar que uvese cosue u dco de que la eoría es correca. Los daos parece cofrmarla. Además, co dchos coefcees, se puede ulzar la ecuacó para esmar o predecr el valor de la varable que se cosdera depedee que, e ese caso, es el gaso, e fucó de uos valores dados o coocdos de la varable depedee que es, e ese caso, la rea. Por ora pare, s la formacó muesral dspoble o es compable co la hpóess esablecda calmee, habrá que proceder a su revsó o a la elaboracó de ua ueva eoría, co lo que volveríamos al puo de parda. E resume, e la aplcacó prácca del aálss de regresó, se esablece u supueso sobre el comporameo de las varables, que dca qué varable puede resular relevae para explcar a ora s la flueca que ee sobre ella es posva 130

139 Aálss de regresó o egava. Mu pocas veces, s embargo, se cooce la forma fucoal de la relacó ere las varables por lo que, geeralmee, al meos como prmera aproxmacó, e la fase de plaeameo del modelo, suele elegrse la forma fucoal más seclla posble. Así, la mesa maoría de las ecuacoes so leales o fáclmee lealzables. Ua vez plaeada la ecuacó, el proceso de esmacó cosse e la obecó de valores umércos represeavos de los coefcees que clue. Para proceder co esa eapa, es ecesaro dspoer de daos; es decr, de u cojuo de observacoes de las varables que fgura e el modelo que, además, debe esar perfecamee defdas desde el puo de vsa esadísco. E alguos casos puede ser ecesaro ambé efecuar algú raameo prevo: deflacar las seres, elmar la edeca o la esacoaldad, obeer asas, porceajes, logarmos, ecéera. Puede ser ecesaro ambé, por la lmacó de los daos dspobles, ulzar lo que deomamos varables prox o aproxmacoes a aquellas que sería eórcamee las más adecuadas. E cualquer caso, la ecesdad de dspoer de daos para la esmacó de esos modelos o sgfca que o se pueda corporar e ellos formacó de po cualavo. La úca codcó ecesara para que eso se pueda hacer es que, de algua forma, la formacó cualava se pueda cuafcar. Geeralmee, los arbuos se cuafca medae la ulzacó de uas varables especales, que llamamos fccas, que oma úcamee los valores cero uo, cero para dcar la auseca de ua cualdad uo para dcar su preseca. Ua vez esmada la ecuacó, se raa de aalzar s los daos dspobles cofrma la eoría de la que habíamos pardo o s por el coraro dcha formacó o es compable co el supueso cal. E el caso de que la ecuacó pase la prueba, podrá ser ulzada para la predccó, por ao, como srumeo de políca ecoómca. S la ecuacó o supera el corase, el proceso debe ser revsado e odos sus puos: exse algua razó para pesar que la eoría o es correca?, esá la eoría correcamee represeada co la ecuacó plaeada?, los daos ulzados so los adecuados?, 131

140 Iroduccó a la Esadísca Descrpva esá dados e las udades correcas?, el méodo o écca ulzada para obeer los valores umércos represeavos de los coefcees es la apropada?, se ha erpreado adecuadamee el resulado obedo?, ecéera. Ua vez efecuadas las correccoes oporuas, el modelo puede ulzarse para aalzar la realdad, para obeer predccoes o como base para omar decsoes. 6.. El ajuse mímo cuadráco ordaro El problema que se plaea ahora es el de la obecó prácca de la reca de regresó. Como hemos vso e el ejemplo, e el aálss de regresó se supoe que el regresado () el regresor (x) maee ua relacó de depedeca que se represea formalmee medae ua ecuacó al como: = + x De acuerdo co esa gualdad, so los cambos e x los que explca los cambos e. ormalmee se ee ambé algua hpóess sobre cómo afeca al regresado los cambos e el regresor. Es posble que sepamos, por ejemplo, que ere ambas varables exse ua relacó dreca (versa), de maera que las varacoes e el regresor provoca e el regresado varacoes del msmo sedo (de sedo coraro). Pero se descooce la magud del cambo, que es lo que se ea deducr medae el proceso de esmacó del modelo. Dcho proceso proporcoa uos valores umércos, a b, que puede cosderarse represeavos de los coefcees descoocdos, de maera que se cuafca la relacó que exse ere las varables. Así, puede obeerse ua aproxmacó o ua esmacó del valor de, que represeamos como ŷ, medae el produco a + bx, de maera que se ee: ŷ = a + bx que es la ecuacó que esma la que expresa formalmee la relacó ere el regresado el regresor. 13

141 Aálss de regresó E érmos gráfcos, la esmacó proporcoa ua aproxmacó de la reca deal o eórca e oro a la cual se cocera los puos del dagrama de dspersó, que deomamos reca muesral o esmada. ŷ e x x Gráfco 6.4. Dagrama de dspersó recas de regresó deal o eórca (razo dscouo) esmada (razo couo) Para obeer esa reca, puede ulzarse dferees creros. Uo de ellos, mu secllo amplamee ulzado, es el que sugere que los esmadores más adecuados so los que geera valores esmados del regresado lo más próxmos posble a los observados. S llamamos error o resduo a la dfereca ere el valor observado el esmado del regresado: e ŷ los valores esmados del regresado so ao más smlares a los observados cuao meor es el error, de maera que, de acuerdo co el crero esablecdo, los esmadores se obee mmzado el error comedo; pero, pueso que = 1,,,, debe eerse e cuea que e la ecuacó ha aos errores mplcados como observacoes muesrales. Puede mmzarse el cojuo de errores hacedo míma su suma. Pero el problema de suma míma o ee solucó úca. Además, e la adcó, los errores 133

142 Iroduccó a la Esadísca Descrpva de dso sgo se compesa ere sí, de maera que errores grades co sgos coraros, geera sumas pequeñas, por ao, ua suma míma puede ecubrr errores elevados. Para evar la compesacó de los errores de dso sgo puede omarse los valores absoluos o los cuadrados. La suma de valores absoluos o es ua fucó dervable, de maera que es más secllo obeer el mímo de la suma de los cuadrados de los errores. Ese procedmeo ee, además, la veaja de que pealza los errores elevados, pueso que s u error es el doble de oro, su cuadrado es cuaro veces maor. La esmacó se efecúa, por ao, medae el méodo de esmacó mímo cuadráco ordara, que cosse e la obecó de los valores de los coefcees a b que hace míma la suma de los cuadrados de los errores: SCE e1 e... e e ( ŷ ) ( (a bx )) dode, para smplfcar, se supoe que, como es habual, la frecueca absolua cojua para odos los pares de valores (x, ) es gual a la udad. Como sabemos, la prmera codcó para el mímo de ua fucó es que sea gual a cero su prmera dervada. Por ao, para obeer los valores de a b que hace míma SCE se calcula las correspodees dervadas parcales: SCE ( (a bx )) a 1 SCE ( b 1 (a bx )) x se guala a cero: ( 1 (a bx )) 0 ( (a bx ))x

143 Aálss de regresó 135 Operado e las dos gualdades aerores: 1 1 x b a x b x a x Y los valores de a b se obee resolvedo ese ssema. De la prmera ecuacó se deduce que: bx a lo cual mplca que: bx a Susuedo e la seguda: x b bx x x b bx)x ( x de maera que: ) x x b( x x 1 1 es decr: x x 1 1 s s x x x x b E cuao a la erpreacó de esos coefcees:

144 Iroduccó a la Esadísca Descrpva El érmo depedee a es la ordeada e el orge de la reca esmada; es decr, es el valor esmado de cuado x se aula, pueso que al ser ŷ a bx, s x es gual a cero, ŷ es gual a a. Desde el puo de vsa ecoómco, la erpreacó de ese coefcee o ee sedo cuado x es ua varable que o se aula (poblacó, produco eror bruo, preco, salaro, ecéera). Por ejemplo, s esamos aalzado los gresos por ursmo e fucó del úmero de ursas que era e el país, a es el valor esmado de los gresos s e el país o era gú ursa, pero esa esmacó o ee, desde el puo de vsa ecoómco, gú erés, porque eso es algo que o sucede. El érmo depedee e la ecuacó de la reca se roduce para evar la fuere resrccó de que pase por el orge de coordeadas, por ao, e muchas ocasoes, auque o e odas, carece de sgfcado. El coefcee b es la pedee de la reca de regresó esmada; por ao, es la varacó que se esma que se produce e el regresado cuado el regresor expermea ua varacó uara. S b ee sgo posvo dca ua relacó dreca (pueso que la covaraza de las varables es posva), luego las varacoes de las dos varables so del msmo sedo; s ee sgo egavo dca ua relacó versa (pueso que la covaraza de las varables es egava), por lo que las varacoes de las dos varables so de sedo coraro. E el ejemplo propueso para explcar el sgfcado de a, b sería la varacó esmada e los gresos por ursmo que se debe a ua varacó uara e el úmero de ursas. E ese caso, el coefcee b debería ser de sgo posvo, pueso que se espera que a medda que aumea el úmero de ursas aumee ambé los gresos por ursmo. Veamos ua aplcacó prácca, aalzado la relacó exsee ere el gaso aual e ursmo () los gresos famlares mesuales (x). Para ello, se dspoe de la formacó que fgura e la Tabla 6.1, e la que ambas varables vee dadas e euros. 136

145 Aálss de regresó Tabla 6.1. Gaso aual e ursmo e greso famlar mesual Famla Gaso () Igreso (x) S se efecúa la represeacó gráfca de los pares de valores observados de x e que proporcoa la muesra, se obee la ube de puos del Gráfco 6.5, que esá cas sobre ua reca deal, cua ecuacó puede esmarse ulzado el procedmeo de mímos cuadrados ordaros. Gaso Igreso Gráfco 6.5. Dagrama de dspersó del gaso el greso Dado que es razoable supoer que el gaso ursmo maee co el greso mesual ua relacó causal, ulaeral o exaca, se plaea el modelo de regresó leal smple: = + x 137

146 Iroduccó a la Esadísca Descrpva ecuacó e la cual es la varable depedee, explcada o regresado, que represea el gaso e ursmo x es la varable depedee, explcava o regresor, que represea los gresos mesuales famlares. Los valores a b que esma los coefcees mmzado la suma de los cuadrados de los errores so, como hemos vso: a bx s b s x x Para obeer sus valores, por ao, es ecesaro calcular prevamee las medas armécas de x ( x. 538 ) de ( ), la covaraza de x e ( s x ) la varaza de x ( s x ). Dados esos daos, susuedo, se ee: s b s x x , a = b x = ,661 x.538 = 608,13 Y la reca de regresó esmada que resula es: ŷ = 608,13 + 0,661 x La ordeada e el orge de esa reca es gual a 608,13 e dca que s el greso famlar mesual fuese gual a cero, se esmaría u gaso aual e ursmo de 608,13 euros. Obvamee, ese resulado carece de sedo, pueso que el valor mímo que cualquer gaso puede omar es cero. Igualado a cero el gaso aual e ursmo esmado: 0 = 608,13 + 0,661 x 138

147 Aálss de regresó se deduce: x 608,13 90,004 0,661 Es decr, que el gaso aual e ursmo esmado es gual a cero para u valor del greso famlar mesual gual a 90 euros es posvo para valores superores. Por ao, se esma que sólo las famlas co gresos superores a ésos gasa e ursmo. La pedee de la reca de regresó esmada es gual a 0,661 e dca que por cada euro de varacó e el greso famlar mesual se esma ua varacó e el msmo sedo del gaso aual e ursmo de 0,661 euros. Es decr, que s el greso famlar mesual aumea (dsmue) u euro, se esma que el gaso aual e ursmo aumea (dsmue) 0,661 euros. El modelo de regresó leal smple ormalmee ee u érmo depedee, al como hemos supueso hasa ahora. Icluso cuado dcho érmo o ee sgfcado ecoómco geeralmee se clue, porque al o mpoer la resrccó de que pase por el orge de coordeadas, la reca de regresó esmada puede adaparse mejor a la ube de puos del dagrama de dspersó. o obsae, o es ecesaro que se clua sempre. El modelo puede plaearse, ambé, s ordeada e el orge, smplemee, hacedo gual a cero e la ecuacó que lo represea: = x Para esmar el valor de e esa ecuacó ulzado el procedmeo de mímos cuadrados ordaros, se guala a cero la dervada de la suma de cuadrados de errores co respeco al úco coefcee de la ecuacó: SCE ( b 1 bx ) x 139

148 Iroduccó a la Esadísca Descrpva ( bx ) x 1 0 Operado: x 1 b x 1 0 de dode se deduce: x 1 b x 1 Por ejemplo, s el modelo del gaso e ursmo se hubese plaeado s ordeada e el orge, lo habríamos represeado medae la ecuacó: = x. co los msmos daos que se ha ulzado para esmar el modelo co ordeada e el orge, la esmacó del parámero sería: b x 1 x , de maera que el modelo esmado que resula es: ŷ = 0,441 x E Gráfco 6.6 se ha reproducdo el 6.5, pero añadedo la reca esmada cuado o se clue érmo depedee e el plaeameo del modelo. Así puede observarse que, como hemos dcho, la reca que o se fuerza a pasar por el orge de coordeadas se adapa mejor a la ube de puos del dagrama de dspersó que la que coee dcha resrccó. 140

149 Aálss de regresó Cualquera de los dos modelos esmados perme obeer esmacoes de los valores del gaso e ursmo para cada valor dado del greso, s más que susur e las correspodees ecuacoes. Gaso Igreso Gráfco 6.6. Dagrama de dspersó del gaso el greso E el modelo co ordeada e el orge, ŷ = 608,13 + 0,661 x Para la prmera famla es gual a 1, se ee: ŷ 1 = 608,13 + 0,661 x 1 = 608,13 + 0,661 x 1.30 = 64,660 Para la seguda famla es gual a, luego: ŷ = 608,13 + 0,661 x = 608,13 + 0,661 x = 383,676 De la msma forma, se obee los valores esmados del gaso e ursmo para las demás famlas de la muesra. E parcular: Para la úlma famla es gual a 10, resula: ŷ 10 = 608,13 + 0,661 x 10 = 608,13 + 0,661 x = 1.831,310 E el modelo s ordeada e el orge, ŷ = 0,441 x 141

150 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Para la prmera famla es gual a 1, se ee: ŷ 1 = 0,441 x 1 = 0,441 x 1.30 = 581,966 Para la seguda famla es gual a, luego: ŷ = 0,441 x = 0,441 x = 661,35 De la msma forma, se obee los valores esmados del gaso e ursmo para las demás famlas de la muesra. E parcular: Para la úlma famla es gual a 10, resula: ŷ 10 = 0,441 x 10 = 0,441 x = 1.631,7 Cuál de los dos modelos esma mejor el gaso? Obvamee, el modelo que proporcoa valores esmados del gaso más próxmos a sus verdaderos valores, es decr, el modelo co el cual se comee errores meores. Los errores so, como hemos dcho, las dferecas ere el valor observado esmado del gaso e ursmo; es decr, e = ŷ. E el modelo co ordeada e el orge: e 1 = 1 ŷ 1 = 50 64,660 = 14,660 e = ŷ = ,676 = 16,34... e 10 = 10 ŷ 10 = ,310 = 61,687 E el modelo s ordeada e el orge: e 1 = 1 ŷ 1 = ,966 = 331,966 14

151 Aálss de regresó e = ŷ = ,35 = 61,35... e 10 = 10 ŷ 10 = ,70 = 68,731 Resumedo e ua abla los valores esmados del gaso los errores co ambos modelos: Tabla 6.. Valores esmados del gaso e ursmo errores de la esmacó (1) Modelo co érmo depedee: ŷ = 608,13 + 0,661 x () Modelo s érmo depedee: ŷ = 0,441 x ŷ (1) ŷ () e (1) e () 50 64,66 581,97-14,66-331, ,68 661,33 16,3-61, ,93 88,86 15,07-178, , ,03-1,63-144, , ,03 41,90-11, , ,84-16,79-16, , ,56-9,35 1, , ,74-41,59 33, , ,00-39,95 101, , ,7 61,69 68,73 Comparado las columas prmera seguda prmera ercera de esa abla, puede observarse que, al como veíamos e el Gráfco 6.6, los valores esmados del gaso esá cosderablemee más próxmos a los observados co el modelo que ee ordeada e el orge; de maera que, como puede verse comparado las dos úlmas columas, los errores comedos so sgfcavamee meores ulzado dcho modelo Propedades del ajuse El desarrollo efecuado para la obecó de los esmadores perme demosrar que el ajuse mímo cuadráco ordaro ee alguas propedades eresaes. 143

152 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 1. S el modelo ee érmo depedee: Como hemos vso, dervado la suma de cuadrados de errores co respeco a los dos coefcees que clue la ecuacó e gualado las dervadas a cero, resula el sguee ssema: SCE (1) ( (a bx )) 0 a 1 SCE () ( (a bx ))x 0 b 1 La ecuacó (1) es al como: 1( (a bx )) 0 que smplfcado se reduce a: ( 1 (a bx )) 0 Dado que a + bx = ŷ se deduce que: ( ŷ ) 0 1 como la dfereca ere los valores observados esmados del regresado es gual al error, se ee: e 1 0 Es decr, la suma de los errores de la esmacó es ula. Eso mplca que ambé es gual a cero la meda de los errores de la esmacó: e e

153 Aálss de regresó Además: ( ŷ ) 0 1 perme deducr que las sumas las medas del regresado del regresado esmado so guales a que, aplcado el sumaoro: ŷ 1 1 dvdedo ambos lados de la gualdad por, se ee que ŷ. Por ora pare: 1 ( (a bx )) 0 perme deducr que la reca de regresó esmada pasa por el puo de coordeadas medas del regresado el regresor o cero de gravedad de la ube de puos, a que, aplcado el sumaoro: 1 a b x 1 0 luego: 1 a b x 1 al dvdr ambos lados de esa expresó por, se ee que: a bx Esa gualdad dca que el puo de coordeadas ( x, ) sasface la ecuacó de la reca de regresó esmada, luego la reca pasa por dcho puo. 145

154 Iroduccó a la Esadísca Descrpva La ecuacó () es al como: ( (a bx ))x 0 1, juo co los resulados aerormee obedos, perme deducr que los errores de la esmacó esá correlacoados co los valores del regresor; es decr, que el coefcee de correlacó leal ere el error el regresor es gual a cero. Dcho coefcee se defe como: Sex r ex = S S e x dode: (e e)(x x) =1 S ex = = como la meda de los errores es gual a cero: e (x x) 1 operado aplcado el sumaoro: e x x e 1 1, falmee, eedo e cuea que la suma de los errores es ula: e x 1 146

155 Aálss de regresó Por ao, para demosrar que el coefcee de correlacó leal ere el error el regresor es ulo, basa comprobar que es gual a cero el umerador de esa fraccó. Para ello, paredo de la seguda ecuacó del ssema, se ee que: ( (a bx ))x 0 1 por ao: ( ŷ )x 0 1 luego: e x 0 1 Por úlmo, puede demosrarse ambé que los errores esá correlacoados co los valores esmados del regresado; es decr, que ambé es ulo el coefcee de correlacó ere ambas varables. Dcho coefcee se defe como: S eˆ r eˆ = S e S ˆ dode: (e ˆ ˆ e)( ) =1 S eˆ = = 147

156 Iroduccó a la Esadísca Descrpva al ser ula la meda de los errores: e (ŷ ŷ) 1 operado aplcado el sumaoro: e ŷ ŷ e 1 1 eedo e cuea que la suma de los errores es gual a cero: e ŷ 1 Por ao, para demosrar que el coefcee de correlacó leal ere el error el regresado esmado es ulo, basa comprobar que es gual a cero el umerador de esa fraccó: e ŷ 1 susuedo el regresado esmado por la expresó que lo defe: e (a bx ) 1 operado: ae be x 1 1 que, dado que ao la suma de los errores como la suma del produco de los errores por los valores del regresor so ulas, es gual a cero. 148

157 Aálss de regresó. S la ecuacó o ee érmo depedee: Al dervar la suma de cuadrados de los errores respeco al úco coefcee descoocdo que clue la ecuacó e gualarla a cero: SCE ( b 1 bx )x 0 De esa ecuacó se deduce que: ( 1 bx )x 0 e el modelo s ordeada e el orge, bx = ŷ, de maera que: ( 1 ŷ )x 0, por ao: e x 1 0 Es decr, la suma del produco de los valores de los errores por los del regresor es ula. S embargo, e ese caso, eso o mplca que los errores los regresores esé correlacoados, a que: S ex (e 1 e)(x x) (e x 1 xe ex ex) e x 1 e 1 x x 1 e ex e x 1 xe ex ex e x 1 ex dode el prmer sumado es ulo, porque es ulo el umerador de la fraccó, pero, s el modelo o ee ordeada e el orge, el segudo sumado o es ulo, porque la propedad de que la meda de los errores es gual a cero o se puede 149

158 Iroduccó a la Esadísca Descrpva demosrar, de maera que la covaraza de los errores el regresor es o ula es o ulo el coefcee de correlacó. També puede demosrase que: e ŷ = 0 1 es decr, que la suma del produco de los valores de los errores por los valores esmados del regresado es ula: e ŷ 1 e bx 1 b e x 1 0 Pero de uevo eso o mplca que los errores esé correlacoados co los valores esmados del regresado, a que: s eŷ (e 1 e)(ŷ ŷ) (e ŷ 1 ŷe eŷ eŷ) eŷ 1 e 1 ŷ ŷ 1 e eŷ e ŷ 1 ŷe eŷ eŷ e ŷ 1 eŷ dode el prmer sumado es ulo, porque es ulo el umerador de la fraccó, pero, s el modelo o ee ordeada e el orge, el segudo sumado o es ulo, porque la propedad de que la meda de los errores es gual a cero o se puede demosrar, de maera que la covaraza de los errores el regresado esmado es o ula es o ulo el coefcee de correlacó. Para comprobar empírcamee el cumplmeo de esas propedades, puede ulzarse los resulados obedos e el ejemplo aeror. 150

159 Aálss de regresó Tabla 6.3. Comprobacó de las propedades del ajuse Modelo co érmo depedee: ŷ = 608,13 + 0,661 x Famla (1) x () ŷ (3) e (4) ex = (4) x () e ŷ = (4) x (3) ,66-14, , , ,68 16, , , ,93 15, , , ,64-1, , , ,10 41, , , ,79-16, , , ,35-9, , , ,59-41, , , ,95-39, , , ,31 61, , ,7 Sumas ,00 0,00 0,00 Esa abla recoge, e la columa (1) los daos del gaso aual e ursmo, e la columa () los gresos famlares mesuales, e la columa (3) los gresos famlares esmados ulzado el modelo co ordeada e el orge e la columa (4) los errores de la esmacó, que hemos obedo prevamee. E ellas puede comprobarse que la suma de los errores es gual a cero (por ao, ambé es gual a cero su meda), que las sumas de los valores observados esmados del gaso e ursmo so guales (por ao, ambé so guales sus medas). La columa sguee se obee mulplcado las columas (4) (), proporcoa los producos de los errores por los valores del greso famlar mesual. Y la úlma columa de la abla se obee mulplcado las columas (4) (3), proporcoa los producos de los errores por los valores del gaso aual e ursmo esmado. Puede comprobarse que las sumas de ambas columas es gual a cero. Como, además, a hemos comprobado que ambé es ula la meda de los errores, eso sgfca que los errores el regresor los errores el regresado esmado esá correlacoados. 151

160 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Úcamee queda comprobar que la reca esmada, de ecuacó: ŷ = 608,13 + 0,661 x pasa por el cero de gravedad de la ube de puos, que es el puo de coordeadas: ( x, ) = (.538, 1.070) efecvamee, puede comprobarse que: = 608,13 + 0,661 x.538 luego, el puo de coordeadas medas de las varables sasface la ecuacó de la reca esmada, por ao, la reca esmada pasa por dcho puo. Tabla 6.4. Comprobacó de las propedades del ajuse Modelo s érmo depedee: ŷ = 0,441 x Famla (1) x () ŷ (3) e (4) ex = (4) x () e ŷ = (4) x (3) ,97-331, , , ,33-61, , , ,86-178, , , ,03-144, , , ,03-11, , , ,84-16, , , ,56 1, , , ,74 33, , , ,00 101, , , ,7 68, , ,01 Sumas ,63-519,63 0,00 0,00 Esa abla recoge, e la columa (1) los daos del gaso aual e ursmo, e la columa () los gresos famlares mesuales, e la columa (3) los gresos famlares esmados ulzado el modelo s ordeada e el orge e la columa (4) los errores de la esmacó, que hemos obedo prevamee. 15

161 Aálss de regresó E ellas puede comprobarse que la suma de los errores o es gual a cero (por ao, ampoco es ula su meda), que las sumas de los valores observados esmados del gaso e ursmo o so guales (por ao, ampoco so guales sus medas). La columa sguee se obee mulplcado las columas (4) (), proporcoa los producos de los errores por los valores del greso famlar mesual. Y la úlma columa de la abla se obee mulplcado las columas (4) (3), proporcoa los producos de los errores por los valores del gaso aual e ursmo esmado. Puede comprobarse que las sumas de ambas columas es gual a cero. S embargo, al o ser ula la meda de los errores, eso o sgfca que los errores el regresor los errores el regresado esmado esé correlacoados. Úcamee queda comprobar que la reca esmada, de ecuacó: ŷ = 0,441 x o pasa por el cero de gravedad de la ube de puos, que es el puo de coordeadas: ( x, ) = (.538, 1.070) efecvamee, puede comprobarse que: ,441 x.538 =1.119,58 luego, el puo de coordeadas medas de las varables o sasface la ecuacó de la reca esmada, por ao, la reca esmada o pasa por dcho puo El coefcee de deermacó Ua vez que se ha obedo la ecuacó de la reca esmada, es coveee aalzar hasa qué puo dcha reca represea correcamee la ube de puos que 153

162 Iroduccó a la Esadísca Descrpva recoge la formacó muesral. Como prmera aproxmacó, dcho aálss puede efecuarse e érmos gráfcos, superpoedo la reca esmada sobre el dagrama de dspersó. E el ejemplo que hemos aalzado, la reca que se obee s el modelo se plaea co érmo depedee cas se superpoe a los puos del dagrama de dspersó; por ao, represea correcamee la ube de puos; es decr, se ha efecuado u bue ajuse. S embargo, la reca que se obee cuado el modelo se plaea s érmo depedee esá mu alejada de la maoría de los puos del dagrama de dspersó, de maera que es poco represeava de la ube de puos; es decr, o se ha efecuado u bue ajuse. E defva, el ajuse es ao mejor cuao meor es la dsaca desde los puos de la ube a la reca esmada o, lo que es lo msmo, cuao más smlares so los valores esmados del regresado a los verdaderos; es decr, cuao más parecdas so las medas las varazas de ambas varables. 1. S el modelo ee érmo depedee, las medas del regresado del regresado esmado so guales. E cuao a las varazas, paredo de la sguee gualdad: ŷ ŷ se deduce que: ŷ e de maera que: ) ((ŷ ) e ) ( ( ) = (ˆ ) +e +e (ˆ ) ( ) = (ˆ ) +e +e ˆ +e 154

163 Aálss de regresó sumado e e ambos lados de la gualdad: =1 =1 ( ) = ((ˆ ) + e +e ˆ +e ) aplcado sumaoro el: ˆ ( ˆ ) = ( ) + e + e + e =1 =1 =1 =1 =1 Dado que, e el modelo co ordeada e el orge la gualdad aeror se reduce a: ŷ, e ŷ e 0 ( 1 ) (ŷ 1 ŷ) e 1 eedo e cuea que la meda de los errores es ula: ( ) (ŷ ŷ) (e e) dvdedo por e ambos lados de la gualdad, se ee: ( ) (ŷ ŷ) (e e) es decr: s s ŷ s e gualdad que se cooce como descomposcó de la varaza, pueso que dca que la varaza del regresado puede descompoerse e la suma de las varazas del regresado esmado de los errores; de maera que las varazas del regresado del regresado esmado so ao más smlares cuao meor es la varaza del error. De la descomposcó de la varaza, se deduce que: 155

164 Iroduccó a la Esadísca Descrpva ŷ s s 1 s s e el ajuse será ao mejor cuao más próxma a la udad esé la prmera fraccó o cuao más próxma a cero esé la seguda. Para valorar, eoces, la caldad del ajuse, puede ulzarse el coefcee de deermacó, R, defdo por cocee ere las varazas del regresado el regresado esmado, que es gual a la dfereca ere la udad el cocee de varazas del error del regresado: R s s ŷ s 1 s e Pueso que R es u cocee de varazas o oma valores meores que cero. Como ambé es gual a uo meos u cocee de varazas, ampoco oma valores superores a la udad. El coefcee de deermacó oma, eoces, valores compreddos ere cero uo. S el coefcee de deermacó es gual a uo, las varazas del regresado el regresado esmado so guales la varaza del error es gual a cero, de maera que el ajuse es perfeco. S el coefcee de deermacó es gual a cero, la varaza del error es a elevada que cocde co la varaza del regresado, la varaza del regresado esmado es gual a cero, de maera que el ajuse es pésmo. Por ao, valores del coefcee de deermacó próxmos a la udad so dcavos de bueos ajuses valores del coefcee de deermacó próxmos a cero so dcavos de malos ajuses. E defva, el ajuse es ao mejor cuao más próxmo a la udad esá el coefcee de deermacó. Además, a que R es el cocee de varazas del regresado esmado el regresado, dca qué proporcó de la varaza del regresado es la varaza del regresado esmado, de maera que, mulplcado por ce, es el porceaje de varacoes observadas de que queda explcadas co el modelo esmado. De forma smlar, como 1 R es gual al cocee de varazas del error el regresado, dca qué proporcó de la varaza del regresado es la varaza del 156

165 Aálss de regresó error, de maera que, mulplcado por ce, es el porceaje de varacoes observadas del regresado que la ecuacó esmada deja s explcar. Luego, s se obee u bue ajuse, la ecuacó explca u elevado porceaje de las varacoes observadas del regresado, meras que s el ajuse es malo la ecuacó deja s explcar la maor pare de dchas varacoes, geeralmee a cosecueca de u error e el plaeameo del modelo. Falmee, e el caso de la regresó leal smple, puede comprobarse que el coefcee de deermacó es gual al cuadrado del coefcee de correlacó leal smple ere las dos varables de la ecuacó, pueso que: R s s ŷ (ŷ 1 ( 1 ŷ) ) sedo: ŷ a bx a bx eoces: ) (ŷ ŷ) (a bx a bx) b (x x s s x x s x (x x) 1 (x x) 1 ( (x x) / ) 1 157

166 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Por ao: (ŷ 1 ( 1 ŷ) ) (( (x 1 s x 1 x) ) (x x) / ) ( ( 1 ) ) ( (x 1 x) s x / ) ( ( 1 ) / ) s s x xs r es decr, R = r.. S el modelo o ee érmo depedee, auque e ŷ 0, e 1 geeral, la suma de los errores o es ula las medas del regresado el regresado esmado o so guales, de maera que o se puede descompoer la varaza. s s luego: ŷ s e ŷ s s 1 s s e es decr, el cocee de varazas del regresado esmado el regresado o es gual a uo meos el cocee de varazas del error el regresado, por lo que el coefcee de deermacó se defe sólo de esa úlma forma: R s 1 s e o se puede erprear como el porceaje de varacoes del regresado que queda explcadas por el modelo esmado. Además, auque su valor máxmo posble es la udad, su valor mímo posble o es cero, pueso que como o se puede descompoer la varaza, o se ee gua garaía de que la varaza del error sea meor que la varaza del regresado s es maor, el coefcee de deermacó es egavo. 158

167 Aálss de regresó A modo lusravo, se calcula e erprea el valor del coefcee de deermacó para el ejemplo del epígrafe aeror. Para ello es ecesaro obeer prevamee las varazas del regresado, del regresado esmado de los errores. Tabla 6.5. Cálculos ermedos para la obecó de R Modelo co érmo depedee: ŷ = 608,13 + 0,661 x Famla ŷ ŷ e e , ,76-14,66 14, , ,90 16,3 66, , ,51 15,07 7, , ,01-1,63 159, , ,6 41, , , ,57-16,79 81, , ,93-9,35 87, , ,68-41, , , ,41-39, , , ,6 61, ,7 Sumas , ,71 s s ŷ ŷ 1 ŷ , ,53 s e e , ,47 10 R s s ŷ e ,53 s s 1.01,47 1 0, Ese valor del coefcee de deermacó a próxmo a la udad dca que la reca esmada es mu represeava de la ube de puos; es decr, que se ha 159

168 Iroduccó a la Esadísca Descrpva obedo u mu bue ajuse. La regresó efecuada explca práccamee la oaldad de las varacoes muesrales del gaso e ursmo. Ese resulado es coheree co las coclusoes deducdas de la represeacó gráfca, que a hemos comeado. Tabla 6.6. Cálculos ermedos para la obecó de R Modelo s érmo depedee: ŷ = 0,441 x Famla ŷ ŷ e e , ,56-331, , , ,93-61, , , ,8-178, , , ,64-144, , , ,7-11,06 11, , ,3-16,84 83, , ,60 1,44 459, , ,43 33, , , ,90 101, , , , ,53 Sumas , ,61 s s e e , ,46 10 R s 1 s e , , Ese valor del coefcee de deermacó es sgfcavamee meor que el que resula cuado el modelo ee érmo depedee. Como se ha deducdo a parr de la represeacó gráfca, el ajuse o resula sasfacoro. 160

169 Aálss de regresó 6.5. Regresó co EXCEL Para obeer la reca de regresó leal smple co EXCEL, e prmer lugar, debe roducrse e columas los valores de las varables x e. A couacó, se seleccoa u espaco e blaco, de dos flas por cco columas, se ordea Iserar Fucó Esadíscas Esmacó leal, que abre u cuadro de dálogo respeco a los argumeos de la fucó. E la prmera veaa debe roducrse los ombres de la prmera úlma celda que coee los valores del regresado, separados co dos puos. E la seguda veaa se roduce los ombres de la prmera úlma celda que coee los valores del regresor, gualmee separados co dos puos. E la ercera veaa debe escrbrse la palabra verdadero s la ecuacó clue érmo depedee la palabra falso s o lo clue. E la úlma veaa, se escrbe la palabra falso s sólo se desea obeer el valor esmado de la pedee de la reca, la palabra verdadero s se desea obeer alguos resulados adcoales, que es lo habual. S el modelo ee ordeada e el orge ( verdadero e la ercera veaa), al pchar el boó acepar, aparece cubera co u valor umérco ua úca celda. Para obeer los demás, debe sombrearse la orde e la líea de madaos presoar, smuláeamee, las eclas Crl (Maús) e Iro. Al ejecuar la orde, las celdas seleccoadas muesra el sguee resulado: Tabla 6.7. Resulados de la esmacó leal co EXCEL b s b R F SCR a s a s e gl SCE S el modelo ee ordeada e el orge ( falso e la ercera veaa), sguedo ese procedmeo se obee el msmo resulado, co u valor de a gual a cero u valor s a o dspoble (#A). 161

170 Iroduccó a la Esadísca Descrpva E esa abla, los valores b a que fgura e la prmera fla so las esmacoes de la pedee la ordeada e el orge de la reca de regresó. Los valores s b s a que fgura e la seguda fla correspode a las desvacoes ípcas esmadas de los coefcees de regresó, b a. Esas desvacoes ípcas, so uos dcadores del grado de fabldad de los coefcees a b. S cada uo de los coefcees coee al meos dos veces su desvacó esmada, las esmacoes se cosdera precsas. De acuerdo co la eoría de la regresó, el valor verdadero del coefcee esá compreddo ere el coefcee esmado (aproxmadamee) dos veces su desvacó ípca, por ao, la desvacó ípca del esmador deerma el rado del ervalo que coee al valor verdadero del coefcee co ua probabldad del 95 por ceo, que es esrecho cuado el rado del ervalo es pequeño e relacó co el cero. E la ercera fla, R es el coefcee de deermacó. El valor de gl e esa abla es el úmero de observacoes lbres para calcular los errores. Los errores se obee por dfereca ere el valor real el valor esmado del regresado. Para que se pueda obeer, es ecesaro coocer los coefcees a b, lo cual requere resolver u ssema de dos ecuacoes, que esablece dos resrccoes e los daos. Los grados de lberad se obee por dfereca ere el úmero de observacoes el úmero de resrccoes que se les mpoe (dos). Es decr, que e el caso de la regresó leal smple, gl sempre es gual a. s e es el error esádar. Es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los errores dvdda por los grados de lberad que ee que, como hemos vso, so. Es ua aproxmacó del error ípco comedo al esmar los valores del regresado ulzado la ecuacó de la reca de regresó. Proporcoa ua medda resume del amaño de los errores. Vee dado e las msmas udades de medda que el regresado, así que comparádolo co la meda muesral del regresado, se obee el porceaje de error po medo comedo al efecuar la esmacó. El valor de F es u dcador de la capacdad que ee el regresor para explcar las varacoes del regresado. S oma valores elevados, dca que realmee el 16

171 Aálss de regresó regresor flue e el regresado. S oma valores pequeños, exse dudas respeco a que x sea la varable que explca el comporameo de. Falmee, SCR es la suma de los cuadrados de las desvacoes de ŷ respeco a su meda muesral, que se deoma suma de los cuadrados de la regresó. SCE es la suma de los cuadrados de los errores; es decr, proporcoa el valor de la suma de los errores elevados al cuadrado. E el ejemplo del gaso e ursmo que hemos ulzado para lusrar la regresó, al efecuar el procedmeo dcado, EXCEL devuelve los sguees resulados: S el modelo ee ordeada e el orge ( verdadero e la ercera veaa): 0, ,1886 0, , , , , , ,7084 S el modelo o ee ordeada e el orge ( falso e la ercera veaa): 0, , #/A 0, , , , ,607 Resulados que, como puede comprobarse, cocde co los que se ha obedo prevamee. 163

172

173 EJERCICIOS Y CUESTIOES Para complear el maual se clue e ese Apédce alguas cuesoes ejerccos plaeados a los alumos e los exámees de la asgaura Esadísca Aplcada al Secor Turísco que se mpare e la Dplomaura de Tursmo de la Uversdad de A Coruña. Hemos raado de ordearlos respeado, e la medda de lo posble, la esrucura del exo, auque e ocasoes co la msma abla de daos se ha propueso cuesoes relavas a dsas pares de la maera. EJERCICIO 1 La abla sguee recoge el resulado de ua ecuesa efecuada e dsos esablecmeos hoeleros respeco a la versó (euros) efecuada e el año 00 para el maemeo de las salacoes. Iversó (L -1 L ) º esablecmeos ( ) La dsrbucó de la versó esá, por ao, agrupada e 6 ervalos de amplud varable. Dada esa formacó, calcule: 1.1. El porceaje de esablecmeos que vere meos de euros. 1.. El úmero de esablecmeos que vere ere euros La versó más frecuee La cadad que como mímo vere u esablecmeo del grupo del 5 por ceo de los que más vere. 165

174 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Para respoder a esas cuesoes, se elabora la sguee abla de resulados ermedos: L -1 L f F c d , , , , , , , , , , , , , , , , , , , El porceaje de esablecmeos que vere meos de euros es la frecueca acumulada relava correspodee al ervalo de líme superor 8.500, mulplcada por ce. Como puede observarse, F 4 = 0,767; por ao, aproxmadamee el 77 por ceo de los esablecmeos vere meos de euros. 1.. El úmero de esablecmeos que vere ere euros se obee sumado las frecuecas absoluas correspodees a los ervalos compreddos ere el de líme feror el de líme superor De la abla se deduce que = = 61, luego 61 esablecmeos vere ere euros La versó más frecuee es la moda de la dsrbucó, que esá e el ervalo de maor desdad de frecueca; es decr, e ese caso, e el ervalo , para el cual d = 0,1. Para obeer su valor: M o L 1 d 1 d1 d 1 0,038 c ,054 0,163 0,038 Eoces la versó más frecuee es euros La cadad que como mímo vere u esablecmeo del grupo del 5 por ceo de los que más vere es el ercer cuarl de la dsrbucó, que esá e el ervalo al que le correspode la prmera frecueca absolua acumulada maor o 166

175 Ejerccos cuesoes gual que 3 ¼ = 3 ¼ 1000 = 750; es decr, e el ervalo , a que 4 = 767. Para obeer su valor: Q3 L 1 c ,811 1 Por ao, la cadad que como mímo vere u esablecmeo del grupo del 5 por ceo de los que más vere es euros. EJERCICIO Co los daos relavos a la edad de 10 vsaes de u mucpo de la provca de A Coruña se ha calculado la meda arméca, x = 39,04; la medaa, M e = 37,5 el prmer ercer cuarles, Q 1 = 7,69 Q 3 = 47,39. Dada esa formacó, dque s so correcas las sguees afrmacoes:.1. La edad más frecuee es 39,04 años su meda es 37,5 años... El 5 por ceo de los vsaes más jóvees ee como máxmo 47,39 años..3. El 5 por ceo de los vsaes más jóvees ee como máxmo 7,69 años..4. El 75 por ceo de los vsaes so maores de 47,39 años. La afrmacó.1 o es correca. La edad más frecuee es la moda (cuo valor, co esa formacó, es descoocdo) o la meda (= 39,04), se da como meda de la edad su valor medao (= 37,5). La afrmacó. o es correca. La edad máxma del 5 por ceo de los vsaes más jóvees es el prmer cuarl (= 7,69) de la dsrbucó o el ercero (= 47,39). Eso dca que la afrmacó.3 es correca. El 5 por ceo de los vsaes más jóvees ee como máxmo 7,69 años. La afrmacó.4 o es correca. El ercer cuarl de la dsrbucó (= 47,39) es la edad máxma del 75 por ceo de los vsaes más jóvees o la edad míma del 5 por ceo de los vsaes maores. Es decr, el 75 por ceo de los vsaes ee 167

176 Iroduccó a la Esadísca Descrpva ua edad feror a 47,39 años o, lo que es lo msmo, el 5 por ceo de los vsaes ee ua edad superor a 47,39 años. EJERCICIO 3 La sguee abla correspode a la dsrbucó de los salaros mesuales (ceos de euros) de los rabajadores de ua empresa de hoselería: Salaros (L -1 L ) º de rabajadores ( ) La dsrbucó de los salaros esá, por ao, agrupada e 5 ervalos de amplud varable Es el salaro mesual medo represeavo de la dsrbucó? 3.. Cuál sería el salaro máxmo que percbría u rabajador clasfcado e el grupo e el que se ecuera el 5 por ceo de los que meos gaa? 3.3. Calcule e erpree el coefcee de asmería de Fsher Podría afrmarse que esa dsrbucó es placúrca? Por qué? Idque cuál es el sgfcado de esa expresó Cuál es el salaro más frecuee de los rabajadores de esa empresa? Para respoder a esas cuesoes, se elabora la sguee abla de resulados ermedos: L -1 L x x x d ( x x) ( x x) , , , , , , ,0 80 1,08 0, , , , , , , , ,

177 Ejerccos cuesoes 3.1. Dada esa formacó: x x ,7 100 El salaro mesual medo es 13,7 ceos de euros; es decr, euros. La represeavdad de la meda del salaro puede valorarse calculado el coefcee de varacó de Pearso: s CV x s x 1 x , ,81 s 3,976 3,976 13,7 0,9 Es decr, la dspersó relava de la dsrbucó es del 9 por ceo, el salaro mesual medo es represeavo. 3.. El salaro máxmo que percbría u rabajador clasfcado e el grupo e el que se ecuera el 5 por ceo de los que meos gaa es el prmer cuarl de la dsrbucó, que esá e el ervalo de exremos 9 13, al que le correspode la prmera frecueca absolua acumulada, = 40, maor o gual que ¼ = ¼ 100 = 5. Para calcular su valor: Q1 L 1 c Luego el salaro máxmo de u rabajador del grupo del 5 por ceo de los que meos gaa es 11 ceos de euros; es decr, euros. 169

178 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 3.3. El coefcee de Fsher es ulo s la dsrbucó es smérca, posvo s es asmérca a la derecha egavo s es asmérca a la zquerda. E ese caso: A F (x x) 1 s 3 3 / 8.055,59 /100 1,8 3 (3,976) Por ao, la dsrbucó de los salaros es asmérca a la derecha; es decr, e érmos gráfcos, la dsrbucó ee cola a la derecha Gráfco de la dsrbucó de los salaros 3.4. La dsrbucó es placúrca s el coefcee de exceso de apuameo es egavo. E ese caso: g (x x) 1 s 4 4 / 131.7,16 / ,7 4 (3,976) Luego el coefcee de exceso o es meor que cero la dsrbucó o es placúrca. S la dsrbucó fuese placúrca sería meos apuada que ua dsrbucó ormal de gual meda varaza. E ese caso es más apuada que ua ormal co la msma meda varaza; por ao, es lepocúrca. 170

179 Ejerccos cuesoes 3.5. El salaro más frecuee es la moda de la dsrbucó, que esá e el ervalo co maor desdad de frecueca que, e ese caso, es d 3 = 0; es decr, la moda esá e el ervalo de exremos Para calcular su valor: M o L 1 d 1 d1 d 1 c, ,5 7,5,5 Eoces, el salaro más frecuee de los rabajadores de esa empresa es 13,5 ceos de euros; es decr, euros. EJERCICIO 4 Para realzar u esudo relavo a los precos (euros) por habacó e emporada ala e los hoeles de ua localdad cosera española se dspoe de los daos que fgura e la sguee abla: Preco (L -1 L ) º hoeles ( ) La dsrbucó de los precos esá, por ao, agrupada e 5 ervalos de amplud varable Cuál es el preco medo por habacó? Es represeavo de la dsrbucó? 4.. Cuál es el preco por habacó más frecuee? 4.3. De acuerdo co el valor que oma el coefcee de Fsher, qué puede decrse respeco a la asmería de la dsrbucó? 4.4. Obega el preco medao Idque cuál es el preco medo e emporada baja supoedo que: E odos los hoeles los precos se reduce u 15 por ceo E odos los hoeles los precos se reduce 5 euros Cuál es el mímo preco por habacó e u hoel del grupo e el que se ecuera el 75 por ceo de los más caros? 171

180 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 4.7. El valor obedo para el coefcee de exceso es posvo. Qué formacó proporcoa ese resulado? Para respoder a esas cuesoes se elabora la sguee abla de resulados ermedos: L -1 L x x x c d (x - x ) , , , , , , , , , , , Dada la formacó que coee: x x ,75 0 Es decr, el preco medo es 97,75 euros por habacó. Para aalzar s es represeavo: s CV x s x 1 x , ,69 s 67,9 67,9 97,75 0,69 La dspersó relava de esa dsrbucó es del 69 por ceo, por ao el preco medo o es represeavo. 17

181 Ejerccos cuesoes 4.. El preco más frecuee es la moda de la dsrbucó. El ervalo modal es aquel al que le correspode ua maor desdad de frecueca que, e ese caso, es d 3 = 0,0. La moda esá, por ao, e el ervalo Para obeer su valor: d 0,04 M L c , 71 1 o 1 d 1 d 1 0,10 0,04 Luego el preco por habacó más frecuee es 105,71 euros El valor que oma el coefcee de asmería de Fsher es: 3 (x x) / ,67 / 0 F 3 3 A 0,953 s 67,9 Por ao, la dsrbucó es asmérca a la derecha o posva; es decr, el hsograma de frecuecas ee cola a la derecha. 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05 0, Gráfco de la dsrbucó de los precos 4.4. La prmera frecueca absolua acumulada gual o superor a ½ = ½ 0 = 10 es = 11. La medaa esá, eoces, e el ervalo Para obeer su valor: M e L c

182 Iroduccó a la Esadísca Descrpva El preco medao es 90 euros S e emporada baja los precos se reduce u 15 por ceo: x e x 0,15x (1 0,15)x 0,85x es decr, so guales a los precos de emporada ala mulplcados por 0,85, lo que equvale a efecuar u cambo de escala de la varable. x e 0,85x 0,85 97,75 83,08 El preco medo e emporada baja es 83,08 euros por habacó S e emporada baja los precos se reduce 5 euros: x o x 5 es decr, so guales a los de emporada ala meos 5 euros, lo que equvale a efecuar u cambo de orge de la varable. x o x 5 97,75 5 7,75 El preco medo e emporada baja es 7,75 euros por habacó El preco mímo por habacó e u hoel del grupo del 75 por ceo de los más caros es el prmer cuarl de la dsrbucó, que esá e el ervalo de exremos 0 70, porque la prmera frecueca absolua acumulada maor que ¼ = ¼ 0 = 5 es 1 = 8. Para obeer su valor: Q1 L 1 c ,75 8 Por ao, u hoel del grupo del 75 por ceo de los más caros cobra como mímo 43,75 euros por habacó. 174

183 Ejerccos cuesoes 4.7. El coefcee de exceso dca el grado de apuameo o cuross de la dsrbucó. S su valor es posvo, la dsrbucó es lepocúrca; es decr, es más apuada que ua ormal de gual meda varaza. EJERCICIO 5 U grupo de ursas vsó durae uas horas u esablecmeo comercal. Al fal de la vsa se les preguó sobre el gaso (euros) realzado, la formacó recogda fgura e la abla sguee: Gaso (L -1 - L ) º ursas ( ) La dsrbucó del gaso esá, eoces, agrupada e 6 ervalos de amplud varable Calcule la medaa de la dsrbucó. 5.. Cuál es gaso más frecuee? 5.3. Calcule el valor que oma el coefcee de asmería de Pearso e dque qué formacó proporcoa Obega el ídce de G explque su sgfcado. Co la formacó muesral se elabora la sguee abla de resulados ermedos: L -1 L x x c d x F p U q p q ,5 31, , ,5 0, ,5 3,97 6, ,0 700, , ,00 0, ,5 1,87 11, ,5.750, , ,00 0, ,5 47,85 16, ,5.50, , ,00 0, ,5 76,47 11, , , , ,00 0, ,5 89,8 6, ,0 800, , ,00 1, ,5 100,00 0, , ,5 175

184 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 5.1. La prmera frecueca acumulada absolua gual o superor a ½ = ½ 50 = 5 es 3 = 3; por ao, la medaa esá e el ervalo Para calcular su valor: M e L 1 1 c ,5 0 Es decr, la medaa de la dsrbucó es 141,5 euros. 5.. El gaso más frecuee es la moda, que se ecuera e el ervalo de maor desdad de frecueca. E ese caso, la maor desdad es d 3 = 0,80 el ervalo modal es Para obeer su valor: M o L 1 d d 1 1 d 1 0,16 c ,33 0,14 0,16 El gaso más frecuee es 138,33 euros El coefcee de asmería de Pearso es: A P x M s o x x ,5 157,5 50 s x 1 x ,5 157, ,56 s 70,53 157,5 138,33 0,68 70,53 Pueso que su valor es maor que cero, dca que la dsrbucó es asmérca a la derecha o posva. 176

185 Ejerccos cuesoes 0,90 0,60 0,30 0, Gráfco de la dsrbucó del gaso 5.4. El ídce de G es: 1 (p q) 1 50,97 IG 0,18 1 p 8 1 Como su valor o esá alejado de cero, la coceracó de la dsrbucó del gaso es escasa. EJERCICIO 6 E la sguee abla fgura los sueldos auales (ceos de euros) del persoal de u hoel deermado. Sueldos (L -1 L ) º empleados ( ) La dsrbucó de los sueldos esá agrupada, por ao, e 5 ervalos de amplud cosae, gual a

186 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 6.1. Es el sueldo aual medo represeavo de la dsrbucó? 6.. S los sueldos esuvese expresados e euros, cuál sería la meda arméca de la dsrbucó? Vararía su represeavdad? Demuésrelo Cuál es el sueldo aual más frecuee? 6.4. S hacer gú cálculo adcoal, qué se puede decr respeco a la asmería de la dsrbucó? 6.5. Calcule el prmer cuarl explque su sgfcado El coefcee de exceso de apuameo de la dsrbucó de los salaros es egavo. Qué formacó proporcoa ese resulado? 6.7. Idque (s efecuar los cálculos) cómo se obedría el ídce de G. S su valor resulase gual a 0,1 cómo se erprearía? Tabla de cálculos ermedos L -1 L x x x De la formacó que coee esa abla se deduce que: x x ,48 83 El sueldo aual medo es 195,48 ceos de euros; es decr, euros. Para aalzar s es represeavo: s CV x s x 1 x , ,97 s 69,00 69,00 195,48 0,35 178

187 Ejerccos cuesoes La dspersó relava de la dsrbucó de los sueldos es del 35 por ceo; por ao, la meda es represeava. 6.. Expresar los sueldos mesuales e euros equvale a efecuar u cambo de escala, mulplcado los sueldos por 100: e x 100x x e 100x , Como a hemos dcho e el aparado aeror, el sueldo aual medo, expresado e euros, es Al efecuar el cambo de escala la represeavdad de la meda o varía, a que dcho cambo ee el msmo efeco e la desvacó ípca que e la meda el coefcee de varacó se maee varae. Demosracó: El cambo de escala se efecúa mulplcado por ua cosae odos los valores de la varable; es decr: x e kx Eoces: x e e x kx k x kx s e e e (x x ) (kx kx) k (x x) k s s e ks, por ao: e e s CV x e ks kx CV 179

188 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 6.3. El sueldo más frecuee es la moda de la dsrbucó, que esá e el ervalo , que es el de frecueca absolua, 1 = 30, más elevada. Para obeer su valor: M o L c , El sueldo aual más frecuee es 150 ceos de euros, o euros La dsrbucó es asmérca a la derecha, pueso que, como hemos vso, el sueldo aual medo es 195,48 ceos de euros el sueldo más frecuee es 150,00 ceos de euros; es decr, la meda es maor que la moda. Eso sgfca que e el coefcee de asmería de Pearso: A P x M s o ao el umerador como el deomador de la fraccó so posvos, de maera que ambé es posvo el cocee La prmera frecueca absolua acumulada maor o gual que ¼ = ¼ 83 = 0,75 es 1 = 30, luego el prmer cuarl se ecuera e el ervalo de exremos Para obeer su valor: 1 4 0,75 0 Q1 L 1 c ,58 30 Eoces, el sueldo aual máxmo para u rabajador del 5 por ceo de los de meor rerbucó es 134,58 ceos de euros; es decr, euros S el coefcee de exceso es egavo, el apuameo de la dsrbucó es meor que el de ua ormal de gual meda varaza; es decr, la dsrbucó es placúrca. 180

189 Ejerccos cuesoes Gráfco de la dsrbucó de los sueldos 6.7. El ídce de G se defe como: 1 (p q ) 1 IG 1 p 1 sedo p = 100 F, es decr, que p es el porceaje de frecueca relava acumulada, que dca el peso que ee cada frecueca absolua acumulada sobre el oal de los daos, e porceaje, q = 100 (U / U ), dode U es el valor acumulado del produco x ; es decr, que q es el valor acumulado de la varable, obedo como suma, para cada valor, del produco x más los aerores, expresado e porceaje. Para obeerlo, eoces, ha que elaborar las sguees ablas de cálculos ermedos: x F p = 100F x x F 1 p 1 = 100F 1 x 1 1 x F p = 100F x x = F = 1 p = 100F = 100 x U = Ac (x ) q = 100(U / U ) p q U 1 = x 1 1 q 1 = 100(U 1 / U ) p 1 q 1 U = x x q = 100(U / U ) p q U = x x + + x = x q = 100(U / U ) =100 p q = 0 181

190 Iroduccó a la Esadísca Descrpva E cuao a su erpreacó, el ídce de G perme coocer el grado de equdsrbucó de la varable. Hace refereca, por ao, al maor o meor grado de gualdad e el reparo del oal de los valores de la varable. S la dsrbucó de la varable es oalmee gualara, el por ceo del oal de sus valores observados correspode al por ceo del oal de observacoes p q so guales. Por el coraro, s la dsrbucó esá mu cocerada, a u porceaje elevado del oal de observacoes le correspode sólo u porceaje pequeño del oal de los valores observados. Eoces, valores del ídce de G próxmos a cero (que mplca valores de p aproxmadamee guales a los de q ) dca ua coceracó débl valores del ídce de G próxmos a la udad (que mplca valores de p elevados e relacó co los de q ) dca ua fuere coceracó. Luego s el ídce de G omase el valor 0,1 la dsrbucó de los sueldos sería basae equava. EJERCICIO 7 Para hacer u esudo sobre el cose de alquler (ceos de euros) de los locales desados a dscoecas e ua zoa urísca española se dspoe de los sguees daos: Cose (L -1 L ) º dscoecas ( ) Como puede verse, la dsrbucó del cose de alquler esá agrupada e 5 ervalos de amplud varable. A parr de esa formacó: 18

191 Ejerccos cuesoes 7.1. Obega la abla de dsrbucó de frecuecas. 7.. Cuál es el cose de alquler medo? Y el más frecuee? Qué puede decrse respeco a la asmería de la dsrbucó? 7.3. Es el cose medo represeavo? 7.4. Obega el cose medao explque su sgfcado Idque cuál es, por érmo medo, el cose de alquler e cada ua de esas dos suacoes: Los alquleres aumea 100 euros Los alquleres aumea u 10 por ceo Demuésrelo Calcule el prmer cuarl de la dsrbucó explque su sgfcado Tabla de dsrbucó de frecuecas: L -1 L f F ,10 0, ,15 0, ,60 0, ,10 0, ,05 1, , Para obeer el cose medo el más frecuee se efecúa los sguees cálculos: L -1 L x x x c d ,5 15,0 1.56,50 5,00 0, ,5 56, ,75 5,00 0, , , ,00 5,00, ,5 875, ,50 5,00 0, ,0 750, ,00 100,00 0, , ,75 183

192 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Eoces: x x ,5 60, La meda del cose de alquler es 60,65 ceos de euros; es decr, 6.06,5 euros. El cose de alquler más frecuee es la moda de la dsrbucó, que esá e el ervalo de exremos 50 75, al que le correspode la desdad de frecueca más ala, d 3 =,40. Para obeer su valor: M o L 1 d 1 d1 d 1 c 0, ,60 0,40 El cose de alquler más frecuee es 60 ceos de euros; es decr, euros. Como la meda es maor que la moda, el coefcee de asmería de Pearso es maor que cero la dsrbucó del cose de alquler es asmérca a la derecha o posva. 3,00,50,00 1,50 1,00 0,50 0, Gráfco de la dsrbucó del cose de alquler 184

193 Ejerccos cuesoes 7.3. Para aalzar s el cose de alquler medo es represeavo, se calcula el coefcee de varacó: s CV x s x ,75 x 60,65 785,546 s = 8, ,0 60,65 0,46 Luego la dspersó relava de la dsrbucó es del 46 por ceo, el cose de alquler medo es represeavo El cose medao se súa e el ervalo de exremos 50 75, al que le correspode el prmer valor de la frecueca absolua acumulada gual o superor a ½ = ½ 100 = 50, que es 3 = 85. Para obeer su valor: M e L c , La medaa del cose de alquler es, por ao, 60,416 ceos de euros; es decr, 6.041,6 euros. Ese es el alquler máxmo para el 50 por ceo de los locales más baraos el mímo para el 50 por ceo de los locales más caros U aumeo de 100 euros e el cose de alquler equvale a efecuar u cambo de orge de la varable, que cosse e sumar a odos sus valores ua cosae k. E ese caso, pueso que el cose de alquler esá expresado e ceos de euros, u aumeo de 100 euros es u aumeo de ua udad, por lo que la cosae k es gual a 1. Eoces: x o x 1 x o x 1 60, ,65 185

194 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Igual que sucede co los valores de la varable, el cose de alquler medo aumea 100 euros, es gual a 61,65 ceos de euros o 6.16,5 euros U aumeo de u 10 por ceo e el cose de alquler equvale a efecuar u cambo de escala de la varable, que cosse e mulplcar odos sus valores por ua cosae k. E ese caso, la cosae k es gual a 1,10 a que s el cose de alquler aumea u 10 por ceo: x e x 0,10x (1 0,10)x 1,10x e x =1,10x =1,1060,65 = 66,687 Igual que sucede co los valores de la varable, el cose de alquler medo aumea el 10 por ceo, es gual a 67,787 ceos de euros o 6.778,7 euros. Demosracó: x o o x (x k) x k x k Lo que sgfca que la meda de ua varable para la que se ha efecuado u cambo de orge de k udades es gual a la suma de la meda orgal las k udades del cambo de orge. x e e x k x kx Lo que sgfca que la meda de ua varable para la que se ha efecuado u cambo de escala de facor k, es gual al produco de dcho facor por la meda de la varable orgal El prmer cuarl se súa e el ervalo de exremos 5 50, al que le correspode la prmera frecueca acumulada absolua maor o gual que ¼ = ¼ 100 = 5, que es = 5. Para obeer su valor: Q1 L 1 c

195 Ejerccos cuesoes Luego el preco que como máxmo cuesa el alquler de u local que forma pare del grupo del 5 por ceo de los más baraos es 50 ceos de euros, o euros. Eso mplca que euros es ambé el preco que como mímo cuesa el alquler de u local que forma pare del grupo del 75 por ceo de los más caros. EJERCICIO 8 El úmero de empleados de las 30 agecas de vajes que u empresaro ee e ua deermada Comudad Auóoma presea la sguee dsrbucó: º Empleados (L -1 L ) º Ofcas ( ) Como puede observarse, la dsrbucó del úmero de empleados esá agrupada e 4 ervalos de amplud varable Obega el úmero medo de empleados Es represeavo de la dsrbucó? 8.. S e oras dos Comudades Auóomas ese empresaro ee agecas que ee ua meda de empleados respecvamee Cuál es la meda de empleados de las ofcas e las res Comudades? Tabla de cálculos ermedos L -1 L x x x ,

196 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 8.1. Eoces, el úmero medo de empleados es: x 1 x 30 = 10, Luego, las agecas de vajes de ese empresaro e la prmera Comudad Auóoma ee ua meda de 10 empleados, aproxmadamee. Para aalzar s ese valor medo es represeavo de la dsrbucó, se calcula el coefcee de varacó de Pearso: CV = x s = s x x = 10,066 40,708 s 6, ,38 10,066 0,634 La dspersó relava de la dsrbucó es del 63 por ceo; por ao, la meda o es represeava de la dsrbucó. 8.. Se sabe que e la prmera Comudad Auóoma, e la que el úmero de ofcas es 1 = 30, la meda del empleo es x 1 10, 066 ; e la seguda, e la que el úmero de ofcas es = 16, la meda del empleo es x 10, e la ercera, e la que el úmero de ofcas es 3 = 33, la meda del empleo es x La dsrbucó esá formada por los = = = 79 daos del úmero de empleados e las res Comudades Auóomas, el subcojuo de daos correspodee a cada comudad o ee valores e comú co los demás. Eoces: 1x x 1 x x , ,

197 Ejerccos cuesoes Y la meda de empleados e las ofcas de las res Comudades es aproxmadamee gual a 1. EJERCICIO 9 El valor más frecuee de ua varable x es 5,7 el coefcee de exceso de su dsrbucó, que es campaforme, es gual a 7,. Se sabe, además, que: ( x k) oma su valor mímo cuado k es gual a 5,5 1 (x x) 1 = 1,5 Dada esa formacó, es la meda arméca represeava de la dsrbucó? Puede decrse que la dsrbucó es asmérca a la zquerda? Y que es lepocúrca? Por qué? Idque claramee el sgfcado de esas expresoes. El valor medo de la varable es 5,5 a que, como sabemos: 1 (x k) es míma cuado k es gual ax. Se cooce, ambé, su desvacó ípca: s = (x x) 1 = 1,5 Eoces: s 1,5 CV = = 0, 7 x 5,5 189

198 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Es decr, la dspersó relava es del 7 por ceo, la meda es represeava de la dsrbucó. La desvacó ípca de cualquer varable es posva, e ese caso, el valor medo de la varable (= 5,5) es meor que su valor más frecuee (= 5,7). Eoces, el coefcee de asmería de Pearso: A P x M S X o es egavo la dsrbucó es, efecvamee, asmérca a la zquerda. Eso sgfca que la dsrbucó ee cola a la zquerda; es decr, que las frecuecas descede más leamee por la zquerda que por la derecha. Respeco a la cuross, se sabe que el coefcee de exceso: g (x x) 1 s 4 4 / 3 (= 7,) es maor que cero. El prmer sumado de esa expresó (= g + 3 = 7, + 3 = 10,) mde el apuameo correspodee a esa dsrbucó el segudo (= 3) es el apuameo para ua dsrbucó ormal co la msma meda varaza que esa varable. Luego el apuameo de esa dsrbucó es maor que el de la ormal la dsrbucó es, efecvamee, lepocúrca. EJERCICIO 10 Se dspoe de la sguee formacó respeco a los beefcos (mles de euros) que los esablecmeos de ua cadea hoelera obee por servco de resaurae: Beefcos (L -1 L ) º hoeles ( )

199 Ejerccos cuesoes Se sabe, además, que el beefco medo es 34,85 mles de euros la desvacó ípca es 6,44 mles de euros. La dsrbucó de los beefcos esá agrupada e 3 ervalos de amplud varable Calcule los beefcos que como máxmo obuvero el 50 por ceo de los servcos de resaurae meos reables Idque cuáles so los beefcos que como mímo cómo máxmo ha obedo el 75 por ceo de los servcos de resaurae más reables Se sabe que el úmero ídce del año 004 de los beefcos e érmos omales co respeco al año 1999 es 107,4. Cuál es, eoces, la meda de los beefcos obedos por los servcos de resaurae e el año 004? Y la desvacó ípca? Jusfque su respuesa Sabedo que al 57,14 por ceo de los servcos de resaurae les correspode el 5 por ceo de los beefcos oales que al 85,71 por ceo de dchos servcos les correspode el 6,5 por ceo de los beefcos, puede decrse que la dsrbucó esá mu cocerada? Tabla de cálculos ermedos L -1 L La prmera frecueca acumulada absolua gual o superor a ½ = ½ 56 = 8 es 1 = 3, luego la medaa esá e el ervalo de exremos Para obeer su valor: M e L 1 c = ,

200 Iroduccó a la Esadísca Descrpva El beefco máxmo obedo por el 50 por ceo de los servcos de resaurae meos reables es 6,5 mles de euros; es decr, euros Pueso que la medaa esá e el prmer ervalo de la dsrbucó, ambé esá e dcho ervalo el prmer cuarl. Para obeer su valor: Q = , L 1 c El beefco que como mímo obee u servco de resaurae del 75 por ceo de los más reables es 131,5 mles de euros, o euros. El máxmo beefco que dcho servco puede obeer es el valor máxmo posble de los beefcos, que es 1.00 mles de euros o euros El úmero ídce del momeo ésmo respeco al período base ( I 0 ) se obee mulplcado por ce el cocee ere el valor corree (x ) el que la varable oma e el período de refereca (x 0 ); es decr: I 0 x x Eoces: I x 04 I04 x 99 I x 04 x 99 x Es decr, los beefcos e el año 004 se obee mulplcado sus valores e el año 1999 por el ídce expresado e ao por uo, lo que equvale a efecuar u cambo de escala de facor k = I / 100 = 1,074: x e kx 1,074 34,85 368,9 s e ks 1,074 6,44 81,91 19

201 Ejerccos cuesoes El beefco medo la desvacó ípca de los beefcos e el año 004 so 368,9 81,91 mles de euros; o euros respecvamee El grado de coceracó de la dsrbucó puede aalzarse calculado el ídce de G. La formacó dspoble se ha recogdo e la abla sguee: p q p q 57,14 5 3,14 85,71 6,5 3, El ídce de G, resula: 1 (p q ) 1 55,35 IG = 0, p 14,85 1 Y su valor dca que la dsrbucó de los beefcos es basae desgual, a que, como puede verse e la abla, el 57 por ceo de los resauraes se repare sólo la cuara pare del oal de beefcos, meras que el 38 por ceo de los beefcos le correspode al 15 por ceo de los resauraes. EJERCICIO 11 La dsrbucó del úmero de habacoes por esablecmeo e los alojameos de ua deermada localdad es la que se presea e la sguee abla: º habacoes (L -1 L ) º esablecmeos ( )

202 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Dado que e esa dsrbucó la meda la moda cocde puede decrse que es smérca. Es correca esa afrmacó? Jusfque su respuesa Qué porceaje de esablecmeos ee ere 0 30 habacoes? La dsrbucó del úmero de habacoes esá agrupada e 6 ervalos de amplud varable. Tabla de resulados ermedos L -1 L x x c d , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Dada la formacó que coee la abla, la meda de la varable es: x 1 x 9.174,5 = 36, La moda esá e el ervalo de exremos 8 40, pueso que d 3 = 69,4 es la maor desdad de frecueca. Para obeer su valor: M o L d 44, c = 8 1 3, 78 d1 d1 44,90 67,90 La meda de habacoes por esablecmeo es 36,93 el úmero de habacoes por esablecmeo más frecuee es 3,78. La afrmacó o es correca. Al ser la meda maor que la moda, el coefcee de asmería de Pearso es posvo, la dsrbucó es asmérca a la derecha. 194

203 Ejerccos cuesoes 11.. La desdad de frecueca e el ervalo de exremos 18 8 es 67,9 los esablecmeos que ee ere 0 8 habacoes so 9 x 67,9 = 611,1. De la msma forma se deduce que los que ee ere 8 30 so 138,84. Por ao, los esablecmeos que ee ere 0 30 habacoes so 611, ,84 = 749,94, que represea el 30,04 (= (749,94 /.496) x 100) por ceo del oal. EJERCICIO 1 Los gasos de aperura (mles de euros) de u resaurae fuero presupuesados por cco evaluadores dsos, que proporcoaro las sguees respuesas: Evaluador Presupueso Para resumr esa formacó, se asumó como presupueso el valor medo de los cco propuesos Puede cosderarse dcho valor represeavo de la dsrbucó? 1.. Teedo e cuea que a cada ua de las valoracoes debe añadrse uos gasos fjos de 10 ml euros, cuál es el presupueso defvo? Varía la dspersó relava de la dsrbucó? Demuésrelo Se dspoe de la sguee formacó adcoal respeco a los evaluadores: Evaluador Años de expereca

204 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Cuál sería el presupueso defvo s e la meda se poderase la mporaca de cada uo de ellos e fucó de los años de expereca del evaluador? La dsrbucó de los presupuesos o esá agrupada, la frecueca de cada valor de la varable es gual a la udad. Tabla de cálculos ermedos Evaluador x w x x w La meda de la dsrbucó es: x x 1 x , 6 5 Luego el presupueso ascede a 3,6 mles de euros o euros. Para aalzar su represeavdad: CV = x s = s 1 x x x 1 x ,6 8,4 5 s = 5,31 5,31 = 0, 16 3,6 La dspersó relava de la dsrbucó es del 16 por ceo, la meda es represeava. 196

205 Ejerccos cuesoes 1.. Añadr a cada valor del presupueso uos gasos fjos de 10 ml euros (= 10 udades) equvale a cambar el orge de la varable. Luego: x o x k 10 3,6 4,6 El presupueso defvo ascede a 4,6 mles de euros o euros. La represeavdad s varía, porque el cambo de orge modfca la meda pero o afeca a la varaza, de maera que el coefcee de varacó es dso. Demosracó: El cambo de orge supoe sumar a los valores de la varable ua cosae k, de maera que x o x k. Eoces: x o o x (x k) (x k ) x k x k s o o (x 1 - x ) (x k x k) 1 (x x) 1 s s o = s CV o s = x o o s s = CV x k x 1.3. Poderado la mporaca de cada presupueso e fucó de los años de expereca del evaluador: x w x w = 35, 4 w 45 1 Y eedo e cuea los gasos fjos: x o w x w k 10 35,4 45,4 El presupueso defvo es de 45,4 mles de euros o euros. 197

206 Iroduccó a la Esadísca Descrpva EJERCICIO 13 E dos esablecmeos de ua cadea hoelera se ha realzado u esudo sobre el úmero de perocacoes daras regsradas. E el prmero se ha obedo ua meda gual a 15 ua varaza de 36. E el segudo la meda es 85 la desvacó ípca es gual a 46. Cuál de las dos dsrbucoes es más homogéea? Auque las perocacoes esá dadas e las msmas udades, las medas de las dos dsrbucoes so dferees; por ao, o es correco comparar la dspersó por medo de las desvacoes ípcas. Debe calcularse los correspodees coefcees de varacó de Pearso, para valorar las dspersoes relavas: s1 CV x ,048 CV s x ,160 Luego es más homogéea la dsrbucó de las perocacoes e el prmer esablecmeo, pueso que su dspersó relava es meor. EJERCICIO 14 Qué dca el hecho de que e ua dsrbucó el valor de la meda sea superor al de la medaa? Que e la dsrbucó ha algú o alguos valores exremos, sgfcavamee superores a los demás. Pueso que e el cálculo de la meda ervee odos los valores de la varable, s ere ellos ha alguo o alguos mu elevados, su valor resula superor al que ocupa el lugar ceral de la dsrbucó. 198

207 Ejerccos cuesoes EJERCICIO 15 Respeco a dos dsrbucoes campaformes smércas se dspoe de la sguee formacó: Dsrbucó A: M e = 15 s = 36 Dsrbucó B: M o = 0 s = Obega la meda arméca de cada dsrbucó Sería correco ulzar la desvacó ípca para comparar la dspersó de las dsrbucoes? Por qué? Idque cuál de las dos dsrbucoes presea maor varabldad Al ser las dsrbucoes campaformes smércas, la meda, la medaa la moda cocde. Luego la meda de la prmera dsrbucó es gual a 15 la de la seguda es gual a o sería correco. Sólo es correco comparar la dspersó de las dsrbucoes ulzado la desvacó ípca s ambas ee la msma meda esá expresadas e las msmas udades de medda, e ese caso, las dsrbucoes ee medas dferees. Para hacer la comparacó, debe obeerse los coefcees de varacó de Pearso Efecuado los cálculos: s 6 CV A = A = 0,4 x 15 A CV B sb 6 = 0,3 x 0 B La dspersó relava de la dsrbucó A es del 40 por ceo la de la dsrbucó B es del 30 por ceo. Tee maor varabldad la dsrbucó A. 199

208 Iroduccó a la Esadísca Descrpva E ese caso parcular, puede llegarse a la msma coclusó s ecesdad de calcular el coefcee de varacó. Las desvacoes ípcas de las dos dsrbucoes so guales, pero la dsrbucó A ee ua meda meor que la dsrbucó B; por ao, el coefcee de varacó de las dos dsrbucoes ee el msmo umerador el deomador de la fraccó es meor para la dsrbucó A que para la B, o lo que es lo msmo, es meor e el caso de la dsrbucó B. o es ecesaro coocer su valor para deducr que presea maor varabldad la dsrbucó A. EJERCICIO 16 E ua empresa urísca los empleados se clasfca e cco caegorías para las cuales se dspoe de daos respeco a los salaros auales (ceos de euros) pacados e el coveo colecvo al úmero de empleados. Caegoría Salaro (x ) º empleados ( ) Calcule el ídce de G e erpree el resulado obedo. La dsrbucó de los salaros o esá agrupada. Tabla de cálculos ermedos x F p x U q p q ,6 6, ,9 9, ,44 44, ,1 13, ,88 88, ,99 5, ,97 97, ,5 1, ,00 100, ,00 0,

209 Ejerccos cuesoes El ídce de G es: 1 (p q ) 1 IG = 1 p 1 30,10 57,75 = 0,116 Luego, como puede observarse e la abla de cálculos ermedos, la dsrbucó de los salaros es basae equava o o esá mu cocerada. EJERCICIO 17 Co los daos de las perocacoes regsradas e esablecmeos hoeleros e las Comudades Auóomas de Caaras de Galca correspodees a los 1 meses del año 003 se ha obedo uos valores del ídce de G guales a 0,041 0,674 respecvamee. Qué podría coclur a la vsa de esos resulados? E el año 003, e Caaras, las perocacoes esá práccamee equdsrbudas a lo largo del año, pueso que el ídce de G esá próxmo a cero. S embargo, e Galca, el grado de coceracó de las perocacoes es mu elevado, a que el ídce de G esá más próxmo a la udad que a cero. EJERCICIO 18 Idque qué formacó proporcoa el ídce de G respeco a la dsrbucó de la versó (mles de euros) e los esablecmeos de ua cadea hoelera que se recoge e la abla sguee: Iversó (L -1 L ) º esablecmeos ( )

210 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla de resulados ermedos L -1 L F p x x U q p q ,10 10, ,84 4, ,40 40, ,93 10, ,80 80, ,80 9, ,95 95, ,51 4, ,00 100, ,00 0, El ídce de G es: 1 (p q ) 1 IG = 1 p 1 7,9 5 = 0,1 Luego su valor esá próxmo a cero el reparo de la versó es basae gualaro. EJERCICIO 19 Al aalzar el gaso e hoeles e ua deermada zoa se ha observado que, ua vez ordeado e orde crecee, al prmer 30 por ceo de los clees les correspode el 15 por ceo del gaso oal, meras que el 90 por ceo de los clees gasa el 75 por ceo del oal. Valore el grado de coceracó de la dsrbucó ulzado el ídce de G. Tabla de cálculos ermedos p q p q

211 Ejerccos cuesoes El ídce de G es: 1 (p q ) 1 30 IG = 1 = 0,5 p 10 1 Su valor o esá alejado de cero la dsrbucó del gaso o esá mu cocerada. EJERCICIO 0 Se dspoe de la formacó relava al úmero de plazas de los hoeles que se ubca e ua deermada Comudad Auóoma que fgura e la sguee abla: x f 175 0, , , , , ,1071 Represee la curva de Lorez obega el ídce de G explcado co clardad qué formacó proporcoa. Tabla de cálculos ermedos x f F p U q p q 175 0,5 0,5 5, ,98 1, ,149 0,39 39, ,80 8, ,1785 0,57 57, ,00 3, ,149 0,71 71, ,91 30, ,1786 0,89 89, ,3 19, ,1071 1,00 100, ,00 0,

212 Iroduccó a la Esadísca Descrpva La curva de Lorez el ídce de G perme valorar el grado de coceracó de la dsrbucó. La curva de Lorez se sera e u cuadrado e el que la dagoal que ue el vérce feror zquerdo co el superor derecho represea la míma coceracó, a que e odos sus puos se cumple que el porceaje que represea la frecueca absolua acumulada sobre el oal de los daos es gual al porceaje que supoe el valor acumulado de la varable sobre su valor oal (p = q ). Cuao más elevada es la coceracó, más pequeño es el porceaje del valor acumulado de la varable sobre su valor oal (q ) que le correspode a u porceaje elevado de la frecueca absolua acumulada sobre el oal de los daos (p ), de maera que cuado la coceracó es mu fuere, la curva de Lorez ede a cofudrse co los lados feror e zquerdo del cuadrado q p Curva de Lorez de la dsrbucó del úmero de plazas E ese caso, la curva de Lorez o esá próxma a la dagoal, luego el reparo del úmero de plazas o es gualaro. Como muesra la abla de cálculos ermedos, a la cuara pare de los hoeles les correspode sólo algo meos del 4 por ceo del oal de las plazas, meras que el 30 por ceo del oal de las plazas se cocera e el 10 por ceo de los hoeles. El ídce de G es el doble del área compredda ere la curva de Lorez la dagoal del cuadrado, bajo el supueso covecoal de que el área del cuadrado es gual a la udad. Su valor esá compreddo ere 0 1, pueso que s la curva 04

213 Ejerccos cuesoes cocde co la dagoal el área vale cero, s cocde co los lados del cuadrado es gual a ½. Dado que la coceracó es míma cuado la curva se superpoe a la dagoal máxma cuado la curva se superpoe a los lados del cuadrado, el ídce de G dca gualdad e el reparo s su valor esá próxmo a cero, a medda que se aleja de cero dca u grado de coceracó cada vez maor. Para obeerlo: 1 (p q ) 1 IG = 1 p 1 13,14 = 0,468 8,15 E ese caso, el ídce de G esá alejado de cero, luego es coheree co el resulado que, e érmos gráfcos, muesra la curva de Lorez, e dca que el reparo del úmero de plazas es poco gualaro. EJERCICIO 1 Varía la represeavdad de la meda arméca de ua dsrbucó s se mulplca odos los valores de la varable por ua cosae k? Demuésrelo. o, la represeavdad de la meda o varía, porque el cambo de escala ee el msmo efeco e la meda que e la desvacó ípca, de maera que el coefcee de varacó se maee varae. Demosracó: x e kx x e e x k x kx s e e e (x x ) (kx kx) k (x x) k s s e ks 05

214 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Luego: CV e s x e e ks kx CV EJERCICIO S cosderamos ua rasformacó leal de la varable x al como z = a + bx dode a b so cosaes, z a bx Es correca esa afrmacó? Demuésrelo. La afrmacó es correca. Demosracó: z z (a bx) a x b a bx EJERCICIO 3 S odos los valores de ua varable se cremea e ua cosae k, o se modfca la meda de la dsrbucó su represeavdad. Es correca esa afrmacó? Demuésrelo. La afrmacó es falsa, porque el cambo de orge modfca la meda su represeavdad, pueso que o afeca a la desvacó ípca pero sí modfca el coefcee de varacó. Demosracó: x o x k x o o x (x k) (x k ) x k x k 06

215 Ejerccos cuesoes s o o (x - x ) (x k x k) (x x) s s o s Eoces: CV o s = x o o s s = CV x k x EJERCICIO 4 De la dsrbucó de frecuecas de la varable x sabemos que: (x k) 1 es míma cuado k = 48 Quere decr eso que la desvacó ípca de la varable es 48? Por qué? o. Quere decr que la meda de la varable es 48, porque ua de las propedades de la meda arméca es que hace míma la suma de los cuadrados de las desvacoes de los valores de la varable respeco a ua cosae. EJERCICIO 5 E u hoel se clasfca a los rabajadores e dos caegorías segú su vculacó co el deparameo de admsracó. El sueldo medo de la empresa es 170 udades. Los empleados que rabaja e el deparameo de admsracó cobra por érmo medo 50 udades. El sueldo medo de los que presa sus servcos e los resaes deparameos es de 130 udades. Qué porceaje de rabajadores desempeña su labor e el deparameo de admsracó? 07

216 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Se sabe que e el deparameo de admsracó, que ee 1 empleados el sueldo medo es x 1 50, e los demás, e los que ha empleados es x 130. Se cooce, además, el sueldo medo de la empresa x 170, que ee u oal de = 1 + empleados. El subcojuo de daos correspodee al deparameo de admsracó el correspodee a los demás o ee valores e comú. Eoces: 1x x 1 x, eedo e cuea que = 1 + = 1, se ee: 1x1 ( 1 )x Susuedo: ( 1 ) = = ,33 Y el porceaje de empleados e el deparameo de admsracó es: 1 0,33 P E el deparameo de admsracó rabaja el 33 por ceo de los empleados de la empresa. 08

217 Ejerccos cuesoes EJERCICIO 6 E ua cadea hoelera los empleados se clasfca e res caegorías para las cuales se dspoe de la sguee formacó correspodee al año 1999: Caegoría º empleados Salaro medo Desvacó ípca , Calcule el salaro medo del cojuo de los empleados. 6.. E que caegoría es más homogéeo el salaro? 6.3. Para fjar los salaros del año 000 se propoe dos aleravas: U cremeo leal de 10 udades para odos los rabajadores U aumeo del 10 por ceo e los salaros de los empleados de la caegoría 3, del 8 por ceo e los de los empleados de la caegoría del 4 por ceo e los de los empleados de la caegoría 1. Obega los salaros medos por caegorías para el oal de empleados e cada ua de las dos suacoes comee los resulados obedos Se sabe que e la prmera caegoría, que ee 1 = 0 empleados, el salaro medo es x 1 300, e la seguda, que ee = 50 empleados, el salaro medo es x 145 e la ercera caegoría, que ee 3 = 130 empleados, el salaro medo es x La cadea hoelera ee u oal de = = = 00 empleados, el subcojuo de daos correspodee a cada caegoría o ee valores e comú co los demás. Eoces: x x11 x x ,65 00 Es decr, el salaro medo del cojuo de los empleados es 167,65 udades. 09

218 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 6.. Calculado el coefcee de varacó de Pearso e cada caegoría: s1 CV x CV CV s x,5 145 s x ,3 0,15 0,7 Luego el salaro es más homogéeo e la seguda, que ee meor dspersó relava Para obeer las uevas medas del salaro e cada caegoría se efecúa u cambo de orge, los resulados que se obee so los sguees: o x1 1 o x x o x 3 x 3 Caegoría 1: x 10 = = 310 Caegoría : 10 = = 155 Caegoría 3: 10 = = 166 Y para el oal de empleados, se ee: x o o o x11 x o 3 x , Para obeer las uevas medas del salaro e cada caegoría se efecúa u cambo de escala, los resulados que se obee so los sguees: e Caegoría 1: x1 k1x1 = 1,04 x 300 = 31 e Caegoría : x k x = 1,08 x 145 = 156,6 e Caegoría 3: x 3 k 3x 3 = 1,10 x 156 = 171,6 Y para el oal de empleados, se ee: x e e x11 x e e 3 x , , ,

219 Ejerccos cuesoes Luego, por érmo medo, ao para cada caegoría como para el cojuo de los empleados, es preferble la seguda alerava. EJERCICIO 7 Dspoemos de las seres de úmeros ídces e base 1995 que refleja la evolucó del úmero de plazas regsradas e dferees medos de acomodacó e Galca a lo largo del período : Años Hoeles Hosales Campgs Aparameos E. ursmo rural ,0 100,0 100,0 100,0 100, ,1 99,8 101,3 106, 130, ,4 100,0 104,9 110,0 160, Pueso que e 1996 el ídce para los hosales es 99,8, las plazas regsradas e ese po de alojameos ha expermeado desde 1995 u crecmeo del 99,8 por ceo Es correca esa afrmacó? Razoe su respuesa. 7.. Cosrua ua sere de úmeros ídces complejos o poderados que refleje la evolucó de las plazas oferadas e el cojuo de los medos de acomodacó ulzado la meda arméca smple Exprese la sere de úmeros ídces complejos e base La afrmacó es falsa. Dada su defcó, el valor del ídce e el año base es gual a 100. E los períodos e los que es superor, la varable ha expermeado desde el período base u crecmeo e u porceaje gual a la cadad que excede de 100 e los períodos e los que es feror, la varable ha expermeado desde el período base ua dsmucó e u porceaje gual a la cadad que fala hasa 100. Por ao, las plazas regsradas e hosales ha expermeado desde 1995 ua dsmucó del 0, por ceo. 7.. La sere de úmeros ídces complejos o poderados para el cojuo de los medos de acomodacó se obee calculado la meda arméca smple de los ídces parcales. 11

220 Iroduccó a la Esadísca Descrpva El resulado obedo fgura e la abla sguee: Años Hoeles Hosales Campgs Aparameos E. ursmo rural I. complejo ,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100, ,1 99,8 101,3 106, 130, 108, ,4 100,0 104,9 110,0 160,7 116, Para efecuar u cambo de base se dvde cada valor de la sere de úmeros ídces ere el que oma e el que se va a cosderar como uevo período de refereca. E ese caso, dvdedo la sere e base 1995 por 116,6, que es el valor que el ídce oma e 1997: Años Base 1995 Base ,0 85, ,7 93, ,6 100,00 EJERCICIO 8 La sguee abla recoge el úmero de clees (mles) de ua empresa hoselera ere el prmer rmesre de 1993 el cuaro de Trmesres I II III IV Calcule los ídces de varacó esacoal supoedo que la sere sgue u esquema mulplcavo obega la sere desesacoalzada. Para calcular los ídces de varacó esacoal se ulza el méodo de la razó a la meda móvl. Como la sere es rmesral, se obee las medas móvles de orde p = 4 desceradas, MM4 d, ceradas, MM4 c. Dvdedo la sere de clees ere la de medas móvles se deerma los ídces de varacó esacoal, IVE. 1

221 Ejerccos cuesoes Los ídces medos de varacó esacoal, IME, que se obee promedado los de varacó esacoal, se ajusa para que su suma sea gual a 400 así resula la sere IMEA. Por úlmo, para obeer la sere desesacoalzada se dvde la sere de clees ere la de ídces ajusados. Tao los resulados ermedos de ese proceso como la sere desesacoalzada, SD, fgura e la sguee abla: Período MM4 d MM4 c IVE IME IMEA SD ,91 46,63 10, ,43 98,83 15,18 15, ,5 196,7 193,64 19,47 15,59 15, ,63 63,98 6,45 6,07 16,11 15, ,00 43,75 46,91 46,63 15,01 16, ,38 97,68 99,43 98,83 16,19 16, ,63 19,4 193,64 19,47 16,63 16, ,00 64,71 6,45 6,07 17,7 17, ,63 45,38 46,91 46,63 17,16 18, ,00 100,00 99,43 98,83 18,1 18, ,5 191,78 193,64 19,47 18,18 18, ,75 58,67 6,45 6,07 17,7 19, ,38 51,60 46,91 46,63 1,45 19, ,88 100,60 99,43 98,83 0,4 0, ,64 19,47 19, ,45 6,07 19,33 13

222 Iroduccó a la Esadísca Descrpva EJERCICIO 9 Los ídces de varacó esacoal de la sere rmesral del úmero de persoas que ha solcado formacó e ua Ofca de Iformacó Turísca so los sguees: Trmesres IVE I 47,13 II 10,8 III 199,78 IV 50,73 Sgfca eso que e el segudo rmesre del año se cocera el 10,8 por ceo de las persoas que solca formacó e dcha Ofca? o. El ídce de varacó esacoal dca el porceaje que el valor de la varable represea e cada rmesre respeco a la meda aual. Por ao, e el segudo rmesre del año el úmero de persoas que solca formacó es u,8 por ceo superor a la meda del año. EJERCICIO 30 Se dspoe de la sguee formacó relava a las varables x = gresos (ceos de euros) daros por servco de resaurae e = gresos (ceos de euros) daros por servco de bar correspodees a dez hoeles de la msma caegoría: x

223 Ejerccos cuesoes Obega el coefcee de correlacó leal ere los gresos daros por servco de resaurae por servco de bar explque co clardad qué formacó proporcoa So esas varables depedees desde el puo de vsa esadísco? Esme por mímos cuadrados ordaros la ecuacó = + x explque el sgfcado de la pedee de la reca de regresó esmada Obega el coefcee de deermacó e erpree el resulado obedo. Tabla de cálculos ermedos x x x Para obeer el coefcee de correlacó leal calculamos prevamee la covaraza las desvacoes ípcas de las varables: s x x x = 103,9 7, 7 = 9,37 10 s x x 1 x = ,9 193, s x = 13,90 s 1 = ,7 47, s = 6,90 15

224 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Eoces: r x = s s x x s = 9,37 13,90 6,90 = 0,96 El coefcee de correlacó leal es posvo esá próxmo a la udad, por ao, ere los gresos por servco de resaurae por servco de bar exse ua relacó leal de po dreco mu esa La exseca de relacó leal o correlacó mplca la depedeca esadísca, luego las varables o so esadíscamee depedees Esmacó de la ecuacó = + x : s 9,37 b = 0, 4784 s 193,09 x x a bx = 7,7 0, ,9, 005 ŷ,005 0,4784 x La pedee de la reca de regresó esmada dca la varacó que se esma que se produce e el regresado,, s el regresor, x, varía ua udad. E ese caso, como el coefcee es posvo, las varacoes de ambas varables ee el msmo sedo, las udades de medda de las varables so ceos de euros. Eoces, b = 0,4784 sgfca que por cada aumeo (dsmucó) de ce euros e los gresos daros por servco de resaurae se esma u aumeo (dsmucó) de los gresos daros por servco de bar de 0,4784 ceos de euros. O lo que es lo msmo, por cada euro adcoal gresado por servco de resaurae se esma u greso adcoal por servco de bar de, aproxmadamee, 0,5 euros. 16

225 Ejerccos cuesoes El coefcee de deermacó es: R = r = 0,96 = 0,916 Dado que esá próxmo a la udad, co esa ecuacó se ha obedo u bue ajuse. Su valor dca, además, que el 9 por ceo de las varacoes de los gresos daros por servco de bar e la muesra dspoble so explcadas por las varacoes de los gresos daros por servco de resaurae. EJERCICIO 31 Se dspoe de los daos coedos e la abla sguee respeco a las varables = beefcos x = gasos de las empresas uríscas de u mucpo gallego, expresadas e mles de euros. Gasos Beefcos Calcule las medas las desvacoes ípcas margales de los beefcos los gasos Idque s, dada esa formacó, puede afrmarse que los beefcos los gasos maee ua relacó leal esa. Dsrbucó margal de = Beefcos L -1 L j.j

226 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla de cálculos ermedos L -1 L j.j j.j j. j Dsrbucó margal de x = Gasos L -1 L x , , Tabla de cálculos ermedos L -1 L x. x j x ,5 9 11, , , , , Medas desvacoes ípcas margales de los beefcos los gasos: j 1.j 1.j s j.j s 48, 99 5.j 1 x x ,5 18,9 5 18

227 Ejerccos cuesoes s x x ,5 x 18,9 3,04 s x 4, La meda de los beefcos es 360 mles de euros o euros su desvacó ípca es 48,99 mles de euros o euros. La meda de los gasos es 18,9 mles de euros o euros su desvacó ípca es 4,8 mles de euros o euros Para aalzar s los beefcos esá relacoados co los gasos se calcula la covaraza de las varables. Gasos Beefcos ,5 4 5, s x h k x jj 1 j 1 x = 1, , , , ,9 360 = = 18, Por ao, ere los beefcos los gasos exse ua relacó leal de po dreco, a que la covaraza es posva. S embargo, dcha relacó es mu débl, pueso que el coefcee de correlacó leal esá mu próxmo a cero: s x 16 rx = 0, 068 s s 4,8 48,99 x 19

228 Iroduccó a la Esadísca Descrpva EJERCICIO 3 Co daos de las varables = gaso e hoeles de cco esrellas x = gresos famlares, correspodees a dez famlas, se ha obedo las medas las varazas, x 49, 18, 8, s x s 144, 76 el coefcee de deermacó de la regresó de sobre x, R 0, Obega la covaraza de x e e erpree el resulado obedo. 3.. Efecúe la regresó de sobre x explque el sgfcado de los coefcees esmados Calcule la varaza resdual Cuál es el campo de varacó del coefcee de deermacó? Ierpree su valor La covaraza puede obeerse despejado e el coefcee de correlacó: r = R r R 0,894 0,9456 s x r s s x s x 0, ,39 1,03 s x 0, ,39 1,03.47,43 La covaraza es maor que cero, lo que dca que ere el gaso e hoeles de cco esrellas los gresos famlares exse ua relacó leal de po dreco. 0

229 Ejerccos cuesoes 3.. Esmacó de la ecuacó = + x : s.47,43 b x = 0,053 s x a = 18,8 0,053 x 49= 7,76 ŷ 7,76 0,053 x a = 7,76 es la ordeada e el orge de la reca de regresó esmada; por ao, es el valor esmado del regresado,, cuado el regresor, x, se aula. Eoces, ese coefcee esmado dca que s los gresos famlares fuese guales a cero, el gaso esmado e hoeles de cco esrellas sería 7.76 udades. Obvamee, esa erpreacó carece de sedo, pueso que el mímo valor que el gaso puede omar es cero. S se guala a cero el gaso esmado: 0 7,76 0,053x x 7,76 137,8 0,053 Luego se esma que el gaso es ulo para gresos famlares de 137,8 udades sólo es posvo para gresos superores a ésos. Es decr, que la ordeada e el orge de la reca de regresó esmada dca que se esma que las famlas co gresos ferores o guales a 137,8 udades o realza gú gaso e hoeles de cco esrellas. b = 0,053 es la pedee de la reca de regresó esmada; por ao, es la varacó que se esma que se produce e el regresado,, cuado el regresor, x, expermea ua varacó uara. E ese caso, su valor es posvo, lo que dca que las varacoes de las dos varables ee el msmo sedo. 1

230 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Eoces, ese coefcee dca que para las famlas co gresos maores que 137,8 udades s se produce u aumeo (dsmucó) de ua udad e los gresos famlares, se esma que el gaso e hoeles de cco esrellas aumea (dsmue) 0,053 udades Para obeer la varaza resdual: R e s 1 s e (1 R ) s (1 0,894) 144,76 15, 315 s Luego la varaza muesral del error es de 15,315 udades del gaso e hoeles al cuadrado E ese modelo, esmado por mímos cuadrados ordaros que ee ordeada e el orge, el coefcee de deermacó, R, oma valores compreddos ere cero la udad. Para jusfcarlo, basa eer e cuea que: R s 1 s e dode s e s so valores posvos la descomposcó de la varaza garaza que s e es meor o gual que s. El coefcee de deermacó se obee, eoces, resado de la udad u cocee maor que cero meor que uo, luego o puede ser superor a uo meor que cero. Su valor esá, e ese caso, próxmo a 0,90, de maera que co esa ecuacó se ha obedo u ajuse acepable, auque el modelo deja s explcar algo más del 10 por ceo de las varacoes del gaso e hoeles de cco esrellas e esa muesra.

231 Ejerccos cuesoes EJERCICIO 33 Co daos de las varables x = rea famlar dspoble (mles de euros) e = mles de perocacoes regsradas e esablecmeos hoeleros e Galca correspodees al período compreddo ere , se ha obedo las varazas, s x , 75 s 36, 69 el coefcee de correlacó leal de las varables, r 0, Calcule e erpree la covaraza de las perocacoes la rea Qué formacó proporcoa el coefcee de correlacó leal? Cuál es su campo de varacó? Obega el valor esmado de e la ecuacó x e erpree el resulado obedo Sabedo que la suma de los cuadrados de los errores es 3,76 obega el valor de R, compruebe que es gual a r, explque su sgfcado El valor de la covaraza puede obeerse despejado e r: s x r s s x s x 0,9871 6, ,66 s x 0,9871 6, , ,18 La covaraza de las perocacoes la rea es posva. Por ao, dca la exseca de ua relacó leal de po dreco ere las varables El coefcee de correlacó leal oma valores compreddos ere 1 1. Valores próxmos a meos uo dca ua fuere asocacó leal versa o egava ere las varables, valores próxmos a cero dca que la correlacó es débl valores próxmos a uo dca ua fuere asocacó leal dreca o posva ere las varables. 3

232 Iroduccó a la Esadísca Descrpva E ese caso, su valor esá próxmo a la udad. Por ao, dca que la relacó leal posva ere las varables, es mu esa s 1.068,18 b x = 0,033 s ,75 x La esmacó de, b, es la pedee de la reca de regresó esmada. Idca la varacó que se esma que se produce e el regresado,, s el regresor, x, varía ua udad. E ese caso, como el coefcee es posvo, las varacoes de ambas varables ee el msmo sedo, las perocacoes esá expresadas e mles la rea e mles de euros. Eoces, b = 0,033 sgfca que por cada aumeo (dsmucó) de ml euros e la rea se esma que las perocacoes regsradas aumea (dsmue) 0,03 mles, o lo que es lo msmo, por cada euro que la rea famlar dspoble aumea (dsmue) se esma u aumeo (dsmucó) de 0,03 perocacoes La varaza resdual es: s e SCE 3,76 0, Eoces: R s 1 s e 0, ,974 36,69 El cuadrado del coefcee de correlacó es: r = 0,9871 = 0,974 Por ao, efecvamee, R es gual a r. 4

233 Ejerccos cuesoes El coefcee de deermacó esá, e ese caso, mu próxmo a la udad, dcado que el ajuse es sasfacoro. La ecuacó explca algo más del 97 por ceo de las varacoes del úmero de perocacoes e esa muesra. EJERCICIO 34 S la covaraza ere dos varables es ula, las varables so depedees. Es esa afrmacó correca? Jusfque su respuesa. La afrmacó es falsa. S la covaraza ere dos varables es ula, ere ellas o exse relacó leal, pero puede maeer ua relacó de depedeca de algú oro po. Por ejemplo, s = x, o ha relacó leal ere las varables x e, pueso que la fucó que las relacoa o es leal, so que es u polomo de grado. S embargo, maee co x ua relacó de depedeca exaca; es decr, las varables o esá lealmee relacoadas, pero o so depedees. EJERCICIO 35 Para aalzar la relacó exsee ere las varables = duracó de la esaca (días) e el vaje prcpal de vacacoes x = gresos famlares auales (ceos de euros) se dspoe de la sguee formacó: Famla x

234 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Efecúe la esmacó mímo cuadráco ordara de la ecuacó x explque el sgfcado del valor esmado de Sabedo que SCE es 6,846 podría dcar qué porceaje de las varacoes de la duracó de la esaca o so explcadas por los gresos? Tabla de cálculos ermedos Famla x x x Esmacó de la ecuacó x : x b = 0, 079 x ŷ 0,079 x La esmacó de, b, es la pedee de la reca de regresó esmada. Idca la varacó que se esma que se produce e el regresado,, s el regresor, x, varía ua udad. E ese caso, como el coefcee es posvo, las varacoes de ambas varables ee el msmo sedo, la duracó de la esaca esá expresada e días los gresos famlares e mles de peseas. Eoces, b = 0,079 sgfca que por cada aumeo (dsmucó) de ce euros e los gresos famlares auales se esma u aumeo (dsmucó) de la duracó de la esaca de 0,079 días. Se esma, por ao, que para que la duracó de la esaca se alargue u día: 6

235 Ejerccos cuesoes 1 día = ,079 días 79 los gresos famlares debería aumear: euros 1.56,83 euros Las varazas resdual del regresado so: s e SCE 6,846 0,978 7 s , ,84 Eoces: R s 1 s e 0,978 1 = 0,970 3,84 Pero ese modelo o ee ordeada e el orge, por ao, o se puede descompoer la varaza. El coefcee de deermacó o es gual al cocee de varazas del regresado esmado el regresado, luego su valor o es la proporcó de la varaza de que represea la varaza de ŷ, que es el cocee que puede erprearse (mulplcado por ce) como el porceaje de varacoes del regresado que queda explcadas por el modelo esmado. Eoces, el coefcee de deermacó o perme, e ese caso, deducr cuál es el porceaje de las varacoes de la duracó de la esaca e esa muesra que o so explcadas por los gresos. EJERCICIO 36 El coefcee de deermacó, puede ser, e algú caso, maor que uo? meor que cero? Jusfque su respuesa. 7

236 Iroduccó a la Esadísca Descrpva El coefcee de deermacó e gú caso es maor que uo sólo puede ser meor que cero s el modelo o ee ordeada e el orge. Se defe como: R s 1 s e es posvo, de maera que R es gual a uo meos ua cadad posva, por ao, es meor que la udad. E gú caso es maor que uo, porque el cocee s e / s S el modelo ee ordeada e el orge o es egavo, porque la descomposcó de la varaza garaza que la varaza resdual es como máxmo gual a la varaza del regresado, de maera que el cocee ere las varazas resdual del regresado es meor o gual que la udad R es gual a uo meos ua cadad meor o gual que uo, por ao, es maor o gual que cero. S el modelo o ee érmo depedee puede ser egavo, porque o se puede descompoer la varaza s e puede ser meor o gual que s, de maera que el cocee s e / s puede ser maor que uo. E al caso caso, R sería gual a uo meos ua cadad maor que uo; es decr, meor que cero. EJERCICIO 37 Idque s los sguees resulados so compables: r > 0 b > s 36, 69 s x 178, 66 s x 1.068, 1 s e 0, x 9, 37 x 13,896 ŷ 6,647x s ŷ 44, 188 s 47, 61 s e 3, 4 = + x x , 8 a = 7,47 b = 0,053 8

237 Ejerccos cuesoes Los resulados so compables. s x r 0 s x > 0 s s x s b > 0 s x > 0 s x x 37.. Los resulados so compables. s x = 1.068,1; s x =178,66 s = 36,69 r = 1.068,1 178,66 = 0,987 6,057 s e = 0,9404 0,9404 s = 36,69 R 1 0, 974 r = 0, 974 = 0,987 36, Los resulados so compables. ŷ 6,647x b = 6,647 x 1 9,37 x 13, b = x 1 9,37 = 6,647 x 13, Los resulados so compables. = + x el modelo ee ordeada e el orge; eoces: s ŷ 44,188 s 47, 61 s 44,188 R = ŷ = 0,98 s 47,61 s e 3,4 s 47, 61 s R e 3,4 = 1 1 = 0,98 s 47,61 9

238 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Los resulados so compables. a = 7,47 el modelo ee ordeada e el orge. = 18,8 x 360, a = 7,47 b = 0,053 = 7,47 0, = 11,65 EJERCICIO 38 Se dspoe de la sguee formacó respeco a las varables = mlloes de persoas que llega a España procedees de los cco países co maor peso e la composcó del ursmo español x = meda poderada de los PIB per cápa (mles de euros) de dchos países. Países x x x A 1,8 3,1 5,58 9,61 3,4 B,7 4, 11,34 17,64 7,9 C 0,7,7 1,89 7,9 0,49 D 1, 3,0 3,60 9,00 1,44 E 1,9 4,0 7,60 16,00 3,61 8,3 17,0 30,01 59,54 16, Cabe esperar que ere las varables x e exsa ua relacó leal esa de po dreco. Explque el sgfcado de esa expresó compruebe que se cumple ulzado la(s) medda(s) que cosdere adecuada(s) Al efecuar la esmacó del modelo s ordeada e el orge que relacoa a co x se ha obedo u valor de la pedee de la reca de regresó esmada gual a 0,5. Es correco ese resulado? Qué sgfca? El coefcee de deermacó del modelo aeror resula gual a 0,58. Puede afrmarse, eoces, que las varacoes del PIB explca el 58 por ceo de las varacoes del úmero de ursas e esa muesra? Jusfque su respuesa. 30

239 Ejerccos cuesoes Supoedo, ahora, que el modelo ee érmo depedee, obega la ordeada e el orge de la reca de regresó esmada explque su sgfcado Calcule el coefcee de deermacó para el modelo co ordeada e el orge e erpree el resulado obedo Sgfca que se supoe que la fucó que relacoa al úmero de ursas co el PIB per cápa es leal. Además, s la relacó que exse ere esas varables es de po dreco, se espera que el úmero de ursas respoda a las varacoes e el PIB per cápa co varacoes del msmo sedo. Falmee, s la relacó es mu esa, a valores pequeños (elevados) del PIB per cápa les correspode valores pequeños (elevados) del úmero de ursas, de maera que la maoría de los producos (x x)( ) so posvos su suma es grade, de maera que es elevado el valor de la covaraza de las varables. La covaraza esá expresada e el produco de las udades de medda de x e, o ee límes feror o superor para valorar su amaño. Por eso, para aalzar s es grade o pequeña se ulza el coefcee de correlacó, que se defe por cocee ere la covaraza de las varables el produco de sus desvacoes ípcas es, por ao, admesoal. E el caso de ua relacó leal de po dreco mu esa el coefcee de correlacó debe resular próxmo a la udad. Calculamos, eoces, el coefcee de correlacó leal, que debe esar próxmo a la udad. La covaraza las desvacoes ípcas de las varables so: s x x 1 30,01 x = 3,4 1,66 0, s x x 1 x = 59,54 3,40 0, s x = 0,59 31

240 Iroduccó a la Esadísca Descrpva s 1 = 16,07 1,66 0, s = 0,68 Eoces: s x 0,358 r = 0, 89 s s 0,59 0,68 x Efecvamee, el coefcee de correlacó leal esá próxmo a uo, luego ere las varables x e exse ua relacó leal de po dreco basae esa E el modelo s ordeada e el orge, la pedee de la reca de regresó esmada es: b x 1 x 1 30,01 0,5 59,54 Por ao, el resulado es correco. Su valor dca la varacó esmada del regresado,, s se produce e el regresor, x, ua varacó de ua udad. E ese caso, como es posvo, las varacoes de las dos varables ee el msmo sedo, lo cual es coheree co la exseca de ua relacó de po dreco ere las varables, como dca la covaraza el coefcee de correlacó. Luego b = 0,5 es la varacó esmada e los mlloes de persoas que llega a España procedees de los cco países a los que se refere el aálss s la meda poderada del PIB per capa varía ua udad. Como el PIB esá expresado e mles de euros, por cada euros que la meda poderada del PIB aumea (dsmue) se esma que llega a España 0,5 mlloes de persoas más (meos); es decr, medo mlló de persoas más (meos) o es correco. E u modelo s ordeada e el orge el coefcee de deermacó o es el cocee ere las varazas del regresado esmado el regresado, a que o puede efecuarse la descomposcó de la varaza. 3

241 Ejerccos cuesoes Eoces, su valor (mulplcado por ce) o puede erprearse como el porceaje de varacoes del regresado e la muesra que so explcadas por el modelo esmado. E ese caso, R sólo dca que o se ha obedo u bue ajuse, porque su valor o esá próxmo la udad Para obeer la ordeada e el orge de la reca de regresó esmada debe efecuarse prevamee el cálculo de la pedee: s b s x x 0,358 1,09 0,348 Eoces: a = bx = 1,66 1,09 x 3,4 = 1,839 La ordeada e el orge de la reca de regresó esmada es el valor esmado del regresado,, s se aula el regresor, x. E ese caso, como la meda poderada del PIB de los cco países a los que se refere el esudo es ua varable o ula, su valor carece de erés desde el puo de vsa ecoómco R = r = 0,89 = 0,79 Su valor dca que, auque el ajuse es algo mejor cuado el modelo clue érmo depedee que cuado o lo clue, sgue s ser sasfacoro. Las varacoes de la rea explca sólo el 79 por ceo de las varacoes del úmero de ursas e esa muesra. Alguas de las coclusoes a las que hemos llegado respeco a la relacó ere esas varables puede vsualzarse e el dagrama de dspersó. 33

242 Iroduccó a la Esadísca Descrpva º persoas 3,5 1,5 1 0, Rea per cápa Efecvamee, la ube de puos del dagrama dca la exseca de ua relacó aproxmadamee leal dreca ere las varables. Las líeas de puos añaddas e el gráfco so las recas de regresó esmadas, co (blaca) s (egra) érmo depedee. Observado cómo se ajusa a los puos del dagrama, puede verse que la que ee érmo depedee represea mejor la ube de puos que la que o lo ee, auque e guo de los dos casos la reca represea la formacó muesral correcamee. EJERCICIO 39 Co daos correspodees al período compreddo ere los años , la esmacó mímo cuadráco ordara del modelo que relacoa las varables = úmero de plazas regsradas e esablecmeos hoeleros españoles x = úmero de vajeros que era e España procedees del exrajero, ha proporcoado el sguee resulado: ŷ 344,67 11,50 x R 0, Coméelo, explcado su sgfcado Calcule e erpree el coefcee de correlacó leal smple. 34

243 Ejerccos cuesoes Demuesre que ao s el modelo ee ordeada e el orge, como s o la ee se cumple la sguee gualdad: e ŷ a = 344,67 es la ordeada e el orge de la reca de regresó esmada. Idca el valor esmado del regresado,, cuado el regresor, x, se aula. E ese caso, por ao, s el úmero de vajeros es gual a cero, se esma que se regsra 344,67 plazas. Pero el úmero de vajeros o es ulo; por ao, desde el puo de vsa ecoómco, ese coefcee o ee gú erés. b = es la pedee de la reca de regresó esmada. Idca la varacó esmada del regresado,, cuado e el regresor, x, se produce ua varacó uara. Como su valor es posvo, e ese caso, las varacoes de las dos varables ee el msmo sedo. Eoces, s el úmero de vajeros varía ua udad, se esma que el úmero de plazas expermea ua varacó del msmo sedo de 11,50 udades; es decr, por cada vajero adcoal, se esma que se regsra 11,50 plazas más. R = 0,9 es el valor del coefcee de deermacó, dado que esá próxmo a uo, dca que co esa ecuacó se ha obedo u bue ajuse. Las varacoes e el úmero de vsaes explca el 9 por ceo de las varacoes del úmero de plazas regsradas e esa muesra Como r R : r = R 0, 9 = 0,96 El coefcee de correlacó leal smple oma, por ao, u valor mu próxmo a la udad, que dca que ere el úmero de plazas regsradas el úmero de vajeros exrajeros exse ua relacó leal de po dreco mu esa. Esas varables esá fueremee correlacoadas. 35

244 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Para hacer esa demosracó debe eerse e cuea que el proceso de esmacó mímo cuadráco ordara mmza la suma de los cuadrados de los errores; es decr, guala a cero las dervadas parcales de SCE respeco a los coefcees esmados. 1. E el modelo co ordeada e el orge: SCE = )) bx (a ( ) ŷ ( e Eoces: 1 )) bx (a ( a SCE = ) ŷ ( 0 e 1 1 x )) bx (a ( b SCE = )x ŷ ( 0 x e 1 Y se deduce que: x e b e a ) x be (ae ) bx (a e ŷ e 0. E el modelo s ordeada e el orge: SCE = ) bx ( ) ŷ ( e Eoces: 1 x )) (bx ( b SCE = )x ŷ ( 0 x e 1 Y se deduce que: x e b ) (bx e ŷ e 0

245 Ejerccos cuesoes EJERCICIO 40 Co daos auales de las varables = úmero de vajeros (mles de persoas) resdees e España, x = PIB (mlloes de euros) español, correspodees al período compreddo ere , se ha calculado las varazas, s x = ,9 s = , el coefcee de correlacó leal, r = 0, Calcule la covaraza ere el úmero de vajeros el PIB explque su sgfcado el del coefcee de correlacó leal Supoedo que el modelo ee érmo depedee, obega la pedee de la reca de regresó esmada e erpree el resulado Calcule el coefcee de deermacó e dque qué formacó proporcoa Dada la formacó dspoble: s x s x ,9 1.04,8 s s ,97 s x r s s x s x 0, ,8 5.45,97 s x ,83 La covaraza es posva, luego dca la exseca de ua relacó leal de po dreco ere el úmero de vajeros el PIB. El coefcee de correlacó leal esá próxmo a uo, por ao, dca que dcha relacó es, además, mu esa. s x , b 5, 13 s ,9 x 37

246 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Su valor dca la varacó esmada del regresado,, s se produce ua varacó de ua udad e el regresor, x. Como es maor que cero, las varacoes de las dos varables so del msmo sedo. E ese caso, sgfca que s el PIB español expermea ua varacó de ua udad, se esma que el úmero de vajeros resdees e España varía 5,13 udades. Como el PIB esá expresado e mlloes de euros los vajeros so mles de persoas, s aumea (dsmue) el PIB u mlló de euros, se esma que el úmero de vajeros aumea (dsmue) 5,13 mles de persoas o 5.13 persoas Como r R : R (0,9846) 0,969 Por ao, se ha obedo u bue ajuse. Las varacoes del PIB explca cas el 97 por ceo de las varacoes del úmero de vajeros e esa muesra. 38

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