TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA ÍNDICE

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1 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca TEMA 5: APITALIZAIÓN OMPUESTA ÍNDIE. APITALIZAIÓN OMPUESTA..... ONEPTO..... DESRIPIÓN DE LA OPERAIÓN ARATERÍSTIAS DE LA OPERAIÓN DESARROLLO DE LA OPERAIÓN ÁLULO DEL APITAL INIIAL ÁLULO DE LOS INTERESES TOTALES ÁLULO DEL TIPO DE INTERÉS ÁLULO DE LA DURAIÓN TANTOS EQUIVALENTES RELAIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN OMPUESTA TANTO NOMINAL DESUENTO OMPUESTO ONEPTO ARATERÍSTIAS DE LA OPERAIÓN DESUENTO RAIONAL DESUENTO OMERIAL TANTO DE INTERÉS Y DE DESUENTO EQUIVALENTES APLIAIONES DEL PRINIPIO DE EQUIVALENIA: SUSTITUIÓN DE APITALES DETERMINAIÓN DEL APITAL OMÚN DETERMINAIÓN DEL VENIMIENTO OMÚN DETERMINAIÓN DEL VENIMIENTO MEDIO.... APITALIZAIÓN OMPUESTA Las operacoes e régme de compuesa se caracerza porque los ereses, a dfereca de lo que ocurre e régme de smple, a medda que Tema 5: apalzacó ompuesa -- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

2 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca se va geerado pasa a formar pare del capal de parda, se va acumulado, y produce a su vez ereses e períodos sguees (so producvos). E defva, lo que ee lugar es ua capalzacó peródca de los ereses. De esa forma los ereses geerados e cada período se calcula sobre capales dsos (cada vez mayores ya que corpora los ereses de períodos aerores)... ONEPTO La capalzacó compuesa es, por ao, ua operacó facera cuyo objeo es la susucó de u capal por oro equvalee co vecmeo poseror medae la aplcacó de la ley facera de capalzacó compuesa... DESRIPIÓN DE LA OPERAIÓN El capal fal (moae) () se va formado por la acumulacó al capal cal () de los ereses que peródcamee se va geerado y que, e ese caso, se va acumulado al msmo durae el empo que dure la operacó (), pudédose dspoer de ellos al fal juo co el capal calmee verdo..3. ARATERÍSTIAS DE LA OPERAIÓN Los ereses so producvos, lo que sgfca que: A medda que se geera se acumula al capal cal para producr uevos ereses e los períodos sguees. Los ereses de cualquer período sempre los geera el capal exsee al co de dcho período. Gráfcamee para ua operacó de res períodos: Tema 5: apalzacó ompuesa -- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

3 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca I 3 I I 3 Iereses oales 3 Ico F.4. DESARROLLO DE LA OPERAIÓN El capal al fal de cada período es el resulado de añadr al capal exsee al co del msmo los ereses geerados durae dcho período. De esa forma, la evolucó del moae cosegudo e cada momeo es el sguee: Momeo : Momeo : I ( ) ( ) Momeo : I ( ) ( ) ( ) ( ) Momeo 3: I3 ( ) ( ) ( ) ( 3 3 ) Momeo : I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Expresó que perme calcular el capal fal o moae () e régme de compuesa, coocdos el capal cal (), el po de erés () y la duracó () de la operacó. Expresó aplcable cuado el po de erés de la operacó o varía. E caso coraro habrá que rabajar co el po vgee e cada período. Tema 5: apalzacó ompuesa -3- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

4 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca A parr de la expresó aeror (deomada fórmula fudameal de la capalzacó compuesa) además de calcular moaes, podremos, coocdos res daos cualesquera, despejar el cuaro resae.. Falmee, hay que eer e cuea que lo que dca es el úmero de veces que se ha geerado (y acumulado) ereses al capal cal, por ao, esa varable sempre ha de esar e la msma udad de empo que el po de erés (o mporado cuál sea). EJEMPLO alcular el moae obedo al verr euros al 5% aual durae años e régme de capalzacó compuesa.? 5% años (,5) 35,78 S se hubese calculado e smple: (,5 ) 3 La dfereca ere los dos moaes (5,78 euros) so los ereses producdos por los ereses geerados y acumulados hasa el fal..5. ÁLULO DEL APITAL INIIAL Paredo de la fórmula de cálculo del capal fal o moae y coocdos ése, la duracó de la operacó y el ao de erés, basará co despejar de la msma: despejado resula: ( ) ) Para aplcar la fórmula fudameal de la capalzacó compuesa es precso que el po de erés esé expresado e ao por uo. Tema 5: apalzacó ompuesa -4- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

5 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca EJEMPLO uáo deberé verr hoy s quero dspoer dero de años de.5 euros para comparme u coche, s me asegura u 6% de erés aual compueso para ese plazo??.5 6% años.5,6).5,36.334,99.6. ÁLULO DE LOS INTERESES TOTALES oocdos los capales cal y fal, se obedrá por dferecas ere ambos: I EJEMPLO 3 Qué ereses producrá 3 euros verdos 4 años al 7% compueso aual? I4? 3 4 7% 4 años 4,7) 393,4 4 3 I 393,4 3 93,4.7. ÁLULO DEL TIPO DE INTERÉS S se cooce el reso de elemeos de la operacó: capal cal, capal fal y duracó, basa co eer e cuea la fórmula geeral de la capalzacó compuesa y despejar la varable descoocda. ( ) Los pasos a segur so los sguees: Pasar el al prmer membro: Tema 5: apalzacó ompuesa -5- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

6 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca ) Quar la poeca (exrayedo raíz a los dos membros): ) Despejar el po de erés: EJEMPLO 4 Deermar el ao de erés aual a que debe verrse. euros para que e años se obega u moae de.6,3 euros...6,3? años. ).6,3.6,3,4,4 4%..8. ÁLULO DE LA DURAIÓN oocdos los demás compoees de la operacó: capal cal, capal fal y po de erés, basa co eer e cuea la fórmula geeral de la capalzacó compuesa y despejar la varable descoocda. Puo de parda: ( ) Tema 5: apalzacó ompuesa -6- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

7 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca Pasar el al prmer membro: ) Exraemos logarmos a ambos membros: log log ( ) Aplcamos propedades a los logarmos: ( ) log log log Despejar la duracó: log log log ) EJEMPLO 5 U capal de. euros colocado a erés compueso al 4% aual ascede a 3. euros. Deermar el empo que esuvo mpueso %? años. log log log 3. log,4) 3. log ) log,4) log.,4) log 3. log.,439 años,73. TANTOS EQUIVALENTES La defcó de aos equvalees es la msma que la vsa e régme de smple, eso es, dos aos cualesquera, expresados e dsas udades de empo, so aos equvalees cuado aplcados a u msmo capal cal y durae u msmo período de empo produce el msmo erés o geera el msmo capal fal o moae. Tema 5: apalzacó ompuesa -7- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

8 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca omo ya se comeó cuado se hablaba del erés smple, la varacó e la frecueca del cálculo (y aboo) de los ereses supoía cambar el po de erés a aplcar para que la operacó o se vera afecada falmee. Eoces se comprobó que los aos de erés equvalees e smple so proporcoales, es decr, cumple la sguee expresó: dode se deomaba frecueca de capalzacó y se defía como el úmero de pares guales e las que se dvde el período de refereca (cosderado como al el año). S embargo, esa relacó de proporcoaldad o va a ser válda e régme de compuesa, ya que al rse acumulado los ereses geerados al capal de parda, el cálculo de ereses se hace sobre ua base cada vez más grade; por ao, cuao mayor sea la frecueca de capalzacó aes se acumulará los ereses y aes geerará uevos ereses, por lo que exsrá dferecas e fucó de la frecueca de acumulacó de los msmos al capal para u ao de erés dado. Ese carácer acumulavo de los ereses se ha de compesar co ua aplcacó de u po más pequeño que el proporcoal e fucó de la frecueca de cómpuo de ereses. Todo eso se puede aprecar e el sguee ejemplo, cossee e deermar el moae resulae de verr. euros durae año e las sguees codcoes: a. Ierés aual del %:, ).,. b. Ierés semesral del 6%:,6 ).3,6. c. Ierés rmesral del 3%: 4,3 ).5,5. Los resulados o so los msmos, debdo a que la capalzacó de los Tema 5: apalzacó ompuesa -8- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

9 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca ereses se esá realzado co dferees frecuecas maeedo la proporcoaldad e los dferees pos aplcados. Para cosegur que, cualquera que sea la frecueca de capalzacó, el moae fal sga sedo el msmo es ecesaro cambar la ley de equvaleca de los aos... RELAIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN OMPUESTA Los aos e compuesa para que resule equvalees ha de guardar la sguee relacó: ( ) dode es la frecueca de capalzacó, que dca: El úmero de pares guales e las que se dvde el período de refereca que se ome (habualmee el año). ada cuáo empo se hace producvos los ereses, eso es, cada cuáo empo se acumula los ereses, dero del período, al capal para producr uevos ereses. Esa relacó se obee a parr de la defcó de equvaleca vsa aerormee, oblgado a que u capal () colocado u deermado período de empo ( años) geere el msmo moae () co depedeca de la frecueca de acumulacó de ereses ( o ): Ulzado el ao aual, el moae obedo será: años ( ) Ulzado el ao -esmal, el moae obedo será: -ésmos de año Tema 5: apalzacó ompuesa -9- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

10 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca ( ) S queremos que el moae sea el msmo e los dos casos, se ee que producr la gualdad ere los resulados de ambas operacoes, eso es, dado que la operacó es la msma ya que lo úco que ha cambado es la frecueca de cálculo de los ereses, se debe cosegur el msmo capal fal e ambos casos, por ao, oblgado a que se cumpla esa gualdad de moaes: ( ) ( ) Smplfcado la gualdad, elmado y la poeca queda falmee: ( ) ) Expresó que dca la relacó e la que ha de esar los aos, e, para que produzca el msmo efeco, es decr, para que sea equvalees. El valor de e fucó de será: ) El valor de e fucó de será: ( ) ) ) ) ) ) ) EJEMPLO 6 Deermar el moae resulae de verr. euros durae año a u ao del % efecvo aual,supoedo: a. Devego aual de ereses:,,).,. uado habla de ao por ceo efecvo aual os esá dcado el problema que quere que se ulce aos equvalees para que el moae fal ( ) sea gual al que resularía de aplcar el % aual sea cual sea el devego de los ereses. Tema 5: apalzacó ompuesa -- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

11 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca b. Devego semesral de ereses: Pueso que el po que se cooce es aual y ahora la frecueca de cálculo es semesral, habrá que calcular prevamee el ao semesral equvalee al aual de parda, para después calcular el moae.,),583, 583. (,583)., c. Devego rmesral de eseses: Igual que e el caso aeror, habrá que calcular el ao rmesral equvalee al aual coocdo. 4,),874, (,874)., Los resulados so los msmos, debdo a la ulzacó de ereses equvalees. Las pequeñas varacoes se debe al redodeo de los decmales... TANTO NOMINAL Por ua pare, os ecoramos co la ecesdad de aplcar la relacó aeror de equvaleca de aos s queremos que, au rabajado e dferees udades de empo, los resulados fales sga sedo décos. Por ora, hay que ser coscees de la dfculad que supoe el coocer y aplcar dcha expresó de equvaleca. E ese puo surge la ecesdad de emplear u ao que perma pasar fáclmee de su udad habual (e años) a cualquer ora dferee y que faceramee resule correca: el ao omal (J). El ao omal se defe como u ao eórco que se obee mulplcado la frecueca de capalzacó por el ao -esmal: J De ahí se deduce que: J Tema 5: apalzacó ompuesa -- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

12 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca Esa es ua expresó pesada para pasar fáclmee de u ao referdo al año (el ao omal) a u ao efecvo -esmal, ya que el ao omal es proporcoal. Así pues, e compuesa, los aos de erés puede ser aos efecvos ( o ) o omales (J), eedo e cuea que el ao omal (ambé coocdo como aualzado) o es u ao que realmee se emplee para operar: a parr de él se obee aos efecvos co los que sí se hará los cálculos ecesaros. A couacó se muesra las relacoes exsees ere aos omales y aos efecvos auales, coocdos como TAE. La fórmula de cálculo para pasar de aos omales a aos efecvos auales (TAE) es: ) 3 J Por oro lado, sabedo que: J ) ya podemos calcular la fórmula de cálculo para pasar de aos efecvos a aos efecvos (TAE) a aos omales: J [ ) ] EJEMPLO 7 Realza las sguees coversoes: a. álculo del TAE s el devego de ereses es aual, semesral, rmesral y mesual sedo el ao omal del 8%: Aual: J,8,8,8 8% 3 Recordemos que esa es la expresó que relacoa e fucó de. Tema 5: apalzacó ompuesa -- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

13 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca Semesral: J Trmesral: J Mesual:,8,8 4 4,86,86 8,6%,843,843 8,43% J,8,83,83 8,3% El po de erés efecvo aual correspodee a u po omal aumea a medda que aumea el úmero de capalzacoes auales. Es decr, cada po omal esá calculado para rabajar e ua deermada udad de empo y sólo e ésa; s se quere cambar a ora udad dsa, habrá que volver a recalcular el ao omal, para que el resulado fal o cambe. b. álculo del ao omal s el devego de ereses es aual, semesral, rmesral y mesual sedo el TAE del 8%: Aual: J [ ) ],8) [ ] [,8 ],8 8% Semesral: J [ ) ],8) [ ] [,393 ],7846 7,846% Trmesral: J [ ) ],8) [ ] 4 4 [,943 ] 4,777 7,77% Mesual: J [ ) ],8) [ ] [,643 ],77 7,7% El po de erés omal correspodee a u po efecvo aual dsmuye a medda que aumea el úmero de capalzacoes auales. Igual que aes, s queremos cosegur u msmo ao efecvo aual a parr de u ao omal, ése deberá ser dferee e fucó de la frecueca de capalzacó para la cual se haya calculado. Tema 5: apalzacó ompuesa -3- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

14 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca 3. DESUENTO OMPUESTO 3.. ONEPTO El descueo compueso es la operacó facera que ee por objeo la susucó de u capal fuuro por oro equvalee co vecmeo presee, medae la aplcacó de la ley facera de descueo compueso. Es ua operacó versa a la de capalzacó. 3.. ARATERÍSTIAS DE LA OPERAIÓN Los ereses so producvos, lo que sgfca que: A medda que se geera se resa del capal de parda para producr (y resar) uevos ereses e el fuuro y, por ao, los ereses de cualquer período sempre los geera el capal del período aeror, al ao de erés vgee e dcho período. E ua operacó de descueo el puo de parda es u capal fuuro coocdo () cuyo vecmeo se quere adelaar. Deberemos coocer las codcoes e las que se quere hacer esa acpacó: duracó de la operacó (empo que se acpa el capal fuuro) y ao aplcado. El capal que resule de la operacó de descueo (capal acual o presee ) será de cuaía meor, sedo la dfereca ere ambos capales los ereses que u capal deja de eer por acpar su vecmeo. E defva, s rasladar u capal desde el presee al fuuro mplca añadrle ereses, hacer la operacó versa, acpar su vecmeo, supodrá la moracó de esa msma carga facera. Al gual que ocurría e smple, se dsgue dos clases de descueo: racoal y comercal, segú cuál sea el capal que se cosdera e el cómpuo de los ereses que se geera e la operacó: DESUENTO RAIONAL DESUENTO OMERIAL 3.3. DESUENTO RAIONAL Para acpar el vecmeo del capal fuuro se cosdera geerador de los ereses de u período el capal al co de dcho período, Tema 5: apalzacó ompuesa -4- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

15 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca Tema 5: apalzacó ompuesa -5- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de ulzado el po de erés () vgee e dcho período. El proceso a segur será el sguee: Gráfcamee: Paso a paso, el desarrollo de la operacó es como sgue: Perodo : Perodo -: I ( ) ( ) Perodo -: I ( ) ( ) ( ) Perodo -3: I 3 3 ( ) 3 ( ) ( ) 3 3 Perodo : I ( ) ( ) Es decr: ( )

16 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca Los ereses se calcula falmee sobre el capal cal, es decr, sobre el que resula de la acpacó del capal fuuro. Se raa de la operacó de capalzacó compuesa, co la parculardad de que el puo de parda ahora es el capal fal y se preede deermar el capal acual. De ora forma, paredo de la expresó fudameal de la capalzacó compuesa: ( ) se despeja el capal cal (): ) Ua vez calculado el capal cal, por dfereca ere el capal de parda y el cal obedo, se obedrá el erés oal de la operacó (Dr), o descueo propamee dcho: D r S susuímos el valor del capal cal (): D r Dr ) ) ( ) ) EJEMPLO 8 Se desea acpar el pago de ua deuda de 4. euros que vece dero de 3 años. S el pago se hace e el momeo acual, qué cadad edremos que eregar s la operacó se cocera a u po de erés del 5% aual compueso? uáo os habremos ahorrado por el pago acpado?? 4. 5% 3 años Tema 5: apalzacó ompuesa -6- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

17 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca alculemos prevamee la cadad que edremos que eregar e el momeo acual: 3,5) 4. 4.,5 3.73, alculemos ahora el mpore de los ereses ahorrados, es decr, el mpore del descueo, prmero por dfereca ere el capal cal y el fal y, poserormee, por la fórmula dreca, s eer que calcular el capal cal prevamee: Dr Dr 4..73, 3.67,9 De la ora forma: ( ) ) 3 (,5) ) 4., ,9 Dr Dr DESUENTO OMERIAL E ese caso se cosdera geerador de los ereses de u período el capal al fal de dcho período, ulzado el po de descueo (d) vgee e dcho período. El proceso a segur será el sguee: Gráfcamee: d Paso a paso, el desarrollo de la operacó es como sgue: Perodo : Perodo -: I Perodo -: I d ( d) d ( d) ( d) ( d) ( d) Tema 5: apalzacó ompuesa -7- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

18 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca Perodo -3: 3 I d Perodo : ( ) d Es decr: ( ) d ( d) ( d) ( d) ( d) 3 Ua vez calculado el capal cal, por dfereca ere el capal de parda y el cal obedo, se obedrá el erés oal de la operacó (Dc): D c S susuímos el valor del capal cal (): D c D c ( ( d) ) ( ( d) ) EJEMPLO 9 Se desea acpar u capal de. euros que vece dero de 5 años. S el pago se hace e el momeo acual, qué cadad edremos que eregar s la operacó se cocera a u po de descueo del % aual compueso? uáo os habremos ahorrado por el pago acpado??. alculemos prevamee la cadad que edremos que eregar e el momeo acual: d % 5 años. 5 (,) 5.94,9 alculemos ahora el mpore de los ereses ahorrados, es decr, el mpore del descueo, prmero por dfereca ere el capal cal y el fal y, poserormee, por la fórmula dreca, s eer que calcular el capal cal prevamee: Tema 5: apalzacó ompuesa -8- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

19 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca De la ora forma: D c Dc. 5.94,9 4.95, Dc ( ( d) ) ( ( d) ). (,) 5 ( )., , Dc 4. TANTOS DE INTERÉS Y DE DESUENTO EQUIVALENTES Ua vez esudados los dos procedmeos de descueo, se uye que descoado u capal cualquera, el msmo empo y co el msmo ao, los resulados será dferees segú se realce por u procedmeo u oro. Sería coveee ecorar la relacó que debe guardar los aos de erés y los aos de descueo para que el resulado de la acpacó fuera el msmo cualquera que sea el modelo de descueo empleado. Se raa de buscar la relacó de equvaleca ere aos de descueo y de erés. Esa relacó de equvaleca debe cosegur que el resulado fal sea el msmo e uo y oro caso, es decr, se ee que cumplr la gualdad ere ambos descueos Dr Dc, por ao: ) smplfcado, dvdedo por : ( ( d) ) D r Dc ( ( d) ) ( ) ) ( d) Resado la udad y, poserormee, mulplcado por -: ) ( d) Tema 5: apalzacó ompuesa -9- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

20 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca Exrayedo raíz a la ecuacó, queda la relacó de equvaleca buscada: ) ( d) d Falmee, despejado d: d El ao de descueo comercal «d» equvalee al ao será: d Aálogamee, coocdo «d» se podrá calcular el ao : d d ) d d d d d ( d) d d d d Hay que eer e cuea que la relacó de equvaleca es depedee de la duracó de la operacó. Por ao, se cumple que para u ao de erés solamee habrá u po de descueo que produzca el msmo efeco (sea equvalee) y vceversa, s eer e cuea el empo e la operacó. EJEMPLO Se desea acpar el pago de ua deuda de 4. euros que vece dero de 3 años. S el pago se hace e el momeo acual, qué cadad edremos que eregar s la operacó se cocera? º aso: a u po de eres del 5% aual compueso (descueo racoal): º aso: 4. 3,5) ).73, a u po de descueo del 5% aual compueso (descueo comercal): Tema 5: apalzacó ompuesa -- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

21 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca ( ) d 3 (,5) Por ao, aplcado u po de erés y de descueo décos los resulados so dsos, sedo mayor el valor acual obedo e el descueo racoal debdo a que el capal producor de ereses es el capal cal (más pequeño) y e cosecueca meor el ahorro por la acpacó. Para cosegur el msmo resulado habría que calcular el po de descueo equvalee al 5% de erés medae la relacó de equvaleca: omprobacó d,5,4769 d 4,76%,5 Acualzado comecalmee al uevo po de descueo, el resulado será: 3 (,4769) 4., , 4. Se demuesra eoces que el po de descueo 4,76% es equvalee al po de erés del 5%. 5. APLIAIONES DEL PRINIPIO DE EQUIVALENIA: SUSTITUIÓN DE APITALES Para comprobar s dos o más capales resula dferees (equvalees) debe eer el msmo valor e el momeo e que se compara: prcpo de equvaleca de capales. El prcpo de equvaleca facera os perme deermar s dos o más capales suados e dsos momeos resula dferees o, por el coraro, hay prefereca por uo de ellos. Ya vmos e las operacoes e smple la defcó y uldad de la equvaleca de capales. El prcpo de equvaleca de capales y sus aplcacoes sgue sedo váldos. La dfereca fudameal vee dada porque e régme de compuesa la fecha dode se realce la equvaleca o afeca al resulado fal de la operacó, por ao, s la equvaleca se Tema 5: apalzacó ompuesa -- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

22 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca cumple e u momeo dado, se cumple e cualquer puo y, s o se cumple e u momeo deermado, o se cumple uca. La susucó de uos capales por oro u oros de vecmeos y/o cuaías dferees a las aerores sólo se podrá llevar a cabo s faceramee resula ambas aleravas equvalees. Para ver s dos aleravas so faceramee equvalees se edrá que valorar e u msmo momeo de empo y oblgar a que ega el msmo valor, pudédose plaear los sguees casos posbles: a. Deermacó del capal comú. b. Deermacó del vecmeo comú. c. Deermacó del vecmeo medo. 5.. DETERMINAIÓN DEL APITAL OMÚN El capal comú es la cuaía de u capal úco que vece e, coocdo, y que susuye a varos capales,,...,, co vecmeos e,,...,, respecvamee, odos ellos coocdos DETERMINAIÓN DEL VENIMIENTO OMÚN El vecmeo comú es el momeo de empo e que vece u capal úco, coocdo, que susuye a varos capales,,...,, co vecmeos e,,...,, respecvamee, odos ellos coocdos. Se ee que cumplr: K DETERMINAIÓN DEL VENIMIENTO MEDIO El vecmeo medo es el momeo de empo e que vece u capal úco, coocdo, que susuye a varos capales,,...,, co vecmeos e,,...,, respecvamee, odos ellos coocdos. Se ee que cumplr: K 4 Para recordar cómo se deerma el capal comú e la capalzacó compuesa habrá que remrse al ema de la susucó de capales e capalzacó smple. 5 Para recordar cómo se deerma el capal comú e la capalzacó compuesa habrá que remrse al ema de la susucó de capales e capalzacó smple. Tema 5: apalzacó ompuesa -- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

23 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca EJEMPLO U señor ee res deudas de., 4. y 5. euros co vecmeos a los 6, 8 y años, respecvamee, llegado al acuerdo co el acreedor de susur las res deudas por ua sola a pagar a los 9 años. Se pde calcular el mpore a pagar e ese momeo s la operacó se cocera al 8%de erés compueso aual: er caso: fecha de esudo e :? I8% años Acualzamos cada ua de las deudas al momeo, ulzado el descueo racoal, ya que os da el po de erés: ) ) ) ) ), ,8,8,8.469,5,8, ,8,8, ,38.469,5 º caso: fecha de esudo e 9 años:? años apalzamos los capales que vece aes de los 9 años y acualzamos el capal que vece poserormee a los 9 años ulzado el descueo racoal, ya que os da el po de erés: Para la capalzacó de los capales ulzamos la correspodee fórmula: ( ) Tema 5: apalzacó ompuesa -3- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

24 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca y para la acualzacó: Por lo ao:. ) ).,8 ) ) 96,8) 4.,8) 3 4., ,8) ,5,8 Se cofrma la dfereca apuada aerormee co las leyes de capalzacó smple, segú la cual, e régme de compuesa la fecha dode se realce la equvaleca o afeca al resulado fal de la operacó. EJEMPLO U señor ee dos cobros pedees de 5. y 8. euros co vecmeos a 3 y 5 años, respecvamee. S qusera susur ambos capales por uo solo, acordádose la operacó a u po de erés del 6%, calcular el momeo del cobro úco e los sguees supuesos: er caso: La cuaía a recbr fuera de. Se raa de vecmeo comú ya que la suma de 5. y 8. euros o cocde co los % 3 5 años Acualzamos cada ua de las dedas al momeo, ulzado el descueo racoal, ya que os da el po de erés,sabedo que ahora la cóga es la duracó: ) Tema 5: apalzacó ompuesa -4- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

25 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca... ) ) ) )..76,6.76,6,6,6,797,6 Aplcamos logarmos para despejar : log,797 log,6,7597,83 años, ,6,6,6. log,797 log,6..76,6,6 log,797 log,6 Para pasar los,83 años a meses se mulplca por meses que ee u año. Así:,83 9,96 meses. Para pasar los,96 meses a días se mulplca por 3 días que ee u mes. Así:,96 3 8,8 días 9 días Es decr, años,9 meses y 9 días º caso: : La cuaía a recbr fuera de 3. Se raa de vecmeo medo ya que la suma de 5. y 8. euros cocde co los % 3 5 años Acualzamos cada ua de las dedas al momeo, ulzado el descueo racoal, ya que os da el po de erés,sabedo que ahora la cóga es la duracó: )... ) ) ) ) 3..76,6.76,6,6,6,77496, ,6,6, ,6,6 Tema 5: apalzacó ompuesa -5- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de

26 Maemácas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca Aplcamos logarmos para despejar : log,77496 log,6,636 4, años,536 log,77496 log,6 4, años log,77496 log,6 Para pasar los, años a meses se mulplca por meses que ee u año. Así:,,4 meses. Para pasar los,4 meses a días se mulplca por 3 días que ee u mes. Así:,4 3 días Es decr, 4 años, meses y días Tema 5: apalzacó ompuesa -6- La formacó de ese ema esá exraída cas e su oaldad de