CAPITULO 2º VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES - 1. Ing. Diego A. Patiño G. M.Sc., Ph. D.

Transcripción

1 CAPITULO º VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES - Ig. Dego A. Patño G. M.Sc., Ph. D.

2 Vectores Efoque mecáco: defcó asocada a magtud y dreccó. Sgfcado físco. Restrgdo a 3 dmesoes. E. elocdad, aceleracó, campo eléctrco. Efoque matemátco básco: - tupla de elemetos umércos, co magtud y dreccó pero o restrgda a 3 dmesoes. Mapulacó por medo de operacoes matrcales. Efoque geeralzado: espacos leales: abstraccó que permte aplcar la teoría a ua clase ampla de problemas.

3 Espacos Vectorales Para espacos multdmesoales la represetacó geométrca o sre. Se desarrolla abstraccoes que retee las propedades báscas de los ectores: Producto Itero Norma 3

4 Campo. Campo (F): couto de uo o más elemetos del cual se seleccoa los elemetos escalares: Debe coteer el elemeto : I tal que a I: ( a) a a Debe coteer el elemeto : Debe coteer el elemeto a: I tal que a I: ( a) a () a / a I este - a tal a ( a) que 4

5 Campo. Debe estar defdas: Suma: a I y b I ( a b) ( b a) I El campo es cerrado bao la adcó Multplcacó: a I y b I ( a b) ( b a) I El campo es cerrado bao la multplcacó 5

6 Campo. Dsó: a I y b I y b ( a / b) I Para la suma y multplcacó aplca las leyes asocatas, comutata y dstrbuta 6

7 Campo. El couto de todas las matrces de la forma: Este la matrz Este la matrz I ; y R Este la matrz A tal que A(-A) y y El producto de dos matrces co este tpo de smetría es comutato Este couto es u campo. NO TODOS LOS CONJUNTOS DE MATRICES CUADRADAS SON UN CAMPO 7

8 Espacos Vectorales. U espaco ectoral leal X es ua coleccó de ectores defdos sobre u campo F La defcó depede del campo F sobre el cual se especfca el espaco. El espaco debe coteer: : X : X y uco y Este el elemeto egato 8

9 Espacos Vectorales. Para,y, z X y a, b, c F, debe estar defdas las operacoes:. Cerrado a la Adcó:. Comutacó: y X y y. Asocacó: ( y) z (y z) 9

10 Espacos Vectorales. Respecto a la multplcacó por escalares:. Cerrado respecto a multplcacó X y a I a es u ector y X. Asocacó : a ( b ) ( ab). Dstrbucó de multplcacó y adcó ectoral: ( a b) a b a( y) a ay

11 Espacos Vectorales. El couto de los úmeros reales defdo sobre el campo de los compleos: No es u espaco ectoral porque o es cerrado a la multplcacó por u escalar. El couto de los úmeros compleos defdo sobre el campo de los reales s es u espaco ectoral.

12 Espacos Vectorales. El couto de todas las solucoes de las ecuacoes dferecales, leales, homogéeas de orde fto es u espaco ectoral. El couto de todas las solucoes de las ecuacoes dferecales, leales, NO homogéeas de orde fto NO es u espaco ectoral.

13 Espacos Vectorales. Por la codcó de cerrado los espacos ectorales tee dmesó fta. No es ecesaro mapular espacos ftos: los ectores se puede descompoer e compoetes dreccoales depedetes. Se puede crear categorías de ectores smlares Esto coduce a los coceptos de Depedeca, Idepedeca, bases y dmesoes. 3

14 Depedeca Idepedeca Leal. {,..., } X U couto de ectores: es LINEALMENTE DEPENDIENTE s este u couto de escalares {a },,, NO TODOS CERO tales que: a a... a a S la combacó leal solo se cumple para a todos los {a },, guales a cero el couto de ectores { } es LINEALMENTE INDEPENDIENTE 4

15 Depedeca Idepedeca Leal. Geométrcamete para, dos ectores Lealmete Depedetes so coleales: el águlo etre ellos es cero y el área del paralelogramo formado es cero. S o so coleales o este escalares dferetes de cero que cambe las dreccoes de los ectores tal que la suma sea cero. Para 3, tres ectores so Lealmete Idepedetes s o so coplaares: u ector o está e el plao formado por los otros dos. 5

16 Depedeca Idepedeca Leal. LEMA: S se tee u couto de ectores lealmete depedetes y se adcoa otro ector a este couto, el couto resultate també es Lealmete depedete. a... a este u a a se a 3 puede asumr 6

17 7 Depedeca Idepedeca Leal. LEMA: s u couto de ectores el Lealmete depedete uo de ellos se puede escrbr como combacó leal de los demás: u a y a a a a a a a a a a a a a

18 Depedeca Idepedeca Leal. Represetacó matrcal: S la ecuacó X [ a [... a a ] a a T ] sólo tee la solucó tral a los ectores { } so LINEALMENTE INDEPENDIENTES. 8

19 Depedeca Idepedeca Leal. U crtero umérco establece que u couto de ectores { } es LINEALMENTE DEPENDIENTE s y solo s det[x] El crtero solo aplca cuado el úmero de compoetes del ector es gual al úmero de ectores e el couto El crtero o reela el sgfcado geométrco de depedeca/depedeca leal 9

20 Depedeca Idepedeca Leal. Para ectores de m compoetes o se puede defr el determate. S se asume que el couto es Lealmete Depedete, por lo meos este u coefcete a o ulo tal que:... : pre multplcado por T T T T a a a a

21 Depedeca Idepedeca Leal. De la msma forma se pre-multplca por los demás ectores traspuestos: [ T ][ a] para,,.. y,..., la matrz : G [ ] T es cuadrada de orde S el determate de G es o ulo la ersa este y: Ga a a G

22 Depedeca Idepedeca Leal. Etoces por cotradccó : ectores de m compoetes so lealmete depedetes s y solo s: G T,...,,..., G: matrz de Gram

23 Depedeca Idepedeca Leal de fucoes. Cuado los ectores so fucoes: ( t) para,,..., Se defe la depedeca sobre teralos de t. S este escalares o todos cero tal que la combacó leal: [ ] a ( t)... a( t) Para todo t to,t etoces el couto de fucoes es Lealmete Depedete e dcho teralo. E caso cotraro so depedetes. 3

24 Depedeca Idepedeca Leal de fucoes. Esto o garatza depedeca fuera del teralo. Se costruye el ector X de fucoes de orde : [ ( t)... ( )] T X ( t) t Se defe la matrz de Gram ( ) de X(t) como: G ( t, t) t t X( t) X *: Compleo cougado y traspuesta El couto de fucoes es Lealmete Idepedete e dcho teralo s y sólo s el determate de Gram es o ulo. * ( t) 4

25 Dmesó y Base Dmesó: mámo úmero de ectores LINEALMENTE INDEPENDIENTES que se puede tomar de u espaco. Base: U couto de ectores LINEALMENTE INDEPENDIENTES e el espaco X es ua base de X s y solo sí todo ector e X se puede epresar como ua combacó leal úca de ese couto de ectores. 5

26 Dmesó y Base S el espaco ectoral X es de dmesó, la base debe teer ectores Lealmete Idepedetes. Este u úmero fto de bases. E térmos geométrcos la base más seclla de escoger es el couto de ees coordeados: base ortoormal. U couto base NO tee que ser ortoormal. 6

27 Dmesó y Base Teorema: e u espaco ectoral leal de dmesoes cualquer couto de ectores lealmete depedetes calfca como ua base. Sea ua base : { e} { e,e...e} cualquer ector : β e se puede escrbr como ua combacó úca de los elemetos de la base 7

28 Dmesó y Base El couto de úmeros {β } es la represetacó de respecto a {e }. se puede escrbr por el couto de úmeros o - tupla: β T [ β β... β] La - tupla se puede usar e operacoes ectorales y se puede asocar a u couto de ees coordeados S se camba la base camba el couto de coordeadas y camba β 8

29 Spa U couto de ectores Y esta cuberto (spaed) por u couto de ectores { } s todo y Y se puede escrbr como ua combacó leal de los. Se represeta como: Y sp{ } { } o es ecesaramete ua base. 9

30 Cambo de Base U ector está dado respecto a ua base: Del msmo espaco ectoral se toma ua base dferete { ˆ }... El msmo ector se puede epadr respecto a las dos bases: { },..., ˆ ˆ 3

31 3 Cambo de Base Pero las dos bases cosste de ectores del msmo espaco ectoral y por lo tato { } se puede epadr como: Que se puede escrbr como: b b b ˆ ˆ ˆ ˆ.. ˆ ˆ ˆ b b b b

32 Cambo de Base Epadedo sobre : [ ] ˆ ˆ ˆ E otacó matrcal: b b b b b b Base orgal [ ] B Base uea B es la matrz que defe el cambo de base 3

33 Cambo de Base La represetacó orgal del ector: Reorgazado: b ˆ ˆ ˆ b ˆ ˆ 33

34 Cambo de Base Como es u couto depedete de ectores para que la ecuacó ateror sea cero: ˆ b Esta epresó da los compoetes de u ector e la uea base a partr de los compoetes e la base atgua 34

35 Cambo de Base E forma matrcal: ˆ B També se puede defr la base recíproca: RB I R B X B Xˆ R Xˆ Dode R es la matrz cuyas flas correspode a los ectores traspuestos de la base recíproca, para base ortogoal: { } T T T r r r 35

36 Cambo de Base Cosderar el espaco R y dos bases: Dado el ector [ ] T respecto a la base {e } represetarlos respecto a la base uea 36 { } { } ˆ ˆ e e e e

37 Rago y Nuldad Rago: El rago de ua matrz A, ρ(a), es el mámo úmero de columas lealmete depedetes. Este úmero es gual al úmero de flas lealmete depedete (Rago de Flas Rago de Columas). S la matrz A es de dmesoes m el rago de A es ρ(a) m(m,) S ρ(a) m(m,) se dce que la matrz es de Rago Completo. S ρ(a) < m(m,) se dce que la matrz es Defcete e Rago o Degeerada. 37

38 Rago y Nuldad S ua matrz cuadrada es de rago completo se deoma No Sgular, esto es equalete a que el determate es dferete de cero. Espaco Nulo: El espaco ulo de ua matrz A de dmesoes m se defe como η(a) - ρ(a) 38

39 Rago y Degeeracó Teorema: Sea las matrces A (m ) y B ( p), tales que AB C, etoces ρ(a) ρ(b) ρ(c) m[ρ(a), ρ(b)] η(c) η(a) η(b) Además, sea las matrces o sgulares D (m m) y E ( ), etoces ρ(da) ρ(a) y ρ(ae) ρ(a) 39

40 4 Rago y Nuldad Eemplo: Ecotrar el rago y el espaco ulo o degeeracó de la sguete matrz: 4 6 A F F F F La matrz tee dos flas LI ρ(a) Por otra parte η(a) - ρ(a) 3

41 Productos Iteros Las defcoes dadas para operacoes ectorales se puede eteder a espacos ectorales. Producto Itero: es ua operacó etre dos ectores que da como resultado u escalar. El producto tero tee las sguetes propedades:, y y, la barra sgfca, α y βy α,y β, y, y,,α y α,y α, y α,y compleo cougado 4

42 Productos Iteros Cuado los ectores,y está defdos sobre el campo de los reales, aplca la defcó básca: T T,y y y Cuado los ectores, y está defdos sobre el campo de los compleos:,y * y * : Compleo Cougado Traspuesto. Espacos co producto tero defdo para ellos so espacos ectorales co producto tero defdo. 4

43 Normas Norma: es la geeralzacó del cocepto de logtud o magtud de u ector. Es ua fucó de u ector que produce u escalar. Se deota por y tee las sguetes propedades: Para sem ormas : 43

44 Normas α α escalar α y y Desgualdad Tragular, y y Desgualdad de Cauchy - Schwarz 44

45 Normas Para u ector C se defe las ormas l p : p p p para p > Norma l : suma de magtudes dduales 45

46 Normas Norma l Eucldaa o dstaca etre dos putos Norma l ma orma fta : elemeto de mayor magtud 46

47 Normas Alguas ormas se puede ducr a partr de los productos teros, por eemplo la orma eucldaa:, T, U ector utaro tee orma Para u ector de elemetos: 47

48 Normas Cuado se trabaa co fucoes cotuas a tramos se defe las ormas temporales: Norma o IAE u () t u dt Norma o ISE u [ u () t ] dt Norma o alor pco u mama {{ u ( t) t 48

49 Normas La orma RMS o de poteca es ua sem orma: u( t) power lm { T T T T u ( t) dt Métrca: es ua fucó de dos ectores que da como resultado ua udad escalar de las dstacas etre dos ectores. r (, y) y 49

50 Productos Iteros y Normas Águlo: el águlo etre dos ectores se deota por θ(,y) y satsface la ecuacó:, y y cosθ Ortogoal: se dce que dos ectores so ortogoales s su producto tero es cero, <,y>. Ortoormal: U par de ectores es ortoormal s <,y> y y. E geeral u couto de ectores { } es ortogoal s:, y, E geeral u couto de ectores { } es ortoormal s:, y, 5

51 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT Es coeete y secllo emplear bases ortoormales. Por el procedmeto de Gram - Schmdt se uele ortoormal ua base cualquera. Co este procedmeto s se tee u couto de ectores o ortoormales que coforma ua base {y },, se puede geerar u couto de ectores { }, ortoormal Adcoalmete, cada subcouto de ectores { }, m, cubre (spas) al subcouto {y }, m, para m <. 5

52 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT Procedmeto: Se comeza co u ector del couto o ortoormal: y Se toma y y se resta del ueo ector cualquer compoete que comparta co los ectores ya defdos y a a represeta la magtud de la compoete de y e la dreccó y es ua cógta a determar. 5

53 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT Procedmeto: Como el couto { } es ortogoal:,, y a, y a, a, y, 53

54 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT Se repte el procedmeto ateror para el ueo ector 3 3 y3 a a Los coefcetes a y a represeta los compoetes de y 3 e la dreccó de y. Se calcula co u procedmeto smlar al ateror:, 3, y3 a a, y3 a, y 3 a, a, 3, 54

55 55 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT Por otra parte se tee que,, 3 3 a a y,,, 3 a a y 3 3,, y a Se repte este msmo proceso para obteer,, k k k k k k k k y y a y

56 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT Para obteer ua base ortoormal se ormalza cada uo de los ectores ˆ Norma Eucldaa Cada par de ectores ortoormales satsface ˆ, ˆ δ 56

57 57 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT S se usa ua base ortoormal sempre se puede ecotrar la compoete de u ector a lo largo del esmo ector de la base,, empleado u producto tero co el ector base, esto es c e y Sea {e },, ua base ortoormal para el espaco X y s X etoces e c e c e c c e e c e e e L L,,, 3 L L 3 3,,,,, e e c e e c e e c e e c e c e e c e 3,,

58 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT Cuado u ector esta represetado e térmos de ua base ortogoal {e }, la orma del ector se ecuetra empleado el teorema de Parseal: Teorema: S u ector, e u espaco leal de dmesó, está dado por cualquer represetacó {c } respecto a ua base ortoormal, etoces la orma eucldaa puede ser represetada como c S el ector está dado por ua base ortoormal se represeta como e 58

59 59 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT La orma eucldaa está dada por que també se puede escrbr como,, e c e c pero, e e c c c c c e e c e e c L,,

60 6 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT Etoces: S el ector está represetado respecto a ua base ortoormal la orma eucldaa es: S el ector o está represetado respecto a ua base ortoormal los dos resultados o cocde c c c c

61 6 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT Eemplo: Emplear el procedmeto de Gram Schmdh para costrur u couto ortogormal de ectores de: Se erfca s es ua base LI Se toma A

62 6 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT Se toma a a dode 5 7,, * * a etoces

63 63 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT Se repte el proceso 3 3 a a 5 5,, * 3 * 3 a 5 4,, * 3 * 3 a Etoces

64 64 Ortoormalzacó de GRAM - SCHMIDT Normalzado 5 ˆ ˆ ˆ3

65 Sub espacos U subespaco es u subcouto de u espaco ectoral leal y calfca a sí msmo como espaco: el plao es u subespaco del espaco de tres dmesoes. U subespaco M de u espaco ectoral X es u subcouto de X tal que s, y M, α y β escalares, y z α βy z M. La defcó especfca que el subespaco es cerrado para la suma ectoral y para la multplcacó por escalares. 65

66 Subespacos Las demás codcoes ecesaras para ser u subespaco se cumple por ser todos los ectores e el subespaco proeetes del espaco ectoral X. Todo espaco es subespaco de s msmo. S dm(m) dm(x), etoces X M. Se dce que u subespaco es propo s dm(m) < dm(x). 66

67 Teorema de Proyeccó Como todo los subespacos debe coteer al ector cero, etoces se puede hacer las sguetes obseracoes: Todos los subespacos propos de R so líeas rectas que pasa por el orge. Todos los subespacos propos de R 3 so líeas rectas o plaos que pasa a traés del orge. Todos los subespacos propos de R so hpersuperfces de dmesó - o meor que pasa a traés del orge. 67

68 Teorema de Proyeccó Cuál es el ector que está e el plao y es el más cercao a u ector dado que o está e el plao? Teorema de Proyeccó: Sea W u subespaco ectoral propo de X, etoces para todo X este u w W tal que w, para todo W. El ector w es la proyeccó ortogoal de e W. 68

69 Subespacos y Teorema de Proyeccó Complemeto Ortogoal: S W es u subespaco de X, el complemeto ortogoal de W, deotado W, es u subespaco de de X, tal que todos los ectores de W so ortogoales a W 69

70 Álgebra Leal Álgebra Leal: U álgebra leal es u espaco ectoral leal que además de los requstos para ser u espaco ectoral leal, cluye la multplcacó: Dados los ectores,y,z y el escalar α, etoces Asocata para multplcacó por escalar ( y) ( α) y ( αy) α Asocata para multplcacó de ectores ( y ) z ( yz) Dstrbuta para multplcacó de ectores ( y) z z yz 7

71 Referecas. BAY J.S. Fudametals of Lear State Space Systems. New York: McGraw Hll Iteratoal Chapter.. CHEN C.T. Lear Systems Theory ad Desg. 3rd Edto. New York: Oford Uersty Press Chapter SKOGESTAD S. ad POSTLEHWAITE L. Multarable Feedback Cotrol. Chchester: Joh Wley & Sos Apped A.5 7