Cálculo Integral. LA INTEGRAL

Transcripción

1 Cálculo Itegral. LA INTEGRAL Durate la seguda mtad del sglo XVII, Newto y Lebz dero u paso decsvo e la matemátca de las magtudes varables, al setar las bases del cálculo dferecal e tegral. "Este fue el verdadero comezo del aálss, puesto que el objeto de este cálculo so las propedades de las fucoes msmas, dstto del objeto de la geometría aalítca. De hecho, lo que hcero Newto y Lebz fue completar esa catdad mesa de trabajo que había desarrollado hasta etoces muchos matemátcos y que se extedía hasta los métodos de determacó de tareas y volúmees empleados por los atguos gregos". Los orígees de este cálculo, que fuero prcpalmete los uevos problemas de la mecáca y los vejos problemas de la geometría, cosstetes estos últmos e la determacó de tagetes a ua curva dada y el cálculo de tareas y volúmees. Estos problemas geométrcos había sdo ya estudados por los atguos (basta mecoar a Arqumdes), y també por Kepler, Cavaler, y otros, a prcpos del sglo XVII. Pero el factor decsvo fue el descubrmeto de ua otable relacó etre estos dos tpos de problemas y la formulacó de u método geeral para resolverlos. El cálculo tegral es e eseca u método para ecotrar la dstaca recorrda cuado se cooce la velocdad, y e geeral, de ecotrar el resultado total de la accó de ua magtud varable. Evdetemete, este problema es recproco del problema de cálculo dferecal (el problema de ecotrar la velocdad), y se resuelve por "tegracó". Resulta que el problema de la tegracó es e todo equvalete al de ecotrar el tarea bajo la curva que represeta la depedeca de la velocdad respecto al tempo. La dstaca recorrda e el tervalo de tempo t a t.es gual al tarea bajo la curva etre las rectas que correspode e la gráfca a los valores t a t.

2 Lebz creó el símbolo f (x) dx e la últma parte del sglo XVII. La es ua S alargada de summa (palabra lata para suma). E sus prmeros escrtos usó la otacó "om." (Abrevatura de la palabra e latí "oms") para deotar la tegracó. Después, el 9 de octubre de 675, escrbó, "será coveete escrbr e vez de om., así como de om.l...". Dos o tres semaas después mejoró aú más la otacó y escrbó de e vez dx e vez solamete. Esta otacó es ta útl y sgfcatva que su desarrollo por Lebz debe cosderarse como ua pedra agular e la hstora de la matemátca y la ceca. Pues es la otacó que hoy segumos usado. Defremos e este escrto el cotraro de la dervada: la tegral. Esta operacó ace como cosecueca de respoder la sguete preguta: s se cooce la velocdad de ua partícula para u tempo determado podemos coocer la ley de movmeto de tal partícula? La respuesta o es fácl de cotestar, esta respuesta os lleva a crear ua ueva dscpla que e apareca o tee ada que ver co la dervada, esta dscpla es el cálculo tegral. De hecho, el cálculo dferecal y el cálculo tegral fuero cosderados dsttos hasta que surgó u teorema que además de ur estas dscplas las exhbe como cotraras, el llamado teorema fudametal del cálculo; de este teorema hablaremos co más detalle posterormete. E este mometo, os propodremos costrur la tegral de ua fucó. La expresó ua de ellas sgfca: f (x) dx deota la tegral defda de la fucó efe de equs de equs. Y cada Medate u ejemplo cosderemos la stuacó para compreder el cocepto de tegral, veamos: Supogamos que v(t) es la fucó velocdad de ua partícula. Esta fucó os da la

3 velocdad de ua partícula e movmeto para cada state fucó Por ejemplo, cosderemos la v(t) t. S deseamos coocer la velocdad de ua partícula e u state, lo úco que debemos hacer es cambar la t por el. Es decr v(t ) v() () Esto sgfca que e el segudo t = s, la partícula e movmeto llevará ua velocdad de m. seg La gráfca de esta fucó es ua líea recta (ver fgura ). Note que ahora represetamos al eje de las velocdades ``eje y'', como u eje perpedcular al eje del tempo. S la velocdad de ua partícula es costate--dgamos que tee u valor v el desplazameto de esta partícula está dado por x(t) vt. Para este caso, la fucó velocdad está dada por v(t) v cuya gráfca se muestra e la fgura. Esta gráfca es ua recta paralela al eje t a ua altura v de este eje. Los movmetos que tee como fucó velocdad v(t) v se llama movmetos rectlíeos uformes. Pero geométrcamete, qué represeta el desplazameto e la gráfca de la fucó velocdad v(t) v? Tomemos el tervalo de tempo desde, que represeta el state e el que có el movmeto hasta el tempo t = t, para esta fucó de velocdad, el desplazameto de

4 la partícula e este state es x(t ) vt, esto es el área compredda etre el eje t y la líea v. Lo que ocurre así porque teemos u rectágulo co base de logtud t y altura gual a y el área de los rectágulos se obtee multplcado la base por la altura (ver fgura 3). Debe otarse que uevamete hemos plateado u problema cocreto e uo geométrco, es decr, e u problema abstracto, el que resolveremos e terpretaremos cocretamete. Cómo resolvemos este msmo problema para ua fucó arbtrara v(t)? Por lo ateror podemos deducr que el área bajo la gráfca sobre el eje descrto e la fgura 4. determa el desplazameto Ahora el problema orgal se ha covertdo e el sguete problema: Dada la gráfca de la fucó v(t), ecotrar el área ecerrada etre su gráfca y el eje e el tervalo de tempo desde t = hasta t= t. Para resolver este problema utlzaremos el sguete método:. Hagamos ua partcó del tervalo de tempo de t = a t= t como se evdeca e la fgura 5.

5 . Formemos rectágulos cuyas bases sea las partcoes del tervalo y alturas correspodetes a la altura míma de la gráfca e la partcó del tervalo. Como e la fgura 6. La suma de las áreas de todos estos rectágulos es aproxmadamete el área total bajo la gráfca de la curva. Para fjar deas usaremos ua partcó co cco elemetos, t,t,t3,t4. La base del rectágulo uo está dada por la logtud etre el y el puto t, por lo tato, la base del prmer rectágulo es (t -), de maera aáloga, sabemos que la logtud de la base del segudo rectágulo es (t - t ), de este modo las logtudes de las bases del tercer y cuarto rectágulo so (t 3 t ) y (t 4 - t 3 ) respectvamete. Aquí podemos ver otra ley de la daléctca, u elemeto de la partcó forma el prmer puto de u rectágulo, pero se coverte e su cotraro e el rectágulo del otro lado, ya que e éste, es el últmo puto de la base. Para ecotrar la altura de tales rectágulos, teemos que tomar u puto e el teror de la base, de tal modo que la altura que correspode a ese puto, sea meor que la altura de cualquer otro puto de la base de tal rectágulo. E uestro caso, los putos, correspode co los msmos putos de la partcó, o sea,, t, t, t. Etoces la t altura del prmer rectágulo es v( t ), la del rectágulo dos es v( t ), la del rectágulo tres v( t 3 ) y el del cuatro v( t 4 ). Por lo tato, el área del prmer rectágulo es v( t )(t ), el área del segudo rectágulo es v( t )(t t ) y la de los rectágulos tres y cuatro so

6 v Prof. Erque Mateus N. ( t3 )(t3 t ) y v( t4 )(t4 t3 ), respectvamete. Por lo tato, la suma de las áreas de los cuatro rectágulos es S 3 v( t )(t ) v( t )(t t ) v( t3 )(t3 t ) v( t4 )(t4 t ). Deotaremos las bases de la sguete maera: t ( t ), ( t t ), ( t t ), t t 3 3 ( t t ). De este modo obtedremos que t S v( t ) t v( t ) t v( t3 ) t3 v(t 4 ) t4. Esta suma de áreas de rectágulos la deotaremos del sguete modo 4 v( t ) t S. El símbolo es ua letra del alfabeto grego que se llama sgma, e matemátcas la usamos para dcar ua suma, la parte de abajo de sgma os dca desde qué úmero se empeza a sumar y la parte de arrba hasta qué úmero debemos sumar. 4 Es decr: S v (t ) t v( t ) t v(t ) t v( t3 ) t3 v( t4 ) t4 ver fgura 7. Notemos lo sguete: Metras más grade sea el úmero de rectágulos co los que os aproxmamos al área, más parecda es el área de esta aproxmacó al área bajo la curva. Como se evdeca e la fgura 6. De este modo, podemos escrbr ua aproxmacó más geeral al área bajo la curva. Sea el úmero de rectágulos scrtos. E tal caso, el área bajo la curva será aproxmadamete gual a la suma de las áreas de los rectágulos S v (t ) t v( t ) t v( t ) t v( t ) t De todo lo ateror, podemos ferr que el área bajo la curva será la suma de las áreas de los rectágulos cuado hay ua catdad ta grade de todos estos, de tal modo que cotee tatos rectágulos como úmeros eteros postvos, es decr ua catdad fta de rectágulos, que deotaremos como: A lm v (t ) t v( t ) t v( t ) t v( t ) t

7 E este cotexto, el símbolo lm sgfca que el úmero de rectágulos crece tato hasta volverse ua catdad fta y a esta catdad la deotaremos como: t v (t) lm v (t ) t Y se llama la tegral defda de v(t). E el sguete escrto e PDF ecotrara u estudo sstemátco para tegral defda. Es mportate otar que la daléctca de la costruccó de la tegral es la sguete: obtuvmos el área bajo la gráfca de ua fucó, es decr el área de u cotuo a través del área de fucoes dscotuas! (ver fgura 8): El área bajo l (t) es ua fucó dscotua, cuya gráfca represeta las tapas de los rectágulos, ésta es ua aproxmacó al área bajo la curva y cuado la catdad de tapas de los rectágulos se hace fta, el área bajo estas tapas es gual al área bajo la curva v(t) cotua. Lo que hemos dcho es que s teemos ua fucó de velocdad cotua, etoces podemos cosderar ésta como la uó de ua fdad de movmetos rectlíeos uformes, es decr, que u pequeño pedazo de la gráfca de la fucó velocdad, es lo msmo que u movmeto rectlíeo uforme; otemos que e este problema hemos hecho que ua pequeña líea curveada sea gual que ua pequeña recta. E geeral, u movmeto rectlíeo uforme (MRU) o es gual a u movmeto rectlíeo co ua fucó velocdad v(t). S embargo, este hecho se da, debdo a la uó fta de MRU, de este modo, e la tegral ecotramos la ley daléctca que os dce que el todo es mayor que la suma separada de sus partes. Por ahora, a maera de coclusó, dremos que la tegral de la fucó de velocdad de ua partícula determa el desplazameto de dcha partícula, es decr: t x(t) v(r) dr. a

8 Dode x(t) represeta el desplazameto de la partícula y v(r) represeta la fucó velocdad. A su vez podemos decr que esta tegral represeta geométrcamete el área bajo la gráfca de la fucó v(r) e el tervalo de tempo de a. Revsemos de uevo las pregutas que dero orge al cálculo dferecal (CD) y al cálculo tegral (CI). El CD surgó de la sguete preguta: dada la fucó desplazameto cuál es la fucó velocdad? metras que el CI surge de respoder: dada la fucó velocdad cuál es la fucó desplazameto? Estas pregutas so cotraras, de este modo es de esperar que las respuestas de tales pregutas, la dervada y la tegral, sea cotraras. Esto es así, sempre y cuado las fucoes de desplazameto y velocdad satsfaga certas codcoes que o dscutremos, ya que éstas rebasa los propóstos del presete escrto. Pero ello o os mpedrá eucar el sguete resultado. El ombre de este resultado es el teorema fudametal del cálculo (TFC), el cual se euca e dos partes, que e clase estudaremos detedamete: t dx Prmera parte: (r) dr x( t ) x( a ) a d Seguda parte: x (r) dr x (t) t a De esta maera queda claro que etre el CD y el CI exste ua uó daléctca de cotraros. Como prmer ejemplo del uso del teorema fudametal del cálculo, utlzaremos la fucó x(t)=t. Prmero dervaremos tal fucó t. Ahora calculemos la tegral de. E vrtud al TFC, ecotramos que: t t. Como segudo ejemplo, mostraremos la fucó x(t)= t +7, la dervada de esta fucó es d ( t 7 ) d7 t, porque. De este modo la tegral de esta fucó debe ser: t t 7 debdo a que la costate C puede ser e partcular C=7.

9 Recuerde que la costate arbtrara C se llama costate de tegracó y es ua catdad depedete de la varable de tegracó. Puesto que puede teer cualquer valor, sgfca que s ua fucó dferecal tee ua tegral, etoces, tuvo ua fdad de tegrales, es decr ua famla de fucoes. Dcho e el leguaje de la daléctca, s f ( t ) es ua fucó y a ésta la dervamos, la egamos, df obtedremos t. Neguemos ahora lo egado. Se ega por seguda ocasó, utlzado el cotraro de la prmera egacó, es decr la tegral: df (t) f (t) C. De este modo se mafesta la ley daléctca de la egacó de la egacó, ya que llegamos al msmo resultado f(t), pero a u vel geeralzado, ya que llegamos a f ( t ) C, que es ua famla de fucoes detro de las cuales se ecuetra f ( t ).