Matemáticas Discretas

Transcripción

1 Coordacó de Cecas Computacoales - INAOE Matemátcas Dscretas Cursos Propedéutcos 0 Cecas Computacoales INAOE Dr. Erque Muñoz de Cote [email protected] Ofca 80 Dapostvas basadas e prevas teracoes de: Dr. Erque Sucar Dr. Lus Vllaseñor

2 Seres Notacó Seres y recurrecas Mapulacó de seres Seres múltples

3 Seres Ua sere o secueca o sucesó es ua lsta dode se toma e cueta el orde. Cada elemeto e la sere tee u úmero ídce asocado Puede ser fta Ua sumatora es ua otacó compacta para la suma de todos los térmos e ua sere posblemete fta

4 Seres Se deota por s ó {s}, y por s detfcamos al - ésmo elemeto de la sere Ua secueca o sere {a} se detfca co ua fucó geeratrz f :S A de algú subcojuto S N y para algú cojuto A. S f es ua fucó geeratrz de ua sere {a}, etoces para S, el símbolo a deota f(, també llamado térmo de la sere. El ídce de a es (comúmete se tercamba por

5 Seres Ua sere se deota comúmete por ua lsta de sus prmeros y/o últmos elemetos. Ejemplo {a} 0,, 4, 9, 6, 5, es equvalete a N, a.

6 Ejemplos de secuecas o seres U ejemplo de ua sere fta: Cosdere la sere {a} a, a, dode ( a f( / Equvaletemete: {a}, /, /3, Ua sere puede coteer stacas repetdas de u elemeto Cosdere la secueca {b} b0, b, (otar que 0 es u ídce dode b (. {b} deota ua secueca fta de s y s, o el cojuto co elemetos {, }.

7 Ifereca de secuecas Alguas veces sólo se proporcoa los prmeros térmos de ua secueca Ecotrar cuál es la fucó geeratrz, ó Procedmeto para eumerar la secueca Cuál es el sguete elemeto de la secueca?,, 3, 4,..., 3, 5, 7, 9,, 3, 5, 7,,

8 Cadeas Sea Σ u cojuto fto de símbolos,.e. u alfabeto Ua cadea sobre el alfabeto Σ es cualquer secueca {s} de símbolos, s Σ, ormalmete deados por N. S a, b, c, so símbolos, la cadea s a, b, c, puede escrbrse como abc S s es ua cadea fta y t es cualquer otra cadea, etoces la cocateacó de s co t, se deota como st

9 Cadeas La logtud s de ua cadea fta s es el úmero de poscoes (.e., el úmero de valores del ídce. S s es ua cadea fta y N, Etoces s deota la cocateacó de copas de s. Ejemplos s abc s 3 t de t st abcde ts deabc st3 abcabcdedede

10 0 Notacó sumatoras Dada ua sere {a}, ua cota feror etera (o límte j 0, y ua cota superor etera k j, etoces la sumatora de {a} de j a k se defe y deota por: k a j a j... j a se deoma ídce de la sumatora a k

11 Sumatoras geeralzadas Para ua sere fta, se puede deotar: Para sumar ua fucó sobre todos los membros de u cojuto X{,, }: S X{ P(}, se puede escrbr... j j j a a a... ( ( ( f f f X... ( ( ( ( f f f P

12 Ejemplo: sumatora Sumatora fta 4 ( (3 (4 (4 (9 (

13 Ejemplos: sumatora Ua sere fta co u resultado fto Uso de predcados para defr u cojuto de elemetos sobre ua sumatora prmo es ( <

14 Operacoes de sumatoras Alguas detdades útles: 4 k j k j f f g f g f f c cf ( ( ( ( ( ( ( (

15 Operacoes de sumatoras Otras detdades útles: 5 < k k k m m j k j k f f k m j f f f 0 0 ( ( f ( ( (

16 Sumatoras múltples Ejemplo: Note la depedeca de los límtes de sumatora 6 ( ( j j j j j j

17 7 Ejemplo Evalué la sumatora: (/((/ (- Hay / pares de elemetos que suma

18 8 Ejemplo Evalué la sumatora: ( / (/((/ (- Hay / pares de elemetos que suma

19 9 Progresó geométrca Ua progresó geométrca es ua sere de la forma a, ar, ar, ar3,, ark, dode a, r R Por ejemplo, 5,5,45,35 es ua progresó geométrca co razó r3, ya que: y así sucesvamete.

20 0 Progresó geométrca k 0 ar k r a r Deje: s aarar...ar- Al multplcar por r sr ararar3...ar Etoces s sr s(-r a - ar Por lo tato: s k 0 ar k r a r

21 Progresó geométrca s k 0 ar k r a r De esta maera se obtee la suma de los térmos de ua progresó geométrca cuado se cooce el prmer y el últmo térmo de la msma.

22 Progresó geometrca: cuado tede a fto Cuado tede a fto, el valor absoluto de r tee que ser < para que la sere o dverga Para r <, la suma queda: k 0 ar k a r

23 3 Covergeca para r < Demostracó Deje: s r r Al multplcar por r sr rrr3... Etoces s sr s(-r Por lo tato: k 0 r k r Y k 0 ar k a r

24 4 Epresoes útles k k ( ( / 6 k k 3 ( / 4

25 5 RESUMEN

26 SUCESIÓN Recordemos: Qué es ua sucesó? Es u cojuto de úmeros ordeados y cosecutvos que tee ua ley de formacó. Observemos las sguetes sucesoes: 3;6;9;;5;... Se suma... a cada térmo. ;6;8;54;6;... Se multplca por... a cada térmo. 5;6;8;;5;... Se suma u ;4;9;6;5;... Se eleva al

27 SUCESIÓN De lo observado, se tee: 3;6;9;;5;8. Es ua Progresó Artmétca. ;6;8;54;6;486.Es ua Progresó Geométrca

28 PROGRESIÓN Es ua sucesó, dode los térmos sguetes se obtee sumado o multplcado, u úmero real llamado razó, a u térmo ateror. CLASES DE PROGRESIONES: a Progresó Artmétca: Es aquella progresó dode los térmos sguetes se obtee sumado u msma úmero real al térmo ateror. b Progresó Geométrca: Es aquella progresó dode los térmos sguetes se obtee multplcado ua msma catdad real al térmo ateror.

29 PROGRESIÓN ARITMÉTICA Cosderemos la sucesó de térmo geeral: a 5, 8,, 4, 7, 0,... Clck to edt Master tet styles Secod level Thrd level Fourth level Ffth level Observamos que cada térmo de la sucesó es gual que el ateror más 3. Se dce que la sucesó a es ua progresó artmétca y que d 3 es la dfereca de la progresó. Ua progresó artmétca es ua sucesó de úmeros tales que cada uo de ellos (salvo el prmero es gual al ateror más u úmero fjo llamado dfereca que se represeta por d. E la progresó ateror a 5, a 8 y d E ocasoes os refermos a la progresó formada por los prmeros térmos de la progresó; e este caso se trata de ua progresó artmétca lmtada.

30 ELEMENTOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA P a a a3 a4 a5 a d a P P 3 7 P P P5 7 7 a : prmer térmo d: dfereca comú a : últmo térmo : úmero de Profudza

31 Ejercco 3

32 Halla el prmer térmo, la dfereca comú y el úmero de térmos de la P.A. mostrada. 3

33 Calcular el térmo de lugar 6 de la sguete P. A., para ello resuelve y pulsa la alteratva correcta: PA: 5;3;37;43;... a05 b5 c55 d75 Calcular el térmo de lugar 40 de la sguete P. A., para ello resuelve y pulsa la alteratva correcta: PA: 80;7;6;53;... a-5 b-6 c-7 d-8 33

34 34

35 5 Covergeca y dvergeca Sea { a } ua sucesó, etoces ua sere, vee dada por: a a a a 3 a Covergeca Sere. Dada ua sera, tal que, etoces: S lm S lm S a a S este y es gual a S, etoces la sere

36 6 Propedades de las Seres Dadas las seres covergete a A b B, y c u úmero real, etoces las sguetes seres també so covergetes, y sus c asumas ca so: ( a b A B ( a b A B a b S ( es a ± covergete b A ± B y es dvergete, Importate: etoces: as b y so Dvergete, etoces o se ( a tee ± b A ± certeza B s es Dvergete es Covergete o Dvergete

37 7 Sere Geométrca A toda aquella sere que se puede epresar de la forma: 0 a r se deoma sere geométrca. o a r La Covergeca o o de ua sere geométrca vee dada por: S r r S suma es, etoces la sere Dverge. a S r, etoces la sere Coverge y su

38 Sere de potecas Ua sere de potecas es aquella que tee la forma: e dode es ua varable y los c so costates llamadas coefcetes de la sere. De ua maera más geeral, la sere de la forma: se llama sere de potecas e (-a, o sere de potecas cetrada e a c c c c c ( ( ( ( a c a c a c c a c

39 Covergeca Ua sere de potecas c ( a es covergete e 0 u valor especfcado de s su sucesó de sumas parcales {SN(} coverge, es decr, este Lm ( Lm S N C N N 0 ( a S el límte o este e, etoces se dce que la sere es dvergete..

40 Ejemplo La sere: 0 es ua sere de potecas co c para toda. Esta sere es ua sere geométrca que coverge s -<<. El valor de covergeca de la sere es: 3 3 0

41 Prueba de la razó La covergeca de ua sere de potecas suele determarse medate el crtero de la razó. Supoga que 0 para toda y que C Lm C C ( a Lm S L<, la sere coverge absolutamete. S L>, la sere dverge y S L, el crtero o es cocluyete. C a ( a C L

42 Seres de Taylor y de Maclaur Supoedo que f es cualquer fucó represetable medate ua sere de potecas: f ( c c ( c ( a 3 4 c ( a c ( a... 0 a f ( a c a < R f '( c c ( a 3 3c ( a 4c ( a... 3 f '( a c 4 a < R 3 f ''( c 3c 3( a 3 4c ( a... 4 f ''( a c a < R

43 3 Seres de Taylor y de Maclaur 4 f '''( 3c 3 3 4c 4( a 3 4 5c ( a... 5 a < R f '''( a 3c 3 3! c 3 ( f ( a c! c c f ( a! (

44 4 Seres de Taylor y de Maclaur 5 Teorema: S f tee ua represetacó (desarrollo e forma de sere de potecas e a, esto es, s f ( 0 c ( a a < R Los coefcetes está epresados por la fórmula c f ( a! (

45 5 Seres de Taylor y de Maclaur 6 f ( 0 f f (a ( a ( a! ( f '( a ( a! f ''( a! ( a f '''( a ( a ! 7 ( f (0 f ( f '(0 f (0 0!! f ''(0...!

46 6 Ejemplo EJEMPLO Determa la sere de Maclaur de la fucó f( e y su rado de covergeca SOLUCIÓN S f( e, de modo que f (0 e 0 para toda. E cosecueca, la sere de Taylor de f e 0 (esto es, la sere de Maclaur es 0 f (0! ( 0! Para hallar el rado de covergeca, sea!! a ! /!. Etoces a a! 0 < (! De modo que, de acuerdo co la prueba de la razó, la sere coverge para toda y el rado de covergeca R

47 Sere de Maclaur E el caso especal de que a0, la sere de Taylor se trasforma e: f ( f (0 f (0 f (0 f (0 ( ( f (0 ( ( ( 0!!! 3! Esta sere recbe el ombre de sere de Maclaur. 3

48 Problemas: Obtega la sere de Maclaur para cada ua de las sguetes fucoes:. f( e. f( Se( 3. f( Cos( Nota: So aalítcas e 0.!!!!!!!!! Cos Se e

49 9 Taylor Polyomals at a Formulae Maclaur seres Taylor seres at 0. Basc Maclaur seres: 3 ( cos( K! 4! ( k! k 4 k k 0 ( 3! 5! k 0 (k! 3 k e K! 3! k! k k 3 5 s( K. k 0 Formulae 3 ca be used for all. The Bomal Seres p p( p p( p ( p (! 3! 3 p K Vald oly f - < <.

50 0 Ecotrar la sere de Maclaur Problem Fd the Maclaur seres of the fucto s (. Soluto ( z k ( ( k k Start wth the Taylor seres s z. k 0! Substtute z to get k ( ( k k 0 k 0 k ( ( k k 4k s ( (.!!

51 Ecotrar la sere de Maclaur Problem s ( Fd the Maclaur seres of the fucto. Soluto ( k ( ( k k Start wth the Maclaur seres s. k 0! Dvde all terms by to get k ( ( k ( 0 k 0 k ( ( s k! k! k k.

52 Ecotrar la sere de Maclaur (3 Problem ( ( Fd the Maclaur seres for the fucto f arcta. Soluto Observe that f (. Ths s the sum of a geometrc seres wth frst term ad rato of two subsequet terms q. 4 6 Hece f k k. ( ( K ( Ths mples by tegrato that k 0 ( k k f C K k To determe the costat of tegrato C, sert 0 the above equato to get C 0. k 0

53 3 Sere Telescópca Es aquella sere que se puede epresar de la forma: a a La sere telescópca sempre coverge a L s. lm a L Sere Armóca. Es aquella sere que se puede epresar de la forma: La sere armóca sempre es Dvergete.

54 4 Sere p A toda aquella sere que se puede epresar de la forma: p se deoma sere p. La Covergeca o o de ua sere p p dada por: p S, etoces la sere Dverge. vee S, etoces la sere Coverge.

55 5 Crtero de la Dvergeca S la sere fta a lm a 0 coverge, etoces, co lo cual se puede coclur que: S lm a 0, etoces la sere es Dvergete. lm a 0 Importate: S o mplca que la sere sea Covergete, por lo tato se debe utlzar otro crtero.

56 6 Crtero de Comparacó S 0 a b, para todo etoces: S b també Coverge. a a Coverge, etoces S Dverge, etoces també Dverge. Importate: E caso de que o se cumpla algua de las dos codcoes aterores, o se tee certeza s la sere coverge o o, por lo tato se debe elegr otro crtero. b

57 7 Crtero de Comparacó a b Sea y, dos seres de térmos postvos etoces: S a lm 0 b a lm 0 b Coverge o Dverge. a lm b b b, etoces ambas seres S y Coverge, etoces Coverge. a a S y Dverge, etoces

58 8 Crtero del Cocete o de la Razó Sea ua sere de térmos postvos tal que a es dstto de 0, etoces: a S, etoces Coverge. a S ó, etoces S a a lm a a lm a Dverge. a lm a lm a a el crtero falla.