ANILLOS REALES (Primera de tres partes)

Transcripción

1 ANILLOS REALES (Prmera de tres partes) ENRIQUE ANDRADE Departameto de Matemátcas, Facultad de Cecas, Uversdad Nacoal Autóoma de Méxco 0450 Méxco, D. F., Méxco. E-mal: LEÓN KUSHNER Departameto de Matemátcas, Facultad de Cecas, Uversdad Nacoal Autóoma de Méxco 0450 Méxco, D. F., Méxco. E-mal: INTRODUCCIÓN Allos Reales (prmera parte), es ua revsó de los dos prmeros capítulos de las otas de T. Y. Lam; A troducto to real algebra dadas como u curso e la Sexta Escuela Latoamercaa de Matemátcas e Oaxtepec Morelos e el verao de 98. Esta prmera parte empeza troducedo el cocepto de vel de u allo. Se expoe alguas propedades y resultados mportates para el vel de allos; por ejemplo, el crtero global-local. E térmos de este cocepto se establece las dversas ocoes de realdad para allos (allo real, semreal y local real). E forma smlar se da alguas de las propedades y se establece alguos resultados sobre allos reales, semreales, y locales reales. Aquí, como a lo largo de este trabajo, la palabra allo sgfca allo comutatvo co uo y homomorfsmo sgfca homomorfsmo de allos que lleva a. SUMMARY Real rgs (frst part of three), t s a revso of the frst two chapters of the otes of T. Y. Lam; A troducto to real algebra gve as a course the Sxth Lat Amerca School of Mathematcs Oaxtepec Morelos the summer of 98. Ths frst part begs troducg the cocept of level of a rg. Some propertes ad mportat results are exposed for the level of rgs; for example, the global-local approach. I terms of ths cocept dfferet otos of realty settle dow for rgs (real, semreal ad local real rg). I smlar form some of the propertes are gve ad some results settle dow o real, semreales, ad local real rgs. Here, the word rg meas commutatve rg wth oe ad homomorphsm t meas homomorfsmo of rgs takes to.

2 NIVEL DE ANILLOS. Sea A u allo y S u subcojuto de A que satsface ) S a y b so elemetos de S, etoces ab S. S. A tales subcojutos se les deoma cojutos multplcatvamete cerrados e A o també cojutos multplcatvos e A. S S es u cojuto multplcatvamete cerrado e A, etoces puede suceder que 0 S. U cojuto S e A que satsface ) S es multplcatvamete cerrado e A. ) 0 S. se deoma sstema multplcatvo e A. ) Obvamete, todo sstema multplcatvo S e A es u cojuto multplcatvamete cerrado e A, pero o recíprocamete. A cotuacó se da alguos ejemplos de cojutos multplcatvamete cerrados y sstemas multplcatvos e A. EJEMPLO.. S A es u domo etero, etoces A\{0} es u sstema multplcatvo e A. EJEMPLO.. S A es u allo y P es u deal prmo de A, etoces S=A\ P es u sstema multplcatvo e A Más geeralmete. EJEMPLO.3. Sea A u allo y (P j ) j I ua famla de deales prmos de A, etoces S=A\ Pj es u sstema multplcatvo e A. j I EJEMPLO.4. Sea A u allo y S el cojuto de elemetos o dvsores de cero de A, etoces S es u sstema multplcatvo e A. S A es u allo; se deota por A el cojuto de sumas ftas de cuadrados e A, es decr, A :={ a a A}. EJEMPLO.5. Sea A u allo y S u subcojuto de A tal que S={+ etoces a) S es u cojuto multplcatvamete cerrado e A. b) S además - A, S es u sstema multplcatvo e A. a a A}, ) S dotado de la operacó de multplcacó del allo A. ) U sstema multplcatvo S e A es u subsemgrupo (S, ) de (A, ).

3 3 a) Es claro que S. S a, b S, co a=+ a y b=+ j {,,..., m}, etoces ab=(+ a )(+ bj ) =+ ñ k = c k m j= m j= b j, a, b j A; {,,..., }, Luego, ab S y S es u cojuto multplcatvamete cerrado e A. b) S - A, etoces + a 0; esto es, 0 S. DEFINICIÓN.6. El vel de u allo A, escrto como s(a) vee dado por s(a):= m { k a + + ak = -, co a A, {,,..., k}} s - A es decr, el vel de A es el meor úmero atural k tal que - puede escrbrse como ua suma de k cuadrados e A, o s - o se puede escrbr como ua suma fta de cuadrados. Co relacó a la otacó de vel de u allo A, la letra s e el símbolo s(a) provee (como de costumbre) de la palabra alemaa stufe que sgfca precsamete vel. El cocepto de vel para allos puede extederse a deales de allos, es decr, DEFINICIÓN.7. Sea A u allo e I u deal de A. El vel de I, escrto s(i ) es el vel del allo A /I, esto es, s(i )=s(a /I ). A cotuacó se establece alguas propedades para el vel de allos e deales de allos. OBSERVACIÓN.8. Sea A, B allos y f :A B u homomorfsmo de allos. S s(a)<, etoces s(b)<. De hecho, s(b) s(a). Es medata ya que f (- A )=- B. S A es u allo y S es u sstema multplcatvo e A, se puede defr ua relacó e A S como: ( as, ) (,) bt exste u S co u(ta-sb)=0 para (a, s), (b, t) A S. Es secllo verfcar que es ua relacó de equvaleca. Se deota la clase de equvaleca de la relacó que cotee ( as, ) por ( as, ) o també por [a/s]; y el cojuto de todas las clases de equvaleca de como S - A. E el cojuto S - A se puede defr las operacoes de suma y multplcacó:

4 4 ( a, s) + ( b, t): = ( at + bs, st) ( as, ) ( bt, ): = ( abst, ) para cada ( as, ), (,) bt S - A. Estas operacoes está be defdas y el cojuto S - A es dotado co ua estructura de allo, dode (0,) y (,) so los elemetos cero e detdad multplcatvo respectvamete, es decr, (S - A,+, ) es u allo deomado allo de cocetes de A co respecto a S. S A es u allo, se puede cosderar la fucó ϕ:a S - A, ϕ(a)= ( a,), dode S es u sstema multplcatvo e A. ϕ satsface: ) ϕ es u homomorfsmo. ) Ker(ϕ)={a A exste s S co sa=0}. ) Todo elemeto de ϕ(s) es ua udad e S - A. E efecto, que ϕ es u homomorfsmo es medato, ϕ es llamado el homomorfmo atural. Por otro lado, a Ker(ϕ) s y sólo s ϕ(a)= ( a,) = (0,) ; esto es equvalete a: exste t S tal que t(a - 0)=0. Falmete, s s S, etoces ϕ(s)= (,) s y su verso es (, s ). S A es u domo etero y S=A\{0}; para a, b A, s, t S se tee que, exste u S co u(ta-sb)=0 lo cual es equvalete a ta-sb=0. E este caso, S - A costrudo del domo etero A, es u campo deomado campo de cocetes del domo etero A y se deota como qf (A). El homomorfsmo atural ϕ:a S - A es ua fucó yectva que ecaja A como u suballo del campo de cocetes. E el caso partcular e que S=A\P, co P u deal prmo de A, se tee que, el allo de cocetes S - A es deotado como A P y se deoma localzacó de A e P. Este allo de cocetes tee u úco deal maxmal PA P :={ ( as, ) A P a P, s S}. A los allos A que posee u úco deal maxmal m se les deoma allos locales y al campo F=A /m, campo resdual de A. Así, la localzacó A P es u allo local co deal maxmal PA P y A P /PA P es su campo resdual. OBSERVACIÓN.9. Sea A u allo, S u sstema multplcatvo e A y S - A el allo de cocetes de A. S s(a)<, etoces s(s - A)<. Se sgue drectamete de la observacó.8. OBSERVACIÓN.0. Sea A u domo etero co campo de cocetes F. S s(a)<, etoces s(f)<. Es u caso partcular de la observacó.9.

5 5 EJEMPLO.. Los allos, y tee vel fto. Esto es claro porque - o puede ser escrto como ua suma fta de cuadrados e, y respectvamete. EJEMPLO.. El allo de úmeros complejos tee vel gual a ; esto es, -= EJEMPLO.3. El allo A= [x,, x ]/<x + +x > tee vel fto. E efecto, sea ϕ:a ; ϕ( f ( x,..., x ) )= f (0,,0) ; claramete ϕ es u homomorfsmo de allos be defdo. Por la observacó.8., se sgue que s(a)=. EJEMPLO.4. Sea A= [x,, x ]/<+x + +x >, etoces s(a)=. Supógase que s(a)<, luego - = f ( x) + + f ( x) co f j (x) [x,, x ], j {,,, -}. De esta forma exste g [x,, x ] tal que -=f (x) + +f - (x) +g(x)(+x + +x ) () Ahora, cosdérese los polomos f j (x), j {,,, -} e el allo [x,, x ], etoces f j (x)=p j (x)+q j (x)...() dode P j (x) y Q j (x) so polomos reales pares e mpares respectvamete, co j {,, -}, e -. Susttuyedo () e () se obtee -=(P (x)+q (x)) + +(P - (x)+q - (x)) +(Reg(x)+Img(x))(+(x ) + +(x ) ) -= ( P j (x) -Q j (x) +P j (x)q j (x))+(reg(x)+img(x))(-x - -x ) j = -= P j (x) -Q j (x) )+Reg(x)(-x - -x )+[ P( j x) Q j (x)+img(x)(-x - -x )]. j = ( Comparado la parte real, se tee que -= ( P j (x) -Q j (x) )+Reg(x)(-x - -x ) (3) j = Ahora, cosdérese la fucó cotua F: - ; F(x)=(Q (x),,q - (x)); por el teorema de Borsuk-Ulam ) F colapsa u par de putos atípodas e la esfera S -, esto es, F(a)=F(-a) para algú a S -. Como Q j (x) so fucoes mpares, Q j (-x)=-q j (x) para cada ídce j {,,, -}, se sgue que F(-a)=-F(a); luego F(a)=0. Así, susttuyedo a e (3) se obtee j= ) TEOREMA (Borsuk-Ulam) Dada ua aplcacó cotua f :S + +, exste u puto x S + tal que f (x)=f (-x).

6 6 -= P j (a) -Q j (a) )+Reg(a)(-a - -a ) j = ( co Q j (a)=0, para cada j {,,, -} y a - -a =0. Etoces -= j = P( a) j pero esto últmo es ua cotradccó. Por lo tato se cocluye que s(a)=. EJEMPLO.5. Sea A= [x,, x ]/<x + +x > y F=qf (A) el campo de cocetes de A. Etoces s(f)<. De hecho se asegura que s(f) -. E efecto, se desea ecotrar fucoes f, h co,,, - tal que etoces y f f f h h h - = ( f h h + h f h + + h h f ) - = ( h h h ) h h h = f h h + h f h + + h h f, luego se tee la gualdad h h h - +f h h - +h f h - + +h h f - =p(x)(x + +x ). co p(x) [x,, x ]. S se susttuye h =x, h =x,,h - =x, f =x, f =x 3,, f - =x y p(x)=(x ) - =x x ((-)-veces), se satsface la gualdad e la expresó ateror y se obtee que, s(qf (A)) -. De los resultados de este ejemplo y del ejemplo.3., se observa que exste allos A cuyo vel es fto y e cambo el vel de su campo de cocetes qf (A) es fto. De esta forma, el recíproco de.8. es falso e geeral. Se pasa ahora a establecer alguos resultados y defcoes. Sea V u cojuto o vacío; se dce que ua relacó e V es u orde parcal e V s la relacó es ) reflexva (u u para cada u V). ) atsmétrca (u v y v u etoces u=v, u, v V). ) trastva (u v y v w, etoces u w para cada u, v, w V). S es u orde parcal e V, se dce que (V, ) es u cojuto parcalmete ordeado. Sea (V, ) u cojuto parcalmete ordeado, se dce que (V, ) es u cojuto totalmete ordeado s també se cumple: v) Para u y v elemetos de V, u v o v u (comparacó de elemetos). y la relacó se deoma u orde total e V.

7 7 Se observa que cada subcojuto U de u cojuto parcalmete ordeado (V, ) també es u cojuto parcalmete ordeado por la relacó. Sea U u subcojuto o vacío del cojuto parcalmete ordeado (V, ), u elemeto v V es ua cota superor de U s u v para cada u U, y u elemeto m V es u elemeto maxmal de (V, ) s o exste v V co m<v. ) Co estos coceptos troducdos se puede ahora eucar el lema de Zor. LEMA DE ZORN. Sea (V, ) u cojuto o vacío parcalmete ordeado el cual tee la propedad de que todo subcojuto o vacío totalmete ordeado U de V tee ua cota superor e V. Etoces V tee al meos u elemeto maxmal. Como ua aplcacó del lema de Zor se tee el sguete resultado. PROPOSICIÓN.6. Sea A u allo, etoces A tee al meos u deal maxmal. Sea I A la famla de todos los deales propos de A. Como el deal cero está e I A, etoces I A e (I A, ) es u cojuto parcalmete ordeado. Sea I u subcojuto o vacío totalmete ordeado de I A y cosdérese el cojuto J = I. Claramete J es u deal propo de A y ua cota superor de I e I A. ) Por el lema de Zor, el cojuto parcalmete ordeado (I A, ) tee al meos u elemeto maxmal, es decr, A tee al meos u deal maxmal. Como ua cosecueca de la proposcó ateror, se tee el sguete COROLARIO.7. Sea I u deal propo de u allo A, etoces exste u deal maxmal m de A tal que I m. La demostracó es smlar a la de.6., co I A la famla de deales propos que cotee a I. Después de haber establecdo alguas defcoes y probado alguos resultados acerca del cocepto de orde, se pasa a establecer el sguete lema que se deduce del lema de Zor; el cual será útl e la demostracó del prmer resultado mportate e esta seccó. LEMA.8. Sea A u allo, S u sstema multplcatvo e A, I u deal de A tal que I S= y J la famla de deales J de A co I J, dode J S=. Etoces J tee al meos Ι I ) S (V, ) es u cojuto parcalmete ordeado, etoces para u, v V se escrbe u<v s u v y u v. ) Es claro que J es u subcojuto o vacío de I co la propedad de que ab J para cada b J y a A. També s a, b J, exste deales I, I e I co a I y b I. Dado que I está totalmete ordeado respecto a la clusó se sgue que I I o I I ; de esta forma, a+b está ya sea e I o e I. Luego J es u deal de A.

8 8 u elemeto maxmal P que es u deal prmo de A. S además, S satsface que S+A S, se sgue que s(qf (A/P))=. Como I J, etoces J. Sea J u subcojuto o vacío totalmete ordeado de J y cosdérese I= J J J, etoces I es u deal e A co la propedad de que I I e I S=. Claramete I es ua cota superor para J e J. Por el lema de Zor se sgue que J tee al meos u elemeto maxmal P. P es u deal propo de A ya que P S= y S. Sea a P, b P; etoces P P+<a> y P P+<b>; por la maxmaldad de P se tee que (P+<a>) S, y (P+<b>) S, luego exste elemetos s, s S, r, r A y p, p P tal que s=p+ra y s =p +r b, etoces ss =pp +r pb+rp a+rr ab. Dado que ss S y pp +r pb+rp a P, se sgue que ab P; luego P es u deal prmo de A. Ahora, supógase que s(qf (A/P))<, etoces [-]=([a ] / [b ]) + +([a ] / [b ]) [-]= [ c ] / [ b ] co [c ] =[b ] [a ] [b ], dode [a ] está e la -ésma poscó, {,,, }. Así, se tee que c + b P. + c Sea c + = b, etoces P pero c + P. Por la maxmaldad del deal P, (P+<c + >) S ; luego, exste s S, a A y p P tal que s=p+ac + y s-ac + P, etoces s -a c + P. Como + ac P, se sgue que s -a c + =a c +a c + +a c +s -a c - -a c -a c + De este modo, a c +a c + +a c +s -a (c +c + +c + ) P. a c +a c + +a c +s P; també, como a c +a c + +a c +s S+A S se tee que S P lo cual es ua cotradccó. Por lo tato s(qf (A/P))=. TEOREMA.9. Sea A u allo. Etoces s(a)=, s y sólo s exste u deal prmo P de A co s(qf (A/P))=.

9 9 ( ) Sea S={+ a a A} A. Como - o puede escrbrse como ua suma fta de cuadrados e A, se tee que S es u sstema multplcatvo e A (ver ejemplo.5.) y S+A S. Por el lema.8. se obtee que s(qf (A/P))=. ( ) La codcó sufcete se sgue de la observacó.8. PROPOSICIÓN.0. Sea A u allo, S u sstema multplcatvo e A y ϕ:a B u homomorfsmo de A e u allo B que satsface: todo elemeto de ϕ(s) es ua udad e B. Etoces exste u úco homomorfsmo ψ:s - A B tal que ψoη=ϕ co η:a S - A el homomorfsmo atural. A Defíase ψ:s - A B; ψ( ( as, ))=ϕ(a)ϕ(s). S ( as, ) = ( bt, ), η ϕ co a, b A, y s, t S, etoces exste u S tal que u(at-sb)=0. Luego S - A B ϕ(u(at-sb))=ϕ(0)=0 ψ ϕ(u)[ϕ(t)ϕ(a)-ϕ(s)ϕ(b)]=0. Como ϕ(u) es ua udad e B, se sgue que ϕ(a)ϕ(s) - =ϕ(b)ϕ(t) - ; así, se tee que ψ( ( as, ))=ψ( (,) bt ) y ψ está be defda. Por otro lado, ψ es u homomorfsmo. E efecto, ψ( ( as, ) + (,) bt )=ψ( ( at + bs, st) ) =ϕ(at+bs)ϕ(st) - =[ϕ(a)ϕ(t)+ϕ(b)ϕ(s)]ϕ(s) - ϕ(t) - =ϕ(a)ϕ(s) - +ϕ(b)ϕ(t) - =ψ( ( as, ))+ψ( (,) bt ). ψ( ( as, ) (,) bt )=ψ( ( ab, st )) =ϕ(ab)ϕ(st) - =ϕ(a)ϕ(b)ϕ(s) - ϕ(t) - =ψ( ( as, ))ψ( (,) bt ). També se tee que, para toda a A, el dagrama ateror comuta, es decr, ψoη(a)=ψ( ( a,))=ϕ(a)ϕ() - =ϕ(a). Falmete, se probará la ucdad de ψ. Supógase que ψ :S - A B es otro homomorfsmo de allos tal que ψ oη=ϕ. Ya que ψ es u homomorfsmo de allos, se tee que ψ ( ( as, ))=ψ ( ( a,))ψ ( (, s ) ).

10 0 Como ψ ( ( a,))=ϕ(a)ϕ() - =ϕ(a) y ψ ( (, s ) )=ϕ()ϕ(s) - =ϕ(s) - se sgue que ψ ( ( as, ))=ϕ(a)ϕ() - ϕ()ϕ(s) - =ϕ(a)ϕ(s) - =ψ( ( as, )) Por lo tato, ψ es úco. PROPOSICIÓN.. Sea A u allo, S u sstema multplcatvo e A, η:a S - A el homomorfsmo atural y μ:a B u homomorfsmo de A e u allo B que satsface: a) Los elemetos de μ(s) so udades e B. b) Ker(μ):={a A exste t S co ta=0}. c) Todo elemeto de B puede escrbrse como μ(a)μ(s) - para a A, s S. Etoces exste u úco somorfsmo ψ:s - A B tal que ψoη=μ. A η μ Por la proposcó.0., exste u úco homomorfmo S - A B ψ:s - A B tal que ψoη=μ. De c) se sgue drectamete que ψ es supra- ψ yectva. Supógase que ( as, ) Ker(ψ) para a A, s S, etoces ψ( ( as, ))=μ(a)μ(s) =0 B, es decr, μ(a)=0; de esta forma, a Ker(μ). Utlzado b) se tee que exste t S co ta=0, luego ( as, ) = (0,) e S - A. Por lo tato ψ es yectva. Como ua aplcacó de la proposcó ateror, se prueba la sguete OBSERVACIÓN.. Sea A u allo, P u deal prmo A A P de A, S=A\ P y ϕ:a A /P el homomorfsmo caóco. Etoces el campo de cocetes del domo A /P es somorfo ϕ ϕ somorfo al campo resdual A P /PA P, es decr qf (A /P) A P /PA P dode qf(a/p)= S - (A/P) es el campo de cocetes del domo - S (A/P) A P /PA P etero A/P ψ Es claro que S =ϕ(s) es u sstema multplcatvo e A /P, co S={s+P s S}. Defíase la fucó μ:a/p A P /PA P, μ(a+p)=η(a)+pa P, μ está be defda porque η está be defda; así, μ es u homomorfsmo y el prmer dagrama comuta. Resta mostrar que μ satsface las codcoes de la proposcó... a) Los elemetos de η(s) so udades e A P y como η η(s) PA P =, los elemetos de ϕ (η(s)) so udades A A P e A P /PA P. Luego, los elemetos de μ(ϕ(s))=μ( S ) so ϕ ϕ udades e A P /PA P μ b) El úcleo de ϕ es PA P y el úcleo de μoϕ=ϕ oη es η η - (PA P η(a)) = {a A sa I para algua s S}. Así, el úcleo de μ es η - (PA P η(a)) /I que es precsa- A /P - S η (A/P) ψ A P /PA P

11 mete el cojuto { a (A/P) exste s S, s a = 0} c) Falmete, se tee que todo elemeto de A P /PA P puede escrbrse e la forma ϕ (η(a)η(s) - )=ϕ (η(a))ϕ (η(s) - ) - =μ(ϕ(a))μ(ϕ(s)) - =μ(a+p)μ(s+p) -. Así, se cocluye que qf (A/P) A P /PA P. Como ua cosecueca del teorema.9., se tee uo de los resultados prcpales e este capítulo, el así llamado crtero global-local para el vel de u allo. TEOREMA.3. (Crtero Global-Local) Sea A u allo. Etoces s(a)= s y sólo s exste u deal maxmal m de A co s(a m )=. ( ) Por el teorema.9., se sgue que exste u deal prmo P del allo A co s(qf(a/p))=. Como qf(a/p) A P /PA P, etoces s(a P /PA P )=. Nuevamete, por el teorema.9., se tee que s(a P )=. Por el corolaro.7., se sgue que exste u deal maxmal m de A tal que P m. Cosdérese la localzacó A m y defíase la fucó ϕ:a m A P ; ϕ([a/s])= ( as, ). Claramete ϕ está be defda y es u homomorfsmo. Como s(a P )=, de la observacó.8., se sgue que s(a m )=. ( ) Es la demostracó de la observacó.9. S A es u domo etero co campo de cocetes F (=qf(a)), etoces se sabe que s(f) s(a); e partcular s(a)< s(f)< (ver observacoes.9 y.0). Pero el recíproco o es certo e geeral, es decr, exste campos de cocetes F de u domo etero A co s(f)< tal que s(a)=. Como u ejemplo se tee el domo etero A = [x,, x ]/<x + +x > co del ejemplo.3. (para =; A= [x]/<x > o es u domo etero) dode s(a )= y s embargo s(f)< (ver ejemplo.5.). Qué codcoes debe cumplr u allo A para que se satsfaga s(f)< s(a)<?. Ates de respoder esto, se demostrará los sguetes LEMA.4. Sea A u allo. Etoces a A es ua udad de A s y sólo s para cada deal maxmal m de A, a m. Es medata. LEMA.5. A es u allo local s y sólo s el cojuto de o udades de A es u deal de A. ( ) Supógase que A es u allo local co deal maxmal m. Por el lema ateror, m es

12 precsamete el cojuto de o udades de A. ( ) Supógase que el cojuto de o udades de A es u deal I de A. Como 0 I, 0 es ua o udad de A e I es u deal propo de A. Por la proposcó.6., exste al meos u deal maxmal m de A. Por el lema.4., m cosste de o udades de A y m I A. Como m es u deal maxmal de A, se tee que m=i. Luego, todo deal maxmal de A será gual a I. De esta forma, A es u allo local y el úco deal maxmal de A es precsamete el cojuto de o udades de A. Se dce que u domo etero A co campo de cocetes F es u allo de valoracó s para cada x F \{0}, se tee que x A o x - A. Los allos de valoracó també so allos locales, es decr, LEMA.6. Sea A u allo de valoracó co campo de cocetes F=qf (A), etoces A es u allo local. Sea m el cojuto de o udades de A, etoces x m s y sólo s x=0 o x - A. S a A y x m, se tedrá que ax m (de lo cotraro (ax) - A y x - =a(ax) - A). Sea x, y m co x 0, y 0; etoces xy - A o x - y A. S xy - A, etoces x+y=(+ xy - )y Am m. S x - y A se tee que x+y m. por lo tato m es u deal y por el lema.5., A es u allo local. Para allos de valoracó se tee el sguete LEMA.7. Sea A u allo de valoracó co campo de cocetes F y {x,, x } u subcojuto e A co x 0 para cada {,,, }. Etoces exste 0 {,, } tal que x / x A; para todo {,, }. 0 Escójase prmero a x para fja y fórmese los cocetes x /x,, x /x, {,, }. Sea X ={(x j /x ) (x j /x ) A co j {,, }} y Y ={(x j /x ) (x j /x ) A co j {,, }}. Sea 0 tal que #( X )=max{#(x 0 ),,#(X )} ) Se afrma que #( X )=; (#( X 0 ) ya que 0 X 0. Supógase que #( X )=k<, es decr, e F exste k cocetes que perteece a A y 0 -k cocetes que o está e A. Se ordea los cocetes x / x, 0 x / x 0,, x / x 0 de tal forma que prmero aparezca los k cocetes que está e A y después los -k cocetes que o perteece al allo A. Redcado, se obtee que y / x y / x,, y k / x 0, 0 0, ) #(X ) deota el úmero de elemetos de X

13 3 y k+ / x 0,, y / x 0 dode y, y,, y k so los umeradores de los k cocetes que está e A e y k+,, y los umeradores de los -k cocetes que o está e A. Como y k+ / x 0 A y A es u allo de valoracó, se sgue que x 0 /y k+ A. Así, y m /y k+ A co m {,,, k} ya que y m /y k+ =(y m / x 0 )( x 0 /y k+ ). Pero també y k+ /y k+ A; luego #( X )=k+ lo cual 0 cotradce la eleccó de k<. Por lo tato, se cocluye que #( X )=, es decr, x / x, x / x,, x / x A. 0 0 PROPOSICIÓN.8. Sea A u allo de valoracó co campo de cocetes F. Etoces s(f)=s(a) ya sea que s(f)< o s(f)=. Supógase que s(f)<, esto sgfca que b b - = + +, c c esto es, co a a = c c b c ; luego 0 a a c c (-) = a - / =. Sí a 0 0 c =, etoces + = 0. Por el lema ateror, se puede supoer (s perdda de geeraldad) que a /a 0,,a /a 0 A. Así, -=(a /a 0 ) + +(a /a 0 ) Por lo tato - es ua suma fta de cuadrados e A, esto sgfca que, s(a) s(f). La gualdad s(f)=s(a), se sgue de.8. o.0.. Se observa de la proposcó ateror que s(a)< s y sólo s s(f)<. U domo etero A es u domo Prüfer s para cada deal maxmal m de A, la localzacó A m es u allo de valoracó. Para allos Prüfer se tee el sguete COROLARIO.9. Sea A u domo Prüfer co campo de cocetes F. Etoces s(a)< s y sólo s s(f)<. ( ) Es drecta de las observacoes.8. y.0. ( ) Supógase que s(f)<. Como A es u domo Prüfer, etoces para cada deal 0

14 4 maxmal m e A, A m es u allo de valoracó co campo de cocetes F m =qf(a m ). Por la proposcó.8., se tee que s(a m )=s(f m ). Sea ϕ:a A m, el homomorfsmo atural; dado que s(f m )< para cada deal maxmal m s y sólo s s(a m )<, para todo deal m, etoces s(a)<. Sea A u allo y P 0,, P deales prmos de A. Ua expresó de la forma P 0 P P es ua cadea de deales prmos de A. Su logtud se defe como el úmero de deales e la cadea meos ; y es u etero o egatvo o. La dmesó de u allo A, escrta dm(a) se defe como el supremo de logtudes de todas las cadeas de deales prmos de A. Al gual que la logtud de ua cadea, la dmesó es u úmero etero o egatvo o. També se defe la altura de u deal prmo P, deotada ht A (P) como el supremo de las logtudes de cadeas P 0 P P de deales prmos de A co P =P. Al gual que la logtud o la dmesó, la altura es u úmero etero o egatvo o. Se dce que u allo A es oetherao s equvaletemete se satsface que: todo deal I de A es ftamete geerado, toda famla de deales de A tee u elemeto maxmal (ahí) (codcó maxmal) o toda cadea ascedete de deales de A es estacoara (codcó de cadea ascedete). ) Sea (A, m) u allo local oetherao co campo resdual K=A/m. Etoces el K-espaco vectoral m/m tee dmesó fta y e este caso dm(a) dm K (m/m ). Los allos para los cuales se da la gualdad ateror, será de mportaca aquí, es decr, DEFINICIÓN.30. U allo local oetherao (A, m) es u allo local regular s dm(a)=dm K (m/m ). S (A, m) es u allo local regular de dmesó d, se dce que u sstema regular de parámetros para A es u cojuto de d elemetos que geera a m. Co respecto al cocepto de vel de u allo local regular, se tee el sguete LEMA.3. Sea (A, m) u domo etero local regular co campo de cocetes F, etoces s(a/m) s(f). (por duccó sobre dm(a)=d ) S d=, como todo allo local regular es u allo de valoracó dscreta, se tee que A es u allo de valoracó de ua valoracó dscreta v de F. Por.8., se tee que s(a)=s(f) y de.8., se sgue que s(a/m) s(a)=s(f). Supógase que d > y que el lema es certo para todo allo local regular de dmesó < d. Sea {x,, x d } u sstema regular de parámetros para A. Elgedo u elemeto p {x,, x d }, se cosdera el allo local oetherao A =A/<p> co m =m/<p> su deal maxmal. Dado que A es u allo local regular de dmesó d- co campo resdual A/m =(A/<p>)/(m/<p>) A/m. Por la hpótess de duccó, se tee que s( A/m )=s(a/m) s(qf(a/<p>)). Dado que ) La codcó de cadea ascedete establece que s (I ) es ua famla de deales de A tal que I I I I + etoces exste k tal que I k =I k+ para todo.

15 5 qf(a/<p>) A <p> /<p>a <p> (véase..), se tee que ht A<p> (<p>a <p> )=ht A (<p>); y como <p> es u deal prmo mmal de sí msmo, por, se sgue que ht A (<p>) ; luego ht A (<p>)=. Dado que la localzacó A <p> es u allo de valoracó dscreta y por tato u allo de valoracó de ua valoracó dscreta v del campo F. Por.8., se tee que s(a <p> )=s(f) y de la observacó.8., se tee que s(a/m) s(qf(a/<p>))=s(a <p> /<p>a <p> ) s(a <p> )=s(f). ) Se dce que u allo A es regular s A es oetherao y las localzacoes A m de A e todos los deales maxmales m de A so allos locales regulares. A cotuacó, se euca el últmo resultado de esta seccó. TEOREMA.3. Sea A u domo regular co campo de cocetes F. Etoces s(a)< s y sólo s s(f)<. ( ) Ver.0.. ( ) Sea P u deal prmo de A y cosdérese el domo etero A/P. Como s(f)=s(qf(a P ))< (ver la ota de pe de paga) y dado que qf(a/p) A P /PA P (ver observacó..), por el lema ateror, se tee que s(a P /PA P ) s(qf (A P ))<. Luego por el teorema.9., se sgue que s(a)<. 3 ANILLOS REALES, SEMIREALES Y LOCALES REALES. E la seccó ateror se cometó que exste allos A para los cuales - o puede ser escrto como la suma de cuadrados e A, para cualquer. Ejemplos de tales allos so:,,, etc. Esto motva la sguete defcó. DEFINICIÓN 3.. U allo A es semreal s s(a)=. S I es u deal de u allo A, també se puede troducr la ocó de semrealdad para I, es decr. DEFINICIÓN 3.. Sea A u allo e I u deal de A. Se dce que I es u deal semreal s el allo A/I es semreal. E térmos de la ocó de semrealdad se puede rescrbr alguos de los resultados establecdos e la seccó ateror referetes al cocepto de vel. Por ejemplo; las observacoes.8.,.9. y.0. se escrbe como: ) Se sabe que s P es u deal prmo de u domo etero A co F=qf(A) su campo de cocetes y AP es la localzacó de A e P, etoces F qf(a P ).

16 6 OBSERVACIÓN 3.3. Sea A, B allos y ϕ:a B u homomorfsmo de allos. S B es semreal, etoces A es semreal. OBSERVACIÓN 3.4. Sea A u allo y S - A el allo de cocetes de A co respecto a u sstema multplcatvo S e A. S S - A es semreal, etoces A es semreal. OBSERVACIÓN 3.5. S A es u allo co campo de cocetes F y F es semreal, etoces A es semreal. També se puede rescrbr los resultados mportates tales como los teoremas.9. y.3., proposcó.8., corolaro.9., lema.3. y teorema.3. Por ejemplo el teorema.9. se escrbe como TEOREMA 3.6. Sea A u allo. Etoces A es semreal s y sólo s exste u deal prmo P e A co campo de cocetes qf (A/P) semreal. Sea K u subcampo del campo de los úmeros reales, etoces s x, x,, x K so tales que x = 0 co, etoces x =0 para cada {,,, }. Aquellos allos que satsface ua propedad smlar será de gra mportaca, es decr. DEFINICIÓN 3.7. U allo A es real s sempre que a =0 para cada {,,, }. a = 0 co a A mplca que EJEMPLO 3.8. Los allos, y so allos reales. U ejemplo teresate de u allo real vee dado por el sguete EJEMPLO 3.9. El allo < p > es u allo real. E efecto, sea < p > ={ ( m, ) m, \< p > y (p, )=}. S ( m, ) + ( m, ) + + ( mk, k) = (0,) co m, m,, m k ;,,, k \< p >, etoces ( m, ) + ( m, ) + + ( m, ) = (0,) k k k k k k ( m + m + + m, ) = (0,) (m k ) +( m k ) + +( m k ) =0. Como m k, m k,, m k, se sgue que m k =0 p/m k p/m m k =0 p/ m k p/m... m k =0 p/ m k p/m k

17 7 De esto últmo se obtee que m < p > para cada {,,, k}. Por lo tato < p > es u allo real. Se sabe que s A es u domo etero y b A\{0}, etoces A[b - ] es u allo (A[b - ] es la terseccó de todos los allos que cotee a A y b - ). Sus elemetos so de la forma g= ab. S A es real, se tee el sguete EJEMPLO 3.0. S A es u domo etero real, etoces el allo A[b - ] co b A\{0} es real. E efecto, sea P,, P m A[b - ] elemetos arbtraros, etoces j=,,m puede escrbrse como j j j P ( a b ) j 0 m j m j j j j j j j [( a b ) b ] = ( a b ) b = j= 0 j= 0 m j m m j j k l ( a b ) b / b = 0 y j= 0 k j l= m j m j j k Como ( a b ) b j= 0 k j j = b. S 0. De esto se sgue que ( ) m j= P j m j m j j k a b b j= 0 k j A y A es real, se obtee que m = 0. P j m j j k a b b 0 k j j j j = a b ; 0 = 0, etoces = 0 para k cada j=,, m. Dado que b 0 para cada j, k=,, m y A es u domo etero se sgue que 0 k j j j j a b = 0 para cada j=,, m. Por tato, A[b - ] es u allo real. El allo p co p u úmero prmo o es u allo real ya que 0= + + (p sumados). E forma smlar (como se ha defdo el cocepto de deal semreal) se puede troducr el cocepto de deal real para deales de allos, es decr; DEFINICIÓN 3.. Sea A u allo e I u deal de A. Se dce que I es u deal real s A/I es u allo real. OBSERVACIÓN 3.. S A es u allo real, etoces A es semreal. Supógase que A es u allo que o es semreal, etoces -= a co a A, {,,, }; luego cotradccó. a + =0. Como A es real, se obtee que =0, lo cual es ua

18 8 El recíproco de la observacó 3.. o es valdo e geeral. U ejemplo de u allo que es semreal pero o es real vee dado por A= [x,, x ]/<x + +x > E efecto, del ejemplo.3., se sgue que A es u allo semreal pero A o es real porque x + +x =0 y s embargo x 0 para toda {,,, }. OBSERVACIÓN 3.3. S A es u campo, etoces los coceptos de realdad y semrealdad so equvaletes. ( ) Supógase que exste a =0 co a A, {,,, } o todos cero, por ejemplo a 0. Etoces -a = a. Como A es u campo, se sgue que -= ( a / a) pero esto últmo es ua cotradccó al hecho de que A es u campo semreal. ( ) La codcó sufcete es u caso partcular de la observacó 3.. Es teresate subrayar que segú la observacó 3.3., resultados tales como; teorema.9., proposcó.8., corolaro.9., etc. puede rescrbrse e térmos del cocepto de realdad. Por ejemplo el teorema.9., se escrbe como: TEOREMA 3.4. Sea A u allo. Etoces A es semreal s y sólo s exste u deal prmo P de A tal que F=qf (A /P) es u campo real. E el caso de deales de allos, se tee los sguetes tres resultados. OBSERVACIÓN 3.5. Sea A u allo y m u deal maxmal de A, etoces los coceptos de deal real e deal semreal so equvaletes. La equvaleca se sgue drectamete de la observacó 3.3. OBSERVACIÓN 3.6. Sea A u allo e I u deal de A. S I es real, etoces I es semreal. Se sgue drectamete de la observacó 3.. OBSERVACIÓN 3.7. Sea A, B allos y ϕ:a B u homomorfsmo yectvo de allos. S B es u allo real, etoces A es u allo real.

19 9 Supógase que A o es u allo real, esto sgfca que exste a =0 co a A, {,,, } dode al meos ua de las a es dferete de cero; por ejemplo a 0. Etoces real. φ( a ) =0 y ϕ(a ) 0; esto últmo cotradce el hecho de que B sea u allo OBSERVACIÓN 3.8. Sea A u allo, S u sstema multplcatvo e A y S - A el allo de cocetes de A co respecto a S. S A es u allo real, etoces S - A es u allo real. Supógase que (, ) a s + (, ) a s + + (, ) a s = (0,) es ua suma de cuadrados e S - A, co a A, s S, {,,, }. Etoces ( a, s ) + ( a, s ) + + ( a, s ) = (0,) de esto se sgue ( a s s + s a s + + s s a, s s s ) = (0,) co b =s s a s y s = s ( b + b + + b, s ) = (0,). Esto últmo sgfca que exste u elemeto t e S tal que t ( b + b + + b ) = 0 y (tb ) + +(tb ) =0. Como A es u allo real, tb =0 para toda {,,, }, esto sgfca que tb =0 s y sólo s ts s a s =0 s y sólo s ( a, s ) = (0,). Para allos semreales e deales de estos allos, se tee las sguetes propedades. TEOREMA 3.9. Sea A u allo, etoces las sguetes afrmacoes so equvaletes. º A es u allo semreal. º A tee u deal semreal. 3º A tee u deal real. 4º A tee u deal prmo semreal. 5º A tee u deal prmo real. 6º A tee u deal prmo P tal que la localzacó A P es u allo semreal.

20 0 7º A tee u deal maxmal m tal que la localzacó A m es u allo semreal. 8º Exste u allo de cocetes de A que es semreal. 9º Exste u homomorfsmo ϕ:a F co F u campo real. (º) (º) El deal cero {0} es el deal semreal de A (A A /{0}, ϕ:a A /{0}, ϕ(a)=a+{0} es u somorfsmo). (º) (º) S A tee u deal I semreal, etoces A /I es u allo semreal. Sea ϕ:a A/I, ϕ(a)= a, co a A y ϕ el homomorfsmo atural. Por la observacó 3.3., se cocluye que A es u allo semreal. (º) (5º) Que A sea u allo semreal, por el teorema.9., será equvalete a: exste u deal prmo P de A tal que el campo de cocetes qf (A/P) es real. Sea ψ:a /P qf(a/p); ψ( a )= ( a,); ψ está be defdo y es u homomorfsmo yectvo. Por la observacó 3.7., se sgue que A/P es u allo real y por defcó P es u deal real. (5º) (3º) S A tee u deal prmo real P, etoces A tee u deal propo real P. (3º) (º) S A tee u deal propo I que es real, etoces I es u deal semreal. (º) (8º) Sea S={}; es claro que S es u sstema multplcatvo e A. Ahora, sea S A = {( a,) a A}. S - A A co ϕ:a S - A; ϕ(a)= ( a,) el homomorfsmo atural; claramete ϕ es ua byeccó. Como A es u allo semreal, se cocluye que S - A es u allo semreal. (8º) (º) Es la demostracó de la observacó 3.4. (5º) (4º) Se sgue de la defcó. (4º) (º) Sea P e A u deal prmo semreal, etoces A tee u deal semreal. (7º) (6º) Como m es u deal maxmal de A esto sgfca que A tee u deal prmo m tal que la localzacó A m es semreal.

21 (6º) (º) Sea ϕ:a A P, ϕ(a)= ( a,) el homomorfsmo atural. Por la observacó 3.4., se sgue el resultado, es decr, A es u allo semreal. (5º) (7º) Se sabe que s A tee u deal prmo real, etoces A es u allo semreal (ya que (5º) (º) ). Por el crtero Global-Local se sgue que A m es semreal. (5º) (9º) Sea P u deal prmo de A y F=qf (A/P) el campo de cocetes del domo etero A/P. Sea ψ:a/p qf (A/P); ψ( a )= ( a,). La aplcacó ψ está be f defda y es u homomorfsmo de allos. Sea; ϕ :A A/P; ϕ(a)=a+p A F el homomorfsmo caóco, etoces f: A F; f (a)= ( a,) está be defda, y es u homomorfsmo ya que ϕ y ψ lo so. Como P es u deal ϕ ψ real, esto es equvalete a A/P es u allo real, por la observacó 3.8., se sgue que F es real. A/P (9º) (5º) Sea f:a F, co F u campo real. Por el prmer teorema del homomorfsmo exste u homomorfsmo yectvo f :A/Ker(f ) F; f (a+ker(f ))=f(a) y Ker(f ) es prmo para cada a A. Etoces por la observacó 3.7, A/Ker(f ) es u allo real. Esto últmo sgfca que Ker(f ) es u deal prmo real. f A F S A es u allo y m es u deal maxmal de A, etoces m es u deal prmo de A; luego se tee la sguete ϕ f OBSERVACIÓN 3.0. S u allo A tee u deal maxmal real, etoces A tee u deal prmo real. A/Ker(f ) Se observa que, s A tee u deal prmo real, e geeral A o ecesaramete tee u deal maxmal real. Por ejemplo, tee u deal prmo real, el deal 0. Pero todos sus deales maxmales o so reales ), es u deal maxmal de que o es real ( / ={ 0, } o es real ). A cotuacó se da dos resultados que se desprede del teorema 3.9. COROLARIO 3.. Sea A u domo Prüfer co campo de cocetes F. Etoces las afrmacoes (º) a (9º) del teorema 3.9. so equvaletes a 0º A es u allo real. º F es u campo real. ) Los deales maxmales de so de la forma p co p prmo (p ).

22 (º) (º) La demostracó se sgue drectamete del corolaro.9. y de la observacó (º) (0º) Sea ϕ:a F; ϕ(a)= ( a,) el homomorfsmo atural yecto. Por la observacó 3.7., se sgue que A es u allo real. (0º) (º) Esta es la demostracó de la observacó 3... COROLARIO 3.. Sea A u domo regular co campo de cocetes F. Etoces las afrmacoes (º) a (9º) del teorema 3.9. so equvaletes a 0º A es u allo real. º F es u campo real (º) (º ) La demostracó se sgue drectamete del teorema.3. y de la observacó Las demostracoes de (º ) (0º ) y (0º ) (º) so smlares a las demostracoes de (º) (0º) y (0º) (º) del corolaro ateror. Se recuerda que s A es u allo e I u deal de A, el radcal de I escrto rad A (I ) es el cojuto rad A (I ):={a A exste (a) co a (a) I }. El cojuto rad A (I ) es u deal de A que cotee a I. De hecho el radcal de I es la terseccó de todos los deales prmos que cotee a I, esto es; OBSERVACIÓN 3.3. Sea A u allo e I u deal de A. Etoces el radcal de I, escrto rad A (I ) es la terseccó de todos los deales prmos de A que cotee a I. Sea a rad A (I ) y P u deal prmo de A que cotee a I. Etoces exste (a) tal que a (a) I P. Como P es u deal prmo y a P; se tee que rad A (I ) P, dode I P. Ahora, sea b P (co I P) y supógase que b rad A (I ). Sea S={b m m {0}}. Claramete S es u cojuto multplcatvamete cerrado e A e I S=. Por la proposcó.8., exste u deal prmo P de A tal que I P y P S=. Etoces b P S= pero esto o es posble. Luego, P rad A (I ) dode I P. E el caso partcular e que I es el deal cero de A, se tee que rad A (0)={a A exste (a) co a (a) =0}. rad A (0) se deoma lradcal de A, (escrto l(a)). El cojuto l(a) es u deal de A y es la terseccó de todos los deales prmos de A. Cuado l(a)=0 se dce que A es u allo reducdo. Sea A u allo y cosdérese el cojuto de todos los deales prmos de A que cotee a u deal I. Por el corolaro.7., se sgue que P. Ordeado

23 3 parcalmete a P por la clusó versa [es decr, s P, P P, etoces P P s y sólo s P P ] y utlzado lema de Zor, se tee u elemeto maxmal de (P, ) que es justamete u elemeto mmal de (P, ). Tal elemeto se deoma deal prmo mmal de I. Los deales prmos mmales del deal cero so llamados deales prmos mmales de A. PROPOSICIÓN 3.4. Sea A u allo e I u deal de A. Etoces exste al meos u deal prmo mmal de I. Sea A u subcojuto o vacío totalmete ordeado de P co respecto al ateror orde parcal. Sea A:= P A P, A es u deal propo de A ya que A ; se tee que probar que A es u deal prmo de A. E efecto, sea a A y b A tal que ab A; por demostrar que b A. Sea P, P A co a P. Como A está totalmete ordeado, se tee que P P o P P. S P P, se sgue que ab P y a P lo que sgfca que b P P. S P P, etoces a P y ab P, así b P. E ambos casos, como P es u elemeto arbtraro de A, se sgue que b A. Por lo tato A es u deal prmo de A; luego A P y es ua cota superor de A e (P, ). Por el lema de Zor, el cojuto (P, ) tee al meos u elemeto maxmal y el cojuto (P, ) tee al meos u elemeto mmal. Por lo tato, exste al meos u deal prmo mmal de I. De este resultado se obtee que s I y P co P I so deales de u allo A co P deal prmo, etoces exste u deal prmo mmal P de I tal que I P P. OBSERVACIÓN 3.5. Sea A u allo e I u deal de A, etoces rad A (I ) es la terseccó de todos los deales prmos mmales de I. Por 3.3., bastará probar que P= P dode (I )={P P I deal prmo de A} y P (I ) P M(I ) M(I ) = {P P deal prmo mmal de I }. Como M(I ) (I ), se sgue que P P. P (I ) P M(I ) Recíprocamete, sea x P tal que x P, P deal prmo de A que cotee a I. Etoces por P M(I ) 3.4., exste u deal prmo mmal P de I co I P P, luego x P pero esto últmo es ua cotradccó.

24 4 OBSERVACIÓN 3.6. Sea I y P co P I deales de u allo A dode P es u deal prmo. S P es u deal prmo mmal de I co P P y P es semreal, etoces P es semreal. Como P P, exste u homomorfsmo ϕ:a/p A/P; ϕ(a+p )=a+p. El resultado se sgue de la observacó.8.. LEMA 3.7. U allo A es real s y sólo s l(a)=0 y todo deal prmo mmal de A es real. ( ) Supógase que l(a) 0, etoces exste al meos u elemeto a A\{0} co a (a) =0. Como A es real, se tee que a=0; pero esto o puede ser posble. Por lo tato l(a)=0. Sea P u deal prmo mmal de A y A P la localzacó de A e P. Cosdérese el homomorfsmo atural ϕ:a A P ; ϕ(a)= ( a,). S A es u allo real, se sgue que A P es u allo real (ver la observacó 3.8.). Como PA P es el úco deal maxmal de A P, co la clusó versa, se tee que PA P es el úco deal prmo mmal de A P, esto es, l(a P )= P=PA P co P deal prmo de A. Dado que l(a P )=0 se sgue que PA P =0 y A P /PA P =A P. Dado que A P /PA P qf(a/p), se sgue que qf(a/p) A P. Así qf(a/p) es u campo real y A/P es u allo real. Por lo tato P es u deal prmo real. ( ) Sea P u deal prmo mmal de A y a A,,, tal que a P. Ya que P es real, se sgue que a P para cada {,,, a =0, etoces }, etoces a P co P deal prmo mmal de A. Como l(a)=0 y l(a)= P=0, P deal prmo mmal de A (ver observacó 3.5.), se sgue que a =0 para toda {,,, }. Por lo tato A es u allo real. El producto drecto de allos I A co las operacoes de suma y multplcacó por compoetes es u allo; y s los A so allos reales, etoces el producto drecto I A es u allo real. S embargo, e geeral el producto drecto de campos I F o es u campo (exste elemetos o cero que o so udades e I F ). Sea A u allo real y (P ) I la famla de deales prmos mmales de A. S (F ) I co F =qf (A/P ) es ua famla de campos, etoces se tee TEOREMA 3.8. U allo A es real s y sólo s A puede ser ecajado e u producto drecto de campos reales. ( ) Por el lema 3.7., los deales prmos mmales P de A para cada I so deales

25 5 reales y los campos de cocetes F =qf(a/p ) para toda I so reales. Sea ϕ: A I F ; a ( ( a,) ) I el homomorfsmo obvo. Es claro que Ker(ϕ)= I P, P deal prmo mmal de A, como A es u allo real, l(a)=0 y Ker(ϕ)=0. Luego ϕ es yectvo y ecaja el allo A e el producto drecto I F de campos reales. ( ) Como cada F, I es u campo real, se tee que I F es u allo real; por la observacó 3.7., se sgue que A es real. S u allo A es real, etoces A es u allo semreal. Parecera que el lema 3.7. es valdo s e vez de la palabra real se escrbera la palabra semreal. Pero se puede ver que la afrmacó: U allo A es semreal s y sólo s l(a)=0 y todo deal prmo mmal es semreal es falsa e geeral. Por ejemplo el allo [x] /<x > es semreal (ver ejemplo.3.) pero l( [x] /<x >) 0. S embargo se puede eucar u resultado acerca de allos semreales e deales prmos mmales semreales. PROPOSICIÓN 3.9. U allo A es semreal s y sólo s uo de sus deales prmos mmales es semreal. S A es u allo semreal esto será equvalete a: A tee u deal prmo P semreal (ver teorema 3.9.). Por la proposcó 3.4., P tee u deal prmo mmal P 0, y por la observacó 3.6., se sgue que P 0 es u deal semreal. Sea (A, m) u allo local y F=A/m su campo resdual. E geeral F o es u campo real. Aquellos allos locales (A, m) cuyo campo resdual es u campo real será de mportaca aquí, es decr, DEFINICIÓN Se dce que u allo local (A, m) es u allo local real s el deal maxmal m es real o equvaletemete s el campo resdual es real. S u allo local (A, m) es semreal o real, etoces o ecesaramete es u allo local real. Por ejemplo, la localzacó < p > ={ ( m, ) m, \< p> y (p, )=} (ver ejemplo 3.9.) es u allo real y por cosguete semreal, pero < p > o es u allo local real ya que el deal < p > o es real para todo etero prmo p. També, o todo allo local real (A, m) es u allo real. U ejemplo de esto es la localzacó A <x,,x > que es u allo local real ya que el deal maxmal < x,, x > es real; dode A= [x,, x ]/<x + +x >, Este allo A <x,,x > o es real ya que s x + + x = 0 se tedrá que x 0 para toda {,, }.

26 6 OBSERVACIÓN 3.3. S (A, m) es u allo local real, etoces (A, m) es u allo semreal. Sea ϕ:a A/m el homomorfsmo atural co m el deal maxmal de (A, m). Como A/m es u campo real, se sgue que també es semreal. Luego (A, m) es u allo semreal. S (A, m) es u allo local real, bajo qué codcoes (A, m) es u allo real? Esto lo cotesta las sguetes OBSERVACIÓN 3.3. S (A, m) es u allo de valoracó local real co campo de cocetes F, etoces (A, m) es real. Como (A, m) es u allo local real, se sgue que (A, m) es semreal y como es de valoracó, se tee de.8., que F es real (A semreal F real). Sea ϕ:a F el homomorfsmo yectvo. Por 3.7., se sgue que (A, m) es real. OBSERVACIÓN S (A, m) es u allo local regular que es local real co campo de cocetes F, etoces (A, m) es real. De.3., se tee que s(a/m) s(f). Como (A, m) es u allo local real, se sgue que A/m es semreal y F es semreal; así, F es u campo real. Sea ϕ:a F el homomorfsmo yectvo. Por 3.7., se sgue que (A, m) es real. OBSERVACIÓN S (A, m) es u allo Prüfer local real co campo de cocetes F, etoces (A, m) es real. Que (A, m) sea u allo local real, sgfca que (A, m) es semreal. Por el teorema.3., se sgue que (A, m) es real. Para termar esta prmera parte, se tee el sguete LEMA Sea (A, m) u allo de valoracó local real co campo de cocetes F y a,, a F. S a (A, m), etoces a (A, m) para cada {,, }. Del lema.7., se puede supoer s perdda de geeraldad que a /a A para cada {,,, }, etoces ( a /a ) A. Por otro lado, como a A, se sgue que

27 7 a ( a /a ) A. Como A es u allo real (ver proposcó 3.3.), se tee que ( a /a ) 0 pues s ( a /a ) =0, se tedría que + ser posble. Se afrma que ( a /a ) es ua udad e A. E efecto, s ( a /a ) =0 y =0 lo cual o puede ( a /a ) o fuera ua udad e A, se tedría que ( a /a ) m, es decr, +(a /a ) + +(a /a ) m pero esto sgfca que -=(a /a ) + +(a /a ) lo cual o es posble ya que F es u campo real; así, ( a /a ) es ua udad e A. Sea a =[a ( a /a ) ][( ( a /a ) ) - ] A, etoces a A. S a A perfecto, s o, a - A y a a - =a A. Ahora, supógase que a /a A para toda {,,, }. Reptedo la demostracó, se obtee que a A. Sguedo co este proceso, es decr, tomado a /a j A para j {,,, }, se tee que a A para toda {,,, }. REFERENCIAS. [] Atyah, M. D., Macdoald, I. G.: Itroduccó al Álgebra Comutatva. Edtoral Reverté, 989. [] Bochak, K. J., Coste, M. y Roy, M-F.: Géométre Algébrque Réelle. Sprger-Verlag, 987. [3] Cassels, J. W. S., Ellso, W. J. y Pfster, A.: O Sums of Squares ad Ellptc Curves over Fucto Felds. Joural of Number Theory 3, 5-49, 97. [4] Kuz, E.: Itroducto to Commutatve Algebra ad Algebrac Geometry. Brkhauser, 985. [5] Lam, T. Y.: A Itroducto to Algebra Real. Rocky Mouta Joural of Mathematcs Vol 4, Num 4, 984. [6] Prestel, A.: Lectures o Formally Real Felds. IMPA. Lecture Notes, No, Ro de Jaero, 975. [7] Prestel, A y Delzell, C.: Postve Polyomals. From Hlbert s 7ht Problems to Real Algebra. Sprger Moographs Mathematcs, 00.