ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS EN EL ESPACIO DE ESTADO

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1 U N E X P O UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA ANTONIO JOSE DE SUCRE VICE RECTORADO BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS EN EL ESPACIO DE ESTADO Fracsco De La Cruz CAPITULO ANALISIS MATRICIAL EL333 - SISTEMAS DE CONTROL II - Seccó "U" Eulogo T. Pérez Ramos Marzo - Julo 98

2 CAPITULO : Aálss Matrcal. Itroduccó Cuado se estudó la descomposcó de fucoes de trasfereca, se observó que segú el procedmeto utlzado se obteía dferetes formas de represetacó, alguas más smples que otras. Etre las formas de represetacó más secllas y más fácles de aalzar está la forma ormal y la forma de Jordá. E este capítulo se estuda rá los procedmetos que este para ecotrar estas represetacoes a partr de las ecuacoes matrcales FE s teer que recurrr a la descomposcó de ua fucó de trasfereca. Se asume que el lector posee coocmetos de álgebra matrcal y sólo se presetará u repaso de los putos más esecales para el estudo de sstemas leales. Para u estudo mas profudo de estos tópcos se recomeda la cosulta de tetos mas específcos. El capítulo está estructurado de la sguete maera: e la seccó. se preseta ua sere de coceptos ecesaros para la compresó del materal cotedo e las seccoes sguetes. La seccó. cotempla los aspectos fudametales de las trasformacoes leales de vectores. E la seccó.5 se estuda los coceptos de ecuacó característca, valores y vectores propos de suma mportaca e las trasformacoes que se estuda e las seccoes sguetes. E la seccó.4 se aalza el caso de matrces co valores propos dferetes para su trasformacó e matrces dagoales. E la seccó.5 se trata las matrces co valores propos repetdos y su posteror trasformacó a matrces o formas caócas de Jordá. Ua maera de hallar la solucó de la ecuacó de estado se preseta e la seccó.6 utlzado ua terpretacó geométrca e base a los vectores propos de ua matrz co autovalores dferetes. Los objetvos que debe alcazarse al falzar el estudo de este capítulo so los sguetes:. Dada ua matrz real, determar tato su ecuacó característca como sus valores propos.. Determar los vectores propos, la matrz modal y la matrz dagoal asocados a ua matrz real co autovalores dferetes. 3. Determar los vectores propos geeralzados, la matrz de trasformacó y la forma de Jordá asocados a ua matrz real co autovalores repetdos. 4. Trasformar la represetacó matrcal estádar de u sstema a su correspodete represetacó e la forma ormal o e la forma de Jordá. 5. Hallar la epresó e el tempo del vector de estado de u sstema autóomo co autovalores dferetes a través de la terpretacó modal. Las dferecas para este capítulo so [], [], [4], [5], [6], [7], [8], [], [], [], [5], [6], [8]... Vectores y Espaco Leal Vectoral E esta seccó se preseta defcoes esecales para compreder los tópcos y procedmetos que se estudará e las seccoes sguetes. E la mayoría de los casos las Versó. - Abrl 98

3 CAPITULO : Aálss Matrcal 3 defcoes so poco rgurosas ya que está drgdas más haca el estudo de sstemas de cotrol que haca el estudo de álgebra leal. Defcó - U cojuto de elemetos escalares a, b, c,..., forma u campo F s para cualesquera dos elemetos de F, a y b, se cumple que a+b, a-b y a/b (b ) so també elemetos de F. Los campos utlzados e este lbro so el campo de los úmeros reales, R, y, e pocos casos, el campo de los úmeros complejos, C. Defcó - Se llama vector -dmesoal o de orde sobre u campo F a u cojuto de elemetos de F. Se deota como M Los elemetos se deoma compoetes del vector. Defcó -3 U espaco vectoral V sobre u campo F se defe como el cojuto de vectores e F que satsface las sguetes codcoes:. Para cada par de vectores y z, la suma + perteece a V. Además la suma de vectores es comutatva y asocatva.. Este e V u vector cero tal que +, dode es u vector e V. 3. A cada vector e V correspode u vector - tal que + (-). 4. Para cada e V y cada escalar c e F el producto c perteece a V. La multplcacó de u escalar por u vector es asocatva y dstrbucó co respecto a la suma. Defcó -4 Los vectores,,..., defdos sobre V so lealmete depedetes s c + c c (-) mplca que c c... c Versó. - Abrl 98

4 CAPITULO : Aálss Matrcal 4 E caso cotraro, es decr, s este costates c, c,..., c o todas cero para las cuales se satsface la ecuacó (-), los vectores se dce lealmete depedetes. Ejemplo - Cosdérese los vectores Aplcado la ecuacó (-) se tee ; C C + Esto sólo se cumple para C C por lo tato y so lealmete depedetes. Ejemplo - El cojuto de vectores,, 3 co, y 3 dferetes de cero es u cojuto lealmete depedete ya que ó c + c + c3 3 c + c + c3 3 se satsface para c c 3 y c de aquí que todo cojuto de vectores que cluya u vector se cosdera lealmete depedete. Defcó -5 U cojuto de vectores,,..., e V se deoma base del espaco vectoral V s esos vectores so lealmete depedetes, de maera que cualquer vector e V puede ser epresado como ua combacó úca de los vectores. α (-) El cojuto { α, α, L, α } se deoma represetacó de co respecto a la base,, L,. { } Defcó -6 El úmero de vectores de ua base e u espaco V se deoma dmesó de V. S el úmero es etoces V es u espaco -dmesoal. Versó. - Abrl 98

5 CAPITULO : Aálss Matrcal 5 Ejemplo -3 El cojuto de vectores lealmete depedetes ; ; 3 costtuye ua base de u espaco trdmesoal ya que cualquer vector arbtraro puede ser epresado como y y y ; co y costates y3 y y + y + y 3 3 Cualquer cojuto de vectores lealmete depedete costtuye ua base de u espaco -dmesoal. Estrá, así, dferetes represetacoes de u msmo vector depededo de la base escogda, y estrá ua relacó etre dos represetacoes dferetes de u vector. Esa relacó se puede epresar medate el sguete teorema. Teorema - Sea Z y w las represetacoes de u vector de orde co respecto a las bases Z {z, z,..., z }, y W {w, w,.., w }. La relacó etre ambas represetacoes vee dada como X Z X W X X Z W X z ó (-3) z w w X z P X w dode la matrz P Z W es o sgular. Demostracó: La represetacó del vector co respecto a la base Z es [ L ] a z a z + a z + L+ a z z z z a a Z M a z Versó. - Abrl 98

6 CAPITULO : Aálss Matrcal 6 y co respecto a la base W es [ L ] b w b w + b w + L+ b w w w w Por tratarse del msmo vector b b W M b w ó Z z W w z Z - W w Ejemplo -4 Cosdere la base Z {z, z } dode Z La represetacó de u vector co respecto a esta base es z [ ] represetacó de co respecto a la base W { w w } 3 La represetacó buscada será w W Z z 3 w Τ. Hallar la Defcó -7 La orma de u vector se deota como y está defda como la raíz cuadrada o egatva del producto escalar T, es decr T + + L + (-4) Versó. - Abrl 98

7 CAPITULO : Aálss Matrcal 7 dode las so los compoetes de. Para u vector real e u espaco de ó 3 dmesoes R o R 3, represeta la logtud del vector. U vector u cuya orma es se deoma vector utaro o ormalzado. Se puede obteer u vector utaro de todo vector smplemete dvdedo sus compoetes por su orma, es decr u (-5) Ejemplo -5 Calculado Normalzar el [ ] Τ y usado la ecuacó (-5) ( ) ( ) ( ) + + u Obsérvese que Τ u u. u Defcó -8: S el producto tero de dos vectores y z es gual a cero ( T z ) etoces se dce que los vectores so ortogoales etre sí. Ejemplo -6 Los vectores ; ; 3 forma u cojuto de vectores ortogoales ya que Versó. - Abrl 98

8 CAPITULO : Aálss Matrcal 8 ( Τ. ) ( Τ. ) ( Τ. ) 3 3 Ejemplo -7 E u espaco -dmesoal V, el cojuto de vectores utaros ; ; L; M M M costtuye u cojuto de vectores ortogoales (por ser utaros y ortogoales a la vez se les llama ortoormales) y forma la base fudametal del espaco -dmesoal V. A meos que se dque lo cotraro, cualquer vector especfcado de ahora e adelate estará defdo co respecto a esta base. Defcó -9 Sea el cojuto de vectores U {u, u,..., u } ua base del espaco vectoral V. La base recíproca de U es el cojuto de vectores R {r, r,..., r } tal que r r Τ Τ u j u j s j s j, j,,... ó utlzado el térmo δ j llamado delta de Kroecker δ j s j s j (-6) etoces ( ) Τ r. u δ, j,, L, (-7) j j Los vectores r, r,..., r costtuye u cojuto lealmete depedetes y por lo tato so otra base de V. S se defe U como la matrz cuyas columas so los vectores u y R como la matrz cuyas columas so los vectores T T r, etoces U ( R ) R. Ejemplo -8 Calcular los vectores recíprocos de Versó. - Abrl 98

9 CAPITULO : Aálss Matrcal 9 u u ; 3 Agrupado estos vectores detro de ua matrz U se tee U 3 su versa será U R T 3 Los vectores recíprocos buscados so las flas traspuestas R r 3 r ; Al ser u y u lealmete depedete costtuya ua base del espaco R, lo msmo sucede co r y r. Grafcado estos vectores e u plao se observa que u es perpedcular a r, Τ ya que r u r r Τ. u. Véase la Fgura -. y u es perpedcular a ( ) [, ] u r u [, ] r Fgura - Represetacó de los vectores u y u y sus correspodetes vectores recíprocos del Ejemplo -8 Los vectores recíprocos se puede utlzar para hallar la epresó de u vector co respecto a ua base dada. Supógase que se tee ua base,,..., del espaco V, por tato es posble epresar cualquer vector e V como Versó. - Abrl 98

10 CAPITULO : Aálss Matrcal α α + α + L + α (-8) Multplcado ambos térmos de esta ecuacó por el vector recíproco r Τ se obtee ( ) ( ) L ( ) Τ Τ Τ Τ r. α r + α r + + α r r ( ) α + + L+ α Τ Multplcado la ecuacó sucesvamete por r Τ, L, r Τ se obtee que e geeral α r Τ Luego la ecuacó -8 puede ser escrta como Τ ( ) r (-9) Ejemplo -9 Epresar el vector [- ] T e fucó de la base U dada e el Ejemplo -8. Desarrollado la ecuacó (-9) se tee Τ Τ r u + r u [ 3 ] u + [ ] u 7u + 3u.. Trasformacoes Leales Detro de las fucoes vectorales, es decr, aquellas fucoes dode tato la varable depedete como la depedete so vectores, este ua clase deomada trasformacó leal que es de gra utldad detro del aálss de sstemas de cotrol e el espaco de estado. E alguos tetos estas fucoes o trasformacoes se deoma geeradores leales. Sea V y W dos espacos vectorales y sea L ua fucó que a cada vector de V le asge u vector úco e W, etoces, se dce que L mapea o aplca V e W y se deota L: V W. Defcó - Ua fucó L: V W se dce que es ua trasformacó leal s para cualesquera vectores v y v e V y para todo escalar k se cumple que s Versó. - Abrl 98

11 CAPITULO : Aálss Matrcal etoces La ecuacó matrcal ( ) L v w ( ) ( ) ( ) L k v + k v k L v + k L v k w + k w A y (-) dode A es ua matrz (m), es u vector (m) y y es u vector (), es ua trasformacó leal: la matrz A trasforma el vector de u espaco m-dmesoal e u vector y de u espaco -dmesoal. Las trasformacoes leales o se reduce a este caso, llamado trasformacó matrcal, pero es el de mayor utlzacó e el aálss de sstemas leales, de aquí que se estude detalladamete a cotuacó. La ecuacó (-) o sempre tee solucó. Para coocer s este vectores solucó de esa ecuacó y determar cuatas solucoes lealmete depedetes se puede ecotrar es ecesaro troducr los coceptos presetados segudamete. Defcó - Cosdere la trasformacó de la ecuacó (-). Se deoma mage (o recorrdo) de A el cojuto de todos los vectores y de u espaco -dmesoal W para los cuales este al meos u vector e u espaco m-dmesoal V que satsface la ecuacó (-). Ejemplo - Sea la matrz A 4 U vector T y [ ] T [ ]. El vector y [ ] tal que y A este u vector tal que y A. ó perteece a la mage de A puesto que este u vector T o perteece a la mage de A ya que o La ecuacó (-) puede ser escrta e forma detallada como y a a L a y a a L a M M M y a a L a m m m m Versó. - Abrl 98

12 CAPITULO : Aálss Matrcal a a y M a + a a M a + L+ Es posble decr co base e esta últma ecuacó que la mage (o recorrdo) de A es el cojuto de todas las posbles combacoes leales de las columas de la matrz A. La mage de A costtuye u espaco vectoral detro de W (subespaco de W), por lo tato su dmesó es gual al mámo úmero de vectores lealmete depedetes e dcho subespaco. a a M a m m m Defcó - El rago r de ua matrz A es el mámo úmero de columas lealmete depedete e A, es decr, la dmesó de la mage (recorrdo) de A (dm R ( A)). Otra maera de defr el rago de A señala que r es el orde de la mayor submatrz de A cuyo determate es dferete de cero. Ejemplo - Determar el rago de las matrces A 3 B La mayor submatrz de A co determate o ulo es de orde ( ), por ejemplo. A lo que dca que el rago de A es r. Ya que B tee determate dferete de cero, la mayor submatrz de B que especfca su rago es ella msma, por lo tato el rago de B es r. Aalzado de otra maera: A tee columas lealmete depedetes, la tercera es combacó de las prmeras, metras que las columas de B so lealmete depedetes, esto coduce al msmo resultado r para ambas matrces. Se puede demostrar ([ 4 ], Pág. 83) que el mámo úmero de columas lealmete depedetes de ua matrz es gual al mámo úmero de flas lealmete depedetes. Luego, el rago de ua matrz puede ser calculado observado el úmero de relacoes leales de flas o columas etre sí. El cocepto de rago permte determar la esteca de solucoes de la ecuacó (-) por medo del teorema sguete. Versó. - Abrl 98

13 CAPITULO : Aálss Matrcal 3 Teorema - Cosdere la ecuacó (-). Dada la matrz A y cualquer vector y este u vector solucó de la ecuacó (-) s y sólo s el rago de A es gual a (al úmero de flas de A). Para la demostracó de este teorema reférase a [7], Pág. 3. Este u caso partcular de la ecuacó A y que merece ser estudado detalladamete: es el caso A que puede ser eteddo como ua trasformacó L: V W tal que a cada vector e el espaco m-dmesoal V, la trasformacó L le asga el vector e el espaco - dmesoal W. Defcó -5 Se deoma úcleo de A al cojuto de todos los vectores del espaco -dmesoal V para los cuales A. El úcleo de A es u subespaco de V, su dmesó se deoma uldad q dm ℵ( A). de A y se deota por la letra q ( ) Así pues, el úmero de vectores lealmete depedetes solucó de la ecuacó A está determado por la uldad q de la matrz A. S q etoces sólo estrá la solucó trval. Este ua relacó etre el rago y la uldad de toda matrz A la cual puede ser epresada por el sguete teorema. Teorema -3 (Teorema de la Dmesó) S A es ua matrz de orde (m) o () etoces ó Rago(A ) + Nuldad(A ) r + q Véase refereca [8] pág. 3 para la demostracó de este teorema. Ejemplo - Determar la uldad de la matrz 3 A La matrz A tee 3 columas (y flas) lealmete depedete, por ello, r3. Ya que 4 etoces Versó. - Abrl 98

14 CAPITULO : Aálss Matrcal 4 q - r 4-3 Este resultado dca que para la ecuacó A, usado la matrz A dada, sólo estrá u vector solucó de dcha ecuacó. La matrz A de las ecuacoes A y ó A se modfca cuado se camba la base del espaco vectoral utlzado. Cosdérese que los vectores y y de la ecuacó (-) está defdos co respecto a la base fudametal dcada e el Ejemplo -7. S se camba la base del espaco vectoral a u cojuto W ( w, w,...,w ). Por el Teorema - este ua matrz de trasformacó P o sgular tal que P w y P y w Susttuyedo estas epresoes e la ecuacó y A se tee ó P y w A P w falmete se puede escrbr y w P - A P w dode y w B w B P - A P La matrz B es la represetacó de A co respecto a la ueva base W. La ecuacó ateror se deoma Trasformacó de Semejaza y las matrces A y B se deoma semejates. Ejemplo -3 Hallar la matrz semejate de A epresada e fucó de la base W dode A W Usado el Teorema - P Z - W Supoedo que Z es la base fudametal, es decr Z I Versó. - Abrl 98

15 CAPITULO : Aálss Matrcal 5 P Ι W Luego B P AP es la matrz semejate buscada.3 Valores y Vectores Propos El estudo de los llamados valores y vectores propos es de suma mportaca cuado se aalza o dseña sstemas de cotrol e el espaco de estado. La faldad de dcho estudo es ecotrar ua ueva represetacó de A (matrz de plata) co respecto a ua ueva base costtuda precsamete por los vectores propos. Esa ueva represetacó es muy smple y fácl de aalzar y cotee la msma formacó cualtatva de la matrz A acerca del sstema. Utlzado las defcoes y teoremas presetados e las seccoes aterores se estudará ua trasformacó leal epresada como y A. Se requere ecotrar u vector tal que y sea proporcoal a, es decr, y dode es u escalar. Defcó -4 Sea A ua matrz real (). U valor de para el cual la ecuacó A (-) tee ua solucó o trval ( ), se deoma valor propo de la matrz A. E alguos tetos, e lugar del vocablo valores propos, utlza los térmos valores característcos, raíces latetes, egevalores o autovalores. La ecuacó (-) puede ser escrta como ( I ) A (-) Para que esta ecuacó tega ua solucó o trval se debe cumplr que el determate de la matrz (I - A), llamada Matrz Característca de A, sea gual a cero (véase Defcó -3), es decr I A (-3) El desarrollo de este determate es u polomo de orde e, llamado Polomo Característco de la matrz A y deotado como P(). La ecuacó (-3) o P() es llamada Ecuacó Característca de A. La forma geeral de esta ecuacó es Versó. - Abrl 98

16 CAPITULO : Aálss Matrcal 6 P( ) + a + L + a + a (-4) Las raíces de la ecuacó característca de A so precsamete los valores propos de A. Ya que A es ua matrz de elemetos reales, P() tedrá coefcetes a reales pero sus valores propos puede ser reales o complejos cojugados, dferetes o repetdos. Cuado u valor propo se repte m veces se dce que es de multplcdad m. Ejemplo -4 Ecuetre los autovalores de la matrz La matrz característca de A es ( I A) A + 3 I A + Los autovalores de A so, - y 3 P( ) ( )( + )( ) Ua propedad muy mportate de los valores propos de la ecuacó característcas radca e ser varates bajo trasformacoes de semejaza, esto sgfca que dos matrces semejates tee la msma ecuacó característca y, por supuesto, los msmos autovalores. Para demostrarlo, supógase dos matrces semejates A y B tal que B P - A P dode P es la matrz de trasformacó. La matrz característca de B es (I-B), pero El polomo característco de B será ( I B) ( I Ρ ΑΡ) ( Ρ I Ρ Ρ ΑΡ) ( ) Ρ Ι Α Ρ I B Ρ I A Ρ pero Versó. - Abrl 98

17 CAPITULO : Aálss Matrcal 7 Ρ Ρ I Luego I B I A Esta ecuacó dca la gualdad de los polomos característcos de A y B, y e cosecueca la de sus ecuacoes característcas y sus autovalores. Ya que etre todas las posbles represetacoes de u sstema sempre este relacoes de semejaza, las ecuacoes característcas y los autovalores de las matrces de plata de cada represetacó será sempre las msmas. Por esta razó, los dseños de sstemas de cotrol se realza e base a los autovalores o las ecuacoes característcas deseadas de ua forma de represetacó smple y luego se regresa, usado la trasformacó matrcal correspodete, a la represetacó matrcal orgal. Defcó -5 U vector, solucó de la ecuacó se deoma vector propo de A asocado al autovalor A (-5) Los térmos autovector, egevector y vector característco se utlza como sómo de vector propo. La ecuacó (-5) puede ser escrta como ( I ) A (-6) la cual represeta u cojuto de ecuacoes escalares. La solucó de ese sstema de ecuacoes homogéeas para cada correspode a la represetacó del vector propo. Podría supoerse que asocado a cada autovalor debe estr u vector propo pero esto o es ecesaramete váldo cuado este autovalores repetdos. Por esta razó, se acostumbra estudar calmete el caso de matrces co autovalores dferetes y luego el caso de matrces co autovalores repetdos..4. Matrces co Valores Propos dferetes. Dagoalzacó. Cosdérese ua matrz A de orde () co autovalores dferetes,,...,. La matrz característca (I - A) evaluada para cada autovalor es de rago - (debdo a la ecuacó (-3), I A ). Etoces el úmero de solucoes de la ecuacó ( I ) A (-7) es, segú el Teorema -3, gual a (q - r -(-)) lo cual dca que este u vector propo solucó de la ecuacó (-7) asocado a cada autovalor. Versó. - Abrl 98

18 CAPITULO : Aálss Matrcal 8 Teorema -4 S los autovalores de ua matrz A () so dferetes etoces los vectores propos correspodetes so lealmete depedetes y costtuye ua base. Demostracó: Por cotradccó. Supógase que los vectores propos so depedetes de tal maera que los vectores,,..., k sea depedetes y los vectores k+,..., sea depedetes de los prmeros. Etoces por la ecuacó (-) u vector propo s puede ser epresado como α ; s k +, L, s k dode o todos los α so guales a cero. Por otro lado y usado la ecuacó (-5) Luego A s s s k k s A α α k α A k α k ( ) α k α k s s α s Debdo a que o todos los α so guales a cero y ( - s ) por ser autovalores dferetes etoces el cojuto de vectores propos, es decr,,,..., k es depedete lo cual cotradce la suposcó y por lo tato el cojuto de vectores propos es lealmete depedete y costtuye ua base. Ejemplo -5 Determe los vectores propos de la matrz La ecuacó característca de A es 3 A Versó. - Abrl 98

19 CAPITULO : Aálss Matrcal ( Ι A) Luego ( ) ( )( ) Ρ Ι Α + + Los autovalores de A so -, - y 3 Los vectores propos se determa usado la ecuacó (-7) ( ) Ι Α de dode se obtee el sguete cojuto de ecuacoes 3 + ;, ; 3 3 Estas ecuacoes tee 3 cógtas, por ello se debe escoger arbtraramete ua de las cógtas, sempre y cuado. Tomado 3 se tee ( ) Ι Α, de dode + ; 3 3 ;, Escogedo 3 Versó. - Abrl 98

20 CAPITULO : Aálss Matrcal ( ) Ι Α de dode 3, ; 3 3 La cógta 3 o aparece e las ecuacoes y se escoge també arbtraramete pero dferete de cero, por coveeca 3. Luego 3 3 S es solucó de la ecuacó (-7) etoces K, dode K es u escalar, també será solucó de dcha ecuacó; s embargo, se escoge ua solucó ya que sólo este u vector propo para cada. E alguos casos, se acostumbra ormalzar los vectores propos (véase Defcó -7) para evtar cofusoes. Es coveete escoger los vectores propos de maera que posea la mayor catdad posble de ceros y uos pero s dejar de ser lealmete depedetes, esto co la faldad de facltar cálculos posterores. Auque todo lo epresado hasta el mometo e esta seccó es váldo para toda matrz co autovalores dferetes vale la pea estudar el caso partcular de las matrces smétrcas puesto que será útl posterormete coocer alguas de sus propedades. Teorema -5 Los valores propos de ua matrz real smétrca so todos reales (Véase[3]). Teorema -6 Los vectores propos asocados a los valores propos dferetes de ua matrz real smétrca forma u cojuto ortogoal. Versó. - Abrl 98

21 CAPITULO : Aálss Matrcal Demostracó: S los vectores propos y de ua matrz real smétrca A so ortogoales se debe Τ cumplr que. S los autovalores correspodetes so y,, etoces A A S la prmera ecuacó se traspoe y posmultplca por y s la seguda se premultplca Τ por se obtee Τ Τ Τ Α Τ Τ Α pero A T A por ser ua matrz smétrca, por cosguete de dode Τ Τ Α Τ ( ) Τ ya que, esto mplca que Τ, es decr, y so ortogoales. Ejemplo -6 Cosdere la matrz real smétrca La matrz característca de A es ( Ι Α) Α co I - A ( - ). Se tee etoces y. Usado ( I ) A Versó. - Abrl 98

22 CAPITULO : Aálss Matrcal ó + Luego Para ( Ι Α) ó Luego Τ Τ Se verfca que Se ha mecoado que los vectores propos asocados a los autovalores dferetes de ua matrz A costtuye ua base. Ua matrz o sgular M, llamada Matrz Modal, formada por los vectores propos de A colocados como columas, permte obteer ua matrz semejate a la matrz A, o sea, la represetacó de A co respecto a esa ueva base. La ueva represetacó de A es ua matrz dagoal co los elemetos de su dagoal prcpal guales a los autovalores de A. El sguete teorema resume estos plateametos. Teorema -7 S ua matrz A de orde () posee autovalores dferetes,,...,, etoces, A puede ser dagoalzada, es decr, trasformada e ua matrz dagoal Λ por medo de la ecuacó Λ Μ ΑΜ O (-8) Versó. - Abrl 98

23 CAPITULO : Aálss Matrcal 3 dode M es la matrz modal formada por los vectores propos,,..., Demostracó: [ L ] M (-9) Sea,,..., los vectores propos asocados a los autovalores,,...,,de maera que se cumple A. Etoces A M A[ L ] A M [ A A L A ] [ L ] A M AM [ L ] O A M M Λ ó Λ M A M Ejemplo -7 Cosdere la matrz A del Ejemplo -5. Tomado los valores propos allí calculados se forma la matrz modal Μ [ ] 3 Luego Λ Μ ΑΜ Versó. - Abrl 98

24 CAPITULO : Aálss Matrcal 4 Cosderado el caso de u sstema forzado descrto por las ecuacoes matrcales FE & Α + Βu y C (-) dode es el vector de estado (); u es el vector de etradas (r); y el vector de saldas (m); A es ua matrz () co autovalores dferetes; B y C so matrces de orde (r) y () respectvamete. Es posble utlzar la matrz modal M asocada a la matrz A, para ua trasformacó leal de la forma M q (-) dode q es u uevo vector de estado. Aplcado esta trasformacó a las ecuacoes (-) se tee Premultplcado la prmera ecuacó por M - Falmete puede escrbrse Μ &q Α Μ q + Βu y CΜ q &q Μ Α Μ q + Μ Βu y CΜ q &q Λ q + Β u y C q (-) dode Λ M - A M, B M - B y C C M Las ecuacoes (-) se cooce como represetacó e la Forma Normal (FN) del sstema de ecuacó (-). Las uevas varables q, q,.., q, está desacopladas es decr, su ecuacó es de la forma &q q + b u dode se observa su depedeca co respecto al resto de las varables. Ejemplo -8 Obteer la represetacó e la Forma Normal (FN) del sstema descrto por las ecuacoes Versó. - Abrl 98

25 CAPITULO : Aálss Matrcal 5 & + u y [ ] Calculado los autovalores de A se obtee, y 3 3. La matrz modal correspodete es Μ ; Μ / / / / Luego Λ Μ Α Μ 3 b Μ b Τ Τ [ ] c c Μ / / La represetacó ormal será &q Λ q + b u Τ y c q S la represetacó dada e la ecuacó (-) correspode la FCC la matrz del sstema tedrá la estructura sguete Α c L L M M M L M L a a a3 L a dode los a so los coefcetes de la ecuacó característca ( ) Ρ + a + L + a + a Versó. - Abrl 98

26 CAPITULO : Aálss Matrcal 6 S las raíces de esta ecuacó so,,...,, todos dferetes y sedo a su vez los autovalores de A c, etoces los vectores propos asocados estará defdos por la ecuacó por cosguete de dode se obtee ( ) I A c L L M M M L M L a a a3 L + a 3 ( ) M ( ) a + a + L+ ( + a ) M Las prmeras (-) de estas ecuacoes so lealmete depedetes y tee cógtas. Asgado y susttuyedo este valor e las (-) ecuacoes se obtee M (-3) Para cada autovalor estrá u vector de la forma dcada y la matrz modal correspodete será L L Μ L M M L M L (-4) Versó. - Abrl 98

27 CAPITULO : Aálss Matrcal 7 Este tpo de matrz se cooce como Matrz de Vadermode y permte calcular rápdamete los vectores propos asocados a ua matrz A c co autovalores dferetes, como la dcada calmete. Ejemplo -9 Obteer la matrz modal correspodete a la matrz A c 6 5 La ecuacó característca de A c se deduce a partr de su últma fla 3 P( ) 5+ 6 P( ) ( ) ( + ) ( 3) Luego, - y 3 3, y por cosguete Μ Matrces co Valores Propos Repetdos. Forma Caóca de Jordá. E esta seccó se estudará el caso de ua matrz A de orde co autovalores repetdos o de multplcdad m. Asocado a cada autovalor dferete sempre estrá u vector propo asocado solucó de la ecuacó (-6). S embargo, para u autovalor de multplcdad m (repetdo m veces), la uldad q de la matrz característca ( I - A) puede ser gual o meor que m, esto dca que sólo es posble hallar u úmero q de vectores propos asocados a. E el caso q m se podrá hallar tatos vectores propos como veces aparezca repetdo el autovalor, pero s q < m sólo se hallará q vectores propos solucó de la ecuacó (-6). Ejemplo - Hallar los vectores propos correspodetes a la matrz Se forma la matrz característca A Versó. - Abrl 98

28 CAPITULO : Aálss Matrcal 8 ( Ι Α) Las raíces de la ecuacó característca I - A so, y 3, es decr de multplcdad m y 3 3. Luego ( Ι Α) es de rago r, su uldad será q - r que es gual a m, por lo tato estrá vectores propos asocados al autovalor solucó de la ecuacó ( Ι Α) de la cual se obtee dos solucoes depedetes ; Para 3 3 se tee 3 Ejemplo - Dada la sguete matrz, calcular sus vectores propos La matrz característca es 3 3 A Versó. - Abrl 98

29 CAPITULO : Aálss Matrcal 9 co I A ( ) ( Ι Α) +. Esta matrz posee u autovalor - de multplcdad m3. Además 3 ( Ι Α) es de rago r. Luego q - r, es decr, este sólo u vector propo asocado a -. La solucó de la ecuacó para - es ese vector propo ( I ) A E matrces smétrcas co autovalores repetdos m veces es posble hallar m vectores propos ya que e tales matrces se cumple que mq dode q es la uldad de la matrz característca evaluada para el autovalor repetdo. Los vectores propos se calcula utlzado la propedad de ortogoaldad de autovectores asocada a matrces smétrcas (Teorema -6) la cual sgue sedo válda e el caso de autovalores repetdos. Ejemplo - Hallar los vectores propos asocados a la matrz smétrca La matrz característca es ( Ι Α) de dode se obtee la ecuacó característca Α 3 3 Versó. - Abrl 98

30 CAPITULO : Aálss Matrcal 3 ( ) ( ) P( ) I A 3 cuyas raíces so 3 y 3. Para 3 de multplcdad m se puede hallar vectores propos solucó de la ecuacó Para 3 se tee ( I ) A 3 () o be 3 Asgado y (por coveeca) se tee U segudo vector solucó de () debe ser ortogoal a y satsfacer smultáeamete la ecuacó Τ 3 [ ] Ua escogeca posble que satsface ambas codcoes es Para 3 el vector propos asocado es 3 Versó. - Abrl 98

31 CAPITULO : Aálss Matrcal 3 Cuado se cosdera ua matrz A co autovalores repetdos y de gual maera que e el caso de autovalores dferetes, es ecesaro hallar ua ueva base para la trasformacó de A e ua matrz semejate más fácl de mapular y aalzar. La ueva matrz semejate a ua matrz A co autovalores repetdos se cooce como Forma Caóca de Jordá o Forma de Jordá (FJ) y se desga por la letra J. La forma de Jordá tee las sguetes característcas.. Los elemetos de la dagoal prcpal so los valores propos de A (o de J, por ser matrces semejates).. E la (super) dagoal que se ecuetra por ecma de la dagoal prcpal y asocada a autovalores repetdos puede estr uos o ceros ( ó ). 3. El resto de los elemetos so ceros Dos ejemplos de formas de Jordá so las sguetes J J E ambos ejemplos se observa bloques o submatrces (lmtados por líeas puteadas) e cuya dagoal prcpal este autovalores repetdos y sólo hay uos medatamete por ecma de ellos, a ecepcó de los bloques de orde. Estos bloques se deoma bloques de Jordá y su forma geeral es, para el k-ésmo bloque asocado al autovalor. J k L L M O O M M M M O L (-5) La forma de Jordá geeral, epresada e fucó de los bloques de Jordá es Versó. - Abrl 98

32 CAPITULO : Aálss Matrcal 3 J J ( ) J ( ) O (-6) Jk( ) Jkr ( ) El úmero de bloques asocado a u autovalor de multplcdad m es gual a la uldad q de la matrz ( I-A) y por lo tato, gual al úmero de vectores propos asocados a. De hecho, este u vector propo asocado a cada bloque de Jordá. Ahora be, es ecesaro dspoer de vectores lealmete depedetes para costrur ua ueva base y q puede ser gual o meor que m. S q < m, los vectores propos o so sufcetes para costrur esa base y se recurre a los vectores propos geeralzados. Teorema -8 Este u bloque de Jordá de orde k asocado a u valor propo s y sólo s los k vectores lealmete depedetes,,, k (vectores propos geeralzados) satsface las ecuacoes Demostracó ( Ι Α) ( Ι Α) ( Ι Α) k k M (-7) Cosdérese ua matrz A de orde (kk) co u autovalor de multplcdad m y supógase que la uldad de ( I-A) es gual a. La forma de Jordá J tedrá u úco bloque de orde k. J L L L M M M O L L Se requere hallar ua matrz de trasformacó T tal que se cumpla la relacó de semejaza T - A T J (-8) Versó. - Abrl 98

33 CAPITULO : Aálss Matrcal 33 ó base A T T J (-9) La matrz T estará costtuda por vectores lealmete depedetes que costtuye ua Τ [ L k ] (-3) Luego a partr de la ecuacó (-9) se obtee [ L ] [ L ] Α y por cosguete k Α Α + M Α k k + k a partr de estas ecuacoes se llega a las ecuacoes (-7) k L L L M M M O M L Es posble coocer de atemao el úmero de bloques de Jordá de ua matrz J, pero cuado se trabaja co matrces de orde elevado (>4) el orde de los bloques puede ser dfícl de determar. E tales casos se debe recurrr a u procedmeto de esayo y error basado e el Teorema de la Dmesó (Teorema -3): Se aplca este teorema a cada bloques y sólo se hallará solucó a las ecuacoes (-7) s el bloque del cual se partó es del orde correcto. Ejemplo -3 Determe la forma de Jordá correspodete a la matrz A del Ejemplo -. Como se calculó e el Ejemplo -, los autovalores de A so, y 3. Además la uldad de la matrz (I-A) evaluada para es q, lo cual dca que este bloques asocados a. Para 3 estrá, por supuesto, u bloque. Luego la matrz de Jordá correspodete es J 3 Versó. - Abrl 98

34 CAPITULO : Aálss Matrcal 34 Ejemplo -4 Determe los vectores propos geeralzados y la matrz J correspodete a la matrz A del Ejemplo -. Se tee - de multplcdad m 3. Por otro lado, q lo que se traduce e bloque de Jordá asocado a -. La forma de Jordá es J Obsérvese que J está costtuda por u úco bloque 33, por ello los vectores propos geeralzados correspode a la solucó de las 3 prmeras ecuacoes (-7). Así se tee ) ( I ) A La solucó de esta ecuacó es el vector propo calculado e el ejemplo (-) I A ) ( ) 3 3 ó 3 Luego I A 3 ) ( ) Versó. - Abrl 98

35 CAPITULO : Aálss Matrcal 35 ó Luego Ejemplo -5 Hallar las matrces J y T correspodetes a La matrz característca es Α 3 ( Ι Α) 3 La ecuacó característca será P() I-A (-) 4. Etoces este u autovalor de multplcdad m 4. Evaluado (I-A) para este autovalor se tee ( Ι Α) Esta matrz es de rago r y su uldad es q-r. La forma de Jordá debe coteer bloques. Esto coduce a las sguetes dos alteratvas Versó. - Abrl 98

36 CAPITULO : Aálss Matrcal 36 J ó J La forma correcta se determa por esayo y error. Para ello, se parte de cualquera de las alteratvas. Tomado J la cual tee bloques de orde, se debe aplcar las prmeras ecuacoes (-7) para cada bloque. Así, para el prmer bloque ) ( I ) A, de dode se tee La estructura geeral del prmer vector es y so arbtraros pero o puede ser ceros smultáeamete. I A ) ( ) Esto coduce a La formas geerales de y será etoces ; + Para el segudo bloque, los vectores 3 y 4 tedrá ua estructura smlar de y respectvamete, ya que las ecuacoes (-7) correspodetes so de uevo las prmeras, es decr. Versó. - Abrl 98

37 CAPITULO : Aálss Matrcal 37 ) ( I ) A 3 I A 3 ) ( ) por cosguete ; S embargo, o es posble asgar valores para teer 4 vectores lealmete depedetes. De aquí que la forma J o es la correcta y se debe aalzar J. Para el bloque (33) de J se utlza las 3 prmeras ecuacoes (-7) las prmeras proporcoa el resultado ya coocdo. ; + La tercera ecuacó es I A 3 ) ( ) de dode y además Asgado valores arbtraros, co la salvedad de obteer u cojuto de vectores lealmete depedete, se llega ; ; 3, 5 Versó. - Abrl 98

38 CAPITULO : Aálss Matrcal 38 Para el bloque de orde de J se tee Ua solucó de esta ecuacó es ( I ) A 4 4 Luego se agrupa los 4 vectores para formar y la forma de Jordá correcta es Τ, 5 J Cosdérese el caso de u sstema descrto por las ecuacoes matrcales FE & A + B u y C (-3) dode A es de orde () co autovalores repetdos. La matrz de trasformacó T puede ser utlzada para obteer u uevo vector de estado z usado la ecuacó T z (-3) Aplcado esta trasformacó a las ecuacoes FE dadas se tee - &z T A T z + T Bu y CT z Dado que T - A T J y hacedo B j T - B y C j C T se puede escrbr Versó. - Abrl 98

39 CAPITULO : Aálss Matrcal 39 &z J z + B u y C z j j (-33) Estas ecuacoes se cooce como represetacó e la forma de Jordá. Las uevas varables z está parcalmete desacopladas, esto sgfca que su ecuacó es de la forma lo cual faclta su aálss. &z z + z + b u + Ejemplo -6 Trasforme la sguete represetacó FE represetacó e la forma de Jordá de u sstema a su correspodete & + u 3 y [ ] Se puede comprobar que la forma de Jordá para matrz A es J y la matrz de trasformacó es T luego, la represetacó buscada será &z z + u y z [ ] Versó. - Abrl 98

40 CAPITULO : Aálss Matrcal 4 dode Cuado la matrz A de la ecuacó (-3) correspode a varables de fase, se tee A A c Α c L L M M M L M a a a3 L a (-34) S A c tee u autovalor de multplcdad m y el resto de sus autovalores, 3,, k so dferetes etoces se puede demostrar (Véase [4], Pág. 6) que la matrz de trasformacó T es la matrz de Vadermode Modfcada la cual se represeta como Τ L L L L k L L k L 3 L 3 k M M M M M M ( ) ( ) d d d m ( ) L d d m d k!! (-35) Obsérvese que la seguda columa de T es la dervada co respecto a de la prmera; la tercera columa es la dervada de la seguda dvdda por!, y así sucesvamete hasta completar m columas para el autovalor. E la forma de Jordá correspodete a A c asocado al autovalor repetdo estrá u bloque de orde m, es decr J M O M O k Versó. - Abrl 98

41 CAPITULO : Aálss Matrcal 4 Ejemplo -7 Obteer las matrces J y T correspodete a De la últma fla de A c se deduce A c 4 P( ) + P( ) ( + ) ( ) Los autovalores será de multplcdad m y - també co m. Las matrces peddas será J Τ Nótese que para cada autovalor repetdo aparece e J u bloque de orde m y e T este m columas e la secueca e dervacó dcada e (-35)..6. Respuesta del Sstema e fucó de los Modos E la mecáca clásca, se deoma modo de vbracó a certas vbracoes de los sstemas alrededor de u puto de equlbro. Esas vbracoes so de tpo susodal y está caracterzadas por su frecueca y se dce que la respuesta de los sstemas leales debda sólo a las codcoes cales es ua superposcó de los modos de vbracó. El cocepto de modo puede ser eteddo a otros tpos de sstemas o mecácos utlzado los coceptos estudados e las seccoes aterores. Esta terpretacó modal sólo será aalzada aquí para el caso de sstemas co autovalores reales dferetes pero puede ser estudado para casos mas geerales (Véase [], Pág ). Versó. - Abrl 98

42 CAPITULO : Aálss Matrcal 4 Cosdérese el sstema autóomo (u ) descrto por la ecuacó de estado & Α (-36) co u vector de codcoes cales () y dode es el vector de estado () y A es ua matrz () co autovalores dferetes. La solucó de la ecuacó (-36) es u vector ( t), es decr, la epresó e el tempo del vector de estado y como todo vector del sstema puede ser represetado como u combacó úca de los vectores propos de A de la forma dcada e la ecuacó (-). ( ) ( ) t α t u (-37) dode u so los vectores propos ormalzados de A. Evaluado la ecuacó ateror para t se tee ( ) α ( ) u y se puede escrbr, usado los vectores recíprocos de u pero Luego α ( ) r Τ ( ) Para calcular los α ( t) de la ecuacó (-37), se susttuye ésta e la ecuacó (-36). De dode se deduce que α& ( t) u Α α ( t) u α ( t) Α u A u u ( ) ( ) &α t u α t u &α ( t) α ( t) La solucó de esta ecuacó es Versó. - Abrl 98

43 CAPITULO : Aálss Matrcal 43 Susttuyedo e (-37) se llega a α [ ] t t ( t) e α ( ) e r T ( ) [ ] t T ( ) ( ) t e r u (-38) El térmo e t represeta el -ésmo modo del sstema y la ecuacó (-38) represeta ua superposcó de todos los modos del sstema de ecuacó (-36). [ ] També de la ecuacó (-38) se deduce que la ectacó r ( ) T de cada modo depede solamete de las codcoes cales y que cada modo se ecta depedetemete de los otros modos. Para el caso cuado () es proporcoal a u vector propo ormalzado u se tee que la r T será ula s j y sólo se ectará el modo e t. [ ] ectacó ( ) Ejemplo -8 Para el sstema descrto por la ecuacó de estado autóomo & ; o 6 5 ( ) Hallar la epresó para (t) debda a las codcoes cales dadas. Los autovalores de A so - y -3. Por tratarse de ua represetacó FCC se tee que los vectores propos so ; 3 Ua vez ormalzados estos vectores se obtee u 5 ; 5 u 3 Usado la defcó -9, se calcula los vectores recíprocos r Τ [ 3 5 5] ; r [ ] Τ Versó. - Abrl 98

44 CAPITULO : Aálss Matrcal 44 Falmete, usado la ecuacó (-39) se cosgue t 5 3t ( ) [ ] + [ ] t e e 5 3 t 4 ( t) e e 8 + 3t t 3 e e t e 8e 3t 3 t Versó. - Abrl 98

45 CAPITULO : Aálss Matrcal 45 PROBLEMAS P- Calcular los valores y vectores propos así como la matrz dagoal correspodetes a las sguetes matrces a) Α c) Α b) Α d) Α 4 5 P- Calcule los valores y vectores propos asocados a las matrces smétrcas dcadas a cotuacó: 4 a) Α b) Α P-3 Determe la forma caóca de Jordá y la matrz de trasformacó T correspodete a cada ua de las sguetes matrces a) Α c) Α 4 e) Α b) Α d) Α 3 f) Α Versó. - Abrl 98

46 CAPITULO : Aálss Matrcal 46 P-4 Obtega la represetacó e la forma ormal o e la forma de Jordá, segú correspoda, de las sguetes represetacoes FE a) b) c) & + u 4 3 y [ ] & + u 3 y [ ] & + u y P-5 Hallar la epresó para y(t) e fucó de los modos del sstema descrto por las ecuacoes FCC & y Α c c c [ ] Los autovalores de A c so, y - y el vector de codcoes cales es c c ( ) 3 3 Versó. - Abrl 98