Décimo primera clase. Repaso de álgebra lineal

Transcripción

1 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate Décmo prmera clase. Repaso de álgebra leal El álgebra leal juega u papel fudametal e la teoría de señales y sstemas, e la medda e que el cojuto de señales e tempo cotuo y el cojuto de señales e tempo dscreto forma espacos vectorales leales. E ellos se puede costrur sub-espacos tales como el de las señales peródcas co período dado, o el de las señales de eergía, o el de las señales de poteca, o el de las señales pares, etc. odos ellos so subespacos vectorales porque so cerrados para la suma y para el producto por u escalar. De hecho, como ya mecoamos brevemete, el subespaco vectoral de las señales pares es el complemeto ortogoal del subespaco vectoral de las señales mpares e la medda e que so subespacos ortogoales (el compoete mpar de ua señal par es la señal détcamete cero y vceversa, de maera que ua señal de u sub-espaco proyectada sobre el otro subespaco da "cero"), pero etre ellos epade el espaco vectoral de las señales (cualquer señal se puede epresar como la suma de u compoete par y u compoete mpar). Igualmete, los sstemas leales forma trasformacoes sobre estos espacos vectorales y, como tales, tee ege-vectores (ege-señales) y ege-valores (respuestas e frecueca de los sstemas). S epresamos la trasformacó e ua base adecuada, la matrz correspodete sería ua matrz dagoal que habla de las característcas espectrales del sstema (ya hcmos esto e la ovea clase, cuado epresamos ua señal peródca como combacó leal de mpulsos utaros o como combacó leal de epoecales complejas armócamete relacoadas). Por últmo, cuado vemos la teoría de señales desde este puto de vsta, podemos utlzar muchos coceptos tutvos de tpo geométrco para compreder co más clardad las propedades de las señales y su procesameto medate sstemas leales. Por ejemplo, para apromar ua señal dada como combacó leal de alguas otras señales, lo que hacemos es "proyectar perpedcularmete" la señal a apromar e el espaco epaddo por las señales de apromacó, co lo cual mmzamos el "tamaño" (la eergía) del error. A esta dea geométrcamete obva se le cooce como "prcpo de ortogoaldad" para mmzar el error cuadrado promedo. Por supuesto, como los estudates ya tomaro u curso de álgebra leal, e esta clase apeas mecoaremos brevemete alguos de sus coceptos prcpales a maera de repaso, para troducr los coceptos de espacos vectorales abstractos e la sguete clase.. Vectores e R U vector columa de dmesoes es u arreglo de úmeros reales o complejos ordeados vertcalmete, que represeta u elemeto de R (el -ésmo producto cartesao del cojuto de los reales cosgo msmo) o de C (el -ésmo producto cartesao del cojuto de los úmeros complejos cosgo msmo). Por ejemplo, a a a, a,,,..., a De hecho, podemos defr R como el cojuto de todos los vectores columa -dmesoales co compoetes reales.

2 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate U vector fla de dmesoes es u arreglo de úmeros reales o complejos ordeados horzotalmete, por lo que se cosdera la "trasposcó" de u vector columa: Dos vectores,,, y,,, a b,,,...,. a a a a b b b b de gual dmesó,, so guales s La suma de dos vectores,,, y,,, a a a a b b b b de gual dmesó,, se defe como el vector cuyo -ésmo compoete es la suma escalar de los -ésmos compoetes de a y b : a b a b, a b,, a b. De esta defcó surge las sguetes propedades (comutatvdad, asocatvdad e detdad): a b b a a b c a b c a a dode,,, La úca solucó de la ecuacó vectoral a b es b a b a, b a,, b a, como se puede demostrar fáclmete: De acuerdo co la defcó,,,,,,, a a a a b b b, de dode a b,,,,. Restado a a cada lado, b a,,,,. Y, agrupado uevamete, a a, a,, a b a, b a,, b a b a. Ua forma útl de terpretar las operacoes vectorales es cuado las asocamos co tucoes de tpo geométrco, es decr, cuado cosderamos los vectores como coordeadas e el espaco geométrco Eucldao -dmesoal. Claro, auque la epereca sólo os permta cosderar eplíctamete las dmesoes, y, la magacó os permte r a dmesoes superores. Por ejemplo, la suma vectoral cobra mucho setdo cuado cosderamos el caso RRR = R, como muestra la Fgura. La multplcacó de u escalar (u úmero complejo o real) por u vector se defe así: a, a a, a,, a co lo cual se puede verfcar fáclmete las sguetes propedades: a b a b a a a a a a ( ) a a a a s y sólo s a ó

3 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate y [..5].5 y Fgura. Iterpretacó geométrca del algebra de vectores La suma etre vectores y la multplcacó de u escalar por u vector os permte defr la combacó leal: a es ua combacó leal del cojuto de vectores a, a,, a s,,,, : a a U cojuto de vectores a, a,, a es lealmete depedete s la úca maera de lograr a es hacedo que todos los coefcetes,,,, sea cero. E otro caso, esto es, s depedete.,,,,, o todos cero, tal que a, el cojuto es lealmete Nuevamete, la terpretacó geométrca resulta muy útl. Cosderemos el plao RR = R y dos vectores e él, a, y b= 6, 4 depedetes porque a b. Es claro ver que se trata de dos vectores lealmete. Igualmete, los vectores c 4, 4 y d=, lealmete depedetes porque el par de escalares y que satsface c d debe ser tales que 4 = y -4 =, lo cual sólo puede ocurrr cuado = =. Pero estas relacoes so más fácles de vsualzar cuado dbujamos los vectores e el plao: Vectores co-leales e R so lealmete depedetes, vectores o co-leales e R so lealmete depedetes. Lo msmo dríamos e R co respecto a vectores co-plaares (lealmete depedetes) y o co-plaares so

4 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate 4 (lealmete depedetes). Y para dmesoes mayores, la tucó geométrca os permte magar el sgfcado de la depedeca leal etre vectores. b c d a Fgura. Depedeca y co-lealdad El cojuto utaro { a } es lealmete depedete s a y lealmete depedete s a. E efecto, e el prmer caso a y, e el segudo caso, la úca forma de lograr a es medate =. Por otro lado, cualquer cojuto de vectores que cotega el vector es lealmete depedete, puesto que, R dferete de cero, a a. Por últmo, para geeralzar la terpretacó geométrca, ótese que u cojuto de vectores a, a,, a es lealmete depedete s y sólo s uo de ellos es ua combacó leal de los demás. E efecto, s a, a,, a es u cojuto lealmete depedete,,,, o todas cero, tales que a. Supoedo, s perder geeraldad, que, a a. Smlarmete, s el prmer vector se puede epresar como combacó leal de los demás, a a, ( ) a a a. Debdo a lo ateror, es fácl ver que u cojuto de m vectores e R so lealmete depedetes s m>.. Espacos vectorales A u subcojuto V R se le llama Subespaco vectoral de R s V es cerrado para las combacoes leales, esto es, s a, b V,, a b V. odo subespaco debe coteer al vector cero porque a, b V, ( ) a b a V a a V.

5 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate 5 Sea a a a vectores arbtraros e R. El spa de,,, a, a,, a es el cojuto de todas sus combacoes leales: spaa, a,, a a :,,,. S a es ua combacó leal de a, a,, a, spaa, a,, a, a spa a, a,, a. E efecto, sea a la combacó leal a a a a spaa a a a,,,, spaa, a,, a, a a a, a a, a, a, spaa, a,, a El spa de u cojuto de vectores forma u subespaco. E efecto, sea b a dos membros de a b = a spa a, a,, a a a y spa a, a,, a, y sea y dos úmeros reales. Etoces. Dado u subespaco V, cualquer cojuto de vectores lealmete depedetes a, a,, a V tales que V = spa a, a,, a se deoma ua base de V. odas las bases de u subespaco V cotee el msmo úmero de vectores. A dcho úmero se le llama la dmesó de V, dmv. Por la defcó msma, s puede epresar uívocamete medate represetacoes dsttas a, a,, a es ua base de V, cualquer vector a V se a a a a y a a. E efecto, supoga que este dos de maera que a. Como la base es u cojuto lealmete depedete, la úca posbldad de obteer dcho resultado es. A los coefcetes,,,, co,,,, se les cooce como las coordeadas de a co respecto a la base a, a,, a. Claro, u msmo vector tee dferetes represetacoes cuado se epresa e dferetes bases, como muestra la sguete fgura. La base atural para R es

6 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate 6 e, e,, e porque,,, e e e e 4 4 e e 4 Las coordeadas de co respecto a la base e, e so 4, e 4 Las coordeadas de co respecto a la base a, a so, a 4 a a a Fgura. Epresó de u msmo vector de R e dferetes bases E muchos casos suele ser coveete cambar de base para epadr u msmo espaco vectoral. Para estudar este proceso, es coveete repasar el cocepto de matrz y sus operacoes.. Matrces Ua matrz es u arreglo rectagular de úmeros reales o complejos (auque os seguremos refredo sólo a R e los ejemplos), a a a a a a,,..., m A, aj, j,,..., am am am El cojuto de todas las matrces de m flas y columas es R m (que es u espaco vectoral: cerrado para las combacoes leales, dode el producto por escalar y la suma de matrces se defe de maera obva).

7 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate 7 Sea a a, a,, a m la -ésma columa de A. El mámo úmero de columas lealmete depedetes de ua matrz A se deoma ra[a]. Claramete, ra[a] = dm(spa[ a, a,..., a ]) El rago de ua matrz A permaece varate bajo las sguetes operacoes: () Multplcacó de las columas de A por u escalar dferete de cero, () tercambo de columas y () suma de ua combacó de columas a otra columa. E efecto, para la operacó (), spaa, a,, a a :,,, Sea,,, escalares dferetes de cero spaa, a,, a a :,,, ra spaa, a,, a a a a ra a a a La operacó () es más fácl de verfcar, pues el úmero de vectores lealmete depedetes o depede del orde de los vectores. Y, para la operacó (), Sea b a,,,..., y b a a. Para cualesquer,,, b a a spa( B) spa( A) a b a spa( A) spa( B) spa( A) spa( B) ra( A) ra( B) El determate de ua matrz cuadrada A, det(a), es ua fucó escalar de las columas de A que satsface las sguetes propedades:.,, a, b, det a,, a, a b, a,, a det a,, a, a, a,, a det a,, a, b, a,, a. S a a para j, det( A). j det( I ) dode I es la matrz detdad de orde, I e e e Co esta defcó es fácl demostrar que el determate o camba de valor s añadmos ua combacó leal de columas a otra columa, pero camba de sgo s tercambamos dos columas. E efecto,

8 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate 8 a a a a a a a a a a a a a det,,, det,,, det,,, det,,, y, de otro lado, a a a a a a a a a a a a a a a a a det a a, a,, a det,,, det,,, det, ( ),, det,,, det a, a,, a det a, a,, a det a, a,, a Ua forma de calcular el determate de ua matrz AR relacó det( A) a, jc, j j recursvamete es medate la para cualquer fla =,,,, dode a,j es el compoete de la matrz A e la fla y la columa j, y c,j es el cofactor de ese compoete, equvalete a (-) +j veces el determate de la matrz (-)(-) que resulta de borrar la -ésma fla y la j-ésma columa de A. S embargo, este cálculo se usa solamete e los cursos de álgebra leal de prmer semestre de geería (tal vez para apreder a programar algortmos e computadoras dgtales). E la realdad se usa trasformacoes de la matrz orgal que preserva el determate, hasta llevarla a ua forma e la que el determate se puede calcular por speccó. U meor de p-ésmo orde de ua matrz A m es el determate de ua matrz pp que surge de borrar m-p flas y -p columas de A. El rago de ua matrz (ra) es gual al mámo orde de sus meores dferetes de cero. Ua matrz o-sgular (o vertble) es ua matrz cuadrada cuyo determate o es cero. La traspuesta de ua matrz se obtee tercambado las flas por las columas: S los compoetes de A so a j, los compoetes de A so a j. Ua matrz cuadrada es smétrca s A = A. El producto de u vector fla,,, y u vector columa,,, escalar y y y y y y es el (ótese que los vectores debe teer el msmo úmero de elemetos). Igualmete, el producto de dos matrces A m y B es ua matrz C m e la que el termo (,j) es el producto de la -ésma fla de A y la j-ésma columa de B, c a b (ótese que el úmero de j l lj l columas de A debe ser el msmo úmero de flas de B). Esta epresó es drecta pero poco lustratva. Es mejor otar, al hacer la operacó como está plateada, que las columas de C so ua combacó leal de las columas de A (o que las flas de C so ua combacó leal de las flas de B). Ua matrz cuadrada A es o-sgular (o vertble) s y sólo s este otra matrz A - tal que AA - = A - A = I. A - es la versa de A.

9 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate 9 4. Sstemas de ecuacoes leales Dadas las defcoes de productos aterores, podemos epresar u sstema de ecuacoes leales a a a b a a a b a a a b m m m medate ua ecuacó matrcal, A b U sstema de ecuacoes leales se puede terpretar como ua ecuacó vectoral: Cuáles so los coefcetes de la combacó leal de los vectores columas de A que resulte e el vector columa b? E efecto la ateror ecuacó matrcal se puede re-escrbr así: a a a b, dode a a a a m La sguete fgura lustra las dos terpretacoes de la ecuacó matrcal. Ua forma útl de ver que la solucó es ( =, =) (cosderado las flas). Pero Es más teresate otar que ( =, =) so los coefcetes de la combacó leal de las columas de A que produce b (cosderado las columas) a b a Fgura 4. Iterpretacoes de la epresó matrcal de u sstema de ecuacoes leales El sstema de ecuacoes leales A=b tee al meos ua solucó s y sólo s el rago de la matrz de coefcetes, A, es gual al rago de la matrz aumetada, [A b]: ra[a] = ra([a b]). E efecto, s A=b tee ua solucó, b es ua combacó leal de las columas de A (los coefcetes de la combacó costtuye ua solucó de las ecuacoes), de maera que bspa(a,,a ). E cosecueca, ra(a) = dm(spa(a,,a )) = dm(spa(a,,a, b)) = ra([a b]). Por otro lado, supogamos que ra(a) = ra([a b]) = r. Esto quere decr que hay r columas de A lealmete depedetes. Dgamos, s perder geeraldad, que so las r prmeras. Ellas so també columas lealmete depedetes de la matrz aumetada [A b], de maera que las demás

10 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate columas, e partcular b, se puede epresar como combacó leal de las prmeras r columas, mplcado la esteca de la solucó. Brevemete, el sstema tee al meos ua solucó s b perteece al espaco vectoral epaddo por las columas de A. U caso especal es cuado este sólo ua solucó: AR, br, R, co ra(a)=. Etoces A es vertble y podemos multplcar a ambos lados por A - para obteer = A - b. E este caso, cada ecuacó determa u hperplao de - dmesoes, los cuales se tersecta e u úco puto de R. Veamos u ejemplo de este últmo caso: Sstema de ecuacoes Forma matrcal Matrz aumetada S a la fla le restamos veces la fla, elmamos de la tercera ecuacó: Sstema de ecuacoes Forma matrcal Matrz aumetada Ahora podemos ecotrar de la tercera ecuacó y remplazar e las ecuacoes aterores: La matrz U dce mucho sobre la matrz A 8. Por ejemplo, como hay 5 4 elemetos dferetes de cero e la dagoal de U, ra(a) =. Más aú, multplcado los elemetos de la dagoal de U ecotramos det(a)=5= (como djmos, el algortmo recursvo de los cofactores sólo se usa e los cursos de álgebra leal del prmer semestre de geería). Ahora revsemos el proceso de costruccó de la matrz U:. A la fla le restamos tres veces la fla :. A la fla le restamos dos veces la fla :

11 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate Esto es, hemos usado dos trasformacoes leales E(,) E(,) A U : que, e cojuto, se reduce a EA U : o, s defmos L = E -, hemos descompuesto la matrz A e el producto de dos matrces, ua tragular feror (L lower) y otra tragular superor (U upper), A = LU: Este proceso de descomposcó, coocdo como elmacó Gaussaa, o sólo os permte resolver sstemas de ecuacoes leales, so que os permte calcular determates y ragos de matrces, por ejemplo. Este muchas trasformacoes semejates para descompoer matrces e formas apropadas para dferetes tpos de aálss, todas ellas de gra utldad e sstemas de cotrol, por ejemplo, pero o repasaremos esas descomposcoes aquí. Para termar este aparte, cosderemos el sstema de ecuacoes A=b, dode AR m, br m, R, co m< y ra(a)=m. Se puede ecotrar ua solucó asgado valores arbtraros a -m varables (por ejemplo -m ceros) y resolvedo para las restates m. E efecto, este m columas lealmete depedetes que, s perder geeraldad, podemos supoer que so las m prmeras, co las cuales formamos la sub-matrz B. Las columas restates forma la sub-matrz C, de maera que A = [B C] y podemos epresar el sstema de ecuacoes así: Bm A b Bm m C m( m) b C ( m) Asgado valores arbtraros a C, obteemos el sstema de m ecuacoes co m cógtas B b C B. Pero, como B es vertble, obteemos la solucó C B B b CC C =, obteemos ua "solucó básca".. Asgado 5. Producto tero y orma El valor absoluto de u úmero real a es propedades: a a s a a s a. Esta fucó satsface las sguetes

12 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate a a a a a a b a b a b a b a b ab a b s a c y b d etoces a b c d a b mplca b a b raemos a colacó esta fucó y estas propedades porque so la versó más famlar de ua orma: El valor absoluto es la orma de los vectores e R. Pero para hablar de ormas e espacos más geerales, covee defr prmero el producto tero etre dos vectores de gual dmesó, y y:, y y y E C H *, el segudo vector o sólo se traspoe so que també se cojuga:, y y y Las sguetes so alguas propedades del producto tero etre vectores:,, co gualdad sólo s, y y, (e,, y y, ) z, y, y z, y Para cualquer,, y, y El producto tero permte defr la orma Eucldaa (o orma L ): * /, que, de acuerdo co Ptágoras, es la logtud del vector, como muestra la sguete fgura:. Fgura 5. La raz del producto tero defe la orma como la logtud del vector e R

13 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate Ua propedad fudametal de la orma Eucldaa o L es la desgualdad de Cauchy-Schwarz: Para cualquer par de vectores y y e R,, y y, co gualdad s y sólo s y y so coleales ( = ay para algú ar). E efecto, para vectores utaros ( = y = ) se puede verfcar fáclmete que y y y y y y y. S,,,, los vectores o so utaros, podemos aplcar el ateror resultado a los vectores utaros / y y/ y de maera que, multplcado por y obteemos <,y> y. Remplazado e vez de, obteemos <,y> y. Las dos desgualdades jutas resulta e la desgualdad de Cauchy-Schwarz, <,y> y. Para que se dé la gualdad es ecesaro que / = y/ y, esto es, = ay para algú ar. La terpretacó geométrca del producto tero es smple y drecta: <,y> = y cos(), dode es el águlo que forma los dos vectores, como muestra la sguete fgura. y, y y cos( ), y Proyeccó de y sobre : y cos( ), y Proyeccó de sobre y: cos( ) y, y Águlo etre y y: =cos y Fgura 6. Iterpretacó geométrca del producto tero E físca, por ejemplo, el trabajo mecáco es el producto tero etre la fuerza y el desplazameto, geerado ua catdad escalar: Las fuerzas perpedculares al movmeto o ejerce gú trabajo, como la fuerza cetrípeta. La terpretacó de que el producto tero es mámo cuado los vectores so coleales y es cero cuado los vectores so perpedculares tedrá ua gra mportaca e los espacos vectorales de señales, pues determará que la correlacó sea ua de la maeras más mportates de comparar señales (el coseo del águlo etre ellos será, precsamete, el coefcete de correlacó). Cómo es de esperarse,, co gualdad s y sólo s =. Otra relacó que resulta muy útl es la desgualdad del trágulo: + y + y. E efecto, + y = + y + <, y> de maera que, por Cauchy-Schwarz, + y + y + y = ( + y ), de dode + y + y. La fgura 8 represeta esta desgualdad y muestra també que, s y y so

14 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate 4 perpedculares (<, y> = ), se cumple el teorema de Ptágoras (compárese, por ejemplo, co el hecho de que la eergía de ua señal es la suma de las eergías de sus compoetes par e mpar). y y Fgura 7. La desgualdad del trágulo y el teorema de Ptágoras La orma Eucldaa es sólo u ejemplo del cocepto geeral de orma vectoral, que es cualquer fucó que satsfaga las tres propedades báscas: (), co gualdad s y sólo s, () c c, () y y Por ejemplo, la orma L p se defe como otras ormas muy comues so L y L, como lustra la sguete fgura. (,4) (7,4) (7,) p p p. La orma Eucldaa es L, pero dos 7,4 (dstaca e bloques) 7,4 8.6 (dstaca Eucldaa) 7,4 7 (mámo compoete) Fgura 8. res ormas vectorales típcas 6. rasformacoes leales Ua trasformacó es ua fucó de R e R m, : R R m. Ua trasformacó leal satsface la sguete propedad básca: (a + by) = a() + b(y). Como muestra la sguete fgura, u msmo vector puede teer represetacoes dferetes depededo de la base escogda para epadr el espaco vectoral. Dada ua base partcular e la que se eprese lo vectores, cada trasformacó leal tee ua represetacó matrcal, () = A. E efecto, (a + by) = A(a + by) = aa + bay = a() + b(y). S camba la base e la que se epresa los vectores, camba la matrz que represeta ua msma trasformacó.

15 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate 5 a e b e e a a b b a e b b b e e a a Fgura 9. Además de la base caóca, se puede escoger cualquer cojuto de vectores lealmete depedetes para epadr el espaco R E el ejemplo de la fgura ateror, teemos tres bases dsttas, I e e A a a B b b, e cada ua de las cuales el vector tee ua represetacó dferete, I A B. De aquí resulta fácl detfcar cómo se camba la base de u msmo espaco vectoral: A A B, B B A B A es la matrz que coverte de la base a a a la base b b S queremos represetar la msma trasformacó leal e dos bases dsttas, el proceso es muy semejate. Sea ua trasformacó leal, A su represetacó matrcal e ua base E, y B su represetacó matrcal e otra base E'. Sea u vector epresado e la base E y ' el msmo vector epresado e la base E'. Sea la matrz que trasforma de la base E a la base E', de maera que y' = y y ' =. Etoces y y A B B A B ó A B.Etoces podemos defr la smltud etre matrces: Dos matrces cuadradas, A y B, so smlares s este ua matrz o-sgular tal que A= - B. Las matrces smlares correspode a la msma trasformacó leal e dferetes bases del espaco vectoral. 7. Ege-vectores y ege-valores Cuado aplcamos ua trasformacó leal a u vector, solemos cambar tato su orma como su dreccó. Cosdere, por ejemplo, la trasformacó represetada por la matrz

16 (), y() (), y() (), y() (), y() (), y() Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate 6 A e la base caóca de R. Como muestra la sguete fgura, cas cualquer vector que escojamos e R producrá u uevo vector y=a que tedrá ua dreccó dferete a (), y() - vector de etrada, vector de salda, y=a -4 trayectora de = trayectora de y=a co = (), y() (), y() Fgura. Ua trasformacó leal altera la orma y la dreccó de u vector S embargo, hay dos dreccoes prvlegadas para las cuales la trasformacó altera la orma pero hace que y A sea coleales: , (), y() (), y() Fgura. Alguos vectores prvlegados so coleales co su versó trasformada Estos vectores de etrada prvlegados so los ege-vectores (o vectores propos) de la trasformacó leal represetada por la matrz A, y satsface la relacó Av = v, dode v es u ege-vector de A, y es el correspodete ege-valor. Cambado v por Iv, que es lo msmo porque I es la matrz detdad e R, obteemos (A - I)v =. Pero, como v, esta ecuacó sólo se puede satsfacer s (A - I) es ua matrz sgular, esto es, det(a - I) =. Esta últma ecuacó es la "Ecuacó Característca" de la matrz A. Al desarrollar el lado zquerdo de esta epresó obteemos u polomo de grado e, deomado "Polomo Característco" de A. De acuerdo co el teorema fudametal del álgebra, este polomo debe teer eactamete raíces, o ecesaramete dsttas, o ecesaramete reales. Estas raíces del polomo característcos,,,,, so los ege-valores de la matrz A. U resultado mportate es que s todos los egevalores so dsttos, los correspodetes ege-vectores so lealmete depedetes y, por cosguete, forma ua base de R co respecto a la cual la trasformacó represetada por la matrz A toma ua forma dagoal. Esto es fácl de demostrar, porque s {(, v ), =..} so los

17 Uversdad Dstrtal Fracsco José de Caldas - Aálss de Señales y Sstemas - Marco A. Alzate 7 valores propos y los vectores propos de A, basta co hacer de los vectores propos las columas de la matrz que camba la base, = [v v v ], de maera que A A v v v Av Av Av v v v La fucó eg() de matlab permte verfcar estos resultados: >> A = rad(,); >> [,D]=eg(A); >> [D v()*a*] >> [A *D*v()] ambé es fácl verfcar que los egevalores de ua matrz smétrca so reales y que los egevectores de ua matrz real smétrca so mutuamete ortogoales. E este caso la matz es ua matrz ortogoal, esto es = -. La ortogoaldad es u cocepto muy mportate e álgebra leal. Por ejemplo, s V es u subesoaco vectoral de R, podemos hablar del complemeto ortogoal de V, V, que cosste de todos los vectores de R que so ortogoales a cada vector e V: V :, v v V. Por supuesto, V es otro sub-espaco vectoral de R y, juto co V, epade a R. E efecto, cualquer vector R puede epresarse como = +, dode V y, V. Decmos etoces que y so las proyeccoes ortogoales de sobre V y V, respectvamete. Nuevamete, recuérdese la descomposcó de señales e u compoete par y u compoete mpar, que so complemetos ortogoales etre ellos para el espaco de las señales, como veremos e la sguete clase. E efecto, habedo repasado los coceptos báscos de álgebra leal y espacos vectorales eucldaos (e R ), ahora podemos r a los coceptos báscos de espacos vectorales abstractos, dode habta las señales que estudamos e este curso. Por supuesto, queda mucho por decr sobre los espacos vectorales e R epaddos por las columas de ua matrz, o esl espaco ulo de ua matrz, que es el cojuto de vectores que hace A=, o sobre la descomposcó de ua matrz e valores sgulares, sobre la postvdad de las matrces, sobre las ormas matrcales, etc. Pero los sete coceptos repasados e esta clase so sufcetes para platear la vsó geométrca de las señales para este curso.