Estructuras Algebraicas

Transcripción

1 Uversdad de los des Faultad de Ceas Eoómas y Soales Esuela de Estadísta Estruturas lgebraas Prof. Gudberto José Leó Ragel MÉRID,

2 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta Estruturas lgebraas Álgebra Dada ua lase de ojutos de, se de que es u álgebra e s umple las sguetes propedades: S, etoes 3. S 1 y 2, etoes 1 2 Ejemplo 1: 1 = {, } 2 = {,,, } 3 = P (. Nota 1: El álgebra es errada bajo las uoes e terseoes ftas, omo també bajo los omplemetos. Teoremas Teorema 1 Por la propedad 1 ; Por la propedad 2 ; pero. Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 2

3 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta Teorema 2 S 1 y 2, etoes 1 2 Por la propedad 2: 1 y 2 Por la propedad 3: 1 2, Por las leyes de De Morga: Por propedad 2, omo ( 1 2 ), etoes ( 1 2 ) Teorema 3 S 1, 2,,, etoes a. b. 1 1 ξ ξ a. Se probará que 1 ξ utlzado duó matemáta: ) Para = 2 se tee que 1 2, por propedad 3 del álgebra. ) Para = k, se supoe erto que: 1 2 k = k 1 = ) Para = k+1 se tee que S y k+1, etoes Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 3

4 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta ( k+1 ) k1 ξ, 1 ξ (1) 1 b. S 1, 2,,, se tee por propedad 2 que,,,. (2) 1 2 Por tato, por el resultado (1) de este msmo teorema: 1 ξ (3) Como 1 ξ, por propedad 2 del álgebra se tee que 1 demás, por Ley de De Morga se sabe que ξ (4) sí, susttuyedo (5) e (4) se tee, (5) 1 (6) 1 Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 4

5 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta Sgma Álgebra (-álgebra) Sea ua lase de ojutos de. Se de que es ua sgma álgebra e s satsfae las sguetes propedades: S etoes 3. S = 1,2, etoes 1 Teoremas Teorema 4 Toda -álgebra es u álgebra. Sea { } =1,2, ua oleó fta de ojutos tal que { },dode +1 = +2 = +3 = =, puesto que (demostrado para el álgebra e el Teorema 1) sí, se tee que por la propedad 3 de sgma álgebra: dado que 1, Toda sgma álgebra es u álgebra. 1 1 Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 5

6 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta Teorema 5 S es u -álgebra, etoes y Sea 1 = y = = 2, 3, Etoes por la propedad 3 de -álgebra se tee que: Luego 1 Por propedad 2 de -álgebra, omo,, Pero, = Teorema 6 S ( = 1, 2, ) etoes 1 Como ( = 1, 2, ), por Propedad 2 de -álgebra, = 1, 2, hora, por la Propedad 3 1. De esta maera por la Propedad 2 se tee, 1 Y por las leyes de De Morga se llega a que: Nótese que realmete o es eesaro euar la Propedad 1 omo ua propedad de -álgebra. Dada esta demostraó Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 6

7 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta 1 Corolaro (Teorema 6) S 1, 2,, es ua suesó fta de ojutos e, etoes 1 Por la Propedad 1 se sabe que. demás, sea +1 = +2 = +3 = = Por el Teorema 6 se tee que 1 (=1,2, ). Etoes, Teorema 7 S y B perteee a, també B. Se sabe que B = B demás, omo y B B, por Propedad 2. Por leyes de De Morga: B = ( B) = B Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 7

8 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta y por el Teorema 4 B. sí, por la Propedad 2 se tee que ( B) B Ejemplo 2: 2 Supoga = {a, b, } lste alguas sgma álgebras de subojutos de. Soluó: El ojuto {, {a}, {b}, {}, {a, b}, {a, }, {b, }, {a, b, }} es ua sgma álgebra. De heho es P ( y es la sgma álgebra más grade. {, {a, b}, {}, {a, b, }} es també ua sgma álgebra També lo es {, {a}, {b, }, {a, b, }}. S embargo, ótese, por ejemplo, que {, {a}, {b}, {a, b}} o es ua sgma álgebra de ojutos de {a, b, }. Esto se debe a que {a, b} está e la lase pero su omplemeto, {}, o lo está. Ejemplo 3: Sea u ojuto fto o umerable. Pruebe que s la oleó es ua -álgebra e que otee todos los subojutos utaros de, es der, s x {x}, etoes ode o P (. Sea = {x 1, x 2,, x, } u ojuto umerable (o fto). es ua -álgebra e y se tee que {x 1 }, {x 2 },, {x }, (es der, todos los ojutos utaros de está e ) sí se dedue que: 2 Tomado de Khazae, Ramakat. Bas Probablty Theory ad pplatos. Pág. 24 Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 8

9 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta a. Como {x 1 } y {x 2 }, por Teorema 4, se tee que x x x, x (7) De la msma maera todos los ojutos de pares de elemetos de {x, x j } j; e, j = 1, 2,. b. Como {x 1 } y por euaó (7) {x 2, x 3 }, etoes por ser ua -álgebra {x 1 }{x 2, x 3 } = {x 1, x 2, x 3 } y de esta msma maera se puede geeralzar que todos los ojutos de tres elemetos está e.. Por duó se puede ver que todos los ojutos de 3, 4,,, et. elemetos, está e. = P ( Ejemplo 4: Supógase que es la lase de los ojutos ftos y de los ojutos o-ftos (ojuto uyo omplemeto es fto). Pruebe que es u álgebra y que es ua -álgebra s y sólo s es fto. Sea u ojuto fto y sea Obsérvese que s es u ojuto fto ya que es fto es fto. u ojuto o-fto. es fto. hora s es u ojuto fto umerable, Como se sabe, las dos prmeras propedades del álgebra y de la sgma álgebra so las msmas, sí, a. Como es u ojuto fto (por defó) es u ojuto o-fto. = b. S Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 9

10 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta. Para probar que es u álgebra se observa lo sguete: S es fto y sí, so ftos y por tato está e. j j1 es u ojuto fto j j1 ; dode j = ó. Por tato, se ha demostrado que s es fto es u álgebra S es fto umerable, se tee que s es fto etoes preseta las sguetes ombaoes e las uoes: es fto. sí que se. S se ue dos ojutos ftos y j se obtee otro ojuto fto (uyo omplemeto es fto) y por tato perteee a : Nótese que el ardal de esta uó, ( j ) = ( ) + ( j ) ( j ) es u úmero fto, e dode: ( j ) es el ardal de la uó de los ojutos y j ; ( j ) es el ardal de la terseó; ( ) es el ardal del ojuto ; ( j ) es el ardal del ojuto j.. Metras que el ardal del omplemeto de la uó es fto: ( j ) = () ( j ) = ( ) ( j ) + ( j ) = S se ue u ojuto fto o u ojuto fto (uyo omplemeto es fto) y que por lo tato perteee a : Nótese que: ( j ) = ( ) + ( j ) ( j ) = j se obtee u ojuto fto demás, fto + fto fto Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 10

11 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta ( j ) = ( j ) m[(. S se ue dos ojutos ftos y ), ( j )] = ( j ) que es u valor fto. omplemeto es fto) y que por tato perteee a : Nótese que ( j ) ( ) = ; y ( j ) = ( j ) m(( ), ( j )) que es u valor fto j se obtee u ojuto fto (uyo sí, la uó fta de ojutos ftos y o-ftos está e, y se ha demostrado que s es fto umerable es u álgebra Por tato, es u álgebra s es fto o umerable d. Para probar que es ua -álgebra se observa lo sguete: S es fto se sabe que y so ftos y que la uó fta de ojutos ftos: 1 es u ojuto fto 1 es ua -álgebra s es fto.. S es u ojuto fto, la uó fta de elemetos de o sempre está. Esto se prueba o u otra ejemplo: Sea =, es der, el ojuto de los úmeros aturales, y ={2 1} (=1,2, ) Luego 1 ={1,3,5,7, } = al ojuto de los úmeros mpares postvos. Este ojuto es fto, y su omplemeto e es: 1 ={2,4,6,8, } també es fto. Por tato, 1 Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 11

12 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta por geerar u ojuto fto uyo omplemeto es fto. Ya que e sólo puede estar los ojutos ftos de omplemeto fto, los ojutos ftos de omplemeto fto y los ojutos ftos de omplemeto fto (ojutos ftos o o-ftos). Etoes, o es u -álgebra s es fto. Ejemplo 5: Sea ua -álgebra e u ojuto o vaío y sea * u subojuto de. Pruebe que: * = { * / } es ua -álgebra e *. esta -álgebra se le ooe omo la huella 3 de e *. Sea * y ua -álgebra e a. Como (ya que es u -álgebra) * = * * (por defó de * ) b. S demás, por defó de * : * * y també * *.. Como 1 1 * * y omo * * ( ), etoes, 1 1 * ( ) 1 * es ua -álgebra e 3 Como se observará más adelate, esta sgma álgebra * es la que se utlza e la defó de la probabldad odoal. Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 12

13 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta Sgma Álgebra Geerada 4 Sea C ualquer oleó de subojutos de, la terseó de todas las -álgebras que otee a C també es ua -álgebra y será la -álgebra más pequeña que otega a C, se deoma -álgebra geerada por C, y se le represeta por (C ). Teorema 8 (-álgebra Geerada) 5 Sea C ua lase ualquera o vaía de ojutos de. Etoes exste ua y solamete ua -álgebra e tal que:. C (es der otee todos los ojutos de C );. S 1 es ualquer -álgebra e para la ual 1 C etoes 1. Es der, es la sgma álgebra más pequeña que otee a C. Se probará prmero que exste por lo meos ua -álgebra que tee las propedades y. Exste sgma álgebras e que otee a todos los ojutos de C (por ejemplo P ()). Se defe omo la lase de estos ojutos los uales perteee a todas esas sgmas álgebras; así: =, dode reorre todos los sgma álgebra e que otee a los ojutos de C. Claramete satsfae y. També es ua sgma álgebra: E prmer lugar (dado que para todo ) hora supogamos que. Etoes, para todo, (por defó de ), y por tato ; además (otra vez por defó de ). Falmete, 4 També se ooe omo -álgebra duda o -álgebra mmal 5 Tomado de Clarke, L. E., Radom Varables, pág. 3. Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 13

14 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta S 1, 2,, omo es ua sgma álgebra, 1 perteee a. demás, esto es erto para ada que otee a C, etoes se tee que sí es ua sgma álgebra. 1 =. hora se probará que es úa: Supógase que y * so sgma álgebras e tales que satsfae las odoes y de arrba y * satsfae: *. * C **. S 1 es ualquer sgma álgebra e para la ual 1 C etoes 1 *. Etoes * C (por *), y por tato * (por ). Smlarmete * y por tato = *. Nota 2: E este teorema o fue estrtamete eesaro asumr que C era o vaío. S de heho, C es vaío, etoes se puede ver fálmete que el sgma álgebra geerado es {, }. U mportate sgma álgebra geerado ourre uado =R y C es la lase de ojutos abertos e R. Etoes el orrespodete sgma álgebra geerado (C ) es la lase de ojutos de Borel e R. E otras palabras, osste de todos esos ojutos e R, los uales puede ser obtedos por la formaó repetda de omplemetos y uoes otables de los tervalos. otee todos los ojutos los uales ourre aturalmete e aálss. Este -álgebra de Borel es báso y fudametal e teoría de probabldad y e teoría estadísta. Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 14

15 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta Sgma Álgebra de Borel 6 Sea el ojuto de los úmeros reales, =R, y sea C la lase de los ojutos de formada por todos los tervalos abertos, es der: C = { (a, b) \ < a < b < y a, b R} Etoes exste ua -álgebra e que es la meor sgma álgebra que otee a C (el sgma álgebra geerado por C ) que se deotara por ; = (C ) y se defe omo -álgebra de Borel. Cojuto de Borel Cada ojuto de se llama ojuto de Borel. Nota 3: Se puede demostrar que ada uo de los sguetes tpos de tervalos: (a, b], [a, b) y [a, b] así omo (, b), (, b], (a, ) y [a, ) so ojutos de Borel, també lo so los ojutos formados por u solo puto {a}, y por osguete todos los ojutos otables de. S embargo, exste e R ojutos que o so de Borel. Pero ojutos de esta lase o so fáles de eotrar. Sgma Álgebra de Borel e R La defó de sgma álgebra de Borel puede extederse al espao euldao -dmesoal R y se deotara por B. Es aquella -álgebra geerada por todos los tervalos abertos e R : C = {(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a, b ): - < a < b < ; =1,2,, ; a, b R} y B = (C ). Ejemplo 6: 7 Sea ={, s, s, ss }. Obteer las -álgebras geeradas por: a. C 1 = {} 6 Tomado de Quesada Pedro, Probabldad y Dstrbuoes. Pág Tomado de Torres, Erque, Problemaro de Matemátas I, págs Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 15

16 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta b. C 2 = {, {}}. C 3 = {, } d. C 4 = {} e. C 5 = {{s}, {ss}} f. C 6 = {{s}, {ss}, } g. C 7 = {{s, ss}} Soluó: a. (C 1 )={, } C 1 b. (C 2)={,, {}, {s, s, ss}} C 2. (C 3)={, } =C 3 d. (C 4)= (C 2) e. (C 5)={,, {s}, {ss}, {, s, ss}, {, s, s}, {s, ss}, {, s}} f. (C 6)= (C 5) g. (C 7)={,, {s, ss}, {, s}} Ejemplo 7: 8 Probar que los tervalos de la forma a. [a, b) b. [a, b]. (, b) so ojutos de Borel, así omo los ojutos de putos aslados d. {a} 8 Tomado de Torres, Erque, Op.Ct, págs Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 16

17 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta e. {a, b, } f. {a 1, a 2, a 3, } Soluó: a. Sea = ( a 1, b) u tervalo aberto para todo = 1, 2, 3, Se tee que = ( a 1, b) C pero a su vez C. Por ser la -álgebra geerada por C, etoes = ( a 1, b) para todo = 1, 2, 3, Como es ua -álgebra otee todas las terseoes ftas que se puede formar o ualesquera de sus ojutos, etoes, 1, pero, 1 = 1 a, b = [a, b) 1 b. Sea el tervalo aberto 1 1 B = a, b C ( = 1, 2, 3, ). sí, B a 1 1, b [ a, b ] 1 1 Gráfamete se trata de la terseó de tervalos de logtud dereetes tales que 1 2 3, obsérvese la fgura 1. Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 17

18 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta ( ( ( ) ) ) a 1 a a a b b b b Fgura 1. Iterseó de ua suesó de tervalos dereetes.. Sea el tervalo aberto C (, b) ( = 1, 2, 3, ) De tal maera que, 1 C pero, 1 C =, b 1 = (, b) d. Sea el tervalo aberto 1 1 D = ( a, a ) ( = 1, 2, 3, ) sí que, 1 D Obsérvese la fgura 2. B, pero, D a 1 1, a { a } 1 1 Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 18

19 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta ( ( ( ) ) ) a Fgura 2. Iterseó de ua suesó de tervalos dereetes para obteer u puto a. e. Por el método usado e d. se puede demostrar que {b} {} Luego la uó de estos ojutos també perteee a (por ser ua -álgebra). {a}{b}{} = {a, b, } f. Sea el tervalo aberto: 1 1 F = ( a, a ) ( = 1, 2, ) ( = 1, 2, ) Etoes 1 F pero, F a 1 1, a { a } 1 1 por lo tato {a } ( = 1, 2, 3, ) pero la uó fta de esos {a } també perteee a, así, 1 { a }, dode, 1 { a } = {a 1 }{a 2 }{a 3 } = {a 1, a 2, } Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 19

20 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad de Ceas Eoómas y Soales - Esuela de Estadísta Departameto de Estadísta Refereas Clarke, L.E. (1975). Radom Varables. Lodres: Logma Group Lmted. Khazae, R. (1976). Bas Probablty Theory ad pplatos. Calfora: Goodyear Publshg Compay, I. Quesada, P. (1987). Probabldad y Dstrbuoes. Mérda, Veezuela: Uversdad de los des. Torres, E. (1988). Problemaro de Matemátas I. Mérda, Veezuela: Uversdad de los des. Dreó: v. Las méras. Uversdad de los des Cojuto La Lra. Edf. F. Pso 2. Departameto de Estadísta. Cubíulo 258. Mérda Veezuela. Telf. (0274) (dreto) (seretara). e-mal: gudberto@ula.ve 20