Métodos de Ordenamiento

Transcripción

1 Aálss y Complejdad de Algortmos Métodos de Ordeameto Arturo Díaz Pérez pos de ordeameto y meddas de efea Algortmos básos QukSort HeapSort BSort RadxSort Arboles de Desó Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- pos de Ordeameto Ordeameto tero. Se lleva a abo ompletamete e memora prpal. odos los objetos que se ordea abe e la memora prpal de la omputadora Ordeameto extero. No abe toda la formaó e memora prpal y es eesaro oupar memora seudara. El ordeameto ourre trasfredo bloques de formaó a memora prpal e dode se ordea el bloque y este es regresado, ya ordeado, a memora seudara Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- Aálss y Complejdad de Algortmos

2 Formulaó Regstros: Llaves: Obteer la seuea tal que, r, r,..., r k, k,..., k r,..., r, r k k... k Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-3 Crteros de Efea Crteros de efea El úmero de pasos El úmero de omparaoes etre llaves para ordear regstros. De utldad uado la omparaó etre llaves es ostosa El úmero de movmetos de regstros que se requere para ordear regstros. De utldad uado el movmeto de regstros es ostoso Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- Aálss y Complejdad de Algortmos

3 Métodos Smples de Ordeameto Métodos smples Método de Burbujeo Método de Iseró Método de Seleó Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-5 Método de Burbujeo vod Burbujeo t A[], t t,j; for =0; < -; for j=-; j > ; j-- f A[j] < A[j-] Iteramba &A[j], &A[j-] ; 5 Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-6 Aálss y Complejdad de Algortmos 3

4 Método de Burbujeo vod Burbujeo t A[], t t,j; for =0; < -; for j=-; j > ; j-- f A[j] < A[j-] Iteramba &A[j], &A[j-] ; Comparaoes: Movmetos: = = = = M m = = 0 = M max = = = = = = Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-7 Método de Seleó vod Seleó t A[], t t, j, m; for =0; < -; m = ; for j = ; j > ; j f A[j] < A[m] m = j; teramba &A[], &A[m] ; Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-8 Aálss y Complejdad de Algortmos

5 Método de Seleó vod Seleó t A[], t t, j, m; for =0; < -; m = ; for j = ; j > ; j f A[j] < A[m] m = j; teramba &A[], &A[m] ; Comparaoes: C = = = = = = Movmetos: M = Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- Método de Iseró vod Iseró t A[], t t,j; for =; < ; j:= ; whle j > 0 && A[j] < A[j-] Iteramba &A[j], &A[j-] ; j-- Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-0 Aálss y Complejdad de Algortmos 5

6 Método de Iseró vod Iseró t A[], t t,j; for =; < ; j:= ; whle j > 0 && A[j] < A[j-] Iteramba &A[j], &A[j-] ; j-- Comparaoes: Movmetos: Aálss y Dseño de Algortmos C m C max M m M max = = = = = = = 0 = = = = = Sortg- QukSort Dado u arreglo desordeado de elemetos A 3 - seleoa u valor v del arreglo, llamado pvote, y rearregla los elemetos del arreglo de maera que todos los elemetos meores que v quede oloados ates que v y todos los elemetos mayores o guales que v quede oloados después que v. j- j v < v > v Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- Aálss y Complejdad de Algortmos 6

7 QukSort Aálss y Dseño de Algortmos j- j v < v > v vod quksort t A[], t, t j f desde A[] hasta A[j] exste al meos dos llaves dsttas Seleoar u pvote, v Permutar A[],...,A[j], tal que, para algú k etre y j, A[],..., A[k-] < v y A[k],..., A[j] v quksort A,, k- ; quksort A, k, j ; Sortg-3 QukSort: Pvote j t pvote t A[],t,t j t k, r; for k = ; k <= j; k /* Compara dos elemetos */ r = omp A[k], A[] ; f r < 0 retur ; else f r > 0 retur k; /* No hay llaves dferetes */ retur -; Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- Aálss y Complejdad de Algortmos 7

8 QukSort: Partoameto < v > v l r t parto t A[],t, t j, t v.. t l,r; l=; r=j; do Iteramba A[l], A[r] whle omp A[l], v < 0 l; whle omp A[r], v >= 0 r--; whle l<r ; retur l; Aálss y Dseño de Algortmos j A[p] <v, p <l A[p] v, r <p j El tempo de ejeuó de partó es Oj- Sortg-5 QukSort: Partoameto vod quksort t A, t, t j td, k; d = pvote A,, j ; f d >= 0 k = partoa,, j, A[d] ; quksort A,, k- ; quksort A, k, j ; Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-6 Aálss y Complejdad de Algortmos 8

9 QukSort: Ejemplo Pvote Pvote Pvote Pvote Pvote 6 6 Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-7 Caso Promedo, Peor y Mejor Puede dar ua dea de uales so los asos Promedo Peor Mejor? Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-8 Aálss y Complejdad de Algortmos

10 QukSort: Peor Caso uátos llamados reursvos se hae a quksort? U ejemplo del peor aso se puede mostar e la fgura sguete: r r - r r El tempo tomado por quksort para este aso es la suma sobre todos los elemetos del úmero de vees que el elemeto forma parte de u subarreglo e el ual se hae u llamado a quksort. Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- QukSort: Peor Caso E el árbol ateror, se represeta por la profuddad de ada elemeto del arreglo. La profuddad de r es -,, la profuddad de r es. La suma de profuddad es. r = = = r - 3 = r r 3 = Por lo tato, e el peor aso quksort toma u tempo O Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-0 Aálss y Complejdad de Algortmos 0

11 QukSort: Caso Promedo No exste elemetos o llaves guales; todos los elemetos tee llaves dferetes. Cuado se llama a quksort A, l, m todos los órdees permutaoes de A[l],...,A[m] so gualmete probables. S el ordeameto al es r, r,..., r por el método de eleó del pvote, éste puede ser ó r ó r. Supoga que exste elemetos más pequeños que el pvote. S el pvote, v, es r, uo de los elemetos más pequeños que el pvote está e la seguda posó. Smlarmete, s el pvote es r, uo de los elemetos más pequeños que el pvote está e la prmera posó Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- QukSort: Caso Promedo El pvote debe ser el -ésmo elemeto más pequeño, del arreglo. La probabldad de que ualquer elemeto, tal omo el - ésmo más pequeño, apareza e la prmera posó es /. Dado que ya apareó e la prmera posó, la probabldad de que el segudo elemeto sea uo de los elemetos más pequeños de los - restates es /-. La probabldad de que el pvote apareza e la prmera posó y uo de los elemetos más pequeños e la seguda posó es /-. Smlarmete, la probabldad de que el pvote apareza e la seguda posó y uo de los elemetos más pequeños e la prmera posó es /- Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- Aálss y Complejdad de Algortmos

12 Aálss y Complejdad de Algortmos Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-3 ] [ = QukSort: Caso Promedo Por lo tato, la probabldad de que haya elemetos más pequeños que el pvote es /- ] [ partó tempo de la P vod quksort t A, t, t j t d, k; d = pvote A,, j ; f d >= 0 k = partoa,, j, A[d] ; quksort A,, k- ; quksort A, k, j ; Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- QukSort: Caso Promedo = = = = = = f f f f f = ] [ ] [ ] [ ] [ = = = = Se puede demostar que Apládolo a la reurrea o, se tee, por lo tato ] [ = f

13 QukSort: Caso Promedo Por lo tato, = = Se puede probar probar por duó que log para algua ostate y para. Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-5 QukSort: Caso Promedo = Supogamos que = Para = = log, S log Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-6 Aálss y Complejdad de Algortmos 3

14 Aálss y Complejdad de Algortmos Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-7 QukSort: Caso Promedo = = log log log = = log log = = log 3 log Supogamos que es válda para todo k <. Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-8 log 3 log 8 log log QukSort: Caso Promedo S, etoes, la suma del segudo y uarto térmo o es mayor que 0, Ya que el terer térmo es ua otrbuó egatva, etoes log. 8 log

15 HeapSort Estrutura de datos abstrata AGREGA, BORRAMIN, VACIA e INICIA INICIA S; for ada elemeto, x, a ordear 3 AGREGA x, S ; whle!vacias 5 y = BORRA_MINS; 6 prtf"... ", y ; 7 S las operaoes VACIA e INICIA toma u tempo O y las operaoes AGREGA y BORRA_MIN toma u tempo Olog, dode es el úmero de elemetos a ordear, es laro que el método de ordeameto ateror tomaría u tempo Olog Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- Arbol Paralmete Ordeado U árbol paralmete ordeado umple o las sguetes propedades: El valor de u odo e el árbol o es mayor que el de sus hjos U árbol paralmete ordeado se puede represetar medate u arreglo udmesoal, A, e el ual La raíz es A[], y Los hjos del odo A[] so A[] y A[] Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-30 Aálss y Complejdad de Algortmos 5

16 HeapSort, ot Nota: S es el úmero de elemetos del arreglo, / so odos terores del árbol baro. Sólo los odos terores se debe osderar para ordear el árbol e forma paral. Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-3 HeapSort: Deseso. Supogamos que los elemetos A[],...,A[j] obedee ya la propedad de los árboles paralmete ordeados, exepto posblemete por A[]. La fuó sguete desede a A[] hasta que se obtega la propedad de los árboles paralmete ordeados. Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-3 Aálss y Complejdad de Algortmos 6

17 HeapSort: Deseso. vod desede t A, t, t j t r; Aálss y Dseño de Algortmos r = ; whle r <= j/ f *r > j /* r tee sólo u hjo */ f omp A[r], A[*r] > 0 teramba &A[r], &A[*r] ; r = j; else /* r tee dos hjos */ f omp A[r], A[*r] > 0 && omp A[*r], A[*r] <= 0 teramba &A[r], &A[*r] ; r = *r; else f omp A[r], A[*r] > 0 && omp A[*r], A[*r] <= 0 teramba &A[r], &A[*r] ; r = *r; else /* o se vola la propedad de los árboles paralmete ordeados */ r = j; Sortg-33 HeapSort, ot. A[] A[-k] A[-k] A[] árbol paralmete ordeado vod HeapSort A,.. t ; arreglo e orde o reete A[-k] > A[-k] >... > A[] Aálss y Dseño de Algortmos for = /; >= ; -- /* Ialmete, establee la propedad del árbol paralmete ordeado */ desede A,, ; for = ; >= ; -- /* Quta el meor elemeto */ teramba &A[], &A[] ; /* reestablee el árbol paralmete ordeado */ desede A,, - ; Sortg-3 Aálss y Complejdad de Algortmos 7

18 Ordeameto Leal Supogamos que las llaves so eteros e el rago de a, y que o exste llaves guales. S A y B so arreglos de tpo adeuado y los elemetos que va a ser ordeados está almete e A, se puede oloar e el arreglo B e el orde de sus llaves medate for = ; <= ; B[ A[].llave ] = A[]; El lo ompleto toma u tempo O. Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-35 Ordeameto Leal Se puede usar otra forma para ordear el arreglo A o llaves,..., usado el msmo arreglo e tempo O. Se vsta A[],..., A[] e ese orde. S el regstro A[] tee ua llave j, se teramba o A[j]. S después del terambo, el elemeto que está ahora e A[] tee llave k, se teramba A[] o A[k], y se sgue así hasta que e A[] quede el regstro o llave. for =; <= ; whle A[].llave!= teramba&a[], &A[ A[].llave] ; Cada terambo oloa algú regstro e su lugar y ua vez ahí ua se mueva más. Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-36 Aálss y Complejdad de Algortmos 8

19 Ordeameto Leal S se permte llaves dupladas, etoes, para ada valor llave, k, debe exstr ua lsta, L[k], de todos los elemetos o la llave k. k r p r q Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-37 Ordeameto Leal #defe MAX_LLAVE... typedef... LISA vod BSort OBJEO A[], LISA[], t ; LLAVE K; t ; for k = ; k <= MAX_LLAVE; K /*Ia las lstas haedolas ulas */ INICIA L[K] ; for = ; <= ; /* Crea las lstas de ada llave */ INSERA A[], L[A[].llave] ; for K = ; K <= MAX_LLAVE; K /* Crea ua lsta o todos los regstros e orde*/ CONCAENA L[], L[K] ; S INICIA, INSERA y CONCAENA toma u tempo O y MAX_LLAVE <, etoes, la fuó ateror toma u tempo O. Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-38 Aálss y Complejdad de Algortmos

20 BSort: Iserta Operaó de Iseró o f. Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-3 BSort: Coatea Operaó de Coateaó Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-0 Aálss y Complejdad de Algortmos 0

21 BSort Observaoes: Supoga que se desea ordear ua lsta de valores eteros e el rago 0 a -. Se utlza ubetas, ua para ada uo de los eteros 0,,...,- Dos fases: Se oloa el etero al fal de la ubeta mod Se seleoa los valores e el orde e que está almaeados e las ubetas desde la 0 hasta la -. El etero se oloa al fal de la ubeta / Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- BSort: Ejemplo Ejemplo 0,, 8, 6,, 5, 36, 6,, Prmera Fase Seguda Fase Cubeta Cotedo 0 0,8 3 6, ,6 7 8, Cubeta Cotedo 0 0,,, Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- Aálss y Complejdad de Algortmos

22 BSort Observaoes: S los úmeros, j está e el rago 0 a - se puede pesar que ellos se puede expresar e base omo úmeros de dos dígtos, esto es, = a b y j = d, dode a, b,, y d está detro del rago 0,- S < j, etoes, a S a <, aparee e ua ubeta meor a la de j e la seguda pasada, así que preederá a j e el ordeameto fal. S a =, etoes, b <d.» E la prmera pasada debe preeder a j, e b y j e d.» E la seguda pasada y j so oloados e la msma ubeta, ates que j Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-3 RadxSort Supoga que se desea ordear ua lsta de elemetos uyos valores llave osste de k ompoetes, f, f,..., f k, uyos tpos so t, t,..., t k. Orde lexográfo a, a,..., a k es meor que b, b,..., b k, s suede solo ua de las odoes sguetes: a < b a = b y a < b... a = b, a = b,..., a k- = b k- y a k < b k Así, para algú j etre 0 y k-, a = b,..., a j = b j y a j < b j. Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- Aálss y Complejdad de Algortmos

23 RadxSort La dea lave detrás del método es ordear todos los elemetos de auerdo al ampo f k el dígto meos sgfatvo y luego oatear las ubetas. Después aplar el método para f k- y así hasta f. Se debe asegurar que al agregar u elemeto a ua ubeta se haga sempre al fal. E geeral, después de aplar el método sobre los ampos, f k, f k-,..., f los elemetos apareerá e el orde lexográfo s sus llaves osstera úamete de los ampos f,..., f k Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-5 RadxSort vod RadxSort /* Ordea la lsta A de elemetos o llaves que osste de los ampos f, f,..., fk de tpos t, t,..., tk, respetvamete. Utlza arreglos B, k, para las ubetas de los valores e el ampo f */ for = k; k >= ; k-- for ada valor v del tpo t 3 INICIA B[v] ; for ada elemeto r e la lsta A 5 Coloar r al fal de la ubeta B[v], dode v es el valor para el ampo f de la llave de r. 6 for ada valor v del tpo t, de meor a mayor 7 Coatear B[v] al fal de A. Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-6 Aálss y Complejdad de Algortmos 3

24 RadxSort vod RadxSort for = k; >= ; -- for ada valor v del tpo t 3 INICIA B[v] ; for ada elemeto r e la lsta A 5 Coloar r al fal de la ubeta B[v], dode v es el valor para el ampo f de la llave de r. 6 for ada valor v del tpo t, de meor a mayor 7 Coatear B[v] al fal de A. S s es el úmero de valores dferetes del tpo t. Las líeas y 3 toma u tempo O s Las líeas y 5 toma u tempo O Las líeas 6 y 7 toma u tempo O s. El tempo total del RadxSort es = Aálss y Dseño de Algortmos k O s O k s ú O s k = k = Sortg-7 Arboles de Desó U árbol de desó para u método de ordeameto es u árbol baro e el ual sus odos represeta el estado del método después de haer algú úmero de omparaoes. El estado de u programa de ordeameto es esealmete el oometo aera de los ordeametos ales que se ha obtedo por el programa hasta ese mometo. Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-8 Aálss y Complejdad de Algortmos

25 Arboles de Desó ab, ab, ba, ba, ab, ba A[] < A[]? b < a? ba, ba, ba 3 A[3] < A[]? < a? ba, ba 5 ba ab, ab, ab A[3] < A[]? < b? 6 ab, ab 7 ab A[] < A[]? < b? 8 ba ba A[] < A[]? < a? 0 ab ab Aálss y Dseño de Algortmos Sortg- Arboles de Desó s se ordea ua lsta de elemetos de tamaño, a, a,..., a exste! = - - posbles ordeametos orretos. La logtud del amo más largo de la raíz a ua hoja es ua ota feror e el úmero de pasos ejeutados por el algortmo e el peor aso. Ya que u árbol baro o k hojas debe teer u amo de logtud al meos log k, etoes, u algortmo de ordeameto que utlza sólo omparaoes para ordear ua lsta de elemetos debe tomar e el peor aso u tempo Ω log!.! = = Aálss y Dseño de Algortmos / vees log! log = log Sortg-50 Aálss y Complejdad de Algortmos 5

26 Arboles de Desó El ordeameto por omparaoes requere u tempo W log e el peor aso Ejero: Uo puede pregutarse s exste u algortmo de ordeameto que utle úamete omparaoes y que toma u tempo Ω log e el peor aso, pero e el aso promedo toma u tempo O o algo meor a O log. Exste tal algortmo? Aálss y Dseño de Algortmos Sortg-5 Aálss y Complejdad de Algortmos 6