Las familias infinitas siempre están asociadas a experimentos cuyo número de posibles resultados es infinito.

Transcripción

1 1.4 MEDID DE PROBBILIDD La probabldad es ua parte de las matemátas; omo tal, su ostruó teóra es smlar a la del álgebra o a la de la geometría: a partr de uas uatas premsas, llamadas axomas, se dedue lógamete otras afrmaoes, deomados teoremas, los uales osttuye u ojuto teóro más amplo. La teoría axomáta de probabldad fue desarrollada por el matemáto ruso dre Kolmogorov, que e 1933 estableó los tres axomas e los que se susteta, s que pese la otroversa e toro a las dferetes terpretaoes del térmo probabldad. Co depedea de la terpretaó de probabldad que se utle e ada problema partular, esta teoría es orreta y puede ser aplada e forma muy útl, s se satsfae esos tres axomas. Famlas de evetos S u eveto de u expermeto está osttudo por elemetos que so a su vez evetos asoados al expermeto, es der, s, etoes se de que el eveto es ua famla de evetos de. Ua famla de evetos es fta s el úmero de evetos que la osttuye es fto. Notaó: 1, 2,... Y ua famla de evetos es fta, s el úmero de evetos que la ost- B üüüü tuye es fto. Notaó: SIGM ÁLGEBR Las famlas ftas sempre está asoadas a expermetos uyo úmero de posbles resultados es fto. La ourrea ojuta de los evetos perteeetes a ua famla de eve- 1, 2,... está dada por: x x 1 La ourrea de al meos uo de los evetos perteeetes a ua famla 1, 2,... está dada por: x x 1 tos fta de evetos fta Ua famla de evetos,, es errada o respeto a ua operaó e partular: uó, terseó o omplemeto, s todos las operaoes de ese tpo que pueda realzarse o los evetos, 1,2,..., da omo resultado evetos que també perteee a la famla.

2 120 MEDID DE PROBBILIDD S o es así, la famla de evetos es aberta o respeto a esa operaó e partular. Álgebra de evetos. Cuado ua famla de evetos de es errada o respeto a las tres operaoes fudametales: uó, terseó y omplemeto, se de que es ua álgebra de evetos o u ampo de evetos. S es u álgebra de evetos, etoes sempre tee etre sus elemetos al meos dos evetos mutuamete exlusvos, además de los evetos y. Formalmete, u ampo de evetos es ua famla de evetos del espao muestral, que satsfae las sguetes dos odoes: a) S el eveto del espao muestral perteee a la famla, etoes su omplemeto també perteee a la famla : b) S los evetos y j del espao muestral perteee a la famla, etoes su uó j també perteee a la famla :,j j partr de estas dos odoes, se obtee otras:, j j, 1,2,...,, 1, 1,2,..., 1 Sgma-álgebra de evetos Ua sgma-álgebra de evetos o sgma-ampo, que se aostumbra esrbr e forma abrevada omo: -álgebra, es ua oleó, de evetos de, que umple o las sguetes tres odoes: a) El espao muestral perteee a la famla : b) S el eveto perteee a la famla, etoes su omplemeto també perteee a la famla : ) S los evetos,,, perteee a la famla, etoes su uó també perteee a la famla : 1 sí, ua σ-álgebra es ua oleó o vaía de evetos del espao muestral errada bajo las operaoes de omplemeto y de uoes ftas umerables, dode los elemetos de so evetos de terés del expermeto aleatoro. Etoes, ua σ-álgebra es ua estrutura que permte agrupar, de maera seletva, aquellos evetos uya probabldad teresa obteer. Es evdete que ua -álgebra de evetos es ua álgebra de evetos. La dferea etre ua álgebra y ua σ-álgebra rada e que la prmera es ua oleó errada bajo uoes ftas metras que la seguda es ua oleó errada bajo uoes ftas umerables.

3 12 SIGM-ÁLGEBR De maera geeral, ua -álgebra es la estrutura matemáto sobre los que se puede defr probabldades de los evetos del espao muestral. E el aso fto, las -álgebras so álgebras, porque o hay uoes ftas. u ojuto ualquera o vaío C, se le puede asoar varas σ-álgebras: desde la máxma -álgebra que otee al ojuto C, que orrespode al ojuto potea de, hasta la míma -álgebra que otee a ese ojuto C. S es u espao muestral ualquera o vaío, la oleó 1, es la míma -álgebra que se le puede asoar a oardal 2; la oleó 2,,, també es ua -álgebra que se le puede asoar a o ardal 4; la oleó 3,,B,,B,B, B,, s B també es ua -álgebra que se le puede asoar a oardal 8; y así, suesvamete. Las propedades de las álgebras y las -álgebras se refere a las operaoes de uó, terseó y omplemeto, que so presamete las requerdas para estableer los evetos. U eveto, omo ojuto de putos muestrales, es u subojuto del espao muestral : y al msmo tempo, es u elemeto de la -álgebra :, y e esto se debe dstgur laramete el uso adeuado de los símbolos de otea y perteea, respetvamete. S el espao muestral es fto, su ardal es, y su máxma -álgebra es el llamado ojuto potea, uyo ardal es 2. S el espao muestral es fto umerable, su ardal es el úmero trasfto 0, y su máxma -álgebra estaría osttuda por u úmero 0 fto 2 de evetos. S el espao muestral es otuo, otedo e el ojuto de los úmeros reales:, su ardal es el úmero trasfto 1, y su máxma 1 -álgebra estaría osttuda por u úmero fto 2 de evetos. Nótese que las tres oleoes aterores asoadas al espao muestral, efetvamete umple o las tres odoes de la defó de -álgebra. Ua -álgebra també umple o las uatro sguetes odoes:,,, ,B B,B B B

4 122 MEDID DE PROBBILIDD La terseó de dos -álgebras 1 y 2 asoadas a u eveto C ualquera, també es u -álgebra asoado al eveto C; la terseó puede ser fta, umerable o arbtrara. Evdetemete ua -álgebra terseó es más pequeña que las dos oleoes tersetadas: 1 2 1, 2 Sgma-álgebra geerada S C es ua oleó o vaía de evetos de, la σ-álgebra geerada por C, deotada por σ(c), es la oleó: C, C que es la terseó de todas aquellas σ-álgebras que otee a C y, por ede, també es ua σ-álgebra, es la míma geerada por C, porque es la σ-álgebra más pequeña que otee a la oleó C: C C La -álgebra míma otee al meos a la oleó C, a su omplemeto C, al espao muestral y al ojuto vaío. Las σ-álgebras geeradas tee dos propedades que resulta muy útles e la práta: a) La -álgebra geerada de ua -álgebra es la -álgebra : b) S C 1 y C 2 so dos oleoes de subojutos de, tales que la prmera está oteda e la seguda: C1 C, etoes C 2 1 C2. Ejemplo MOTORES. Cosderado que x, y, z y w so las varables baras 0, 1, que da el fuoameto respetvo del prmero, segudo, terero y uarto motores de u avó, s el expermeto osste e observar el fuoameto de los uatro motores sobre u tablero e teresa el eveto que o falle gú motor, determe la -álgebra geerada por y alule su ardal asoado. 0,0,0,0, 1,0,0,0, 0,1,0,0, 0,0,1,0, El espao muestral es: 0,0,0,1, 1,1,0,0,, 1,0,1,0, 1,0,0,1, 0,1,1,0, 0,1,0,1, 0,0,1,1, 1,1,1,0, 1,1,0,1, 1,0,1,1, 0,1,1,1, 1,1,1,1 El eveto de terés es: = {(0,0,0,0)} La -álgebra geerada por es:,,,, dode y el ardal de () es 4. Ejemplo CONMUTDOR. S represeta el úmero de llamadas que etra al omutador e u muto e teresa el eveto B, que etre más de 10 llamadas, determe la -álgebra geerado por B y alule su ardal asoado. El espao muestral es: 0,1,2,3,... El eveto de terés es: B 1011,12,13,... La -álgebra geerada por B es: B,B,B,, dode B 0,1,2,...,10 y el ardal de (B) es 4.

5 12 SIGM-ÁLGEBR Ejemplo FUTBOL. Cosdere el expermeto osstete e observar s el tlate gaa, empata o perde su próxmo partdo; determe la -álgebra asoada a esa oleó de tres resultados y alule su ardal asoado. El espao muestral es: gaa,empata,perdeg,e,p Los evetos de terés so: {g}, {e} y {p} La -álgebra geerada por esta oleó de evetos es: g, e, p, g, e, p, g,e, g,p, e,p, g,e,p y su ardal es 8. E vrtud de que aquí teresa los tres posbles resultados del expermeto, la -álgebra geerada por esa oleó de 3 evetos, orrespode al ojuto potea de, o ardal 2 3 = 8, porque el úmero de elemetos de es 3. S se defe los evetos: G g,e e,p p y sus omplemetos: G e p,e gp,p g e; etoes la -álgebra puede expresarse omo:,g,e,p,g,e,p,, dode satsfae las tres odoes: a) ; e efeto: g,e,p b) S ; e efeto: G g y G e,p ) S, ; e efeto: y y y y G g,e e GE g,e G g,p p GP g,p E e,p p E P e,p y E e E g,p y P p P g,e G g,e e,p p GE P g,e,p Sgma-álgebra de Borel Se le llama σ-álgebra de Borel de y se le deota por Ba la míma σ-álgebra geerada por la oleó de todos los tervalos abertos a,b de, e dode a b: B a,b a b Los elemetos de B se ooe omo borelaos o ojutos de Borel, que al estar defdos e so putos aslados e tervalos abertos y errados, obtedos a través de uoes e terseoes ftas o ftas umerables, así omo por omplemetos. Para ualesquera úmeros reales a b, los tervalos a,b, a,b, a,b, a,b, a,, b,,,a,,b, a,, b,,,a,,b, a, b so ojutos borelaos, todos ellos elemetos del -álgebra de Borel. La -álgebra de Borel de se puede defr, de maera equvalete, omo la míma σ-álgebra geerada por la gra oleó de todos los subojutos abertos de.

6 124 MEDID DE PROBBILIDD Es posble osderar també la σ-álgebra de Borel restrgda a u segmeto de los úmeros reales; s se toma u segmeto B, la σ-álgebra de Borel geerada por y deotada por B(), se defe omo: B B B B B El oepto de σ-álgebra de Borel se puede geeralzar a dmesoes. E el aso bdmesoal se osdera la oleó C de todas los retágulos 2 2 abertos de : C a,b,d a b, d; los borelaos de so los elemetos de la -álgebra míma geerada por la oleó C: 2 B C B B Ejemplo VIG. Cosdere ua vga lbremete apoyada de 10 m de logtud, sometda a ua arga oetrada que varía etre 1000 y 2000 kg y que puede estar oloada e ualquer puto a lo largo de la vga. Determe la sgma-álgebra para el expermeto osstete e observar las reaoes e los apoyos, uado Ra Rb El espao muestral es: R a,r b 0 Ra 2000,0 Rb 2000,1000 Ra Rb 2000 El eveto de terés es: H R a,r b Ra Rb, el ual se puede expresar H R,R 0 R 1000,0 R 2000,500 R R 2000 omo: a b a b a b La -álgebra míma geerada por H es ua -álgebra de Borel restrgda a ua regó del plao que forma parte de todos los subojutos abertos de 2 2 B B B : FUNCIÓN PROBBILIDD Espao probablzable U espao probablzable es ua pareja (, ), dode es el espao muestral lgado al expermeto aleatoro y es ua -álgebra sobre que osttuyeu sstema de subojutos de. De maera más geeral, u espao probablzable es u espao medble, sobre el que se va a medr probabldad, y los evetos del espao muestral, perteeetes a la famla, so los ojutos medbles. Fuó de ojuto Ua fuó de ojuto es ua regla de orrespodea m: que asga u úmero real m a ada ojuto de ua determada oleó. Esta defó se formalza a través de dos odoes que debe umplr la fuó de ojuto: a) La mage del ojuto vaío debe ser el ero: m 0 b) Las mágees de los ojutos debe ser adtvas. La mage de la uó fta de ojutos dsjutos perteeetes al domo de defó de la fuó, será gual a la suma de las mágees dvduales de esos ojutos: m m, j, j 1 1

7 12 FUNCIÓN DE PROBBILIDD Nótese que ua fuó de ojuto es dferete de ua fuó típa del álulo, que se defe e ua regó del espao -dmesoal: Df ; el domo de defó de ua fuó de ojuto, e ambo, es ua oleó de subojutos de u ojuto maro X, tal que a ada subojuto X, le orrespode u úmero real. S la propedad de adtvdad se geeralza a oleoes ftas umerables de ojutos, etoes la fuó se deoma sgma-adtva. m m, j, j 1 1 Ua fuó de ojuto sgma-adtva, se deoma medda de ojuto, s tal fuó asga u úmero real o egatvo a los subojutos del ojuto dado X: m0,. La oó tutva de todo esto se puede vsualzar de maera muy sella a través de ua aalogía; ua oleó de fguras geométras erradas, se toma omo ua oleó de subojutos de u ojuto más geeral, que orrespode al plao; s a ada fgura se le asoa su área, o a ada subojuto se le asoa u úmero, etoes esas áreas o esos úmeros umple o las propedades exgdas a ua medda de ojuto; la más dsttva es la propedad de adtvdad, que e la aalogía orrespode a la posbldad de sumar las áreas de las fguras, desotado los traslapes o terseoes, uado los haya. Espao probablísto U espao de medda es ua tera (X,, m), dode X es u ojuto ualquera, es ua -álgebra sobre X y m es ua medda defda e. U espao probablísto es ua tera (,, P) dode es el espao muestral lgado al expermeto aleatoro, es el ojuto de partes de, deomada -álgebra, y P es ua fuó, deomada medda de probabldad, defda de la -álgebra al ojuto de los úmeros reales e el tervalo [0,1]. Para que ua medda de ojuto sea ua probabldad, lo úo que se eesta es que la medda del ojuto ompleto sea uo.

8 126 MEDID DE PROBBILIDD Fuó probabldad La probabldad es ua fuó de ojuto que asga u úmero real etre 0 y 1, a ada uo de los subojutos del espao muestral, perteeetes a la -álgebra. Es ua medda que parte de ua -álgebra de evetos de u espao muestral y llega al tervalo real [0,1]. El domo de la medda de probabldad P es la -álgebra, osttuda por todos los subojutos del espao muestral ; el odomo de P es el eje real y el reorrdo de P es el tervalo [0,1]. La fuó probabldad debe umplr tres odoes, deomados axomas de probabldad. S 1, 2,,, subojutos del espao muestral. xoma de o egatvdad La mage de ualquer eveto, bajo P, es u úmero real o egatvo: P 0 (1.27) xoma de ormatvdad La mage del eveto seguro o espao muestral es uo: PS 1 (1.28) xoma de sgma-adtvdad La mage de evetos mutuamete exlusvos, bajo P, es la suma de las mágees de los evetos dvduales, bajo P: P (1.29) P j, j 1 1 E leguaje llao, los axomas de Kolmogorov se puede expresar omo: 1. La probabldad de todo eveto debe ser o egatva 2. S u eveto ourre o erteza, etoes su probabldad es uo. 3. La probabldad de u eveto que es la uó de dos evetos mutuamete exlusvos es la suma de las probabldades dvduales de esos dos evetos: PB PPB, B Nótese que éste fue el segudo teorema fudametal de la probabldad. Esta propedad adtva de la probabldad se satsfae para ualquer úmero fto de evetos dsjutos o ompatbles y, omo propedad sgma-adtva, para ualquer suesó fta de evetos dsjutos. La eleó de estas premsas por parte de Kolmogorov o es asual. No hay duda algua de que él desarrolló la teoría de la probabldad tomado omo base la teoría de la medda; pero la motvaó estuvo e las propedades de la freuea relatva: ua fraó que está ompredda etre ero y uo; ero para el eveto mposble y uo para el eveto seguro, y la adtvdad uado los evetos so mutuamete exlusvos. E lugar de éstos axomas, se pudero haber elegdo los tres teoremas fudametales de la probabldad, que e la práta, de verdad lo fuero durate as 300 años, pues la axomatzaó de la probabldad data apeas de 1933.

9 12 FUNCIÓN DE PROBBILIDD Lo que es u heho es que, ua vez establedas esas premsas, la probabldad adquró u aráter uversal permaete, eotrado e el poder de la lóga, ombado o el de la tuó, ua fuerza de expasó lmtada. La probabldad promueve u desarrollo matemáto rguroso y o se atee a la estadísta, heretemete erta; s embargo, ofrota los modelos dealzados de la probabldad pura, o los resultados empíros de la realdad mperfeta. El espao muestral es la uó de todos los evetos smples: e Los evetos smples so mutuamete exlusvos: e e j, j Por el terer axoma: P e Pe ; y por el segudo: PS 1 Etoes, el terer axoma mpla que el segudo pueda esrbrse omo: Pe 1 La base axomáta de probabldad reada por Kolmogorov osttuye el modelo teóro sobre el se trabaja; uado etramos e el domo del modelo, evtablemete os separamos, al meos temporalmete, de la realdad del feómeo que pretedemos represetar o el modelo. E todo aso, sea ual sea el rtero de asgaó de probabldades que se adopte: láso, freuetsta o subjetvo, la odó dspesable es que tal asgaó umpla o los tres axomas de probabldad, que o depede de la forma e la que haya sdo asgadas las probabldades. S retomamos la aalogía de las áreas de fguras geométras, os peratamos fálmete que la forma e que sea aluladas, o fluye e el oepto de área; de maera smlar, la forma e que hayamos asgado las probabldades de los evetos, o de e la oó de probabldad. Co el efoque axomáto, a la probabldad se le atrbuye u aráter abstrato, s sgfado, a sabedas que la probabldad se puede perbr desde las perspetvas del jugador, del estadísto, del experto y del eófto. Desde puto de vsta del jugador, la dsrmaó de asos gualmete verosímles, resulta u tato artfal, ta proto se reooó que la probabldad a pror puede ser orroborada empíramete. E los asos e que el expermeto puede repetrse defdamete, el reurso báso es la freuea relatva. E expermetos o repettvos, quees asga probabldades de maera subjetva, solo puede esperar a que se reale y rebr retroalmetaó de lo que realmete aoteó. S la freuea relatva de u eveto, luego de realzar muhas pruebas, resulta de 0.467, al ser ofrotada o la probabldad del eveto de 0.5, postulada a pror, esta aproxmaó es datva de eraía y odue a ua hpótess: las freueas de u msmo eveto aleatoro, e seres umerosas de pruebas, empíramete dfere poo uas de otras, agrupádose la mayoría e toro de u valor etral, que es la probabldad del eveto. uque otra vez se reurre a la freuea relatva omo medda expermetal para alular aproxmadamete la probabldad, ahora ya o se está aplado ua defó de probabldad basada e la teoría, so que se trata de ua hpótess, posteror a la formulaó de la teoría, que permte verfar los postulados de la teoría o los resultados de la observaó.

10 128 MEDID DE PROBBILIDD Ejemplo PROTOTIPO. Los dos posbles resultados so: a = aprobado y r = reprobado, por lo que el espao muestral es: a,r. a y R r, el -álgebra queda ost- S se defe los evetos: tudo omo sgue:,a,r,a,r,,r,s Se geera el espao probablzable (, ), uyo esquema se muestra: Las probabldades asgadas fuero: P 0.63, P R 0.37 Cumple o los tres axomas: 1.P 0, P R 0; 2.P 1; 3.P R P P R 1 Ejemplo PRES. Para ua presa uya orta tee 100 m de altura, el espao muestral para el trate de agua es 0,100; s úamete os teresa que el trate o supere los 30 m, x 30, etoes la -álgebra estará osttuda por uatro evetos: el vaío, el espao muestral y los tervalos0,30y 30,100 ada posble tervalo le orrespode ua mage bajo P, tal es el aso del evetob x x 30, o lo que es lo msmo, el tervalo 0,30, uya probabldad es 0.118, oforme a lo que se había obtedo e el ejemplo 1.19 Las probabldades asgadas fuero: P 0.63, PR 0.37 Cumple o los tres axomas: 1. P x , P x , 2. P 1 3. P x 30 x 30 P 0 x Ejemplo FUTBOL. Segú Jame las probabldades para el sguete partdo del tlate so: 0.5 que gae, 0.3 que empate y 0.2 que perda. Corrobore que esta asgaó umple los axomas de probabldad. P G 0.5 0, P E 0.3 0, P P PS 1 3. G E y P G E P P 0.8; P G P E GP y P GP P E 0.7; P G P P E P y P E P P G 0.5; P E P P PGE P PS 1; PGPEPP

11 12 PROBBILIDDES DE EVENTOS Probabldad de u eveto Puesto que u eveto está asoado o uo o más putos muestrales y dado que estos putos muestrales osttuye evetos smples y, por tato, mutuamete exlusvos, la probabldad de u eveto es la suma de las probabldades asgadas a los evetos smples o los uales está asoado. S a,b,,d, etoes P Pabd y por el axoma de adtvdad: P P a P b P P d (1.30) PROBBILIDDES DE EVENTOS La obteó de fórmulas para álulo de probabldades se falta muho al osderar evetos mutuamete exlusvos, omo se podrá ver e seguda. Probabldad del omplemeto de u eveto Puesto que el eveto y su omplemeto so evetos mutuamete exlusvos: ; por el axoma de adtvdad: P P P Puesto que y so evetos oletvamete exhaustvos: S, por P P S 1 P P 1; por el axoma ormatvo: ; etoes: lo tato: P 1 P (1.31) També es erto que: P 1 P ; por lo tato: P 1 y por el axoma de o egatvdad: P 0. Otra vez por el axoma de o egatvdad: P 0, por lo que la probabldad de u eveto es u úmero real mayor o gual que ero y meor o gual que uo: 0 P 1 (1.32) Nótese que éste fue el prmer teorema fudametal de probabldad. Este resultado ta obvo es de gra utldad práta, porque al ooer la probabldad de u eveto, e automáto se sabe la de su omplemeto, al restarla de uo; a vees es más fál evaluar la probabldad del omplemeto.

12 130 MEDID DE PROBBILIDD Probabldad de u eveto mposble El eveto mposble mpla la o ourrea del espao muestral: S ; por lo que P PS. Sabedo que PS1 PS y por el axoma de ormatvdad: PS 1. Etoes PS 0y, por lo tato: P 0 (1.33) S embargo, que el reíproo de este resultado o es erto; es der, puede haber u eveto que tega probabldad ero, sedo absolutamete posble. Evetos depedetes La depedea de evetos es uo de los oepto etrales e la teoría de probabldad y uo de sus rasgos dsttvos. uque ésta es ua propedad que se preseta freuetemete de maera atural e la práta,smplfado el álulo de probabldades, su orreta terpretaó y aplaó requere de ua dsusó más ampla, que haremos e el apítulo 1.5. Por el mometo dremos que dos evetos so depedetes, s la ourrea de uo o afeta la probabldad de ourrea del otro; os referremos e prpo a evetos que o está relaoados físamete, de maera que se les puede osderar físamete depedetes; e oasoes, lo que lue omo depedea físa, e oasoes o lo es; sempre puede exstr ua relaó físa sospehada, que solo la formaó estadísta es apaz de desubrr. Es muy mportate dstgur la dferea etre evetos mutuamete exlusvos y evetos depedetes; so oeptos a tal puto atagóos, que s dos evetos so mutuamete exlusvos, o puede ser depedetes. La úa exepó se da e el aso degeerado e el que o B, o ambos, es u eveto mposble. Cosdere, por ejemplo que ; etoes P 0 y B so mutuamete exlusvos: PB PPB, B, pues P B PPB, B ; PB PB y B so depedetes porque PB PPB, pues B, PB 0; P B PPB, 0 0 Reurredo a ua aalogía geométra, la dea de exlusó mutua se equpara o paralelsmo, e tato que la oó de depedea e probabldad se detfa o perpedulardad. Fudados e tal equvalea, alguos autores ha adoptado el símbolo de perpedulardad para deotar la depedea etre evetos. E este texto los hemos emulado: la otaó B tedrá por sgfado que los evetos y B so depedetes. Cabe der que el símbolo de paralelsmo o se usa para los evetos exluyetes, porque para ellos ya exste ua otaó muy lara que los defe: B La ausea de terseó s os da la mposbldad de depedea; pero la exstea de terseó, o permte olur ada respeto a s los evetos so o o depedetes. E problemas e los que los evetos paree o estar relaoados físamete, ovee e prpo supoer depedea, a reserva de que se pruebe lo otraro.

13 1 PROBBILIDDES DE EVENTOS Probabldad ojuta de evetos depedetes La probabldad ojuta de dos evetos y B es la probabldad de su terseó: P B, es der, es la probabldad de que los dos evetos ourra ojutamete. La probabldad ojuta de dos evetos depedetes y B es gual al produto de sus probabldades dvduales. B PB PPB (1.34) Esta expresó para alular la probabldad ojuta de evetos depedetes, se ooe omo ley de multplaó de probabldades para evetos depedetes, ofreedo ua defó alteratva para depedea etre evetos: dos evetos y B so depedetes, s la probabldad ojuta es el produto de sus probabldades dvduales., al omparar ésta o el produto de las dos prmeras, uado exste odea, se asegura que los evetos so depedetes, y uado hay dferea, hay do de que los evetos so depedetes. Nótese que éste fue el terer teorema fudametal de probabldad. La ourrea ojuta de evetos o sgfa ourrea smultáea, pues los evetos puede ourrr ojutamete, desfasados e el tempo. S los evetos y B se osdera depedetes por o estar relaoados físamete y s las probabldades P() y P(B) so oodas, etoes su produto se puede asgar omo valor de la probabldad ojuta P B. S se ooe las probabldades dvduales P() y P(B) y la probabldad ojuta P B Geeralzado, los evetos 1, 2,, so mutuamete depedetes, s y sólo s, la ourrea de uo de ellos o afeta la probabldad de ourrea de los otros, las de sus ourreas ojutas; esto es: P P,, P P, P 0, osderado todas las posbles terseoes de 2 e 2, de 3 e 3,, de -1 e -1. Este resultado se tradue e lo que se ooe omo la ley de multplaó de probabldades para varos evetos depedetes. S los evetos so mutuamete depedetes, su probabldad de ourrea ojuta es el produto de sus probabldades dvduales de ourrea. P P (1.60 ) 1 1

14 132 MEDID DE PROBBILIDD Probabldad mplada S u eveto es subojuto de otro eveto B: B. El eveto B, B B S B B satsfae la gualdad: pero omo B, etoes B B, de modo que se puede esrbr: y PB PB B B. Los evetos y ( B) üüüü P B 0 so mutuamete exlusvos: el axoma de adtvdad: o egatvdad: Por lo tato: PB P B, y por, y por el axoma de, que es lo msmo que: resume: P B P. E B P P B (1.35) Otro resultado medato que se desprede del ateror es el sguete: üüüü (1.35 ) La mplaó práta de este resultado es que uado ourre el eveto, de maera automáta ourre el eveto B, por lo que el eveto B es al meos ta probable omo lo es el eveto. Ley de adó de probabldades Sea los evetos y B mutuamete exlusvos o o. Cosderemos los evetos 0 B y B0 B 0 B, por ede: P P0 B ; pero 0 B y por el axoma de adtvdad: üüüü 0 0, por ede: P0 PPB B B B, por ede: PB PB B 0 0 ;

15 1 PROBBILIDDES DE EVENTOS pero B0 B y por el axoma de adtvdad: PB0 B PB0PB, por ede: PB0 PBP B B 0 B0 Bpor lo que: PB P0 B0 B pero 0 B 0, 0 B, B0 B, y por el axoma de adtvdad: PB P0 B0 B P0PB0PB susttuyedo: PB PPBPBPBPB obteedo: PB PPBP B (1.36) ; Este resultado se ooe omo ley de adó de probabldades, la ual establee que la probabldad de ourrea de al meos uo de dos evetos es la suma de sus probabldades dvduales meos la probabldad de su ourrea ojuta. Es evdete que uado los evetos y B so mutuamete exlusvos, la ley de adó de probabldades se tradue e el terer axoma de probabldad. Cardao fue el prmero e expresar tutvamete este resultado, e térmos de asos, e vez de probabldades. Jaob Beroull se perató de que la probabldad de la uó o era la suma de las probabldades uado los evetos o so mutuamete exlusvos, pero o supo explar el por qué. Que formuló el teorema de adó de probabldades fue Thomas Bayes, e su obra póstuma de 1763, dstguedo el aso de los evetos o dsjutos, a los que él llamó osstetes. La ley de adó de probabldades geeralza fálmete por duó matemáta. Dados los evetos 1, 2,, la probabldad de su uó es: j j l j jl P P P P... P... (+), s es par; (), s es mpar. 1 1 Para = 1: P P ; P1 P1 1 1 Para = 2: 2 2 P P P j ; P 1 2 P 1 P 2 P j2 Para = k: osderado k par y supoedo erto que: k k P P P j P j l... P k 1 1 jk jlk Para = k + 1: (k + 1 resulta mpar) k1 k k k P Pk 1 PPk 1Pk k k P Pk1P k k k P P P... P jk k1 k1 j k1 1 2 k1

16 134 MEDID DE PROBBILIDD k k 1 1 Susttuyedo P y P k 1 por sus respetvos desarrollos: k1 k j j l 1 2 k 1 1 jk jlk P P P P... P... k Pk 1P k 1 P j k1... P k 1 1 jk k1 k k P P Pk 1 P j P k jk 1 P P... P... j l j k1 1 2 k jlk jk P P P P... P... k1 k1 j j l 1 2 k jk1 jlk1 maera de ejemplo, osdere ley de adó de probabldades para tres evetos ualesquera, B y C: P BC P P B P C P B P C PBCPBC Desgualdad de Boole Cuado los evetos so mutuamete exlusvos: B, la probabldad ojuta es ula: PB P 0 y la expresó (1.36) se redue al axoma de adtvdad: PB P PB E todo aso, por el axoma de o egatvdad: PB 0, por lo que la ley de adó de probabldades verfa la euaó ooda omo desgualdad de Boole: PBP PB (1.37) Obvamete, també se umple la desgualdad de Boole, e su forma geeralzada: P P 1 1 Ejemplo SERVICIOS DE TELECOMUNICCIONES. Los usuaros de la ompañía Telex tee otratado además del servo de telefoía loal, alguos otros servos: 9 de ada 20 usuaros tee obertura lmtada e llamadas de larga dstaa aoal (N), 1 de ada 4 tee obertura lmtada e llamadas de larga dstaa a vel mudal (M), 3 de ada 10 ueta o oexó a Iteret de bada aha (I) y 1 de ada 5 ueta o señal de televsó sateltal (T). No hay usuaros o señal de televsó que o uete o larga dstaa; el 12% tee señal de televsó y larga dstaa aoal, el 20% tee Iteret, pero o señal de televsó, el 23% o tee larga dstaa Iteret, el 5% ueta o larga dstaa mudal, televsó sateltal, pero o Iteret y el 7% tee larga dstaa mudal e Iteret, pero o señal de televsó.

17 1 PROBBILIDDES DE EVENTOS Sea los evetos: larga dstaa aoal larga dstaa mudal Iteret de bada aha televsó sateltal N, P N 9 / M, P M 1/ I, P I 3 / T, P T 1/ S se elge u usuaro al azar, uál es la probabldad de que: a) o tega servo de larga dstaa P L1 P L ; P L P N M P NP M P L b) tega larga dstaa pero o Iteret PI L?, I I LI L, P I PI LI L PI LPI L P I 1 P I ; P I LP I P I L ) tega al meos uo de los servos PI LT PIPLPTPI LPI TPLTPI LT PI L?, L I LI L, PL PI LI L PI LPI L P I L P LP I L PI T?, I I TI T, P I PI TI T PI TPI T P I T P I P I T PLT? T LTLT, PT PLTLT PLTPLT P L T P T P L T PI LT? I T I LTI LT, PI T PI LTI LT PI T PI LTPI LT, PI LT PI TPI LT P I L T d) o tega guo de los servos P I L T P I L T 1 P I L T

18 136 MEDID DE PROBBILIDD e) solo tega larga dstaa PI TPI LTPI LT, PI LTPI TPI LT P I L T? I T I L T I L T, P I T P I L T I L T P I T P I T 1 P I T, P I T P I P T P I T P I T , P I L T f) tega larga dstaa aoal e Iteret, pero o señal de televsó PI NT? I T I NTI M TI LT P I T P I N T I M T I L T P I N T P I M T P I L T PI NTPI TPI M TPI LT, LT I LTI LT PLTPI LTI LT PI LTPI LT PLPLTPLT, PLTPLPLT P I L T P L T P I L T, L L T L T, P L P L T L T I L T , P I N T g) solo tega larga dstaa mudal PI M T? I LT I NTI M T, PI LTPI NTI M T PI LTPI NTPI M T, PI M TPI LTPI NT PI NT? NT I NTI NT, PNTPI NTI NT PNTPI NTPI NT, PI NTPNTPI NT N NTNT, PN PNTNT PNTPNT P N T P NP N T , P I N T P I M T Ejemplo DEFECTUOSOS. E ua muestra de 200 torllos produdos por la fábra Tor hubo 7 o defetos e la uerda, 11 o dmesoes fuera de toleraa, y de estos dos ojutos, hubo 5 o ambos defetos. S se elge u torllo aleatoramete, alule la probabldad de que:

19 1 PROBBILIDDES DE EVENTOS Sea los evetos: C defeto e uerda F dmesoes fuera de toleraa a) tega ambas lases de defetos NC F 5 P C F N 200 b) esté defetuoso N C N C N C F PCF PCPFPCF N N N ) o tega defeto alguo P C F P C F 1 P C F Ejemplo RÍOS CONTMINDOS. El río Papaloapa se almeta de los ríos Sato Domgo y Valle Naoal; a su vez, los afluetes del Sato Domgo so los ríos Grade y Salado, omo se aprea e el esquema de la fgura. Las probabldades de que esté otamados los ríos Grade, Salado y Valle Naoal so 1/6, 1/5 y 1/4, respetvamete y se supoe que los omportametos de los ríos Grade y Salado so depedetes, al gual que los de los ríos Valle Naoal y Sato Domgo. Se pde determar la probabldad de que el río Papaloapa esté otamado.

20 138 MEDID DE PROBBILIDD Sea los evetos: P = Papaloapa otamado V = Valle Naoal otamado; P(V) = 1/4 D = Sato Domgo otamado G = Grade otamado; P(G) = 1/5 S = Salado otamado; P(S) = 1/6 S el río Grade o el Salado está otamados, el Sato Domgo també lo está. Es laro que los evetos G y S so depedetes físa y estadístamete: G S PD PGS PGPSPGS PGPSPGPS S el río Valle Naoal o el Sato Domgo está otamados, el Papaloapa també lo está. Es laro que los evetos V y D so depedetes físa y estadístamete: V D PP PVD PV PD PVD PV PD PV PD Ejero CIRCUITO ELÉCTRICO. E el ruto esquematzado e la fgura, los 3 terruptores fuoa depedetemete, o la msma probabldad de falla p. Se pde determar la probabldad de que fluya orrete de la termal 1 a la 2, expresada omo ua euaó e p, smplfada al máxmo. Sea el eveto: C = Iterruptor errado; P(C ) = p = Iterruptor aberto; P( ) = 1 - p F = hay flujo de orrete etre 1 y 2 Cosderado evetos mutuamete exlusvos: PF P CCCCCCCCCCCC PCPCPC3PCPCP3PCPP p 31 p p 31 pp 1 3p 3p p 3p1 2p p 3p 1 p p3p p 3p6p 3p 3p 3p 1p Por la ley de adó de probabldades: PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC P F P C C C P C P C P C P C C P C C P C C P C C C p 3 1p 1p 33p3 12pp 13p3p p 1P P P P 1ppp 1p Por omplemeto: P F 1P 1P P P 1ppp 1p

21 1 PROBLEMS CLÁSICOS La mayor parte de los problemas que volura probabldades se puede resolver de varas maeras, todas gualmete váldas; a que le toa obteer la soluó de u problema partular, le puede pareer que ua forma es más sella que otra, s que sea eesaramete la más orta. U ejemplo de esto es el ejero ateror, resuelto por tres proedmetos dsttos, o la dea de que los letores se perate lo útl que es el reurso de darle la vuelta al problema; s o quere salr de ua maera, tetarlo por otro amo, y s o, por otro más. Red de gaadores Ua supuesta empresa espealzada e proóstos deportvos ofree a ada uo de sus letes, por la móda suma de $500, evarles vía orreo eletróo, el vato sobre el gaador de u determado eveto deportvo espeífo, que tedrá lugar el sguete f de semaa; o la garatía de la devoluó total de su dero, s la predó o es aertada. la empresa o le mporta que hae el lete o ese proósto, pero auque o sea su propósto, lo due a apostar e favor del vato, la atdad que él quera y dode él quera. S ada semaa la empresa rebe e promedo 300 soltudes de proósto, el aumulado medo semaal es de $150,000, msmos que tedría que devolver, s su proósto falla. Pero qué suede, s la empresa le da u proósto a la mtad de sus letes y a la otra mtad le da el proósto otraro? Nos peratamos de que e esta red de gaadores, lo úo seguro es que gú lete gaa, que la mtad de ellos perde $500 ada uo, por haber rebdo el proósto aertado y la que gaa sempre es la empresa. Para erolar a más persoas e el embuste, la empresa se puede dar el lujo de ofreer la devoluó de $750 e vez de los $500 de la apuesta, s el proósto es falldo; y la empresa de todas maeras gaa, pues se queda o $250 de ada lete satsfeho, $37,500 a la semaa, $150,000 al mes. Gra egoo; desde luego, frauduleto PROBLEMS CLÁSICOS Paradoja de las tres puertas També oodo omo el problema de Moty Hall, pues este odutor de televsó fue que lo presetó e su programa Let s Make a Deal. Supó que estás partpado e u ourso televsvo frete a tres puertas erradas; se sabe que detrás de ua de ellas hay u automóvl, metras que tras las otras dos hay sedas abras. El presetador te pde que eljas ua de las tres puertas y te de que te llevarás lo que hay detrás de la puerta elegda. Cuado tú ya has elegdo ua puerta, deseoso de gaarte el ohe, el presetador abre ua de las otras dos puertas y detrás de ella hay ua abra; es laro que tras las dos puertas erradas está el automóvl y la otra abra, y tú ya elegste ua de ellas. E ese mometo el presetador te pregutará s queres ambar de puerta o quedarte o la elegda almete. Qué debes haer? Cambas a la otra puerta o te quedas o la que habías seleoado almete? Te trae algú beefo haer u ambo de eleó?

22 140 MEDID DE PROBBILIDD Muhas persoas osdera que la probabldad al de 1/3 se modfa a 1/2, uado se desubre ua puerta o ua abra; por lo tato pesa que modfar tu eleó o aumetaría tus posbldades de gaar el automóvl. S embargo, ese razoameto es orreto, ya que el ambo de puerta remeta tus posbldades de gaar el ohe a 2/3. Cuado se publó por prmera vez esta soluó e la revsta Parade, hubo muhos letores, alguos de ellos o dotorado, que esrbero a los edtores para derles que tal soluó estaba equvoada. Y es que el jueguto paree ser ua afreta total al setdo omú. La soluó se basa e que el presetador sempre abre ua puerta, que esoge etre las dos restates, después de que tú has heho tu eleó, y tras esa puerta que abre, sempre hay ua abra; además, sempre ofree haer el ambo y o omo estratega usada a su oveea. E prmera staa teíamos 3 puertas, por lo que la probabldad de que el ohe estuvera detrás de la puerta que tu seleoes es de 1/3, metras que la probabldad de que esté detrás de algua de las otras dos puertas es de 2/3. Luego, uado el odutor abre ua puerta e la que hay ua abra, la probabldad de ohe e esa puerta es ero, por lo que la probabldad de 2/3 la tee la puerta errada que o elegste. Hay que eteder muy laramete que tu ambo de eleó o garatza que gaarás el auto; solamete remeta tus posbldades. S te lo gaas, ade te podría der ada, pero s lo perdes, la gete y hasta tu msmo drá: por que ambaste tu eleó? Tu respuesta es: porque o ella teía mayores probabldades. Paradoja del umpleaños Cuál tedría que ser el tamaño mímo de u grupo de persoas, para que la probabldad de haya al meos dos de ellas que umpla años el msmo día, sea superor al 50%? S las persoas del grupo so demasado poas, omparadas o los 365 días del año, pareera que o abría esperar repetoes. Claro que sería dfíl esperar repetó de u día de umpleaños espeífo, pero s la odea puede darse etre ualesquera parejas de persoas, a mayor úmero de persoas, mayor úmero de parejas posbles y mayor úmero de posbldades de odea. Cosderado las ombaoes de persoas tomadas de dos e dos, tedríamos que: E ua pareja sólo hay 1 posbldad etre 365, de que su umpleaños oda; e u grupo de tres persoas, se puede formar tres parejas, por lo que so 3 las posbldades de odea; uado el grupo es de uatro, las posbldades sube a 6; y o u grupo de dez, llega a 45; uado el grupo es de 23 persoas, se puede formar 253 parejas dsttas y, por tato exste 253 posbldades de umpleaños odetes, y o u grupo de 46 persoas, las posbldades so ya de más de 1000 parejas dsttas. = {Hay al meos dos persoas del grupo que umple años el msmo día} = {Todas las persoas del grupo umple años e u día dferete}

23 14 PROBLEMS CLÁSICOS Este es uo de esos problemas e que es más fál alular la probabldad del eveto omplemetaro. Usado el rtero de asgaó a pror, de asos favorables etre asos totales, teemos: Número de asos totales o persoas e el grupo: N = (365) Número de asos favorables de o odea: N( ) = 365x364x363x x(365-+1) P 365 Podemos estableer ua fórmula de reurrea, para alular el valor para ada : P... P P 1 P La paradoja del umpleaños fue plateada e la mera Mathematal Mothly, e 1938; se trataba de alular la probabldad de que e u grupo de persoas dos o más de ellas umplera años el msmo día. S el grupo está formado por 23 persoas la probabldad es de 50.7%. S el grupo es de 60 o más persoas, la probabldad es mayor del 99%. Y obvamete para u grupo de 366 persoas la probabldad es del 100%, osderado años bsestos. E setdo estrto ésta o es ua paradoja, ya que o hay otradó lóga algua; es ua verdad matemáta que otrade el setdo omú; e geeral la gete estma que esta probabldad es muho más baja, y que hae falta muhas más persoas para alazar ua probabldad del 50%. No hay que malterpretar lo que de esta paradoja. S llegas a u lugar e el que hay 22 persoas, la probabldad de que ualquera de ellas umpla años el msmo día que tú, o es del 50%, so muho más baja: meos del 6%, porque sólo hay 22 parejas posbles; tedría que haber 253 persoas para que hubera más de u 50% de probabldades de odea o tu umpleaños. B = {Probabldad de odea o tu umpleaños} 364 PB 1PB s 22, P B ; s 253, P B