Probabilidades y Estadística Cs. de la Computación

Transcripción

1 robabldades y Estadísta Computaó Faultad de Ceas Exatas y Naturales. Uversdad de ueos res a M. ao y Elea J. Martíez 004 robabldades y Estadísta Cs. de la Computaó Itroduó reve reseña hstóra: La teoría de robabldades omeza a partr de ua dsputa etre jugadores e 654. Los dos matemátos que partparo de tales dsusoes fuero lase asal y erre de Fermat, y su terambo de orrespodea setó las bases de la teoría de robabldades. U matemáto holadés, Chrsta Huyges tomó otato o esa orrespodea y esrbó el prmer lbro sobre robabldades e 657, el ual trataba fudametalmete sobre problemas relaoados o los juegos de azar. Durate el sglo XVIII la teoría se desarrolló y se erqueó o los aportes de Jaob eroull y braham de Movre. E 8 erre de Laplae trodujo ua sere de uevas deas y téas matemátas e su lbro Theore alytque des robabltés y fudametalmete saó a la teoría del maro exlusvo de los juegos de azar y apló las deas a muhos problemas etífos y prátos. lguas de las mportates aplaoes desarrolladas e el sglo XIX fuero: teoría de errores, matemáta atuaral y meáa estadísta. Ua de las dfultades para el desarrollo de la teoría matemáta de las probabldades fue llegar a ua defó de probabldad matemátamete rgurosa, pero al msmo tempo ampla para permtr su aplaó a u amplo rago de feómeos. E el sglo XX se llegó a ua defó axomáta de las robabldades Kolmogorov, 9. orqué estudar robabldades y Estadísta e Ceas de la Computaó?: osbles pregutas que queremos respoder: Cuál es el máxmo úmero de termales que puede estar oetadas e u servdor ates de que el tempo medo de espera se haga aeptable? E ua base de datos, Cómo debería ser guardados los datos para mmzar el tempo medo de aeso? Los sstemas de omputaó o so determístos. esemos, por ejemplo, e el delay e el evío de paquetes, omuaoes e ua red, equlbro de arga e servdores, requermetos de memora, et. ara qué srve las robabldades? S be estamos frete a proesos aleatoros, o so eesaramete aótos, e el setdo que podemos desubrr u patró de omportameto que pueda ser modelado. Veamos u ejemplo de uso freuete.

2 robabldades y Estadísta Computaó Faultad de Ceas Exatas y Naturales. Uversdad de ueos res a M. ao y Elea J. Martíez 004 Compresó de arhvos: El ódgo SCII otee 56 arateres, ada uo de los uáles se represeta o u úmero osstete e 8 dígtos baros, por ejemplo, á se represeta por ara smplfar el problema, supogamos que otamos o sólo 4 arateres:,, C y D. ara represetarlos eestamos bts. or ejemplo, podríamos represetarlos así: 00 0 C 0 D S u texto ostara de arateres eestaríamos bts para guardarlo. Esta atdad de bts es determísta. Supogamos que sabemos que ertas letras aparee o más freuea que otras, por ejemplo, supogamos que sabemos que las freueas o que aparee las 4 letras e u texto so: % 0. % C 0.0 0% D % El método de odfaó de Huffma utlza la formaó dspoble sobre la freueas de aparó de los arateres y asga ódgos de logtud varable. or ejemplo, podríamos asgar a los 4 arateres de uestro ejemplo los sguetes ódgos: 00 C 0 D 00 Cuáto espao e bts ouparía ahora u texto de arateres? No lo sabemos, pero podemos supoer que tedremos e promedo: 0.70 vees s 0. vees s 0.0 vees C s 0.08 vees D s y el úmero de bts requerdo sería: 0.70 * 0. * 0.0 * 0.08 *.48. Como se observa, el método produe ua dsmuó del espao promedo requerdo para almaear u texto.

3 robabldades y Estadísta Computaó Faultad de Ceas Exatas y Naturales. Uversdad de ueos res a M. ao y Elea J. Martíez 004 robabldad El térmo robabldad se refere al estudo del azar y la ertdumbre. E aquellas stuaoes e las uáles se puede produr uo de varos resultados posbles, la Teoría de la robabldad provee métodos para uatfar la hae de ourrea de ada uo de ellos. Ejemplos: Se arroja u dado dos vees y se regstra la suma de putos. Cuál es la probabldad de que se obtega ua suma mayor que 0? E u juego de ruleta, uál es la probabldad de gaar apostado a prmera oluma? E u juego de ruleta, uál es la gaaa esperada apostado repetdamete a prmera oluma? Cuál es la probabldad de que u servdor que atede a 0 termales se sature e u determado mometo? Dada la formaó dspoble, uál es la probabldad de que llueva el próxmo f de semaa? Defoes: Expermeto: Es ualquer proeso o aó que geera observaoes y que puede ser repetble. or ejemplo, arrojar u dado, seleoar u dvduo y regstrar su peso y su altura, seleoar ua muestra de produtos elaborados por ua empresa para haer u otrol de aldad, seleoar u día al azar y regstrar el úmero de vees que se satura u servdor. Espao muestral asoado a u expermeto: Es el ojuto de todos los resultados posbles del expermeto. Lo otaremos S. Ejemplos: Se arroja ua moeda ua vez. S{ara,ea} ó S{,0} ó S{éxto,fraaso} Se arroja ua moeda dos vees. S{,,,0,0,,0,0} Se arroja ua moeda hasta que aparee por prmera vez ua ara. S{,0,,0,0,,0,0,0,,...} {x,x,...x / N, x 0 s <, x } 4 Se regstra el tempo trasurrdo desde que se teta la oexó a u servdor hasta que la oexó se efetvza.

4 robabldades y Estadísta Computaó Faultad de Ceas Exatas y Naturales. Uversdad de ueos res a M. ao y Elea J. Martíez 004 SR 0, S el sstema tee u tme-out e el tempo t o, tedríamos S0, t o. Como se observa, u espao muestral puede ser fto, omo e los ejemplos y, fto umerable, omo e el ejemplo o fto o umerable, omo e el ejemplo 4. Suesos o evetos: No sólo estamos teresados e resultados dvduales de u expermeto so que puede teresaros oleoes o ojutos de ellos. Se deoma sueso o eveto a ualquer subojuto del espao muestral. S S es fto o fto umerable, ualquer subojuto es u eveto. S S es fto as todo subojuto de S es u eveto. Los evetos los desgaremos e geeral o las prmeras letras del abeedaro e mayúsula:,, C,... Eveto elemetal o smple: osste de u úo resultado dvdual. Eveto ompuesto: osste de más de u eveto elemetal. Ejemplos: E los ejemplos aterores, posbles evetos so sale ara {ara}{}. úmero de aras es meor o gual que {,0,0,,0,0}. úmero de tros requerdos es meor o gual que 5 {x,x,...x S / 5 }. úmero de tros requerdos es par {x,x,...x S / k, k N}. 4 el tempo es mayor de 0 mutos 0, e el aso de u sstema s tmeout Relaó o Teoría de ojutos: Como u eveto o sueso es u ojuto, vale las msmas relaoes que e teoría de ojutos. S es u subojuto de S deomado sueso erto o seguro. es u subojuto de S deomado sueso mposble. es el sueso uó. Ourre uado ourre ó ourre. es el sueso terseó. Ourre uado ourre y ourre. ó es el opuesto o omplemeto de. Ourre uado o ourre. 4

5 robabldades y Estadísta Computaó Faultad de Ceas Exatas y Naturales. Uversdad de ueos res a M. ao y Elea J. Martíez 004 es el sueso dferea. Ourre uado ourre y o ourre. Se de que está otedo e o que mpla y se deota s la realzaó de odue a la realzaó de, es der s todo elemeto de perteee a. Dos suesos y se de mutuamete exluyetes o dsjutos s. Reordemos alguas propedades: soatvdad: C C C C C C Comutatvdad: Dstrbutvdad: C C C C C C Leyes de De Morga: U I y I U Iterpretaó tutva de la robabldad: Supogamos que se repte vees u msmo expermeto aleatoro e forma depedete y bajo las msmas odoes. Sea el úmero de vees que ourre el sueso e las repetoes. Se deoma freuea relatva de e la seuea de repetoes a fr La evdea empíra muestra que uado ree, fr tede a establzarse alrededor de u úmero que llamaremos. Qué propedades tee la freuea relatva? fr 0 S fr S 5

6 robabldades y Estadísta Computaó Faultad de Ceas Exatas y Naturales. Uversdad de ueos res a M. ao y Elea J. Martíez 004 S fr fr fr La defó axomáta de robabldad, que daremos a otuaó, es osstete o la dea tutva que se tee de ella. xomas de robabldad: Dado u expermeto aleatoro y u espao muestral asoado S, a ada eveto se le asoará u úmero que otaremos y que llamaremos probabldad del eveto. Esta asgaó debe satsfaer los sguetes axomas:. 0 para todo eveto.. S a. S,,..., es ua oleó fta de suesos mutuamete exluyetes, es der que j, etoes j U b. S,...,,,... es ua oleó fta umerable de suesos mutuamete exluyetes, es der s j, etoes j U Ejemplo: Cosderemos el ejemplo e que se arroja ua moeda ua vez, para el ual el espao muestral es S{ara,ea}. S deomamos E {ara} y E {ea} a los dos evetos elemetales, omo S E E, etoes E - E. or lo tato, ualquer asgaó de probabldades de la forma: E p y E -p o 0 p, satsfae los axomas. ropedades de la robabldad: para todo sueso Dem: S U a 6

7 robabldades y Estadísta Computaó Faultad de Ceas Exatas y Naturales. Uversdad de ueos res a M. ao y Elea J. Martíez E la terera gualdad usamos el axoma pues. 0 Dem: 0 S S y Dem: S y éstos dos evetos so exluyetes. or el axoma a Dado que, por el axoma, - 0, resulta y, despejado, se obtee la seguda afrmaó. 4 Dados dos suesos ualesquera y., Dem: y estos dos evetos so exluyetes, etoes, por el axoma a, or otra parte, y estos dos evetos so dsjutos, etoes De y resulta que omo queríamos demostrar. 5 Dados dos suesos ualesquera y., Dem: Esta propedad se dedue medatamete de la propedad ateror y del axoma. Ejeros: a Demostrar, usado la propedad 4 que, dados tres suesos ualesquera,, y,

8 robabldades y Estadísta Computaó Faultad de Ceas Exatas y Naturales. Uversdad de ueos res a M. ao y Elea J. Martíez 004 b robar, usado duó que, dados,,..., suesos ualesquera, U sgaó de probabldades: Supogamos que el espao muestral S asoado o erto expermeto es fto o fto umerable. E este aso, ua maera smple de trabajar es asgar probabldades a los suesos elemetales, ya que ualquer sueso será uó de suesos elemetales y éstos so obvamete mutuamete exluyetes. Desgado E a los suesos elemetales de S, S U E la uó podría ser fta s el espao muestral fuese fto. S ooemos p E 0, de maera que p, etoes dado ualquer sueso, su probabldad se puede obteer sumado las probabldades de los elemetales que lo ompoe, es der: E p Ejemplos: Se arroja u dado equlbrado. E este aso, S{,,,4,5,6} y, por supoerlo equlbrado, los suesos elemetales E {} para,..,6 tee probabldad p /6. S deseamos alular la probabldad del sueso el resultado es par, usado que E E 4 E 6 se obtee E E 4 E 6 / Supogamos ahora que se arroja u dado e el ual la probabldad de las aras pares es el doble que la probabldad de las aras mpares, o sea que, s llamamos p a la probabldad de ada ara mpar, E E E 5 p y E E 4 E 6 p Como la suma de las probabldades debe ser gual a, 6 E p 6 p 9 p 9 y, e este aso, E E 4 E 6. 9 p rrojamos ua moeda equlbrada hasta obteer ara. Cuál es la probabldad de que la ara sea obteda e u úmero par de lazametos? S represetamos el espao muestral tal omo lo hmos más arrba, tedríamos 8

9 robabldades y Estadísta Computaó Faultad de Ceas Exatas y Naturales. Uversdad de ueos res a M. ao y Elea J. Martíez 004 {0,,0,0,0,,0,0,0,0,0,,...} Veremos más adelate que e las odoes de este expermeto es razoable asumr que obteer ara e el k - ésmo lazameto k or lo tato: k k k 4 k 4 4 ya que s 0<p<, etoes k p p k 0 Espaos de equprobabldad: Sea u expermeto aleatoro uyo espao muestral asoado S es fto y sea # S el símbolo # represeta el ardal del ojuto. Dremos que el espao es de equprobabldad s los suesos elemetales tee gual probabldad, es der s E p Como S E p p p. # S Dado ualquer sueso, # E. S E E # Ejemplos: De ua ura que otee bolllas blaas y rojas se extrae bolllas o reposó. a Cuál es la probabldad de que se extraga al meos ua bollla roja? b Cuál es la probabldad de que la prmera bollla extraída sea roja y la seguda blaa? Supodremos que las bolllas está umeradas, de maera de poder osderar que se S x, x / x { R, R, R,, } y trata de u espao de equprobabldad, etoes { } su ardal es #S

10 robabldades y Estadísta Computaó Faultad de Ceas Exatas y Naturales. Uversdad de ueos res a M. ao y Elea J. Martíez 004 sedo { x, x S / x {, }} a. Como # 4, 4 4 resulta Como # 6. 5 b { x, x S / x { R, R, R }, x {, }} Cosderemos el ejemplo pero supoedo ahora que las extraoes se realza s reposó. E este aso, { x, x / x { R, R, R,, }, x x } # S S a. Como #, 9 resulta sedo { x, x S / x {, }} 6. Como # 6. 0 b { x, x S / x { R, R, R }, x {, } Observaó: Qué pasaría s e los ejemplos aterores elgésemos omo espao muestral S {,,, R, R,, R, R }, deotado : bollla blaa y R: bollla roja? Sería razoable supoer equprobabldad?. 0