Probabilidad condicional
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- María Teresa Cárdenas Páez
- hace 7 años
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1 robabldad odoal osderemos ua ura que otee bolllas roas y 5 blaas. De las bolllas roas so lsas y rayadas y de las 5 bolllas blaas so lsas y ua sola es rayada. Supogamos que se extrae ua bollla y s que la hayamos mrado algue os de que la bollla es roa uál es la probabldad de que la bollla sea rayada? Sea los suesos : la bollla es rayada y : la bollla es roa. Obvamete s gua formaó preva /9/ y /9. S embargo omo sabemos que la bollla es roa la probabldad de que sea rayada es ½ ya que de las roas la mtad es lsa y la mtad rayada. Observemos que al ourrr el espao muestral se redue. E geeral dado u expermeto y su espao muestral asoado queremos determar ómo afeta a la probabldad de el heho de saber que ha ourrdo otro eveto. Defó: Sea y evetos tales que > 0 la probabldad del eveto odoal a la ourrea del eveto es Eemplos: E el eemplo ateror /9 y / 9 / 9 osderemos ua poblaó e la que ada dvduo es lasfado segú dos rteros: es o o portador de HIV y perteee o o a erto grupo de resgo que deomaremos R. La orrespodete tabla de probabldades es: ortador No portador erteee a R No perteee a R E esta poblaó la probabldad de que u dvduo sea portador es y la probabldad de que sea portador y perteeza al grupo de resgo R es Dado que ua persoa seleoada al azar perteee al grupo de resgo R uál es la probabldad de que sea portador? es der que 50 de ada 000 dvduos del grupo de resgo R so probablemete portadores de HIV.. 0
2 alulemos ahora la probabldad de que ua persoa sea portadora de HIV dado que o perteee al grupo de resgo R es der que sólo de ada 000 dvduos o perteeetes al grupo de resgo R so posbles portadores de HIV. ropedades de la robabldad odoal: Dado u sueso fo tal que > 0 es ua probabldad e el setdo que satsfae los axomas de probabldad y por lo tato todas las propedades que se dedue a partr de ellos. or eemplo:. 0 para todo sueso.. S. S Dem: S. Eeros: Verfar que satsfae el axoma a. Verfar que + Regla del produto: Dados dos suesos y tales que > 0 S además > 0 Eemplo: E el eemplo presetado al omezo supogamos ahora que se extrae dos bolllas s reposó. uál es la probabldad de extraer ua bollla roa y ua blaa e ese orde? Sea : la prmera bollla es roa y D: la seguda bollla es blaa. debemos alular D. plado la regla del produto 5 0 D D
3 La regla del produto es espealmete útl uado el expermeto osta de varas etapas ya que se puede geeralzar. sí por eemplo s > 0 y > 0 se tee y se extede a suesos. Eemplo: E el msmo eemplo ómo podemos obteer la probabldad de que la seguda bollla extraída sea blaa sueso D?. Sabemos alular usado la regla del produto la probabldad de que la seguda sea blaa y la prmera sea roa. Hemos vsto que esta probabldad es D 5 8. Del msmo modo podemos obteer la probabldad de que ambas bolllas sea blaas sueso D. Esta probabldad es 5 0 D D S ahora observamos que el sueso D puede esrbrse omo se obtee D D D D D + D ómo podemos obteer ahora la probabldad de que la prmera bollla haya sdo roa sueso sabedo que la seguda fue blaa sueso D? La probabldad requerda es D 5 8 D. D 5 9 Los resultados y so eemplos de aplaó de los dos Teoremas que veremos a otuaó: el Teorema de la robabldad Total y el Teorema de ayes respetvamete. Defó: Ua oleó de evetos muestral S s... osttuye ua partó del espao.. > 0
4 .! S Teorema de la probabldad total: Sea... ua partó del espao muestral S y sea u sueso ualquera Dem:!! S omo etoes.! Teorema de ayes: Sea... ua partó del espao muestral S y sea u sueso ualquera tal que > 0 Dem: E el umerador se apló la regla del produto y e el deomador el Teorema de la probabldad total. El Teorema de ayes desrbe ómo es posble revsar la probabldad al de u eveto o probabldad a pror para reflear la formaó adoal que os provee la ourrea de u eveto relaoado. La probabldad revsada se deoma probabldad a posteror.
5 Eemplo: Supogamos que erta prueba para detetar la presea de ua efermedad e u dvduo da resultado postvo deteta la presea de la efermedad e u dvduo efermo o probabldad 0.99 y e u dvduo sao o probabldad 0.0 falso postvo. or lo tato dha prueba o deteta la efermedad e u dvduo sao o probabldad 0.98 y o la deteta e u dvduo efermo o probabldad 0.0 falso egatvo. Es der que s deotamos : la persoa padee esa efermedad y : la prueba es postva Se supoe e base a estudos prevos que la dea de esa efermedad e erta poblaó es 0.00 es der que la probabldad a pror de es Se seleoa al azar u dvduo de esa poblaó se le apla la prueba y el resultado es postvo uál es la probabldad de que e efeto padeza la efermedad? Debemos alular la probabldad a posteror de : or lo tato la probabldad de que esté efermo habedo sdo postvo el resultado de la prueba es aproxmadamete Las probabldades a posteror depede fuertemete de las probabldades a pror. S se apla la prueba a dvduos de ua poblaó e la ual la dea de la efermedad es muho mayor també aumetará la probabldad a posteror. Verfque ésto supoedo ahora que 0.0. Más adelate desarrollaremos otro eemplo de aplaó de estos Teoremas. Idepedea La defó de probabldad odoal os permte revsar la probabldad asgada a u sueso uado se sabe que otro sueso ha ourrdo. Hay asos e los que metras que e otros es der que la ourrea del sueso o altera la probabldad de ourrea de. Eemplo: De ua ura que otee bolllas egras y 6 blaas se extrae dos bolllas s reposó uál es la probabldad de que la seguda bollla sea blaa sabedo que la prmera es egra? Deomado : la seguda bollla es blaa y : la prmera bollla es egra 6. 9
6 or otra parte y por lo tato es der que la ourrea del sueso modfa la probabldad del sueso. Observemos que la probabldad de que la seguda bollla sea blaa ode o la probabldad de que la prmera lo sea. Eero: Verfar que e ambo s las extraoes se realza o reposó. Dremos que los evetos y so depedetes s la formaó aera de la ourrea o o de uo de ellos o afeta la probabldad de ourrea del otro Defó: Los evetos y so depedetes s S la gualdad o se umple demos que y so depedetes. roposó: Supogamos > 0 y so depedetes s y sólo s. Dem: S > 0 está be defda pero por ser y depedetes etoes plado la regla del produto s >0. Observaó: S 0 omo 0 y por lo tato la gualdad sempre se satsfae. Eemplo: De u mazo de 0 artas españolas se extrae ua arta al azar. osderemos los sguetes suesos: : la arta es opa o espada : la arta o es opa : la arta es opa u oro
7 6 etoes y o so depedetes. etoes y so depedetes. ropedades: S los suesos y so exluyetes es der s y s >0 > 0 etoes y o so depedetes. Dem: E efeto e este aso. 0 S 0 etoes es depedete de ualquer sueso tal que > 0. Dem: omo 0 y por lo tato es der que y so depedetes. S y 0 < > y o so depedetes. Dem: omo. Luego y o so depedetes. S y so suesos depedetes y també lo so. Dem: +. Eero: Demostrar que s y so suesos depedetes y també lo so. Idepedea de más de dos evetos: La defó de depedea de dos evetos puede extederse a más de dos. Defó: Los evetos... so depedetes s para todo... y para todo outo de ídes { }... tales que < < <... se verfa Es der que es eesaro verfar odoes.
8 7 Observaó: S los suesos... so depedetes etoes so depedetes de a pares pero la reíproa o es erta. Eemplos: Sea { } S u espao de equprobabldad y osderemos y los suesos { } { } { }. demás es der que los suesos so depedetes de a pares. S embargo y por lo tato los suesos y o so depedetes. Veamos u eemplo també para el aso e el ual se satsfae la fatorzaó de y o se umple para algua de las terseoes dobles. Sea { } S u espao de equprobabldad y osderemos los suesos { } { } { } omo ates. demás 8
9 Se observa que o se satsfae ua de las gualdades pero sí se satsfae. 8 Falmete veremos u eemplo e el que utlzamos los dferetes oeptos y propedades estudadas e esta Seó. Eemplo: Muhos sstemas de omputaó trabaa o eormes bases de datos omo por eemplo sstemas de taretas de rédto o sstemas de reservas de pasaes aéreos. Debdo al volume de datos volurado la velodad de aeso al sstema depede de las araterístas de las udades de almaeameto utlzadas omo así també de las redes de omuaó oetadas a la base de datos. Nos oetraremos e el prmer aspeto es der e el problema del almaeameto. osderemos udades de almaeameto osstetes e dsos plaos ada uo de los uáles está ompuesto por u outo de allos oétros deomados pstas. ada psta está a su vez subdvda e áreas de almaeameto deomadas setores. El aeso al dso se realza medate ua abeza letora/grabadora que se puede mover haa adelate o haa atrás a lo largo de u brazo fo. El dso rota bao ese brazo y la abeza lee o modfa u dato uado el orrespodete setor pasa bao ella. osderemos u dso que osste de 76 pstas umeradas de 0 a 75 o 8 setores ada ua umerados de 0 a 7. Supogamos que e el mometo e que se debe aeder a u dato que se euetra e el setor de la psta 5 la abeza se euetra sobre la psta. Etoes debe moverse e prmer lugar hasta la psta 5 este movmeto se llama búsqueda o see y luego debe esperar hasta que el setor pase bao ella este período de tempo se deoma retardo rotaoal o rotatoal delay. S el abezal se mueve por eemplo a ua velodad de. mlsegudos ms por psta la búsqueda del eemplo demadaría ms. S además supoemos que el dso realza ua rotaó ompleta e 0 ms el retardo rotaoal puede demorar etre 0 y 0 ms o u promedo de 5 ms. or últmo supogamos que el aeso oreto al dato demora. mlsegudos. Este sstema es de aturaleza probablísta o aleatora. Las demadas de aeso arrba e tempos aleatoros y se demada datos aleatoros e el setdo de que o sabemos o atpaó qué dato se va a requerr. alemos el sguete eemplo. Supogamos que las probabldades de que ua demada de aeso orrespoda a ada ua de las 76 pstas so guales y que aesos suesvos so depedetes. Supogamos també que la abeza letora/grabadora se euetra sobre la psta 0 uál es la probabldad de que el tempo total de búsqueda see para las dos sguetes demadas de aeso sea a lo sumo 50 ms? Sea el sueso la búsqueda ombada demora a lo sumo 50 ms y defamos para ada los suesos 8
10 T : el prmero de los dos aesos sguetes orrespoderá a u dato que está sobre la psta Etoes T T T omo se observa debemos alular T es der debemos alular la probabldad de que la búsqueda ombada demore a lo sumo 50 ms dado que el prmer aeso es a la psta para or eemplo ómo alularíamos T? 0 6 S la prmera búsqueda os lleva a la psta 6 demadará 6-0. ms 9. ms por lo tato la búsqueda total llevará a lo sumo 50 ms s la seguda búsqueda demora a lo sumo 0.8 ms. omo e 0.8 ms se puede reorrer a lo sumo 9 pstas 0.8/. o podemos r más allá de la psta 6-97 o de la psta E otras palabras T6 será la probabldad de que el segudo peddo de aeso se refera a u dato que está etre las pstas 7 y 5 lusve. Dado que supoemos que todas las pstas so equprobables 9 T6 76 Del msmo modo se alula todas las probabldades odoales requerdas e y se obtee el valor de peddo.. 9
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