EJERCICIOS RESUELTOS SUCESOS Y PROBABILIDAD

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1 Gestó Aeroáutca: Estadístca Teórca Facultad Cecas Ecoómcas y Empresarales Departameto de Ecoomía Aplcada Profesor: Satago de la Fuete Ferádez EJERCICIOS RESUELTOS SUCESOS Y PROBABILIDAD

2 Gestó Aeroáutca: Estadístca Teórca Facultad Cecas Ecoómcas y Empresarales Departameto de Ecoomía Aplcada Profesor: Satago de la Fuete Ferádez FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD E el mudo real hay feómeos regdos por leyes determadas, es decr, bajo codcoadas dadas. El resultado es prevsble, salvo quzás por errores de medda; estos feómeos deoma feómeos determstas, u ejemplo de ellos puede ser la caída de u objeto desde determada altura. Frete a estos feómeos exste otros muchos que o sgue uas leyes determadas. U feómeo o expermeto se dce aleatoro s puede dar lugar a varos resultados, s que pueda ser posble decr co certeza los resultados del msmo. Los feómeos aleatoros aparece e muchas dscplas cetífcas. Por ejemplo, e Mercadoteca teresa las catdades de certa mercacía veddas e días sucesvos; e Físca se detecta la preseca de rudos térmcos e u crcuto eléctrco; e Cotrol de Caldad teresa el úmero de ítems defectuosos producdos por certa máqua; e Medca el úmero de pacetes curados por certo fármaco, etc. Al descrbr u expermeto aleatoro es esecal especfcar qué aspecto del resultado teresa observar, es decr, cuál es el crtero para cosderar dos resultados como dferetes. Esta especfcacó se logra medate el espaco muestral. ESPACIO MUESTRAL.- Dado u expermeto aleatoro, el cojuto cuyos elemetos so los posbles resultados dferetes (que se desea cosderar dferetes) del msmo, se cooce como espaco muestral asocado al expermeto aleatoro, se deota por. Se preseta dversos tpos de espacos muestrales: a) E el lazameto de u dado se puede tomar como espaco muestral: 1, 2, 3, 4, 5, 6 b) E el expermeto aleatoro que descrbe el úmero de automóvles que cruza u 1, 2, 3, puete de peaje e u período dado, el espaco muestral es del tpo c) E el caso de elegr al azar u úmero real e el tervalo 0, 1, el espaco muestral asocado es precsamete 0, 1 Atededo al úmero de resultados posbles de u expermeto aleatoro se puede establecer los sguetes tpos de espacos muestrales: a) Espacos muestrales ftos: So aquellos que tee u úmero fto de elemetos, como puede ser la trada de u dado. b) Espacos muestrales ftos umerables: So aquellos e los que tee u úmero fto de elemetos y puede poerse e correspodeca buívoca co los úmeros aturales, como pude ser el úmero de automóvles que pasa por el puete de peaje. c) Espacos muestrales ftos o umerables: So aquellos e los que tee u úmero fto de elemetos y o puede poerse e correspodeca co los úmeros aturales, como puede ser la eleccó al azar de u úmero e el tervalo 0, 1. 1

3 SUCESOS.- U suceso asocado a u expermeto aleatoro correspode a la cuestó de que tega o o tega respuesta después de realzado el expermeto. E el lazameto de dos moedas, el espaco muestral asocado, sedo C cara y X cruz CC, CX, XC, XX : Es el úmero de caras meor o gual que uo?. La preguta tee respuesta y es, por tato, u suceso. El subcojuto de que respode afrmatvamete a la preguta es A CX, XC, XX Pudedo defr u suceso de u expermeto aleatoro como u subcojuto del espaco muestral, A, es decr, ua coleccó de putos del espaco muestral. OPERACIONES CON SUCESOS.- Para defr algo que mda la aleatoredad que detro de sí lleva los sucesos de u expermeto aleatoro es ecesaro costrur ua estructura matemátca. Para ello se defe certas operacoes co los sucesos. Uó de sucesos: Dados dos sucesos A y B, de certo expermeto aleatoro, se defe la uó de A y B, que se represeta por A B, a otro suceso que se deota por C, que ocurre sempre que ocurra A o sempre que ocurra B: A B C Iterseccó de sucesos: Dados dos sucesos A y B, de certo expermeto aleatoro, se defe la terseccó de A y B, que se represeta por A B, a otro suceso que se deota por D, que ocurre sempre que ocurra A y B smultáeamete: A B D Suceso complemetaro: Dado u suceso A, de certo expermeto aleatoro, se C defe el complemetaro de A, que se represeta por A óa, a otro suceso que ocurre sempre que o ocurre A. Suceso mposble: Dado el suceso A y su complemetaro A, juto co la operacó de terseccó, se defe u suceso que o ocurre uca, se le cooce como suceso mposble y se deota por : AA El suceso complemetaro del suceso mposble es el suceso seguro, que es precsamete el espaco muestral: Sucesos compatbles: Dados dos sucesos A y B, de certo expermeto aleatoro, se dce que estos sucesos so compatbles s su terseccó es el suceso mposble. AB A y B compatbles Sucesos cotedo e otro: Dados dos sucesos A y B, de certo expermeto aleatoro, se dce que A está cotedo e B s sempre que ocurre A ocurre B, se deota por A B. Se observa que dado cualquer suceso A, sempre ocurre A Dfereca de sucesos: Dados dos sucesos A y B, de certo expermeto aleatoro, se defe la dfereca de los sucesos A y B, y se deota por A B, el suceso C, que ocurra A y o ocurra B: C A B. Se observa que C AB AB Sucesos elemetales: Dado u suceso puede ocurrr que éste pueda ser descompuesto e sucesos más smples, de forma que la uó de éstos sea precsamete el suceso cosderado. A estos sucesos se les llama sucesos compuestos. Por otra parte, exste otros sucesos que o puede ser descompuestos e sucesos más smples, estos sucesos recbe el ombre de sucesos elemetales. 2

4 PROPIEDADES DE LA UNIÓN e INTERSECCIÓN DE SUCESOS: Comutatvas A B BA A B B A Asocatvas A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C Dstrbutvas A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Elemeto eutro para la uó : A A para la terseccó : A A ÁLGEBRA DE BOOLE: Sea M u cojuto cualquera, la clase de sus subcojutos que verfca las codcoes de coteer a M, establdad para las operacoes de uó y complemetacó de subcojutos de M, recbe el ombre de álgebra de Boole. Sea C(M) ua clase de subcojutos de M, se dce que C(M) es u álgebra de Boole s verfca: a) M C(M) b) S A,BC(M) ABC(M) c) S A C(M) A C(M) Sea el cojuto que es el espaco muestral y ua clase formada por los sucesos que so subcojutos de, verfcado: a) C( ), ya que Ω es u suceso, el suceso seguro b) S A, B C( ) AB C( ) es otro suceso c) S AC( ) AC( ) es otro suceso La clase formada por los sucesos de u expermeto aleatoro tee estructura de álgebra de Boole, a ésta se la llama álgebra de Boole de sucesos y se deota por E el caso de que el espaco muestral sea fto (umerable o o umerable), se cosdera ua estructura más ampla, que es la σ - álgebra de sucesos, y e la que la dfereca esecal co el álgebra de sucesos es que la uó fta umerable de sucesos es otro suceso. Es decr, la clase de sucesos es u σ - álgebra sí a) b) S A A c) S A A 1 A la tera (,, P) se le llama espaco probablístco asocado a u expermeto aleatoro. 3

5 Ua varable aleatora es ua fucó defda sobre el espaco muestral (cojuto de resultados de u expermeto aleatoro) que toma valores e el cuerpo de los úmeros reales, es decr: : ( ) Ua varable aleatora puede ser dscreta o cotua segú sea el rago de esta fucó. E térmos matemátcos co rgor, dado u espaco probablístco (,, P) asocado a u expermeto aleatoro, ua fucó : es ua varable aleatora s x el cojuto / ( ) x FRECUENCIA DE UN SUCESO: El objetvo es defr sobre el álgebra de Boole de sucesos ua fucó que dque ua medda de la certeza o certdumbre e la ocurreca de los sucesos del expermeto aleatoro. Dado u suceso A, esto es, u suceso perteecete al álgebra de sucesos de u expermeto aleatoro, la frecueca absoluta del suceso A e ua sere de repetcoes smlares del expermeto, se deota por A. La frecueca relatva del suceso A es la frecueca absoluta dvdda por el úmero de veces que se realza el expermeto, deotádose por f A : 0 f 1 A A fa f 1 f 0 para cualquer suceso suceso seguro suceso mposble S dos sucesos A y B so compatbles, A B, sedo A la frecueca absoluta de A y B la frecueca absoluta de B, se tee que la frecueca absoluta de A B es A B A, teedo: AB A B A B B fab fa fb Es decr, f A B f A f B s A B PROBABILIDAD: Dado u expermeto aleatoro, co espaco muestral y álgebra de sucesos asocada, la probabldad se defe como ua aplcacó del álgebra de sucesos e el tervalo 0, 1, que verfca los tres axomas sguetes: P: 0,1 P(A) 0 A P( ) 1 P(A B) P(A) P(B) A, B co A B Cosecuecas de los Axomas: P(A) 1P(A) A P(A A) P( ) P(A) P(A) 1 P(A) 1P(A) f 1f A A 4

6 P( ) 0 P( ) 1P( ) 11 0 S A B P(A) P(B) S A B B A (B A) co A (B A) P(B) P(A) P(B A) co P(A) 0 y P(B A) 0 co lo cual, P(B) P(A) P(A B) P(A) P(B) P(AB) A, B A (A B) (A B) P(A) P(A B) P(A B) B (AB) (AB) P(B) P(AB) P(AB) A B (AB) (AB) (AB) (AB) (AB) (AB) (AB) P(A B) P(A B) P(A B) P(A B) Sedo B A P(AB) P(A) P(AB) A B P(AB) P(B) P(AB) resulta, P(A B) P(A B) P(A B) P(A B) P(A B) P(A) P(A B) P(B) P(A B) obteedo, P(A B) P(A) P(B) P(AB) A, B Cuado los sucesos A y B so compatbles, A B, P(A B) P(A) P(B) Leyes de Morga (AB) AB (AB) AB PROBABILIDAD CONDICIONADA: Dado u suceso A co P(A) 0, para cualquer otro suceso B, se defe la probabldad del suceso B codcoado al suceso A: P(A B) P(B / A) P(A) 5

7 INDEPENDENCIA: Los sucesos A, B so depedetes sí P(B / A) P(B) P(A B) Es decr, P(B / A) P(B) P(A B) P(A). P(B) P(A) La expresó P(A B) P(A). P(B) se toma como defcó de depedeca. Para tres sucesos A, B, C la defcó aalítca es que sea depedetes dos a dos y luego los tres jutos, esto es, que se verfque las relacoes: P(A B) P(A). P(B) P(A C) P(A). P(C) P(B C) P(B). P(C) P(A B C) P(A). P(B). P(C) TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL 1,2,, Sea u cojuto de sucesos A, A, tales que verfca las dos codcoes sguetes: A 1 A Aj j, j 1,2,, Esto es, la uó de todos ellos es el suceso seguro y so compatbles dos a dos. U cojuto de sucesos co estas dos propedades recbe el ombre de sstema completo de sucesos. Sea u suceso cualquera B y u sstema completo de sucesos A 1,2,, tales, que P(A ) 0. El Teorema de la Probabldad Total establece que: P(B) P(A ). P(B / A ) 1 E efecto, B B sedo A 1 B B BA BA 1 1 Los sucesos B A so dsjutos por serlo los sucesos A P(B) P B A P B A P B A 1 1 1, resulta, por tato: Como P(B A ) P(B / A ) P(BA ) P(A ). P(B / A ) P(A ) Susttuyedo se tee: P(B) P B A P(A ). P(B / A ) 1 1 6

8 TEOREMA DE BAYES: Co las msmas codcoes que el teorema de la probabldad total, se desea coocer la probabldad de que habedo ocurrdo el suceso B la causa que lo produzca sea el suceso A, es decr, se desea calcular P(A / B) j j El teorema de Bayes establece que E efecto, P(A / B) j P(A ). P(B / A ) 1 j P(A ). P(B / A ) j P(A j B) P(A j/ B) y P(B) P(A B) P(B / A ) P(A B) P(A ). P(B / A ) j j j j j P(A j) se tee, P(A j B) P(A j). P(B / A j) P(A j). P(B / A j) P(A j/ B) P(B) P(B) P(A ). P(B / A ) 1 HERRAMIENTAS EN EL ESTUDIO DE EXPERIMENTOS ALEATORIOS Combacoes de m elemetos tomados de e : Es el cojuto de todas las dsposcoes que se puede formar tomado elemetos etre los m, co la codcó que dos dsposcoes será dsttas sí y sólo sí está formadas por elemetos dsttos, es decr, o se tee e cueta el orde de los elemetos e la dsposcó. C m, m m!!. (m )! dode m! m. (m 1) Varacoes de m elemetos tomados de e : Es el cojuto de todas las dsposcoes que se puede formar tomado elemetos de etre los m elemetos, co la codcó de que dos dsposcoes será dsttas s está formadas por elemetos dsttos o s los elemetos está dspuestos e orde dstto detro de la dsposcó, esto es, se tee e cueta el orde de los elemetos e la dsposcó. V m.(m1).(m2)..(m1) m, Permutacoes de m elemetos: Es u caso partcular de las varacoes, so varacoes de m elemetos tomados de m e m. P V m! m.(m1).(m2) m m,m Varacoes co repetcó de m elemetos tomados de e : Es el cojuto de todas las dsposcoes dsttas que se puede formar tomado elemetos etre los m elemetos, e los que evetualmete puede aparecer elemetos repetdos, co la codcó de que dos dsposcoes será dsttas s tee dsttos elemetos o está stuados e dsttos lugares, esto es, se tee e cueta el orde de los elemetos e las dsposcoes. V m m 7

9 Permutacoes co repetcó: Es el cojuto de todas las dsposcoes dsttas que se puede formar co m elemetos, e los que e cada dsposcó cada elemeto puede aparecer ( 1, 2,, m) veces y e u orde determado. RP!!.!! 1 2 m dode 12 m Combacoes co repetcó de m elemetos tomados de e : Es el cojuto de todas las dsposcoes dsttas que se puede formar tomado elemetos etre los m elemetos, e dode evetualmete puede aparecer elemetos repetdos, co la codcó de que dos dsposcoes será dsttas s tee dsttos elemetos, es decr, o se tee e cueta el orde de la dsposcó. RC m m1 (m 1)!!. (m 1)! 8

10 EJERCICIOS DE SUCESOS Y PROBABILIDAD Gestó Aeroáutca: Estadístca Teórca Facultad Cecas Ecoómcas y Empresarales Departameto de Ecoomía Aplcada Profesor: Satago de la Fuete Ferádez 1T. Demostrar que s los sucesos A y B so depedetes, etoces sus complemetaros també so depedetes. Como A y B so depedetes P(A B) P(A). P(B) 1P(A) P(B) P(A).P(B) 1P(A). 1P(B) P(A).P(B) P(A B) P(AB) 1P(A B) 1 P(A) P(B) P(A B) 1P(A) P(B) P(A B) 2T. Sea A, B y C so tres sucesos tales que A B P (AB)/CP(A/C) P(B/C)? P(AB) C P(AC) (BC P(A C) P(B C) P(A B C) P(A B)/C P(C) P(C) P(C) P(A C) P(B C) P(A C) P(BC) P(A / C) P(B / C) P(C) P(C) P(C) 3T. Sea los sucesos A y B tales que P(A) 1/ 3 y P(B/ A) 1/ 3. Determar s se cumple: a) A y B so depedetes b) A B c) A B d) P(A / B) 2 / 3 a) P(B A) 1 P(B A) 1 P(B/ A) P(B A) P(A) 3 1/ 3 9 Para reflejar la mage, sea el expermeto aleatoro cosstete e extraer ua bola de ua ura co ueve bolas umeradas del 1 al 9. El espaco muestral 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sea los sucesos A 1, 2, 3 y B 3,4,5,6,7,8,9 3 1 P(A) P(A B) 9 7 P(B) 9 9

11 P(A B) P(A). P(B) dado que 1 1 x A y B o so depedetes. b) 1 P(A B) 0 P( ) A B 9 c) A B observado los sucesos A y B 2 d) P(A / B) 3, B 1, 2 A 4, 5, 6, 7, 8, 9, AB P(A B) 0 P(A / B) 0 P(B) 2 / 9 4T. Sea los sucesos A y B, demostrar s so certas las gualdades: a) P(A / B) P(A / B) b) P(A / B) P(A / B) 1 c) P(A / B) P(A / B) 1 a) Se defe el espaco muestral 1, 2, 3, 4, 5, 6, pudedo pesar que cada suceso elemetal -ésmo se correspode co la cara que se obtee al lazar u dado. Sea los sucesos A 1, 2 y B 3, 4 AB A 3, 4, 5, 6 B 1,2,5,6 A B 5, 6 A B 1, 2 P(A B) P( ) 0 P(A / B) 0, P(B) P(B) 2 / 6 P(A/B) P(A/B) P(A B) 2 / 6 1 P(A / B) P(B) 4 / 6 2 b) c) 1 P(A / B) P(A / B) P(A / B) P(A / B) T. Demostrar que dos sucesos A y B compatbles o tee por qué ser depedetes. Sea el lazameto de u dado co espaco muestral 1, 2, 3, 4, 5, 6 y los sucesos A 1, 2 y B 2, 4, 6. P(A) y P(B) Los sucesos A y B so compatbles P(A B) x P(A). P(B) A B 2 y, s embargo, so depedetes:

12 6T. Sea dos sucesos A y B, se deota A B (AB) (A B). Demostrar que a) P(A) P(B) 1 P(A B) P(A B) 1 b) P(A B) P(A) P(B) 2P(A B) c) P(A B) 0 P(A) P(B) a) P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A B) P(A) P(B) P(A B) 2 P(A B) y ecesaramete, por la mootoía de toda probabldad, P(A B) P(A B) 1 b) A B (AB) (AB) (AB) (AB) P(A B) P (AB) (AB) P(AB) P(AB) P(A) P(B) 2P(AB) c) Por el apartado (a) se tee P(A B) P(A B) 1 De otra parte, (A B) A (A B) P(A B) P(A) P(A B) 1P(A) 1 P(A) 1 P(A B) P(A) P(B) 2P(AB) 0 1 P(B) 2 0 P(B) 1 7T. Sea los sucesos A y B tales que P(A) 1/ 4, P(B/ A) 1/ 2 y P(A / B) 1/ 4. Determar s so certas o falsas las sguetes relacoes: 1) A B 2) A y B so depedetes 3) A y B so compatbles 4) P(A / B) 1/ 2 5) P(A / B) P(A / B) 1 1) S A B AB A y se verfcaría: 2) S A y B so depedetes P(A B) P(A).P(B) P(B A) P(A) 1 P(B / A) 1 A B P(A) P(A) 2 1 P(BA) P(BA) 1 P(B/ A) P(B A) 2 P(A) 1/ /8 1.P(B) P(B) 1 P(A B) /4 2 P(A / B) P(A B).P(B) 4 P(B) P(A B) P(A).P(B) x A y B so depedetes

13 3) A y B o so compatbles, 1 P(A B) y s fuera compatbles P(A B) P( ) 0 8 4) S A y B so depedetes A y B so depedetes P(A B) P(A). P(B) P(A / B) P(B) P(B) P(A) ) S se verfca 1 3 P(A / B) P(A / B) Sea los sucesos A y B tales que P(A B), P(A) 0,8, P(B) 0,5. Calcular P(A B), P(A B), P(A B) y P(A B) P(A B) P( ) 1P(A) P(B) P(A B) 1 0,8 0,5 P(A B) P(A B) 0,3 P(A B) P(A) 0,8 P(A B) P(B) 0,5 P(A B) P(AB) 1P(AB) 10,3 0,7 Advértase que como P(A B) se tee: P(A B) P(B) 0,5 P(A B) P(A) 0,2 9. Sea dos sucesos A y B: P(A) 0,5, P(B) 0,3 y P(A B) 0,1. Calcular la probabldad de que ocurra exactamete uo de los sucesos. P(A) 1P(A) 10,5 0,5 P(B) 1P(B) 10,3 0,7 Sedo P(A B) P(A B) 0,4 P(B) 0,7 P(A B) 0,2 P(A) 0,5 P (AB) (AB) P(AB) P(AB) P(ABAB) P(AB) P(AB) P( ) 0,4 0,2 0 0,6 12

14 10. Sea dos sucesos A y B, dode P(A B) 0, P(A B) 0,5 y P(A) 0,4. Se pde P(B) y P(A B) P(A) 1P(A) 10,4 0,6 0 P(A B) P(A B) 1P(AB) P(AB) 1 0,5 P(A B) P(A B) 1P(AB) P(AB) 0,5 1 P(AB) P(A) P(B) P(A B) 1 0,6 P(B) 0,5 P(B) 0,9 11. Sea los sucesos A, B y C tales que P(A) 0,2 P(B) 0,4 P(C) 0,3 P(A B) 0,1 y (A B) C. Calcular las sguetes probabldades: 1) Solamete ocurre A 2) Ocurre los tres sucesos 3) Ocurre A y B, pero o C 4) Por lo meos ocurre dos sucesos 5) Ocurre dos sucesos y o más 6) No ocurre más de dos sucesos 7) Ocurre por lo meos u suceso 8) No ocurre gú suceso 1) P(A B C) P(A B) 0,1 2) P(A B C) P( ) 0 3) P(A B C) P(A B) 0,1 4) P (AB) (AC) (BC) P(AB) 0,1 5) P (A B C) (A B C) (AB C) P(A B) P( ) P( ) 0,1 6) P(ABC) 1P(ABC) 1P( ) 1 7) P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(A B) P(A C) P(B C) P(A B C) 0,2 0,4 0,3 0,1 0,8 8) P(A B C) P(A B C) 1P(A B C) 10,8 0,2 13

15 12. E ua clase de Gestó Aeroáutca todos los alumos juega algú deporte, el 60% juega al fútbol o balocesto y el 10% práctca ambos deportes. S además hay u 60% que o juega al fútbol. S se elge u alumo al azar, calcula las sguetes probabldades: a) Juegue sólo al fútbol b) Juegue sólo al balocesto c) Practque uo solo de los deportes d) No juegue al fútbol al balocesto a) P(FB) 0,3 b) P(F B) 0,2 c) P (FB) (FB) P(FB) P(FB) P(FBFB) P(F B) P(F B) 0 0,3 0,2 0,5 d) P(F B) P(F B) 1P(F B) 10, E ua clase de la Facultad de Ecoómcas de 30 alumos hay 18 alumos que ha aprobado estadístca, 16 que ha aprobado cotabldad y 6 que o ha aprobado gua de las dos asgaturas. Se elge al azar u alumo de la clase. a) Probabldad de que aprobara estadístca y cotabldad. b) Sabedo que ha aprobado estadístca, probabldad de que haya aprobado cotabldad. c) So depedetes los sucesos aprobar estadístca y aprobar cotabldad? Sea los sucesos: E = "aprobar Estadístca", C = "aprobar Cotabldad" Orgazado los datos e ua tabla de doble etrada: a) b) 10 1 P(E C) 30 3 P(C E) 10 5 P(C / E) P(E) 18 9 c) So depedetes sí P(E C) P(E).P(C) 14

16 18 3 P(E) P(C) P(E).P(C) 3 x P(E C) P(E).P(C) No so depedetes U baco ha estmado, por experecas aterores, que la probabldad de que ua persoa falle e los pagos de u préstamo persoal es de 0,3. També ha estmado que el 40% de los préstamos o pagados a tempo se ha hecho para facar vajes de vacacoes y el 60% de los préstamos pagados a tempo se ha hecho para facar vajes de vacacoes. Se solcta: a) Probabldad de que u préstamo que se haga para facar vaje de vacacoes o se pague a tempo. b) Probabldad de que s el préstamo se hace para propóstos dsttos a vajes de vacacoes sea pagado a tempo. Sea los sucesos: A ="préstamo persoal pagado a tempo" B ="facar vaje vacacoes" P(A) 0,3 P(B/ A) 0,4 P(B / A) 0,6 a) b) P(A / B) 0,22 P(A B) 0,3 x 0,4 P(B) 0,7 x 0,6 0,3 x 0,4 P(A/ B) 0,608 P(A B) 0,7 x 0,4 P(B) 0,7 x 0,4 0,3 x 0,6 15. E ua cadea de televsó se hzo ua ecuesta a 2500 persoas para saber la audeca de u debate y de ua película que se emtero e horas dsttas: 2100 persoas vero la película, 1500 vero el debate y 350 o vero guo de los dos programas. Elgedo al azar a uo de los ecuestados, se desea saber: a) Probabldad de que vera la película y el debate. b) Probabldad de que vera la película, sabedo que vo el debate. c) Habedo vsto la película, probabldad de que vera el debate. Sea los sucesos: P = "ver la película", D = "ver el debate" Orgazado los datos e ua tabla de doble etrada: 15

17 1450 a) P(PD) 0, b) P(P D) 1450 P(P / D) 0,97 P(D) 1500 c) P(D P) 1450 P(D / P) 0,69 P(P) U pscólogo de ua compañía aérea, por experecas aterores, cooce que el 90% de los trpulates de caba (TCP) que ca u determado tratameto técco terma co éxto. La proporcó de TCPs co etreameto y co expereca preva es del 10% de etre los que completaro co éxto su etreameto y del 25% de etre aquellos que o termaro co éxto su etreameto. Se desea saber: a) Probabldad de que u TCP co expereca preva supere el etreameto co éxto. b) La expereca preva fluye e el éxto del etreameto?. Sea los sucesos: S ="supera el etreameto co éxto" E ="tee expereca preva" P(S) 0,9 P(S) 0,1 P(E / S) 0,1 P(E/ S) 0,25 a) P(S E) 0,9 x 0,1 P(S / E) 0,78 P(E) 0,9 x 0,1 0,1 x0,25 b) P(S / E) 0,78 P(S) 0,9 P(S) P(S / E) La expereca preva fluye desfavorablemete e el éxto del tratameto. 16

18 17. Sea tres sucesos compatbles A, B y C, dode P(A) 0,5 P(B) 0,25 y P(C) 0,2. Se pde: P(A B), P(A B C), P(A B C), P(B A) y probabldad de que ocurra exactamete uo de los sucesos. Se sabe que al ser los sucesos A, B y C compatbles: P(A B) 0, P(A C) 0, P(B C) 0 y P(AB C) 0 De otra parte, P(A B C) P (A B) C P(A B) P(C) P (A B) C co lo que, P(A) P(B) P(AB) P(C) P (A C) (B C) P(A) P(B) P(AB) P(C) P(A C) P(B C) P(A B C) P(A) P(B) P(AB) P(C) P(A C) P(B C) P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(A B) P(A C) P(B C) P(A B C) P(A B) P(A B) 1P(AB) 1 P(A) P(B) P(A B) 10,5 0,25 0,25 P(A B C) P(A B C) 1P(A B C) 1 P(A) P(B) P(C) 1 (0,5 0,25 0,2) 0,05 C A P(AC) P(C) 0,2 CB P(BC) P(C) 0,2 P(A B C) P(C) 0,2 P(B A) P(BA) P(B) 0,25 P (A B C) (A B C) (A B C) P(A B C) P(A B C) P(A B C P(A) P(B) P(C) 0,5 0,25 0,2 0,95 17

19 18. U baco revsa su polítca de tarjetas de crédto, co el objetvo de cacelar alguas de ellas. E el pasado, el 5% de los cletes co tarjeta ha pasado a ser moroso, esto es ha dejado de pagar s que el baco pudera recuperar la deuda. Además, el baco ha comprobado que la probabldad de que u clete ormal se atrase e u pago es de 0.2. La probabldad de que u clete moroso se atrase e u pago es 1. a) Qué probabldad hay de que el clete se atrase e u pago mesual b) S u clete se atrasa e u pago mesual, calcular la probabldad de que el clete acabe covrtédose e moroso. c) Al baco le gustaría cacelar la líea de crédto de u clete s la probabldad de que éste acabe covrtédose e moroso es mayor de De acuerdo co los resultados aterores, debe cacelar ua líea s u clete se atrasa e u pago?. Por qué? Sea los sucesos: a) M = "El clete es moroso" A = "El clete se retrasa e u pago mesual" P(A) 0,05 X1 0,95 X0,2 0,24 b) P(M A) 0,05 X 1 P(M / A) 0,208 P(A) 0,24 c) La probabldad de que u clete que se atrasa e u pago acabe covrtédose e moroso es 0,208, que es meor que la probabldad 0,25 exgda por el baco. E cosecueca, o debería de cacelarse la cueta de u clete que se atrase e u pago. 19. E ua Facultad el 80% de los alumos tee ordeador de sobremesa, el 50% tee ordeador portátl y el 10% o tee ordeador. Se pde: a) Probabldad de que u alumo tega ambos tpos de ordeador. b) Sabedo que u alumo tee ordeador de sobremesa, obteer la probabldad de que tega portátl. c) Sabedo que u alumo tee portátl, obteer la probabldad de que tega ordeador de sobremesa. d) Determar s ambos sucesos so depedetes. a) Sea los sucesos: A = U alumo tee ordeador de sobremesa B = U alumo tee ordeador portátl P(A) 0,8 P(B) 0,5 P(A B) 0,1 P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A B) P(A B) 1P(AB) P(A B) P(A B) 1P(AB) 0,1 P(AB) 0,9 18

20 b) P(A B) P(A) P(B) P(A B) 0,9 0,8 0,5 P(A B) P(A B) 0,4 P(B A) 0,4 1 P(B / A) 0,5 P(A) 0,8 2 c) P(A B) 0,4 4 P(A / B) 0,2 P(B) 0,5 5 d) Dos sucesos A y B so depedetes P(A B) P(A) xp(b) P(A B) 0,4 0,8 X0,5 P(A) xp(b) A y B so depedetes 21. Tres tradores hace ua descarga smultáea. Las probabldades de hacer blaco so, respectvamete, 0,6, 0,5 y 0,4. Calcular las probabldades de los sucesos: a) Algú trador hace blaco. b) Exactamete dos tradores hace blaco. c) El tercer trador hace blaco, sabedo que dos prmeros lo ha hecho. a) Sea los tradores A, B y C P(A) 0,6 P(A) 0,4 P(B) 0,5 P(B) 0,5 P(C) 0,4 P(C) 0,6 Se resuelve por el suceso cotraro, que o haga blaco gú trador: P(A B C) P(A) X P(B) X P(C) 0,4 X0,5 X0,6 0,12 P(A B C) 1P(A B C) 10,12 0,88 b) Exactamete dos tradores hace blaco P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC X X X X X X 0,6 0,5 0,6 0,6 0,5 0,4 0,4 0,5 0,4 0,38 c) Sea el suceso D = "los dos prmeros tradores hace blaco" DABAB 0,6 X0,5 X 0,4 0,4 X0,5 X 0,4 P(CD) P A B C A B C PC/D) 0,526 P(D) P(D) 0,38 19

21 Gestó Aeroáutca: Estadístca Teórca Facultad Cecas Ecoómcas y Empresarales Departameto de Ecoomía Aplcada Profesor: Satago de la Fuete Ferádez