- Jóvenes amigos, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme

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1 Álgebra y Geometría Aalítca Aálss Combatoro Facultad Regoal La Plata Ig. Vvaa CAPPELLO INTRODUCCIÓN UNA COMIDA GRATIS Dez jóvees decdero celebrar la termacó de sus estudos e la escuela secudara co u almuerzo e u restaurate. Ua vez reudos, se etabló etre ellos ua dscusó sobre el orde e que había de setarse a la mesa. Uos propusero que la colocacó fuera por orde alfabétco; otros, co arreglo a la edad; otros, por los resultados de los exámees; otros, por la estatura, etc. La dscusó se prologaba, la sopa se efró y ade se setaba a la mesa. Los recocló el camarero, drgédoles las sguetes palabras: - Jóvees amgos, deje de dscutr. Sétese a la mesa e cualquer orde y escúcheme Todos se setaro s segur u orde determado. El camarero cotuó: - Que uo cualquera aote el orde e que está setados ahora. Mañaa vee a comer y se seta e otro orde. Pasado mañaa vee de uevo a comer y se seta e orde dstto, y así sucesvamete hasta que haya probado todas las combacoes posbles. Cuado llegue el día e que ustedes tega que setarse de uevo e la msma forma que ahora, les prometo solememete, que e lo sucesvo les covdaré a comer grats daramete, srvédoles los platos más exqustos y escogdos. La proposcó agradó a todos y fue aceptada. Acordaro reurse cada día e aquel restaurate y probar todos los modos dsttos, posbles, de colocacó alrededor de la mesa, co el objeto de dsfrutar cuato ates de las comdas gratutas. S embargo, o lograro llegar hasta ese día. Y o porque el camarero o cumplera su palabra so porque el úmero total de combacoes dferetes alrededor de la mesa es extraordaramete grade. Éstas so exactamete 688. Es fácl calcular, que este úmero de días so cas años. PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONTEO A meudo os ecotramos co pregutas del tpo Qué proporcó de...? Cuál es la probabldad de...? De cuátas maeras se puede...? Muchas veces, para respoder, se ecesta u pesameto sstemátco y u poco de formacó adcoal; por ejemplo, Cuátas rutas dferetes puedo usar para r de Bueos Ares a Sa Lus? o De cuátas maeras puede quedar los prmeros puestos e ua carrera de 6 caballos? Hay téccas y prcpos matemátcos útles e stuacoes varadas, pero muchas pregutas se puede respoder drectamete, cotado e forma sstemátca, es decr, lstado todos los posbles resultados e u orde, para luego cotar cuátos so, o desarrollado reglas de coteo. Prcpo de Adcó Cco empresas de trasporte terrestre tee servco daro etre Ushuaa y Jujuy. Tres empresas de avacó tee vuelo daro etre Ushuaa y Jujuy. E cosecueca, hay 5+ maeras de r de Ushuaa a Jujuy e avó o e autobús.

2 Álgebra y Geometría Aalítca Aálss Combatoro Facultad Regoal La Plata Ig. Vvaa CAPPELLO E los problemas de coteo, la palabra "o" se traduce e suma. El prcpo geeral es: S dos operacoes so mutuamete excluyetes (es decr, s sólo ua de ellas puede ocurrr) y s la prmera se puede hacer de maeras dferetes y la seguda operacó se puede hacer de m maeras dferetes, etoces hay + m maeras de realzar la prmera o la seguda operacó. Prcpo de Multplcacó. S ua operacó se puede hacer de maeras dferetes y s e cada caso, ua seguda operacó se puede hacer de m maeras dferetes, etoces hay m. (m por ) maeras de realzar las dos operacoes El meú de u restaurate ofrece platos caletes y postres. De cuátas maeras se puede elegr u almuerzo de plato calete y postre? Podríamos hacer ua lsta de todas las posbldades, pero será mucho más cómodo aplcar el prcpo de la multplcacó: Hay maeras de elegr el plato calete y para cada ua de ellas hay maeras de elegr el postre. Por lo tato, hay. = comdas posbles. VARIACIONES PERMUTACIONES - COMBINACIONES Co frecueca cada uo de los pasos e que se dvde u proceso de recueto puede terpretarse como ua eleccó o seleccó de k objetos elegdos etre los elemetos de u cojuto de objetos. Dado u cojuto de elemetos puede ocurrr:. Que los elemetos sea dsttos; e este caso, a los grupos se les deoma agrupacoes smples.. Que alguos elemetos sea guales; e este caso, a los grupos se les deoma agrupacoes co repetcó. Cosderado la aturaleza de los elemetos (que sea guales o dsttos), las agrupacoes recbrá el ombre de permutacoes o combacoes smples cuado o se repte gú elemeto y permutacoes o combacoes co repetcó cuado algú elemeto se repte. Defcó de factoral. Para u etero, factoral, expresado, se defe por:... Y cuál es el factoral de cero? El factoral de cero se defe como: = VARIACIONES

3 Álgebra y Geometría Aalítca Aálss Combatoro Facultad Regoal La Plata Ig. Vvaa CAPPELLO Se llama varacóes smples de elemetos tomados de a k (k < ) a los dsttos grupos formados por k elemetos de forma que: Los k elemetos que forma el grupo so dsttos (o se repte) Dos grupos so dsttos s se dfereca e algú elemeto o e el orde e que está colocados (fluye el orde). Aquí, o se utlza todos los elemetos. S elegmos u prmer elemeto, lo podemos hacer de formas. Qutamos el elemeto elegdo y elegmos otro de etre los - que queda. Esto podrá hacerse de - formas. Qutamos també este elemeto y os quedamos co -, de etre los que elegmos el tercero. Esto lo podremos hacer de - formas... Segú la regla del producto, las maeras de escoger k elemetos de etre u total de segú u determado orde, será gual al producto de:... k Notacó. V,k deota el úmero de permutacoes de elemetos dsttos tomados de a k. Para llegar a ua versó smplfcada se opera así: - k - k... V k, - k - k... - k ( )( )( )...( ( k )) Ejemplo V, so las permutacoes de elemetos agrupádolos e subgrupos de elemetos: V, 5 ( ) 65 Etoces podemos formar 5 subgrupos dferetes de elemetos a partr de los elemetos. Ejemplo Cuátas baderas dferetes, de tres frajas horzotales de gual acho y de colores dsttos, puede cofeccoarse a partr de sete colores dferetes? Solucó: 7 V 7, Ejemplo. Cuátos úmeros de tres cfras dsttas se puede formar co las ueve cfras sgfcatvas del sstema decmal? Al tratarse de úmeros el orde mporta y además os dce "cfras dsttas" luego o puede repetrse: V Por tato, se puede formar 5 úmeros. 9, E el caso especal e que = k, se llama permutacoes de. PERMUTACIONES

4 Álgebra y Geometría Aalítca Aálss Combatoro Facultad Regoal La Plata Ig. Vvaa CAPPELLO Se llama permutacoes de elemetos a las dferetes agrupacoes de esos elemetos de forma que: E cada grupo tervee los elemetos s repetrse guo (tervee todos los elemetos). Dos grupos so dferetes s el orde de colocacó de alguo de esos elemetos es dstto (fluye el orde). Notacó: P deota el úmero de permutacoes de elemetos dsttos. P P so las permutacoes de elemetos: P Es decr, tedríamos 688 formas dferetes de agrupar elemetos. Ua madre (yo) tee hjos de cuátas maeras dsttas, ombrádolos uo por uo, puede llamarlos a cear? Solucó: P = = Gozalo Igaco Adolfa Reata Gozalo Igaco Reata Adolfa Gozalo Adolfa Reata Igaco Gozalo Adolfa Igaco Reata Gozalo Reata Igaco Adolfa Gozalo Reata Adolfa Igaco Igaco Gozalo Adolfa Reata Igaco Gozalo Reata Adolfa Igaco Adolfa Gozalo Reata Igaco Adolfa Reata Gozalo Igaco Reata Adolfa Gozalo Igaco Reata Gozalo Adolfa Adolfa Igaco Gozalo Reata Adolfa Igaco Reata Gozalo Adolfa Reata Gozalo Igaco Adolfa Reata Igaco Gozalo

5 Álgebra y Geometría Aalítca Aálss Combatoro Facultad Regoal La Plata Ig. Vvaa CAPPELLO Adolfa Gozalo Igaco Reata Adolfa Gozalo Reata Igaco Reata Gozalo Igaco Adolfa Reata Gozalo Adolfa Igaco Reata Igaco Gozalo Adolfa Reata Igaco Adolfa Gozalo Reata Adolfa Gozalo Igaco Reata Adolfa Igaco Gozalo COMBINACIONES EL ORDEN NO IMPORTA Tomamos las... k posbldades y las partmos e clases, de forma que e cada clase esté aquellas eleccoes que sea la msma salvo el orde. Se elge k elemetos, la forma de ordearlos será k y, así, e cada clase tedré exactamete k casos. Por tato, el úmero de clases, es decr, el úmero de posbldades de escoger k elemetos s mportar el orde y s repetr será ( )... ( k ) k k( k) Este úmero suele coocerse como el úmero de combacoes de elemetos tomadas de a k y se deota por: C. k k k( k) Se llama combacoes de elemetos tomados de a k (k ) a todas las clases posbles que puede hacerse co los elemetos de forma que: Cada agrupacó está formada por elemetos dsttos etre sí Dos agrupacoes dsttas se dfereca al meos e u elemeto, s teer e cueta el orde. Ejemplo. U alumo decde redr tres de los cco exámees fales De cuátas maeras dsttas puede elegr esas tres pruebas? 5 C 5,

6 Álgebra y Geometría Aalítca Aálss Combatoro Facultad Regoal La Plata Ig. Vvaa CAPPELLO Ejemplo Cuátas combacoes de 6 acertos exste e la lotería prmtva? 9 9 C 9, Es decr, que tedríamos que vertr el costo de 9886 de apuestas para teer la segurdad al % de gaar. Números combatoros El úmero combatoro de m elemetos tomados de a, o sea Cm,, se represeta ( m ) Propedades. ( m m ) =. ( m ) = m. ( m ) = ( m ) = m (m ) ( m m ) = m m (m m) = m m = ( m ) = m m. (m ) = (m ) (m ) = m. ( m m ) = m ( m ) = m (m ) = m (m) = ( m m ) = m m. (m ) = = m (m ) (m (m )) (m ) m m 5. = m m m ( m ) ( m )m m m m ( m ) ( m )

7 Facultad Regoal La Plata Álgebra y Geometría Aalítca Aálss Combatoro Ig. Vvaa CAPPELLO 6. ; Bomo de Newto De la últma propedad de los úmeros combatoros permte geerar úmeros combatoros a partr de dos de ellos. : etc

8 Facultad Regoal La Plata Álgebra y Geometría Aalítca Aálss Combatoro Ig. Vvaa CAPPELLO Estos úmeros combatoros puede ser colocados e ua cofguracó tragular, llamada trágulo de Tartagla. Alguas propedades del trágulo de Tartagla so: E cualquer fla, los úmeros que equdsta de los extremos so guales Los extremos de cualquer fla so guales a. Cualquer úmero de ua fla, co excepcó de los extremos, es gual a la suma de los dos úmeros que tee ecma, perteecetes a la fla ateror (tomadas las flas de arrba haca abajo) La suma de los úmeros de ua fla k es gual a k La poteca (x + y) puede expresarse así: (x + y) = ( ) x y + ( ) x y +( ) x y + + ( ) x y Obsérvese que los coefcetes del desarrollo so úmeros combatoros. El prmer coefcete es ( ) = y el últmo es, ( ) = E el desarrollo de (x + y), los expoetes de x so descedetes y so guales e cada térmo, a la dfereca etre el ídce y el orde del úmero combatoro correspodete a ese térmo. Los 6

9 Álgebra y Geometría Aalítca Aálss Combatoro Facultad Regoal La Plata Ig. Vvaa CAPPELLO expoetes de y, e cambo, so ascedetes y so guales al orde del úmero combatoro que correspode al térmo cosderado. El desarrollo (x + y) cotee + térmos El térmo k-ésmo Tk del desarrollo de (x + y), co k < +, se obtee co la sguete expresó: T k = ( k ) x k+ y k Para complemetar la lectura de esta breve teoría se sugere ver e Youtube los sguetes vdeos explcatvos: Bblografía oblgatora y recomedada: Armado Rojo: Álgebra I y II Hector D Caro: Álgebra y Geometría Aalítca. Sagastume Berra, G. Ferádez: Álgebra y Cálculo Numérco. Let, Rvaud: Álgebra Modera Doato D Petro: Geometría Aalítca. Ch. H. Lehma Geometría Aalítca. Lous Lethold El Cálculo co Geometría P. Smth, A. Gale Elemetos de G. Aalítca