El MÉTODO MATEMÁTICO PARA LAS SERIES VARIABLES CON GRADIENTE ARITMÉTICO DECRECIENTE
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- José Luis Prado Ríos
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1 Mg Mrco oo Plz Vdurre El MÉTODO MTEMÁTIO PR LS SERIES VRIBLES ON RDIENTE RITMÉTIO DEREIENTE El presee documeo desrroll e delle el méodo ulzdo por Jme rcí e su lro Memács cers co ecucoes e dferec f, sedo el ojevo dr u myor explccó El méodo cosse e ulzr ecucoes e dferec f de prmer orde, e u cso, poloml, y e oro cso, co fucó expoecl E mos csos, dferec del ulzdo e ls seres uformes, ess ecucoes coee vrles que ume de mer lel o geomérc El prmer cso se refere ls seres vrles co grdee rméco y el segudo cso, ls seres vrles co grdee geomérco, y el grdee puede ser crecee o decrecee E dcó se ulz el méodo de los coefcees deermdos El presee documeo desrroll ls seres vrles co grdee rméco decrecee, y hll l fórmul que cplz l sere es mecod El reso de fórmuls y fcores so desrrollds e el documeo ls seres vrles dspole e l we del uor del presee documeo Ls Seres Vrles co rdee rméco Derecee Se u sere vrle vecd de perodos co grdee rméco egvo, l prmer re de vlor, u s de erés por perodo El ojevo es esmr el vlor fuuro de es sere vrle L prmer re será l fl del prmero perodo, l segud re será -, l fl del segudo perodo, l ercer re será -2, l fl del ercer perodo Se puede precr que el grdee se c e el segudo perodo y dsmuye de mer lel o rméc L ecucó que represe el vlor fuuro de ls res cplzds l perodo será l sguee: ( o l fldd de fclr l explccó, summos que se efecú depósos e u co comercl Jme rcí, Memács cers co ecucoes de dferec f, cur edcó, Perso, S e de Bogoá, D, olom, 2000
2 Mg Mrco oo Plz Vdurre 2 E l ecucó (, el memro de l zquerd es el vlor cumuldo e el perodo, el prmer érmo del memro de l derech es el vlor cumuldo e el perodo, el segudo érmo es el erés devegdo e el perodo, el ercer ermo es l re fj relcod l perodo que e uesro cso serí el vlor se del depóso, y el úlmo érmo es el compoee vrle de cd uo de los depósos que se efecú, es decr, es el produco de dos fcores, el prmero es el úmero de grdee ( y el segudo fcor es el vlor del grdee rméco ( Por ejemplo, e el perodo, el vlor de es de cero l como se djese erormee, y que e ese perodo o exse grdee ú; e el segudo perodo, el vlor de es de, y sí sucesvmee Ordedo l ecucó ( eemos: Dode ( (2 g( (3 L ecucó (2 es u ecucó de dferec f co u fucó lel co l vrle empo El méodo El méodo de solucó de u ecucó e dferec f de prmer orde, sguedo el méodo desrrolldo por rcí 2, es l sguee: Se l ecucó de dferec f de prmer orde: Y oy g( (4 L solucó geerl será l sguee: Y Y ( Y ( (5 h p 2 Ver c eror, cpíulo 2; mé e l we del uor del presee documeo exse u documeo del méodo ulzdo del cpíulo mecodo y su respecv explccó co myor delle
3 Mg Mrco oo Plz Vdurre 3 El prmer érmo del memro de l zquerd es l solucó geerl de l ecucó homogée de l ecucó (4, y el segudo érmo, es l solucó prculr de l ecucó mecod L solucó geerl de l ecucó homogée Se l ecucó homogée: Y o Y 0 (6 Dode: g ( 0 plcdo l solucó de u ecucó de dferec cudo el érmo g( es u cose o ee u vlor de 0, eemos que: Dode: Y B (7 o (8 k B y es u cose rrr Segú l ecucó homogée (6, el érmo k es gul que cero, luego: B k 0 0 (9 Volvedo l ecucó (2, su respecv ecucó homogée es l sguee: ( 0 (0
4 Mg Mrco oo Plz Vdurre 4 plcdo ls ecucoes (8 y (9, eemos que: o ( ( k B 0 y reemplzdo ( e (7 eemos: ( ( h ( ( (0 (2 3 ( Luego, l solucó geerl de l ecucó homogée será: ( ( (3 h L solucó prculr E cuo l solucó prculr, eemos que: g( (3 L ecucó (3 es u polomo lel por o su solucó mé dee ser u polomo lel de l sguee form: p ( (4 4 ovredo l ecucó (4 l perodo p ( ( (5 Reemplzdo (4 y (5 e l ecucó (2, eemos: ( ( ( (6 Efecudo rreglos lgercos: 3 L ler h que esá como su ídce se refere homogée 4 L ler p que esá como su ídce se refere prculr
5 Mg Mrco oo Plz Vdurre 5 [ ] (7 Iguldo coefcees pr el cso de (8 y pr el cso de ( (9 Reemplzdo y e l ecucó (4: p ( (20 Sumdo ms solucoes, ecucoes (3 y (20: º ( (2 L ecucó (2 es l solucó geerl de l ecucó (2, s emrgo se hce ecesro esmr l cose rrr Pr el efeco, semos que el vlor de e el perodo 0 es jusmee 0 Reemplzdo e (2: (0 ( 0 0 Despejdo : (22
6 Mg Mrco oo Plz Vdurre 6 Reemplzdo el vlor de e (2: ( ( (23 Efecudo rreglos eemos: [ ] [ ] ( ( ( ( ( ( (24 lmee llegmos l sguee ecucó: [ ] ( ( (25 sumedo que es gul que, oeemos l solucó geerl de l ecucó (2: ( ( (26 E l ecucó (26 eemos dos corchees, el prmer corchee es el fcor que cplz l re se (e el cso de grdee rméco, l re se es l prmer re, S el segudo es el fcor que cplz el grdee rméco decrecee, perodos, S, mos fcores u s ; E érmos lerles eemos l sguee ecucó: S S (27 Dode: S ( (28
7 Mg Mrco oo Plz Vdurre 7 ( S (29 Se puede precr que l dferec ere el vlor fuuro de u sere vrle co grdee rméco decrecee y el crecee es que el fcor que cplz l sere del grdee es de sgo egvo dferec que el del crecee, que es sumr
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