Determinación del Número de Particiones de un Conjunto

Transcripción

1 Determcó del Número de rtcoes de u Couto Lus E Ryber E el estudo de prtcoes estblecds e u couto A que posee elemetos se susct l cuestó del úmero totl de tles prtcoes Es evdete y el cálculo sí lo dc que este úmero crece rápdmete l umetr l ctdd de elemetos del couto Este rtículo es el prmero de u sere de los msmos sobre el tem Determr u prtcó e el couto ddo A de elemetos es ecotrr u fml de subcoutos { A A A l } tl que: A A Ø Esto es los subcoutos so dsutos dos dos A Ø gú subcouto es vcío U l A A l uó de los subcoutos es el couto ddo A El problem cosste e cotr tods ls prtcoes posbles e u couto ddo L dfcultd rdc e el crtero de coteo que o debe reterr obvr prtcoes Se u couto A { } dode el crdl de A es deotemos por el úmero de prtcoes de A I S fmos el elemeto y clculmos ls prtcoes de los - resttes tedremos sí tods ls prtcoes e dode ese elemeto perteece sólo u couto utro U prtcó culquer dode { } es u elemeto será de l form: { }{ }{ }{ l } } { II A cotucó elegmos otro elemeto dstto fdo y formmos co los resttes ls prtcoes de los - resttes De ést form se tedrá el couto de tods ls prtcoes e dode el subcouto { } perteece E éste cso u prtcó culquer será de l form: { } { } { } { } 6 Cmbdo luego por por etc dedo fo sempre este segudo elemeto es posble elegrlo etre - y e cosecuec pr est stucó el úmero de totl de prtcoes que cotee { } pr es : III rosguedo el rzometo e el pso sguete demos fos { } tedremos: prtcoes que cotee { } co p p

2 Y sí e geerl el úmero de prtcoes { A A A } l Tl que A y crd A es: Reterdo est secuec hst el pso - e éste últmo pso tedremos: or últmo teemos l prtcó {A} De todo esto se deduce que x es por l prtcó utr que es l que cotee solmete l couto ddo A E deftv el úmero totl de prtcoes es etoces: se por defcó podemos escrbr etoces: y por l propedd complemetr de los úmeros combtoros se obtee: Que es l coocd fórmul de Bell Ddo que ést expresó recurrete es fucó de tods ls prtcoes terores el propósto hor es reducrl otr que o deped de ésts r éste f formremos u sstem Crmero de ecucoes co ls cógts sber los úmeros Este sstem tee l form: 7

3 8 Como l mtrz prcpl es u mtrz trgulr feror su determte es el producto de los elemetos de l dgol De dode result que el determte es o S es u úmero pr el determte es uo e cso de ser mpr éste vlor es - or l regl de Crmer y deotdo determte de u mtrz por el úmero de prtcoes es:

4 9 operdo y plcdo l multleldd de los determtes sobre l expresó de tedremos: Ahor plcmos el cclo ls colums y se obtee Recorddo e deftv obteemos:

5 Clculemos modo de eemplo 5 esto es el úmero de prtcoes pr u couto de cco elemetos A { } U tereste coexó co el trágulo de Trtgl Se l mtrz socd l cálculo de sus elemetos quedrá defdos por:

6 s - s S r tod mtrz es posble su trsformcó e u mtrz trgulr equvlete operdo e sus colums por opercoes elemetles Se l sguete trsformcó T Trsform u mtrz C b e u mtrz C b de mer que Col Col pr Col Col Col Dode: Col es l colum de l mtrz orgl Col Es l colum de l uev mtrz or propeddes de los determtes se tee: det C det C A cotucó plcmos est trsformcó de mer sucesv prtr de l segud colum - veces Esto es clculmos T T T T : or l estructur de l mtrz l mtrz result trgulr feror Como l colum prmer qued vrte result El lector dlgete verfcrá por duccó por lo tto pr

7 y sedo l mtrz trgulr es: De dode result y tmbé: S deotmos l mtrz T T T T : De cuerdo esto el elemeto es: r tedremos Aplquemos como eemplo ls trsformcoes pr hllr ls prtcoes de u couto de elemetos: A{ } Será y como: y tedremos: ó r l expresó será: r stetzr ésts regulrddes e u lgortmo úco defmos lo sguete: Defcó : El úmero producto de los úmeros combtoros: b b b lo deotmos por cc pr escrbmos

8 b b b : cc : b b b Defcó : Número combtoro compuesto sum es l sum de todos los úmeros combtoros compuestos dode vrí de hst deotmos ést sum por: b b b : cc los úmeros combtoros que cotrbuy ést sum deberá cumplr ls sguetes codcoes: C: o b b y b so turles pr todo Todo úmero combtoro compuesto que cotrbuye l sum es de l form b b b b b dode p b tmbé e cd b úmero combtoro y que cotrbuye cc stsfce obvmete b Defmos b b : b b : de dode : Vemos u eemplo: Se or eemplo:

9 5 Usdo l expresó Se tee el Teorem: s p s Otr expresó recurrete pr S be l expresó de Bell es recurrete lo es e fucó de tods ls prtcoes terores es posble ecotrr u relcó e dode el úmero de prtcoes deped del úmero de prtcoes de sumdo u úmero combtoro compuesto S opermos sobre l ecucó obtedremos de cuerdo : Tmbé es posble expresr como sum de úmeros combtoros compuestos s e l fórmul: efectumos l sum sobre pr obteemos:

10 - utlzdo y sedo defedo result: leryber@hotmlcom Uversdd Ncol de l tgo S Ju Bosco Comodoro Rvdv 5