1. Mi sitio Web con tareas:

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1 . M sto Web co tres: ANALISIS NUMERICO BURDEN, RICHARD L. \ FAIRES J. DOUGLAS 99. METODOS NUMERICOS LUTHE, RODOLFO \ OLIVERA ANTONIO, SCHUTZ FERNANDO METODOS NUMERICOS SCHEID, FRANCIS METODOS NUMERICOS APLICADOS A LA INGENIERIA NIEVES HURTADO, ANTONIO \ DOMINGUEZ SANCHEZ FEDERICO C METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS CHAPRA, STEVEN C. \ CANALE, RAYMOND P. 7. INTRODUCCION A LA ESTADISTICA MATEMATICA HOEL, PAUL G Shochro Nkmur Métodos Numércos Aplcdos co Softwre.

2 Itroduccó. E l geerí y e los domos dversos de l cec hy muchs problems mtemátcos cules o es posble o es muy dfícl solucor usdo métodos ectos o lítcos. Pero e muchos csos es sufcete sber l solucó promd. L solucó promd es posble buscr usdo métodos umércos. Los métodos umércos so herrmets muy podeross pr l solucó de estos problems. Por ejemplo, usdo método lítco es sufcete dfícl teer l solucó de tl ecucó como e. Pero co l yud de métodos umércos, es posble buscr l solucó promd co precsó egd. L solucó fuer.7 ±.. Pr mplemetr los métodos umércos se utlz ls computdors. E uestro curso, estudremos lguos métodos umércos que utlzdo frecuetemete e l geerí y e los domos dversos de l cec. El prmero tem de uestrs leccoes es solucó de ecucoes o leles, el método de bseccó.. Solucó de ecucoes o leles. Método de bseccó Supogmos que f ( ) es lgu ecucó o lel. Alguos ejemplos de ecucoes o leles so: (.) 4 + s ( ) (.) e (.) Ls solucoes de u ecucó o lel se llm ríces o ceros. Alguo úmero ξ se llm ríz o cero de u ecucó f ( ), s f ( ξ ). E geerl, s l fucó f () es rel y cotu e el tervlo desde hst c y f () y f (c) tee sgos opuestos, es decr, f ( ) f ( c) < (4.) etoces hy l meos u ríz rel etre y c. Supog que hy lgu ecucó f ( ) cul tee u sol ríz e el tervlo [, c], como se muestr e l fgur. Es ecesro ecotrr el vlor promdo de l ríz co u tolerc dd ε. Pr solucor est tre es posble usr el método de bseccó. El método de bseccó se bs e el hecho de que u tervlo [, c] teg u ríz, bst que los sgos f () y f (c) se opuestos, es decr, f ( ) f ( c). Algortmo del método bseccó El prmer pso pr utlzr este método es bsectr el tervlo [, c] e dos mtdes: [, b] y [b, c] dode b ( + c). Al verfcr los sgos de f ( ) f ( b) y f ( b) f ( c), se loclz l mtd del tervlo que cotee l ríz. S f ( ) f ( b), el tervlo [, b] cotee l ríz. E cso cotrro, el tervlo [b, c] tee l ríz.

3 El segudo pso, el tervlo que cotee l ríz se bsect de uevo. Al repetr este proceso, el tmño del tervlo co l ríz se vuelve cd vez más pequeño. E cd pso, se tom el puto medo del tervlo ( b ) como l promcó ms ctulzd de l ríz. L opercoes clculds se detee cudo l mtd del tervlo est detro de u tolerc dd ε. U tolerc d el límte dode es ecesro prr los cálculos. El tmño del tervlo, dode se ecuetr l ríz, después de psos es ( c ). Esto tmño represet el mámo error posble. El resultdo de cálculo de ríz es posble escrbr como b ± (5.) Dode b es u vlor promdo de l ríz, ( c ) / mámo error posble que est detro de l tolerc dd ε y llmd el error bsoluto. El vlor de u tolerc dd ε debe ser más o gul que ( ε ). f() - - Ejemplo. Se sbe que l ríz de e est e [, ]. Hllr u vlor promdo de l ríz co u tolerc de ε. medte el método de l bseccó. Solucó Numero de tercó b c F() f(b) f(c) f() f(c) Fg. f() (+) - ep(+) [, c] Cot del error b b c c b c c pso pso... pso

4 4 L octv promcó pr l ríz es.695±. 78. Aquí b. 695,.78 < ε. Por lo tto, s l tolerc del error est dd por ε, el umero de psos de tercó ecesros es el mímo etero que stsfce l desguldd ( c ) ε (6.) o, e form equvlete ( c ) log (7.) ε Por ejemplo, s ( c ) y ε., etoces 4. Utlzdo el método de bseccó hemos supuesto que el tervlo cl [, c] tee solo u ríz y que f ( ) f ( c). Pero el tervlo puede teer u o más que sol u ríz (Fg. ) o teer u sgulrdd (Fg.) y e estos csos f ( ) f ( c) se stsfce tmbé. E estos csos el método de bseccó ecotrrá u de ls ríces seprds e el tervlo ddo (Fg. ) o drá error. f() f() c c Fg. Fg. Pr evtr este problem es posble recomedr grfcr l fucó f () e el tervlo ddo medte computdor, por ejemplo e l Ecel tes utlzr el método de bseccó. Después loclzr tervlos que coteg u ríz, e prtculr cudo l ecucó teg vrs ríces.

5 5 TAREA. Determr tervlo de tmño. tl que coteg solo u ríz y hllr u vlor promdo de l ríz co u tolerc de ε. medte el método de l bseccó usdo Ecel.

6 6. Método de tercó de puto fjo (Tmbé llmd método de susttucó sucesv) Supogmos que teemos lgu ecucó o lel f ( ), dode f () es l fucó cotu e el tervlo desde hst c. Es ecesro ecotrr el vlor promdo de l ríz de l ecucó f ( ) loclzdo e el tervlo [, c] co u tolerc dd ε. L esec del método de puto fjo cosste e lo sguete. Pso. L ecucó f ( ) es ecesro reorder e l form g(). (.) Est trsformcó se relz medte opercoes lgebrcs o smplemete sumdo cd ldo de l ecucó orgl. Por ejemplo, s teemos l ecucó, podemos reorderl e l form ( ). Aquí g ( ) ( ). Pso. Escogemos u estmcó cl pr l ríz de l ecucó (.). Como u estmcó cl se puede usr culquer úmero del tervlo ddo [, c]. Después podemos clculr l estmcó prmer pr l ríz l ecucó (.) como g( ). (.) Luego es posble clculr l estmcó segud como g( ). (.) Etcéter. Así, se puede escrbr l formul tertv: + g( ) (.4) Ls opercoes clculds se detee cudo u tolerc dd ε es obted. El error promdo de est solucó se clcul usdo el error ormlzdo: + ε % (.5) + Aquí ε -es el error reltvo promdo, - el error bsoluto promdo. L relcó etre el error ormlzdo y el error bsoluto se d co l formul: ε ( ) (.6) E (.6) y (.7), equvlete ε %. + ( + ε ) (.7) ε se clcul como prtcpcó reltv de + El resultdo de cálculo de l ríz es posble escrbr como + ±.. Aquí ε. es

7 7 Los coceptos de método puto fjo se puede lustrr gráfcmete (Fg. 4). Y Y X Y Y g(x) Y X Y g(x) X X X X c c Fg. 4 Fg. 5 X X X X Aquí (Fg. 4) se mostrro gráfcmete ls fucoes y y y g( ) cules so l prte zquerd y l prte derecho de l ecucó (.). L ríz de f ( ) correspode l vlor de l bscs pr l terseccó de ls dos curvs. El vlor cl srve pr determr el puto [, g( )] correspodete l curv y. El puto, ) se ecuetr movédose horzotlmete l zquerd hst l ( curv y. Estos movmetos so el equvlete l prmer tercó e el método de puto fjo: g( ). Etcéter. Al lzr l fgur 4, se debe otr que l tercó de puto fjo coverge l ríz e l regó de terés [, c] s, g ( ) <. E otrs plbrs, l covergec ocurre e l regó de terés [, c], s l mgtud de l pedete de y g( ) es meor que l mgtud de l pedete de y. L solucó e l fgur 4 es covergete porque l promcó de se cerc más l ríz co cd tercó. Pero este o hy e l fgur 5, dode ls tercoes dverge de l ríz. Por eso, usr este método se puede o pr cd ecucó. Usmos el método de tercó de puto fjo solo s g ( ) <. Ejemplo Se sbe que l fucó y + e tee dos ríces: u egtv y otr postv. Hllr l meor de ésts medte el método de puto fjo.

8 8 Solucó. Prmero, es ecesro loclzr l meor de ls ríces utlzdo Ecel. L ríz meor est e [-, ].. Después es ecesro reescrbr l ecucó como g() y verfcr l covergec ( g ( ) < ) e [-, ]. + e + e Reescrbmos l ecucó como. Aquí g ( ). Teemos g ( ) + e < e [-, ]. L covergec ocurre y es posble utlzr el método de puto fjo.. Utlzdo l formul tertv + g( ) (.4) teemos l solucó: El error El error Cotdor de Apromcó ormlzdo, ormlzdo, tercoes sucesv ε ε (%) El error bsoluto, L solucó -.97 ±.6

9 9. Método de Newto (tmbé llmdo método de Newto-Rphso) Este método ecuetr u ríz sempre cudo se coozc u estmcó cl pr l ríz. El método de Newto se puede plcr l domo complejo pr hllr ríces complejs. Supogmos que teemos lgu ecucó o lel f ( ) co u ríz loclzdo e el tervlo [, c] y f ( ) y f ( ) so cotus y tee los sgos fjs e el tervlo [, c]. Es ecesro ecotrr el vlor promdo de l ríz de l ecucó f ( ) co u tolerc dd ε. Pr solucor est tre vmos cosderr tods dsposcoes posbles de l gráfc de l fucó y f () e el tervlo [, c]. Ls puede ser sguetes (Fg 5, - d). y y f (c) f ( ) > y f ( ) < y f () ξ c ξ c y f () y f (c) Fg. 5() Fg. 5(b) y y f () f ( ) > y f ( ) < y f () ξ ξ y f () y f () Fg. 5(c) Fg. 5(d)

10 Supogmos que teemos el vrte mostrdo e l Fgur 5(). El vlor es u estmcó cl pr l ríz. A cotucó se obtee l fucó lel que ps por, ) e form tgecl. L terseccó de l rect tgete co el eje X se ( y deot como y se cosder como u promcó de l ríz. Después se repte el msmo procedmeto utlzdo como u estmcó pr el sguete cclo de tercó y etcéter. L ecucó de l rect tgete que ps por, f ( )) es ( y f )( ) + f ( ) (.) ( E el puto de l terseccó de l rect tgete co el eje X, (, ), teemos: f ( )( ) + f ( ) (.) Al resolver l ecucó teror se obtee: f ( ) (.) f ( ) Ls promcoes sucesvs l ríz se escrbe como f ( ) (.4) f ( ) El error bsoluto e el método de Newto se clcul como (.5) El error reltvo porcetul como ε % Ls opercoes clculds se detee cudo u tolerc dd ε es obted. Así, pr el vrte se muestr e l Fgur 5() y e l Fgur 5(b), úmero c es u estmcó cl pr l ríz de f ( ). Pero, s teemos el vrte se muestr e l Fgur 5 (c) y Fgur 5 (d), como u estmcó cl pr l ríz de f ( ) es ecesro tomr el úmero. Es posble formulr sguete regl pr escoger u estmcó cl pr l ríz promd de l ecucó f ( ). El vlor promdo de l ríz de f ( ) se clcul de l formul (.4) dode se utlz el úmero c como u estmcó cl pr l ríz ( c ), s e el tervlo [, c] f ( c) f ( ) > y se utlz el úmero ( ), s e el tervlo [, c] f ( ) f ( ) >. Ejemplo. Clcul el vlor promdo de l ríz de ecucó medte el método de Newto co u tolerc dd ε.. Solucó. Prmero, es ecesro loclzr l ríz utlzdo Ecel. L ríz est e el tervlo [.;.4].

11 . Después, es ecesro determr cul úmero. o.4 será utlzdo como u estmcó cl pr l ríz. Teemos: f ( ) < e el tervlo [.;.4] ; f ( ) f (.) -.8 < ; f ( c) f (.4).448 > De est mer debemos utlzr. como u estmcó cl pr l ríz porque f ( ) f ( ) > e el tervlo [.;.4].. Teemos. y f ( ) Utlzdo l formul tertv f ( ) teemos l solucó: f ( ) Cotdor de tercoes, El vlor promdo El error bsoluto, de l ríz e e e-5 L solucó.4 ±.4. Ejemplo. Obteg u esquem tertvo pr ecotrr l ríz cúbc de u umero, bsádose e el método de Newto. Determe l ríz de cúbc de 55 medte el esquem obtedo. Solucó Supog que desemos clculr. Este problem se puede formulr de uevo como determr el cero de l fucó dd por f ( ) Por el método de Newto, se escrbe u esquem tertvo como f ( ) + f ( ) Pr clculr l ríz cúbc de 55, defmos 55 y l estmcó cl 6. Se obtee los sguetes resultdos tertvos L solucó 5.7 ±.. Ejemplo. U prtícul se mueve co celercó e fucó de l velocdd f ( υ).6( kυ). S cudo υ 6 m/seg l prtícul se ecuetr e 6 m. Hlle el vlor de k.

12 Solucó dυ dυ d dυ dυ dυ Teemos υ ; De quí teemos: d υ υ dt d dt d.6( kυ) Itegrdo: υ dυ d b d ; Sbemos que l( b).6( kυ) + + b Etoces teemos k ; b υ ( l( + )).6 k k k υ o + l( k).6 k k S 6 m y υ 6 m/seg teemos u ecucó: l( 6k).6 () k k Usdo métodos lítcos es sufcete dfícl teer l solucó de tl ecucó, pero podemos obteer solucó utlzdo métodos umércos, por ejemplo el método de Newto. L epresó () es posble reorder e l form: 6k + l( 6k) +.6k. Es ecesro ecotrr k. Clro que k <. Podemos utlzr el método de Newto. 6 Teemos f ( k) 6k + l( 6k) +.6k. L ríz se loclzdo e el tervlo [-., -]. 6 f ( k) 7. > e el tervlo [-., -]. ( 6k) f ( ) 6 + l( + 6) +.6 < f (.) 6 + l(8.) +.6. > Etoces k.. k k 6k + l( 6k ) +.6k 7.k ( 6k ) k k ,. L solucó (-.7 ±.) [ seg ]

13 . Método de l secte Supogmos que teemos lgu ecucó o lel f ( ) co u ríz loclzdo e el tervlo [, c] y f ( ) y f ( ) so cotus y tee los sgos fjs e el tervlo [, c]. Es ecesro ecotrr el vlor promdo de l ríz de l ecucó f ( ) co u tolerc dd ε. L esec del método de l secte cosste e lo sguete. f ( El método se bs e l fórmul de Newto-Rphso ) +, pero f ( ) evt el cálculo de l dervd usdo l sguete promcó: f f ( ) f ( ) ) ( () Susttuyedo () e l fórmul de Newto-Rphso, obteemos: ( ) f ( ) f ( ) + () f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) L () es l formul del método de l secte. Nótese que pr poder clculr el vlor de +, ecestmos coocer los dos vlores terores y. E pso, como y podemos utlzr y c, es decr, y c. E psos sguetes, S f ( c) f ( ) > e tervlo [, c], como utlzmos sempre c y l ríz f ( )( c ) promdo de pso teror como. Es decr + f ( c) f ( ) f e tervlo [ c] S ( ) f ( ) > promdo de pso teror como. Es decr,, como utlzmos sempre y l ríz f ( )( ) +. f ( ) f ( ) Ls opercoes clculds se detee cudo u tolerc dd ε es obted, es decr ε o ε % ε Ejemplo Clcul el vlor promdo de l ríz de ecucó medte el método de l secte co u tolerc dd ε.. Solucó.

14 4. Prmero, es ecesro loclzr l ríz utlzdo Ecel. L ríz est e el tervlo [.;.5].. f ( ) < e el tervlo [.;.5] ; f ( ) f (.) -.8 < ; f ( c) f (.5) > Teemos: f ( ) f ( ) > e el tervlo [.;.5] y debemos utlzr ls formuls f ( c) ( c ) c f ( c) f ( ) f ( )( ) + f ( ) f ( ) dode., c. 5 L solucó es..

15 5.4 Aálss de error y téccs de celercó e l covergec. Los errores umércos surge del uso de promcoes pr represetr opercoes y ctddes mtemátcs ects. Ests cluye los errores de trucmeto que result del empleo de promcoes como u procedmeto mtemátco ecto, y los errores de redodeo que se produce cudo se us úmeros que tee u límte de cfrs sgfctvs pr represetr úmeros ectos. Por ejemplo Obteemos el error de redodeo, s escrbmos el umero PI como.4. Obteemos el error de trucmeto, s clculmos el vlor de e usdo el sere de Mclur e !!! y os lmtmos solo tres sumdos, es decr, e + +.! Pr mbos tpos de errores, l relcó etre el resultdo ecto, o verddero, y el promdo est dd por: Vlor verddero Vlor promdo + error (4.) Podemos ver de l formul (4.) que el error umérco es gul l dferec etre el vlor verddero y el vlor promdo, es decr Vlor verddero Vlor promdo (4.) dode E t E t se us pr deotr el vlor ecto del error. Aquí y después el subídce t dc que se trt del error verddero (true). Esto v cotrstr co los otros csos, dode se debe empler u estmcó promd del error. E l (4.) teímos el vlor verddero. S embrgo, e ls stucoes reles veces es dfícl cotr el vlor verddero. E los métodos umércos, el vlor verddero sólo se coocerá cudo se teg fucoes que se resuelv lítcmete. S embrgo, e muchs plccoes reles, o se cooce pror l respuest verdder. Etoces e dchos csos es ecesro usr u error promdo. El error bsoluto promdo meudo se clcul como el módulo de l dferec etre l promcó prev y l ctul, es decr promco ctul promco teror (4.) - y l solucó es posble escrbr como promco ctul ±. U desvetj e est defcó del error es que o tom e cosdercó el orde de l mgtud del vlor que se estm. Por ejemplo, teemos dos brrs co logtud del ) (. ±.) cm y b) (.7 ±.) cm. Los errores de medd so gul pero clro que e cso ) l ecttud de l medcó es superor. Pero eso o es clro de los vlores de error que so gul.

16 6 U mer de tomr e cuet ls mgtudes de ls ctddes cosste e l utlzcó del error reltvo: Vlor verddero Vlor promdo error verddero Error reltvo verddero vlor verddero vlor verddero Tmbé pr l defcó del error reltvo meudo se utlz l formul: error verddero ε t % (4.4) vlor verddero dode ε t deot el error reltvo porcetul verddero. Pr el error promdo tmbé es posble utlzr l form ormlzd: error promdo ε % (4.5) vlor promdo

17 7. Solucó de los sstems leles. Método guss El sstem de ls ecucoes lgebrcs leles e geerl se represet como b (.) b (. ) dode ls so los coefcetes costtes y ls b so los térmos depedetes costtes. Es ecesro ecotrr los vlores de,... que stsfce el sstem (). Pr solucor est tre es posble utlzr el método de Guss, es decr, l elmcó de Guss. L esec del este método cosste e lo sguete. b (.) Supogmos que. S eso o es verdd, es ecesro reformr el sstem () e tl mer que e u ecucó prmer. El pso cl será elmr l prmer cógt,, desde l segud hst l - ésm ecucó. Pr ello, se multplc l ecucó (.) por pr obteer b Después, est ecucó se rest de l ecucó (.) y obteemos:... b b + + o b dode el superídce prm dc que los elemetos h cmbdo sus vlores orgles:,. El procedmeto se repte después co ls ecucoes resttes. Por ejemplo, l ecucó (.) se puede multplcr por y el resultdo se rest de l tercer ecucó. El procedmeto se repte co ls ecucoes resttes. Como resultdo teemos: b ; (..) b ; (..) b ; (..) b ; (..) Luego se repte el procedmeto tes descrto pr elmr l segud cógt e ls ecucoes desde (..) hst (..). Pr relzr esto, multplque l ecucó (..)

18 8 por y reste el resultdo de l ecucó (..). Se relz l elmcó e form smlr e ls ecucoes resttes pr obteer b b ; b dode el superídce bprm dc que los elemetos se h modfcdo dos veces. El procedmeto es ecesro cotur hst el resultdo: ( ) b Al fl de l ecucó (..) teemos. Este resultdo se puede susttur ( ) hc trás e l (-)-estm ecucó y despegr. El procedmeto, que se repte pr evlur ls resttes, se represet medte l formul: ( ) b j + ( ) ( ) j j b b b ( ) b ( ) pr,,..., Así, so ls dos fses de l elmcó de Guss: elmcó hc delte y sustco hc trás.... b Elmcó hc... b b b delte ( ) ( )... b... b b Susttucó hc trás: b ( ) ( ) ( ) ( ) b j j, j + ( ) pr,,...,

19 9 Ejemplo.. Emplee l elmcó de Guss pr resolver Efectué los cálculos co ses cfrs sgfctvs. Solucó.. Prmero es ecesro multplcr l ecucó prmero por y se rest el resultdo de l ecucó segudo pr obteer: Después, se multplc l ecucó prmero por y se rest de l ecucó tercer pr elmr. Luego de efectur ests opercoes, el sstem de ecucoes es Pr completr l elmcó hc delte, debe elmrse de l ecucó tercer. Es ecesro multplcr l ecucó segudo por.9 7. y restr el resultdo de l ecucó tercero. Teemos: De l ecucó tercer teemos (7.) Después, de l ecucó segudo (.56) +.(7.) Al fl Auque hy u pequeño error de redodeo y los resultdos so muy cercos l solucó ect,. 5, 7. Esto se verfc l susttur los resultdos e el sstem de ecucoes orgl: ().(.56).(7.) Tre. Utlzdo el método de Guss ectrr l solucó del sstem de ls ecucoes leles (más delte) co ses cfrs sgfctvs. Hllr el vlor ecto del error bsoluto y reltvo.

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