FUNDAMENTOS TICOS TEMA 5: CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA Y DOS VARIABLES

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Francisco Javier Gallego Córdoba
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1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TICOS TEMA 5: CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA Y DOS VARIABLES

2 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

3 Integrl defnd Dd un funcón f, exste otr F tl que F = f? Integrcón f ( x) = 2x f ( x) = x 2 Dervcón

4 Integrl defnd Cálculo del áre de un trpeco curvlíneo de l form: y = f(x)

5 Integrl defnd Defncón de prtcón: Ddo el ntervlo [,] R, se llm prtcón de [,] un coleccón fnt de puntos del ntervlo P = {x 0 =, x 1,, x n = } tles que x 0 < x 1 < <x n. El ntervlo [,] qued dvddo en n suntervlos [x,x +1 ], = 0,1,, n-1 de mpltud x = x +1 x. y = f(x) = x 0 x 1 x 2 x n = Defncón de norm de l prtcón: Longtud del suntervlo más lrgo de los determndos por P en [,] y se desgn por P. S todos los suntervlos [x, x +1 ] tenen l msm longtud, se dce que P es un prtcón regulr y, en este cso, P = (-)/n, donde n es el número de suntervlos.

6 Integrl defnd n = 3 y = f(x) n = 6 y = f(x) f(c ) n = 9 = x 0 A x c 1 x c 2 1 = f ( c ) x x 2 = y = f(x) = x 0 Áre( trpeco) c 1 c x 2 c 3 c 4 1 x 2 x 3 n = 1 A x 4 = = n = 1 f ( c ) x n ; P 0 Áre( trpeco) = lm P 0 n = 1 A = lm P 0 n = 1 f ( c ) x = x 0 c 1 c x 2 1 x 2 x 8 =

7 Integrl defnd Defncón de funcón ntegrle-remnn: Sen f:[,] R, P = {x 0,x 1,, x n } un prtcón del ntervlo [,], c un punto culquer del suntervlo [x,x +1 ] y x l longtud del msmo, pr = 1,2,,n. n S exste, es fnto, e ndependente de l eleccón de c lm f ( c ) x, P 0 decmos que f es un funcón ntegrle-remnn en el ntervlo [,]. El vlor del límte rece el nomre de ntegrl defnd entre y de l funcón f y se represent por: f ( x ) dx Oservcón: Este resultdo permte clculr l ntegrl como límte de un sum. = 1

8 Teorem: Integrl defnd Tod funcón contnu en un ntervlo cerrdo y cotdo [,] es ntegrle en el msmo. Oservcón: L funcón f(x) tmén es ntegrle s present un número pequeño de dscontnuddes y es cotd en el ntervlo donde está defnd y = f(x)

9 Propeddes de l ntegrl: Integrl defnd 1) Lneldd Sen f,g:[,] R funcones ntegrles y se k R. Entonces: f + g es un funcón ntegrle en [,] y ) kf es ntegrle y 2) Monotoní k f = k ( f + g) = f + Dds f,g:[,] R funcones ntegrles tles que x R, se verfc que En prtculr, s f es ntegrle y no negtv en [,], entonces f 0 f f g f ( x) g( x) g

10 Propeddes de l ntegrl: 3) Acotcón Integrl defnd Se f:[,] R funcón ntegrle y sen k, K R cots superor e nferor de l funcón f, respectvmente. Entonces: 4) Adtvdd respecto del ntervlo Se f,g:[,] R un funcón cotd y se c (,). Entonces f es ntegrle en [,] s y sólo s lo es en [,c] y en [c,], verfcándose demás: ( ) f ( x) dx K( k ) f = f + c c f

11 Propeddes de l ntegrl: Integrl defnd 5) Teorem del vlor medo Se f:[,] R un funcón contnu. Entonces exste c (,) tl que 1 f ( c) = f ( x) dx Oservcón: El sgnfcdo del teorem del vlor medo es el de segurr l exstenc de un punto tl que el áre del trpeco curvlíneo concde con el áre del rectángulo de se (-) y ltur f(c).

12 Cálculo de l ntegrl Defncón de funcón ntegrl ndefnd: Se f:[,] R un funcón ntegrle en [,]. Llmmos funcón ntegrl ndefnd de f l sguente funcón: Teorem: F ( x) f ( t) dt = x Se f:[,] R ntegrle. Se consder F:[,] R defnd por: Se verfc: ) F es contnu en [,]. ) S f es contnu en c (,) entonces F es dervle en c y F (c) = f(c) = x F ( x) f ( t) dt

13 Cálculo de l ntegrl Teorem fundmentl del cálculo ntegrl: Se f:[,] R un funcón contnu y se F un funcón contnu en [,]. Entonces F es dervle en (,) y F (x) =f(x) pr todo x (,) s y sólo s Defncón de funcón prmtv: = F ( x) F( ) f ( t) dt Dds f,f: I R, se dce que F es un prmtv de f en el ntervlo I s F es dervle en I y F (x) = f(x) pr todo x I. x Regl de Brrow Se f:[,] R un funcón contnu y se G un prmtv culquer de f en [,]. Entonces se verfc que: f ( t) dt = G( ) G( )

14 Cálculo de l ntegrl

15 Aplccones de l ntegrl Áre de un regón pln: Áre encerrd por dos curvs defnds de form explíct: S f y g son dos funcones ntegrles en [,] y g( x) f ( x) pr todo x [,], entonces el áre de l regón pln lmtd por ls curvs y = f(x) e y = g(x) y ls rects vertcles x = y x = es: A ( f ( x) g( x)) dx = y = f(x) Oservcones: 1) S ls curvs y = f(x) e y = g(x) se cortn en [,], entonces: y = g(x) A f ( x) g( x) = dx

16 Áre de un regón pln: Oservcones: Aplccones de l ntegrl y = f(x) 2) S f(x) 0 y g(x) = 0, se otene el áre de l fgur pln determnd por f, x =, x = y el eje de css. 3) S f(x) no conserv el sgno en el ntervlo [,] se utlzrá que f = f. S suponemos que f(x) 0 pr x [,c] y f(x) 0 pr x [c,], entonces el áre de l regón pln determnd por f, ls rects x =, x = y el eje OX está dd por: c x= A f ( x) dx = x= A = f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx = x= c y = f(x) x=

17 Longtud de rco de un curv pln: 1) Form explíct. Proposcón: Se C l curv pln dd mednte y = f(x) sendo f un funcón dervle y con dervd contnu en [,]. L longud del rco AB de dch curv, con A y B los puntos de coordends (,f()) y (,f()) respectvmente, vene dd por: 2) Form prmétrc. Aplccones de l ntegrl l 1+ ( f = '( x)) Proposcón: Se consder l curv expresd en form prmétrc por ls ecucones: x = y = x( t) y( t) donde ls funcones x e y tenen dervd contnu en el ntervlo [t 1,t 2 ]. L longtud del rco de dch curv entre los vlores t 1 y t 2 del prámetro vene dd por: 2 dx l t = 2 ( ) 2 x'( t) ( y'( t) ) + t 1 2

18 Aplccones de l ntegrl Volumen de un sóldo: Supongmos un cuerpo tl que su nterseccón con un plno perpendculr l eje OX d lugr, en cd punto de cs x, un seccón de áre A(x), entonces el volumen de dcho cuerpo comprenddo entre los plnos perpendculres l eje OX en los puntos de css y es V A( x) dx = Oservcón: De modo nálogo se puede defnr el volumen de un sóldo comprenddo entre los plnos perpendculres l eje OY o l eje OZ.

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