RACCONTO SOBRE TÉCNICAS DE CONTEO

Transcripción

1 TC RACCONTO SOBRE TÉCNICAS DE CONTEO Asocicioes de opcioes idepedietes TC I Supógse u fáric de utomóviles que ofrezc ls siguietes opcioes idepedietes: Opció α: Motor ft, gs, o diesel (3 opcioes). Opció β: Co o si ire codiciodo (2 opcioes). Opció γ: Tres colores distitos (3 opcioes). Evidetemete, culquier opció α puede ser socid co culquier opció β y co culquier opció γ, teiédose sí que se tiee u totl de = 8 posiles socicioes de opcioes (ver figur TC I.). Opció γ Azul Nft Aire Azul Opció β Nft Co Aire Blco Nft Aire Blco Rojo Nft Aire Rojo Opció γ Azul Nft No Aire Azul Si Aire Blco Nft No Aire Blco Opció γ Rojo Azul Nft No Aire Rojo Gs Aire Azul Iicio Opció α Opció β Gs Co Aire Blco Gs Aire Blco Rojo Gs Aire Rojo Opció γ Azul Gs No Aire Azul Si Aire Blco Gs No Aire Blco Opció γ Rojo Azul Gs No Aire Rojo Diesel Aire Azul Opció β Diesel Co Aire Blco Diesel Aire Blco Rojo Diesel Aire Rojo Opció γ Azul Diesel No Aire Azul Si Aire Blco Diesel No Aire Blco Rojo Diesel No Aire Rojo Fig. TC I.

2 TC 2 E geerl: Si l ctidd de opcioes α es α, l ctidd de opcioes β es β, y l ctidd de opcioes es se tiee que: = Ctidd totl de socició de opcioes = α β [] Vricioes simples TC II. Ls vricioes simples de elemetos todos distitos etre sí tomdos de so tods ls distits grupcioes que puede formrse co de dichos elemetos de mer tl que u grupció se distit de otr cudo e por lo meos e u mism uicció de ms grupcioes figure elemetos distitos. Est defiició implic que: U grupció es distit de otr cudo y solo cudo: º. Sus elemetos o se exctmete los mismos. o sio, 2º. Si sus elemetos so exctmete los mismos sus órdees e sus respectivs grupcioes se distitos. Por ejemplo, ls vricioes simples de los cutro elemetos,, c y d tomdos de tres so: (c), (d), (c), (cd), (d), (dc), (c), (d), (c), (cd), (d), (dc), (c), (cd), (c), (cd), (cd), (cd), (d), (dc), (d), (dc), (dc), (dc) Puede demostrrse fácilmete que: V, = Ctidd de vricioes simples de elemetos tomdos de =! ( )! []. Aplicció. Se pide idicr cuts plrs distits de tres letrs (teg o o setido) se puede formr co ls letrs L, A, P, I, Z. Dichs plrs será tles como: LAP, PAL, IPA, API, ZAL, AZL, etc. Como u de ests plrs se difereci de culquier otr por teer e u o más uiccioes letrs distits, se tiee que ests plrs costituye el cojuto de tods ls vricioes simples de ls 5 letrs L, A, P, I, Z tomdo de tres. Por lo tto: Ctidd de plrs = V 5,3 = 5! = 6 (5 3)!

3 TC 3 TC III Permutcioes simples. Ls permutcioes simples de elemetos, todos distitos etre sí so ls vricioes simples de dichos elemetos tomdos de, o, e otrs plrs, so todos los posiles ordemietos que puede formrse co dichos elemetos. Por ejemplo, ls permutcioes simples de los elemetos, y c so: (c), (c), (c), (c), (c), (c) Por l defiició rri idicd y por [] de TC II se tiee que: P = Ctidd de permutcioes simples de elemetos = V, =! ( )! =! [] =! =. Aplicció. Idicr de cuts mers puede setrse cutro persos e cutro sietos distitos. Llmdo,, c y d ls cutro persos y (c,, d, ) l hecho de que c se setó e el primer sieto, e el segudo, d e el tercero y e el curto, se tiee que ls uiccioes posiles será: (,, c, d), (, c,, d), (d, c,, ), etc, es decir ls permutcioes simples de ls persos,, c y d. Por lo tto se tedrá que: Mers de setrse 4 persos e 4 sietos = P 4 = 4! = 24 Comicioes simples TC IV. Ls comicioes simples de elemetos todos distitos etre sí tomdos de so ls distits grupcioes que puede formrse co de dichos elemetos de mer tl que u grupció se distit de l otr cudo o esté formds por exctmete los mismos elemetos, o teiédose e cuet el orde que dichos elemetos teg e ls grupcioes. Por ejemplo, ls comicioes simples de los cutro elemetos,, c, d tomdos de tres so: (,, c), (,, d), (, c, d), (, c, d) Puede demostrrse fácilmete que: C, = Ctidd de comicioes simples de elemetos tomdos de =!!( )! Evidetemete dee ser.

4 . Aplicció. Ddos 5 putos o liedos, idicr cutos triágulos puede formrse usdo como vértices de los mismos los putos tedichos. Evidetemete, u triágulo qued determido por tres putos culesquier, se cul se el orde e que se elij dichos putos, y u triágulo será distito de otro solo cudo teg por lo meos u vértice distito. Es decir que hrá ttos triágulos como comicioes de los cico putos tomdos de tres. TC 4 Ctidd de triágulos = C 5,3 = 5! 3!(5 3)! = Números comitorios Se defie: TC V = = pr turl = C, pr <, turl Puede demostrrse fácilmete que: = i i i Vricioes co repetició TC VI. Ls vricioes co repetició de elemetos de clses distits tomds de so ls distits grupcioes que puede formrse co elemetos de mer tl que u grupció se distig de otr cudo e por lo meos u uicció teg elemetos de clses distits, estdo permitido (pero o siedo oligtorio) repetir e u mism grupció elemetos de u mism clse (es decir igules). Por ejemplo, ls vricioes co repetició de los tres elemetos, y c tomdos de dos so: (, ), (, ), (, c), (, ), (, ), (, c), (c, ), (c, ), (c, c) Puede demostrrse que: V, = Ctidd de vricioes co repetició de elemetos de clses tomdos de = Evidetemete, e el cso de ls vricioes co repetició puede ser < ó = ó >.

5 . Aplicció. El lfeto Morse tiee solo dos elemetos, puto y ry. Se pide idicr cutos códigos de cico elemetos puede formrse. U código se distigue de otro cudo o tiee l mism ctidd de putos (y por lo tto de rys), pero e cso de teer l mism ctidd de putos y rys tmié se distiguirá cudo su ordemieto se distito. Evidetemete, e u mismo código hrá repetició de putos y/o rys. Etoces: Ctidd de códigos de 5 elemetos = V 2,5 = 2 5 = 32 TC 5 Permutcioes co repetició TC VII. Se λ elemetos, λ elemetos,, λ g elemetos g. Se llmrá permutcioes co repetició de estos elemetos tods ls grupcioes que puede formrse colocdo e λ λ λ g uiccioes los λ elemetos, los λ elemetos,, los λ g elemetos g, teiédose que dos grupcioes será cosiderds distits cudo e por lo meos u uicció figure elemetos distitos. Por ejemplo, ls permutcioes co repetició de tres elemetos, dos elemetos y u elemeto c so: c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, cl, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c. Puede demostrrse que: Ctidd de permutcioes co repetició de λ P λ =, λ,..., λg g elemetos, λ elemetos,, λ g elemetos g = ( λ λ... λg )! λ! λ!... λg!. Aplicció. Cutos códigos de rrs se puede formr co 3 rrs gruess, 2 medis y 2 fis. Evidetemete, el código cost de = 7 rrs, es decir que hy 7 uiccioes pr colocr rrs. E ess uiccioes irá ls 3 rrs gruess, ls dos medis y ls dos fis. Evidetemete, u código diferirá de otro cudo e u mism uicció figure rrs de distito grosor. Por lo tto cd código correspode u vrició co repetició. Por lo tto: Ctidd de códigos = P 3g, 2m, 2f = ( 3 2 2)! = 2 3! 2! 2!

6 TC 6 TC VIII Biomio de Newto Puede prorse que: ( ) = = =... (Notr que hy sumdos).