En una carrera participan 5 naciones, España, Bélgica, Francia, Alemania e Italia. De cuantas maneras distintas pueden llegar a la meta?

Transcripción

1 Colegio Mter Slvtoris TEMA: TÉCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA. DIAGRAMA EN ARBOL E l crt de u resturte el cliete puede elegir su meú, escogiedo u primer plto, u segudo plto y u postre. Si l crt tiee 7 primeros, 8 segudos pltos y postres, Cuátos meús diferetes puede elegir el cliete? Pr cd uo de los 7 primeros pltos teemos 8 segudos, e idepedietemete del primero y segudo, teemos postres. Si represetmos esto por u digrm de árol: Nº de meús diferetes er Plto º Plto Postre T S T T S P S 8 P P El º de posiiliddes serí: 7 8. Pricipio geerl de recueto. Si u primer eperimeto puede hcerse de m forms diferetes y u segudo eperimeto puede hcerse de forms diferetes, etoces los dos eperimetos jutos puede hcerse de m forms diferetes. Ejemplo: U chic tiee e su rmrio cmisets, ptloes y zptills. De cuáts forms podrá vestirse? (Como es lógico, ir vestid es llevr u cmiset, u ptló y us zptills? Hciedo u digrm e árol álogo l terior, l solució serí: 7 Ferdo Izquierdo º E.S.O. Mtemátics 8/9

2 Colegio Mter Slvtoris. PERMUTACUIONES ORDINARIAS. Defiició Se llm Fctoril de u úmero y lo epresmos por!, l úmero ( ) ( ) L. Si etoces!! y Si etoces!!. Ejemplos:!! 8! 8 7. Defiició Se llm Permutció de elemetos los distitos grupos de elemetos que se puede formr, es decir, ls diferetes ordecioes e que se puede colocr todos esos elemetos. El úmero de permutcioes de elemetos se represet P y es igul! P! ( ) ( ) L. Ejemplo (Digrm de árol) E u crrer prticip cioes, Espñ, Bélgic, Frci, Alemi e Itli. De cuts mers distits puede llegr l met? Nº de clsificcioes diferetes er Puesto º Puesto º Puesto º Puesto º Puesto E B F A I F A I A I I Ferdo Izquierdo B F A I º E.S.O. Mtemátics 8/9

3 Colegio Mter Slvtoris. Ejemplos De cuts forms distits puede setrse 8 persos e u fil de utcs? Solució: P 8 8! 8 7 forms distits Cuátos úmeros distitos de cifrs se puede formr co ls cifrs,,,7,9? Solució: P! úmeros. VARIACIONES ORDINARIAS. Defiició Llmmos Vricioes de m elemetos tomdos de e ( m) los distitos grupos de elemetos diferetes que se puede formr de mer que dos grupos so distitos si difiere e lgú elemeto o e el orde de colocció. (El orde SÍ ifluye). El úmero de vricioes de m elemetos tomdos de e se represet por V m, y es igul : V m, m (m-) (m-) (m-) (tiee fctores). Ejemplo (Digrm de árol) E u crrer prticip 8 corredores, De cuáts mers puede reprtirse ls medlls (oro, plt y roce)? Supoemos que o puede ocurrir que llegue dos corredores l mismo tiempo Tres primers posicioes er Posició º Posició ª Posició C C C C 8 C C C 8 C C Ferdo Izquierdo º E.S.O. Mtemátics 8/9

4 Colegio Mter Slvtoris. Ejemplos V, ( fctores) V, ( fctores) V 7, 7 ( fctores) Si m etoces V m, V m,m m (m-) (m-) (m-m) m (m-) (m-) m! Es decir ls vricioes de m elemetos tomdos de m e m so ls permutcioes de m.. Ejemplo Cuátos úmeros de cifrs se puede formr co los dígitos,,,,,,7,8,9 si que se repit igu cifr? Solució: m9 luego V 9, úmeros diferetes Otr form: (digrm de árol resumido) COMBINACIONES ORDINARIAS. Defiició Llmmos Comicioes de m elemetos tomdos de e ( m) los distitos grupos de elemetos diferetes que se puede formr de mer que dos grupos so distitos si difiere e lgú elemeto. (El orde NO ifluye) El úmero de comicioes de m elemetos tomdos de e se represet por C m, y es igul : C m, V P m,. Ejemplos V, / C, P! / C V 7 / / / / / /, 7, P Ferdo Izquierdo º E.S.O. Mtemátics 8/9

5 Colegio Mter Slvtoris. Ejemplo E u clse de lumos se quiere elegir u comité formdo por lumos Cuátos comités diferetes se puede elegir? Solució: m Como el comité formdo por Ju, A y Luis es el mismo que el formdo por A, Luis, Ju; es decir NO ifluye el orde, se trt de V, C, Comités distitos P. Oservció: Podemos defiir tmié el úmero de comicioes de me elemetos tomdos de e como: C m, m!! ( m )! Es fácil de demostrr: C m,! L V m! m ( m ) ( m ) ( m ) ( m )! m, ( m )!! ( m )! P.. VARIACIONES CON REPETICIÓN. Defiició Llmmos Vricioes co repetició de m elemetos tomdos de e los distitos grupos de elemetos repetidos o o que se puede formr de mer que dos grupos so distitos si difiere e lgú elemeto o e el orde de colocció. (El orde SÍ ifluye). El úmero de vricioes co repetició de m elemetos tomdos de e se represet por VR m, y es igul : VR m, m. Ejemplos VR, VR 7, 7 79 Ferdo Izquierdo º E.S.O. Mtemátics 8/9

6 Colegio Mter Slvtoris oteer?. Ejemplo (Digrm de árol) Se lz dos ddos de distitos colores. Cuátos resultdos distitos se puede Tres primers posicioes Ddo Verde Ddo Rojo Resultdo (,) (,) (,). Ejemplo Cuátos úmeros distitos de tres cifrs se puede formr? Solució: m (,,,,,,,7,8,9) El úmero y el so distitos uque teg ls misms cifrs, sigific que el orde de colocció si ifluye, como demás se puede repetir ls cifrs (por ejemplo el º ) l solució (de mometo) es: VR, Hy que teer e cuet que estmos icluyedo úmeros como el o el 9, que e relidd so de dos cifrs, y 9 respectivmete. Así pues hy que elimirlos. Estos ectmete serí:,,, 98, 99. ( úmeros). Si os fijmos serí igul l úmero de dos cifrs que se puede formr, es decir: VR, Así pues l solució fil serí: VR, VR, 9 Ferdo Izquierdo º E.S.O. Mtemátics 8/9

7 Colegio Mter Slvtoris. NÚMEROS COMBINATORIOS. Defiició m El úmero C m, se llm tmié úmero comitorio. Se represet por y se lee m sore. Teemos por tto: C m, V, P m m ( m ) ( m ) L ( m ) ( m )!! m! m ( m )!! ( m )!. Propieddes m m y m m m m m m m m. Trigulo de Pscl El siguiete triágulo se llm triágulo de Pscl. Está costruido de modo que cd úmero es l sum de los dos que tiee ecim, slvo los etremos, que so uos. m m m m m m. Etc Ferdo Izquierdo Puedes compror que este triágulo se puede escriir tmié co úmeros comitorios como sigue: º E.S.O. 7 Mtemátics 8/9

8 Colegio Mter Slvtoris m m m m m m. Etc Cudo m o es muy grde es ms cómodo usr el trigulo de Pscl pr el clculo del úmero comitorio. m 7. POTENCIA DE UN BINOMIO. BIONOMIO DE NEWTON Si clculmos ls potecis sucesivs del iomio ( ), se otiee: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Queremos uscr u método pr culquier poteci, es decir, que os permit clculr. Si os fijmos, el º de térmios de ( ) ( ) es. Los coeficietes so los elemetos de l fil -ésim del trigulo de Pscl, es decir: E el desrrollo de ( ) los epoetes de v dismiuyedo, de uo e uo, de cero, y los epoetes de v umetdo, de uo e uo, de cero, de tl mer que l sum de los epoetes de y de e cd térmio es siempre igul. Ferdo Izquierdo º E.S.O. 8 Mtemátics 8/9

9 Colegio Mter Slvtoris º E.S.O. 9 Mtemátics 8/9 Ferdo Izquierdo ) Así pues, l epresió de es: ( ( ) K Est epresió se cooce co el omre de Biomio de Newto. Aálogmete: ( ) ( ) K E este cso los sigos se v lterdo. Como regl: los térmios positivos so quellos que tiee ls potecis de de epoete pr, y egtivos quellos que teg potecis de de epoete impr. 7. Ejemplo Desrrollr ( ) Solució ( ) 9 8 ) ( ) ( ) ( ) (

10 Colegio Mter Slvtoris 8. EJERCICIOS DE COMBINATORIA Ferdo Izquierdo. Cuátos equipos de fútol puede formrse co los lumos de u clse?.. Al tirr u ddo dos veces seguids, cuátos resultdos distitos se puede oteer?. Cuátos úmeros de cifrs se puede costruir utilizdo solo cifrs impres del sistem deciml? Cuátos será myores de? Cuátos será myores que y meores que 9?. Se sorte dos premios etre persos. De cuts mer se podrá hcer de mer que los dos premios o pued tocr u mism perso? Y si pudier tocr?. E u jord de fútol Cuáts quiiels distits podrí hcerse? (Supoemos resultdos). Cuts plrs de letrs se puede escriir co ls letrs del cojuto {MACUTO} 7. De cuáts mers puede colocrse ojetos e cjs? 8. Etre chicos de u curso hy que elegir u delegdo, u sudelegdo y u ecrgdo. De cuts mers distits se podrá hcer? 9. De cuts forms puede ocupr tres persos, tres de ls cutro utcs umerds de u cie?. U quiielist jueg cd sem u quiiel co cico triples. Cuáts colums supoe y cuto diero? (supoemos que cd puest vle..). Cuáts quiiels hrá que jugr pr certr co seguridd u pleo l?. Cuáts quiiels jugrá u perso que jueg triples y doles?. Cuátos úmeros de cifrs se puede formr co ls cifrs pres (si icluir el )? Cuátos termirá e? Cuátos comiez por? Cuátos será myores que?. Mismo prolem que el pero icluido el. E u rif colegil se h hecho ppelets del l 999. Cuátos cpicús hrá? º E.S.O. Mtemátics 8/9

11 Colegio Mter Slvtoris. U líe de ferrocrril tiee estcioes Cuátos illetes diferetes hrá que imprimir si cd illete llev impreso l estció de orige y destio? 7. E u cocurso literrio hy tres premios pr los tres mejores trjos presetdos. Si se preset persos, de cuts mers se podrá reprtir los premios? 8. Co remeros Cuáts tripulcioes distits de remeros se puede formr? E cuáts estrá el remero Pedro? E cuts o estrá? 9. Pr formr u tripulció de u omrdero se ecesit mecáicos y u cpitá. E u pelotó hy homres de los cules 9 so mecáicos y cpites. Cuáts tripulcioes distits puede formrse?. E u hotel de hitcioes se quiere lquilr pr u cmpñ tetrl hitcioes. De cuts mers se podrá distriuir? De cuts mers se podrá distriuir si hy ocupds?. E u filmotec hy películs de ls cules so de diujos imdos, de terror, 7 cómics y policics. Cuátos progrms de películs se puede hcer, si etr de diujos, de terror, cómics y policic?. U cmpmeto tiee chicos. L gurdi l hce 7 chicos. Cuáts lists de gurdis se puede hcer?. Hllr cutos úmeros se puede formr co los seis primeros úmeros del sistem deciml (,,,,,) myores de y meores de si que se repit igu cifr. E u uidd militr hy cpites, teietes, srgetos y cos. Se orgiz mrchs de cpites, 7 teietes, srgetos y cos. Cuáts mrchs distits se podrá orgizr?. E u cetro hy lumos de º de ESO, 7 de º de ESO, de º de ESO y de º de ESO. Se quiere formr u comisió pr hlr co l direcció que esté itegrd u lumo de cd curso. Cuáts comisioes se puede formr? Y si ls comisioes fuer de dos lumos por curso? Ferdo Izquierdo º E.S.O. Mtemátics 8/9

12 Colegio Mter Slvtoris. E u fic hy vris csets de gurdis cd u de ls cules está uid cd u de ls resttes por u cmio. Clculr el úmero de csets siedo que hy 8 cmios 7. E u vzdill hy 8 solddos Cuáts gurdis diferetes de solddos se puede formr? E cuts estrá el solddo Pedro? 8. E u empres hy cico vctes de ls que tres correspode homres y dos mujeres. Se h presetdo homres y 8 mujeres: De cuts forms se puede curir ls vctes? Cuáts posiiliddes hrá si ls plzs de los homres tiee tods distits remuerció? Y cuts hrá, si ls plzs de ls mujeres tmié está desigulmete remuerds? 9. Co ls cifrs pres (icluido el ) Cuátos úmeros iferiores se puede formr?. Cuáts plrs de letrs diferetes puede formrse co vocles y cosotes de mer que o hy i vocles i cosotes juts?. Dispoemos de 8 moeds, so de duro y de. De cuáts mers se podrá itroducir e u huch?. Jugdo l póker co u rj frces ( crts) Cuátos tríos se podrá hcer? Cuáts jugds de Full se podrá hcer? (Ejemplo de Full: As,As,As,Tres,Tres). De cuáts mers se puede distriuir ls ueve etrds que qued e el cie etre ls doce persos que ú esper e l col?. Co los gurismos de los úmeros 7 y 89 Cuátos úmeros de cifrs podemos formr de mer que cd uo teg tres cifrs distits del primero y tres cifrs distits del segudo 8. Clcul los siguietes úmeros comitorios:,,, 99. Desrrollr: ( ) 7, Ferdo Izquierdo 7. Clcul el térmio de lugr 8 e el desrrollo: º E.S.O. Mtemátics 8/9

13 Colegio Mter Slvtoris 8. Hll si: V, V, 9. Hll si: VR, VR,. Hll si: P P P. Hll si: C, 7C -,- Ferdo Izquierdo º E.S.O. Mtemátics 8/9