INTRODUCCION AL ALGEBRA.

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1 INTRODUION AL ALGEBRA. 5-b- NUMEROS OMPLEJOS. Aputes de l átedr. Alberto Serrtell. olborro: rst Mscett. Ves Bergo Edcó Prev EANA EEJS ET Juí. UNNOBA Uversdd Ncol de Noroeste de l Pc. de Bs. As. Pr mesjes: lberto_serrtell@hoo.com.r

2 NUMEROS OMPLEJOS: Este tem requere coocer l ocó de fucó f : A B co l otcó usul f ( dode A, B. Requere gulmete u decudo coocmeto de l de de pr ordedo producto crteso de dos cojutos. Es coveete tmbé mejr stsfctormete coceptos de lógc smbólc, teorí de cojutos teorí de úmeros cluedo duccó complet. Serí preferble hber estuddo prevmete los coceptos de estructurs lgebrcs: grupos, llos, cuerpos, esp vectorles (veremos luego que los úmeros complejos puede ecudrrse e tles estructurs. E prtculr, de Teorí de Números mímmete es ecesro coocer ls ocoes de dsttos tpos de úmeros: N ojuto de Números Nturles: N {... } Z Z ojuto de Números Eteros: { } Q ojuto de Números Rcoles: Q... : R ojuto de Números Reles: R... π e... ojuto de Números omplejos: (los veremos luego Se verfc:{ N Z Q R Z Q R Not: hemos cludo el (cero como úmero turl. Ello mplc que e delte sempre lo cosderremos de tl form. Tomr el como turl es u ltertv purmete forml. Podrímos hber optdo por o tomrlo como turl. E tl cso e tod l teorí posteror deberímos hberlo cosderdo como o turl. Los cojutos dferecs tmbé recbe deomcoes: N Z N... Z ojuto de úmeros egtvos: { } Q Z ojuto de úmeros frccoros: Q Z R Q ojuto de úmeros rrcoles: R Q { π... } R ojuto de úmeros mgros. A su ve este últmo cojuto R clue l cojuto de úmeros mgros puros (co prte rel ul

3 Defcó del ojuto de los Números omplejos: Repso de coceptos prevos: Pr Ordedo: u pr ordedo es u cojuto ( b de dos elemetos l que se le dco u crtero de orde que señl que de mbos, es el prmer elemeto b el segudo. omo regl memotécc podemos escrbr: ( b { b} º º " " b crtero de orde Observemos que: { b} { b } pero e cmbo: b ( b ( b Más ú b ( b ( b U defcó estrct de pr ordedo es: ( b { b}, } pero e este pute o l utlremos. Producto rteso: ddos dos cojutos mbos sí: A B {( A B} Ejemplo : A { } B { 57 } A B se defe el producto crteso de A B {( ( 5 ( 7 (, ( 5 ( 7 } Represetcoes Gráfcs: Por dgrms rtes Ejemplo : A { Ju Mrí} B { Pedro Slv Mrí} A B {( Ju Pedro ( Ju Slv ( Ju Mrí ( Mrí Pedro ( Mrí Slv ( Mrí Mrí } Hcer l represetcó gráfc. Ejemplo : A { } B { 8 b c d} ompletrlo Ter Orded: geerl tres elemetos el cocepto de pr ordedo ( b c

4 Números omplejos - Defcó - Form de Pres Ordedos: Se: R R R {( R R} : [ R R : ( ] co lo cul: Notcó Defcó. Fucó Sum Producto: Defmos: : R R R : ( : ( R : ( ( ( ( : R R R : ( : ( R : ( ( (. ( Defds sí ls fucoes sum producto dremos que l ter orded: ( R es el cojuto de los Números omplejos Notcó Smplfcd: Dejdo slvo l defcó estrct que cbmos de ver e delte, sempre que ello o se preste cofusoes, detfcremos R pero sobreetededo que l sum el producto está defds como cbmos de ver. Por ejemplo, escrbremos: (, sobreetededo R. E los csos e que los úmeros complejos que usemos o se vrbles so fjos usremos l escrtur: ( b sobreetededo b R Ejemplo: ( ( 4 5 ( ( 45 ( 4 5 ( ( ( ( ( ( Propeddes de los Números omplejos: Propedd Asoctv de l Sum : G: ( ( G: : : Propedd de Estec de Elemeto Neutro (pr l sum : : Propedd de Estec de Elemeto Opuesto (pr l sum G: ( 4G: : Propedd omuttv de l Sum Propedd Asoctv del Producto : 5G: ( ( Propeddes Dstrbutvs del Producto : 6A: ( b : ( respecto l Sum. A veces se suele gregr que ( es dstrbutv querd que (b es dstrbutv derech.

5 7A: : : Propedd de Estec de Elemeto Udd 8A: : Propedd omuttv del Producto 9K: : [ : ] Propedd de Estec de Elemeto Iverso Por cumplr tods ls propeddes terores se dce que los Números omplejos so u uerpo omuttvo. Demostrcó de Propeddes - Defcoes: Demostrremos lgus de ls propeddes Propedd G: Se: ( ( ( : ( ( (( ( se tee: [ Aplcdo l defcó de sum de complejos detro del prétess grde ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ Volvedo plcr defcó sum ] [ Por propedd soctv de los úmeros reles ] [ Defcó sum ] [ Otr ve defcó sum ] (( ( ( ( Notcó smplfcd pr sums repetds: Debdo que se cumple l propedd soctv se suele escrbr: ( ( Demostrcó Propedd G: Probremos como elemeto eutro (, : Se ( ( ( ( ( De gul mer: ero omplejo: l elemeto ( lo llmremos cero complejo

6 Demostrcó Propedd G: Se (, probremos como elemeto opuesto (, ( ( ( ( ( ( [ por cumplrse l propedd pr los úmeros reles ] ( De gul mer se demuestr: Propeddes 4G, 5A, 6A: Se dej l demostrcó l lector. Por cumplrse 5A se puede escrbr: ( ( Demostrcó Propedd 7A: Probremos: ( : Se (, ( ( ( ( [ Por propedd de estec de cero rel ] ( De l msm mer se demuestr que: Udd omplej: ( recbe el ombre de udd complej Propedd 8A: L demostrcó se dej l lector Demostrcó Propedd 9K: Se ( supogmos ( ( > > > [ Puede dvdrse por ddo que es ] R R Probremos: ( ( ( de est form se demuestr: Ídem se demuestr:

7 Opuesto de l Udd omplej: De l demostrcó de (7ª de (G surge: ( Udd Imgr: Se defe como udd mgr l úmero complejo ( Defcó: orolro: Demostrcó: ( ( ( ( ( Form Bómc de los Números omplejos: Producto de u úmero rel otro complejo: Defremos l fucó producto de u úmero rel por u complejo: λ : ( λ λ λ ( ( λ λ : R : R : ( Se observ que s: ( b es u úmero complejo: ( b ( b ( ( b ( ( b b [ Por l defcó recé hech ] ( b ( b Es decr, hemos demostrdo el sguete: Teorem: ( b : ( b b Tomemos el prmer sumdo de est epresó: ( ( Y cosderemos el cojuto: R { R} {( R} Es evdete que se puede defr etre este cojuto R u beccó que cluso respetrá ls opercoes de sum de producto ( será u " somorfsmo " : ϕ : R R : R : ϕ ( ( R o se: Por los tto podemos detfcr mbos cojutos sus correspodetes elemetos. De cuerdo co el teorem etoces tedremos: ( b : ( b b b L epresó b se l cooce como form bómc de los úmeros complejos

8 Opercoes e l Form Bómc: o l slvedd de que l epresó: b ce de u detfccó etre: " " : " " por lo tto mplc u buso de otcó se suele escrbr como s fuer gules: ( b b Auque l form de pres ordedos es l correct desde el puto de vst teórco, l form bómco smplfc l opercó co úmeros complejos. Pr eso debemos tomr e cuet ls sguetes detfccoes: Estrctmete deberí ser:. o lo cul l epresó: se escrbrá:. (estrctmete: El método pr operr co complejos e l Form Bómc se trsform e lo sguete: Operr como s se trtr de epresoes que volucr úmeros reles el símbolo d ve que e u opercó prec reemplrlo por Ejemplo: tomemos el ejemplo vsto de ( ( 45 ( ( ( ( 4 5 ( 4 ( 5 6 ( ( ( ( 5 ( Que cocde co el resultdo teror. Dremos cotucó lgus defcoes de fucoes: Vlor Absoluto: defmos l fucó:. Ahor detfquemos: : R : ( b : ( b b b o lo cul: ( Notcó Defcó b Ejemplo: (

9 Prte Rel: Re : R : ( b : Re( Prte Imgr: Im : R : ( b : Im( b o lo cul: Re ( Re( b Re( b ejemplo: Re ( 5 Im ( Im( b Im( b b ejemplo: Im ( 5 5 ( Im ( Re ojugdo: ( : : : otcó orolro : : orolro : { } : defcó Re(. Im( ( Re( Im( orolro : : Demostrcoes: so seclls, se dej l lector. Observcó: Rest Dvsó de omplejos. Dvsó por u Rel. Ls tres defcoes so trvles: : : ( otcó defcó ( : ( R { } : λ ( R { } : : / R( / R : λ otcó defcó λ λ ( { } : : ( { } : / ( / : otcó defcó

10 orolro 4: : orolro 5: : : Observcó: Se: ( b : ( b ( b b b b b b b b ( ( ( b b R ( ( o lo cul: ( b ( b b Est detfccó: suele hcerse l trbjr e form bómc. Debdo l detfccó l trbjr e form bómc ls epresoes de los corolros suele escrbrse sí: que estrctmete costtue busos de otcó. Ls últm de ests epresoes permte decr que pr dvdr complejos e l form bómc se multplc dvde por el cojugdo del deomdor. Ejemplo: Dvsó bjo l form de pres ordedos: ( 7 ( 7 ( 4 ( 7 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 7 ( 4 ( ( 4 ( 4 4 ( ( ( ( ( 4 ( 4 ( 4 L msm dvsó bjo l form bómc: 7 ( 7 ( ( 4 ( ( 6 8 ( ( 4 5 5

11 Argumeto de u Número omplejo: Es u fucó: ( r Re rg rg : : : rg R Ejemplos: rg rg r º π r r r ( ( rg r r r ( ( º 9 rg π r r r r Not (*: e reldd l defcó correct de rgumeto tee que se más detlld: < < < < r r r r Re rg Im Re Re rg Im Re Re rg Im Re Re rg Im Re rg : : rg : π π π R Es decr, se cosder e que cudrte está

12 Form Polr de los Números omplejos: ψ : R : : ψ rg R Obsérvese que l fucó: ( ( es u beccó: (demostrrlo : rg R Esto os permte detfcr: ( Supogmos que llmmos: R α rg R etoces: ( α A l epresó ( α R se le suele llmr form polr de los úmeros complejos. es estrctmete u pr ordedo: ( Re Z Im Z. Pero es u pr ordedo e el coteto de u estructur formd juto R co l sum el producto de complejos: ( E cmbo ( α R es tmbé u pr ordedo que por el mometo lo cosdermos perteecete s que e R hmos defdo u estructur de opercoes (luego veremos como puede ser defd. Esto hce que se pelgroso busr de ls detfccoes porque se drí el cso que: ( detfccó π terormete: 4 detfccó Esto os llevrí teer busos de legujes tles como: ( π (. 4 Metrs que l detfccó: er ocu. L detfccó: ( π ( o lo es pues l guldd etre los pres ordedos es 4 mfestmete fls se prest cofusoes. Por tl motvo utlremos l sguete otcó: R ( ( rg ( α ψ tmbé α rg Z R A ls form: α rg Z l llmremos form polr de los úmeros complejos. Volveremos sobre ell.

13 Form Trgoométrc: Deduccoes Prevs. De l defcó de rgumeto se puede etrer los dos corolros sguetes: orolro 6: : rg Im rse Not (*: se debe hcer clrcoes smlres l defcó tomdo e cuet el cudrte de Z. Im orolro 7: : Re rg rtg Re Not: uevmete se debe clrr el cudrte. Tmbé se rrb ls sguetes fórmuls, e ells tommos: α rg orolro 8: ( b c: Se tom tmbé: Re b Im b b α se α tg α ( Rge ls clrcoes: (* orolro 9: (bc α b seα b tg α Escrts ls dos prmers de otr form: Im Re se ( rg ( rg Obsérvese que e este corolro (prtes b o hce flt clrr: codcó, pues ú se verfc cudo Demostrcó: se se verfc: Re b Im α rg de dode: como α b se seα E cmbo s: : de l defcó de rgumeto ( por ser α rg r (corolro 8 α α Por u procedmeto álogo tomdo e cuet el corolro 6 su correspodete (8b: b b α rg Z rse seα b seα

14 Form Trgoométrc de los Números omplejos: Vsto lo teror prtedo de l form bómc de u úmero complejo teemos: α ( seα por tumbre se escrbe seα ( α seα b α Etoces se tee que: b ( α seα Est últm recbe el ombre de Form Trgoométrc de los Números omplejos Hcedo u compedo: ( b b ( α α α se dode: b α rg b Obsérvese que metrs terormete hbímos cosderdo ( α Ahor: ( α seα α α os permte mejr l form polr como u brevtur de l form trgoométrc (Estrctmete mbs se detfc deberí escrbrse usdo e lugr de Ejemplo: π π se 6 6 π 6 Tmbé serí correcto: º º se º

15 Potecs Ríces de Números omplejos: Defmos: Potec Nturl de u Número omplejo: [ p( N : p( p( ] p : N : :. : N : p Notcó: ( o lo cul se podrí esquemtr l defcó de potec sí: Que es u defcó por recurrec, esto es, se rel utldo duccó complet. Itutvmete: veces Defmos: Rí Nturl de u Número omplejo: : N : : N : Notcó: : N : ( [ ( w w ] o lo cul se esquemt l defcó sí: Por tumbre: w w Observcó Importte: o es u fucó. Ejemplo : ( ( ( A su ve: A su ve: ( ( ( o lo cul: como se ve, o es u fucó ddo que h dos elemetos posbles que verfc l defcó. Ejemplo : o, más smple: ( vst terormete ( ( ( 4 (

16 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 4 o lo teror: pero tmbé: Estrctmete: Tmbé: Esquemátcmete: ± 4 Verfcr que: Represetr ls ríces: 4 4 Not: Se demuestr que ls opercoes de potecs ríces turles de complejos tee propeddes semejtes ls de los reles pero s l restrccó de rdcdos

17 OPERAIONES BAJO LAS FORMAS POLAR Y TRIGONOMÉTRIAS: Recordemos de trgoometrí: ( α β α β se α. se β ( α β α seβ se α β se De dode: ( α α se α ( α α seα se. Productos e form polr trgoométrc: Se: ( α α α se ( α seα α [ ( α seα ] [ ( α seα ] [ opermos e l form smplfcd prop de l form bómc ] ( [( α α seα seα ( α seα α seα ] ( [( α α seα seα ( α seα α seα ] [ por ls fórmuls terormete vsts ] [ α ] ( ( α α se ( α ( [ ( α α se ( α ] α E form polr: ( ( ( Demostrr que: α α α α ( α seα ( α seα [ ( α α ( α α ] se E l form polr: α α α α

18 α α α Se tee: [ ( α seα ] [ α se α ] Tomdo: o se: ( α α E geerl se puede demostrr que: [ ( α seα ] [ α se α] oocd como Fórmul de De Movre ( prouccó promd: " De Muá ". E form polr: ( α ( α L demostrcó rguros requere duccó complet como veremos luego. E reldd ls forms vsts terormete dolece de u defecto forml tto pr productos como pr potecs de úmeros complejos escrtos e l form polr o trgoométrc. El problem es que tl como fue defdo el rgumeto de u úmero complejo el msmo debe ser u α tl que α < π. Esto se soluco peldo l ocó de módulo. L ocó de módulo se correspode co l ocó de resto de u dvsó. Se α R δ R δ > Defmos l fucó módulo δ de l sguete mer: Se: R { δ R δ > } α δ ( αδ mod : R R R : R : R : mod Notcó α mod δ β β R β < δ ω R : α δ ω β Esquemátcmete: Dvdedo α δ dvsor Resto-Módulo β δ ω cocete Ejemplo: α 7 δ > 7 mod β ddo que: ω R : ( 9 7 δ ω β α

19 Demostrcó de fórmul de De Movre: Por duccó complet: : [ ( α seα ] ( ( se [ ( α mod π se ( α mod π ] α α mod π e form polr se drí: ( ( k: S demostrcó se dmte como váld: k [ ( α se α ] k k [ ( kα mod π se ( kα mod π ] (Hpótess Iductv b k: ( debemos demostrrl : k. [ ( α se α ] k ( α se α [ ( kα mod π se ( kα mod π ]. ( α α k [ por hpótess ductv ] k se [ por fórmul del producto e form trgoométrc vst ] k [ ( k α mod π α se ( k α mod π α ] [ por propeddes k (( k α mod π se (( k α mod π úmeros reles ] [ ] Resumedo: k k [ (( k α mod π se (( k α mod π ] que es l tess ductv. Por lo tto por duccó complet se cumple pr culquer R e form polr trgoométrc: α kπ α kπ ( α seα se k N k < ( Z α α kπ k N k < Not: se debe teer e cuet que es u rí rel que sempre puede ser clculd ddo que Estrctmete se deberí escrbr: c c es l relcó rí complej que hemos defdo e págs terores R R es l rí defd pr los úmeros reles.

20 FORMA EXPONENIAL DE LOS NÚMEROS OMPLEJOS: Además de ls cutro forms vsts: Pres Ordedos (l de l defcó: ( b Form Bómc: Form Polr: b α α seα Form Trgoométrc: ( Se puede gregr u qut form de epresr los úmeros complejos. Pr ello prevmete dremos u defcó: Potec Imgr Pur del Número: e Defmos: α e α seα Tomdo l form trgoométrc: ( α seα. α o u smple reemplo es medto que e, l cul es coocd como form epoecl de los úmeros complejos. De tl mer cosderdo: α rg Se tee que ls cco forms e ls que se puede epresr u úmero complejo so: ( b { form de pres orededos b form bómc { α ( α seα form trgoométrc form polr e 44 α form epoec l L troduccó de l form epoecl llev l otble: π FORMULA DE EULER : e que relco los cco úmeros más coocdos de l mtemátc. Demostrcó de l Fórmul de Euler ( se lee: oler : ( π se π ( e π Potecs omplejs de e: E bse l defcó de potec mgr pur de e es smple defr: Sedo b : e b e e b e

21 Potecs omplejs de u Número Rel: Se u úmero rel R <. Se l que sbemos que este por ser <. Pero etoces e por defcó de logrtmo turl. Reempldo l segud epresó e l prmer qued: A su ve reempldo l prmer epresó e l segud: l e. l e. Metrs que de ests dos ultms formuls l prmer l dmtmos s problems e cmbo l últm se os preset como u epresó etrñ. Pero e reldd es totlmete roble debdo que ls fucoes epoecl logrítmc so u l vers de l otr. Sedo f ( e ( l últm fórmul recudrd es del tpo: f ( f l otr: f ( f (. L últm epresó recudrd teror os d u de pr defr l que será l epresó mor l que se puede sprr de opercoes lgebrcs co úmeros complejos: Potecs complejs de u úmero complejo: prevmete defmos lo tes ucdo: ( l ( b l ( b l e e b Potec complej de u úmero rel Potecs omplejs de u Número omplejo: Se: b co: α rg b co: α rg α Se tee etoces que epresdo e l form epoecl: e co lo cul podemos ror sí pr llegr l defcó buscd (el desrrollo es sólo lustrtvo porque usmos supuests propeddes ú o demostrds: Z α b b α ( e ( e b

22 [ teedo e cuet l epresó de l pág teror ] l b b b b α l l α α ( e ( e ( e ( e ( e ( e ( b α bα e e e l ( b l α bα e e e e l l e ( l b α ( α b e e l Defmos etoces: ( b α l ( α b l b α l ( α b e e e l Sedo α rg b Est defcó utl epresoes que su ve so coocds: l prmer potec es u potec rel del úmero e l segud u potec mgr pur del úmero e. Es tereste ecotrr pr l defcó u epresó e térmos de pres ordedos o de l form bómc (slvdo el problem que plte el rgumeto α de Se dos úmeros complejos: b b α rg α rg. ( b b b * e r b l b e r b b l b L fórmul teror d l form epoecl de pr dos úmeros complejos escrtos e form bómc.

23 e b ( b r b b * l b r b l b b se r b l b b D l form trgoométrc de pr dos úmeros complejos escrtos e form bómc. * ( ( α seα α seα * e D l form trgoométrc de pr dos úmeros complejos escrtos tmbé e form trgoométrc. Not: l clrcó (* que fgur sobre los sgos sgfc que l clculr los rgumetos de dchos águlos debe correspoder los msmos cudrtes que sus correspodetes úmeros complejos. ( α seα ( α l ( α α ( seα l se ( α α ( seα l [ ] O se α debe ser del msmo cudrte que α del msmo cudrte que. Pero gregremos l (* otrs precucoes: l clculr ( α α ( seα l se debe reducr el rgumeto resultte uo < π. O se: se debe tomr: [ ( α α ( α l mod π ] se. omo comprede como cso prtculr el (* os dc tmbé que puede hber solucoes múltples como e el cso del α π rgumeto de l fórmul de ls ríces. El estudo detlldo de ests cuestoes ecede el propósto de este pute. Qued ests fórmuls como smple curosdd. Alberto Serrtell,. serrtell@uob.edu.r Pr Mesjes: lberto_serrtell@hoo.com.r Juí - 5-julo-.