6. NÚMEROS COMPLEJOS.
|
|
- María Soledad Alcaraz Ramos
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 6. NÚMEROS COMPLEJOS Itroduccó. Recordemos e prmer lugar todos los tpos de úmeros que coocemos y la razó, desde el puto de vsta algebraco, por la cual se ha do amplado: - Números aturales: {0, 1,,,...} Necesdad de amplacó: para resolver operacoes como Números eteros: {..., -, -, -1, 0, 1,,,...} = + egatvos Necesdad de amplacó: para resolver operacoes como Números racoales:...,,,,, 1,,, 0,, 1,,,... = + fraccoes 5 9 Necesdad de amplacó: para resolver operacoes como. - Números Reales: , π,, 10,, Φ, 1,, 0,, 1,,, e,,... = + rracoales 5 Necesdad de amplacó: para resolver operacoes como Φ Números Complejos:..., π,,,,,,,,,, e,,...,,,... = + magaros 1
2 6.. Hstora. La prmera refereca coocda de raíces cuadradas de úmeros egatvos provee del trabajo de matemátcos gregos, como Heró de Alejadría e el s. I ates de Crsto, al tetar hacer ua seccó de ua prámde. S embargo, fuero rechazados (al gual que los úmeros egatvos) por la falta de u equvalete detro de la geometría. Volvero a aparecer a fales del s. XVI, cuado Tartagla y Cardao se dedcaro a buscar fórmulas que permtera calcular las raíces de polomos de grados y. Auque sólo estaba teresados e las raíces reales de este tpo de ecuacoes, se ecotraba co raíces de úmeros egatvos. Alguos matemátcos, como Bombell, hcero uso de los úmeros complejos e su teto de resolver ecuacoes cúbcas, aceptádolos e cluso dado alguos resultados relacoados co ellos. Pero la mayoría de los matemátcos de etoces se egaba a aceptarlos. Los cosderaba como fatasmas de otro mudo, por carecer de represetacó real, y fuero llamados úmeros mposbles o magaros por Descartes e el s. XVII. Como aécdota cotaremos que Lebtz defó la udad magara como ua espece de afbo etre el ser y la ada. E 167 el matemátco glés J.Walls do la prmera represetacó geométrca de los úmeros complejos, pero o cotrbuyó a mejorar su aceptacó. Euler tetó compreder a lo largo del s. XVIII qué era realmete, y e 1770, e su Itroduccó completa al Álgebra dce: «Puesto que todos los úmeros cocebbles so mayores que cero, meores que cero, o guales a cero, está claro que las raíces cuadradas de úmeros egatvos o puede ser cludas etre los úmeros posbles (reales). E cosecueca debemos decr que so úmeros mposbles. Y esta crcustaca os lleva al cocepto de tales úmeros, que por su aturaleza so mposbles, y ordaramete se le llama magaros o deales, porque exste sólo e la magacó». E 1777 troduce por prmera vez el símbolo para otar a la udad magara. E 1799 Gauss do su prmera demostracó del teorema fudametal del Álgebra, y puesto que ésta depedía ecesaramete del recoocmeto de los úmeros complejos, Gauss cosoldó la poscó de estos úmeros. La terpretacó geométrca descrta por Wessel el msmo año, redescuberta alguos años después y popularzada por Gauss, també cotrbuyó al desarrollo de la teoría de los úmeros complejos. Aú así, durate el s. XIX seguía exstedo u grupo de profesores de la Uversdad de Cambrdge que mateía «ua vecble repulsó haca la objetable 1, adoptado artfcos para evtar su uso dode quera que fuera posble». Y també De Morga, e su lbro O the study ad dffcultes of Mathematcs (181) afrma: «Hemos demostrado el símbolo como vacío de sgfcado o más be absurdo y cotradctoro e sí msmo. No obstate, por medo de tales símbolos se ha establecdo ua parte del Álgebra de gra utldad». E la época e que De Morga escrbó lo ateror, los coceptos de úmeros complejos y fucoes complejas estaba camo de clarfcarse. Pero la dfusó de los uevos coocmetos fue leta.
3 6.. Udad magara. Al resolver la ecuacó x + 1= 0 se obtee x =± 1. Como sabemos, NO es u úmero real, ya que es mposble ecotrar u úmero real que elevado al cuadrado (e geeral, elevado a u expoete par) dé egatvo. Así pues, se defe la udad magara como el úmero cuyo cuadrado es 1 : = 1. De aquí podríamos escrbr que = 1, auque esta omeclatura es muy pelgrosa, ya que tedemos a realzar cuetas co las raíces cuadradas como s fuera úmeros reales, y esto puede = 1 1 = 1 1 = 1 = 1 1. llevar a errores, como por ejemplo: ( ) ( ) Por tato, o suele ser coveete realzar esta detfcacó de la udad magara. Observemos lo que pasa cuado realzamos potecas de expoete atural de la udad magara: 0 = = = = 1 = 6 = 1 = = 1 = = 1 = = 1 = 7 = = 1 = = ( ) 8 = = 1 1 = 1 = = 1 = = 1 Las dos prmeras potecas, de expoetes 0 y 1, debe dar como resultado el que hemos obtedo s queremos mateer la cohereca co las defcoes y las propedades de las potecas de úmeros reales. Además, observamos que los resultados se repte cada y que, todas las potecas que tee como expoete u múltplo de, da como resultado la udad. Esto os permte calcular ua poteca cualquera de, dvdedo el expoete etre y quedado el resto de la dvsó como uevo expoete: 10 Ejemplos: + ( ) ; + ( ) = = = 1 = = = = 1 Además, ya que el resto de la dvsó sólo puede ser 0, 1,, y, los úcos resultados posbles para cualquer poteca de la udad magara sería los que hemos obtedo e la prmera columa de la tabla ateror. U úmero magaro puro es aquel que se obtee al multplcar u úmero real por la udad magara. Ejemplos: ; ; π ; ; 1 = ; 15 5
4 També podemos deducr del comportameto de las potecas de la udad magara: a) El producto de dos úmeros magaros puros es u úmero real: ( ) ( ) ; ( ) 5 = 15 = 15 1 = 1 = 1 b) El cuadrado de u úmero magaro puro es sempre u úmero real egatvo: 9 9 = = = = ( ) ; c) Como cosecueca de la propedad ateror, podemos afrmar que la raíz cuadrada de u úmero real egatvo es u úmero magaro puro: ( ) = ya que = ( ) 15 = 15 ya que 15 = Números complejos. U úmero complejo, escrto e forma bómca (dos térmos), es el que se obtee al sumar u úmero real co u magaro puro. Por tato, tee la forma a+b, sedo a y b úmeros reales. a = parte real (s a=0, el úmero b es magaro puro) z = a+b b = parte magara (s b=0, el úmero a es real) Para que dos úmeros complejos sea guales, tee que teer gual parte real e gual parte a= c magara: a+ b= c+ d. b = d El cojugado de u úmero complejo es otro úmero complejo que tee gual parte real y parte magara opuesta: z = a + b z = a b cojugado. Propedades: El cojugado de ua suma es la suma de los cojugados: z+ w= z+ w El cojugado de u producto es el producto de los cojugados: zw = zw El cojugado del cojugado es el msmo úmero: z = z El afjo de u úmero complejo es el par ordeado formado por su parte real y su parte = +, afjo. magara: z a b ( a b)
5 Teedo e cueta la estructura de -espaco vectoral que posee (el plao), es decr, las propedades que cumple las operacoes co pares ordeados, el afjo os proporcoa otra forma de ver a los úmeros complejos, llamada forma cartesaa, ya que exste ua correspodeca úca etre u úmero complejo y su afjo: * Los afjos de las udades real e magara so: 1= 1+ 0 ( 1, 0) y = 0+ 1 ( 0, 1 ) * ( ab, ) = ( a, 0) + ( 0, b) = a ( 1, 0) + b ( 0, 1) a 1 + b = a+ b Además, el afjo de u úmero complejo, os permte represetarlo gráfcamete e los ejes cartesaos detfcado eje horzotal co EJE REAL y eje vertcal co EJE IMAGINARIO: A través de la represetacó gráfca, podemos descubrr alguas propedades geométrcas del opuesto (smétrco respecto al orge de coordeadas) y del cojugado (smétrco respecto al eje real) de u úmero complejo: A Se defe el módulo de u úmero complejo z = a+ b, r = z, como la dstaca del afjo ab, al orge de coordeadas, o lo que es lo msmo, el módulo del vector OA, o també, la ( ) raíz cuadrada del producto de dcho úmero por su cojugado: r = z = z z = a + b. 5
6 Propedades: El módulo de ua suma es meor o gual que la suma de los módulos: z + w z + w El módulo de u producto es el producto de los módulos: z w = z w El módulo del cojugado es gual que el del úmero: z = z es A ( ab, ) = +, α = arg ( z) Se defe el argumeto prcpal de u úmero complejo z a b, cuyo afjo, como el águlo que forma el semeje real postvo co el vector OA, esto es: π s a = 0 y b> 0 π s a = 0 y b< 0 α = arg ( z) = 0 s a > 0 y b= 0 π s a< 0 y b= 0 b arctg s a 0 y b 0 a Teedo e cueta estos dos últmos coceptos y la represetacó gráfca, podemos escrbr los úmeros complejos e forma polar, r α, dode r = z = módulo del úmero complejo z, y α =argumeto prcpal del úmero complejo: Resumedo, hay cuatro formas dferetes de escrbr u úmero complejo y su relacó es: Bómca z = a+ b Cartesaa z ( ab, ) Polar z = r α Trgoométrca z = r ( cosα + seα) r = z = a + b b Ejemplo: + = 5 α = arctg a 60, 6 º a = r cosα Ejemplo: 5º = + b = r seα 6
7 La forma polar de escrbr los úmeros complejos es especalmete vetajosa a la hora de realzar productos, dvsoes, potecas y raíces, ya que el cálculo es mucho más secllo que cuado está escrtos e forma bómca o cartesaa Operacoes co úmeros complejos. (A) La suma, resta y multplcacó de úmeros complejos e forma bómca, se realza sguedo las reglas de las operacoes co úmeros reales y teedo e cueta que = 1. Para dvdr, se multplca el umerador y el deomador por el cojugado del deomador. OPERACIÓN RESULTADO Ejemplo = 1 6 SUMA (a+b) + (c+d)= (a+c) + (b+d) ( ) ( ) RESTA (a+b) - (c+d)= (a-c) + (b-d) ( ) ( ) = = + 6 PRODUCTO (a+b) (c+d)= (ac-bd) + (ad+bc) ( ) ( ) + b DIVISIÓN = c + d POTENCIA a+ b c d ac + bd bc ad = + c+ d c d c + d c + d a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a+ b = a b + ab El caso geeral se haría medate el bomo de Newto: ( a+ b) = a ( b) a ( b) 5 + = ( ) 5+ = 16 0 RAÍZ a = x y a + b = x + y a + b = ( x + y) b = xy El caso geeral de ua raíz -ésma se complcaría bastate porque hay que aplcar la fórmula del bomo de Newto y resolver u sstema o leal de grado mayor que. = x+ y = x y = xy x = y y + y = 0 y = 1 x= y = 1 x = + = susttucó (B) Las operacoes, realzadas e forma cartesaa, se correspode co las defdas para pares ordeados, pero es más fácl recordarlas o realzarlas e forma bómca, por lo que úcamete escrbmos las fórmulas a título de curosdad: OPERACIÓN RESULTADO OPERACIÓN RESULTADO SUMA (a,b) + (c,d)= (a+c,b+d) PRODUCTO (a,b) (c,d)= (ac-bd,ad+bc) RESTA (a,b) - (c,d)= (a-c,b-d) DIVISIÓN ( ab, ) (, cd ) = ac + bd, bc ad c + d c + d 7
8 (C) E forma polar: SUMA RESTA PRODUCTO DIVISIÓN OPERACIÓN RESULTADO rα r' β = ( rr ') (producto de módulos ; suma de argumetos) α+ β r r ' POTENCIA ( ) RAÍZ Ejemplos: α β = r ' r α = ( r ) r α β α (cocete de módulos ; resta de argumetos) (módulo elevado a ; veces el argumeto) r α+ π k = 01 1 r α = ( ) co,,..., k Todo º complejo (salvo el 0) tee raíces -ésmas, que ocupa los vértces de u polígoo regular de lados co cetro e el orge de coordeadas. ; : ; ( ) 5 6 = 0 0 = 5 = 8 0 º 15 º 5 º 60 º 5 º 15º 0º 0 º ( cos º se º ) (, ) 180º = 90º = = = 0 = 180º = 180º + 60º = 70º = = = 0 ( cos º se º ) (, ) Las operacoes defdas aterormete cumple las propedades tradcoales, esto es: * (,+) es u grupo abelao. -Comutatva: ( + ) + ( ) = ( ) + ( + ) = 1 -Asocatva: ( ) ( ) ( ) ( ) -Elemeto eutro: ( 5 ) + ( 0+ 0) = 5 -Elemeto opuesto: ( 5 ) + ( 5+ ) = 0+ 0 * ( { 0}, ) es u grupo abelao. -Comutatva: ( + ) + ( ) = ( ) + ( + ) = 1 -Asocatva: ( ) ( ) ( ) ( ) -Elemeto eutro: ( 5 ) ( 1+ 0) = 5 * (, +, ) -Elemeto verso: ( ) = = 1+ + = + = = es u cuerpo abelao, ya que també se cumple la propedad dstrbutva. 8
9 Además, podemos afrmar que es u cuerpo algebracamete cerrado, esto es, que cogdos cualesquera dos úmeros complejos, el resultado de cualquer operacó que podamos hacer co ellos també es u úmero complejo Fórmula de De Movre. S calculamos ua poteca de u úmero complejo de módulo 1 e forma polar, obteemos la fórmula de De Movre, que tee múltples aplcacoes, especalmete e Trgoometría: ( 1 ) ( ) ( 1 ) 1 ( ) α = cosα + seα = = cos α+ se α = cos α + se α α ( cos α + seα ) = cos α + se α Para que se vea la utldad de esta fórmula e trgoometría, vamos a utlzarla para calcular las razoes trgoométrcas del águlo doble ( = ): ( cosα + seα) = cos α + se α cos α se α + cos α seα = cos α + se α ( ) cos α se α = cos α cos α seα = seα 6.7. Ejerccos. 1. Determa k para que: a. 1 + k + sea 8 1 ) gual a ) magaro puro ) real b. 6 + k sea 9 0 ) gual a ) magaro puro ) real. Calcula las sguetes potecas de la udad magara: a. 78 b. 697 c. 106 d Calcula el módulo y el argumeto prcpal de los sguetes úmeros complejos: a. + b. 6 c. 9 d
10 . Escrbr cada uo de los sguetes úmeros complejos de las otras tres formas posbles: a. 6 6 b. 10 º c. d. 70 º 15 1 e. (, ) 8 8 h. (, ) g f. cos ( 10º + se 10º ) 5. Calcula y smplfca: a. ( ) + ( 5 ) ( + 1) ( ) + b. ( ) ( ) ( ) ( ) c. e ( ) g. 60º 5º. d ( ) 1+ f (e forma bómca) h. ( ) º + 5 k. ( ) j (e forma polar) l. ( + ) (e forma bómca y e forma polar) 1 (e forma polar) m. ( ) + ( ) + ( ). cos ( 10 + se10 ) 5 ( ) 1 o. 0º 60º p. + q. ( + ) (e forma polar) r. ( ) 6 (e forma polar) + 7 (resultado e forma bómca) s. 1 0 t. 0 (e forma polar) u. (resultados e forma bómca) v. (resultados e forma cartesaa) w. (resultados e forma cartesaa) x. (resultados e forma bómca) y. ( + ) (resultado e forma trgoométrca) z. 9 º aa. cos ( º + se º ) bb. ( + ) cc. ( 1 + ) 0 dd. ( 5 5 ) 8 (resultados e forma trgoométrca) (resultados e forma trgoométrca) 6 10
11 6. Calcula, smplfca y expresa el resultado e forma bómca: 1 b. 175º : 75º a. 5º 10º 7 d. 615º : 90 º c. 5º 10 º 7. Calcula las sguetes raíces y efectúa, e cada caso, el producto de todas las solucoes. a. 6 º b. 810º 6 c. 6 d e f º 8. Calcula las sguetes raíces y efectúa, e cada caso, la suma de todas las solucoes. a. 5 1 b. 8 1 c. 8 d. 65 e f. g. 6 (resultados e forma bómca) h º 9. Cosderemos el úmero complejo z = +. Calcula: a. Su opuesto b. Su cojugado c. El cojugado de su opuesto d. El opuesto de su cojugado e. Qué relacó exste etre estos dos últmos? 10. Cómo debe ser el úmero complejo z = a+ b para que su cuadrado sea: a. Imagaro puro b. U úmero real postvo c. U úmero real egatvo. 11. Utlza la fórmula de De Movre para hallar las fórmulas del águlo trple. 1. La suma de dos úmeros complejos cojugados es 6 y la de sus módulos es 10. Calcúlalos. 11
12 1. Resuelve la ecuacó x 1 x+ = 0 y realza el cocete de las dos solucoes, efectuádolo e forma bómca y polar. 1. Halla u úmero complejo que sumado co y argumeto 5 º. 1 + dé otro úmero complejo de módulo 15. Ua de las raíces cúbcas de u certo úmero complejo es 60 º. Calcula las otras dos y el úmero complejo de que se trata. 16. Calcula u úmero complejo tal que 0º sea ua de sus raíces qutas. Escrbe todas las raíces qutas de dcho úmero e forma trgoométrca y represétalas gráfcamete. Calcula el perímetro y el área del petágoo que determa. 17. Supogamos dbujadas e el plao las bsectrces de los cuatro cuadrates. S se traza ua crcufereca de cetro el orge y rado, y se desga por A, B, C y D los putos de corte de la msma co las bsectrces, cuáles so los úmeros complejos de afjos A, B, C y D? 18. Represeta gráfcamete la suma y la dfereca de los úmeros 1 y Escrbr ua ecuacó de segudo grado, ua de cuyas raíces sea el úmero: a. 1 b. 1 c. + d El úmero complejo es ua raíz de ua ecuacó de segudo grado. Cuál es la otra raíz? De qué ecuacó se trata? 1. Calcula el módulo, argumeto y cocete de las raíces de la ecuacó x 1 x+ = 0. 1
13 6.8. BIBLIOGRAFÍA. Para la elaboracó de estos aputes, se ha utlzado como materal: 1º Mayortaramete, las explcacoes y ejerccos propuestos e clase por los profesores del Departameto de Matemátcas del Colego Vrge de Graca (Graada). º Para desarrollar y completar alguos temas, aputes y ejerccos obtedos de: -Iteret: (A) (B) -Lbros de texto: (A) Azola, M. y otros: Fucoes 1, Edcoes SM, 198. (B) Lazcao, I. y otros: Matemátcas 1º BUP, Edtoral Edelvves, 198. (C) Álvarez, F. y otros: Factor 1, Edtoral Vces-Vves,
TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo TEMA : LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Relacó etre los úmeros complejos y los putos del plao. Afjo de u úmero complejo. Cojugado
Más detallesx x x x x Y se seguía operando
. INTRODUCCIÓN. DEFINICIONES UNIDAD : Números complejos Cuado se teta resolver ecuacoes de segudo grado como por ejemplo x 4x 0, se observa que o 4 6 5 4 6 tee solucoes reales x x, pues o exste raíces
Más detallesANTES DE COMENZAR RECUERDA
ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 Po tres ejemplos de úmeros reales que o sea racoales, y otros tres ejemplos de úmeros reales que o sea rracoales. Respuesta aberta. Tres úmeros reales que o sea racoales:,
Más detallesNúmeros Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES
Repaso de º de Bachllerato Números Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES. Qué es la udad magara? Es u elemeto del que coocemos úcamete su cuadrado:.obvamete, o se trata de u úmero real.. Qué es u úmero complejo?
Más detalles. Si vamos calculando así las potencias n-ésimas de la unidad imaginaria, descubriremos que son cíclicas y que cada 4 términos se repiten: ( )
Los úmeros complejos surje a ra de ecuacoes de la forma x + 0 Exste u certo paralelsmo etre este cuerpo el plao, cocretamete, lo que ha es ua correspodeca buívoca, es decr, ua relacó bectva etre C R R
Más detallesLOS NÚMEROS COMPLEJOS
LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate
Más detallesNúmeros complejos. Números complejos. Las tribulaciones del estudiante Törless LITERATURA Y MATEMÁTICAS
Números complejos SOLUCIONARIO Números complejos LITERATURA Y MATEMÁTICAS Las trbulacoes del estudate Törless Dme, etedste be todo esto? Qué? Ese asuto de los úmeros magaros. Sí, o es ta dfícl. Lo úco
Más detallesIntensificación en Estadística
GRADO EN VETERINARIA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E IO 0-0 IV Curso Cero Itesfcacó e Estadístca Itroduccó a la fucó Sumatoro Itroduccó Cocepto de fucó sumatoro Aplcacoes Itroduccó Cocepto de fucó sumatoro
Más detallesTEMA 4: NÚMEROS COMPLEJOS
TEMA : COMPLEJOS 1 EN FOMA BINÓMICA 1.1 DEFINICIONES Sabemos que la resolucó de alguas ecuacoes de º grado coduce a ua raíz cuadrada de u º egatvo. Dcha raíz o tee setdo e el cojuto de los úmeros reales.
Más detallesMatemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria
Matemátcas EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos Elea Álvare Sá Dpto. Matemátca Aplcada y C. Computacó Uversdad de Catabra Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Iterpretacó
Más detallesAPROXIMACIÓN NUMÉRICA AL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE RECTÁNGULOS INSCRITOS
APROXIMACIÓN NUMÉRICA AL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE RECTÁNGULOS INSCRITOS Sugerecas para que mparte el curso Ha llegado el mometo e que es coveete resolver ejerccos aplcado
Más detallesCAPÍTULO 20: NÚMEROS COMPLEJOS (II)
CAPÍTULO 0: ÚMEROS COMPLEJOS (II) Date Guerrero-Chaduví Pura, 05 FACULTAD DE IGEIERÍA Área Departametal de Igeería Idustral y de Sstemas CAPÍTULO 0: ÚMEROS COMPLEJOS (II) Esta obra está bajo ua lceca Creatve
Más detallesde los vectores libres del plano. Recordemos que la operación de sumar vectores verificaba las siguientes propiedades: se cumple que u + v = v + u
FUNDAMENTOS DE LOS ESPACIOS VECTORIALES ABSTRACTOS Prmeros ejemplos. Cosderemos el cojuto V de los vectores lbres del plao. Recordemos que la operacó de sumar vectores verfcaba las sguetes propedades:
Más detallesque queremos ajustar a los datos. Supongamos que la función f( x ) describe la relación entre dos cantidades físicas: x e y = f( x)
APROXIMACIÓN DISCRETA DE MÍNIMOS CUADRADOS Las leyes físcas que rge el feómeo que se estuda e forma expermetal os proporcoa formacó mportate que debemos cosderar para propoer la forma de la fucó φ ( x)
Más detallesMATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS NÚMEOROS COMPLEJOS
NÚMEOROS COMPLEJOS Defcó: El cojuto de los úmeros complejos es C R R {(, / R y b R} C está formdo por todos los pres ordedos de úmeros reles etre los que defmos u relcó, l guldd, y dos opercoes brs que
Más detallesGENERALIDADES SOBRE MÓDULOS
GENERALIDADES SOBRE MÓDULOS Presetar el Z -módulo Z como cocete de u Z -módulo lbre Hacer lo msmo para el grupo de Kle Calcular los auladores de los sguetes módulos: a) El Z -módulo Z Z 6 b) El Z -módulo
Más detallesESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS:
SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS: Teorema S G={v, v,, v } es u sstema fto de geeradores de u subespaco S V K-EV, etoces G`= {v, v,, v,w} sedo w combacó leal de vectores de G, també geera a S. Demostracó
Más detallesTeoría Simplificada de ERRORES Suscriben este documento los coordinadores de Laboratorio de Química, Física I y Física II.
Teoría Smplfcada de ERRORES Suscrbe este documeto los coordadores de Laboratoro de Químca, Físca I y Físca II. Defcoes Báscas: -Error absoluto (o error): Itervalo xe dode co máxma probabldad se ecuetra
Más detallesCAPITULO 2º FUNCIONES DE VECTORES Y MATRICES_01. Ing. Diego Alejandro Patiño G. M.Sc, Ph.D.
CPIULO 2º FUNCIONES DE VECORES Y MRICES_ Ig. Dego lejadro Patño G. M.Sc, Ph.D. Fucoes de Vectores y Matrces Los operadores leales so fucoes e u espaco vectoral, que trasforma u vector desde u espaco a
Más detallesDel correcto uso de las fracciones parciales.
Del correcto uso de las fraccoes parcales. Rubé Emauel Madrd García. E este opúsculo haré u aálss de lo que hoy llamamos fraccoes parcales, lo cual o es otra cosa que la descomposcó del cocete etre dos
Más detallesTEMA 3. Medidas de variabilidad y asimetría. - X mín. X máx
TEMA 3 Meddas de varabldad y asmetría 1. MEDIDAS DE VARIABILIDAD La varabldad o dspersó hace refereca al grado de varacó que hay e u cojuto de putuacoes. Por ejemplo: etre dos dstrbucoes que preseta la
Más detallesÁLGEBRA II (LSI PI) VALORES Y VECTORES PROPIOS UNIDAD Nº 6. Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO
6 ÁLGEBRA II (LSI PI) UNIDAD Nº 6 VALORES Y VECTORES PROPIOS Facultad de Cecas Exactas y Tecologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO aa Error! No hay texto co el estlo especfcado e el documeto.
Más detalles4 METODOLOGIA ADAPTADA AL PROBLEMA
4 MEODOLOGA ADAPADA AL PROBLEMA 4.1 troduccó Báscamete el problema que se quere resolver es ecotrar la actuacó óptma sobre las tesoes de los geeradores, la relacó de tomas de los trasformadores y el valor
Más detallesMEDIDAS DE FORMA Y CONCENTRACIÓN
MEDIDAS DE FORMA Y CONCENTRACIÓN 4..- Asmetría: coefcetes de asmetría de Fsher y Pearso. Otros Coefcetes de asmetría. 4.2.- La ley ormal. 4..- Curtoss o aplastameto: coefcete de Fsher. 4.4.- Meddas de
Más detallesMATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades
MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temátco: Estadístca y Probabldades Empezaremos este breve estudo de estadístca correspodete al cuarto año de Eseñaza Meda revsado los dferetes tpos de gráfcos.. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Más detallesV II Muestreo por Conglomerados
V II Muestreo por Coglomerados Dr. Jesús Mellado 31 Por alguas razoes aturales, los elemetos muestrales se ecuetra formado grupos, como por ejemlo, las persoas que vve e coloas de ua cudad, lo elemetos
Más detallesLa inferencia estadística es primordialmente de naturaleza
VI. Ifereca estadístca Ifereca Estadístca La fereca estadístca es prmordalmete de aturaleza ductva y llega a geeralzar respecto de las característcas de ua poblacó valédose de observacoes empírcas de la
Más detallesMEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
Educagua.com MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ Las meddas de cetralzacó so estadístcos que releja algú valor global de la sere estadístca. Las prcpales meddas de cetralzacó so: Meda artmétca smple. Meda artmétca
Más detallesNÚMEROS COMPLEJOS. y sabemos que no podemos calcular raíces de números negativos en R. Para resolver este problema introduciremos el valor i = 1
NÚMEROS COMPLEJOS 1. Qué es un número complejo? Defncones. La ecuacón x + 1 = 0 no tene solucón en el campo real puesto que s ntentamos resolverla tendremos que x = ± 1 y sabemos que no podemos calcular
Más detallesTransformada Z. Definición y Propiedades Transformada Inversa Función de Transferencia Discreta Análisis de Sistemas
5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Trasformada Z Defcó y Propedades Trasformada Iversa Fucó de Trasfereca Dscreta Aálss de Sstemas 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z Defcó y Propedades 5º Curso-Tratameto Dgtal
Más detallesGUÍA DE EJERCICIOS. Área Matemática Álgebra lineal
GUÍA DE EJERCICIOS Área Matemátca Álgebra leal Resultados de apredzaje. Recoocer exsteca de subespaco vectoral. Cotedos 1. Espacos vectorales. 2. Subespacos vectorales. Debo saber Se debe recordar que
Más detallesEjemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi
u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo
Más detallesEstadística. Tema 2: Medidas de Tendencia Central.. Estadística. UNITEC Tema 2: Medidas de Tendencia Central Prof. L. Lugo
Estadístca Tema : Meddas de Tedeca Cetral. Estadístca. UNITEC Tema : Meddas de Tedeca Cetral 1 Parámetros y Estadístcos Parámetro: Es ua catdad umérca calculada sobre ua poblacó La altura meda de los dvduos
Más detallesLOS NÚMEROS COMPLEJOS
LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax + bx + c = 0 se aalzó el sgo
Más detallesEstadística Descriptiva
Estadístca Descrptva Poblacoes y muestras Varables. Tablas de frecuecas Meddas de: tedeca cetral-dspersó ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Tee por objetvo recoplar, orgazar y aalzar formacó referda a datos de u
Más detallesUna Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple
Ua Propuesta de Presetacó del Tema de Correlacó Smple Itroduccó Ua Coceptualzacó de la Correlacó Estadístca La Correlacó o Implca Relacó Causa-Efecto Vsualzacó Gráfca de la Correlacó U Idcador de Asocacó:
Más detalles1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática
Ce.R.P. del Norte Rvera Julo de Departameto de Matemátca Notas para el curso de Fudametos de la Matemátca CONGRUENCIAS NUMÉRICAS Y ECUACIONES DE CONGRUENCIA. RECORDANDO CONCEPTOS: La cogrueca es ua relacó
Más detallesLos números complejos
Los úmeros complejos Los úmeros complejos Forma biómica Defiició z = a + bi, o bie, z = (a, b) siedo a la parte real y b la parte imagiaria. a = r cos α b = r se α Opuesto z = a bi Cojugado z = a bi Represetació
Más detallesTema 2: Distribuciones bidimensionales
Tema : Dstrbucoes bdmesoales Varable Bdmesoal (X,Y) Sobre ua poblacó se observa smultáeamete dos varables X e Y. La dstrbucó de frecuecas bdmesoal de (X,Y) es el cojuto de valores {(x, y j ); j } 1,, p;
Más detallesFEM-OF: EDP Elíptica de 2 Orden
9/02/2008 Capítulo 5: FM-OF: D líptca de 2 Orde Idce: 5..- Operador Dferecal líptco 5.2.- roblema Básco 5.3.- Fucoes Óptmas 5.4.- FM-OF Steklov-ocaré 5.5.- FM-OF Trefftz-Herrera 5.6.- FM-OF etrov-galerk
Más detallesG - Métodos de Interpolación
ESCUELA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS G - Métodos de Iterpolacó Polomo de terpolacó de Lagrage. Polomo de terpolacó
Más detallesGRADO EN PSICOLOGIA INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS Código Asignatura: FEBRERO 2010 EXAMEN MODELO A
Febrero 20 EAMEN MODELO A Pág. 1 GRADO EN PICOLOGIA INTRODUCCIÓN AL ANÁLII DE DATO Códgo Asgatura: 620137 FEBRERO 20 EAMEN MODELO A Tabla 1: Para estudar la relacó etre las putuacoes e u test () y el redmeto
Más detallesPráctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:
PRÁCTICA SUMAS DE RIEMAN Práctcas Matlab Práctca Objetvos Calcular tegrales defdas de forma aproxmada, utlzado sumas de Rema. Profudzar e la compresó del cocepto de tegracó. Comados de Matlab t Calcula
Más detallesNúmeros Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES
Repaso de º de Bachllerato Núeros Coplejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES. Qué es la udad agara? Es u eleeto del que cooceos úcaete su cuadrado:.obvaete, o se trata de u úero real.. Qué es u úero coplejo? Es
Más detallesModelos de Regresión análisis de regresión diagrama de dispersión coeficientes de regresión
Modelos de Regresó E muchos problemas este ua relacó herete etre dos o más varables, resulta ecesaro eplorar la aturaleza de esta relacó. El aálss de regresó es ua técca estadístca para el modelado la
Más detallesMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Probabldad y Estadístca Meddas de tedeca Cetral MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL E la udad ateror se ha agrupado la ormacó y además se ha dado ua descrpcó de la terpretacó de la ormacó, s embargo e ocasoes
Más detallesPARÁMETROS ESTADÍSTICOS ... N
el blog de mate de ada: ESTADÍSTICA pág. 6 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Las tablas estadístcas y las represetacoes grácas da ua dea del comportameto de ua dstrbucó, pero ese cojuto
Más detallesProbabilidad. 1. Experimentos aleatorios Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio Sucesos... 3
Probabldad PROBABILIDAD 1. Expermetos aleatoros... 2 2. Espaco muestral asocado a u expermeto aleatoro. 3 3. Sucesos... 3 4. El álgebra de Boole de los sucesos... 4 5. Frecuecas. Propedades... 6 6. Defcó
Más detallesCurso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas. Lección 2: Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados por Valor Simple
1 Curso de Estadístca Udad de Meddas Descrptvas Leccó 2: Meddas de Tedeca Cetral para Datos Agrupados por Valor Smple Creado por: Dra. Noemí L. Ruz Lmardo, EdD 2010 Derechos de Autor 2 Objetvos 1. Calcular
Más detallesEstadística Espacial. José Antonio Rivera Colmenero
Estadístca Espacal José Atoo Rvera Colmeero 1 Descrptores del patró putual Tedeca cetral 1. Meda cetral (Meda espacal). Meda cetral poderada 3. Medaa cetral (medaa espacal) o se utlza amplamete por su
Más detallesFórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada de de orden k de de una función
Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de Dervacó Numérca: Aproxmacó de de la la dervada de de orde k de de ua ucó Pro. Arturo Hdalgo LópezL Pro. Alredo López L Beto Pro. Carlos Code LázaroL
Más detalles2.5. Área de una superficie.
.5. Área de ua superfce. Sea g ua fucó co prmeras dervadas parcales cotuas, tal que z g( x y), 0 e toda la regó D del plao xy. Sea S la parte de la gráfca de g cuya proyeccó e el plao xy es como se lustra
Más detalles6.1 EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS
TEMA NÚMEROS COMPLEJOS. EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS DEFINICIONES Al resolver ecuacones del tpo : x + = 0 x = ± que no tene solucón en los números reales. Los números complejos nacen del deseo
Más detallesTEORIA DE ERRORES. Fuentes De error. Error Final
TEORIA DE ERRORES Fuetes De error Errores heretes: (EI) So los errores que afecta a los datos del prolema umérco puede teer dsttos orígees. Por ejemplo puede ser el resultado de la certdumre e cualquer
Más detallesTema 60. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS: CÁLCULO, PROPIEDADES Y SIGNIFICADO.
Tema 60.Parámetros estadístcos. Calculo propedades y sgfcado Tema 60. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS: CÁLCULO, PROPIEDADES Y SIGIFICADO.. Itroduccó. Defcó de estadístca. Estadístca descrptva y estadístca ferecal.
Más detallesVARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN - INTRODUCCIÓN E este tema se tratará de formalzar umércamete los resultados de u feómeo aleatoro Por tato, ua varable aleatora es u valor umérco que correspode
Más detalles3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna
arte robabldad codcoal rof. María. tarell - robabldad codcoal.- Defcó Supogamos el expermeto aleatoro de extraer al azar s reemplazo dos bolllas de ua ura que cotee 7 bolllas rojas y blacas. summos que
Más detallesEste documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
Este documeto es de dstrbucó gratuta y llega gracas a Ceca Matemátca www.cecamatematca.com El mayor portal de recursos educatvos a tu servco! INTRODINTRODUCCIÓN D etro del estudo de muchos feómeos de
Más detalles60 EJERCICIOS de NÚMEROS COMPLEJOS
60 EJERCICIOS de NÚMEROS COMPLEJOS. Resolver las sguentes ecuacones en el campo de los números complejos a) x -x+=0 (Soluc ) b) x +=0 (Soluc ) c) x -x+=0 (Soluc ) d) x +x+=0 (Soluc ) e) x -6x +x-6=0 (Soluc,
Más detallesProbabilidad. 1. Experimentos aleatorios Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio Sucesos... 3
Probabldad PROBBILIDD. Expermetos aleatoros... 2 2. Espaco muestral asocado a u expermeto aleatoro. 3 3. Sucesos... 3 4. El álgebra de Boole de los sucesos... 4 5. Frecuecas. Propedades... 6 6. Defcó axomátca
Más detalles4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN
4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN També llamadas de cetralzacó o de tedeca cetral. Srve para estudar las característcas de los valores cetrales de la dstrbucó atededo a dsttos crteros. Veamos su sgfcado co
Más detallesFórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada primera de de una función
Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de Dervacó Numérca: Aproxmacó de de la la dervada prmera de de ua fucó Prof. Alfredo López L Beto Prof. Carlos Code LázaroL Prof. Arturo dalgo LópezL
Más detallesCALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II. Figura 1
TEMA (Últma modcacó 8-7-5 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II DERIVABILIDAD Recordemos el cocepto de dervadas para ucoes de ua varable depedete = (. Para lo cual ormamos el cremeto de la ucó = ( + - ( El
Más detallesCENTRO DE MASA centro de masas centro de masas
CENTRO DE ASA El cetro de masas de u sstema dscreto o cotuo es el puto geométrco que dámcamete se comporta como s e él estuvera aplcada la resultate de las fuerzas exteras al sstema. De maera aáloga, se
Más detallesINTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO
INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ARRERA: Igeería Electromecáca ASIGNATURA: DOENTES: Ig. Norberto laudo MAGGI Ig. Horaco Raúl DUARTE INGENIERÍA ELETROMEÁNIA INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ONEPTOS
Más detallesTEMA 4: VALORACIÓN DE RENTAS
TEMA 4: ALORACIÓN DE RENTAS 1. Cocepto y valor facero de ua reta 2. Clasfcacó de las retas. 3. aloracó de Retas dscretas. Temporales. 4. aloracó de Retas dscretas. Perpetuas. 5. Ejerccos tema 4. 1. Cocepto
Más detallesMEDIA ARITMÉTICA. Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada.
MEDIDAS DE POSICIÓN També llamadas de cetralzacó o de tedeca cetral. Srve para estudar las característcas de los valores cetrales de la dstrbucó atededo a dsttos crteros. Veamos su sgfcado co u ejemplo:
Más detallesIncertidumbre en las mediciones directas e indirectas
Icertdumbre e las medcoes drectas e drectas Comezaremos por dstgur dos dferetes tpos de medcoes: Medcoes drectas: La medda de la cota se obtee e ua úca medcó co u strumeto de lectura drecta. Medcoes drectas:
Más detallesE.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación. Tema 1: Números complejos
Grados E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Coocimietos previos Para poder seguir adecuadamete este tema, se requiere que el alumo repase y poga al día sus coocimietos e los siguietes
Más detallesObjetivos. El alumno conocerá y aplicará el concepto de arreglos unidimensionales para resolver problemas que requieren algoritmos de tipo numérico.
Objetvos El alumo coocerá y aplcará el cocepto de arreglos udmesoales para resolver problemas que requere algortmos de tpo umérco. Al fal de esta práctca el alumo podrá:. Maejar arreglos udmesoales.. Realzar
Más detallesMODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU
MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU APLICACIÓN EN PROBLEMAS DE INGENIERÍA Clauda Maard Facultad de Igeería. Uversdad Nacoal de Lomas de Zamora Uversdad CAECE Bueos Ares. Argeta. maard@uolsects.com.ar
Más detallesSist. Lineales de Ecuaciones
Ttulacó: Asgatura: Autor: Igeero Geólogo Aálss Numérco César Meédez Ultma actualzacó: //007 Sst. Leales de Ecuacoes Plafcacó: Materales: Coocmetos prevos: 6 Teoría+4 Práctcas+ Laboratoro MATLAB Coocmetos
Más detallesI. ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE UN CONJUNTO DE DATOS
Estadístca Tema. Seres Estadístcas. Dstrbucoes de frecuecas. Pág. I. ANÁLISIS DESCIPTIVO DE UN CONJUNTO DE DATOS Seres Estadístcas. Dstrbucoes de frecuecas.. Defcó de Estadístca... Coceptos geerales...2
Más detallesExperimento: TEORÍA DE ERRORES. UNIVERSIDAD DE ATACAMA Facultad de Ciencias Naturales Departamento de Física I. OBJETIVOS
Epermeto: I. OJETIVOS UNIVERSIDD DE TM Facultad de ecas Naturales Departameto de Físca TEORÍ DE ERRORES Idetfcar errores sstemátcos y accdetales e u proceso de medcó. ompreder los coceptos de eacttud y
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1 Epresoes Algebrcs es l uó de úmeros y vrbles medte opercoes de sum, rest, multplccó, dvsó, poteccó y rdccó. Epresó lgebrc rcol: se llm sí quells e ls que ls vrbles está fectds
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura
- Ferado Sáchez - - 5 Números Cálculo I complejos 14 10 2015 E el cuerpo de los úmeros reales ecuacioes como x 2 + 1 = 0 o tiee solució: el poliomio x 2 + 1 o tiee raíces reales. Hace falta exteder el
Más detallesV Muestreo Estratificado
V Muestreo Estratfcado Dr. Jesús Mellado 10 Certas poblacoes que se desea muestrear, preseta grupos de elemetos co característcas dferetes, s los grupos so pleamete detfcables e su peculardad y e su tamaño,
Más detallesn p(a ) = n p(a ) = n k Nº de casos favorables de A Nº de casos posibles de E p(a) = Capítulo PROBABILIDAD 1. Introducción
Capítulo VII PROBABILIDAD 1. Itroduccó Se dcaba e el capítulo ateror que cuado u expermeto aleatoro se repte u gra úmero de veces, los posbles resultados tede a presetarse u úmero muy parecdo de veces,
Más detallesUNIDAD 7.- Matrices (tema 1 del libro) = MATRICES
UNIDD.- Marces (ema del lbro). MTRICES Ua mar se puede eeder como ua abla de úmeros ordeados e flas columas Defcó.- Se llama mar de dmesó m a u cojuo de úmeros reales dspuesos e m flas columas de la sguee
Más detallesUNIDAD 14.- Distribuciones bidimensionales. Correlación y regresión (tema 14 del libro)
UIDAD.- Dstrbucoes bdmesoales. Correlacó regresó (tema del lbro). VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMESIOALES Vamos a trabajar sobre ua sere de feómeos e los que para cada observacó se obtee u par de meddas.
Más detallesEs aquella Serie Uniforme, cuyo Pago tiene lugar, al Final del Periodo.
ANUALIDADES SERIES UNIFORMES SERIE UNIFORME Se defe como u Cojuto de Pagos Iguales y Peródcos. El Térmo PAGO hace refereca tato a Igresos como a Egresos. També se deoma ANUALIDADES: Se defe como u Cojuto
Más detallesObjetivos. Introducción n a las medidas de posición n (tendencia central o tipismo): Moda y Mediana Media aritmética
Objetvos Itroduccó a las meddas de poscó (tedeca cetral o tpsmo): Moda y Medaa Meda artmétca tca Cuartles,, decles y percetles Meddas de poscó Defcó: : refereca a u lugar específco de ua dstrbucó, epresado
Más detallesa es la parte real, bi la parte imaginaria.
CAPÍTULOIX 55 NÚMEROS COMPLEJOS Coocmetos Prevos Supoemos coocdo que: ) El cojuto de úmeros complejos está e correspodec buívoc co el cojuto de los putos de u plo. b) U úmero complejo expresdo e form boml
Más detallesTEMA 5.- LA DECISIÓN DE INVERTIR EN UN CONTEXTO DE RIESGO Introducción.
TEMA 5.- LA DECISIÓN DE INVERTIR EN UN CONTEXTO DE RIESGO 5..- Itroduccó. Stuacoes segú el vel de formacó: Certeza. Icertdumbre parcal o resgo: (Iversoes co resgo) Icertdumbre total: (Iversoes co certdumbre)
Más detallesUnidad 2. Reactores Continuos
Reactores Químcos: Udad Udad Reactores otuos Reactores cotuos so aquellos e los cuales, de maera cotua, se almeta los reactvos y també, de maera cotua se extrae los productos Detro de esta clasfcacó, de
Más detallesVARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES.
CONTENIDOS. VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES. Itroduccó a la Estadístca descrptva. Termología básca: poblacó, muestra, dvduo, carácter. Varable estadístca: dscretas y cotuas. Orgazacó de datos.
Más detallesAnálisis amortizado. Técnicas Avanzadas de Programación - Javier Campos 205
Aálss amortzado Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 205 Aálss amortzado El pla: Coceptos báscos: Método agregado Método cotable Método potecal Prmer ejemplo: aálss de tablas hash dámcas Motículos
Más detallesEstadística Descriptiva
Estadístca Descrptva Poblacó: Es u cojuto de elemetos co ua determada característca. Muestra: Es u subcojuto de la poblacó. Muestreo: Es el proceso para elegr ua muestra que sea represetatva de la poblacó.
Más detallesUnidad 1: Números Complejos
Uidad : Números Complejos. Itroducció Además de los cojutos de úmeros aturales, eteros, racioales y reales existe el cojuto de úmeros complejos que juega u rol importate o solo e matemáticas sio e las
Más detallesESTADÍSTICA poblaciones
ESTADÍSTICA Es la parte de las Matemátcas que estuda el comportameto de las poblacoes utlzado datos umércos obtedos medate epermetos o ecuestas. ESTADÍSTICA La Estadístca tee dos ramas: La Estadístca descrptva:
Más detallesCONTENIDO MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN OTRAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN CONTENIDO DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CONCEPTOS BÁSICOS POBLACIÓN VARIABLE: Cualtatvas o Categórcas y Cuattatvas (Dscretas y Cotuas) MUESTRA TAMAÑO MUESTRAL DATO DISTRIBUCIONES
Más detallesGráfica de los resultados experimentales: Variable Independiente: Variable Dependiente: Variable asociada:
:: OBJETIVOS [3.] o Apreder a presetar los datos epermetales como grafcas -. o Apreder a usar las hojas de papel logarítmco Semlogarítmco o Determar la relacó matemátca de ua grafca leal de datos epermetales
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Cálculo I
- Ferado Sáchez - - Números Cálculo I complejos 09 0 07 E el cuerpo de los úmeros reales ecuacioes como x + = 0 o tiee solució: el poliomio x + o tiee raíces reales. Hace falta exteder el cocepto de úmero
Más detallesREGRESIÓN LINEAL SIMPLE
RGRIÓN LINAL IMPL l aálss de regresó es ua técca estadístca para vestgar la relacó fucoal etre dos o más varables, ajustado algú modelo matemátco. La regresó leal smple utlza ua sola varable de regresó
Más detallesTEMAS CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN
TEMAS 1-2-3 CUESTIOARIO DE AUTOEVALUACIÓ 2.1.- Al realzar los cálculos para obteer el Ídce de G se observa que: p 3 > q 3 y que p 4 >q 4 etoces: La prmera desgualdad es falsa y la seguda certa. La prmera
Más detallesSolución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2008
Solucó del exame de Ivestgacó Operatva de Sstemas de septembre de 008 Problema : (3 putos) E Vllafresca uca hace sol dos días segudos. S u día hace sol, hay las msmas probabldades de que el día sguete
Más detallesActividad: Elabora un resumen de la información que se muestra a continuación y analiza los procedimientos que se muestran.
Actvdad: Elabora u resume de la formacó que se muestra a cotuacó y aalza los procedmetos que se muestra. Fudametos matemátcos de la electróca dgtal Sstemas de umeracó poscoales E u sstema de esta clase,
Más detallesLos principales métodos para la selección y valoración de inversiones se agrupan en dos modalidades: métodos estáticos y métodos dinámicos
Dreccó Facera Pág Sergo Alejadro Herado Westerhede, Igeero e Orgazacó Idustral 5. INTRODUCCIÓN Los prcpales métodos para la seleccó y valoracó de versoes se agrupa e dos modaldades: métodos estátcos y
Más detallesSerie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el Presente.
Sere de radete (eométrco y rtmétco) y su Relacó co el resete. Certos proyectos de versó geera fluos de efectvo que crece o dsmuye ua certa catdad costate cada período. or eemplo, los gastos de matemeto
Más detallesTema 5: Equilibrio General Parte III OWC Economía para Matemáticos. Fernando Perera Tallo ttp://bit.ly/8l8ddu
y Tea 5: Equlbro Geeral Parte III OWC Ecooía para Mateátcos Ferado Perera Tallo ttp://bt.ly/8l8ddu Esteca de Equlbro Ferado Perera-Tallo A lo largo de esta presetacó os vaos a cocetrar e espacos Eucldos,
Más detalles