CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH

Transcripción

1 CRITERIO DE ESTABIIDAD DE ROUTH INGENIERÍA DE CONTRO.C. EIZABETH GPE. ARA HDZ.

2 INGENIERÍA DE CONTRO.C. EIZABETH GPE. ARA HDZ. Criterio e etili e Routh-Hurwitz El prolem má importte e lo item e otrol liel tiee que ver o l etili. U item e otrol e etle i y ólo i too lo polo e lzo erro e euetr e el emiplo izquiero el plo. Coieremo l iguiete fuió e trferei e lzo erro. ( ) ( ) ( ) ( ) A B R C m m m m E oe l y l o otte y m. Criterio e etili e Routh. El riterio e etili e Routh permite etermir l ti e polo e lzo erro que e euetr e el emiplo ereho el plo (ríe poitiv) i teer que ftorizr el poliomio. Ete riterio e etili ólo e pli lo poliomio o u ti fiit e térmio. Proeimieto e el riterio e etili e Routh:. Eri el poliomio e el eomior e l form iguiete: E oe lo oefiiete o tie rele. Supoemo que ; e eir e elimi ulquier ríz ero.. Si lguo e lo oefiiete e ero o egtivo te l preei e l meo u oefiiete poitivo hy u ríz o ríe imgiri o que tiee prte rele poitiv. E tl o el item o e etle. oiió eeri pero o ufiiete pr l etili e que too lo oefiiete e l euió eté preete y teg igo poitivo.. Si too lo oefiiete o poitivo oree lo oefiiete el poliomio e regloe y olum e uero o el ptró o rreglo iguiete: 6 g f e e o oefiiete et. e evlú el moo iguiete:

3 INGENIERÍA DE CONTRO.C. EIZABETH GPE. ARA HDZ. 6 evluió otiú ht que to l rette o ero. El riterio e etili e Routh- Hurwitz plte que el úmero e ríe e l euió o prte rele poitiv e igul l úmero e mio e igo e lo oefiiete e l primer olum el rreglo. oiió eeri y ufiiete pr que to l ríe e l euió e euetre e el emiplo izquiero el plo e que too lo oefiiete e l euió e poitivo y que too lo térmio e l primer olum el rreglo teg igo poitivo. Ejemplo Coiere el poliomio iguiete: o primero o regloe e otiee iretmete el poliomio o. El rreglo e oefiiete erí 6 Hy o mio e igo e lo oefiiete e l primer olum. Eto igifi que exite o ríe o prte rele poitiv. Oerve que el reulto o e moifi uo lo oefiiete e ulquier regló e multipli por o e ivie etre u úmero poitivo pr implifir el álulo.

4 Ejemplo Apliió el riterio e etili e Routh l álii e u item e otrol. Coiere el item e l figur. Determie el rgo e vlore e pr l etili. fuió e trferei e lzo erro e C R ( ) ( ) ( )( ) euió rteríti e El rreglo e oefiiete e ovierte e 9 Pr l etili ee er poitiv y too lo oefiiete e l primer olum ee e erlo tmié. 9 > > Por tto pr que el item e otrol e etle el rgo e erí Cuo 9 9 > > el Coefiiete e l primer olum e l fil e he ero eto igifi que exite ríe imgiri y el item e vuelve oiltorio y mtemátimete l oilió e mtiee e u mplitu otte. Se puee lulr l ríe imgiri oiero u poliomio uxilir el uál e otiee tomo lo oefiiete e l fil que e euetr rri oe e geeró el ero. euió erí ± 9 ±.86 j omo 9 INGENIERÍA DE CONTRO.C. EIZABETH GPE. ARA HDZ.

5 Co epeile Si el térmio e l primer olum e ulquier regló e ero pero lo térmio rette o o ero o o hy térmio rette el térmio ero e utituye o u úmero poitivo muy pequeño ε y e evlú el reto el rreglo. Ejemplo oiere l euió El rreglo e oefiiete e ε Si el igo el oefiiete que etá eim el ero ( ε ) e igul l igo que etá jo e él quiere eir que hy u pr e ríe imgiri. Ejemplo Si too lo oefiiete e ulquier regló o ero igifi que exite ríe o mgitue igule y igo opueto y/o o ríe imgiri ojug. E ete o l evluió el reto el rreglo otiú meite l formió e u poliomio uxilir o lo oefiiete el último regló y meite el empleo e lo oefiiete e l eriv e ete poliomio e el regló iguiete. Tle ríe e euetr epejo el poliomio uxilir que iempre e pr. Pr u poliomio uxilir e gro exite pre e ríe igule y opuet. Por ejemplo oiere l euió: El rreglo e oefiiete e 8 8 Poliomio uxilir P Regló ero ( ) Too lo térmio el regló oefiiete el regló o ero. Depué e form el poliomio uxilir prtir e lo P e El poliomio uxilir ( ) P ( ) 8 lo ul ii que hy o pre e ríe e igul mgitu y igo opueto. Eto pre e otiee reolvieo l euió el poliomio uxilir ( ) P o repeto e P. eriv e ( ) ( ) P 8 96 INGENIERÍA DE CONTRO.C. EIZABETH GPE. ARA HDZ.

6 o oefiiete e l últim euió utituye lo térmio el regló el rreglo. Por oiguiete el rreglo e oefiiete e ovierte e ( ) P Coefiiete e No exite mio e igo e l primer olum o hy ríe o prte rel poitiv i emrgo i hy ríe imgiri. Depejo l ríe el poliomio uxilir Oteemo P ( ) 8 ± j.86 ± j.6 INGENIERÍA DE CONTRO 6.C. EIZABETH GPE. ARA HDZ.

7 Ejemplo Determie el rgo e vlore e pr l etili. euió rteríti e El rreglo e oefiiete e ovierte e ( ) Pr l etili ee er poitiv y too lo oefiiete e l primer olum ee e erlo tmié. > > < 6 Por tto pr que el item e otrol e etle el rgo e erí < < 6 Cuo 6 el item e vuelve oiltorio y mtemátimete l oilió e mtiee e u mplitu otte. INGENIERÍA DE CONTRO.C. EIZABETH GPE. ARA HDZ.

8 Ejemplo 6 Determie l etili pr iguiete item euió rteríti e El rreglo e oefiiete e ovierte e ε 6 ε ε ε 6 ε 6 Como el igo rri y jo e ε o iferete exite o mio e igo e lo oefiiete e l primer olum hy o ríe o prte rel poitiv el item e ietle INGENIERÍA DE CONTRO 8.C. EIZABETH GPE. ARA HDZ.

9 Ejemplo Determie l etili pr iguiete item euió rteríti e El rreglo e oefiiete e Poliomio uxilir P( ) Too lo térmio el regló oefiiete el regló o ero. Etoe e form el poliomio uxilir prtir e lo El poliomio uxilir P( ) P e ( ) 6 lo ul ii que hy o ríe e igul mgitu y igo opueto. eriv e P ( ) o repeto e ( ) P o oefiiete el regló e l euió e utituye por el poliomio etermio. Por oiguiete el rreglo e oefiiete e ovierte e ( ) P Coefiiete e Exite o mio e igo e l primer olum hy o ríe o prte rel poitiv. Pero tmié exite ríe imgiri por el ero que e formó e el regló Depejo l ríe el poliomio uxilir P ( ) 6 Oteemo l o ríe imgiri ± j. INGENIERÍA DE CONTRO 9.C. EIZABETH GPE. ARA HDZ.

10 Prolem De l iguiete euioe rteríti etermie l etili el item (o ) 6. INGENIERÍA DE CONTRO.C. EIZABETH GPE. ARA HDZ.