Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 5: Redes múltiples en régimen permanente

Transcripción

1 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete -..- oeptos geerles er e iruitos rees elétris -..- Métoos e soluió e rees Métoo e superposiió Métoo e ls itesies e orriete e mll Métoo e ls tesioes e riterios pr resoluió e rees -..- Operioes o mtries -..- oeptos geerles er e iruitos rees elétris ese el puto e vist teório se osier iruito elétrio too ojuto e uetes e eergí elétri ieles ( e tesió o orriete ) uis meite oexioes ieles u ojuto e elemetos ieles ( resistei iuti pi ) e moo tl que se estle u o lujo e eergí e uió el tiempo.si iho lujo e eergí es ostte se ie que el iruito elétrio uio e régime permete. l práti los iruitos elétrios uio por itervlos reuios e regímees trsitorios ( oexió esoexió omutió ) l mor prte el tiempo e regímees permetes.puee eirse que el uiomieto e régime trsitorio es el exo etre os regímees permetes rterios por ieretes lujos e potei. los ies el álisis álulo result útil represetr gráimete los iruitos elétrios meite u esquem e oexioes porque ello ilit el plteo e ls euioes eesris pr resolverlos.to represetió grái e u iruito elétrio otiee los siguietes elemetos :.- oexioes o líes e tro otiuo ( si vlor elétrio ) que viul etre sí elemetos e iruitos.- rms o trmos e iruito reorrios por u etermi itesi e orriete elétri que otiee omo míimo u elemeto tivo ( uete e eergí ) o psivo ( reeptor e eergí ).- s o putos e uió e ls rms e u iruito elétrio. iruito elétrio está ompletmete esripto vle eir resuelto uo se ooe ls itesies e orriete e u e ls rms que oorm el iruito o ie tos ls tesioes etre pres e uos el iruito. eeto :.- ooi l itesi e orriete e u rm que etermi l tesió etre los s uios e los extremos e ést. Se l itesi e orriete e u rm que otiee u uete iel e tesió u impei ui etre los s e u o iruito.plio l le e ls mlls e Kirhho puee esriirse e oe :.- ooi l tesió etre los s e u o iruito elétrio que etermi l itesi e orriete e l rm que los viul. Supoieo que e geerl l rm posee u uete iel e tesió u impei e l pliió e l le e mlls e Kirhho result : Pági e

2 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete ese el puto e vist mtemátio pr resolver u o iruito elétrio será eesrio plter u ojuto e euioes iepeietes que utilie omo vrile ls itesies e orriete e rm o ls tesioes etre pres e s.too iruito elétrio puee ser visto omo u re e rms que viul los s el iruito.sí osiero too iruito elétrio puee represetrse meite u gráio e re uo álisis permite euir el úmero e euioes iepeietes que se requiere e uero l vrile elegi pr resolverlo. e uero lo visto e l i e se los oeptos e árol e l re ojuto e rms e ele result : o u árol ulquier perteeiete u re elétri ls itesies e orriete e u e ls rms que perteee iho árol epeerá e ls itesies e orriete e ls rms e ele e l re orrespoietes l árol seleioo. o u árol ulquier perteeiete u re elétri ls itesies e orriete e u e ls rms que perteee l re epeerá el poteil e uo e los s orrespoietes l árol seleioo. oseuei pr resolver u o iruito elétrio puee proeerse e os mers :.- plter u sistem e N euioes iepeietes us vriles so ls N itesies e orriete e ls rms e ele elegis..- plter u sistem e N euioes iepeietes us vriles so ls N tesioes e s e ls rms el árol elegio ( se exlue el osiero poteil ero o reerio ms ). l riterio seguir osiste siempre e utilir el meor úmero e euioes posile sí que uo N < N se utilirá omo vriles ls orrietes e ele uo N > N ls vriles será ls tesioes e s. ee teerse e uet que ulquier rm e u o iruito elétrio puee osierrse omo perteeiete l ojuto árol o l ojuto e eles vle eir que prtir e u represetió grái puee oteerse vrios esquems e árol oseuetemete ieretes ojutos e rms e ele. moo e ejemplo osieremos el siguiete gráio que represet u iruito elétrio ulquier ( o se h represeto los elemetos tivos psivos e rm ) oe toos los segmetos so rms toos los putos e iterseió e tres o más segmetos so s.result : NR rms NN s N rms N rms Pági e

3 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete árol posile pr el iruito o es el siguiete ( se h tro o mor grosor ls rms iluís e el árol osiero ) : Otro árol posile pr el iruito o es el siguiete : ompro los os esquems e árol tros result eviete que lgus rms orm prte el ojuto árol e uo e los esquems el ojuto e eles e el otro. re puee ser iterpret omo u ojuto e los que sólo posee u sol rm e omú o los emás los e l re.los los que verii ést oiió se eomi mlls. Pr resolver u re elétri ( iruito que posee tres o más s ) se ést simple ( u sol rm tiv ) o múltiple ( más e u rm tiv ) existe ásimete tres métoos :.- métoo e ls itesies e orriete e mll.- métoo e ls tesioes etre pres e s.- métoo e superposiió Por otr prte uo sólo es eesrio lir u o os rms e u re elétri ( simple o múltiple ) existe métoos e álulo más seillos que los meioos e el párro terior que reie l eomiió geerl e teorems e iruitos so trtos e l i Pági e

4 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete -..- Métoos e soluió e rees Métoo e superposiió u re múltiple el métoo e superposiió osiste e reemplr l re por u ojuto e rees simples ( tts omo rms tivs teg l re múltiple ) oteis psivo ( es eir reemplo ls uetes e tesió por u ortoiruito iel ls uetes e orriete por u iruito ierto respetivmete ) tos ls rms tivs meos l elegi pr l re simple osierr. Se resuelve luego por sepro tos ls rees simples sí oteis etermio ls itesies e orriete e u e sus rms. Por último se otiee l soluió e l re múltiple lulo l itesi e orriete e u e sus rms omo sum lgeri e ls itesies oteis pr l rm osier l resolver u e ls rees simples. eetos e ompreer el métoo se propoe l resoluió el siguiete iruito que es el tipo re múltiple posee utro s ( ) seis rms : [ V ] ; º [ V ] ; [ V ] º º j [ Ω ] º [ Ω ] ; j [ Ω ] º [ Ω ] l siguiete igur se muestr el iruito luego e psivr ls uetes e tesió operió que lo ovierte e l re simple mostr otiuió : Pági e

5 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete Ls impeis está oets e estrell l.plio l trsormió e Keell se reempl l oexió estrell por u oexió triágulo equivlete orm por tres impeis e vlor : x [ Ω ] [ Ω ] º j l iruito limeto por l uete e tesió que overtio luego e l trsormió estrell-triágulo e el que se muestr otiuió : L impei equivlete viee por : x x º x º j º x x l iruito se trsorm etoes e el siguiete : º [ Ω ] L itesi e orriete viee por : º º º x º º x j j j º x º º º [ ] j [ ] j j º L tesió etre los s - se lul hieo : x º x º º x Pági e [ V ]

6 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete omo l impei etre los s - - tiee el mismo vlor se verii : etoes : º º º [ ] j [ ] º º º [ ] j [ ] luls ls itesies e orriete e se otiee plio l le e s e Kirhho l tl omo se muestr otiuió : ( j ) ( j ) j [ ] Si se osier el reerio tierr ( poteil igul [ V ] ) el tiee u poteil e [ V ] L í e tesió sore l impei viee por : [ ] x [ ] [ V ].l poteil el result igul : [ V ].Por otr prte l í e tesió e l impei viee por : [ ] x [ ] [ V ]. oseuei el poteil el result igul : [ V ].sto sigii que o h ierei e poteil etre los s resulto ul por otr prte Ls itesies e orriete e u e ls rms e l re simple limet por l uete e tesió vle : j j [ ] [ ] ; j [ ] ; [ ] ; j [ ] ; j [ ] Osérvese que el iruito o omo ejemplo posee seis rms ( N R ) utro s ( N N ) resulto sí tres rms e ele ( N - ). oseuei etermis tres itesies e orriete ls tres resttes so uió e quélls. l siguiete igur se muestr el iruito luego e psivr ls uetes e tesió operió que lo ovierte e u uev re simple mostr e l siguiete igur. Ls impeis está oets e estrell l.plio l trsormió e Keell se reempl l oexió estrell por u oexió triágulo equivlete orm por tres impeis e vlor : Pági e

7 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete [ Ω ] [ Ω ] x º j l iruito limeto por l uete e tesió que overtio luego e l trsormió estrell-triágulo e el que se muestr otiuió : L impei equivlete viee por : x x x x º x º j º º [ Ω ] l iruito se trsorm etoes e el siguiete : L itesi e orriete viee por : º º º x º º x j j j º x º º º [ ] j [ ] j j º L tesió etre los s - se lul hieo : x º x º º x [ V ] Pági e

8 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete omo l impei etre los s - - tiee el mismo vlor se verii : etoes : º º º [ ] j [ ] º º º [ ] j [ ] luls ls itesies e orriete ; e se otiee ls resttes plio suesivmete l le e s e Kirhho los s tl omo se muestr otiuió : ( j ) ( j ) j [ ] ( j ) ( j ) j [ ] ( j ) ( j ) j [ ] éste so h resulto igulos los poteiles e los s e oseuei Por último se ee osierr l re simple que se otiee luego e psivr ls uetes e tesió operió que result e el iruito mostro e l siguiete igur. Ls impeis está oets e estrell l.plio l trsormió e Keell se reempl l oexió estrell por u oexió triágulo equivlete orm por tres impeis e vlor : x [ Ω ] [ Ω ] º j l iruito limeto por l uete e tesió que overtio luego e l trsormió estrell-triágulo e el que se muestr otiuió : Pági e

9 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete L impei equivlete x x x x viee por : º x º j º º [ Ω ] l iruito se trsorm etoes e el siguiete : L itesi e orriete viee por : º º º x º º x j j j º x º º º j j j º L tesió etre los s - se lul hieo : Pági e [ ] [ ] x º x º º x omo l impei etre los s - - tiee el mismo vlor se verii : etoes : [ V ]

10 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete º º º [ ] j [ ] º º º [ ] j [ ] luls ls itesies e orriete se otiee ls resttes plio suesivmete l le e s e Kirhho los s tl omo se muestr otiuió : ( j ) ( j ) j [ ] ( j ) ( j ) j [ ] ( j ) ( j ) j [ ] éste so h resulto igulos los poteiles e los s e oseuei plio el métoo e superposiió se otiee ls itesies e orriete e rm el iruito o sumo lgerimete los vlores orrespoietes oteios l resolver u e ls rees simples osiers. ls rms oets l se osier positivs ls itesies e orriete etrtes egtivs ls slietes. j ( j ) ( j ) ( ) [ ] º [ ] j j ( j ) ( j ) ( ) [ ] º [ ] j j ( j ) ( j ) ( ) [ ] º [ ] j j ( j ) ( j ) ( ) [ ] º [ ] j j ( j ) ( j ) ( ) [ ] º [ ] j j ( j ) ( j ) ( ) [ ] º [ ] j Pági e

11 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete l iruito o omo ejemplo está ormo por u uete triási e tesió lter seoil equilir simétri que limet u rg equlir oet e estrell.l ter e itesies e orriete e ls rms tivs ( itesies e orriete e se ) oigur u sistem triásio equiliro simétrio retrss respeto e ls tesioes e u águlo igul l rgumeto e l impei equivlete oet rm tiv ( º ); e eeto : [ V ] ; º [ V ] ; [ V ] º º º [ ] ; º [ ] ; º [ ] L ter e itesies e orriete e ls rms psivs ( itesies e orriete e líe ) oigur u sistem triásio equiliro simétrio retrss º e ls itesies e orriete e se lo que ii que toos los sistems triásios el iruito osiero so e seuei iret. º [ ] ; º [ ] ; º [ ] Ls pequeñs iereis uméris se ee los errores e reoeo umulos e los álulos preeetes Métoo e ls itesies e orriete e mll To re puee iterpretrse omo u ojuto e mlls etrels pr resolverl puee lulrse ls itesies e orriete e mll por sepro pr luego superpoerls oteer sí ls itesies e orriete e u e ls rms e l re osier. o que u mll es u lo si se re se ul l itesi e orriete e mll orrespoiete.si se re tos ls mlls e u re se ul ls itesies e orriete e tos ls rms e ést e orm similr lo que ourre uo se re tos ls rms e ele oteis prtir e seleior u árol perteeiete l re osier. Se eue e oseuei que el úmero e mlls e u re es igul l úmero e rms e ele orrespoiete o por : N N R - N N Pr euir el métoo e ls itesies e orriete e mll utilimos el iruito mostro otiuió e el ul se supoe oois ls itesies e orriete e u e sus rms.se trt e u re múltiple que posee seis s ( N N ) ueve rms ( N R ) resulto etoes utro rms e ele ( N ) osiero el árol mostro e l igur ls rms e ele sus itesies e orriete so ls iis otiuió : rm - ( ) ; rm - ( ) ; rm - ( k ) ; rm - ( ) Pági e

12 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete L re osier puee osierrse omo el resulto e etrelr utro mlls siguietes : mll # : lo -- ; mll # : lo --- ; mll # : lo -- ; mll # : lo - L mll # tiee e omú o l mll # l rm - o l mll # l rm - igu rm omprti o l mll #. L mll # tiee e omú o l mll # l rm - o l mll # l rm - o l mll # l rm -. L mll # tiee e omú o l mll # l rm - o l mll # l rm - igu rm omprti o l mll #. L mll # o omprte rms o ls mlls # # tiee l rm - e omú o l mll #. Ls impeis perteeietes ls rms omprtis por ls mlls reie el omre e impei e trserei ( o trsimpei ) se ls simoli o l otió i j oe el suíie i j ii el úmero e ls mlls que omprte l rm osier.reuérese que sólo puee existir u rm e omú etre ulquier pr e mlls e l re e oseuei se verii l siguiete igul : i j j i sieo i j Si se pli l le e los e Kirhho ls mlls # # # # reorriéols e setio horrio se otiee el siguiete ojuto e euioes : mll # : mll #: h g e Pági e

13 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete Pági e # : mll e # : mll h k Pr que el sistem e euioes oteio pue resolverse es eesrio reuir el úmero e vriles itesi e orriete sólo utro que ee ser ls orrespoietes ls rms e ele ( k ).plio l le e s e Kirhho se otiee : : ; : ; k h : e : k k h k g : Reemplo ls itesies e orriete e g h oteis por pliió e l le e s e el sistem e euioes e tesió e ls mlls # # # # oteemos : #: mll # : mll k # : mll # : mll k k Reoreo térmios se otiee ls euioes e tesió e mlls e uió e ls itesies e orriete e ls rms e ele que orrespoe l árol seleioo e l re.l sistem e euioes que resuelve el iruito elétrio o tom l orm : : # k mll # : mll k : # k mll : # mll k Se puee oteer el sistem e euioes e resoluió el iruito o supoieo u itesi e orriete e mll que irule e setio horrio o tihorrio.no es eesrio que el setio e irulió e orriete se el mismo e tos ls mlls pero pr poer plir el métoo e itesies e orriete e mll e orm sistemáti osiero que ls impeis e trserei está multiplis por result eesrio que el setio e irulió e orriete e tos ls mlls se el mismo ( horrio o tihorrio ) l siguiete igur se muestr el iruito o omo ejemplo iio ls itesies e orriete e mll hieo opto el setio horrio e irulió e tos ls mlls.

14 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete Pági e l sistem e euioes e tesió e mlls que se otiee plio l le e los e Kirhho osiero ls itesies e orriete e mll opts es el siguiete : : # mll # : mll : # mll : # mll Nótese que l plir l le e los e Kirhho u mll se osier positiv l itesi e orriete e ih mll egtivs ls itesies e orriete e ls mlls etes.sto es oseuei e her opto u setio úio ( horrio o tihorrio ) e irulió e orriete pr tos ls mlls osiers. Reemplo ls itesies e orriete e mll por ls itesies e orriete e ls rms e ele e uero ls siguietes expresioes ( ee teerse e uet que uo l itesi e orriete e mll irul e setio opuesto l uete e tesió e u rm tiv omo suee e l rm - el iruito o omo ejemplo el setio e l itesi e orriete e ih rm será opuesto l e l orriete e mll orrespoiete ) : k ; ; ; se verii que el sistem e euioes oe ls vriles so ls itesies e orriete e mll es igul l sistem e euioes que resuelve el iruito o utilio omo vriles itesies e orriete e rms e ele.ee teerse e uet que to mll otiee l meos u rm e ele ulquier se el árol e l re li que se elij pr resolverl. l sistem e euioes e mlls puee resolverse plio ulquier e los métoos umérios ooios ( igulió sustituió sums rests o etermites ) pero es más útil expresrlo e térmios e mtries. L soluió geerl por el métoo e mlls e u re se expres utilio mtries e l siguiete orm :

15 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete Pági e m oe es el úmero e mlls elegio pr l re osier; es el vetor ( o mtri e u sol olum ) e tesioes e mll ( orrespoietes l sum e ls tesioes e tos ls uetes perteeietes l mll osier ); m es l mtri e impei e mlls e l re osier ( se rteri por ser u mtri ur vle eir o igul úmero e ils que e olums ) es el vetor e itesies e orriete e mll. Pr el iruito o omo ejemplo l euió mtriil el sistem e euioes e mll tom l orm : Los sigos egtivos que et ls impeis e trserei so válios sólo si tos ls mlls so reorris e el mismo setio ( horrio o tihorrio ). Multiplio l mtri impei e mlls por el vetor orrietes e mlls ( ver ítem -..- sore operioes o mtries ) oteemos el siguiete sistem e euioes : Teieo e uet ls mlls osiers pr el iruito o omo ejemplo reorriéols e setio horrio so vális ls siguietes igules : ; ; ; ; ; ; Ls impeis j i oe i j se eomi impeis e mll o utoimpeis. ; ; ; ; ;

16 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete Pági e Reemplo vlores e el sistem e euioes oteio por pliió e l euió mtriil el métoo e itesies e orriete e mll e se ls igules teriores se otiee el sistem e euioes que resuelve el iruito o omo ejemplo; e eeto : : # mll # : mll : # mll : # mll l álulo e ls orrietes e mll prtieo e l euió mtriil por : m se reli multiplio mos miemros e l igul por l ivers e l mtri e impeis ( ver ítem -..- sore operioes o mtries ) vle eir : m Resumieo pr plir el métoo e itesies e orrietes e mll pr resolver u re ( simple o múltiple ) se ee proeer e l siguiete mer :.- etermir el úmero e rms e ele e l re ( N N R N N ).- elegir u úmero e mlls igul l úmero e rms e ele oteio e el pso terior.- estleer u setio úio ( horrio o tihorrio ) pr reorrer ls mlls.- etermir l mtri e impeis e mll.st mtri es siempre ur simétri respeto e su igol priipl.ls impeis e l igol priipl so ls impeis e mll o utoimpeis. Los emás elemetos e l mtri impeis so ls impeis e trserei o trsimpeis multiplis por -. e.- etermir el vetor e tesioes e mll.ls tesioes e polri opuest l setio elegio pr reorrer l mll osier se multipli por..- esriir ls euioes e resoluió e l re esrrollo l expresió geerl m g.- hllr el vetor e itesies e orriete e mll resolvieo l euió geerl : m Vemos l pliió el métoo iio osiero lguos ejemplos.se l re mostr e l igur.

17 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete.- l re e l igur posee rms uos e oseuei : N N R N N.- e l igur se h iio o los úmeros romos ls N mlls elegis.- ls mlls será reorris e setio horrio.- los elemetos e l mtri e impeis so : ( mll ) ( mll ) ( mll ) ( mll ) ( mll ) ( mll ) ( mll ) ( mll ) ( mll ) e.- el vetor e tesioes e mll viee o por : ( mll ) ( mll ) ( mll ).- ls euioes e resoluió e l re represet e l igur viee s por : uo esrrollo permite esriir el siguiete sistem e euioes : Pági e [ ] [ ] [ ]

18 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete Osérvese que espejo e l euió [ ] reempláolo e l euió [ ] el sistem que reuio os euioes o os iógits u e ls ules está igul ero ( l [ ] moii ) lo que permitirá espejr u e ls iógits ( o ) i e reemplrl e l euió [ ] reuieo ést u sol iógit uo álulo permite etermir ls os resttes. Puee omprrse el gro e iiult e éste proeimieto o el más geerl iio e ítem g querá lro por qué es oveiete siempre expliitr ls euioes e resoluió. g.- pr oteer ls orrietes e mll se ee resolver l euió geerl por : m L mtri ivers e l mtri impeis viee por ( ver péie sore operioes o mtries ) : expresió geerl e l ivers e l mtri e impeis e mll que teieo e uet los vlores etermios e el ítem ( ) se reue : Multiplio l ivers e l mtri e impeis simplii por el vetor e tesioes etermio e el ítem e se otiee ls expresioes e álulo e ls itesies e orriete e mll : Pági e

19 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete e señlr que ls euioes e ls itesies e orriete e mll se puee oteer si lulr l ivers e l mtri e impeis plio l regl e rámer sustitueo suesivmete ls olums e l mtri impei por el vetor tesió tl omo se muestr otiuió : pr lulr se reempl l primer olum e l mtri impei por el vetor tesió se ivie l mtri resultte por el etermite e l mtri impei.l umeror e l euió se otiee omo sum e los proutos e uo e los elemetos el vetor tesió por el etermite e l mtri que result l elimir l il l olum l que perteee el elemeto el vetor tesió osiero. pr lulr se reempl l segu olum e l mtri impei por el vetor tesió se ivie l mtri resultte por el etermite e l mtri impei.l umeror e l euió se otiee omo sum e los proutos ( mios e sigo ) e uo e los elemetos el vetor tesió por el etermite e l mtri que result l elimir l il l olum l que perteee el elemeto el vetor tesió osiero. pr lulr se reempl l terer olum e l mtri impei por el vetor tesió se ivie l mtri resultte por el etermite e l mtri impei.l umeror e l euió se otiee omo sum e los Pági e

20 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete Pági e proutos e uo e los elemetos el vetor tesió por el etermite e l mtri que result l elimir l il l olum l que perteee el elemeto el vetor tesió osiero. omo regl geerl pr reuir el trjo e álulo umério l pliió e l regl e rámer simplii l resoluió e l euió geerl mtriil m pero siempre ee lirse previmete el sistem e euioes que se otiee prtir e l euió m que e muhos sos es posile meite operioes lgeris reuir el ore ( úmero e euioes ) el mismo. osieremos por último otro ejemplo e pliió el métoo e orrietes e mll l re represet e l igur..- el úmero e rms e ele vle N N R N N.- e l igur se h iio o los úmeros ls N mlls elegis.- ls mlls será reorris e setio tihorrio.- los elemetos e l mtri e impeis so :

21 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete ( mll ) ( mll ) ( mll ) ( mll ) ( mll ) ( mll ) ( mll ) ( mll ) ( mll ) e.- el vetor e tesioes e mll viee o por : ( mll ) ( mll ) ( mll ).- ls euioes e resoluió e l re represet e l igur viee s por : uo esrrollo permite esriir el siguiete sistem e euioes : l álulo e ls itesies e orriete e mll ee hor resolverse meite ulquier e los métoos ooios si ie el uso e l regl e rámer preier ser el más euo e éste so Métoo e ls tesioes e l métoo e ls orrietes e mll está so e l le e mlls e Kirhho el métoo e ls tesioes e s e l le e los s e Kirhho.l úmero e euioes eesris pr resolver u o iruito es igul l úmero e rms e u árol que pertee l mismo viee o por el úmero e s meos l ui. omo ejemplo osieremos el iruito utilio pr euir el métoo e itesies e orriete e mlls oe se supoe oois ls itesies e orriete e tos sus rms. Pr lir el iruito o omo ejemplo se elige el árol mostro e l igur. ritrrimete se elige el omo reerei pr estleer los poteiles o tesioes e los resttes s el árol respeto l e reerei.l poteil el se osier igul ero ( e otrs plrs el se supoe oeto tierr ). Pági e

22 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete plio suesivmete l le e s e Kirhho los s se otiee ls siguietes expresioes : ; e g ; ; h k h k Pr ilitr el álisis el iruito e se ls tesioes e es oveiete reemplr ls uetes reles e tesió uis e ls rms por uetes reles e itesi e orriete tl omo se muestr e el siguiete esquem : Pági e

23 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete Pági e Ls expresioes oteis por pliió e l le e s e Kirhho puee esriirse e l siguiete mer ; g e ; k h ; g k h esrrollo ls expresioes oteis pr uo e los s osiero que el setio e irulió e orriete e rm psiv es ese el mor poteil hi el meor poteil result : ls expresioes teriores tos ls iereis e poteil ee expresrse e relió l elegio omo e reerei e se ls siguietes igules oteis plio l le e los e Kirhhoo : ; ; ; Reemplo e ls expresioes oteis por pliió e l le e s e Kirhho e orm que tos ls tesioes e esté reeris l oteemos : Oreo térmios ls expresioes teriores puee esriirse ( se omite el suíie l iir ls tesioes porque l ser [ V ] el vlor e tesió e es soluto o u ierei reltiv ) : l reesriir ls euioes e se h tomo positivs ls itesies e orriete e ls uetes ieles si etr l osiero egtivs e so otrio.tmié se h ompleto u e ls euioes e moo que esté represets tos ls tesioes e ( exepto el e reerei ) grego térmios ulos.

24 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete l sistem e euioes oteio permite lulr ls tesioes e los s osiero el poteil ero luego etermir ls itesies e orriete e tos ls rms el iruito o omo ejemplo. l sistem e euioes e tesioes e que resuelve el iruito o omo ejemplo se puee esriir e orm más geerl reemplo l letr que ietii por u úmero ( sigo el ero l tomo omo reerei ) tl omo se muestr otiuió : tilio el álger e mtries l expresió geerl e l soluió e u re por el métoo e ls tesioes e s result : m oe es el úmero e s elegio pr l re osier ; es el vetor e orrietes e ( orrespoietes l sum e ls orrietes e tos ls rms tivs oets l osiero.se osier positiv l orriete etrte egtiv l sliete ); es l mtri e miti e s e l re osier ( se rteri por ser u mtri urvle eir o igul úmero e ils que e olums simétri respeto e l igol priipl ) es el vetor e tesioes e respeto el e reerei ( puesto tierr ). Los elemetos e l mtri miti uios e l igol priipl i j ; oe i j se eomi miti e o utomiti se otiee sumo ls mitis e u e ls rms oets l osiero. Los resttes elemetos e l mtri miti i j ; oe i j se eomi miti e trserei o trsmiti se otiee sumo ls mitis e ls rms que oet el osiero o uo e los s etes e pres. Puesto que por eiiió sólo h u rm el árol elegio pr el iruito osiero etre pr e s ls mitis e trserei etre s etes tiee el mismo vlor.tégse e uet que u o iruito puee presetr más e u rm etre el mismo pr e s pero omo se trt e rms e prlelo siempre se ls puee reemplr por u úi rm equivlete. Ls mitis e trserei siempre ee multiplirse por. l álulo e ls tesioes e s prtieo e l euió mtriil se reli multiplio mos miemros e l igul por l ivers e l mtri e mitis (ver ítem -..- sore operioes o mtries ) vle eir : Pági e

25 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete m e uero l sistem e euioes que resulte ] tl omo se isutió l osierr el métoo e itesies e orrietes e mll se eerá elegir el métoo umério ( igulió sustituió sums rests etermites o álulo e l ivers e l mtri e miti ) que resulte más seillo. Resumieo pr plir el métoo e tesioes e s pr resolver u re ( simple o múltiple ) se ee proeer e l siguiete mer :.- etermir el úmero e rms el árol e l re ( N N N - ).- elegir u úmero e s igul l úmero e rms el árol oteio e el pso terior l restte osierrlo e reerei ( puesto poteil e tierr ).- etermir l mtri e mitis e e.- etermir el vetor e orrietes e ( pr ello es oveiete reemplr ls uetes reles e tesió por sus equivletes e orriete ).- esriir ls euioes e resoluió e l re esrrollo l expresió geerl m g.- hllr el vetor e tesioes e resolvieo l euió geerl : m Vemos l pliió el métoo iio osiero lguos ejemplos.se l re mostr e l igur..- el úmero e rms el árol pr el iruito represeto e l igur vle : N N N.- l iruito represeto e l igur posee utro s ietiios o ls letrs.se elige el omo reerei ( se lo oet tierr ) los poteiles e los s resttes ( ) se lul orespeto éste.- los elemetos e l mtri e mitis e s so : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pági e

26 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete Pági e.- el vetor e orrietes e viee o por :.- ls euioes e resoluió el iruito represeto e l igur se otiee esrrollo l expresió geerl mtriil l multiplir l mtri mitis e por el vetor e tesioes e s respeto el e reerei ( ver ítem -..- sore operioes o mtries ) se otiee el siguiete sistem e euioes e resoluió por el métoo e tesioes e s : L soluió el sistem e euioes puee oteerse plio ulquier e los métoos umérios ooios. osieremos por último otro ejemplo e pliió el métoo e tesioes etre pres e s l re represet e l igur.

27 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete Pági e.- el úmero e rms el árol pr el iruito represeto e l igur vle : N N N.- l iruito represeto e l igur posee utro s ietiios o ls letrs.se elige el o omo reerei ( se lo oet tierr ) los poteiles e los s resttes ( ) se lul o respeto éste.- los elemetos e l mtri e mitis e s so : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).- el vetor e orrietes e viee o por :.- ls euioes e resoluió el iruito represeto e l igur se otiee esrrollo l expresió geerl mtriil : l multiplir l mtri mitis e por el vetor e tesioes e s respeto el e reerei ( ver ítem -..- sore operioes o mtries ) se otiee el siguiete sistem e euioes e resoluió por el métoo e tesioes e s : u soluió se otiee plio ulquier e los métoos umérios ooios.

28 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete riterios pr resoluió e rees Pr resolver u o iruito elétrio e régime permete puee proeerse e os mers :.- plter u sistem e N euioes iepeietes us vriles so ls N itesies e orriete e ls rms e ele elegis..- plter u sistem e N euioes iepeietes us vriles so ls N tesioes e s e ls rms el árol elegio ( se exlue el osiero poteil ero o reerio ms ). l riterio seguir osiste siempre e utilir el meor úmero e euioes posile sí que uo N < N se utilirá omo vriles ls orrietes e ele plio el métoo e itesies e orriete e mll uo N > N ls vriles será ls tesioes e s pliáose el métoo e tesioes e s. uo se emple el métoo e itesies e orriete e mll es oveiete que tos ls rms tivs oteg uetes reles e tesió.por el otrrio uo se pli el métoo e tesioes e s es útil que tos ls rms tivs oteg uetes reles e orriete. los sos que N N se plirá el métoo e itesies e orriete e mll si e ls rms tivs e l re osier preomi ls uetes reles e tesió.si e mio h mor úmero e rms tivs o uetes reles e orriete se plirá el métoo e tesioes e s Operioes o mtries oeptos ásios Se eie omo mtri too ojuto e úmeros oreo segú ils olums. uo e ihos úmeros se eomi elemeto e l mtri. mtri puee ormrse o ulquier tipo e úmeros ( eteros reles omplejos et ). los ejemplos que se otiuió sólo se utili úmeros eteros pr mor lri. l úmero e olums etermi el ore e u mtri el prouto el úmero e ils multiplio por el úmero e olums el úmero totl e elemetos e l mtri.vemos los siguietes ejemplos : se trt e u mtri e ore ( eomi vetor ) e ils que otiee elemetos se trt e u mtri e ore ( el tipo retgulr ) e ils elemetos se trt e u mtri e ore ( el tipo ur ) e ils ueve elemetos Pági e

29 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete Los elemetos ( úmeros ) e u mtri se ii e orm geerl : ij oe i es el úmero e l il j el úmero e l olum oe está uio el elemeto. Pr que os mtries [ ] [ ] se igules es eesrio que se el mismo ore teg l mism ti e elemetos emás se veriique que : [ ij ] [ ij ] sieo elemetos perteeietes u e ls mtries. u mtri ur e ils olums se eomi igol priipl l ojuto e elemetos uios segú u líe tr ese el elemeto hst el ( pr l mtri ur omo ejemplo los elemetos e l igol priipl so : ).Por otr prte se eomi igol seuri l ojuto e elemetos uios segú u líe tr ese el elemeto hst el ( pr l mtri ur omo ejemplo los elemetos e l igol seuri so : ). To mtri ur uos úios elemetos istitos e ero perteee l igol priipl se eomi mtri igol. L mtri igol uos elemetos so igules l ui se eomi mtri ui [ ].L siguiete es u mtri ui e ore : u mtri ur ulquier [ ]. se eomi mtri trspuest [ ] e quéll l que verii l siguiete oiió : [ ij ] [ ji ] ( vle eir que los elemetos e l il i e l mtri [ ] so igules los elemetos e l olum i e l mtri [ ] ).Por ejemplo : [ ] tiee omo trspuest [ ] Prouto e u úmero por u mtri L operió N x [ ] oe N es u úmero ulquier [ ] u mtri ulquier por resulto u mtri [ ] tl que : ij N x ij.por ejemplo : [ ] Prouto e u mtri ur por u vetor ( o mtri olum ) u mtri ur [ ] e ore u vetor [ ] e ils el prouto [ ] x [ ] por resulto u vetor [ ] e ils uos elemetos viee os por :.. Pági e

30 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete.. m. Vle eir que el elemeto e l il i el vetor prouto [ ] se otiee omo sum e ls proutos ( elemeto elemeto ) e los elemetos e l il i e l mtri [ ] por los elemetos el vetor [ ].Vemos el siguiete ejemplo : [ ][ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) álulo el etermite e u mtri ur l etermite ( ) e u mtri ur e ore viee o por : osiérese el siguiete ejemplo : [ ] [ ] ( ) l etermite ( ) e u mtri ur e ore viee o por : [ ] ( ) ( ) ( ) osieremos el siguiete ejemplo : [ ] [ ( ) ] ( )[ ( ) ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) Pági e

31 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete álulo e l ivers e u mtri ur u mtri ur ulquier [ ] l mtri ivers e ést [ ] - es quéll que verii l siguiete igul : [ ][ ] [ ] [ ] [ ] l prouto e u mtri por su ivers es omuttivo su resulto es igul l mtri ui. Se [ ] u mtri ur e ore su ivers [ ] - viee por : [ ] ( ) ( ) ( ) Osérvese que l ivers e u mtri ur e ore se otiee multiplio l ivers e su etermite por l mtri que result e trspoer los elemetos e l igol priipl e l mtri mir e sigo los elemetos e l igol seuri ( eomi mtri otor trspuest ). omo ejemplo lulemos l ivers e l mtri [ ] uo etermite vle [ ] Se h omitio multiplir elemeto e l mtri por / i e o utilir úmeros eimles. Pr veriir el resulto oteio lulmos [ ] - x [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) omo el prouto e [ ] multipli por [ ] - por resulto l mtri ui [ ] - es l mtri ivers e [ ] Se [ ] u mtri ur e ore.su ivers [ ] - viee por : [ ] ( ) ( ) ( ) L mtri multipli por l ivers el etermite e [ ] se eomi mtri otor trspuest e l mtri [ ] Pági e

32 otrol létrio iomietos Teorí e iruitos i : Rees múltiples e régime permete omo ejemplo se lul l ivers e l mtri [ ] uo etermite vle [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pr veriir que [ ] - es l ivers e l mtri [ ] se eetú el siguiete álulo : [ ][ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) omo se otuvo l mtri ui se verii que [ ] - es l mtri ivers e [ ] Pági e