Definiciones de estabilidad BIBO

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1 Tem. Etilidd de Sitem Itroducció TEORÍA DE ONTROL L oció de etilidd e fudmetl e el derrollo de item de cotrol y e prticulr pr lo item retrolimetdo. L ueci de et propiedd vuelve iútil e l práctic culquier item. Exite diver form de defiir l etilidd. Por ejemplo e puede hlr de l oció de etilidd de u item utóomo que o e idétic l utilizd e item ometido etrd y lid (e dode l eergí puede teer cierto límite). Tmié podemo referir que l etilidd etre l etrd y l lid o ecerimete implic u etilidd iter lo item. Se puede hlr etoce de etilidd locl, glol o emiglol egú el item o liel e coiderció. Aquí o vmo iterer olmete u tipo de etilidd, utilizd pr u cle de item epecífico, etre lo que e ecuetr lo item LTI, l cul e l decripció de etilidd etrd lid, l cul o llev l defiició de etilidd de etrd y lid limitd, comúmete deomid etilidd BIBO (Bouded Iput Bouded Output). Defiicioe de etilidd BIBO. U item e etle i repode e form limitd u excitció limitd.. U item etle e quel e que lo tritorio dece, e decir, l repuet tritori deprece pr vlore creciete del tiempo. V V V Etle Tl coiderció ugiere que lo coeficiete de e lo térmio expoecile de l repuet tritori e úmero rele egtivo o úmero complejo co prte rel egtiv. Eto implic que pr que u item e etle l ríce de l ecució crcterític dee er egtiv o co prte rel egtiv. Eto e y que l ecució crcterític repreet l prte tritori (homogée) de l ecució que rige el item. De lo terior podemo oervr que l etilidd o depede de l etrd io que e u crcterític propi del item. Ejemplo. Pr u item de primer orde l ecució crcterític e: D L olució tritori e de l form: t Etilidd limitd t Ietle t

2 Teorí de otrol y T e Je-Frçoi DULHOSTE t Ete erá etle iempre que l cotte de tiempo e poitiv. Pr u item de egudo orde: D D L olució tritori e de l form: Si prece do ríce rele poitiv. Si y T e t prece do ríce rele igule. e t t yt e te prece u pr de ríce imgiri. Si y Si y Si T e t t t co t i prece u pr de ríce imgiri pur. T i t cot prece u pr de ríce imgiri pur. y T e t t co t i Solo e ete último co el item erá ietle, y que el coeficiete de t e el expoecil e poitivo, luego lo tritorio umet e el tiempo. Etilidd limitd E el co que irve de froter etre l etilidd olut y l ietilidd, y e preet cudo l ríce de l ecució crcterític tiee prte rele igule cero. L repuet reult er u ocilció permete cuy mplitud i crece i dece e el tiempo. Eto e el co de pr u item de egudo orde por ejemplo. ocluió De todo lo terior podemo oteer l iguiete cocluioe:. U item e etle i tod l ríce de l ecució crcterític o egtiv o co prte rel egtiv.. U item e ietle, i tiee e u ecució crcterític lgu ríz poitiv o co prte rel poitiv.. U item tiee etilidd limitd i lgu de u ríce o pre de imgirio puro. U ríz cero o ifluye ore l etilidd porque l repuet o e ociltori.. Si el poliomio de l ecució crcterític tiee lgú coeficiete uete o egtivo etoce el item e ietle. Ejemplo. Algu ecucioe crcterític. D D D E etle porque tod l ríce o egtiv... Ietle por teer u ríz poitiv Ietle por teer u ríz poitiv (+) Etilidd limitd y que tiee do pre de ríce imgiri pur. Etilidd limitd. Y que el expoecil domi ore l otr fució y o hy igu ríz poitiv, i co prte rel poitiv. Lo expoecile iempre domi ore lo coeo y eo.

3 Ecuel de Igeierí Mecáic - ULA Tem. Etilidd de Sitem. Que e lo mimo que: E ietle por poeer u ríz poitiv. Pr hllr l etilidd de culquier item, e puede utilizr método pr fcilitr l operció, Y que e lguo co i el poliomio e de orde elevdo erá poco práctico ecotrr l ríce. Etre lo método má ecillo pr determir l etilidd etá: riterio de Routh riterio de Hurwitz riterio de l frcció cotiud Eto método irve pr hllr l etilidd de ecucioe crcterític e form de poliomio. Exitirá demá método má complejo pr determir l etilidd otro item y oteer myor iformció. riterio de Etilidd Routh E u método que irve pr determir i l ecució crcterític tiee o o ríce co prte rel poitiv i eceidd de determir el vlor precio de et ríce. Y irve pr determir l etilidd de u item cuy ecució crcterític e de orde y de l form: D D D e el domiio del tiempo e el domiio del Lplce Y et e plic udo l tl de Routh c c c Dode:,,, : o lo coeficiete de l ecució crcterític. ; ; c ; c ; etc. L tl e cotiú horizotl y verticlmete ht que olo e oteg cero. El criterio de Routh dice que:. Tod l ríce de l ecució crcterític tiee prte rele egtiv i todo lo elemeto de l primer colum de l tl de Routh tiee todo el mimo igo.. De lo cotrrio el úmero de ríce co prte rele poitiv e igul l úmero de cmio de igo.. Si exite u cero o termil el item tiee u pr de ríce imgiri pur.. Si exite cero termile implic u ríz cero.

4 Teorí de otrol Oervcioe l criterio de Routh. Si lguo de lo coeficiete de l ecució crcterític e cero e cocluye que el item e ietle y o e ecerio cotruir l tl de Routh.. Si lguo de lo coeficiete de l ecució crcterític e egtivo e cocluye que el item e ietle y o e ecerio cotruir l tl de Routh.. Todo lo elemeto de u fil culquier puede multiplicre o dividire por u cotte o egtiv i que e perture l propiedde de l tl.. Si el primer vlor de u fil e cero, mietr que lo otro vlore o lo o el procedimieto coite e utituir el cero por u ε pequeño y poitivo, y e cotiu el rreglo. Ejemplo. Pr el item: L tl de Routh erá: omo e l primer colum o hy cmio de igo etoce el item tiee ríce egtiv o co prte rel egtiv y por lo tto e etle. Ejemplo. Si e tiee l iguiete primer colum de Routh determir tod l cocluioe poile: El item tiee do ríce poitiv o co prte rel poitiv porque hy do cmio de igo. El item tiee u ríz cero por el cero termil. Hy do ríce egtiv o co prte rel egtiv. El item e de quito orde. Por lo tto e ietle. Ejemplo. Determir tod l cocluioe poile de l iguiete primer colum de Routh: Ejemplo. Hg u etudio de l etilidd del iguiete item udo el criterio de Routh D x D x D x D x Dx x u El item e de orde, poee ríce. No tiee cmio de igo, luego o tiee ríce poitiv. Poee u pr de ríce imgiri pur. Poee u pr de ríce egtiv o co prte rel egtiv. El item tiee etilidd limitd por el cero o termil. El primer po e etoce el cotruir l tl de Routh: Je-Frçoi DULHOSTE

5 Tem. Etilidd de Sitem L primer colum de l tl de Routh o poee cmio de igo luego tod u ríce o egtiv o co prte rel egtiv, por lo tto el item e etle. Ejemplo. Determir tod l cocluioe poile de l iguiete primer colum de Routh: 9 9 El item e de orde Tiee u ríz cero Tiee do ríce imgiri pur Tiee u pr de ríce poitiv o co prte rel poitiv E ietle por poeer u cmio De igo Ejemplo. Determir, co el criterio de Routh, l etilidd del item cuy ecució crcterític e: L tl de Routh erá: d lim Por lo tto el item e ietle. Si emrgo el cálculo de l tl o er ecerio y que l ecució crcterític poee do coeficiete egtivo y hy uo uete, e podrí cocluir directmete que el item e ietle. Ejemplo 9. Determir l etilidd del iguiete item: Le tl de Routh e: Ecuel de Igeierí Mecáic - ULA

6 Je-Frçoi DULHOSTE Teorí de otrol ε / / Le item e ietle. riterio de etilidd de Hurwitz Ete criterio e otro método pr determir i tod l ríce de u ecució crcterític tiee prte rele egtiv. Ete criterio e plic por medio del uo de determite formdo co lo coeficiete de l ecució crcterític. Eto determite Δ i (co i =,, -) e form co lo meore priciple del determite iguiete: impr i pr i pr i impr i impr i pr i pr i impr i Má epecíficmete lo determite e form de l iguiete mer: ; ; ; Y í uceivmete ht llegr Δ dode e el orde de l ecució crcterític del item. El criterio de Hurwitz dice que dice que tod l ríce de l ecució crcterític erá egtiv o co prte rel egtiv i lo determite o poitivo ( i i,, pr ). Por upueto l igul que pr el criterio de Routh i exite lgú coeficiete uete o egtivo e l ecució crcterític e puede cocluir que el item e ietle y o e ecerio plicr el método. Ejemplo. Determir l etilidd del item iguiete udo el criterio de Hurwitz: Oteemo etoce lo determite de Hurwitz, que e ete co erá por er el item de to orde:

7 Ecuel de Igeierí Mecáic - ULA Tem. Etilidd de Sitem Por lo tto el item erá etle i: Ejemplo. Determir i l iguiete ecució crcterític repreet u item etle o ietle: Oteemo etoce lo determite de Hurwitz, que e ete co erá por er el item de er orde: omo todo lo determite o poitivo etoce el item e etle. Ejemplo. Determir i l iguiete ecució crcterític repreet u item etle o ietle: Oteemo etoce lo determite de Hurwitz, que e ete co erá por er el item de to orde: ; ; El item e ietle por teer determite de Hurwitz egtivo.

8 Teorí de otrol Aálii de etilidd de item e Epcio de Etdo E u item expredo e form de epcio de etdo x Ax Bu y x L etilidd depede de lo Vlore Propio de l mtriz de por elemeto. Eto y que e l mtriz l que repreet el item e i, por lo tto dode e ecuetr l iformció de l ecució crcterític. Si todo lo vlore propio o egtivo o co prte rel egtiv etoce el item erá etle Si exite u pr de vlore propio imgirio puro el item tedrá etilidd limitd Si exite lgú vlor propio poitivo o co prte rel poitiv el item erá ietle Determició de lo vlore propio de u mtriz Lo vlore propio de u mtriz o l ríce de l ecució crcterític repreetd por et mtriz. Por lo tto pr oteer lo vlore propio de u mtriz e dee oteer primero l ecució crcterític que e puede oteer co l expreió: I A Y oteer luego l ríce de ét ecució que erá u vlore propio. Pr determir l etilidd del item e podrá plicr etoce lo criterio de Routh o Hurwitz et ecució crcterític. Por ejemplo: Si e tiee u item liel cuy mtriz A e: A L ecució crcterític del item erá: I A Je-Frçoi DULHOSTE Por lo tto lo vlore propio de l mtriz A erá: Lo cul idic que ete item e etle. Ejercicio. Determir i lo iguiete item o etle (utilice lo do criterio):.. c. d. 9 e. f. D x D x D x D x D x Dx x u

9 Ecuel de Igeierí Mecáic - ULA 9 Tem. Etilidd de Sitem. itr rzolemete tod l iformció umiitrd por l iguiete primer colum de Routh:.. c. d. e.. Hllr el vlor o el rgo de vlore de pr que lo iguiete item e etle (utilice lo do criterio):.. c. d. e.. Determie l etilidd de lo item repreetdo por l iguiete mtrice de etdo:. A, B,. A, B, c. A, B,. Oteg l repreetció cóic de Jord pr lo item teriore.. Determie el vlor de pr que lo iguiete item e etle d. A, B, e. A, B,

10 Je-Frçoi DULHOSTE Teorí de otrol A, B,

11 Tem. Etilidd de Sitem Ecuel de Igeierí Mecáic - ULA

12 Teorí de otrol Je-Frçoi DULHOSTE