UNIDAD 3 Transformadas de Laplace. { ( )} lim b st ( ) f t = e f t dt

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Juan Carlos Cortés Gutiérrez
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1 UNIDAD 3 Traformada de aplace 3. Defiicioe a traformada de aplace de ua fució f ( t ), repreetada co el ímbolo, e la operació memática defiida mediate la iguiete itegral impropia: { lim b t e dt b Por lo geeral, e acotumbra coiderar implícitamete el límite y implemete ecribir la fórmula como: { t e dt a traformada de aplace e u tipo de traformació itegral. Al evaluar la itegral, (que e realidad e ua variable compleja) e tra como cotate, y t deaparece al utituir lo límite de la itegral, por lo que la expreió memática reultate e ólo fució de. Por eta razó, e dice que e ha traformado la fució del tiempo (domiio de t ) al domiio de aplace (domiio de o frecuecia compleja). Ua de la otacioe habituale para la fucioe traformada e emplear la mima letra de la fució origial, pero mayúcula, para deigar la fució traformada; e decir, que F( ) e la traformada de. { f ( t) F( ) a traformada de aplace e ua operació lieal, por lo que cumple co la iguiete propiedad: { cf ( t) + cf ( t) + + cf ( t) { cf ( t) + { cf ( t) + + { cf ( t) c{ f( t) + c{ f( t) + + c { f( t) cf ( ) + cf ( ) + + cf ( t) c, c,, c o cotate y f ( t ), f ( t ),, f F ( ), F ( ),, F ( t ), repectivamete. dode t o fucioe cuya traformada o a traformada ivera, del domiio de aplace al domiio del tiempo, e repreeta co el ímbolo y etá defiida por la iguiete itegral impropia: γ+ ir { F( ) lim t R πi γir e F d dode γ e u valor real eleccioado de tal forma que todo lo todo lo polo de F( ) quede a la izquierda de la recta vertical que paa por γ. E ítei, la traformada de aplace y u traformada ivera repreeta u par de operacioe que permite paar ua fució del tiempo a ua fució de y vicevera: F( ) Prácticamete uca e emplea eta fórmula de iverió, io que e emplea tabla de traformada. REVISIÓN Págia 4-

2 3. Codicioe uficiete de exitecia Para que la traformada de aplace de ua fució f ( t ) exita, ba co que cumpla la iguiete codicioe:. Que f ( t ) ea cotiua por parte para t.. Que f ( t ) ea de orde expoecial, e decir que ea poible ecotrar cotate c y M ct tale que Me para cualquier t. 3.3 Traformada de aplace de fucioe báica Aplicado la fórmula itegral para la traformada de aplace, e puede verificar lo iguiete reultado: { { c { t 6 { t 3 4 { e t c REVISIÓN Págia 4- { t + 3 { e t { cot + Eta traformada e puede geeralizar y reumir e ua tabla de traformada de aplace, dode e lita e ua columa la fució del tiempo y e la otra columa u correpodiete traformada. Tabla má extea puede coultare e libro y formulario de memática. Ejemplo de ua tabla de traformada de aplace f ( t ) { f ( t)! t + e a e kt k + k co kt + k 3.4 Traformada de fucioe defiida por parte Si la fució f ( t ) defiida por parte, por ejemplo t < t t > t Etoce puede ecotrare la traformada de eta fució aplicado la fórmula itegral, eparado la itegral e do parte: t t t t { + e dt e dt e dt Eta idea e extiede directamete para fucioe defiida e má de do itervalo. t

3 3.5 Fució ecaló uitario a fució ecaló uitario, tambié llamada fució de Heaviide, etá defiida como: U ( ta), t < a, t a Eta fució ecaló puede empleare para activar o deactivar fucioe e cierto itervalo, por lo que puede empleare para repreetar ua fució defiida por parte como ua ola expreió memática. 3.6 Teorema de tralació 3.6. Primer teorema de tralació Ete teorema permite ecotrar la traformada de ua fució multiplicada por ua fució expoecial, etoce el primer teorema de tralació idica que: e. Si F( ) e la traformada de { e f ( t) { f ( t) F( ) F( a) a E decir, e cambia el expoecial por la codició de utituir a dode ea que aparezca e la traformada. Al aplicar el primer teorema de tralació a la traformada ivera e tiee que: a { F( a) e { F( ) e f ( t) E decir, e ua fució dode iempre aparezca a, e puede hacer el cambio a, y aparece ua fució expoecial e Segudo teorema de tralació F e la Ete teorema permite traformar fucioe dode aparezca la fució ecaló uitario. Si traformada de f ( t ), etoce el egudo teorema de tralació idica que: a a { f ( t a) ( t a) e U { f ( t) e F( ) E decir, la fució ecaló uitario e covierte e ua fució expoecial de y t a cambia a t. E importate otar que t iempre debe aparecer e la forma t a para poder aplicar ete teorema. Co repecto a la traformada ivera, el egudo teorema de tralació e exprea como: a { { t t au U e F F t a a t a E decir, que cuado e buque la traformada ivera de ua fució dode aparezca ua fució expoecial de, dicha fució expoecial e covierte a ua fució ecaló uitario co la codició de utituir t a dode ea que aparezca t e la traformada ivera. REVISIÓN Págia 4-3

4 3.7 Traformada de fucioe multiplicada por t o dividida etre t Si f ( t ) e ua fució cuya traformada e F( ), etoce la traformada de ua potecia etera poitiva de t etá dada por: multiplicada por dode e u etero poitivo. d d { t f ( t) ( ) F( ) Por otro lado, i la fució etá dividida etre t, etoce u traformada e: t F d Eta fórmula e cooce tambié como derivada de ua traformada e itegral de ua traformada, repectivamete. 3.8 Traformada de derivada Al aplicar la traformada de aplace para reolver ecuacioe difereciale, e eceario traformar la derivada de ua fució. Si F( ) e la traformada de f ( t ), etoce la traformada de la -éima e: derivada de dode f ( ), f ( ) evaluada e t. d f ( F ( ) f f f ) f dt,, f ( ) ( ) ( ) E particular, para la primera y eguda derivada, e tiee que: o lo valore de f y u primera derivada, repectivamete, 3.9 Traformada de itegrale df F dt f ( ) dt d f F f f Coiderado la itegral de ua fució, evaluada dede cero ha t, u traformada de aplace e: 3. Teorema de covolució Coidéree do fucioe f ( t ) y defiida mediate la iguiete itegral: t { f ( t) dt F g t. a covolució de f y g, que e repreeta como f * t f * g f τ g tτ dτ g, etá REVISIÓN Págia 4-4

5 a itegral de covolució tiee importate aplicacioe e memática e igeiería, icluyedo probabilidad y etadítica, aálii y proceamieto de imágee, aálii de circuito y de itema co ua ditribució co repecto al tiempo. a itegral de covolució e comutiva, por lo que f * g g* f. a traformada de aplace de ua covolució etá dada por: { f * g { f ( t) { g( t) F( ) G( ) E decir, la traformada de la covolució de do fucioe e igual al producto de la traformada de amba fucioe. 3. Traformada de ua fució periódica Ua fució periódica de periodo T e aquella que cumple co la codició f ( t T) f ( t) traformada de ua fució de ete tipo etá dada por la iguiete itegral: 3. Fució delta de Dirac e dt T e T t { a fució delta de Dirac, auque o e ua fució e el etido etricto, puede defiire como: co la propiedad adicioal de que b a, t t δ( t t ), t t ( ab) ( ab), t, δ( t t ) dt, t, E decir, que el reultado de la itegral e igual a uo i igual a cero i t o e ecuetra e ( ab, ). +. a t e ecuetra icluido e el itervalo (, ) ab y e a fució delta tambié e cooce como impulo uitario y uele aparecer al modelar memáticamete feómeo fíico e lo que hay u cambio repetio, como al golpear u objeto. Su traformada de aplace e: { δ( t t ) e t Comparado co el egudo teorema de tralació, e puede ver que lo problema que ivolucra la fució delta geeralmete produce reultado e lo que aparece la fució ecaló uitario. 3.3 Otra traformacioe itegrale 3 E geeral, e puede defiir ua traformació lieal como la operació memática defiida de forma geeral como: t (, ) F u t K t u dt 3 Eta ecció cotiee iformació que va má allá del temario oficial y e puede omitir i perjuicio del curo. REVISIÓN Págia 4-5

6 dode ua fució de ua variable t e covertida e otra fució de ua variable diferete u. a fució de do variable K( tu, ) e deomia úcleo (e iglé kerel) y e caracterítica de cada tipo de traformació itegral. Por coveiecia, e emplea algú ímbolo (por ejemplo para la traformada de aplace) para repreetar de forma compacta la defiició de la traformació itegral. a traformació ivera, cuado exite, etá defiida como: dode K ( ut), u K u, t f u du e el úcleo de la traformació ivera. u Exite mucha traformacioe itegrale, cada ua co aplicacioe e la olució de problema epecífico de cierta área del coocimieto. Aparte de la traformada de aplace, probablemete la má importate ea la traformada de Fourier. a iguiete tabla reume algua de la traformacioe itegrale má comue. Traformada Traformació directa Traformació ivera Fourier F( ω) Seoidal de Fourier F( ω) Coeoidal de Fourier F( ω) π i t { f ( t) e ω iωt F f ( t) dt F { π F ω e F ω dω π S { f ( t) e ( ω F t) f ( t) dt F { e π S F ω ωt F ω dω π C { f ( t) co( ω F t) f ( t) dt { co F C F ω ωt F ω dω π aplace t f F( ) ( t) e dt F( ) Melli { σ+ i t { f F( ) ( t) M t dt { M e F d π i σ i σ+ i { F t F d π i σ i Hakel F( k) f r { f ( r) H f ( r) Jν ( kt) rdr H { Jν F k F k kt kdk dode J ν e la fució de Beel del primer tipo de orde ν / Tabla de pare de traformada/traformada ivera para cada tipo de traformació puede coultare e libro de memática avazada. Relacioada co eta traformacioe itegrale, exite traformacioe dicreta (e decir, o cotiua) de gra importacia e ciecia e igeiería, detacádoe pricipalmete la traformada rápida de Fourier y la traformada zeta. REVISIÓN Págia 4-6

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