Módulo de Estadística. Tema 7 : Estimación paramétrica e Intervalos de confianza

Transcripción

1 Módulo de Etadítica Tema 7 : Etimació paramétrica e Itervalo de cofiaza

2 Etimació U etimador e ua catidad umérica calculada obre ua muetra y que eperamo que ea ua buea aproximació de cierta catidad co el mimo igificado e la població (parámetro). Para la media de ua població: El mejor e la media de la muetra. Para la frecuecia relativa de ua modalidad de ua variable: El mejor e la frecuecia relativa e la muetra.

3 Etimació putual y por itervalo Se deomia etimació putual de u parámetro al valor ofrecido por el etimador obre ua muetra. Se deomia etimació cofidecial o itervalo de cofiaza para u ivel de cofiaza -α dado, a u itervalo que ha ido cotruido de tal maera que co probabilidad -α realmete cotiee al parámetro. Obérvee que la probabilidad de error (o coteer al parámetro) e α. Valore típico: α=0,0 ; 0,05 ; 0,0 E geeral el tamaño del itervalo dimiuye co el tamaño muetral y aumeta co -α. "Si coideramo toda la muetra ditita de tamaño que pueda er extraída de la població X, y co la obervacioe de cada ua cotruimo lo correpodiete itervalo, egú la etructura aterior, el ( - α)% de eto itervalo cotedrá el parámetro μ "

4 Etimació de Itervalo Ejemplo: : Cotrucció repetida de u itervalo de cofiaza para la media Si lo itervalo de cofiaza motrado o del 95% igifica que i e cotruye u gra úmero de ello, el 95% de ello cotedrá a la media

5 Dicho puto e el úmero tal que: Y e la verió etadarizada e cumple que: Z α / = Z α / Aí: Haciedo operacioe e poible depejar μ para obteer el itervalo: Reultado el itervalo de cofiaza: Si σ o e coocida y e grade (p.e. 30): Aproximacioe para el valor Z α / para lo ivele de cofiaza etádar o,96 para α = 95% y,576 para α = 99%.

6 I- Itervalo de cofiaza para u promedio: Geeralmete, cuado e quiere cotruir u itervalo de cofiaza para la media poblacioal y la variaza poblacioal σ e decoocida al 95% I ( ) t x / II- Itervalo de cofiaza para ua proporció: Geeralmete, cuado e quiere cotruir u itervalo de cofiaza para ua proporció ^p=x/ al 95% I ( p ) pˆ z / pˆ pˆ Requerimieto pˆ 5 pˆ 5 Si >30 y -α/ = 0,975 --> =,96 z /

7 III- Itervalo de cofiaza para diferecia de media Geeralmete, cuado e quiere cotruir u itervalo de cofiaza para la diferecia de media, la variaza poblacioale o decoocida y diferete / ) ( t x x I p p gl p / / gl

8 IV- Itervalo de cofiaza para diferecia de proporcioe pˆ pˆ pˆ p I ( ˆ p p pˆ pˆ ) z / Si, etá etre 0 y 40,y p 5 p 5 ˆ pˆ 5 ˆ pˆ 5

9 I- Ejemplo Itervalo de cofiaza para ua promedio: Supogamo que e platea la hipótei de que el promedio de peo de acimieto de cierta població e igual a la media acioal de 350 gramo. Al tomar ua muetra de 30 recié acido de la població e etudio, e obtuvo: promedio= 930 = 450 = 30 Al cotruir u itervalo de 95% de cofiaza para la media poblacioal, e obtiee: 450 I ( ) x t / 930, (76,3098) Luego, el peo de acimieto varía etre 76 y 3098 gramo, co ua probabilidad del 95%. Como el itervalo o icluye el valor =350 gramo plateado e la hipótei, etoce eta e rechazada co probabilidad del 95%

10 II- Ejemplo Itervalo de cofiaza para ua proporció: 4. E u etudio realizado para determiar el etado de alud de ua comuidad e etrevitó a 8 peroa, pregutádole acerca de u actividad fíica habitual. De la 8 peroa ecuetada, 36 de ella declararo practicar algú deporte de forma regular. i. Cotruya el itervalo de cofiaza al ivel 0.95 para la proporció poblacioal de práctica de algú deporte de forma regular. ii. A partir de la iformació proporcioada por el itervalo de cofiaza aterior, puede er admiible que tal proporció ea de 0.60?

11 II- Ejemplo Itervalo de cofiaza para ua proporció: i. Cotruya el itervalo de cofiaza al ivel 0.95 para la proporció poblacioal de práctica de algú deporte de forma regular. Se trata de calcular el itervalo de cofiaza al 00(-)=95% para ua proporció poblacioal decoocida co u tamaño de muetra = 8..- Etimador putal de la proporció 0, El percetil que bucamo igue ua ditribució Normal co media 0 y variaza, al er α=0,05 el percetil que bucamo cocretamete e z =Z =,96 (ver Tabla ) 97,5 pˆ 36 8 I ( p) pˆ z pˆ( pˆ) 0,439,96 0,439,96 0,055 0,33; 0,546 0,439( 0,439) 8 Requerimieto pˆ 8 0,439 35,998 5 ( pˆ) 8( 0.439) 465 ii. Vita la amplitud del itervalo de cofiaza o ería admiible ua proporció de 0,60 co ua probabilidad del 95%

12 III- Itervalo de cofiaza para diferecia de media E el etudio decrito e lo ejercicio 4. y 4. e pregutó ademá por la hora de ueño de lo ecuetado. Lo reultado expreado e media y deviació típica e recoge e la tabla adjuta y de forma eparada para aquello que declararo realizar ejercicio fíico y para lo que o: Realiza ejercicio No realiza ejercicio Nº idividuo Media hora de ueño 8.5 hora/día 7. hora/día D. Típica hora de ueño 0.9 hora 0.8 hora i) A ivel de igificació =0.05, exite diferecia igificativa e lo tiempo medio de ueño etre lo idividuo que realiza ejercicio fíico y lo que o?

13 III- Itervalo de cofiaza para diferecia de media Para reolver el problema calcularemo u itervalo de cofiaza para ua diferecia de media al 95% co variaza decoocida y diferete, y comprobaremo i dicho itervalo cotiee el valor cero o o..- Etimadore putale de la media:. El percetil que bucamo igue ua ditribució t-tudet co gl grado de libertad, al er α=0.05 el percetil que bucamo cocretamete e: tgl;-α/ = t73;0,975=,99 I ( ) x 8,5 x7, gl p p x x t / 30 p 7,35 gl 7,6 73 / / 30 7, ,5 7,,99 (0,9 ;,68 ) 7,35 46

14 III- Itervalo de cofiaza para diferecia de media Como el itervalo o cotiee el cero, o e puede aceptar co u 95% que x x 0, e decir, x x. Por tato aceptaremo que lo tiempo medio de hora de ueño etre idividuo que realiza y lo que o realiza ejercicio e igificativamete diferete Ademá, como lo do extremo del itervalo o poitivo, para todo u valore x x 0 x x lo que idica que la media de hora de ueño e lo que practica deporte e mayor que e lo que o practica.

15 IV- Itervalo de cofiaza para diferecia de proporcioe 4. Repecto de lo dato del ejercicio 4., de la 8 peroa ecuetada, 40 fuero hombre y el reto mujere. De la 36 peroa que declararo practicar ejercicio fíico de forma regular, 0 era mujere y el reto hombre. i.-aalizar i co ua probabilidad del 95% e puede aegurar que la proporció de practicar deporte e ma alta e hombre que e mujere Para reolver el problema calcularemo u itervalo de cofiaza para ua diferecia de proporcioe al 95% y comprobaremo i dicho itervalo cotiee el valor cero o o..- Etimadore putale de la proporcioe:.- El percetil que bucamo igue ua ditribució Normal co media 0 y variaza, al er α=0,05 el percetil que bucamo cocretamete e z =Z 97,5 =,96 (ver Tabla ) pˆ 6 40 ˆ p 0 4

16 IV- Itervalo de cofiaza para diferecia de proporcioe pˆ pˆ pˆ p I ( ˆ p p p ˆ pˆ ) z / 0,65 0,4,96 0, ,65 0,4 0,4 4 0,4,96*(0, 0) 0,4 0, 97 (0,3;0,607) Como el itervalo o cotiee el cero, o e puede aceptar co u 95% que pˆ ˆ p 0, e decir, pˆ pˆ. Por tato aceptaremo que la proporcioe etre hombre y mujere que practica deporte e igificativamete diferete Ademá, como lo do extremo del itervalo o poitivo, para todo u valore pˆ pˆ ˆ ˆ 0 p p lo que idica que la proporció de hombre que práctica deporte e mayor e hombre que e mujere