Estabilidad en el Plano Complejo

Transcripción

1 Cpítulo Etili e el Plo Complejo Itrouió L etili e u item liel e lzo erro e etermi prtir e l uiió e lo polo e lzo erro e el plo Si lguo e eto polo e euetr e el emiplo ereho el plo, etoe oforme umet el tiempo, prouirá el moo omite y l repuet tritori umetrá e form mooto u oilrá o u mplitu reiete; e tl etio el item erá ietle jω Etle Frio M Gozález-Logtt, Septiemre Ietle plo E ét oiioe t proto omo e efetú l exitió ete item, l li umet o el tiempo (e form ivergete) Si e el item o poee u rteríti e turió o o e iluye u meimo eguri pr otr l li, el item puee termir por etrr e u omportmieto que puee ivolurr poteil ño o fll, o que l repuet e u item fíio rel o puee umetr iefiimete Por ee, e el item e otrol liel orml o e permite lo polo e lzo erro e el emiplo ereho el plo Si too lo polo e lzo erro e euetr l izquier el eje jω, ulquier repuet tritori termi por lzr el equilirio Eto repreet u item etle Que u item liel e etle o ietle e u propie el item mimo y o epee e l etr i e l fuió e exitió el item Lo polo e l etr, o e l fuió e exitió, o fet l propie e etili el item, io ólo otriuye lo térmio e repuet e eto etle e l oluió Por tto, el prolem e etili olut e oluio o fili l o elegir polo e lzo erro e el emiplo ereho el plo, iluyeo el eje jω, (Mtemátimete, lo polo e lzo erro ore el eje jω prouirá oilioe, uy mplitu o e reue i ree o el tiempo) Si emrgo, e lo o prátio e lo que hy ruio, l mplitu e l oilioe umet u veloi etermi por el ivel e l potei el ruio Por tto, u item e otrol o ee teer polo e lzo erro e el eje jω) Oerve que el olo heho e que too lo polo e lzo erro e euetre e el emiplo izquiero el plo o grtiz rteríti tiftori e repuet tritori Si lo polo omite omplejo ojugo e lzo erro e euetr er el eje jω, l repuet tritori exhiirá oilioe exeiv o erá muy let Por tl rzó, fi e grtizr rteríti e repuet tritori rápi y ie mortigu, e eerio que lo polo e lzo erro el item e euetre e u regió etermi el plo omplejo, tl omo l regió elimit por el áre omre e l Figur Solo pr er empleo o ojetivo e evluió, o émio Prohiio l reprouió totl o pril e ete oumeto Dereho e Autor Reervo Copyright Frio M Gozlez-Logtt fglogtt@ieeeorg

2 Etili e el Plo Complejo Solo pr er empleo o ojetivo e evluió, o émio Prohiio l reprouió totl o pril e ete oumeto Dereho e Autor Reervo Copyright Frio M Gozlez-Logtt fglogtt@ieeeorg Do que l etili reltiv y el eempeño tritorio e u item e otrol e lzo erro e relio iretmete o el ptró e polo y ero e lzo erro e el plo, o freuei e eerio jutr uo o má prámetro pr oteer lo ptroe oveiete E et regio ζ > t < jω Figur Regió el plo omplejo que tife l oiioe ζ > y t < u Criterio e Etili e Routh El prolem má importte e lo item e otrol liel tiee que ver o l etili Ete prolem e fumetlmete repoer l pregut jo qué oiioe e vuelve ietle u item? Y e el o e que i e ietle, ómo e puee her pr etilizrlo? Como y e ooe u item e otrol e etle i y ólo i too lo polo e lzo erro e euetr e el emiplo izquiero el plo Do que i too lo item liele e lzo erro tiee fuioe e trferei e lzo erro e l form: m m C() + + K+ m + m B( ) R() + + K+ + A() e oe l { } j j y l { } m j j o otte y m <, primero e ee ftorizr el poliomio A() pr eotrr lo polo e lzo erro U riterio imple, ooio omo el riterio e etili e Routh, permite etermir l ti e polo e lzo erro que e euetr e el emiplo ereho el plo i teer que ftorizr el poliomio El riterio e etili e Routh ie i exite o o ríe ietle e u euió poliomil, i teer que oteerl e reli Ete riterio e etili ólo e pli lo poliomio o u ti fiit e térmio Cuo e pli el riterio u item e otrol, l iformió er e l etili olut e otiee iretmete e lo oefiiete e l euió rteríti El proeimieto e el riterio e etili e Routh e el iguiete: Eriir el poliomio e e l form iguiete: + + K + + () e oe lo oefiiete o tie rele Supoemo que ; e eir, e elimi ulquier ríz ero Si lguo e lo oefiiete e ero o egtivo, te l preei e l meo u oefiiete poitivo, hy u ríz, o ríe imgiri o que tiee prte rele poitiv E tl o, el item o e etle Si ólo o itere l etili olut, o e eerio otiur o el proeimieto Oerve que too lo oefiiete ee er poitivo Ét e u Frio M Gozález-Logtt, Septiemre

3 Teorí e Cotrol Frio M Gozález-Logtt, Septiemre Solo pr er empleo o ojetivo e evluió, o émio Prohiio l reprouió totl o pril e ete oumeto Dereho e Autor Reervo Copyright Frio M Gozlez-Logtt fglogtt@ieeeorg oiió eeri, omo e prei prtir el rgumeto iguiete: u poliomio e o oefiiete rele iempre puee ftorizre e ftore liele y urátio tle omo ( + ) y ( + + ), e oe, y o úmero rele Lo ftore liele proue l ríe rele y lo ftore urátio proue l ríe omplej el poliomio El ftor (z + + ) proue l ríe o prte rele egtiv ólo i y o m poitiv Pr to l ríe que tiee prte rele egtiv, l otte,,, ee er poitiv e too lo ftore El prouto e ulquier ti e ftore liele y urátio que oteg ólo oefiiete poitivo iempre proue u poliomio o oefiiete poitivo E importte eñlr que l oiió e que too lo oefiiete e poitivo o e ufiiete pr egurr l etili L oiió eeri, pero o ufiiete, pr l etili e que too lo oefiiete e l euió () eté preete y teg u igo poitivo (Si to l o egtiv, e he poitiv multiplio mo miemro e l euió por -) Si too lo oefiiete o poitivo, oree lo oefiiete el poliomio e regloe y olum e uero o el ptró o rreglo iguiete: 6 g f e e Lo oefiiete l,,, et, e evlú el moo iguiete: 6 L evluió e l otiú ht que to l rette o ero Se igue el mimo ptró e multipliió ruz e lo oefiiete e lo o regloe teriore l evlur l, l, l e, et E eir, M

4 Etili e el Plo Complejo Solo pr er empleo o ojetivo e evluió, o émio Prohiio l reprouió totl o pril e ete oumeto Dereho e Autor Reervo Copyright Frio M Gozlez-Logtt fglogtt@ieeeorg Ete proeo otiú ht que e omplet el -éimo regló El rreglo ompleto e lo oefiiete e trigulr Oerve que, l errollr el rreglo, u regló ompleto e ivie etre, o e multipli por, u úmero poitivo pr implifir el álulo umério u-euete i lterr l oluió e l etili El riterio e etili e Routh plte que el úmero e ríe e l euió () o prte rele poitiv e igul l úmero e mio e igo e lo oefiiete e l primer olum el rreglo Dee eñlre que o e eerio ooer lo vlore exto e lo térmio e l primer olum; ólo e eeit lo igo L oiió eeri y ufiiete pr que to l ríe e l euió () e euetre e el emiplo izquiero el plo e que too lo oefiiete e l euió () e poitivo y que too lo térmio e l primer olum el rreglo teg igo poitivo Ejemplo Aplir el riterio e etili e Routh l iguiete poliomio e terer ore: e oe too lo oefiiete o úmero poitivo El rreglo e oefiiete e ovierte e L oiió e que to l ríe teg prte rele egtiv e otiee meite > Ejemplo Coiere el iguiete poliomio: Se igue el proeimieto que e e preetr y e otruye el rreglo e oefiiete (Lo primero o regloe e otiee iretmete el poliomio o Lo térmio rette e otiee e éto Si flt oefiiete e el rreglo, e utituye o ero) 6 / / E éte ejemplo, hy o mio e igo e lo oefiiete e l primer olum Eto igifi que exite o ríe o prte rele poitiv Oerve que el reulto o e moifi uo lo oefiiete e ulquier regló e multipli por, o e ivie etre, u úmero poitivo pr implifir el álulo / Frio M Gozález-Logtt, Septiemre

5 Teorí e Cotrol Co Epeile Si el térmio e l primer olum e ulquier regló e ero, pero lo térmio rette o o ero, o o hy térmio rette, el térmio ero e utituye o u úmero poitivo muy pequeño ε y e evlú el reto el rreglo Por ejemplo, oiere l euió () El rreglo e oefiiete e ε Si el igo el oefiiete que etá eim el ero (ε) e igul l igo que etá jo e él, quiere eir que hy u pr e ríe imgiri E reli, l euió () tiee o ríe e ± j Si emrgo, i el igo el oefiiete que etá eim el ero (ε) e opueto l el que etá jo, quiere eir que hy u mio e igo Por ejemplo, pr l euió: el rreglo e oefiiete e U mio e igo: U mio e igo: Frio M Gozález-Logtt, Septiemre ε ε ( ) ( + ) Hy o mio e igo e lo oefiiete e l primer olum Eto oiie o el reulto orreto iio por l form ftoriz e l euió poliomil Si too lo oefiiete e ulquier regló o ero igifi que exite ríe e igul mgitu que e euetr rilmete opuet e el plo, e eir, o ríe o mgitue igule y igo opueto y/o o ríe imgiri ojug E ete o, l evluió el reto el rreglo otiú meite l formió e u poliomio uxilir o lo oefiiete el último regló y meite el empleo e lo oefiiete e l eriv e ete poliomio e el regló iguiete Tle ríe o mgitue igule y rilmete opuet e el plo e euetr epejo el poliomio uxilir, que iempre e pr Pr u poliomio uxilir e gro, exite pre e ríe igule y opuet Por ejemplo, oiere l euió: rreglo e oefiiete e 8 Poliomio uxilir P() Too lo térmio el regló o ero Depué e form el poliomio uxilir prtir e lo oefiiete el regló El poliomio uxilir P() e: P() lo ul ii que hy o pre e ríe e igul mgitu y igo opueto Eto pre e otiee reolvieo l euió el poliomio uxilir P() L eriv e P() o repeto e: P( ) Lo oefiiete e l últim euió, e eir, 8 y 96, utituye lo térmio el regló Por oiguiete, el rreglo e oefiiete e ovierte e: Solo pr er empleo o ojetivo e evluió, o émio Prohiio l reprouió totl o pril e ete oumeto Dereho e Autor Reervo Copyright Frio M Gozlez-Logtt fglogtt@ieeeorg

6 6 Etili e el Plo Complejo Solo pr er empleo o ojetivo e evluió, o émio Prohiio l reprouió totl o pril e ete oumeto Dereho e Autor Reervo Copyright Frio M Gozlez-Logtt fglogtt@ieeeorg Coefiiete e P()/ - - Se ve que hy u mio e igo e l primer olum el rreglo uevo Por tto, l euió origil tiee u ríz o u prte rel poitiv Depejo l ríe e l euió el poliomio uxilir Se otiee o ie, - ±, ±j Eto o pre e ríe o u prte e l ríe e l euió origil De heho, l euió origil e erie e form ftoriz el moo iguiete: ( + l)( - l)( + j)( - j)( + ) Aálii e Etili Reltiv El riterio e etili e Routh proporio l repuet l pregut e l etili olut Eto, e muho o prátio, o e ufiiete Por lo geerl, e requiere iformió er e l etili reltiv el item U efoque útil pr exmir l etili reltiv e mir el eje el plo y plir el riterio e etili e Routh E eir, e erie ˆ ( otte) e l euió rteríti el item, e erie el poliomio e térmio e ŝ, y e pli el riterio e etili e Routh l uevo poliomio e L ti e mio e igo e l primer olum el rreglo errollo pr el poliomio e ŝ e igul l ti e ríe que e loliz l ereh e l líe vertil - Por tto, et prue revel l ti e ríe que e euetr l ereh e l líe vertil - Apliió el riterio e etili e Routh l álii e u item e otrol El riterio e etili e Routh tiee u utili limit e el álii e u item e otrol liel, ore too porque o ugiere ómo mejorr l etili reltiv i ómo etilizr u item ietle Si emrgo, e poile etermir lo efeto e mir uo o o prámetro e u item i e exmi lo vlore que proue ietili A otiuió e oier el prolem e etermir el rgo e etili pr el vlor e u prámetro Coiere el item e l Figur R() + K ( + + )( + ) + K Figur Sitem e Cotrol pr lizr l etili reltiv Se ee etermir el rgo e vlore e K pr l etili L fuió e trferei e lzo erro e: C( ) K R() ( + + )( + ) + K L euió rteríti e K El rreglo e oefiiete e ovierte e: C( ) Frio M Gozález-Logtt, Septiemre

7 Teorí e Cotrol K / K -9/K K Pr l etili, K ee er poitiv (K > ), y too lo oefiiete e l primer olum ee erlo tmié Por tto, e ee umplir: > K > 9 Cuo K /9, el item e vuelve oiltorio y, mtemátimete, l oilió e mtiee e u mplitu otte Referei Doumetle [] Ogt, K, Igeierí e Cotrol Moer, Pretie Hll, 98 [] Aero, PM & Fu, AA Power Sytem Cotrol Stility Seo Eitio IEEE Pre [] Kuur, P Power Sytem Stility Cotrol M Grw Hill, 999 Frio M Gozález-Logtt, Septiemre Solo pr er empleo o ojetivo e evluió, o émio Prohiio l reprouió totl o pril e ete oumeto Dereho e Autor Reervo Copyright Frio M Gozlez-Logtt fglogtt@ieeeorg