CAPÍTULO CUATRO. ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE CONTROL MUESTREADO.

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1 CAPÍTULO CUATRO. ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE CONTROL MUESTREADO. IV.. INTRODUCCIÓN. Ls téis pr el estudio de l estilidd de sistems muestredos de otrol so lids e este pítulo. E geerl, los métodos de estudio de l estilidd de sistems otiuos so tmié pliles l álisis de sistems muestredos, si ierts modifiioes so relids. Estos métodos iluye el riterio de Routh Hurit, el método del lugr de ls ríes y los métodos de álisis freueil. Tmié es lido el riterio simplifido de Jury que es u téi espeilmete desrrolld pr lir l estilidd de sistems de tiempo disreto. Co el fi de eftir ls similitudes y difereis etre los sistems de tiempo otiuo y disreto, se ompr l estilidd de u sistem de otrol otiuo o el de su equivlete disreto. E sistems otiuos, l estilidd se li prtir del deomidor (euió rterísti) de l fuió de trsferei de lo errdo: T ( s) Y R ( s) ( s) G + G ( s) ( s) H( s). (4-) r(t) + e(t) G(s) y(t) - H(s) Figur 4.. Sistem de Cotrol de tiempo otiuo. L posiió de ls ríes de l euió rterísti ( + GH(s)), determi l estilidd del sistem. El límite de l regió de estilidd e el plo s es el eje jω, deido que polos o prte rel egtiv impli u respuest que se mortigu e el tiempo. Si se muestre l señl de error y se utili u reostrutor de orde ero, se otiee el sistem de otrol de tiempo disreto de l figur 4.. 3

2 r(t) + - e T H u(t) G(s) y(t) H(s) Figur 4.. Sistem de Cotrol de tiempo disreto. L fuió de trsferei etrd slid orrespodiete l digrm e loques de l figur 4., h sido deduid e el pítulo 3 y está dd por: o: G GH T Y R G + GH G ( ) ( ) ( s) Z, (4-), (4-3) s ( ) G( s) H ( s) Z. (4-4) s Los distitos métodos pr el estudio de l estilidd de u sistem muestredo de otrol, omo simismo su omprió o su símil de tiempo otiuo so lidos medite u ejemplo. Ejemplo. Se u plt de segudo orde de fuió de trsferei dd por: l ul se relimet e form uitri. G ( s), (4-5) s ( s + ) El sistem equivlete de tiempo disreto se otiee iterldo e el lo direto u muestredor y u reostrutor de orde ero (figur 4.). L fuió de trsferei etrd slid orrespodiete está dd por: o: T Y R G + G G ( ) ( ) ( s) Z ( ), (4-6) G Z. (4-7) s s ( s + ) Si se elige u período de muestreo de T, seg. se otiee: 33

3 G ; T.seg. (4-8) ( )(.95) Si se elige u período de muestreo myor T seg., se otiee: G ; T seg. (4-9) ( )(.368) E ls prtes ) ) y ) de l figur 4.3 se h represetdo ls respuests l esló del sistem lógio de lo errdo y de su símil muestredo pr períodos de muestreo de T. seg. y T seg. respetivmete..4. slid tiempo Figur 4.3. ) Respuest l esló del sistem lógio e lo errdo. 34

4 .4. slid muestrs Figur 4.3. ) Respuest temporl del sistem muestredo de lo errdo pr T. seg..5 slid muestrs Figur 4.3. ) Respuest temporl del sistem muestredo de lo errdo pr T seg. 35

5 Del álisis de l figur 4.3 se oserv que el sistem digitl es meos estle que su equivlete lógio, presetdo u omportmieto trsitorio meos mortigudo. Este resultdo, presetdo pr u ejemplo prtiulr, es geerl y se dee l retrdo equivlete, de medio período de muestreo, itroduido por el reostrutor de orde ero. De modo que l umetr el período de muestreo se deterior l estilidd del sistem. IV.. ESTABILIDAD DE SISTEMAS MUESTREADOS. Pr lir l estilidd de u sistem muestredo, se dese ser dóde dee estr ls ríes de l euió rterísti ( + GH()) pr que el sistem teg u respuest trsitori que se extig e el tiempo. Pr ello se lul l respuest del sistem e lo errdo. Y ( ) i G i R R( ). (4-) + GH i m ( p ) que medite el desrrollo e frioes priles puede llevrse l form: Y p p Y R i, (4-) dode Y R () otiee los térmios de Y() origidos e los polos de l exitió R(). Los primeros térmios de l expresió (4-) represet l respuest trsitori de Y(). Pr que el sistem se estle, l titrsformd de estos térmios dee teder ero udo se iremet el tiempo. L trsformd ivers del i-ésimo térmio de l euió (4-) es: pi i Z i ( p ) T i. (4-) Pr que este térmio se ule l iremetrse, el módulo de p i dee ser meor que l uidd. Teiedo e uet que los vlores p i orrespode ls ríes de l euió rterísti (euió (4-)) se oluye que pr que u sistem relimetdo de otrol de tiempo disreto se estle, ls ríes de su euió rterísti dee estr uids e el iterior del írulo de rdio uitrio. IV.3. TRANSFORMACIÓN BILINEAL. L myorí de ls téis de álisis de l estilidd de sistems de tiempo otiuo se s e que el límite de l regió de estilidd e el plo s orrespode l eje imgirio jω. Ests téis o puede ser plids sistems de tiempo disreto, y que el límite de l regió de estilidd e el plo orrespode l írulo uitrio. Si emrgo, si se emple l trsformió iliel defiid por :, (4-3) T + l iruferei de rdio uitrio e se trsform e el eje imgirio e el uevo plo. 36

6 E efeto, sore el írulo uitrio se umple que e jωt y reempldo est expresió e l euió 4-3 se otiee: jωt e ω T j tg. (4-4) jωt T e + T Al reorrer el írulo de rdio uitrio e el plo, el águlo ωt vrí de π π y su reorrido equivlete e el plo orrespode todo el eje imgirio desde -j +j. Si os uimos e el plo e u puto sore el eje imgirio, ( jω ) l expresió 4-4 permite viulr ls freueis etre los plos s y : ω T ω tg. (4-5) T El gregdo del térmio /T e l defiiió de l trsformió iliel (euió 4-3) tiee por ojeto que e el rgo de freueis pr ls ules ωt/ es pequeño, ls freueis e los plos s y oiid. E efeto, si se umple que ωt/<< result: ω T ω T ω tg ω (4-6) T T Si emrgo, udo l freuei ω e el plo s se er l mitd de l freuei de muestreo (/T), l freuei e el plo (ω ), tiede ifiito. Esto sigifi que l semid uid e el semiplo iquierdo del plo s ompredid etre j/t y +j/t le orrespode todo el semiplo iquierdo e el plo. IV.4. CRITERIO DE ROUTH HURWITZ. Este riterio es usdo e sistems de tiempo otiuo pr determir si el deomidor de l fuió de trsferei tiee ríes e el semiplo dereho del plo s. Si este riterio es plido l euió rterísti de u sistem de tiempo disreto expresdo e l vrile, o puede oteerse igu iformió sore l estilidd del mismo. Si emrgo, si l euió rterísti es expresd omo u fuió de l vrile de trsformió iliel, etoes l estilidd del sistem puede ser determid por pliió diret del riterio de Routh Hurit, de l mism mer que se pli los sistems de tiempo otiuo. Esto es posile, pues trvés de l trsformió el iterior del írulo uitrio del plo se trsform e el semiplo iquierdo del plo, y el exterior del írulo uitrio e el semiplo dereho. Ejemplo. Pr lir l pliió del riterio de estilidd de Routh Hurit se utilirá el mismo ejemplo visto previmete (euió 4-5): G ( s) (4-7) s ( s + ) El sistem de otrol de tiempo otiuo (figur 4.), es estle pr todo vlor positivo de l gi. E efeto, si se pli el riterio de Routh Hurit su euió rterísti: 37

7 result: ( s) + GH ( s) s + s F + (4-8) s s s (4-9) El úmero de mios de sigo de l primer fil del rreglo de Routh Hurit idi el úmero de ríes del poliomio rterístio F(s) uids e el semiplo dereho. E este so o existe mios de sigo de modo que el sistem de tiempo otiuo relimetdo e form uitri es estle pr todo vlor positivo de l gi. L fuió de trsferei etrd slid pr el sistem equivlete de tiempo disreto, pr u período de muestreo T. seg. está dd por (euió 4-8): G ; T. seg (4-) ( )(.95) Pr plir el riterio de Routh Hurit es eesrio plir previmete l trsformió iliel (euió 4-3). G ( ) (4-) Luego, l euió rterísti e el plo está dd por: ( ) + G( ) (3.8.6) + (3.8.87) + 3. F 8 L pliió del riterio de Routh Hurit odue l siguiete rreglo: (4-) Pr que el sistem se estle o dee her mios de sigos e l primer olum del rreglo (rreglo (4-)), siedo eesrio que l gi se hlle ompredid e el rgo: (4-9)): < <.3. (4-3) Si se elige, e mio, u período de muestreo myor T seg., se otiee (euió G ; T seg. (4-4) ( ) (.368) L expresió terior muestr que l umetr el período de muestreo el polo de más lt freuei se despl hi el orige del plo. Aplido l trsformió iliel, l euió rterísti e el plo result: 38

8 39 ( ).94 ).386 (.94 ).38 ( + + F, y l pliió del riterio de Routh Hurit odue l siguiete rreglo: (4-5) Exmido l primer olum del rreglo (euió (4-5)) se oserv que pr que el sistem se estle l gi dee hllrse ompredid e el rgo: <.39 < (4-6) Comprdo ls expresioes (4-3) y (4-6) se oserv que, omo er previsile, l umetr el período de muestreo se redue el rgo de estilidd del sistem. IV.5. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE JURY. Este riterio de estilidd tiee l prtiulridd de poder ser empledo diretmete sore sistems de tiempo disreto expresdos e l vrile. Se l euió rterísti de u sistem disreto: ( ) ; > F (4-7) A prtir de l euió terior puede ostruirse el siguiete rreglo: m m m l l l l l l l l (4-8) o d

9 L odiió eesri y sufiiete pr que el poliomio F() o teg ríes fuer o sore el írulo uitrio, o >, so: F() > ( ) d m F( ) > < > > > d > m 3 (4-9) Note que u sistem de segudo orde otiee u sol fil e el rreglo. Por d orde diiol, dos fils diioles so gregds. Además, pr u sistem de orde, hy u totl de + restriioes. Ejemplo. Supógse el mismo ejemplo y lido. El riterio de Jury se pli diretmete l euió rterísti del sistem lo errdo (+GH()). De l euió (4-4) (período de muestreo T seg.), l euió rterísti F() está dd por: F( ) + G( ) + ( ) + ( ). Ddo que se trt de u euió de segudo orde, el rreglo de Jury se redue : L pliió de ls odiioes dds por l expresió (4-9) odue : (4-3) ) F ( ) + ( ) + ( ) > Est odiió es stisfeh pr todo >. ) ( ) F ( ) ( ) + ( ) > Est odiió es stisfeh pr < 6.3. ) < Est odiió es stisfeh pr <.39. Por lo tto el sistem es estle pr vlores de l gi ompredidos etre <<.39. Resultdo oiidete o el oteido previmete (euió (4-6)). 4

10 Pr el vlor de orrespodiete l límite del rgo de estilidd,.39, l euió rterísti vle: siedo sus ríes.49 +, (4-3).44 # j.97 #.3 rd # ωt. (4-3) L expresió terior idi que pr u período de muestreo T seg. y u gi de.39, el sistem e lo errdo osilrá u freuei de (.3/ π) /seg. IV.6. MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. Supoiedo que el sistem es liel y o prámetros ivrites e el tiempo, l trsferei de lo ierto GH() puede expresrse omo u oiete de dos poliomios e fetdos por u gi. GH i i m ( ) ( p ) i i ; m (4-33) Puede verse que GH() es de l mism form que G(s)H(s) pr sistems otiuos. Por lo tto ls regls de ostruió del digrm del lugr de ls ríes, desrrollds pr el plo s so tmié válids pr el plo. Pr que u puto del plo pertee l lugr de ls ríes, GH() dee umplir ls siguietes odiioes: ) Codiió de mplitud : Módulo de GH() ) Codiió de fse : Argumeto de GH() ( + ) π Ejemplo: Si uevmete se plte el sistem del ejemplo lido previmete, prtir de l expresió (4-7) se otiee: dode: p T ( ) G( ), (4-34) ( )( p ) + ( + T ) e T T + e T T T T T + e ; ;. Si se reempl l vrile por x + jy, e l odiió de fse de GH() se otiee l euió de u iruferei o etro e (, ) y uyo rdio es l medi geométri de ls distis de los polos l ero. e ( x ) + y ( ) ( p ). (4-35) Además, fáilmete, puede verse que los putos sore el eje rel etre el polo p y perteee l lugr de ríes, lo mismo que los putos sore el eje rel l iquierd del ero. 4

11 E l figur 4.4 se h represetdo el digrm del lugr de ls ríes pr u período de muestreo de T seg. Figur 4.4. Digrm del lugr de ls ríes pr T seg. Pr ls ríes oiide o ls ríes del sistem lo ierto. Cudo umet ls ríes se vuelve omplejs ojugds y omie desriir u iruferei pr luego volver ser reles. Por último pr u rí oiide o el ero y l otr está e. El sistem es estle hst u vlor de pr el ul se produe l iterseió del lugr de ríes o l iruferei de rdio uitrio. Se trt hor de oteer u expresió del vlor máximo de pr el ul el sistem está e el límite de estilidd. Pr ello se igul l expresió de l iruferei del lugr de ríes l euió de l iruferei de rdio uitrio y se otiee l sis x que orrespode l límite de estilidd: x [( p +. (4-36) ) + ( p)] / Si el período de muestreo es de T seg., de l expresió terior se otiee: x.44. Reempldo este vlor e l euió de l iruferei (expresió (4-35)) se otiee el orrespodiete vlor de y (y ±.97). Los vlores de x e y oteidos pr el vlor límite de.39 oiide o los oteidos previmete por pliió del método de Jury (euió (4-3)). 4

12 IV.7. DIAGRAMAS DE BODE. El álisis de estilidd de sistems de tiempo disreto puede relirse, omo e sistems lógios, e se l mrge de fse MF y l mrge de gi MG defiidos prtir de l respuest e freuei del sistem de lo ierto. E sistems de tiempo otiuo l respuest e freuei puede ser oteid e form proximd trvés de los digrms de Bode. E efeto, sádose e el heho de que l respuest e freuei de u sistem otiuo se otiee l evlur l fuió de trsferei e s jω, puede oteerse, trvés de propieddes geométris, proximioes por líes rets de l respuest e freuei. E el domiio, l respuest e freuei se otiee prtir de evlur l fuió de trsferei e e jω, es deir sore putos de l iruferei uitri. Evidetemete, l evluió proximd de Bode, por líes rets, o es plile. Si emrgo, si se emple l trsformió iliel pr psr del plo l plo, ls proximioes de Bode por líes rets puede ser utilidos pr lir el omportmieto e freuei de sistems muestredos. Ejemplo. Supógse el mismo ejemplo y lido. Los digrms de Bode del sistem de tiempo otiuo ddo por l euió (4-5) se h represetdo e l figur 4.5. Figur 4.5. Digrms de Bode del sistem lógio. Del álisis de l figur se dedue que el sistem lógio lo errdo será estle pr todo vlor positivo de l gi y que el mrge de gi es ifiito. Pr el vlor elegido de l gi, el mrge de fse vle MF 5. 43

13 L estilidd del sistem muestredo puede estudirse diretmete prtir de su fuió de trsferei G(). Ls fuioes de trsferei G() pr períodos de muestreo de T. seg. y T seg. h sido oteids previmete (euioes (4-8) y (4-9)): G ; T.seg. (4-37) ( )(.95) G ; T seg. (4-38) ( )(.368) El álisis de l estilidd se reli reempldo l vrile prtir de su defiiió ( e jωt ) y grfido el módulo y l fse de l fuió de trsferei pr los vlores de ωt ompredidos etre y π. E ls figurs 4.6 y 4.7. se h represetdo los digrms del sistem muestredo orrespodietes u período de muestreo de T.seg. y seg. respetivmete. Figur 4.6. Digrm e fuió de l freuei del sistem digitl pr T. seg. 44

14 Figur 4.7. Digrm e fuió de l freuei del sistem digitl pr T seg. Del álisis de ls figurs se oserv que el sistem muestredo es más iestle que el de tiempo otiuo y que demás el grdo de iestilidd umet l iremetr el período de muestreo. Los márgees de gi (MG) y fse (MF), pr el sistem muestredo pr T. seg. y T seg. vle: T.seg ; T seg ; MG 6 db; MG 7.6 db; MF 5 $ MF 3 $ (4-39) Como se h putulido, si se emple l trsformió iliel, l respuest e freuei puede ser proximd por los digrms de Bode, es deir, sus proximioes por líes rets puede ser diretmete utilids pr lir l estilidd de los sistems muestredos. E efeto, empledo l trsformió iliel, ls expresioes (4-37) y (4-38) se trsform e: G ( ) ; T.seg. (4-4).38 ( ) ( +.4) G ( ) ; ( +.94) T seg. (4-4) E ls figures 4.8 y 4.9, se h represetdo los digrms de Bode e el plo orrespodietes ls expresioes (4-4) y (4-4). 45

15 Figur 4.8. Digrms de Bode del sistem digitl e el plo, pr T. seg. Figur 4.9. Digrms de Bode del sistem digitl e el plo, pr T seg. 46

16 Del álisis de ls figurs se desprede que los márgees de gi y fse prátimete orrespode los oteidos previmete (euió (4-39)). L úi diferei o los digrms de ls figurs 4.6 y 4.7 es que l lirió e freuei se h modifido (euió 4-5), permitiedo el uso de ls proximioes por líes rets. IV. 8. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST. Como e los sos del riterio de Routh Hurit y de los digrms de Bode, el riterio de estilidd de Nyquist, desrrolldo pr sistems otiuos, puede plirse diretmete sistems disretos medite el empleo de l trsformd iliel. Si emrgo el riterio de estilidd de Nyquist puede ser desrrolldo prtir de l fuió de trsferei del sistem muestredo e el plo. Como e el so de tiempo otiuo, el desrrollo del riterio se s e l pliió del Priipio de Cuhy, pero, e el so disreto, e lugr de roder todo el semiplo iquierdo s, el mio de Nyquist pr lir l estilidd e el plo es el írulo uitrio rodedo e setido tihorrio. L fuió rterísti del sistem muestredo F() puede ser ftorid omo: i + ( ) ( pi ) i m i F GH. (4-4) Al reorrer el írulo uitrio del plo e setido tihorrio, el riterio de Nyquist estlee que: dode: N represet el úmero de giros e setido horrio de l fuió F() lrededor del puto. Z el úmero de eros de l euió rterísti (F()), situdos fuer del írulo uitrio. N Z P, (4-43) P el úmero de polos de l fuió de trsferei lo ierto (GH()) o de l euió rterísti (F()) situdos fuer del írulo uitrio. Ejemplo: Supógse el mismo ejemplo lido previmete. El estudio de l estilidd del sistem muestredo medite el empleo del riterio de estilidd de Nyquist puede relirse prtir de los plos o. Si prtimos del plo, pr u período de muestreo de T seg., result: G ; T seg.. (4-44) ( ) (.368) Ddo que l fuió de trsferei G() tiee u polo sore el írulo uitrio uido e, el mio de Nyquist dee esquivr diho puto. L desviió de l tryetori de Ny- 47

17 quist lrededor del puto se reli usulmete siguiedo el mio +ρ e jθ, o ρ y θ vrido de -π/ π/. El digrm de Nyquist resultte se h represetdo e l figur 4.. Figur 4.. Digrm de Nyquist del sistem digitl pr T seg. Los márgees de gi y fse oteidos de l figur oiide o los hlldos previmete: MG /(-).4 MF 3 (Teer e uet ls esls de l figur) Si l pliió del riterio de Nyquist se reli e el plo, pr u período de muestreo T seg. l fuió de trsferei del sistem muestredo e el plo está dd por:.38 ( ) ( +.4) G ( ) ; T seg.. (4-45) (.94) Como l fuió de trsferei tiee u polo e el orige, dih disotiuidd dee ser evitd. Pr ello el otoro de Nyquist sigue usulmete u tryetori irulr, lrededor del orige, de rdio ifiitesiml. El digrm de Nyquist resultte oiide o el represetdo e l figur 4. y que l úi diferei etre mos digrms rdi e l lirió e freuei del mismo. 48