Fase Nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española Sant Feliu de Guixols (Girona), 27 de marzo de 2009 PRIMERA SESIÓN SOLUCIONES
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- Rubén Franco Acosta
- hace 5 años
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1 Fse Nionl de l XLV Olimpid Mtemáti Espñol Snt Feliu de Guiols (Giron 7 de mro de 9 PRIMER SESIÓN SOLUCIONES - Hll tods ls suesiones finits de n números nturles onseutivos on n tles que 9 n Primer soluión: n Supongmos que N es l sum de n números nturles onseutivos empendo por k Entones N ( k ( k ( k n [ k ( k ( k n ] [ k] ( k n( k n k( k n(k n Teniendo en uent que se tienen los siguientes sos: n ( k n ( Si 7 result k 8 on lo que n ( Si 7 k n 87 result k 6 on lo que k n n ( 9 ( Si result k 8 on lo que k n ( Si 9 n ( result k 6 on lo que
2 (5 Los otros sos dn vlores de k que no verifin el enunido Segund soluión: n( n Clrmente es n n de donde 9 n Entones n( n ( n 9 > luego n < 8 l ser 6 96 > 8 > result que 8 < 6 on lo que n < 65 Supongmos en primer lugr que n es impr Entones ovimente n divide 9 7 n puede tomr los vlores 7 ó 9 pues ulquier otro divisor impr de 9 es mor o igul que 7 87 Se otiene entones 9 n on vlores respetivos es deir se otienen ls n tres suesiones 8 859; 9 69; No h otrs suesiones on un número impr de términos n Supongmos finlmente que n es pr Entones divide 9 on lo que n que ulquier otro vlor de n h de ser mor o igul que 8 > 65 lo que no es posile Entones 7 l úni suesión on número pr de términos es Sen BC un triángulo utángulo I el entro del írulo insrito en el triángulo BC r su rdio R el rdio del írulo irunsrito l triángulo BC Se tr l ltur D h on D perteneiente l ldo BC Demuestr que Primer soluión: DI (R h ( h r Sen E M ls proeiones ortogonles de I sore BC D respetivmente r S S Se tiene: I ; r I ( donde evidentemente S es sen p p sen el áre del triángulo BC p es su semiperímetro sen Por otr prte S sen os sí que ( se puede esriir omo os p( p I que os ( p otenemos I ( p p
3 S S Teniendo en uent que R h p l epresión ( se esrie r S h r omo I R h R h R( h r S h ( r Como el udrilátero IEDM es un retángulo MD IE r plindo el teorem de Pitágors generlido DI tenemos DI h I h M DI h I h ( h MD teniendo en uent los resultdos nteriormente otenidos result finlmente DI h R( h r h ( h r (R h ( h r qd Segund soluión: Sen ls longitudes de los ldos BC C B respetivmente se T el punto donde l irunfereni insrit es tngente l ldo BC Por el teorem de Pitágors l ser IT // D DT se tiene que DI r DT r T D l iguldd demostrr es equivlente T Rr r ( R r h hor ien llmndo S l áre de BC es onoido que r ( h S ( ( ( ( R De quí se dedue que Rr ( ( ( r ( ( ( R h R h Osérvese que Rr r hor ien se se que BT CT Por el teorem de Stewrt tenemos que BT C CT B T BT CT BC ( ( on lo que ( ( T Rr r e identifindo términos se omprue que esto oinide on el vlor de (R r h de este modo l iguldd requerid qued demostrd h
4 Terer soluión: Nótese en primer lugr que B C r sen sen S r ( r r I h r R sen R sen B C donde S es el áre de BC se h utilido que r R sen sen sen Se hor el punto P en el que l prlel BC por I ort l ltur D Clrmente DI r I ( h r I h ( h r (R h ( h r - Se pintn de rojo lguns de ls rists de un poliedro regulr Se die que un olorión de este tipo es uen si pr d vértie del poliedro eiste un rist que onurre en diho vértie no está pintd de rojo Por otr prte se die que un olorión donde se pintn de rojo lguns de ls rists de un poliedro regulr es ompletmente uen si demás de ser uen ningun r del poliedro tiene tods sus rists pintds de rojo Pr qué poliedros regulres es igul el número máimo de rists que se pueden pintr en un olorión uen en un ompletmente uen? Justifi l respuest Soluión: Clrmente ls oloriones ompletmente uens son un suonjunto de ls oloriones uens on lo que si el máimo número de rists que se pueden pintr de rojo pr otener un olorión uen se puede lnr on un olorión ompletmente uen l pregunt del enunido tiene respuest firmtiv NOT: En d so vése el reudro de ls figurs l finl de l soluión En el so de un tetredro eisten 6 rists tles que en d vértie onfluen de ells El número máimo de rists pintds de rojo en un olorión uen serí por lo tnto 6 pues en so ontrrio eistirí lgún vértie donde más de de ls rists estuviern pintds de rojo es deir tods ls rists estrín pintds de rojo L figur muestr un olorión ompletmente uen de un tetredro on rists rojs (el tetredro h sido deformdo pr poder ser diujdo en el plno De igul form en el uo eisten rists tles que en d vértie onfluen de ells El número máimo de rists pintds de rojo en un olorión uen serí por lo tnto 8 L figur muestr un olorión ompletmente uen on 8 rists rojs Finlmente en el dodeedro eisten rists tles que en d vértie onfluen de ells El número máimo de rists pintds de rojo en un olorión uen
5 serí por lo tnto L figur muestr un olorión ompletmente uen de un dodeedro on rists rojs De lo nterior se dedue que pr el tetredro el uo el dodeedro el número máimo de rists rojs en un olorión uen se ln on un olorión ompletmente uen En el otedro eisten rists tles que en d vértie onfluen de ells El número máimo de rists pintds de rojo en un olorión uen es por lo tnto 9 L figur muestr un olorión uen de un otedro on 9 rists rojs hor ien omo d rist pertenee dos rs sumndo pr ls 8 rs el número de rists pintds de rojo en dih r otenemos 8 8 on lo que h l menos dos rs on rists pintds de rojo un olorión uen on el número máimo de 9 rists pintds de rojo nun puede ser ompletmente uen Finlmente en el iosedro eisten rists tles que en d vértie onfluen 5 de ells El número máimo de rists pintds de rojo en un olorión uen es por lo tnto L figur muestr un olorión uen de un iosedro 5 on rists rojs hor ien eso quiere deir que sumndo el número de rists rojs de d r pr tods ls rs otenemos 8 8 es deir eisten l menos 8 rs on tods sus rists rojs un olorión uen on el número máimo de rists pintds de rojo nun puede ser ompletmente uen Por lo tnto los poliedros regulres que tienen l propiedd desrit en el enunido son el tetredro el uo el dodeedro (es deir los poliedros tles que en d vértie onfluen etmente rists los que no l tienen son el otedro e iosedro (en uos vérties onfluen más de rists FIGURS FIGURS FIGURS FIGURS
6
7 Fse Nionl de l XLV Olimpid Mtemáti Espñol Snt Feliu de Guiols (Giron 8 de mro de 9 SEGUND SESIÓN SOLUCIONES - Determin justifidmente todos los pres de números enteros ( que verifin l euión 9 Soluión: Dd un soluión ( ulquier es lro que tmién son soluiones ( ( ( on lo que se puede sumir sin pérdid de generlidd que Supongmos entones que es sí Es lro que ( ( 7 Si no son primos entre sí su máimo omún divisor l udrdo divide 9 7 luego es 7 divide ( ( ( ( on lo que eisten enteros no negtivos u v tles que 7u 7v ( u 7v ( u 7v Como mos ftores hn de ser enteros se tiene que u 7v u 7v on lo que u v No eisten 7 pues soluiones enters en este so Si son primos entre sí un posile so es que 9 on lo que surdo pues 96 < < Rest entones tn sólo el so en que 9 que produe 5 on lo que l úni soluión on enteros no negtivos es 5 e ls únis soluiones en enteros son ( ( ± 5 ± 5- Sen números reles positivos tles que Prue l desiguldd siguiente
8 Primer soluión: Como entones nálogmente se otienen Por tnto l desiguldd requerid se onvierte en equivlente Usndo hor l desiguldd ritméti- udráti se otiene sí es sufiiente demostrr que o equivlentemente ( ( ( que su ve equivle que ( ( ( Poniendo en l últim desiguldd result Sustituendo hor β α γ se lleg l desiguldd de Nessit β α γ α γ β γ β α L iguldd se ln si sólo si Segund soluión: Como en l primer soluión proremos l desiguldd más fuerte después de plir l desiguldd del enunido l desiguldd entre l medi ritméti l medi udráti Pr ulquier número rel positivo se definen los reles positivos tles que
9 Denotmos hor u v w que ovimente son w positivos oteniendo sus epresiones nálogs por u v permutiones irulres De este modo es sufiiente pror w u v u v v w v u u v v w w u ( u v w que es equivlente u v w u v v w w u que es ierto porque es l desiguldd entre l medi ritméti rmóni plid los números u v v w w u L desiguldd se ln si sólo si u v w es deir ó 6- En el interior de un irunfereni de entro O rdio r se tomn dos puntos B simétrios respeto de O Se onsider un punto vrile P sore est irunfereni se tr l uerd PP perpendiulr P Se C el punto simétrio de B respeto de PP Hll el lugr geométrio del punto Q interseión de PP on C l vrir P sore l irunfereni Primer soluión: C P' B Estlemos primero que C es onstnte Método Se otiene C prtir de plindo un giro de 8 º on entro en O seguido de l simetrí de eje PP P Desomponiendo el giro en produto de dos simetrís de M ejes perpendiulres e prlelo P e perpendiulr Q P result que el triángulo C es retángulo en e demás: C OM ; MP de donde C OM MP OP r ; O es deir C r on independeni de l posiión de P ' e C Método P Prolongmos P hst que orte de nuevo l irunfereni en P ' P Se tiene CP P B P B O P ''
10 demás P B es prlelo PP ; luego el segmento C es l imgen del segmento P P medinte l trslión de vetor P P omo P PP es reto P P es un diámetro result C P P r Finlmente l ser PP l meditri de BC QC QB QC QB; se dedue entones que QB Q QC Q C r Q desrie l elipse de foos B onstnte r L ret PP es l tngente en Q l elipse Segund soluión: Tommos r unos ejes de oordends en los que l euión de l irunfereni es ls oordends de ( B ( on < < En ve de emper por P se P ( on l ondiión Por ls ondiiones del prolem P es el punto medio de BC; llmndo oordends de C se tiene Entones l euión de l ret C es ( es deir Ls pendientes de P B de P P son respetivmente Por tnto l euión de P P es ( Ls oordends del punto Q interseión de C P P son: ( Q Denotndo por ls oordends de Q despejndo los vlores de e se otiene Imponiendo hor l ( ondiión se lleg ( ( medinte operiones se trnsform en l euión que es l euión de un elipse Terer soluión: Demostrremos en primer lugr que ddos dos puntos B del plno el onjunto de los puntos P (del mismo plno tles que P PB es onstnte mor que B es un irunfereni de entro el punto medio de B que tiene los puntos B en su interior En efeto supongmos ( d B ( d se P ( ulquier punto Se tiene entones P PB d sí que si d k P PB k se tiene que d d
11 Se entones hor R el punto donde BC ort PP (que es perpendiulr BC Este punto R stisfe PR BP BR R P luego R está en l irunfereni es distinto de P on lo que R P hor ien se tiene P BP ( P BP k PP ( P BP k B P BP donde k P BP P BP demás l poteni de respeto de l irunfereni es k k B r d d on lo que el segundo punto S en el que P ort l irunfereni es tl que S BP CP Como CP PP P se tiene que S es prlelo CP SP C es un prlelogrmo Finlmente PP PS P S S P P BP k B k d r es deir PS ' C r Como Q BQ C r el lugr de Q es l elipse interiormente tngente l irunfereni dd on B omo foos
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