RESPUESTAS DE LA XXIX OLIMPIADA ESPAÑOLA

Transcripción

1 RESPUESTS DE L XXIX OLIMPID ESPÑOL.- En un reunión hy 0 persons de 5 nionliddes diferentes. Se se que, en d grupo de 6, l menos dos tienen l mism edd. Demostrr que hy l menos 5 persons del mismo pís, de l mism edd y del mismo sexo. Soluión (Mª Gspr lonso-veg) Si en d grupo de 6 persons, son de l mism edd, sólo puede her 5 eddes diferentes, y que, si huiese 6 eddes diferentes, eligiendo un person de d edd tendrímos 6 persons de eddes distints ontr l hipótesis. omo 00 = 00 l menos hy 0 persons del mismo sexo. 0 = 5 0 l menos hy persons de l mism edd y sexo. = 4 5 l menos hy 5 persons de l mism nionlidd, edd y sexo..- Esrito el triángulo ritmétio: donde d número es l sum de los dos que tiene enim (d fil tiene un número menos y en l últim sólo hy un número). Rzonr que el último número es múltiplo de 99. Soluión. Si representmos los elementos de l primer fil por 0,,,... los elementos de l segund serán: 0,,,... los de l terer serán : 0,,... pr l urt : 0, 4,... Supongmos que los dos primeros elementos p,0 y p, de l fil p-ésim son: p p p p, 0 = 0... p 0 p ; p p p p, =... 0 p entones, el primer elemento de l fil siguiente será : p p p p = p 0, 0... (*) 0 p en nuestro so l primer fil tiene 994 elementos, l segund 99,... y l últim orresponde p = 994 y su únio elemento será = p

2 l ser 99 primo, 99 es múltiplo de 99 pr todo k menor que 99 y por tnto 99 es k múltiplo de Justifir rzondmente que, en ulquier triángulo, el diámetro de l irunfereni insrit no es myor que el rdio de l irunfereni irunsrit. Soluión (F. ellot) L desiguldd propuest, R - r 0 es un onseueni del teorem de Euler. Si I, O son el inentro y el irunentro de un triángulo, r y R los rdios de ls irunferenis insrit y irunsrits, se verifi: IO = R - Rr. Entones IO = R (R - r) 0 R - r Demostrr que pr todo número primo p distinto de y de 5, existen infinitos múltiplos de p de l form... (esrito sólo on unos). Soluión (lvro egué gudo) Vemos primero que p tiene infinitos múltiplos de l form onsideremos l suesión: 9, 99, 999,..., (el último tiene n nueves). Entones se tiene: 9 = 0 - ; 99 = 0 - ; 999 = 0 - ; = 0 n - en l suesión hy infinitos términos de l form 0 p- - on p, p 5 y p primo. Puesto que, por el teorem de Fermt: 0 p- - (mód p) si p, p 5 l firmión qued demostrd. Finlmente = 9... entones si p es primo on 9 (p ), p divide l produto, es primo on 9 luego divide... Qued el so p = que es evidente y que los infinitos números: ;,... son múltiplos de tres. 5.- Se dn 6 puntos formndo un udríul omo en l figur: D De ellos se hn destdo y D. Se pide fijr de todos los modos posiles otros dos puntos y on l ondiión de que ls seis distnis determinds por los utro puntos sen distints. En ese onjunto de uterns, estudir: ) uánts figurs de 4 puntos existen on ls ondiiones del enunido. ) uánts de ells son geométrimente distints, es deir, no deduiles uns de otrs por trnsformiones de iguldd. ) Si d punto se design por un pr de enteros (X i, Y i ), rzonr que l sum: X i - X j Y i - Y j extendid los seis pres,, D,, D, D es onstnte.

3 Soluión El prolem dmite dos ejes de simetrí oinidentes on ls digonles del udrdo. lsifiremos ls soluiones posiles por l posiión del punto respeto del vértie. Usremos oordends enters on origen en. Ls tres posiiones fundmentles (no deduiles uns de otrs por ls simetrís nteriores) son quells en ls que está en los puntos de oordends (0,); (0,) y (,) pr d un de ells diujmos us esquem on ls posiles posiiones del punto. Ls posiiones prohiids se diujn en negro, l posiión de en gris y ls de i en lno. Un riterio generl pr prohiir uiiones es lolizr quellos puntos que estn en l meditriz de dos puntos y situdos. omo y D son ddos y fijos, l digonl prinipl siempre ontiene puntos prohiidos D D D 4 El esquem de l izquierd ontiene 4 posiiones originles y d un de ells gener otrs utro por pliión de ls dos simetrís, en totl 6. El esquem del entro ontiene posiiones originles y d un de ells gener otrs utro por pliión de ls dos simetrís, en totl. El esquem de l dereh ontiene posiión originl que gener otrs utro por pliión de ls dos simetrís, en totl 4. Por tnto existen posiiones posiles y 8 originles, esto ontest los prtdos ) y ). Pr el prtdo ) hy que suponer que los enteros signdos d punto son sus oordends en un origen ulquier, nosotros supondremos que el origen está en on lo que ls oordends de son (0,0) y ls de D(,0). los seis sumndos orresponden ls prjs,, D,, D y D. El orrespondiente D es onstnte y vle = 6. Los orrespondientes y D vlen en onjunto siempre 6 y que está en fil inferior y olumn izquierd y D en l fil superior y olumn dereh. Por el mismo motivo los sumndos orrespondientes y D vlen entre los dos siempre 6. Sólo qued el sumndo X i - X j Y i - Y j orrespondiente que por simple omproión en todos los sos originles vle siempre. L sum omplet es entones onstnte y vle =. 6.- Un máquin de juego de un sino tiene un pntll en l que se ofree un esquem omo el de l figur. Pr omenzr el juego pree un ol en el punto S. d impulso que reie del jugdor, es ol se mueve hst un de ls letrs inmedits on l mism proilidd pr d un de ells. L prtid termin l ourrir el primero de los dos hehos siguientes: ) L ol vuelve S y entones el jugdor pierde. ) L ol lleg G y entones el jugdor gn. S D G

4 Se pide l proilidd de que el jugdor gne y l durión medi de ls prtids. Soluión (F. ellot) Podemos representr el desrrollo del juego medinte un digrm en árol: S / / / S / D S D G D S D D G L proilidd de que el juego teng longitud es L proilidd de que el juego teng longitud 4 es : = L proilidd de que el juego teng longitud 6 es : =, et, en generl l proilidd de que el juego teng longitud n es: Entones, l durión medi M de un juego es l sum de d longitud por l proilidd respetiv : n n M= n n= n n n = = serie ritmétio-geométri que se sum por el mismo método que l geométri: n M M= M = = M = = 6 n L proilidd P de gnr será l sum de ls proiliddes de gnr en 4 psos más l de que gne en 6 psos...et.: P = 4... =

5 RESPUESTS DE L XXX OLIMPID ESPÑOL.- Demostrr que si entre los infinitos términos de un progresión ritméti de números enteros positivos hy un udrdo perfeto, entones infinitos términos de l progresión son udrdos perfetos. Soluión strá pror que prtir de un udrdo perfeto podemos onstruir otro. Se l progresión:, d, d,..., kd... omo ( d) = d d = ( d)d, st tomr k = d pr otener otro udrdo en l progresión..- Se OXYZ un triedro triretángulo de vértie O y rists X, Y, Z. Sore l rist Z se tom un punto fijo, tl que O =. Sore X e Y se tomn respetivmente dos puntos vriles P y Q de modo que l sum OP OQ se un onstnte dd k. Pr d pr de puntos P y Q, los utro puntos O,, P, Q están en un esfer, uyo entro W se proyet sore el plno OXY. Rzonr uál es el lugr geométrio de es proyeión. Rzonr tmién uál es el lugr geométrio de W. Soluión Z En l figur se muestrn on trzo disontínuo ls irunferenis que resultn de interser l esfer on los plnos oordendos. Ls proyeiones del entro W de l esfer sore estos plnos oiniden on los G entros de ests irunferenis (denotdos F, G y H H W O Q en l figur) y l ser el triedro triretángulo, F, G y H P F estn en los puntos medio de los segmentos PQ, Q y P que son diámetros de sus irunferenis. X Prmetrizndo on l distni OP= λ tenemos trivilmente en l refereni OXYZ l siguientes oordends: P(λ,0,0); Q(0,k-λ,0); (0,0,); λ k λ k λ λ λ k λ F,, 0 ; 0,, ;, 0 G H, ; W,, Y k El lugr de F es l ret x y= del plno XOY. El lugr de W es un ret prlel l nterior situd en el plno z =, más onretmente es l interseión de los plnos: k x y= z =.- Un ofiin de Turismo v relizr un enuest sore número de dís soledos y número de dís lluviosos que se dn en el ño. Pr ello reurre seis regiones que le trnsmiten los dtos de l siguiente tl:

6 Región Soledos o lluviosos Inlsifiles D 4 E 9 6 F 0 5 L person enrgd de l enuest no es impril y tiene esos dtos más detlldos. Se d uent de que, presindiendo de un de ls regiones, l oservión d un número de dís lluviosos que es l terer prte del de dís soledos. Rzonr uál es l región de l que presindirá. Soluión l suprimir un región, l sum de dís soledos o lluviosos de ls restntes h de ser múltiplo de 4. Est sum vle pr ls seis regiones 994 que dividido entre 4 d resto. El únio dto de est olumn que d resto l dividirlo entre 4 es 0 orrespondiente l región F. Suprimiendo est región quedn entre ls ino restntes 46 dís lluviosos y 46 = 48 dís soledos. 4.- El ángulo del triángulo isóseles mide /5 de reto, siendo igules sus ángulos y. L isetriz de su ángulo ort l ldo opuesto en el punto D. lulr ls medids de los ángulos del triángulo D. Expresr l medid del ldo en funión de l medid del ldo, sin que en l expresión prezn rzones trigonométris. Soluión on los dtos del enunido tenemos: en el triángulo = 6º; = = 7º en el triángulo D D = 6º; D = D = 7º en el triángulo D D = D = 7º; D = 08º por tnto D y D son isóseles y dems D es semejnte l. Pr los ldos se tiene: D = D = ; D = -. Expresndo l proporionlidd derivd de l semejnz nterior: = = = 0 = 0 ( 5 ) 5 y resolviendo qued = = es deir es l seión áure de. 5.- on fihs de dms, uns lns y otrs negrs, se form un retángulo de x7. Demostrr que siempre hy utro fihs del mismo olor situds en los vérties de un retángulo. Soluión - D

7 Dispondremos el tlero en posiión vertil, es deir, on 7 fils y olumns. signremos el olor lno l ifr 0 y el negro l ifr. De este modo d fil represent un número esrito en se. En primer lugr es fáil ver que si en un fil se olon tods ls fihs del mismo olor, por ejemplo el negro, neesrimente hrá un 4 retángulo y que no podemos olor en ningun fil dos fihs negrs y sólo podemos llenr un máximo de 5 fils en totl sin formr retángulo. 5 Por otr prte si dos números son igules sus fils formn retángulo, 6 luego tods ls fils hn de representr números distintos. Por l onsiderión nterior hemos de exluir los números 000 y. on tres ifrs en se dos existen = 8 números distintos, quitndo los nteriores quedn 6 pr 7 fils por lo que neesrimente hemos de repetir y formr retángulo. El prolem tendrí soluión en un tlero de x6 tl omo se muestr en l figur. 6.- Un polígono onvexo de n ldos se desompone en m triángulos, on los interiores disjuntos, de modo que d ldo de esos m triángulos lo es tmién de otro triángulo ontíguo o del polígono ddo. Pror que m n es pr. onoidos n y m hllr el número de ldos distintos que quedn en el interior del polígono y el número de vérties distintos que quedn en ese interior. Soluión omo hy m triángulos, hy m ldos; de ellos m - n son interiores, y omo ldo interior pertenee dos triángulos, hy m n ldos interiores distintos. En prtiulr m - n es pr, luego m y n tienen l mism pridd y m n es pr. Supongmos que el número de vérties v sólo depende de m y n. Rzonemos por induión sore v. Si no hy ningún vértie interior (v = 0), uniendo un vértie del polígono on los otros, se divide en n - = n v - triángulos. Supongmos que hy v vérties interiores y n v - triángulos. l ñdir un vértie hy dos posiiliddes: ) El vértie está en el interior de un triángulo, entones, pr que se umpln ls ondiiones del enunido, dee unirse d uno de los tres vérties del triángulo que se divide en tres y el número de triángulos hor es: n v - = n (v ) -. ) El vértie está en un ldo, entones hy que unirlo on el vértie opuesto de d uno de los dos triángulos que omprten ese ldo, d triángulo se desompone en dos y el número de triángulos es hor: n v - = n (v ) -. En onlusión: m n m = n v - v =

8 RESPUESTS DE L XXXI OLIMPID ESPÑOL.- Se onsidern onjuntos de ien números nturles distintos, que tengn l propiedd de que si, y son elementos ulesquier de (igules o distintos), existe un triángulo no otusángulo uyos ldos miden, y uniddes. Se denomin S() l sum de los perímetros onsiderdos en l definiión de. lul el vlor mínimo de S(). Soluión: Si n es el menor de los elementos de y m el myor, l tener ien elementos distintos, será m n 99. Pr que el triángulo isóseles de ldos n, n, m se no otusángulo dee ourrir que m n ; si m es lo menor posile, m = n 99 deerá ser (n 99) n, o se: ( ) n - 98n n n 99 n 40. Si n < 40, es seguro que el onjunto no umple l ondiión del enunido pues m (n99) n y el triángulo de ldos n, n, m no puede ser no otuságulo. En prtiulr l ondiión se umple pr el onjunto: = {40, 4, 4,..., 9} ulquier otro onjunto que umpl l ondiión, tendrá sus elementos respetivmente igules o myores que los de éste. Este es, por tnto el que d lugr l mínimo S(). El número de triángulos que dee onsiderrse es el de vriiones ternris on repetiión de los elementos de, que es 00 = , on lo que el número de ldos en totl será de ; de ellos hrá 0000 de longitud 40, otros tntos de longitud 4, et. Luego 00 ( 40 9) S( ) = 0000 ( ) = 0000 = uniddes. Este es el vlor mínimo usdo.

9 .- Reortmos vrios írulos de ppel (no neesrimente igules) y los extendemos sore un mes de modo que hy lgunos solpdos (on prte interior omún), pero de tl form que no hy ningún írulo dentro de otro. Prue que es imposile ensmlr ls piezs que resultn de reortr ls prtes no solpds y omponer on ells írulos distintos. Soluión: L fronter de ls piezs reortds (que no sen írulos ompletos) está formd por ros ónvos y onvexos (vistos desde fuer) que se ortn en puntos que llmremos vérties. En un vértie pueden onurrir dos ros ónvos o uno ónvo y otro onvexo, pero nun dos onvexos y que éstos únimente provienen de l fronter de los írulos iniiles. demás, los ángulos que formn los ros en d vértie no son de 0º ni de 80º y que exluimos ls tngenis interiores. Supongmos que tenemos un írulo otenido ensmlndo piezs reortds. Existe l menos un punto P de l fronter de diho írulo en el que onurren tres o más ros de l fronter de ls piez ensmlds (P es vértie de dos o más piezs). L tngente l írulo en P dej todos los ros en un mismo semiplno. Elegido un sentido de rotión en P prtir de l tngente, y vnzndo en este sentido, el primer ro que enontrmos es onvexo y el último ónvo. Por lo tnto es neesrio que existn dos ros onseutivos uno onvexo y el otro ónvo los ules formn prte de l fronter de un de ls piezs ensmlds. omo el ro que formn dihs piezs no puede ser ni 0º ni 80º, el punto P es un vértie de l piez. Esto es ontrditorio pues en ningún vértie pueden onurrir dos ros onvexos vistos desde fuer. Not. Hy que entender en el enunido.que quedn exluids ls tngenis interiores. De no ser sí pueden enontrrse ontrejemplos omo el despiee que se muestr en l figur: P

10 .- Por el rientro G de un triángulo se trz un ret que ort l ldo en P y l ldo en Q. Demuestr que: P Q P Q 4 Soluión: Dupliquemos el triángulo trzndo D prlel y D prlel omo muestr l figur y tomemos l longitud del ldo omo unidd. Llmndo M l interseión de D on l ret PQ y x = P; -x = P, tenemos: D Por semejnz de QP y QM: Q Q = M M P = x G Q M Por semejnz de GP y GMD: P G = = MD GD. P Luego: MD = x y M = - x. Sustituyendo en el primer miemro de l relión del enunido qued: P P Q x( x) x x ( x ) Q 4 ( x) 4 Relión válid pr ulquier x. L iguldd se lnz pr P = x = M = PQ prlel l ldo.

11 4.- Hll ls soluiones enters de l euión: p (x y) = x y siendo p un número primo. Soluión: Y que p es primo, p 0 y p. De l euión result que p divide x o p divide y. omo l euión es simétri respeto de x e y, si (α, β) es soluión, tmién lo será (β, α). Si p divide x, x = p, ( Z) l euión se puede poner omo: p p( p y) ) = py p y= y y= y que es entero demás y - son primos entre sí, luego - divide p. l ser p primo sólo hy utro posiiliddes: - = ± y - = ± p. Exminemos todos los sos. i) - = -, entones = 0, x = 0, y = 0 p ii) - =, entones =, x = p y = = p. ( ) iii) - = p, entones = p, x = p(p ) y pp = p = p. ( ) iiii) - = -p, entones = - p, x = p( - p) y p p = p = p. En resumen ls soluiones son: (0, 0); (p, p); (p(p), p); (p(-p), p-); y por l simetrí ñdimos (p, p(p)); (p-, p(-p)).

12 RESPUESTS DE L XXXII OLIMPID ESPÑOL os nturles y son tles que: es entero. Demostrr que el máximo omún divisor de y no es myor que Soluión: Se tiene: =. Se d = m..d (,). omo es divisile por d, entones es divisile por d y tmién lo son y, y l ser y nturles, se tiene : d d.- Se G el rientro del triángulo. Si se verifi: G = G demostrr que el triángulo es isóseles. Soluión: Primer soluión. Teniendo en uent el teorem de l medin, l relión del enunido se esrie: =, 4 4 multiplindo y dividiendo por l expresión onjugd qued: = 4 m ( ) m ( ) m m = 0 Proremos que el segundo ftor es positivo, de donde se dedue l onlusión. Llmndo y los puntos medios de y respetivmente, en los triángulos y tenemos por l desiguldd tringulr: m > ; m >. Sumndo ms desigulddes se otiene el resultdo. Segund soluión.

13 Llmndo,, los puntos medios de los ldos, y respetivmente y dividiendo por dos l ' M ondiión del enunido podemos esriirl omo: ' ' ' G ' ' G =, G es deir los puntos y están en un elipse de foos y G. ' Llmndo M l punto medio de, M est en l medin y no es el entro de l elipse (punto medio del segmento G), por tnto h de ser perpendiulr, y entones demás de medin es ltur y el triángulo es isóseles..- Sen,, números reles. Se onsidern ls funiones: fx ( ) = x x, gx ( ) = x x. Siendo que f( ), f( 0), f( ), demostrr que si - x, entones: 5 fx ( ) 4 y gx ( ). Soluión: Podemos onseguir oefiientes,, tles que se teng idéntimente: fx ( ) = xx ( ) xx ( ) (x ). Prtiulrizndo pr x =, -,0 y resolviendo el sistem qued: f() f( ) f( x) = xx ( ) xx ( ) f( 0)( x ) x R De quí se dedue: fx ( ) xx ( ) xx ( ) x ; omo x, x 0, x 0 y x 0, result x x fx ( ) ( x) ( x) x = x x = x 5 4 por otr prte, pr x 0, gx ( ) = xf. Entones x f () f ( ) gx ( ) = x x f( ) x 0 válido pr x. sí pues x x gx ( ) x = x ( ) ( ) ( ) 5, Disutir l existeni de soluiones de l euión x p x = x según los vlores del prámetro rel p, y resolverl siempre que se posile.

14 Soluión: Si p < 0, entones x p > x; omo x > 0, no existe soluión. Por tnto p 0. islndo un rdil y elevndo l udrdo dos vees se lleg l euión: 4 p 8 ( p) x ( 4 p), de donde x =. 8 ( p) omo x R, p <, sí que 4 p x =. 8 ( p) Sustituyendo en l euión dd se otiene omo p > 0, p = p; y finlmente: ( 4 p) p 4 p = 8 ( p) 8 ( p) 8 ( p) 4 p p= 4 p 4 p = 4 p 4 p 0 0 p 5.- En Port ventur hy 6 gentes seretos. d uno de ellos vigil lgunos de sus olegs. Se se que si el gente vigil l gente, entones no vigil. demás, 0 gentes ulesquier pueden ser numerdos de form que el primero vigil l segundo, éste vigil l terero,..., el último (déimo) vigil l primero. Demostrr que tmién se pueden numerr de este modo gentes ulesquier. Soluión: Diremos que los gentes y son neutrles si no vigil ni vigil. Sen,,... n los gentes. Sen: i el número de gentes que vigiln i. i el número de gentes que son vigildos por i. i el número de gentes que son neutrles on i. Es lro que i i i = 5, i i 8, i i 8 i=,,... 6 Notemos que si un ulquier de ls dos últims desigulddes no se verifise, entones no se podrín numerr 0 espís en l form indid. ominndo ls reliones nteriores otenemos i. Por tnto pr ulquier espí el número de sus olegs neutrles es 0 ó. Rzonemos por reduión l surdo. Supongmos que huier un grupo de espís que NO se pudier numerr en l form desrit. Se uno ulquier de los espís de este grupo. Numermos los otros 0 espís omo,,... 0 de modo que vigil..., 0 vigil. Supongmos que ninguno de los i se neutrl respeto de. Entones si vigil, no puede vigilr, pues en tl so,,,... 0 formrí un grupo en ls ondiiones del prolem, luego vigil, et. De este modo llegmos l ontrdiión de que todos los espís del grupo 4

15 vigiln. Por tnto d uno de los espís dee tener uno y solo uno del grupo neutrl on él, lo ul es imposile. 6.- L figur de l izquierd se ompone de seis pentágonos regulres de ldo m. Se dol por ls línes de puntos hst que oinidn ls rists no punteds que onfluyen en d vértie. Qué volumen de gu e en el reipiente formdo?. Soluión: L figur formd por el gu es un trono de pirámide pentgonl uy se menor es el pentágono ddo y uy se myor es otro pentágono regulr que tiene por ldo l digonl del nterior prlel l rist de l se omo se muestr en l figur inferior dereh. Más jo, se h diujdo en form invertid pr un mejor omprensión del diujo. (Figur entrl). Estlezmos primero lguns reliones onoids pr un pentágono regulr de ldo. (Figur de l izquierd). Llmemos d l digonl. Por semejnz de los triángulos E y PD tenemos: d 5 d d 0 d ( ) d = = = =ϕ 6º O 7º P E D H R h r H-h R-r ϕ es el llmdo número áureo y represent l relión entre l digonl y el ldo de un pentágono regulr. En nuestro so es l relión de semejnz entre ls ses del trono de pirámide. 5 demás : os 6º = d = ϕ = y pr el rdio r : sen 6º = r = = ( ). 4 r sen 6º 4 ϕ Llmndo V l volumen de l pirámide grnde, v l de l pequeñ, semos que V = ϕ v ; y pr el volumen del trono de ono V t qued: Vt = V v= ϕ v v= v( ϕ ) = h( ϕ ); siendo el áre del pentágono de ldo. Sólo nos qued lulr, h, sustituir y operr: El áre l lulmos sumdo 5 triángulos isóseles de ldos igules r, r formndo 7º = r sen 7º = r sen 6º os 6º = ros 6º = rϕ. (hemos usdo rsen6º = de ()). 4 Pr lulr h, por l semejnz de los triángulos de l figur entrl, tenemos:

16 H R h = = r ( h) H h rh h R r = R r = r ( R r) r( ϕ ) = r ( ϕ ) ϕ = ( ϕ ) 4 ϕ ϕ omo ϕ verifi l euión (): ϕ = ϕ ; tenemos pr l expresión de h: h = ( ϕ ) 4 ϕ ϕ = 4 ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ 4 ϕ ( ϕ ) 4 ϕ ( ) 4 ( ) Sustituyendo ls expresiones de y h y poniendo ϕ -= (ϕ-)(ϕ ϕ ); qued: 5 ϕ ( ϕ ) V t = 4 4 ϕ ( ϕ ) 4 ϕ = 5 ϕϕ ( ϕ ) 5 ϕϕ ( ) = = 4 ϕ 6 ϕ 5 6 ϕ ϕ y sustituyendo el vlor de ϕ de (), qued finlmente: V t = =,554m

17 RESPUESTS DE L XXXIII OLIMPID ESPÑOL.- lulr l sum de los udrdos de los ien primeros términos de un progresión ritméti, siendo que l sum de ellos vle -, y que l sum de los términos de lugr pr vle..- Un udrdo de ldo 5 se divide en 5 udrdos unidd por rets prlels los ldos. Se el onjunto de los 6 puntos interiores, que son vérties de los udrdos unidd, pero que no están en los ldos del udrdo iniil. uál es el myor número de puntos de que es posile elegir de mner que TRES ulesquier de ellos NO sen vérties de un triángulo retángulo isóseles?..- Se onsidern ls práols y = x px q que ortn los ejes de oordends en tres puntos distintos por los que se trz un irunfereni. Demostrr que tods ls irunferenis trzds l vrir p y q en R psn por un punto fijo que se determinrá. Segund Sesión 4.- Se p un número primo. Determinr todos los enteros k Z tles que k kp es nturl. 5.- Demostrr que en un udrilátero onvexo de áre unidd, l sum de ls longitudes de todos los ldos y digonles no es menor que ( ). 6.- Un ohe tiene que dr un vuelt un iruito irulr. En el iruito hy n depósitos on iert ntidd de gsolin. Entre todos los depósitos ontienen l ntidd ext que el ohe neesit pr dr un vuelt. El ohe omienz on el depósito vío. Demostrr que on independeni del número, posiión y ntidd de omustile de d depósito, siempre se puede elegir un punto de omienzo que le permit ompletr l vuelt. Nots: ) El onsumo es uniforme y proporionl l distni reorrid. ) El tmño del depósito es sufiiente pr lergr tod l gsolin neesri pr dr un vuelt.

18 Soluiones.- lulr l sum de los udrdos de los ien primeros términos de un progresión ritméti, siendo que l sum de ellos vle -, y que l sum de los términos de lugr pr vle. Se l progresión, d, d,..., 99d, entones tenemos que hllr: S = ( d) ( d)... ( 99d) =00 d (... 99) d ( ). ( 99d) 50 = Pr lulr y d resolvemos el sistem: que operdo y resuelto sle: ( d 99d) 5 = = -,98; d = 0,06. El resto es fáil de lulr. Los préntesis son progresiones de primer y segundo orden. El resultdo finl es S = 99, = 4950; = Un udrdo de ldo 5 se divide en 5 udrdos unidd por rets prlels los ldos. Se el onjunto de los 6 puntos interiores, que son vérties de los udrdos unidd, pero que no están en los ldos del udrdo iniil. uál es el myor número de puntos de que es posile elegir de mner que TRES ulesquier de ellos NO sen vérties de un triángulo retángulo isóseles?. Numeremos los puntos omo indi l figur Por simple tnteo se otiene un onjunto de seis puntos verifindo l ondiión del enunido, por ejemplo {,,, 8,, 6}. Supongmos que huier un onjunto M de 7 puntos verifindo l ondiión del enunido. Notemos que si utro puntos formn un udrdo, lo sumo figurrán dos de ellos en M. Los puntos de los onjuntos {, 4, 6, }, {, 8, 5, 9}, {,, 4, 5} formn udrdos y su unión form el ontorno exterior de, luego los sumo 6 de los puntos elegidos deen estr en M y por tnto l menos un punto de M dee ser del onjunto interior de : {6, 7, 0, }. Por l simetrí de l figur supongmos que es el 7. omo {7, 6, 9} y {, 7, 4} formn triángulos retángulo isóseles, lo sumo de los puntos del onjunto {, 9, 4, 6} deerán figurr en M. demás {5, 7,, 5} formn un udrdo por tnto lo sumo podremos elegir dos números entre {5,, 5}, de ello se dedue en M deen figurr l menos tres puntos de {,, 4, 6, 8, 0,, }. Si desomponemos este onjunto en dos suonjuntos udrdos y disjuntos : {, 6,, 8} y {, 4, 0, } forzosmente de uno de ellos hremos de tomr dos puntos y uno de otro.

19 Si tommos dos puntos del primero ls únis posiiliddes son {, } y {6, 8} ms inomptiles on ulquier eleión del punto restnte en el segundo onjunto. Si los dos puntos se eligen del segundo ls ínis mners son {, } y {4, 0}, de nuevo inomptiles on ulquier eleión del punto que flt en el primer onjunto. En resumen el número máximo de elementos es 6..- Se onsidern ls práols y = x px q que ortn los ejes de oordends en tres puntos distintos por los que se trz un irunfereni. Demostrr que tods ls irunferenis trzds l vrir p y q en R psn por un punto fijo que se determinrá. ª Soluión (nlíti) Sen α y β ls ríes. Los tres puntos que definen l irunfereni son (α, 0); (β, 0); (0, q). Verifindo α β = - p. y αβ = q. () p L meditriz de es l ret prlel l eje OY de euión x =. Hllndo l meditriz de, ortndo on l nterior y teniendo en uent () se otiene pr el p q p ( q) entro ls oordends, y pr el rdio r =. L euión de l 4 ( ) p q p q irunfereni es: x y = 4 ( ) x y px q y q = 0, que un vez operd qued: que se verifi pr el punto (0, ) on independeni de p y q omo se omprue por simple sustituión. lrmente el punto fijo se puede otener prtir de tres irunferenis onrets. ª Soluión (geométri). Puesto que l práol ort l eje de siss en dos puntos, se podrá esriir en l form: y = (x - ) (x - ) y los puntos de interseión son (, 0); (, 0); (0,) L inversión de polo el origen que trnsform en, trnsform en U(0, ), sí que los utro puntos,,,u son onílios y tods ls irunferenis psn por el punto fijo U. 4.- Se p un número primo. Determinr todos los enteros k Z tles que k kp es nturl. p p 4n Soluión: Pongmos k kp = n k pk n = 0 k = ± ( ). El rdindo h de ser udrdo perfeto, llmésmole. Se tiene: p 4n = p = (n)(-n). omo p es primo y n - n, sólo hy dos posiiliddes: ) n = p y - n = ) n = p y - n = p

20 p p En el so ) = ; n =, lo que exige p (n nturl). 4 En el so ) result = p ; n = 0. Sustituyendo los vlores de en () y operndo qued: Si p =, entones k = o k = 0 Su p entones quedn los utro vlores: p p k =, k =, k = p, k4 = Demostrr que en un udrilátero onvexo de áre unidd, l sum de ls longitudes de todos los ldos y digonles no es menor que ( ). Soluión. ª d q Se el udrilátero de ldos,,, d y digonles p y q. Trzndo l prlels por d vértie l digonl que no ps por él se form un prlelogrmo de áre y ldo p y q. Por el teorem isoperimétrio, de todos los prlelogrmos de áre, el udrdo tiene perímetro mínimo que vle 4, luego ( p q) p q ( ) 4 p En unto l los ldos por el mismo teorem pr un udrdo de áre el perímetro es 4 luego: Sumndo() y () se otiene el resultdo. d 4 () Soluión ª (Sin usr l propiedd isoperimétri). onsiste en estleer diretmente ls desigulddes () y (). Si α es el ángulo que formn ls digonles, tenemos: pq pq = senα pq pero (p q) = (p - q) 4pq 4pq 8. de donde p q 8 = (). Pr los ldos, si desomponemos el udrilátero en dos triángulos medinte l digonl q, tenemos: d Desomponiendo hor en dos triángulos medinte l digonl p result: d y de ms desigulddes se otiene: d d 4. Pero:( d) = (( ) - ( d)) 4 ( )( d) 4 ( )( d) 6, de donde st sumr () y () pr otener lo pedido. d 4 ()

21 6.- Un ohe tiene que dr un vuelt un iruito irulr. En el iruito hy n depósitos on iert ntidd de gsolin. Entre todos los depósitos ontienen l ntidd ext que el ohe neesit pr dr un vuelt. El ohe omienz on el depósito vío. Demostrr que on independeni del número, posiión y ntidd de omustile de d depósito, siempre se puede elegir un punto de omienzo que le permit ompletr l vuelt. Nots: ) El onsumo es uniforme y proporionl l distni reorrid. ) El tmño del depósito es sufiiente pr lergr tod l gsolin neesri pr dr un vuelt. Soluión (Sergi Elizlde. onursnte) Sen,,..., n ls ntiddes de omustile en d uno de los n depósitos y sen d, d,...,d n ls distnis reorrer desde d depósito hst el siguiente. Hgmos el gráfio del onsumo omenzndo en un punto de provisionmiento ulquier. Notemos que los trmos inlindo tienen todos l mism pendiente. Los trmos jo el eje i representn ls situiones imposiles. L pendiente de los trmos inlindos vle :. L d i hipótesis de que el totl de omustile es l ntidd ext pr dr l vuelt se trdue en que l gráfi omienz y termin en el eje OX. L funión resultnte (trzo ontinuo) tiene un mínimo, en l figur el punto. st omenzr en ese punto pr segurr que el reorrido es posile. En efeto, gráfimente equivle trsldr el eje OX en sentido vertil hst el punto más jo on lo que segurmos que ningun zon qued jo el eje. L nuev gráfi puede trzrse prtir del punto siguiendo el mismo trzdo hi l dereh y trsldndo l prte nterior (trmos - y -) l punto finl de l gráfi nterior (de puntos en l figur). Soluión (Mª. López hmorro. Miemro del Jurdo). Se numern los depósitos de n omenzndo por uno ulquier en sentido ntihorrio. Llmmos:,,..., n l ntidd de gsolin de d depósito.,,..., n l ntidd de gsolin neesri pr ir del depósito i l siguiente. d = -, d = -,..., d n = n - n Diremos que un depósito es positivo o negtivo según lo se d i. Si d i = 0, l uiión del depósito i no influye en l ordenión del reorrido. Por ello podemos suponer sin pérdid de generlidd que d i 0 pr todo i. Por otr prte, si hy vrios depósitos onseutivos positivos o negtivos, el trmo limitdo por ellos se puede onsiderr omo un únio trmo positivo o negtivo. sí, el prolem se redue tener un número pr de depósitos lterntivmente positivos o negtivos. grupndo los trmos por prejs, ésts resultrán positivs o negtivs y volvemos repetir el proeso.

22 sí reduimos el so un número de depósitos n < n/. omo n < k, lo sumo en k - etps llegremos tener depósitos, uno on más gsolin que otro, en uyo so empezndo por el que teng más omustile se puede ompletr el iruito. El so de un sólo depósito es trivil. Se empiez y termin en ese únio depósito.

23 RESPUESTS DE L XXXIV OLIMPID ESPÑOL.- Un udrdo D de entro O y ldo, gir un ángulo α en torno O. Hllr el áre omún mos udrdos. Soluión. Por l simetrí strá onsiderr 0 < α < 90º, y que l funión es periódi on periodo de un urto de vuelt. El áre pedid S(α) sle restndo del áre del udrdo utro triángulos omo el P M. Llmndo x l teto P e y l teto M, el áre de utro triángulos vle xy. omo el ldo vle, tenemos: ' M O ' P D' x y = x y ( ) ' D relión que elevd l udrdo y simplifid qued: xy = x y ( ) pero x = x y os α, y = x y senα, y sustituyendo en () result: x y ( osα senα) = x y = sen α osα sustituyendo en () y operndo otenemos: xy = = sen α osα senα osα. sen α osα Finlmente pr el áre pedid otenemos: ( ) S α senα osα = α α = sen os sen α osα on 0 α 90º Soluión. El áre pedid onst de 8 triángulos omo el somredo en l figur OPM. Tomndo omo se = MP, l ltur es onstnte (de trzos en l figur) y vle ½. En el triángulo P M se tiene: M = os α, P = sen α ; pero M = M y P = P, demás: ' M O ' P D' de donde y el áre pedid es: M MP P = os α sen α =, = senα osα ' D

24 S( α) = 8 senα osα = senα osα on 0 α 90º.- Hllr todos los números nturles de 4 ifrs, esritos en se 0, que sen igules l uo de l sum de sus ifrs. Soluión: Se n un número verifindo el enunido, y s l sum de sus ifrs. omo 000 n 9999 y n = s, result Si n = xyzt, tenemos: s () restndo qued: 000x 00y 0z t = s () x y z t = s 999x 99y 9z = s - s () uyo segundo miemro h de ser múltiplo de 9 (por serlo el primero) y, hid uent de que s - s = (s - ) s (s ) y por (), sólo hy tres vlores de s - s que son múltiplos de 9: sustituimos en () y nlizmos d so. º 6 7 8; y x 99y 9z = x y z = 544 result inmeditmente x = 4; y = 9; z =, vlores que llevdos () on s = 7 se otiene t = y finlmente n = 49 º 999x 99y 9z = x y z = 646 de donde x = 5; y = 8; z =, vlores que llevdos () on s = 8 se otiene t = y finlmente n = 58 º 999x 99y 9z = x y z = 760 result x = 6; y = 8; z = 6, vlores que llevdos () on s = 9 result un ontrdiión. Resumiendo, ls únis soluiones son 49 y 58

25 .- Se onsider el triángulo y su irunfereni irunsrit. Si D y E son puntos sore el ldo tles que D y E son, respetivmente, prlels ls tngentes en y en l irunfereni irunsrit, demostrr que: E = D Soluión: Los triángulos y D son semejntes pues tienen los tres ángulos igules y que: D = M = (l primer iguldd por ser y M prlels y l segund por ser M ángulo semiinsrito) y el ángulo D es omún. Estleiendo l proporionlidd entre sus ldos, result: D E D = D = ( ) De modo nálogo los triángulos y E son semejntes pues: E = EM = y el ángulo E es omún. Estleiendo l proporionlidd entre sus ldos, result: E = E = ( ) M Dividiendo ls igulddes () y () se otiene el resultdo. 4.- Hllr ls tngentes de los ángulos de un triángulo siendo que son números enteros positivos. Soluión. Sen α, β, γ los tres ángulos y supongmos α β γ. Si fuer γ entones tg α no es entero. π, tendrí que ser α < π y 4 Si tg α >, entones α r tg > r tg = π, imposile porque α β γ = π. Por tnto tg α = y β γ = π, on lo que: 4 tgβ tg γ tg( β γ) = = tgβtg γ relión que operd se onvierte en: (tg β -)(tg γ -) = de donde, por ser enteros positivos, se sigue tg β = y tg γ =. Existe un visulizión sin plrs de l soluión: r tg r tg r tg = π.

26 α β γ 5.- Hllr tods ls funiones fn : Nestritmente reientes y tles que: pr n =,,,... f(n f(n)) = f(n) Soluión: Supongmos f() =. Entones, f( ) =, omo f es estritmente reiente, se tiene: = f() < f( ) <.< f() = =. y result que f(), f(),.f( ) son nturles, distintos, el primero vle y el último, por tnto hn de ser onseutivos. result entones: f() =, f() =, f() =,, f( ) =. En generl, pr n >, si f(n) =, f(n ) = = y result que: = f(n) < f(n ) <. < f(n ) = y los números f(n), f(n ),.., f(n ) son onseutivos. sí pues, f(n) = n - f() 6.- Determin los vlores de n pr los que es posile onstruir un udrdo de n n ensmlndo piezs del tipo: Soluión: Evidentemente n dee ser múltiplo de 4 y, por tnto n neesrimente es pr. Si n = 4k podemos dividir ulquier udrdo n n en k su-udrdos del tipo 4 4 d uno de los ules lo podemos rellenr en l form señld en l figur de l izquierd. Qued sólo onsiderr el so n = 4k. Vemos que en ese so l repuest es negtiv. Supongmos que fuer posile. Si pintmos d udrdito lterntivmente de lno y negro omo en un tlero de jedrez, hy dos posiiliddes pr d piez:

27 N N N N Se el número de piezs del tipo de ls de l izquierd y el número de piezs del tipo de ls de l dereh. Tenemos: ( 4k ) = = ( k ) = 4k 4k 4 luego h de ser impr. Por otr prte, omo hy tnts sills lns omo negrs, se tiene: = =, de donde = h de ser pr en ontrdiión on lo nterior. 5.- Demuestr que en el so de que ls euiones: x mx - n = 0, nx - m x - 5mnx - m - n = 0 (n 0) tengn un ríz omún, l primer tendrá dos ríes igules y determin entones ls ríes de ls dos euiones en funión de n. Soluión: Se α l ríz omún de ms euiones. Entones α mα = n () y sustituyendo en l segund euión se otiene, trs her operiones: 6m α 4 8m α m = 0 Supongmos m 0, entones simplifindo l relión nterior qued: α 4 4m α m = 0 () Resolviendo () respeto de m otenemos m = α (i) nliemos d so. - α (ii) (i) Si m = -α, sustituyendo en l primer euión y despejndo n qued: n = α - α = 0 en ontr de lo supuesto. Por tnto (i) qued desrtdo. (ii) Si m = -α, sustituyendo en l primer euión y despejndo n qued: n = α - α = - α y l primer euión qued: x α x α = ( x α)( x αx α ) = ( x α) ( x α ) que, efetivmente, tiene l ríz α dole. de n = - α otenemos α= n. Entones l segund euión es de l form ( ) α x 9αx 5α x 5α = 0, y, dividiendo por (x - α) result α ( x α)( x 5α) = 0, uys ríes son α y 5 α siendo dole l últim. Si m = 0, ls dos euiones son igules y sus tres ríes son ls misms pero l primer no tiene dos ríes igules por lo que en el enunido deerí herse ñdido m 0.

28 '' ' '' P '' ' 6.- En l figur, es un segmento fijo y un punto vrile dentro de él. Se onstruyen triángulos equiláteros de ldos y, y en el mismo semiplno definido por, y otro de ldo, en el semiplno opuesto. Demuestr: ) Ls rets, y son onurrentes. ) Si llmmos P l punto omún ls tres rets del prtdo ), hllr el lugr geométrio de P undo vrí en el segmento. ) Los entros, y de los tres triángulos formn un triángulo equilátero. d) Los puntos,, y P están sore un irunfereni. ' Soluión: ) Se trz l irunfereni irunsrit l triángulo y se llm P l interseión de on ell. Evidentemente (ro pz) P=0º y P es su isetriz on lo que P= P=60º y P h de estr en ls irunferenis irunsrits los triángulos y. Por tnto ls tres irunferenis se ortn en P. omo P =0º y P=60º sumndo qued: P =80º y P está linedo on. De modo nálogo se ve que P está linedo on. ' '' ) omo P está definido por l interseión de l ret on l irunfereni irunsrit l triángulo el lugr pedido es el ro P de es irunfereni. '' P '' ' ) Los ldos del triángulo son perpendiulres ls uerds P, P y P que formn ángulos de 60º o 0º. por ello, entre sí formn ángulos igules de 60º. ' d) st ompror que los entros,, y P verifin el teorem de Tolomeo: P'' '' '' = P'' '' '' P'' '' '' P'' = P'' P'' = siendo l últim iguldd evidente por onstruión.

29 RESPUESTS DE L XXXV OLIMPID ESPÑOL Prolem. Ls rets t y t, tngentes l práol de euión y = x en los puntos y, se ortn en el punto. L medin del triángulo orrespondiente l vértie tiene longitud m. Determinr el áre del triángulo en funión de m. Soluión: Sen (, ) ; (, ). Ls euiones de t y t' son: t: y = x -, t': y = x - y su interseión es:,. L medin M está en l ret: x =, prlel l eje OY. Ls oordends de M son:,. Tenemos: Poniendo [ ] ( ) m = M = y si h es l ltur del triángulo M result: h = = XYZ pr denotr el áre del triángulo de vérties X,Y,Z qued finlmente: t' Y M m t X m = m = [ ] = [ M] m Prolem. Pror que existe un suesión de enteros positivos,,, n, tl que. n es un udrdo perfeto pr todo entero positivo n. Soluión: Lo hremos por induión sore n, pr n = st tomr = ; = 4 on 4 = 5. Supongmos que. n = k. Vemos que podemos enontrr un entero positivo n tl que k n = p. = n n n = p n ; = p n En efeto, p = ( p )( p ) k. Pongmos. Tenemos: p = ; n = ; k =. L últim expresión exige que y son de l mism pridd. Distinguiremos dos sos.- y son pres, entones k = 4m. Tomdo = m; = qued: k = m = ; 4 p n k = m = 4

30 .- y son impres, entones k = m. Tomndo = m, = qued: k k p = m = ; n = m = En mos sos hemos enontrdo n entero verifindo el enunido. Segund Sesión Prolem. Sore un tlero en form de triángulo equilátero omo se indi en l figur; se jueg un solitrio. Sore d sill se olo un fih. d fih es ln por un ldo, y negr por el otro. Iniilmente, sólo un fih, que está situd en un vértie, tiene l r negr hi rri; el resto de ls fihs tiene l r ln hi rri. En d movimiento se retir sólo un fih negr del tlero y se d l vuelt d un de ls fihs que oupn un sill vein. sills veins son ls que están unids por un segmento. Después de vrios movimientos será posile quitr tods ls fihs del tlero? Soluión: En el tlero, hy sills de tres tipos : vértie, ldo, o interiores. d un de ells tiene, respetivmente, dos, utro o seis sills veins. Si pudiérmos retirr tods ls fihs del tlero, hrí un momento en que quedrí sore él un úni fih negr. Es fih er iniilmente ln, luego h tenido que mir de olor un número impr de vees. Pero esto es imposile, porque un fih se vuelve d vez que se retir un fih vein, y ningun fih tiene un número impr de sills veins. Prolem 4. Un j ontiene 900 trjets, numerds del 00 l 999. Se sn l zr (sin reposiión) trjets de l j y se not l sum de los dígitos de d trjet extríd. uál es l menor ntidd de trjets que se deen sr, pr grntizr que l menos tres de ess sums sen igules? Soluión: Hy 7 posiles resultdos pr l sum de dígitos (de 7). Ls sums y 7 sólo se puede otener de un modo (00 y 999) En el so más desfvorle l sr 5 (7 5) trjets tods repetirán sum dos vees y en l siguiente (extrión 5) un de ells preerá por terer vez. Por tnto el número pedido es 7 5 = 5. Prolem 5. El rientro del triángulo es G. Denotmos por g, ldos, y respetivmente. Se r el rdio de l irunfereni insrit. Pror que: r r r i) g, g, g g, g ls distnis desde G los

31 g g g ii) r Soluión (del utor del prolem): g g G g i) Es sido que uniendo G on d vértie, se formn tres triángulos G de se y ltur g, G de se y ltur g y G de se y ltur g de l mism áre. Por tnto, llmndo S l áre de : g = g = g = S () Por otr prte semos que r ( ) = S (st unir el inentro on los tres vérties y quedn tres triángulos de ses,, y ltur omún r). Sustituyendo S en (), y despejndo qued: r r r g = ; g = ; g = () y por l desiguldd tringulr ( ), result : r =, de donde g y de modo nálogo pr g y g. ) De (), hiendo los inversos y sumndo result: = = g g g r r r ( ) r ( ) ( ) finlmente, plindo l desiguldd entre ls medis ritméti y rmóni: g g g g g g = = r r g g g r Not.- Sumndo ls tres desigulddes de ) sólo otenemos g g g r Soluión (de Rmón José que mereió menión espeil) i) onsideremos los puntos M, H, G omo indi l figur. Pondremos h l ltur orrespondiente, p el semiperímetro y S el áre de. Los triángulos M H y GM G son semejntes siendo l rzón de semejnz (propiedd del rientro sore d medin). Entones h h = g () G Por l desiguldd tringulr: g M G H

32 p p p multiplindo por h y teniendo en uent () qued: p S g p h g finlmente, omo S = pr result r g. nálogmente otendrímos ls orrespondientes desigulddes pr g y g. ii) Usremos l desiguldd x x que se dedue de l ovi ( ) 0 x. (onsiderremos siempre x positivo). Tenemos entones: 6 Sumndo, ordenndo y operndo result: 9 9 sndo ftor omún, dividiendo por y poniendo p =, qued: p p p () Por otr prte, omo h g ; h g ; h g = = =, result g g g S = = = Despejndo, y y sustituyendo en (), qued: ( ) S p g g g Finlmente usndo de nuevo S = pr, result r g g g Prolem 6. Se divide el plno en un número finito de regiones N medinte tres fmilis de rets prlels. No hy tres rets que psen por un mismo punto. uál es el mínimo número de rets neesris pr que N>999? Soluión: Supongmos que hy x rets en l primer fmili, y en l segund y z en l terer. Ls x rets de l primer fmili determinn x regiones. L primer ret de l segund fmili determin en el plno (x ) regiones, l segund (x )... l y -ésim determin (x )(y ) regiones. L primer ret de l terer fmili es ortd por ls x y rets existentes en x y prtes y d un de ests prtes divide en dos d región existente de modo que el número de regiones se inrement en x y regiones. d ret de l terer fmili ument ls regiones existentes en l mism ntidd; luego el número totl de regiones N vle: ( )( ) ( ) = = = m n yz xz xy z y x y x z y x N

33 on n = x y z y m = xy xz yz. Tenemos: m = x y z ( y z) ( z x) ( x y) ) x y z, entones n n n = x y z m m m y N = n m n. Pr n = 76, n n > 00. sí, si n = 76 = x y z on x = 6, y = 5, z = 5, result: m = 95 y N = 00.

34 RESPUESTS DE L XXXVI OLIMPID ESPÑOL Prolem. Sen los polinomios: P(x) = x 4 x x x ; Q(x) = x 4 x x x. Hll ls ondiiones que deen umplir los prámetros reles, y ( ) pr que P(x) y Q(x) tengn dos ríes omunes y resuelve en ese so ls euiones P(x) = 0; Q(x) = 0. Soluión de Virgini Grí Mdurg de Zrgoz. Ls ríes omunes mos polinomios serán ríes de l difereni: P(x) - Q(x) = ( -) x ( - ) x Resolvemos l euión P(x) - Q(x) = 0, sndo primero x ftor omún: x [( ) x ( ) ] = 0 Ls tres ríes son: 0, y -, entre ells tienen que estr ls ríes omunes omo 0 no es ríz ni de P(x) ni de Q(x), ls dos ríes omunes tiene que ser y -. Sustituyendo estos vlores en P(x) y Q(x) otenemos el sistem: = 0 = 0 que nos d ls ondiiones: = - = - Los polinomios quedn en l form: P(x) = x 4 x - x - x Q(x) = x 4 - x - x x Pr resolver ls euiones P(x) = 0, Q(x) = 0, seprmos por Ruffini ls ríes onoid y - y quedn ls euiones en l form: P(x) = (x )(x - ) (x x - ) = 0 Q(x) =(x )(x - ) (x - x - ) = 0 Resolviendo ls euiones de segundo grdo qued finlmente: Soluiones de P(x) = 0: x = ; x = -; x = 4 ; x = 4 Soluiones de Q(x) = 0: x = ; x = -; x = 4 ; x = 4

35 Prolem. L figur muestr un plno on lles que delimitn mnzns udrds. Un person P v desde hst y otr Q desde hst. ms prten l vez siguiendo minos de longitud mínim on l mism veloidd onstnte. En d punto on dos posiles direiones tomr, ms tienen l mism proilidd. Hll l proilidd de que se ruen. Soluión de Fernndo ruz Roledillo (Mdrid ). Definmos un sistem de oordends on origen en y unidd el ldo de un udrdo. omo P y Q reorren minos de longitud mínim, P sólo puede ir l dereh o rri y Q l izquierd o jo. Todos los minos tienen longitud 7, P y Q sólo se podrán enontrr entre el º y el 4º movimiento, se hn mrdo en rojo tods ls posiles posiiones de P trs el terer movimiento y en verde ls de Q. so. P lleg (0, ). L proilidd de que P llegue (0, ) es: = 8 Sólo se puede ruzr on Q si éste está en (, ) lo que suede tmién on proilidd = 8 P está oligdo psr (, ) pero Q ps (0, ) on proilidd. L proilidd de que se ruen entre (0, ) y (, ) es: = so. P lleg (, ). L proilidd de que P llegue (, ) es = (hy tres modos de llegr (, )). 8 Sólo se puede ruzr on Q si éste está en (, ) o en (, ). Distingmos mos sos: ) Q lleg (, ) on proilidd 8, entones se ruzrán entre (, ) y (, ) si P se mueve hi (, ) y Q hi (, ) mos movimientos on proilidd. L proilidd de ruzrse es = ) Q lleg (, ) on proilidd, entones se ruzrán entre (, ) y (, ) si P se mueve hi 8 (, ) y Q hi (, ) mos movimientos on proilidd. 9 L proilidd de ruzrse es = so. P lleg (, ).

36 9 Proediendo de modo nálogo, l proilidd de ruzrse entre los puntos (, ) y (, ) es: 8 y 9 l de ruzrse entre (, ) y (, ) es 8. so 4. P lleg (, 0). L proilidd de ruzrse entre (, 0) y (, ), es 8 y l de ruzrse entre (, 0) y (4, 0) es 7. L proilidd pedid es l sum de todos los so, result: = Prolem. Dos irunferenis sentes y de rdios r y r se ortn en los puntos y. Por se trz un ret vrile que ort de nuevo y en dos puntos que llmremos P r y Q r respetivmente. Demuestr l siguiente propiedd: Existe un punto M, que depende sólo de y, tl que l meditriz del segmento P r Q r ps por M. Soluión de Luis Emilio Grí Mrtínez (Vleni U. Politéni): Se O el punto medio del segmento M M. demostrré que tods ls meditries de los M segmentos P r Q r psn por el simétrio de respeto de O. Sen ε = P r M ; γ = M M, Entones: M M Q r = 80º - (γ ε) M O ε y omo el triángulo M Q r es isóseles, P r ε γ M Q r = 80º - M Q r = -80º (γ ε) Q r y por tnto, MM Q r = 80º - γ M Q r = 80º - γ - 80º (γ ε) = γ ε De modo nálogo, por ser el triángulo P r M isóseles, se tiene: P r M = 80º - ε y P r M M = 60º - ( P r M 80º - γ) = 60º - 80º ε -80º γ = ε γ Result que pr ulquier posiión de l ret vrile los triángulos MM Pr y MM Qr son igules y por tnto MP r = MQ r y M está en l meditriz de P r Q r. omo M no depende de l ret vrile qued prod l propiedd del enunido. Prolem 4. Enuentr el myor número entero N que umpl ls siguientes ondiiones : N ) E tiene sus tres ifrs igules.

37 N ) E es sum de números nturles onseutivos omenzndo en, es deir, existe un nturl n N tl que E =... (n-) n. Not: E(x) es l prte enter de x. Soluión de Roerto lonso Pérez del Pís Vso. N ondiión ): z = E = k; k N; k 9 ondiión ): N n z = E =... n z = (l otr ríz es negtiv). Juntndo ls dos ondiiones, qued: ( n ) n n z = 0 n = 8 k n = omo n es nturl, el rdindo h ser udrdo perfeto lo que ourre sólo pr k = 6 que sustituido en l expresión nterior result n = 6. Reuperndo l ondiión ): N N z = E = 6 = > > > N > 998 Por tnto el myor N que umple ) y es N = 000 Prolem 5. Tomemos utro puntos situdos en el interior o el orde de un udrdo de ldo. Demuestr que l menos dos de ellos están distni menor o igul que. Soluión de Mnuel Pérez Molin del linte. 8z Vmos demostrrlo por reduión l surdo. Supongmos que distriuimos 4 puntos en el udrdo de mner que d un de ls seis distnis se myor que. Entones hy dos posiiliddes: ) Los utro puntos formn un udrilátero onvexo. ) Los utro puntos formn un udrilátero no onvexo. Vemos mos sos: ) sen α, β, γ, δ los ángulos del udrilátero onvexo. Semos que α β γ δ = 60º. demás ulquier prej de puntos del interior (o fronter) del udrdo están un distni d y que el diámetro de diho udrdo es. De l ondiión α β γ δ = 60º, se dedue que neesrimente uno de los ángulos h de ser myor o igul que 90º, digmos por ejemplo α 90º. Tenemos (ver figur): luego P i P j >, i j P α P β δ P γ P 4

38 P P = P P PP P P PP osα omo el udrilátero es onvexo, 90º α 80º y por tnto os α 0 y en onseueni: P P P P PP > P P > lo que es imposile. ) Si se form un udrilátero no onvexo podemos elegir tres de los utro puntos formndo un triángulo de modo que el urto punto se interior. Supongmos que el punto interior es P 4. d ldo de diho triángulo es menor o igul que (diámetro del udrdo) y por tnto estrá ontenido en un triángulo equilátero de ldo, y irunrdio = <. Si su entro es, P 4 estrá en el interior de uno de los tres triángulos que resultn de unir on d vértie y l distni de P 4 uno de los vérties será menor o igul que el irunrdio, es deir menor que y por tnto menor que. hemos enontrdo un pr de puntos distni menor o igul que. Por último si tres puntos están linedos se redue l so ) y si los utro puntos están linedos llmndo x, x, x ls distnis entre puntos onseutivos, tenemos: x x x y por el prinipio del plomr, uno de ellos, digmos x, umple: x <. Prolem 6. Demuestr que no existe ningun funión f : N N que umpl: f(f(n)) = n. Soluión de lerto Suárez Rel de Oviedo. Supongmos que exist f : N N f ( f ( n) ) = n. Se tiene que f(0) = N. Por el enunido: f ( f ( 0) ) = ; f ( f ( 0) ) = f ( ) = del mismo modo, f() =, f( ) =, f() =,... Supongmos que f(n - ) = n -, entones f( n -) = n luego hemos prodo por induión que (( n) ) = f ( n) = n f entones, n = n = N hemos llegdo un ontrdiión y l ondiión supuest es fls on lo que qued demostrdo l inexisteni de l funión f.

39 RESPUESTS DE L XXXVII OLIMPID ESPÑOL Primer sesión.- Prue que l gráfi del polinomio P es simétri respeto del punto (, ) sí y sólo sí existe un polinomio Q tl que: P( x) = ( x ) Q(( x ) ), pr todo x R. Soluión: Supongmos primero que exist el polinomio P que umple ls ondiiones requerids. Se x = h ó x = h. Entones : P( h) = hq( h ) P( h) P( h) y =, pr todo h R. Lo que signifi P( h) = hq( h ) que l gráfi de P es simétri respeto del punto (, ). P( h) P( h) Se x = h, P( x) = P( h) = R( h). L ondiión = es equivlente n R ( h) R( h) = h, porque P( h) = R( h). Pr R ( h) = 0 h... n h, l ondiión n n n nterior se esrie de l form: 0 h... nh 0 h... ( ) nh = es m deir 0 h... m h =, pr d h R. m = n n pr, m = n n impr. Se dedue que = 4 =... = m = 0, 0 =. Por tnto hor se tiene que R ( h) = h h... y sí existe un polinomio Q tl que R ( h) = hq( h ), pr lgún polinomio Q. Por último P( x) = R( h) = ( x ) Q(( x ) )..- Se P un punto, en el interior del triángulo, de modo que el triángulo P es isóseles. Sore d uno de los otros dos ldos de se onstruyen exteriormente triángulos Q y R, mos semejntes l triángulo P. Pror que los puntos P, Q, y R o están linedos o son los vérties de un prlelogrmo. Soluión: Los triángulos y PQ son semejntes pues tienen un ángulo igul = PQ y los ldos que lo formn proporionles: Q P = Q De modo nálogo, es semejnte PR, por tnto PQ y PR son semejntes (y l ser P = P son igules). En prtiulr: RP = y QP = Llmndo α = P = P, result: QPR = 60º (80 α) ( ) = 80º α - (80º ) = α QR = α PR = 80º α RP = 80º - α PQ =80º α QP = 80º - α Ls utro igulddes estleen que los dos pres de ángulos opuestos del udrilátero PQR son igules y es un prlelogrmo. P R