CAPÍTULO 22: INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA (III)

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1 CAPÍTULO 22: INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA (III) Dnte Guerrero-Chnduví Piur, 2015 FACULTAD DE INGENIERÍA Áre Deprtmentl de Ingenierí Industril y de Sistems

2 CAPÍTULO 22: INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA (III) Est or está jo un lieni Cretive Commons Atriuión- NoComeril-SinDerivds 2.5 Perú Repositorio instituionl PIRHUA Universidd de Piur 2

3 UNIERSIDAD DE PIURA Cpítulo 22: Introduión l Trigonometrí Esféri (III) C. Triedro polr o suplementrio GEOMETRÍA FUNDAMENTAL Y TRIGONOMETRÍA CLASES Elordo por Dr. Ing. Dnte Guerrero Universidd de Piur. 10 dipositivs

4 CAPÍTULO XXII: INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA C. TRIEDRO POLAR O SUPLEMENTARIO Ddo un triedro onvexo n, se llm triedro polr o suplementrio de n otro triedro onvexo n, uys rists son 3 semirrets que: ) rrnn del vértie de N ) son perpendiulres ls rs de n ) están en distinto semiespio que el oupdo por n respeto sus rs. n n N Dr.Ing. Dnte Guerrero 1

5 TEOREMA XXII-4 Si un triedro onvexo n es polr de otro n, tmién n es polr de n. Sen, y ls rists de n; y, y ls de n. es perpendiulr y n en distinto semiespio que el triedro respeto l plno y está en distinto semiespio que : luego form ángulo otuso on : TEOREMA XXII-4 Si un triedro onvexo n es polr de otro n, tmién n es polr de n. Resummos ests ondiiones: perpendiulr :,, ángulo otuso on perpendiulr :,, ángulo otuso on perpendiulr :,, ángulo otuso on Si hor onstruyérmos el triedro n, polr de n, y on rists, y : n perpendiulr :,, ángulo otuso on emos en el resumen nterior que: es perpendiulr : y y formn ángulo otuso on ;luego oinide on. Lo mismo psrí on y, y, quedndo demostrdo el teorem. Dr.Ing. Dnte Guerrero 2

6 TEOREMA XXII-5 Ddo un triedro onvexo y su triedro polr, ls rs de uno de ellos son suplementris de los diedros del otro. En virtud del teorem XXII-3, ls rs de n serán suplementris de los diedros de n; y su vez ls rs de n lo son de los diedros de n. n n TEOREMA XXII-6 Un r de un triedro onvexo es menor que l sum de ls otrs dos y myor que su difereni. Se un triedro, en que suponemos que l r myor es. A D C Si demostrmos que es r es menor que l sum de ls otr dos, quedrá demostrdo tmién pr ls rs más pequeñs. En l r trzmos d tl que d =. B d Tommos B = D ritrrio; tommos A y lo unimos on B y D oteniendo C. Los triángulos AB y AD son ongruentes: tienen A omún, D = B por onstruión; ángulo AB = AD por onstruión. Luego AD = AB Dr.Ing. Dnte Guerrero 3

7 TEOREMA XXII-6 Un r de un triedro onvexo es menor que l sum de ls otrs dos y myor que su difereni. En el triángulo ABC: BC > AC AB = AC AD = DC. Los triángulos BC y DC tienen ldos: C omún; D = B; BC > DC. A D C Según el teorem I-5 de Apuntes de Geometrí, en 2 triángulos que tienen dos ldos respetivmente igules y el B terer ldo desigul, myor ldo se opone myor ángulo: d Por tnto: > d d= Es deir, > ó < + TEOREMA XXII-7 En un triedro onvexo, myor r se opone myor diedro y reípromente, A rs igules se oponen diedros igules y reípromente (triedro isóseles). A D C B d Dr.Ing. Dnte Guerrero 4

8 TEOREMA XXII-8 L sum de ls rs de un triedro onvexo es menor que 4 retos. Se un triedro onvexo, y prolongmos l rist Se form el triedro onvexo, en el que l r es menor que l sum de ls otrs dos: < ; + + < 360 =4R TEOREMA XXII-9 L sum de los diedros de un triedro onvexo está omprendid entre 2 y 6 retos Se un triedro onvexo de diedros d 1, d 2 y d 3 y su diedro polr, de rs 180-d 1, 180-d 2 y 180-d 3. L sum de ls rs del triedro polr dee ser myor que ero y menor que 4 retos: 180 d d d 3 > d d d 3 < 360 de donde, por trnsformión lgeri: d 2 d 3 d 1 + d 2 + d 3 > 180 = 2R d 1 + d 2 + d 3 < 540 = 6R. d 1 Dr.Ing. Dnte Guerrero 5