cos α sen α sen 0º 30º 45º 60º 90º cos 90º 60º 45º 30º 0º

Transcripción

1 Preuniversitrio Populr Vítor Jr 7.. TRIGONOMETRÍA L trigonoetrí (del griego, trigono = tres ldos o triángulo, y etrí = edid) es l r de ls teátis que estudi ls reliones entre los ldos y los ángulos de triángulos, de ls propieddes y pliiones de ls funiones trigonoétris de ángulos. Los prieros que pliron est ieni fueron los egipios, en los pos de l nvegión, l geodesi y l stronoí, en ls que el prinipl prole er deterinr un distni inesile, oo l distni entre l Tierr y l Lun, o un distni que no podí ser edid de for diret. Otrs pliiones de l trigonoetrí se pueden enontrr en l físi, quíi y en si tods ls rs de l ingenierí, sore todo en el estudio de fenóenos periódios, oo el sonido o el flujo de orriente ltern 7... RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Ddo un triángulo retángulo oo el de l figur L hipotenus (HIP) es. Pr el ángulo α el teto opuesto (CO) es, y el teto dyente (C es. Pr el ángulo β el teto opuesto (CO) es, y el teto dyente (C es. Ls rzones trigonoétris, pr d uno de los ángulos, serín ls siguientes: Definiión de l funión Areviión En el triángulo de l figur CO seno = sen sen α= sen β= HIP CA oseno = os os α= os β= HIP seno CO tngente = oseno = CA tg tg α= tg β= HIP osente = seno = CO ose ose α= ose β= HIP sente = oseno = CA se se α= se β= CA otngente = tngente = CO otg otg α= otg β= 7... PROPIEDADES Ls definiiones nteriores son independientes del triángulo retángulo que se onstruy pr el ángulo gudo. De ls rzones trigonoétris dds nteriorente se dedue que: sen α ) tg α= ) ose α= 7) sen α+ os α= os α sen α os α ) otg= sen α ) se α= os α ) otgα= tg α 6) tg α otg α= 7... MNEMOTECNIAS Es onveniente que se prenden ls rzones trigonoétris de iertos ángulos notles, que están puests en l siguiente tl, de ner que dispongn de un regl neoténi pr reordrlos undo los neesiten. sen º º º 6º 9º os 9º 6º º º º ÁNGULO FUNCIÓN 6 9 sen os tg = = = = = = No existe Notr que l hipotenus es SIEMPRE yor que los tetos, por lo tnto, los vlores de sen y os pr ángulos entre º y 9º están entre y. 8

2 Preuniversitrio Populr Vítor Jr Un ejeriio, pr que se plique lo que se h expuesto en l guí: Si sen α=, deterinr ls otrs funiones trigonoétris del α. Soluión: si el sen α=, signifi que el teto opuesto l α y l hipotenus del triángulo están en l rzón de :. Con est inforión se puede lulr el vlor del otro teto trvés del teore de Pitágors. Seos que un teto ide por lgo, que llreos x, o se, el teto ide x; y que l hipotenus ide por ese iso lgo, o se x, entones: ( x) + ( C = ( x) ( ) 9x + CA = x ( ) CA = 6x CA = x Tendríos un triángulo oo el siguiente: En el que ls rzones trigonoétris que fltn serín: CA x osα= = = HIP x sen α CO x tg α= = = = os α CA x os α CA x otg α= = = = = tg α sen α CO x HIP x se α= = = = os α CA x HIP x ose α= = = = sen α CO x EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA. En el triángulo retángulo ABC de l figur se tiene que = y =. Con respeto él, no es verdd que: sen α = os β os α =,6 os β =,8 tg α =, ose α =,. En el ABC de l figur, retángulo en C, uál(es) de ls siguientes expresiones es(son) verdder(s)? I) sen α= II) os α= III) tg α= IV) α= º Sólo I y II Sólo I, III y IV Sólo I, II y III Sólo II, III y IV Sólo I, II y IV. En el ABC, retángulo en C, el vlor de tg α + tg β, en funión de los ldos es: Tnto seno oo oseno son siepre enores o igules 9

3 Preuniversitrio Populr Vítor Jr. Cuál de los siguientes vlores no puede orresponder sen α?,9,6. Cuál de los siguientes vlores puede orresponder se α? 8,6,8,9 6. Enuentre l ltur del árol de l figur siendo que tg β = Si α y β son ángulos opleentrios, tles que: < α < 9 ; < β < 9 entones: tg α tg β = es un proposiión: Siepre fls Siepre verdder A vees fls A vees verdder Flt inforión 8. Si tg α =, siendo α un ángulo gudo, entones l úni lterntiv que se dedue oo orret es: sen α = os α = seα= se α = osα= 9. Si os α =,6 entones l tngente del opleento de α es: 9. Al siplifir l expresión sen α os α tg α se α se α tgα senα result: Dees prenderte ls siguientes igulddes: sen( ) α α = op( ) Hip ; α Cos( α ) = d( ) ; tg( ) Hip sen( α) op( α) α = = os( α) d( α) 6

4 Preuniversitrio Populr Vítor Jr. Si en el ABC de l figur, retángulo en C, AB= BC, entones sen β = No se puede deterinr. os6 tg = tg se + +. Si sen α = n n + n n n n n n n n n + n. Siendo que tg( ) + +, entones tg α = tgα+ tgβ α+β =, entones tg = tg α tg β. Si en un triángulo retángulo tg α = x entones ( ) x y = y se α = y, 6. En el triángulo retángulo isóseles ABC de l figur, AB=. Entones os α = No se puede deterinr Pr todo ángulo se uple: ( ) ( ) sen α + os α = 6

5 Preuniversitrio Populr Vítor Jr 7. El vlor del ángulo gudo δ que stisfe l euión senδ+ = es: seδ 6 9 Otro vlor 8. En el triángulo ABC, retángulo en C, de l figur, CB= 6 y tg β = /. Cuánto ide el períetro del triángulo ABC? No se puede deterinr. 9. En el ABC de l figur, CD AB y AC BC. Entones, sen α sen β = pq h pq. En el triángulo retángulo de l figur, sen α = vle tg α?. Si en un triángulo retángulo tg α = entones sen α =. Cuánto y α es un ángulo gudo,. Un person quiere ser uánto ide el nho de un río sin ruzrlo. Él se enuentr justo en l rier sur, y en l rier opuest, extente en frente de él, hy un árol. Si se lej de donde est, en l is direión de l orriente, se for un ángulo de 6º entre l rier sur y el árol. Cuál es el nho del río? No se puede deterinr Aprendete ien l tl de los vlores de senos y osenos iportntes (págin 8) 6

6 Preuniversitrio Populr Vítor Jr. Un ABC es retángulo en C. Si uno de sus ángulos gudos es ϕ. Cunto vle tg ( ϕ )?: () Sen ( ϕ ) =, () L hipotenus ide ) () por sí sol ) () por sí sol ) As junts, () y () d) Cd un por sí sol, () o () e) Se requiere inforión diionl. Es α<9º? () os ( α ) < os ( β ) () β=9º ) () por sí sol ) () por sí sol ) As junts, () y () d) Cd un por sí sol, () o () e) Se requiere inforión diionl. En l figur, el áre del triángulo es? () Sen ( α) = () = ) por sí sol ) por sí sol ) As junts, () y () d) Cd un por sí sol, () o () e) Se requiere inforión diionl C DESAFIO En l figur, si EG= y; DE= x; AD= AB=. i. Cunto vle x+y, en térinos de los ángulos α y β? ii. A uánto equivle el ángulo EDF? iii. En el tringulo DEF, Cuánto ide el sen(α)? iv. Según l respuest nterior, unto vle EF, en térinos de α y x? v. En el triángulo AEG, unto vle y (dependiendo de α y AE )? vi. En el triángulo ADF, Cuánto vle AF y DF? vii. En el triángulo DEF, unto es el os(α)?,reeplz DF on el resultdo de l pregunt nterior. viii. Y que AE= AF EF, unto vle y? (onsejo, us ls respuests de v, vi, iv, en ese orden) ix. Usndo l identidd: ( ) ( ) térinos de x, α y β. Respuest: y = sen( α) os( β) xsen ( α ) sen α + os α =, otén el vlor de x+y, en Respuest: x+ y = sen( α) os( β ) + xos ( α ) x. En el resultdo nterior, sustituye el vlor de x (en se l soluión de vii) en el ldo dereho de l iguldd. Cunto es el vlor finl de x + y? x+ y = sen α os β + sen β os α Respuest: ( ) ( ) ( ) ( ) xi. Por últio, unto es el vlor de, sen( α+β )? (us lo nterior, y l respuest de l prier pregunt) sen α+β = sen α os β + sen β os α Respuest: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Intent hor otener l fórul pr l su de ángulos en el oseno: os α+β = os α os β + sen β sen α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sis que ls o-funiones (oo el Co-seno) son l funión del ángulo CO-pleentrio? ose: os( α ) = sen( 9 α ). Tén sirve pr ls otrs o-lgo 6