A b) UNIDAD 2: Determinantes ACTIVIDADES INICIALES-PÁG Calcula las matrices inversas de las matrices siguientes:

Transcripción

1 Mtemátis II SOLUCIONRIO UNIDD : Determinntes CTIVIDDES INICILES-PÁG.. Clul ls mtries inverss de ls mtries siguientes: Emplendo el método de Guss-Jordn, otenemos: L mtriz invers de es. L mtriz invers de es.. Clul el rngo de ls mtries: 9 plindo ls operiones elementles por fils, otenemos:. 9 de Rngo de Rngo de Rngo de Rngo de Rngo de Rngo

2 Mtemátis II SOLUCIONRIO Rngo de. Clul el rngo de l mtriz según los vlores del prámetro : plindo ls operiones elementles por fils, otenemos: Rngo de Rngo de. Si, el rngo de es. Si, el rngo de es. CTIVIDDES de RESOLUCIÓN DE PROLEMS-PÁG.. Lugr geométrio. Sore l ret se onsider un punto vrile P. Llmmos Q l proeión del punto P sore el eje OX. Determin el lugr geométrio del punto M proeión de Q sore l ret OP. L soluión qued: L ret OP es m el punto P es El punto Q es, P,. m Q el punto M es el punto de interseión de l ret OP m, l ret m perpendiulres ést psndo por Q, que su euión serí m m, por tnto: m m m m m m m m Eliminndo el prámetro m, otenemos l euión del lugr geométrio:.. Pirámides de ols. Un mgo pil ols, tods igules, pr formr dos pirámides tetrédris. De pronto se d uent de que juntndo ls ols de ms pirámides, puede formr un sol pirámide tetrédri mor. Cuál es el mínimo número de ols de ls que tendrá que disponer el mgo iniilmente?

3 Mtemátis II SOLUCIONRIO l onstruir pirámides tetrédris de ols preen los números tetrédrios:,,,,, n n n que formn un progresión ritméti de terer orden, de término generl T n. Si ls dos pirámides son igules, el mínimo número es ols, on lo que formrí un pirámide tetrédri de rist prtir de dos tetrédris de rist. Si ls dos pirámides iniiles no son igules, el mínimo número es ols, número otenido l sumr ls ols de dos pirámides tetrédris de rists, de ols. L nuev pirámide tetrédri formd por ols tiene de rist, que se umple: n n n n. CTIVIDDES de NUEVS TECNOLOGÍS-PÁG. 9. Dds l mtries 9, lul: d - En l luldor definimos ls mtries. Pr ello tivmos el menú Mtries en l opión EDIT introduimos ls dimensiones de l mtriz, que en nuestro so serín, telendo: NTER ENTER. Introduimos los elementos de l mtriz de form ordend. Pr l mtriz del enunido, l seueni de tels serí: ENTER ENTER - ENTER ENTER ENTER ENTER ENTER 9 ENTER - ENTER. Pr introduir l mtriz telemos - ENTER ENTER ENTER ENTER - ENTER ENTER ENTER ENTER ENTER. Relizmos ls operiones indids telendo ésts en l pntll prinipl on ud del menú Mtries, donde están ls mtries. Otenemos los resultdos que pueden verse en los gráfios. [] * []

4 Mtemátis II SOLUCIONRIO d. Resuelve l euión mtriil X C, siendo:, C. Utilizndo ls propieddes de ls operiones on mtries otenemos: X C X C X C Introduiendo en l luldor ls mtries, C relizndo ls operiones indids, otenemos l mtriz que pree en el gráfio.. Resuelve los sistems que siguen, digonlizndo ls mtries mplids: z z z z z z z z z [] * [] []^ 9 9 []^- []^- * [C] []

5 Mtemátis II SOLUCIONRIO Ls mtries mplids de los sistems son: C Introduimos en l luldor ls mtries nteriores. L funión rref, que podemos enontrr en el menú Mtries en l opión MTH, nos devuelve l form digonl de un mtriz dd. Pr los sistems del enunido,, otenemos ls mtries [], [] [C] que preen en los gráfios. El sistem tiene por soluión /, /, z - / es omptile ermindo. El sistem del prtdo tiene por soluiones z; es omptile inermindo. El sistem ree de soluiones es inomptile. En l resoluión de los sistems de los prtdos hemos tivdo l opión Fr que se enuentr en el menú Mtemátis tel MTH, pr otener los elementos de ls mtries epresdos en form de frión. esre [] Fr / / / esre [] esre [C] Fr / /

6 Mtemátis II SOLUCIONRIO CTIVIDDES FINLES-PÁG.. Clul los erminntes de ls siguientes mtries: d e m n n m Los vlores de los erminntes son: e n m m n n m d. Clul los erminntes de ls mtries que siguen, utilizndo l regl de Srrus: d Los vlores de los erminntes son: d. Resuelve ls euiones: Desrrollmos los erminntes, resolvemos ls euiones resultntes otenemos:. Ls soluiones son -, -,. 9

7 Mtemátis II SOLUCIONRIO. Ls soluiones son -,.. L soluión es.. Enuentr el número de inversiones que eisten en ls siguientes permutiones de números nturles del orden que se indi: orden :, orden :, orden :. Ls soluiones son: L permutión tiene inversiones. L permutión tiene inversiones. L permutión tiene inversiones. L permutión tiene inversiones. L permutión tiene inversiones. L permutión tiene inversiones. L permutión tiene inversiones. L permutión tiene inversiones.. Determin el signo de los términos que siguen, que preen en el desrrollo de un erminnte de quinto orden: Ordenmos los términos por ls fils primer suíndie vemos el número de inversiones que tienen ls olumns olumns. El término es el mismo que que se orresponde on l permutión de orden :. Est tiene siete inversiones, por lo que es un permutión impr. l término nterior le orresponde un signo menos.

8 Mtemátis II SOLUCIONRIO El término es el mismo que que se orresponde on l permutión de orden :. Est tiene utro inversiones, por lo que es un permutión pr. l término nterior le orresponde un signo más. El término es el mismo que que se orresponde on l permutión de orden :. Est tiene siete inversiones, por lo que es un permutión impr. l término nterior le orresponde un signo menos.. Teniendo en uent ls propieddes de los erminntes, justifi que son nulos los erminntes que siguen, sin desrrollrlos. d 9 Ls rzones en d so son: Ls fils primer terer son proporionles: F F. Ls olumns primer terer oiniden: C C. L olumn terer es ominión linel de l primer l segund; C C C. d L fil terer es ominión linel de l primer l segund; F F F. Prue, sin desrrollr, que los siguientes erminntes son múltiplos de,,, respetivmente. 9 d 9 Summos los elementos de ls tres fils el resultdo lo olomos en l primer F F F F, smos ftor omún de l primer fil otenemos: Summos los elementos de ls tres fils el resultdo lo olomos en l primer F F F F, smos ftor omún de l primer fil otenemos: Relizmos l siguiente operión on ls olumns C C C C, smos ftor omún de l terer olumn otenemos:

9 Mtemátis II SOLUCIONRIO d Puede oservrse que los números que formn d un de ls fils,, 9 son múltiplos de. Operndo en d fil, multiplimos l primer olumn por, l segund por summos mos resultdos l terer olumn, quedrí: Demuestr ls siguientes igulddes plindo ls propieddes de los erminntes: Multiplimos dividimos l primer fil por, l segund fil por l terer por, dejndo l epresión fuer del erminnte. Después smos ftor omún de l primer olumn el erminnte resultnte es nulo l tener dos olumns igules. Comenzmos en el erminnte de l dereh multiplindo dividiendo l primer fil por, l segund fil por l terer por, dejndo l epresión fuer del erminnte. Después smos ftor omún de l primer olumn el erminnte resultnte lo trsponemos pr logrr l iguldd usd. 9. Sen F, F F ls tres fils de un mtriz udrd de orden tl que su erminnte es F, F, F. Clul: F F, F, F Teniendo en uent l propiedd: Si los elementos de un líne de un mtriz se multiplin por un número, el erminnte de l mtriz qued multiplido por diho número. que el orden es :.

10 Mtemátis II SOLUCIONRIO Teniendo en uent l propiedd: El erminnte del produto de dos mtries udrds es igul l produto de los erminntes de ms mtries. Otenemos: Teniendo en uent ls propieddes: Si los elementos de un líne de un mtriz se multiplin por un número, el erminnte de l mtriz qued multiplido por diho número. Si en un mtriz udrd se permutn dos línes, su erminnte mi de signo. F F, F, F F F, F, F - F F, F, F Hiendo uso de l propiedd: Si los elementos de un líne de un mtriz udrd se les sum un ominión linel de otrs línes, su erminnte no vrí. F F, F, F - F F, F, F - F, F, F - F, F, F -. Resuelve ls siguientes uestiones: L mtriz verifi. Hll los posiles vlores del erminnte de. L mtriz verifi t I. Hll. Utilizndo l propiedd, se otiene: [ ]. Por tnto: [ ] [ ] o Teniendo en uent ls propieddes t, se otiene: t I

11 Mtemátis II SOLUCIONRIO CTIVIDDES FINLES-PÁG.. Sen ls mtries, C. Hll los menores omplementrios α, α, α α, si eisten. Clul, si eisten, los djuntos,,, si eisten. Hll ls mtries djunts de ls mtries dds. Ls respuests son: Los menores omplementrios pedidos son: En l mtriz : α ; α ; α α no eisten. En l mtriz : α ; α - ; α - α -. En l mtriz C: α - ; α - ; α α. Los djuntos pedidos son: En l mtriz : ; ; no eisten. En l mtriz : - ; - ; -. En l mtriz C: C ; C - ; C - C. Ls mtries djunts son:, C dj. Clul los siguientes erminntes: Desrrollndo el erminnte de orden utro por los djuntos de l primer olumn los de orden tres resultntes por l regl de Srrus, otenemos:

12 Mtemátis II SOLUCIONRIO Desrrollndo el erminnte de orden utro por los djuntos de l primer olumn los de orden tres resultntes por l regl de Srrus, otenemos: Desrrollndo el erminnte de orden utro por los djuntos de l segund fil los de orden tres resultntes por l regl de Srrus, otenemos: 9. Clul ls mtries inverss de ls siguientes mtries: d Ls mtries inverss de ls mtries del enunido son: d. Dd l mtriz, verigu los vlores del prámetro pr los ules l mtriz no tiene invers. Clul, si es posile, l invers de undo.

13 Mtemátis II SOLUCIONRIO El erminnte de l mtriz es - -. L mtriz no tiene invers pr o. L mtriz pr es su invers es.. Determin, según los vlores de, el rngo de l mtriz. Se otiene que: - Si, el rngo de es. - Si, el rngo de es.. Dd l mtriz, hll el rngo de l mtriz t según los distintos vlores de. L mtriz es. L mtriz M - t es M. El erminnte de M es M los vlores del rngo son: - Si /, el rngo de M es. - Si, el rngo de es. - Si /, el rngo de es.. Se l mtriz. Comprue que - t, utilizndo el resultdo nterior lul t.

14 Mtemátis II SOLUCIONRIO Clulmos - medinte el proedimiento de Guss-Jordn. Pr ello intermimos ls fils primer segund, posteriormente l segund terer, pr otener: Teniendo en uent que t -, l definiión de mtriz invers, otenemos l siguiente epresión: t - - t I t - I I.. Usmos el ódigo numério: C D E F G H I J K L M N 9 Ñ O P Q R S T U V W X Y Z _ 9 Codifi el mensje MND_DINERO, utilizndo omo mtriz de ifrdo. Mi mig Mris me die que su nomre esrito en lve on un mtriz,, es: Podrís hllr? El mensje nterior, según el ódigo numério se trnsform en: 9 9 Pr envir de form ifrd el mensje nterior se tom l seueni 9 9 se multipli, tomndo números de dos en dos, por l mtriz de ifrdo: H que tener en uent que si los números que resultn de multiplir por l mtriz de ifrdo son mores de, omo por ejemplo en el primer so que son, h que restr ls vees que sen neesris hst otener un número menor que. En nuestro so: El mensje odifido será: 9, que se onvierte en: MUPFXKY.

15 Mtemátis II SOLUCIONRIO Teniendo en uent el ódigo numério iniil, l plr Mris se orresponde on l lve numéri: M R I S Se d l mtriz usd. Se umplirá: d d d d Resolviendo los sistems se otiene:,, d. L mtriz es. CTIVIDDES CCESO UNIVERSIDD-PÁG.. Dd l mtriz : Clul -. Resuelve l euión - I. El erminnte de l mtriz es -.L mtriz invers de es. L euión es. Desrrollndo el erminnte otenemos. Ls soluiones de l euión son - los números omplejos i i.. Clul el vlor de los erminntes siguientes: d

16 Mtemátis II SOLUCIONRIO L soluión en d so es:. Hemos sdo ftor omún de l terer olumn, de l segund de l primer. L sum de l primer segund olumn l olomos en l segund olumn. L difereni de l terer l primer olumn l olomos en l terer olumn. Desrrollmos por l digonl prinipl.. L difereni de ls dos primers fils l segund fil. Desrrollndo por l primer olumn. Utilizndo l regl de Srros. d. 9

17 Mtemátis II SOLUCIONRIO. Responde de form rzond ls siguientes uestiones: Se un mtriz udrd de tmño que verifi I, siendo I l mtriz unidd. Clul el erminnte de. Se un mtriz udrd tl que - I siendo I l mtriz identidd. Prue que dmite invers utiliz l iguldd dd pr epresr - en funión de. Si es un mtriz udrd de tmño pr l ul se umple que - t, puede ser el erminnte de igul? d Semos que el erminnte de un mtriz udrd vle - que el erminnte de l mtriz vle. Cuál es el orden de l mtriz? Ls respuests los distintos prtdos son: Teniendo en uent ls propieddes de los erminntes: El erminnte del produto de dos mtries udrds es igul l produto de los erminntes de ms mtries: M N M N Si los elementos de un líne de un mtriz se multiplin por un número, el erminnte de l mtriz qued multiplido por diho número: F, F,, k F i,, F n k F, F,, F i,, F n prtir de I podemos esriir I. Clulmos mos erminntes: I Por tnto,. L mtriz tendrá invers siempre que el erminnte de se distinto de ero. Rzonmos por reduión l surdo, suponiendo que el erminnte de es nulo. Tomndo erminntes en l iguldd mtriil - I teniendo en uent lgun de ls propieddes de los erminntes podemos esriir: - I [ I] - n I I - n En l últim iguldd si el erminnte de fuese nulo, el resultdo del produto serí ero, pero l poteni - n no se nul nun, por tnto, el erminnte de es distinto de ero l mtriz tiene invers.

18 Mtemátis II SOLUCIONRIO Epresmos l mtriz - en funión de l mtriz. Pr ello opermos en l iguldd mtriil del enunido - I, en l form: - I I L mtriz invers de es I. I I I No puede ser que se umple: - t - t ±. d Se n el orden de l mtriz, entones n. Sustituendo en l epresión nterior los dtos del enunido, otenemos: - n - n n n El orden de l mtriz es.. Se l mtriz. Pr qué vlores de l mtriz es inversile? Estudi el rngo según los vlores de. Hll pr que se umpl. Un mtriz es inversile si su erminnte es distinto de ero. Hllmos el erminnte de :. Por tnto, es inversile si. Estudio del rngo: - Si el rngo de l mtriz es, que el erminnte de es distinto de. - Si el rngo de es, que tiene dos olumns on todos sus elementos nulos. dj Clulmos l mtriz [ ] t

19 Mtemátis II SOLUCIONRIO dj [ ] dj t Epresmos l iguldd mtriil otenemos: ; El vlor de usdo es. Pr este vlor se umple:. Hll el rngo de ls mtries M N, según el vlor del prámetro, siendo: M N El vlor del erminnte de l mtriz M es M. Est epresión nos permite relizr el siguiente estudio del rngo: - Si -, el rngo de M es. - Si -, el rngo de M es. - Si, el rngo de M es. Hllmos el rngo de l mtriz N hiendo eros en l mtriz: rngo rngo rngo Ls operiones elementles que hemos heho son: F F F F F F F F F

20 Mtemátis II SOLUCIONRIO El rngo de l mtriz N es pr ulquier vlor de. Puede omprorse que que el erminnte de N es.. Dds ls mtries otén rzondmente el vlor de los siguientes erminntes: e - d f - Teniendo en uent que los vlores de los erminntes - otenemos:.. 9. d. e - -. f -.. Resuelve l euión mtriil I X, siendo: Opermos en l euión mtriil pr despejr X:

21 Mtemátis II SOLUCIONRIO I X X X X X - L mtriz invers de es finlmente X. PROYECTO DE INVESTIGCIÓN-PÁG. Mtemátis riptogrfí L riptogrfí o rte de esriir en lve, pree se desrroll on l invenión de l esritur. Ls iviliziones más ntigus hiieron uso de ell, unque fueron los griegos romnos los que l desrrollron pr omunirse en sereto on fines eliists. lo lrgo de los siglos, en numeross osiones, tnto los riptógrfos omo sus oponentes, los desodifidores, hn utilizdo ls mtemátis en sus respetivos trjos. Entre ls herrmients utilizds podemos enontrr: el nálisis por freuenis, l ritméti modulr, los números primos, et. Intent desifrr los mensjes que siguen. ÑDV ODWHODWLFDV VLUYHP SDUD WRGR HP ÑD YLGD D TXH WH HPVHQDP D UDCRPDU D UHVRÑYHU SUREÑODV SHUR VREUH WRGR OH KDP GDGR GLVFLSÑLPD SDUD OL OLVOD XPD GLVFLSÑLPD YXH PR HV SDUD PDGD RSUHVLYD VLPR YXH OH IDFLÑLWD VHU ÑLEUH EDUEDED KHPGULFNV α β α α Δ β >α α β α α 9α αδ αβ Δ αδ αδα Δ α Δαα α α αα α βδα α α β α<β αδ9αβ α α Δ 9 9α9 α α α Pr udrte, podemos deirte que uno de los mensjes está odifido on el ifrdo Césr, puedes desifrrlos medinte el nálisis por freuenis. Investig sore riptogrfí. El primer mensje está puesto en lve on el ifrdo Césr siguiente: Letr C D E F G H I J K L M Letr ifrd D E F G H I J K L M N Ñ O Letr N Ñ O P Q R S T U V X Y Z Letr ifrd P Q R S T U V X Y Z C

22 Mtemátis II SOLUCIONRIO die: LS MTEMÁTICS SIRVEN PR TODO EN L VID, Y QUE TE ENSEÑN RZONR, RESOLVER PROLEMS. PERO SORE TODO ME HN DDO DISCIPLIN PR MI MISM. UN DISCIPLIN QUE NO ES PR ND OPRESIV QUE ME FCILIT SER LIRE. RR HENDRICKS El segundo mensje die: EL LIRO DE MTEMÁTICS LO HE DEJDO EN MI TQUILL. TMIÉN PUEDES ENCONTRR LS CTIVIDDES RESUELTS DE L UNIDD SIETE. L LLVE DE L TQUILL L TIENE EL CONSERJE DEL COLEGIO. ESPERO QUE TE SIRVN PR PREPRR EL EXMEN. N El ifrdo puede verse en ls tls: Letr C D E F G H I J K L M Símolo α < > Letr N Ñ O P Q R S T U V X Y Z Símolo β 9 Δ L desodifiión de los mensjes puede herse medinte el nálisis de freuenis. El nálisis por freuenis, pr desifrr un riptogrm, se s en estudir l freueni on l que preen los distintos símolos en un lenguje ermindo luego estudir l freueni on l que preen en los riptogrms, de est mner estleer un relión entre ellos. L ide fundmentl es que no tods ls letrs preen on l mism freueni, sino que lguns preen más menudo que otrs. Contndo los signos del teto ifrdo ordenándolos de mor menor freueni podemos estleer onjeturs er de qué letr orresponde d signo. El nálisis se omplet on l úsqued de plrs freuentes omo rtíulos preposiiones. El resto es uestión de intuiión. En nuestro idiom ls letrs E % % destn sore tods ls demás pueden identifirse on filidd, unque en un teto orto l freueni de ms se puede invertir. Tods ls voles oupn un % del teto. Ls onsonntes más freuentes son L, S, N D % ls seis letrs menos freuentes son V, Ñ, J, Z K on poo más del %.