Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. UNIDAD 2: Determinantes. A b) ACTIVIDADES INICIALES-PÁG. 38

Transcripción

1 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO UNIDD : Determinntes CTIVIDDES INICILES-PÁG.. Clcul ls mtrices inverss de ls mtrices siguientes: ) b) Emplendo el método de Guss-Jordn, obtenemos: ) L mtriz invers de es. b) L mtriz invers de es.. Clcul el rngo de ls mtrices: ) 9 b) plicndo ls operciones elementles por fils, obtenemos: ). 9 de Rngo de Rngo de Rngo 9

2 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO b) Rngo de Rngo de Rngo de Rngo de.. Clcul el rngo de l mtriz según los vlores del prámetro : plicndo ls operciones elementles por fils, obtenemos: Rngo de Rngo de. Si, el rngo de es. Si, el rngo de es. CTIVIDDES de RESOLUCIÓN DE PROLEMS-PÁG.. Prejs. Tres migos, Jun, José Jesús vn de comprs con sus prejs Mrí, Merche Mrin, unque no necesrimente en ese orden. Cd uno de los seis compr uno o vrios objetos pg por cd objeto tntos euros como objetos compr. José compre objetos más que Mrí Jun más que Merche. Cd hombre gstó euros más que su prej. Cuál es l prej de cd uno? Hcemos un tbl con l informción del problem: Jun José Jesús Mrí Merche Mrin Objetos z compr Euros pg ( ) ( ) z Un solución puede ser: Jun con Mrí: ( ) José con Mrin: z ( ) Entonces: 9; ; z.

3 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO Jun compr su espos Mrí 9. José compr su espos Mrin. Jesús compre su espos Merche.. Pirámides de bols. Un mgo pil bols, tods igules, pr formr dos pirámides tetrédrics. De pronto se d cuent de que juntndo ls bols de mbs pirámides, puede formr un sol pirámide tetrédric mor. Cuál es el mínimo número de bols de ls que tendrá que disponer el mgo inicilmente? l construir pirámides tetrédrics de bols precen los números tetrédricos:,,,,, n ( n ) ( n ) que formn un progresión ritmétic de tercer orden, de término generl T n. Si ls dos pirámides son igules, el mínimo número es bols, con lo que formrí un pirámide tetrédric de rist prtir de dos tetrédrics de rist. Si ls dos pirámides iniciles no son igules, el mínimo número es bols, número obtenido l sumr ls bols de dos pirámides tetrédrics de rists, de bols. L nuev pirámide tetrédric formd por bols tiene de rist, que se cumple: n ( n ) ( n ) n. CTIVIDDES de NUEVS TECNOLOGÍS-PÁG.. Dds l mtrices 9, clcul: ) b) c) d) - En l clculdor definimos ls mtrices. Pr ello ctivmos el menú Mtrices en l opción EDIT introducimos ls dimensiones de l mtriz, que en nuestro cso serín, teclendo: NTER ENTER. Introducimos los elementos de l mtriz de form ordend. Pr l mtriz del enuncido, l secuenci de tecls serí: ENTER ENTER - ENTER ENTER ENTER ENTER ENTER 9 ENTER - ENTER. Pr introducir l mtriz teclemos - ENTER ENTER ENTER ENTER - ENTER ENTER ENTER ENTER ENTER. Relizmos ls operciones indicds teclendo ésts en l pntll principl con ud del menú Mtrices, donde están ls mtrices. Obtenemos los resultdos que pueden verse en los gráficos.

4 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO ) [] * [] b) [] * [] c) []^ 9 9 d) []^-. Resuelve l ecución mtricil X C, siendo:, C. Utilizndo ls propieddes de ls operciones con mtrices obtenemos: X C X C X (C ) Introduciendo en l clculdor ls mtrices, C relizndo ls operciones indicds, obtenemos l mtriz que prece en el gráfico. []^- * ([C] [])

5 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO. Resuelve los sistems que siguen, digonlizndo ls mtrices mplids: ) z z z b) z z z c) z z z Ls mtrices mplids de los sistems son: C Introducimos en l clculdor ls mtrices nteriores. L función rref (, que podemos encontrr en el menú Mtrices en l opción MTH, nos devuelve l form digonl de un mtriz dd. Pr los sistems del enuncido ), b) c), obtenemos ls mtrices [], [] [C] que precen en los gráficos. ) El sistem tiene por solución /, /, z - / es comptible determindo. b) El sistem del prtdo tiene por soluciones z; es comptible indetermindo. c) escre ([]) rc / / / escre ([]) escre ([C]) rc / /

6 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO El sistem crece de soluciones es incomptible. En l resolución de los sistems de los prtdos ) c) hemos ctivdo l opción rc que se encuentr en el menú Mtemátics (tecl MTH), pr obtener los elementos de ls mtrices epresdos en form de frcción. CTIVIDDES INLES-PÁG.. Clcul los determinntes de ls siguientes mtrices: ) b) c) d) e) m n n m Los vlores de los determinntes son: ) c) e) n m m n n m b) d). Clcul los determinntes de ls mtrices que siguen, utilizndo l regl de Srrus: ) b) c) d) Los vlores de los determinntes son: ) c) b) d). Resuelve ls ecuciones: ) b) c) Desrrollmos los determinntes, resolvemos ls ecuciones resultntes obtenemos:

7 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO ). Ls soluciones son -, -,. b). Ls soluciones son -,. c). L solución es.. Teniendo en cuent ls propieddes de los determinntes, justific que son nulos los determinntes que siguen, sin desrrollrlos. ) b) c) d) 9 Ls rzones en cd cso son: ) Ls fils primer tercer son proporcionles:. b) Ls columns primer tercer coinciden: C C. c) L column tercer es combinción linel de l primer l segund; C C C. d) L fil tercer es combinción linel de l primer l segund; C.. Prueb, sin desrrollr, que los siguientes determinntes son múltiplos de,,, respectivmente. ) b) c) 9 d) 9 ) Summos los elementos de ls tres fils el resultdo lo colocmos en l primer ( ), scmos fctor común de l primer fil obtenemos:

8 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO b) Summos los elementos de ls tres fils el resultdo lo colocmos en l primer ( ), scmos fctor común de l primer fil obtenemos: c) Relizmos l siguiente operción con ls columns (C C C C ), scmos fctor común de l tercer column obtenemos: d) Puede observrse que los números que formn cd un de ls fils,, 9 son múltiplos de. Operndo en cd fil, multiplicmos l primer column por, l segund por summos mbos resultdos l tercer column, quedrí: Demuestr ls siguientes igulddes plicndo ls propieddes de los determinntes: bc c b b c b c Multiplicmos dividimos l primer fil por, l segund fil por b l tercer por c, dejndo l epresión fuer del determinnte. Después scmos fctor común de l primer column bc el determinnte bc resultnte es nulo l tener dos columns igules. bc c b b c b c bc bc bc bc b c bc bc b c. Sen, ls tres fils de un mtriz cudrd de orden tl que su determinnte es det (,, ). Clcul: ) det () b) det ( ) c) det (,, ) ) Teniendo en cuent l propiedd: Si los elementos de un líne de un mtriz se multiplicn por un número, el determinnte de l mtriz qued multiplicdo por dicho número.

9 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO que el orden es : det () det (). b) Teniendo en cuent l propiedd: El determinnte del producto de dos mtrices cudrds es igul l producto de los determinntes de mbs mtrices. Obtenemos: det ( ) det () det () det () c) Teniendo en cuent ls propieddes: Si los elementos de un líne de un mtriz se multiplicn por un número, el determinnte de l mtriz qued multiplicdo por dicho número. Si en un mtriz cudrd se permutn dos línes, su determinnte cmbi de signo. det (,, ) det (,, ) - det (,, ) Hciendo uso de l propiedd: Si los elementos de un líne de un mtriz cudrd se les sum un combinción linel de otrs línes, su determinnte no vrí. det (,, ) - det (,, ) - det (,, ) - det (,, ) -. Resuelve ls siguientes cuestiones: ) L mtriz verific. Hll los posibles vlores del determinnte de. b) L mtriz verific t I. Hll det (). ) Utilizndo l propiedd det ( ) det () det (), se obtiene: det ( ) [det ()]. Por tnto: [ det ( )] det ( ) det ( ) [ det ( ) ] det ( ) o det ( ) b) Teniendo en cuent ls propieddes det () det ( t ) det ( ) det () det (), se obtiene: det t ( ) det ( I ) det ( ) det ( ) det ( ) 9. Se un mtriz cus fils son,, su determinnte vle. Cuánto vle el determinnte de l mtriz cus fils son,, -? L solución qued:

10 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO.. Comprueb que el determinnte que sigue es divisible por, sin clculrlo, prtir de ls propieddes de los determinntes: 9 Sustituimos los elementos de l fil tercer por l sum de los elementos de ls fils tercer segund, obtenemos: 9 Observmos que el determinnte es divisible por. Eisten otrs forms de combinr línes de este determinnte pr obtener número múltiplos de, por ejemplo, l sum de los elementos de l column tercer con el doble de los elementos de l column segund. CTIVIDDES INLES-PÁG. 9. Sen ls mtrices, C. ) Hll los menores complementrios α, α, α α, si eisten. b) Clcul, si eisten, los djuntos,,, si eisten. c) Hll ls mtrices djunts de ls mtrices dds. Ls respuests son: ) Los menores complementrios pedidos son: En l mtriz : α ; α ; α α no eisten. En l mtriz : α ; α - ; α - α -. En l mtriz C: α - ; α - ; α α.

11 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO b) Los djuntos pedidos son: En l mtriz : ; ; no eisten. En l mtriz : - ; - ; -. En l mtriz C: C ; C - ; C - C. c) Ls mtrices djunts son:, ) ( C dj. Hll ls mtrices djunts de ls mtrices: ) b) c) C Ls mtrices djunts son: ) () dj b) 9 () dj c) (C) dj. Clcul ls mtrices inverss de ls siguientes mtrices: ) b) c) C Ls mtrices inverss de ls mtrices del enuncido son: ) b) c) C. Dd l mtriz, verigu los vlores del prámetro pr los cules l mtriz no tiene invers. Clcul, si es posible, l invers de cundo. El determinnte de l mtriz es det () - - ( ) ( ). L mtriz no tiene invers pr o. 9

12 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO L mtriz pr es su invers es.. Determin, según los vlores de, el rngo de l mtriz. Se obtiene que: - Si, el rngo de es. - Si, el rngo de es.. Dd l mtriz, hll el rngo de l mtriz t según los distintos vlores de. L mtriz es. L mtriz M - t es M. El determinnte de M es det (M) ( ) ( ) los vlores del rngo son: - Si /, el rngo de M es. - Si, el rngo de es. - Si /, el rngo de es.. Determin pr qué vlores de el rngo de l mtriz es. El determinnte de l mtriz es, se nul pr. Por tnto, pr culquier vlor de distinto de el rngo de l mtriz es.. Usmos el código numérico: C D E G H I J K L M N 9

13 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO Ñ O P Q R S T U V W X Y Z _ 9 ) Codific el mensje MND_DINERO, utilizndo como mtriz de cifrdo. b) Mi mig Mris me dice que su nombre escrito en clve con un mtriz,, es: Podrís hllr? ) El mensje nterior, según el código numérico se trnsform en: 9 9 Pr envir de form cifrd el mensje nterior se tom l secuenci 9 9 se multiplic, tomndo números de dos en dos, por l mtriz de cifrdo: H que tener en cuent que si los números que resultn de multiplicr por l mtriz de cifrdo son mores de, como por ejemplo en el primer cso que son, h que restr ls veces que sen necesris hst obtener un número menor que. En nuestro cso: El mensje codificdo será: 9, que se convierte en: MUPXKY. b) Teniendo en cuent el código numérico inicil, l plbr Mris se corresponde con l clve numéric: M R I S Se d c b l mtriz buscd. Se cumplirá: d c b d c b

14 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO d c b d c b Resolviendo los sistems se obtiene:, b, c d. L mtriz es. CTIVIDDES CCESO UNIVERSIDD-PÁG.. Sen ls mtrices:, resuelve l ecución mtricil X O. L resolución de l ecución es: ( ) X X O X Ls mtrices clculr son: ( ) ; Por tnto:. X. Se considern ls mtrices: k k ) Clcul los vlores de k pr los cules no es invertible. b) Pr k, clcul l mtriz -. c) Pr k, resuelve l ecución mtricil X. ) El determinnte de l mtriz es det () k k (k )(k ). Pr K k l mtriz no es invertible.

15 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO b) Pr k l mtriz invers de es. c) L solución de l ecución mtricil es X.. Responde de form rzond ls siguientes cuestiones: ) Se un mtriz cudrd de tmño que verific I, siendo I l mtriz unidd. Clcul el determinnte de. b) Si es un mtriz cudrd de tmño pr l cul se cumple que - t, puede ser el determinnte de igul? Ls respuests los distintos prtdos son: ) Teniendo en cuent ls propieddes de los determinntes: El determinnte del producto de dos mtrices cudrds es igul l producto de los determinntes de mbs mtrices: det (M N) det (M) det (N) Si los elementos de un líne de un mtriz se multiplicn por un número, el determinnte de l mtriz qued multiplicdo por dicho número: det (,,, k i,, n ) k det (,,, i,, n ) prtir de I podemos escribir det ( ) det ( I). Clculmos mbos determinntes: det ( ) det ( ) det () det () (det ()) det ( I ) det det Por tnto, (det ()) det ( ) det ( ). b) No puede ser det () que se cumple: - t det ( - ) det ( t ) det ( ) det ( ) (det ()) det () ±.

16 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO. Se l mtriz. ) Pr qué vlores de l mtriz es inversible? b) Estudi el rngo según los vlores de. c) Hll pr que se cumpl. ) Un mtriz es inversible si su determinnte es distinto de cero. Hllmos el determinnte de :. Por tnto, es inversible si. b) Estudio del rngo: - Si el rngo de l mtriz es, que el determinnte de es distinto de. - Si el rngo de es, que tiene dos columns con todos sus elementos nulos. c) Clculmos l mtriz [ ] t dj ) ( dj ) ( [ ] dj t ) ( Epresmos l iguldd mtricil obtenemos: ; El vlor de buscdo es. Pr este vlor se cumple:

17 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO. Dd l mtriz, clcul l mtriz X pr que se cumpl l ecución mtricil X I O, siendo I O ls mtrices unidd nul, respectivmente. Resolvemos l ecución mtricil: X I X I X O I X Como se tiene:. X. ) Determin pr qué vlores de l siguiente mtriz no tiene invers: b) Considerndo l mtriz del prtdo nterior con -, resuelve l ecución mtricil X C, donde: C ) Un mtriz cudrd no tiene invers si su determinnte es cero: ) ( ) ( det L mtriz no tiene invers pr. b) Resolvemos l ecución mtricil: ) ( C X C X C X C X Hllmos ls mtrices - - :

18 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO L mtriz buscd es: X.. Determin l mtriz X solución de l ecución mtricil X I, donde: e I Opermos en l ecución mtricil pr despejr X: X I X I X - ( I) X I - L mtriz invers de es finlmente:. X

19 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO PROYECTO DE INVESTIGCIÓN-PÁG. Mtemátics criptogrfí L criptogrfí o rte de escribir en clve, prece se desrroll con l invención de l escritur. Ls civilizciones más ntigus hicieron uso de ell, unque fueron los griegos romnos los que l desrrollron pr comunicrse en secreto con fines belicists. lo lrgo de los siglos, en numeross ocsiones, tnto los criptógrfos como sus oponentes, los descodificdores, hn utilizdo ls mtemátics en sus respectivos trbjos. Entre ls herrmients utilizds podemos encontrr: el nálisis por frecuencis, l ritmétic modulr, los números primos, etc. Intent descifrr los mensjes que siguen. ÑDV ODWHODWLDV VLUYHP SDUD WRGR HP ÑD YLGD D TXH WH HPVHQDP D UDCRPDU D UHVRÑYHU SUREÑODV SHUR VREUH WRGR OH KDP GDGR GLVLSÑLPD SDUD OL OLVOD XPD GLVLSÑLPD YXH PR HV SDUD PDGD RSUHVLYD VLPR YXH OH IDLÑLWD VHU ÑLEUH EDUEDED KHPGULNV α β α α Δ β >α α β α α 9α αδ αβ Δ αδ αδα Δ α Δαα α α αα α βδα α α β α<β αδ9αβ α α Δ 9 9α9 α α α Pr udrte, podemos decirte que uno de los mensjes está codificdo con el cifrdo Césr, puedes descifrrlos medinte el nálisis por frecuencis. Investig sobre criptogrfí. El primer mensje está puesto en clve con el cifrdo Césr siguiente: Letr C D E G H I J K L M Letr cifrd D E G H I J K L M N Ñ O Letr N Ñ O P Q R S T U V X Y Z Letr cifrd P Q R S T U V X Y Z C dice: LS MTEMÁTICS SIRVEN PR TODO EN L VID, Y QUE TE ENSEÑN RZONR, RESOLVER PROLEMS. PERO SORE TODO ME HN DDO DISCIPLIN PR MI MISM. UN DISCIPLIN QUE NO ES PR ND OPRESIV QUE ME CILIT SER LIRE. RR HENDRICKS

20 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II SOLUCIONRIO El segundo mensje dice: EL LIRO DE MTEMÁTICS LO HE DEJDO EN MI TQUILL. TMIÉN PUEDES ENCONTRR LS CTIVIDDES RESUELTS DE L UNIDD SIETE. L LLVE DE L TQUILL L TIENE EL CONSERJE DEL COLEGIO. ESPERO QUE TE SIRVN PR PREPRR EL EXMEN. N El cifrdo puede verse en ls tbls: Letr C D E G H I J K L M Símbolo α < > Letr N Ñ O P Q R S T U V X Y Z Símbolo β 9 Δ L descodificción de los mensjes puede hcerse medinte el nálisis de frecuencis. El nálisis por frecuencis, pr descifrr un criptogrm, se bs en estudir l frecuenci con l que precen los distintos símbolos en un lenguje determindo luego estudir l frecuenci con l que precen en los criptogrms, de est mner estblecer un relción entre ellos. L ide fundmentl es que no tods ls letrs precen con l mism frecuenci, sino que lguns precen más menudo que otrs. Contndo los signos del teto cifrdo ordenándolos de mor menor frecuenci podemos estblecer conjeturs cerc de qué letr corresponde cd signo. El nálisis se complet con l búsqued de plbrs frecuentes como rtículos preposiciones. El resto es cuestión de intuición. En nuestro idiom ls letrs E ( %) ( %) destcn sobre tods ls demás pueden identificrse con fcilidd, unque en un teto corto l frecuenci de mbs se puede invertir. Tods ls vocles ocupn un % del teto. Ls consonntes más frecuentes son L, S, N D ( %) ls seis letrs menos frecuentes son V, Ñ, J, Z K (con poco más del %).