ALGUNOS PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD PROPUESTOS EN 2013

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Isabel Cuenca Segura
hace 6 años
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1 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino LGUNOS PROLMS D SLCTVDD PROPUSTOS N Mries deerinnes rgón, junio Deerin el rngo de l ri, que ree oninuión, según los vlores de : ) Deerin, si eise, un ri,, que verifique l siguiene euión riil: Cuál es el rngo de l ri? ) si = Por no, r ulquier vlor de n esos sos, el rngo será Si =, Coo el enor, su rngo es ) Ls ries que ulilin, C son inveriles, ues sus deerinne son disinos de : Sus inverss son: ; C Por no: C C Coo, su rngo es

2 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino Csill León, junio Se l ri ) Pr qué vlores de l ri es inversile? ) sudir el rngo según los vlores de ) Hllr r que se ul que ) Pr que se inversile su deerinne dee ser disino de : r ulquier vlor de ) l rngo es el orden del or enor no nulo Si, oo es de orden, su rngo será ién Si =, l ri es Su rngo es : el deerinne de es, odos los enores de orden ién son nulos ) l vlor de usdo es = Cluñ, junio (Serie ) Se ) Qué signifi que se l invers de? ) nuenre el vlor del ráero r que l ri invers de l ri rsues de oinidn

3 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino No: No roie ls ríes edine vlores on deiles; rje on los rdiles [, unos or el rdo );, or el rdo )] ) Dos ries udrds son inverss un de or undo su roduo es igul l idenidd del iso orden: Pr que un ri udrd eng invers es neesrio que su deerinne se disino de : ) Si oiniden l ri invers de on su rsues, enones se ule que Por no, en ese so: Mulilindo: No: Si el leor se que si, enones, l ri es orogonl; que undo un ri es orogonl, sus veores fil (o olun) son oronorles dos dos, enones s on eigir que: ) F ; ) F F ),, F ),,,,

4 ÁLGR (Seleividd ) Counidd Vlenin, junio Dds ls ries, oener rondene el vlor de los deerinnes siguienes, esriiendo odos los sos del ronieno uilido: ) ( unos) ( unos) ) ( unos) ) ( ) Proieddes: n Pr un ri udrd,, de orden n se ule: k k ) Si son ries udrds del iso orden: Coo es un ri de orden Por or re: Por no: ) Coo es un ri ringulr, su deerinne es el roduo de los eleenos de su digonl rinil: ( ) ( ) Por no: = = = (Podrí oservrse que ls ries son inverss) ) L ri es ringulr Su deerinne vle : Con eso: ( ) = José Mrí Mríne Medino

5 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino L Rioj, junio ( uno) Se un ri udrd de orden on deerinne Clul los deerinnes de l ri, l invers l rsues (Vése el role nerior) redur, junio Dds ls ries,, ruee que l ri invers de es l deerinne de vle, Por no l ri iene invers es úni Si es invers es, dee ulirse que Y oo Por no, h que oror que Cálulos: = = Luego: = = Oservión: Podrí ororse direene Clulndo, or un re l ri invers, ; or or, el vlor de Y ver que son igules

6 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino Mdrid, junio Dds ls ries,, se ide: ) Hllr el vlor de r el ul l euión riil X iene soluión úni ) Clulr l ri X r = ) Clulr el deerinne de l ri en funión de ) Pr que l euión X eng soluión úni es neesrio que eis l invers de Si sí fuese: X X X L invers de eise undo si ) Pr =,, on Su invers es ij ) (, siendo ij l ri de los djunos de ij Coo X X ) = UND, junio Dd l ri, esudir l eiseni de un ri X l que X =, lulrl en el so de que eis Oservión X reresen el roduo de ries,, se ide:

7 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino Coo el deerinne de l ri es disino de ero, = =, se uede desejr l ri X de l iguldd X =, siendo X L invers de es ij ) (, siendo ij l ri de los djunos de ij X ) ( Oservión: Puede verse que X = : X suris, junio Ddo el núero rel se onsider l ri Hll el rngo de l ri, según los disinos vlores de No: es l ri rsues de l rngo de un ri es el orden del or enor nulo Se he si = / o = ; undo / Con eso: Si / el rngo de l ri es Si = / l ri / / / / Su rngo es, ues el enor / / /

8 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino Si = l ri Tién iene rngo, ues suris, junio Ddo el núero rel se onsider l ri ) Oeng los vlores del núero rel r los que l ri iene invers ) usque, si es osile, l ri invers de undo = ) L invers de eise undo Un rí de es = desooniendo en fores: si (L eresión no iene ríes reles) n onseueni, l ri es inversile siere que ) Cundo =, Su invers es ij ) (, siendo ij l ri de los djunos de ij ) ( Pís Vso, junio Dd l ri, donde es un ráero rel ) Clulr rondene el rngo de l ri en funión del ráero ) lir si l ri iene invers r el so = en so de que eis lulrl s siilr los roles neriores r() = si ; será, si = Su invers r = es / / / /

9 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino Cnris, junio Dd l ri ) Deerin los vlores del ráero r los que l ri iene invers ) Clul l invers de l ri r = s siilr l role nerior Tiene invers undo Pr = Cnris, junio Clulr ls ries les que: Uilindo el éodo de reduión (Guss): Resndo: Susiuendo en l rier euión dd: Muri, junio ) Corue que l ri es regulr (o inversile) lul su ri invers ) Resuelve l euión riil X, siendo l ri nerior OJO!: l roduo de ries NO es onuivo

10 ÁLGR (Seleividd ) (Me ll l enión l dvereni del OJO) ) Un ri es regulr undo su deerinne es disino de Coo ), l ri es regulr Su invers es ( ij ) ij ( ), siendo ij l ri de los djunos de ) X X X X Por no: X X José Mrí Mríne Medino

11 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino Sises rgón, junio Se l ri: ) (, unos) Disue el sise que ree oninuión, r d uno de los vlores de resuélvlo r los vlores de siguienes: = = X donde X ) ( uno) Deerin l invers de l ri undo = l sise que ree es hoogéneo Por no siere endrá soluión s soluión será úni undo rngo de se : sise CD Tendrá infinis soluiones undo r() < : sise C Se esudi el rngo de Su deerinne vle undo Por no: Si, l úni soluión del sise es l rivil: = ; = ; = n riulr, undo =, es será ls soluión Si = o =, el sise será oile indeerindo, on infinis soluiones Pr =, se iene: Se resinde de un euión: L soluión generl es ) Pr =, l ri Coo su deerinne vle, l ri endrá invers Su invers es ij ) (, siendo ij l ri de los djunos de ij (l leor deerí oror que )

12 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino Csill León, junio Sen ls ries, C ) Clul, undo se osile, ls ries C, C C (, unos) ) Hll r que el sise C, de res euiones dos inógnis e, se oile deerindo resuélvelo r ese vlor de (, unos) ) C ; C l roduo C no uede relirse: Pr oder ulilir ries es neesrio que el núero de oluns de l ri de l iquierd se igul l de fils de l ri de l dereh ) l sise C se sise se uede resolver lindo Rouhé: h que ioner que el deerinne de l ri lid vlg Pero quí se v resolver lindo roediienos eleenles l sise será oile deerindo undo l soluión orresondiene ls dos riers euiones se ién válid en l erer Ls dos riers euiones genern el sise: Resndo : / / Coo es soluión dee ser válid en l euión, susiuendo: = Cluñ, junio (Serie ) Seos que el veor (,, ) es soluión del sise Clule los vlores de los ráeros, r que el sise no se oile deerindo [ unos]

13 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino Si (,, ) es soluión del sise, susiuendo se oiene: (Por Guss) : : Counidd Vlenin, junio Se iene el sise de euiones, donde, son res núeros reles Oener rondene, esriiendo odos los sos del ronieno uilido: ) L relión que deen verifir los núeros, r que el sise se oile ( unos) ) L soluión del sise undo =, = = ( unos) ) L soluión del sise undo los núeros, verifin l = = ( unos) ) s un sise de euiones on inógnis Pr que eng soluión es neesrio que el rngo de l ri lid se enor que Por no, l sise será oile undo los núeros verifiquen l relión ) Cundo =, = = se verifi l relión nerior: ) + = ; or no el sise es oile Qued Su soluión, uede herse or Guss (or el éodo de reduión) Resndo l rier, l erer euión, qued: = = ) Cundo los núeros, verifin l = = ién se ule, ues si =, susiuendo: l sise qued: (or Guss)

14 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino redur, junio ) nuenre, rondene, un vlor del ráero r el que se oile deerindo el sise de euiones lineles: ) ( ) Resuelv el sise r el vlor de enonrdo Pr que el sise se oile deerindo el rngo de ls ries de oefiienes lid, M, dee ser M l deerinne de vle: Coo si, r ulquier oro vlor de el rngo de es Por no, el sise será oile deerindo r odo vlor de ) Por ejelo, r = el sise es oile deerindo Qued sí: Puede resolverse or Guss : Mdrid, junio Ddo el sise de euiones lineles:, se ide: ) Disuirlo según los vlores de ) Resolverlo en el so = ) Resolverlo en el so = Ls ries de oefiienes lid son: M

15 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino si = o = Por no: Si, r() = = r(m) l sise será oile deerindo Si =, se iene: M r() = Coo el enor M r(m) = Luego, si =, el sise es inoile Si =, se iene: M r() = Coo el enor M r(m) = Luego, si =, el sise es oile indeerindo ) Pr = el sise es oile deerindo Qued sí: Puede resolverse or el éodo de reduión de Guss: ) Pr = el sise es indeerindo; equivlene Puede suriirse un euión (l ), qued:

16 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino suris, junio Ddo el sise ) sudi su oiilidd según los vlores del núero rel ) Resuelve el sise, si es osile, undo = Ls ries de oefiienes lid son: M ) ( si = o = ; si Por no: Si r() = = r(m) l sise será oile deerindo Si =, se iene: M r() = r(m) = Luego, si =, el sise es inoile Si =, se iene: M r() = : Coo el enor M r(m) = Luego, si =, el sise es oile indeerindo ) Pr =, el sise es / / / /

17 ÁLGR (Seleividd ) Pís Vso, junio Ddo el sise ) Disuirlo según los vlores del ráero ) Resolverlo, si es osile, r = s siilr l role nerior SCD; =, SC; =, inoile Si =, SCD on soluión: = ; = /; = / Muri, junio Disue, en funión del ráero el siguiene sise de euiones No h que resolverlo en ningún so s siilr l role nerior SCD; =, inoile; =, SC Cnris, junio Ddo el siguiene sise de euiones: ) Disuirlo según los vlores de ) Resolverlo r = s siilr l role SCD; =, SC; =, inoile Si =, SCD on soluión: = ; = ; = L Rioj, junio Disue el sise de euiones lineles según los vlores del ráero resuelve undo se oile deerindo: Ls ries de oefiienes lid son: M José Mrí Mríne Medino

18 ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino si = o = ; si Por no: Si r() = = r(m) l sise será oile deerindo Si =, se iene: M r() = Coo el enor M r(m) = Luego, si = el sise es inoile Si =, se iene: M r() = r(m) = n onseueni, si = el sise es oile indeerindo Cundo es oile deerindo ( ), l soluión uede lulrse or Crer ; ;

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