TEMA 3. Sistemas de ecuaciones lineales Problemas Resueltos
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- Rocío Quintero Aguirre
- hace 7 años
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1 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te wwweicsjco José rí ríne edino T Sises de ecuciones lineles Proles Resuelos Clsificción resolución de sises or éodos eleenles Resuelve uilindo el éodo de de reducción de Guss Jordn, los sises ) ) Se rnsfor el sise coo se irá indicndo ) Oservción Pr cerciorrse de que l solución es correc es conveniene su coroción, susiuendo los vlores hlldos en ls ecuciones iniciles, viendo que se culen ) Resuelve uilindo el éodo de Guss los sises ) 8 ) 7 ) 8 Dos ecuciones reeids) Resul un sise coile indeerindo, equivlene Si se hce, l solución uede escriirse coo sigue ) 7 Un ecución surd) l sise es incoile
2 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te wwweicsjco José rí ríne edino licndo el éodo de Guss discue, en función de los vlores del ráero, los sises ) ) Se rnsfor el sise coo se irá indicndo ) ) ) rir de l ercer ecución ), uede deducirse Si, qued s ecución se cule r culquier vlor de l sise resulne es coile indeerindo Pr hllr su solución uede hcerse llevr ese vlor ls deás ecuciones Resul Si, de ) Oserv que, desejndo l sise resulne es coile deerindo Pr hllr su solución se susiue en ls deás ecuciones, resulndo ) L ercer ecución, sólo iene senido si, resulndo Se ierde un ecución el sise será coile indeerindo, equivlene Su solución uede drse en función de lgun de ls incógnis sí, si se hce, el sise qued / / / Coo se h dicho, r, el sise será incoile
3 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te wwweicsjco José rí ríne edino licndo el éodo de Guss discue, en función de los vlores del ráero, los sises ) ) Se rnsfor el sise coo se irá indicndo ) ) rir de l ercer ecución ), uede deducirse Si, qued s ecución es surd l sise resulne es incoile Si, el sise es coile deerindo Oserv que de ), desejndo l vlor de ls deás incógnis se hll susiuendo ) / ) rir de l ercer ecución, uede deducirse Si, qued L ecución es surd l sise resulne es incoile Si, el sise es coile deerindo Oserv que de l vlor de ls deás incógnis se hll susiuendo
4 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te wwweicsjco José rí ríne edino licndo l regl de Crer hll l solución generl, en función del ráero, del sise L ri de coeficienes es Su deerinne vle Coo r oder licr l regl de Crer h que eigir que, no uede or el vlor Con eso ; ; Puede oservrse que es soluciones crecen de senido cundo so signific que r el sise es incoile Cor ese éodo resuldo con lo hecho en el role nerior) sudi l coiilidd de los siguienes sises Cundo eis, d su solución ) ) Son sises de ecuciones con incógnis Pr esudir su coiilidd s con licr rnsforciones de Guss l sise será coile cundo rec un ecución reeid; en cso conrrio, será incoile ) Coile ) Incoile De or ner ) Se on L solución del sise l sise endrá solución cundo l solución oenid rir de dos de ls ecuciones vlg en l or es e sos vlores verificn l ercer ecución? Sí, ues n consecuenci, el sise es coile su solución es e Oservción L solución es l is si se on ls ecuciones o
5 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te wwweicsjco José rí ríne edino ) Se on L solución del sise es e sos vlores verificn l ercer ecución? No, ues 7 n consecuenci, el sise es incoile no iene solución Oservciones ) L solución oenid rir de ls ecuciones, es e 9 ) l lecor srá que ls ecuciones del io c se reresenn coo recs en el lno Si ls res recs se corn en el iso uno, el sise socido es coile Si ess res recs no ienen ningún uno en coún signific que el sise socido es incoile n l siguiene figur se reresenn ls recs socids os sises 7 Pr qué vlor de endrá solución el sise ) ) ) ) Coo dee culir ls res ecuciones, susiuendo en se endrá ) ) Será coile cundo 7
6 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te 7 wwweicsjco José rí ríne edino Sises con un ráero licción del eore de Rouché 8 sudi, en función del vlor de, l coiilidd del sise 7 Resuélvelo cundo eng infinis soluciones, d un r de ess soluciones Sen ls rices de coeficienes lid 7 si ; cundo Con eso Si r) r) l sise será coile deerindo Si, se iene 7 Coo r) Coo C C C, el rngo de ién es r) Luego si, r) r) l sise será coile indeerindo, equivlene Hciendo, se oiene l solución Pr cd vlor de se oiene un solución disin Por ejelo, si se oiene,, ; si, l solución es,, 9 Resuelve el sise ) ) r los vlores de que lo hgn coile Se l ri de coeficienes l ri lid l sise endrá solución cundo r) r) Coo r odo, r) r) l sise es coile deerindo r odo vlor de
7 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te 8 wwweicsjco José rí ríne edino Su solución, licndo l regl de Crer, es ; ; Discue, según los vlores del ráero, el sise Resuélvelo r el vlor de Ls rices de coeficienes lid son ) ) si o Por no Si,, el r) el sise será coile deerindo Si, se iene, siendo r) r), ues C, C C son roorcionles l sise será coile indeerindo Si, se iene, con r) r), ues el enor Luego, el sise será incoile Pr, el sise qued / / /
8 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te 9 wwweicsjco José rí ríne edino ) Discue en función de los vlores de el sise ) ) ) Si es el osile, resuélvelo cundo cundo ) Ls rices de coeficienes lid son ) ) ) ) ) Por no si o r) ; si r) n consecuenci Si, r) r) Sise coile deerindo Si, e iene s evidene que r) Por or re, coo el enor el rngo de es n ese cso, el sise será incoile Si, Coo r) r) n ese cso el sise es coile indeerindo ) Pr, el sise es coile deerindo Su solución uede hllrse or susiución Si, qued ) ) / / / Pr, el sise es coile indeerindo, equivlene
9 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te wwweicsjco José rí ríne edino Si se hce, su solución es Clsific según los vlores de el sise ) Resuélvelo cundo se osile Ls rices, de coeficienes lid, son l deerinne de es ) Se nul si o Por no Si r) r) l sise será coile deerindo Su solución es ) Si Ls rices son, s con rngo ; luego el sise es coile indeerindo, equivlene Coo uede or culquier vlor,, su solución generl es Si Ls rices son, siendo r) Pueso que el enor iene deerinne igul, r), el sise es incoile
10 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te wwweicsjco José rí ríne edino sudi l eisenci de soluciones del sise ), según los vlores del ráero Si es osile, resuélvelo r Se r de un sise con enos ecuciones que incógnis; or no, uede ser coile indeerindo, si r) r), o incoile, cundo r) r) Ls rices de coeficienes lid son Los enores vlen cundo ; luego, r) cundo r) si Por or re, el rngo de siere es, ues n consecuenci Si, r), r) el sise será incoile Si, r) r) l sise será coile indeerindo Pr, el sise es si se hce ) Proueso en Selecividd 999, drid) sudi el siguiene sise linel, según los diferenes vlores del ráero rel n los csos en que se coile, resuélvelo Ls rices de coeficienes lid son Luego, r) l enor 9 si ; si Por no, r) si ; r), si Luego Si, r) r) l sise es coile indeerindo Si, r) r) l sise será incoile
11 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te wwweicsjco José rí ríne edino Pr, el sise ddo es equivlene Proueso en Selecividd, UND) Resuelve, deendiendo del vlor de, el siguiene sise S Ls rices de coeficienes lid son ) ) C C si o ; si Por no Si r) r); el sise será coile deerindo L solución generl, r ±, es ) ) ; ) ) ) ) ; ) ) ) Si, se iene r) Coo el enor r) n ese cso, el sise es incoile Si, se iene Coo, el sise vuelve ser incoile
12 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te Proueso en Selecividd 999, ndlucí) ) Siendo que los vecores son linelene indeendienes, rue que el sise de ecuciones lineles es coile deerindo si, sólo sí, se verific que ) Deerin r qué vlor, o vlores, del ráero iene solución únic el sise Hll l solución r cd vlor de enconrdo L ri de coeficienes del sise es Coo son linelene indeendienes r) Pr que el sise eng solución, el rngo de l ri lid,, ién dee ser Pero eso eige que ) n ese cso, los vecores son linelene indeendienes, ues Por no, el sise endrá solución cundo 9 9 o / Pr, el sise qued Su solución es ; Pr /, el sise qued Su solución es 7/; / wwweicsjco José rí ríne edino
13 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te 7 Proueso en Selecividd, L Rioj) sudi, según los vlores de, resuelve cundo se osile el sise de ecuciones s un sise con ecuciones incógnis Necesriene sor un ecución, l enos Coo siere, endrá solución cundo el rngo de l ri de coeficienes se igul l de l ri lid Ls rices de coeficienes lid son l rngo de es, ues el enor 7 Pr que el rngo de ién se es necesrio que su deerinne ) se 9 8 si Por no 9 Si, r) r) l sise será incoile 9 Si, r) r) l sise es coile deerindo 9 Pr el sise es equivlene Se h suriido ) licndo el éodo de reducción de Guss 7 /7 /7 /7 9 Luego, r, l solución es ; ; wwweicsjco José rí ríne edino
14 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te wwweicsjco José rí ríne edino Sises con dos ráeros 8 Clsific, según los vlores de los ráeros, el sise de ecuciones lineles ) Ls rices de coeficienes lid son Por Guss) Deerinne de si ; si Por no Si r) r); el sise será coile deerindo Si, se iene l rngo de es, Pr deerinr el rngo de se o el enor ) Por no, el rngo de es si ; será cundo o Luego Si o r) r) Sise coile indeerindo Si r) r) s sise será incoile 9 Proueso en Selecividd 998, Cnri) Clsific el siguiene sise de ecuciones según los vlores de Ls rices de coeficienes lid son Deerinne de ) ) si, o Por no Si r) r), el sise será coile deerindo
15 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te Si, se iene Puede orse si ; si r) Luego, h que considerr los csos ; Pr,, siendo r) r) l sise es incoile Pr, se iene r) r) l sise ién es incoile Si, se iene r) Tondo si ; si r) Luego, si, r) r) sise incoile Y, si, qued, con r) r) Sise coile indeerindo, con dos grdos de indeerinción Si, r) Pueden orse ) os enores se nuln si, siendo r) ; en culquier oro cso,, r) Luego, si, r) r) el sise es coile indeerindo Y, si, r) r) el sise es incoile Resuiendo, qued Si, r) r) sise será coile deerindo Si, ) r) sise coile indeerindo, con dos grdos de indeerinción Si, r) r) el sise es coile indeerindo n los deás csos, el sise es incoile wwweicsjco José rí ríne edino
16 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te 7 wwweicsjco José rí ríne edino Proueso en Selecividd 998, L Rioj) Discue, en función de los vlores de, resuelve, en los csos en los que se osile, el siguiene sise de ecuciones lineles Ls rices de coeficienes lid son ) ) si o ; si Por no Si r) r); el sise será coile deerindo Si, se iene l rngo de s rices será el iso, ues l colun de érinos indeendienes se reie Por no, el sise será coile indeerindo, sin iorr el vlor de H res coluns igules; si, l curo serín igules) Luego Si, r) r) Sise coile indeerindo con un grdo de lierd Si, r) r) Sise coile indeerindo con dos grdos de lierd Si, se iene l rngo de es si ; es en culquier oro cso Pr deerinr el rngo de se o el enor ) Por no, el rngo de es si ; será cundo Luego Si cso esudido) r) r) Sise coile indeerindo Si os disinos de r) r) s sise será incoile Soluciones en los disinos suuesos Si, r) r), el sise qued )
17 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te 8 wwweicsjco José rí ríne edino Si, r) r), el sise es {, cu solución uede drse en l for h h Ls indeerinds son ls incógnis ) Si r) r), el sise será coile deerindo Su solución, en función de, licndo l regl de Crer, es ) ) ; ) ) ) ) ) ) ; ) ) Oservción sudindo los érinos de ls frcciones que dn ls soluciones odrí hcerse l discusión de ese sise Hll los vlores de r que el siguiene sise se coile l rngo de l ri de coeficienes es, indeendiene de los vlores que oen l sise será coile cundo el rngo de l ri lid se cundo no se Pr ello, los enores deen ser nulos Por no Luego, el sise ddo será coile cundo ; en los deás csos el sise es incoile Pr, el sise ddo es equivlene Su solución es,
18 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te 9 wwweicsjco José rí ríne edino Sises hoogéneos Ddo el sise ) Hll sus soluciones ) ñde or ecución r que el sise sig siendo hoogéneo eng solución únic c) ñde or ecución r que el sise sig siendo coile indeerindo ) Por rrse de un sise hoogéneo es coile Coo iene incógnis sólo ecuciones, será indeerindo Su solución uede hcerse desejndo, r ello licndo el éodo de Guss Hciendo, su solución es ) Dee ñdirse un ecución que no deend de ls dos dds Por ejelo l sise serí ; que or ser, solo iene l solución rivil ; ; c) Dee ñdirse un ecución que deend de ls dos dds Por ejelo l sise serí ; que or ser, es coile indeerindo, equivlene l ddo Discue resuelve, en función de los vlores de, el sise ) ) s un sise hoogéneo; or no, siere iene solución Pr que eng infinis soluciones, el rngo de l ri de coeficienes,, dee ser ) ) ) C C C C Con eso Si, el sise será coile deerindo; su solución
19 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te wwweicsjco José rí ríne edino Si, l ri de coeficiene qued, cuo rngo es Por no, el sise inicil es equivlene Dee suriirse l ª o ª ecución; nunc l ª) Su solución es Discue, según los vlores del ráero, el sise ) ) Resuélvelo cundo se coile indeerindo Coo el sise es hoogéneo siere será coile Si el rngo de l ri de coeficienes es, será coile deerindo; si vle enos que, coile indeerindo ) Por no Si r), ues l sise será coile deerindo; su solución,, Pr, l ri qued, que iene rngo, ues el enor Por no, el sise será coile indeerindo con un grdo de indeerinción Pr ese vlor de, el sise qued sor un ecución) Por Crer ; Si se hce, l solución es
20 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te wwweicsjco José rí ríne edino Discue, según los vlores del ráero, el sise Resuélvelo en los csos en que se coile, resolverlo s un sise hoogéneo Siere es coile cundo /; si / Luego Si /, r) l sise es coile deerindo Si /, r) l sise será coile indeerindo Soluciones en os csos Pr /, l solución es l rivil,, Pr /, el sise es equivlene / / sor un ecución) / Si se hce, l solución es Proueso en Selecividd 998, drid) Se consider el sise de ecuciones en ls incógnis,,, ) ncuenr los vlores de r los que el rngo de l ri de los coeficienes del sise es ) Resuelve el sise nerior r ) L ri socid l sise es Pr que el rngo se es necesrio que el enor se nulo ) /
21 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te ) Coo h ás incógnis que ecuciones, l solución dee drse en función de lgun de ells n ese cso, si, el rngo de l ri de coeficienes será, el sise inicil Su ri socid es Su solución es / / Proles con enuncido 7 n un lororio se disone de frscos con disin ccidd soluciones slins de concenrciones diferenes rscos de cl ceniliros), con un solución slin l %; frscos de cl, con solución slin l %; frscos de cl, con solución slin l % Si se dese oener liros de solución slin l %, cuános frscos coleos de cd io h que eler? Si h vris osiiliddes, concre un r de ells Sen,, el núero de frscos necesrios de cd un de ls soluciones núero de frscos de cl l % Cnidd de sl, núero de frscos de cl l % Cnidd de sl, núero de frscos de cl l % Cnidd de sl, Se necesi liros cl l % Cnidd de sl, Por no, dee culirse l ecución 7 7 µ L solución generl es µ Teóricene h infinis erns que culen es ecución, no osne coo ls soluciones deen ser eners osiivs, su núero será finio Dos de ess soluciones son ) Tondo µ ; ) Tondo µ 8 Con los dos del role nerior Si se se que se eleron un ol frscos, es osile deerinr cuános se eleron de cd io? Si es osile, d un de ls soluciones Con es inforción se oiene un segund ecución 7 7 l sise resulne es quivlene wwweicsjco José rí ríne edino
22 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te 8 8 se sise sigue siendo indeerindo Su solución es 9 Coo se dijo nes, el núero de frscos de cd io dee osiivo Por no dee ser or que Suueso que se oiene,, Oservción Puede verse que si, sldrí ; solución iosile Lo iso s si, ues sldrí De hecho, con ese enuncido, sólo uede or los vlores o 9 Con los dos del role 7 Si se se que se eleron un ol 7 frscos, que se uiliron el dole de frscos de l solución l % que de l solución l %, es osile deerinr cuános frscos se eleron de cd io? Con es inforción se oienen ls siguienes ecuciones Reliv l solución ol 7 Reliv l núero de frscos 7 Reliv l relción % % 7 l sise resulne es 7 licndo el éodo de reducción de Guss Se eleron frscos de l solución l %;, de l solución l %;, de l solución l % ncuenr l ecución de l ráol de ecución c, cu gráfic s or los unos, ),, ), ) Si un uno erenece un ráol, se deduce que cule su ecución Por no Si, ) es de l ráol c c Si, ) es de l ráol c c Si, ) es de l ráol c 9 c c so es c 9 c Por Guss c c c c 7 c 7 9 c 8 L ecución de l ráol es 7 7 wwweicsjco José rí ríne edino
23 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te L circunferenci de ecución c, s or los unos, ),, ), ) Hll su cenro su rdio Si, ) es de l circunferenci c c Si, ) es de l circunferenci c c Si, ) es de l circunferenci ) ) ) ) c c c so es c c c Por Guss 9 c c 8 L ecución de l circunferenci es Pr deerinr su cenro su rdio h que coler cudrdos ) ) l cenro de l circunferenci es el uno, ); su rdio vle ) ) Se dese rerr un die se de res lienos ásicos, [], [] [] L die dee incluir ecene uniddes de clcio, 8 Uniddes or quee uniddes de hierro uniddes de viin l lieno [] [] [] núero de uniddes de cd ingrediene or cd Clcio quee de lienos se indic en l l djun Hierro Cuános quees de cd lieno deen elerse Viin r conseguir l die requerid? Sen,, el núero de quees necesrios de los lienos [], [] [], resecivene Dee culirse que 8 8 Deen elerse 8 quees del [], quees del [] quees del [] Tres gruos de ersons desunn en un cfeerí l rier gruo o cfés, refresco dulces, or lo que gn 8, ; el segundo gruo o cfés, refresco dulces, or lo que gn,8 ; el rier gruo o cfés, refresco dulces, or lo que gn 7, Cuáno cues cd cos? Sen,, los recios de un cfé, un refresco un dulce, resecivene Gruo 8, wwweicsjco José rí ríne edino
24 eáics II Bchillero de Ciencis) Soluciones de los roles rouesos Te Gruo, 8 Gruo 7, Se oiene un sise que uede resolverse or el éodo de Guss 8, 8, 8,,8,, 7, 9,, Si,,;,8 Un cfé cues, ; un refresco,,8 ; un dulce,, Un erson disone de euros r inverir en onos, fondos de inversión cciones L renilidd edi de esos civos es de un, %, resecivene l inversor quiere inverir en cciones el dole que en onos, conseguir un renilidd edi del 7% Cuáno h de inverir en cd uno de esos ienes? Sen,, ls cniddes inverir en onos, fondos cciones, resecivene Dee culirse que Tol de dinero Renilidd revis desed,,,,7 Inversión en cciones Ls res ecuciones originn un sise que, resuelo or Guss, roorcion l cnidd inverir en cd ien,,, H que inverir en onos; en fondos; en cciones wwweicsjco José rí ríne edino
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elblogdeedeid pág curso - HOJA : EJERCCO REPAO DE TEMA - Discue según los vlores del práero resuelve cundo se posible los sises de ecuciones siguienes: ) 9 b) ) λ λ λ ; /;/;) b) - ); ) - Resuelve por Crer
Sistemas de ecuaciones lineales
eáics II Sises lineles Sises de ecuciones lineles Observción: L orí de esos sises se hn propueso en ls pruebs de Selecividd, en los disinos disrios universirios espñoles.. L ri plid de un sise de ecuciones
SELECTIVIDAD: MATRICES. B y
SELETIVIDD: MTRIES EJERIIO. ) Sen dos ries udrds del iso orden que ienen invers. Ron si su produo iene invers. ) Dds ls ries - D, Deerin si D iene invers, en ese so, hálll. EJERIIO. onsider ls ries,. )
Hacia la universidad Aritmética y álgebra
Solucionrio Solucionrio Hci l universidd riméic álger OPIÓN. Dds ls mrices ) lcul ls mrices. ) lcul l mri invers de. c) Resuelve l ecución mricil. ) 8 7 8 9 ) ( ), dj( ) c), [ ] 9 9 8 9. Resuelve el sisem
Sistemas de ecuaciones lineales
eáics II Sises lineles Sises de ecuciones lineles CTJ. L ri plid de un sise de ecuciones lineles, en for reducid por el éodo de Guss, es: ) El sise es copible o incopible? Ron l respues. b) Resolverlo
Determinantes y matrices
emáics SS Deerminnes José rí rínez edino Deerminnes mrices. Dds ls mrices:, Hll l invers de, l mriz l que. ; ; djun de De. lcul l mriz invers de l mriz L mriz invers viene dd por, siendo l mriz de los
Solución: Las transformaciones y el resultado de hacer el determinante en cada caso son:
Memáics II Deerminnes PVJ7. Se l mriz 8 9 7 Se B l mriz que resul l relizr en ls siguienes rnsformciones: primero se muliplic por sí mism, después se cmbin de lugr l fil segund y l ercer y finlmene se
Tema 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Te SISTS D CUCIONS LINLS Sises de res ecucioes co res icógis So de l for: Ls lers i, ij i represe, respecivee, ls icógis, los coeficiees los érios idepediees L solució del sise es el cojuo de vlores de,
Tema 3. Sistemas de ecuaciones lineales
Memáics Aplicds ls Ciencis Sociles II Álger: Sisems de ecuciones lineles Tem Sisems de ecuciones lineles Sisems de dos ecuciones lineles con dos incógnis (Repso) c Su form más simple es (,, c,, c son números
ACTIVIDADES INICIALES
Solucionrio Deerminnes CTIVIDDES INICILES.I. usc ls relciones de dependenci linel enre ls fils columns de ls siguienes mrices e indic el vlor de su rngo. rg() F F Como C C C rg().ii. Comprue que ls siguienes
Determinantes y matrices
Deerminnes mrices. Dds ls mrices:, Hll l invers de, l mriz l que. ; ; djun de De. lcul l mriz invers de l mriz L mriz invers viene dd por, siendo l mriz de los djunos de. El deerminne de vle L mriz de
EJERCICIOS UNIDADES 1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES = 001 1 = A donde ( ) ( ) 2. B calcule la matriz X que verifique.
ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS Deprmeno de Memáics loque : Álgebr Linel Profesor: Rmón Lorene Nvrro Uniddes : Mrices Deerminnes EJEROS UNDDES : MTRES Y DETERMNNTES (Jun-96) Encuenre un mriz
Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función
α el sistema es compatible indeterminado y la solución es α el sistema es incompatible; Si 1 α y 1
ÁLGEBRA Preguns de Selecividd de l Comunidd Vlencin Resuelos en vídeo hp://www.prendermemics.org/bmeccnnlgebr_pu.hml Pág.. (PAU junio A Clculr los vlores que sisfcen ls siguienes ecuciones: C AY AX B AX
FRACCIONES ALGEBRAICAS
FRACCIONES ALGEBRAICAS CÓMO ESTAMOS EN EL TEMA?. Cuáno dee ñdirse / r oener l unidd?. De ué número h ue resr / r oener l se re del número?. Qué número sumdo con sus / con sus / es?. Un erson inviere los
INTEGRAL IMPROPIA. Extensión del concepto de integral definida La integral definida. 3. La función f (x) sea continua en dicho intervalo.
Inegrles INTEGRAL IMPROPIA Eensión del oneo de inegrl definid L inegrl definid d requiere que: El inervlo [, ] se finio L funión f () esé od en el inervlo [, ] L funión f () se oninu en diho inervlo Cundo:
TEMA 2. Determinantes Problemas Resueltos
Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem Clulo de deerminnes TEM. Deerminnes Prolems Resuelos. Hll el vlor de los siguienes deerminnes ) ) ) C Soluión ) Se desrroll por l
EJERCICIOS PROPUESTOS
Deerminnes y. Ejercicios resuelos. EJERCICIOS PROPUESTOS. Clcul el vlor de los siguienes deerminnes. 4 6 e) 4 5 7 4 d) 0 4 f) + 4 ( ) 4 6 4 8 6 = = = 5 0 4 6 7 4 = + = = = = 5 0 4 = + 4 + 0 0 4 = 4+ 0+
EJERCICIOS UNIDADES 1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES = = A donde ( ) ( ) 2. B calcule la matriz X que verifique.
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EJERCICIOS UNIDADES 1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES = = A donde ( ) ( ) 2. B calcule la matriz X que verifique.
IES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS II Deprmeno de Memáics loque I: Álgebr Linel Profesor: Rmón Lorene Nvrro Uniddes : Mrices Deerminnes EJERIIOS UNIDDES : MTRIES Y DETERMINNTES (Jun-96) Encuenre
PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE VALENCIA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano)
I.E.S. CASTELAR BADAJOZ PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE VALENCIA SEPTIEBRE (RESUELTOS por Anonio enguino) ATEÁTICAS II Tiempo máimo: hors Se elegirá el Ejercicio A o el B, del que sólo se hrán
EJERCICIOS UNIDADES 1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES = = A donde ( ) ( ) 2. B calcule la matriz X que verifique.
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EJERCICIOS UNIDADES 5 y 6: MATRICES Y DETERMINANTES
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MATRICES Y DETERMINANTES.
punes de. Cbñó MTRICES Y DETERMINNTES. CONTENIDOS: Definición y erminologí básic. Operciones con mrices: sum y produco. Produco de un mriz por un esclr. Mriz opues. Mriz invers. Epresión mricil de un sisem
Ecuaciones Integradas de Velocidad
Químic Fíic I Velocidd de Rección Ecucione Inegrd de Velocidd Reccione de Primer Orden e Pr un rección del io P, l ecución diferencil de velocidd d d k k (donde k k ). Inegrndo e oiene d d [ ] d k d k.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS Ejercicio nº.- Pon un ejemplo, cundo se posible, de un sisem de dos ecuciones con res incógnis que se: ) Compible deermindo Compible indeermindo c) Incompible
TEMA 3 DETERMINANTES. Cálculo de determinantes. EJERCICIO 1 : Calcular los siguientes determinantes: a b c a b c.
Ejeriios volunrios Te Deerinnes y resoluión e sises Meáis CCSSII º Bh. TEMA DETERMINANTES Cálulo e eerinnes EJERCICIO : Clulr los siguienes eerinnes: ) ) ) ) e) f) g) h) i) j) ) l) ) n) ñ) o) p) q) r)
Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ...
Mtrices M - - Mtrices Se K un cuerpo MATRICES Definición- Un tl de n eleentos de K dispuestos en fils n coluns de l for recie el nore de tri de diensión n n n n En un tri el eleento ij ocup el lugr deterindo
EJERCICIOS UNIDADES 5 y 6: MATRICES Y DETERMINANTES
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Definición de un árbol Rojinegro
Definición de un árol Rojinegro Árol inrio esrico (los nodos nulos se ienen en cuen en l definición de ls operciones odo nodo oj es nulo) Cd nodo iene esdo rojo o negro Nodos oj (nulos) son negros L rí
MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO
MTEMÁTCS RUEBS DE CCESO L UNVERSDD DE OVEDO.- MTRCES Y DETERMNNTES.- MODELO DE RUEB roduco de mrices: concepo. Condiciones pr su relición. Es posible que pr dos mrices B no cudrds puedn eisir B B?. b Si
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES amn
Apunes de A. Cbñó Memáics plicds cc.ss. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. CONTENIDOS: Plnemienos de problems lineles. Soluciones de un sisem de ecuciones lineles. Sisems lineles equivlenes. Méodo de reducción
Método de Gauss. Pon un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que sea:
Méodo de Guss Ejercicio nº.- Pon un ejemplo, cundo se posible, de un sisem de dos ecuciones con res incógnis que se: ) compible deermindo compible indeermindo c) incompible Jusific en cd cso us respuess.
CAPÍTULO 9. INTEGRALES IMPROPIAS 9.1. Límites de integración infinitos 9.2. Integrales con integrando que tiende a infinito 9.3. Observaciones a las
CAPÍTULO 9. INTEGRALES IMPROPIAS 9.. Límies de inegrción infinios 9.. Inegrles con inegrndo que iende infinio 9.. Oservciones ls inegrles impropis Cpíulo 9 Inegrles impropis f ( ) f ( ) f f ( ) () f()
Sistemas de ecuaciones lineales
José Mrí Mríne Medino de ecuciones lineles Observción: L morí de esos problems provienen de ls pruebs de selecividd. Resuelve el siguiene sisem de ecuciones: 9 Aplicndo el méodo de Guss: 9 6 6 L solución
SELECTIVIDAD: SISTEMAS DE ECUACIONES
SELECTIVIDAD: SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIO. El siste es coptible deterindo. ) Si se suprie un de ls ecuciones Cóo es el siste resultnte? Depende l respuest de l ecución supriid? b) Qué ecución h que
MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.
DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?
EJERCICIOS UNIDADES 5 y 6: MATRICES Y DETERMINANTES
IES Pdre Poved (Gudix) Memáics II EJERCICIOS UNIDADES 5 y 6: MATRICES Y DETERMINANTES (4-M;Jun-B-) (5 punos) Consider ls mrices A = y B = Deermin, si exise, l mriz X que verific AX + B = A + m (4-M-B-)
, verificar que x. vectores propios. Determinar los valores propios correspondientes. Solución: λ
re 7 Sen : definido por (, y ) ( + y, ) y f ( ) + Hllr f ( )(, y) f ( )(, y) ( y, + y) Pr l mriz A, verificr que (,,) y (,, ) son vecores propios Deerminr los vlores propios correspondienes λ, λ, respecivmene
ESTUDIO DE SISTEMAS { } = . Resuélvelo cuando m = Discute según los valores de m, el sistema. Solución:
STUDIO D SISTS. Discute según los vlores de, el siste. Resuélvelo cundo. l siste se define edinte ls trices: tri de coeficientes tri plid l estudio de sistes se puede hcer de dos fors diferentes: - por
según los valores del parámetro a.
Selectividd hst el ño 9- incluido EJERCICIOS DE SELECTIVIDD, ÁLGER. Ejercicio. Clificción ái: puntos. (Junio 99 ) Se considern ls trices donde es culquier núero rel. ) ( punto) Encontrr los vlores de pr
Vamos a estudiar la existencia de soluciones, nº de soluciones y cómo calcular las soluciones de un sistema lineal.
Te 3 Sistes de ecuciones lineles. 3. Sistes lineles notciones triciles y vectoriles. 3. Teore de Rouché-Froenius. Sistes lineles hoogéneos. 3.3 Resolución de sistes de ecuciones. 3.4 Discusión de sistes
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Hoja 2: Matrices
Profesor: Miguel Ángel Bez lb (º Bchillerto) Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II Hoj : Mtrices Operciones: Ejercicio : Encontrr ls mtrices X e Y tles que: 3 X + Y 4 5 X 3Y 7 Ejercicio : 3 5 Dds ls mtrices
λ = A 2 en función de λ. X obtener las relaciones que deben
Modelo. Ejercicio. Clificción áxi: puntos. Dds ls trices, ) (,5 puntos) Hllr los vlores de pr los que existe l triz invers. ) ( punto) Hllr l triz pr 6. c) (,5 puntos) Resolver l ecución tricil X pr 6.
MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A
MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes
X obtener las relaciones que deben
odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint
Tema 8: Teorema de Rouché-Frobenius
www.selectividd-cgrnd.co Te : Teore de Rouché-Froenius Se lln ecuciones lineles ls ecuciones en ls que ls incógnits precen tods con grdo ; no están elevds ningun potenci ni jo ningún rdicl ni ultiplicds
Tema 2. Determinantes
Memáics plicds ls iencis Sociles II Álger: Deerminnes Deerminne de un mriz Tem Deerminnes Definición de deerminne El deerminne de un mriz cudrd es un número Pr l mriz, su deerminne se deno por de() o por
Tema 2. Determinantes
Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes. Deerminne de un mriz Tem. Deerminnes.. Definición de deerminne El deerminne de un mriz cudrd es un número. Pr l mriz, su deerminne se deno por de() o
MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES
Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión
Leyes de Newton de la Dinámica: Momentum y Fuerza. Cálculo de la trayectoria de una partícula
Dino Slins Clse 6 Leyes de Newon de l Dináic: Moenu y uerz Cálculo de l ryecori de un prícul L prier ley es un refirción del principio de inerci glileno. Prier Ley de Newon: Todo objeo coninú en su esdo
ESTE MODELO SUSTITUYE AL ANTERIOR. FECHA: MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 01 al 08.
ESTE MODELO SUSTITUYE AL ANTERIOR FECHA: 5-- Seund Prue Prcil Lso - 7 /7 Universidd Ncionl Aier Memáics III Cód 7 Vicerrecordo Acdémico Cód Crrer: 6-8 Áre de Memáic Fech: -- OBJ PTA Clcul MODELO DE RESPUESTAS
5.1 LÍMITES INFINITOS 5.2 INTEGRANDOS INFINITOS
MOISES VILLEA MUÑOZ 5 5. LÍMITES IFIITOS 5. ITEGRADOS IFIITOS Objeivo: Se reende que el esudine clcule inegrles sobre regiones no cods y resuelv roblems de licción relciondos con ls inegrles imrois 97
En el tema anterior se ha definido la integral de Riemann con las siguientes hipótesis
5 Fundmenos de Memáics : Cálculo inegrl en R Cpíulo Inegrles impropis En el em nerior se h definido l inegrl de Riemnn con ls siguienes hipóesis Domf = [, ] es un conjuno codo. f: [, ] R esá cod en [,
Madrid OPOSICIONES AL CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA EN LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS
OPOSICIONES AL CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANA SECUNDARIA EN LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS Mdrid. Se M el uno medio de un cuerd P Q de un circunferenci. Por M se rzn ors dos cuerds AB y CD: L cuerd AD
Integrales impropias.
Tem Inegrles impropis.. Inroducción. En el em nerior se h definido l inegrl de Riemnn con ls siguienes hipóesis Dom(f) = [, ] es un conjuno codo. f: [, ] IR esá cod en [, ]. Si lgun de ess condiciones
3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p
IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Mtrices deterinntes. Ejercicios de Selectividd. º.- Junio 99. i) Define rngo de un triz. ii) Un triz de tres fils tres coluns tiene rngo
Relación 3. Sistemas de ecuaciones
Relción. Sistes de ecuciones Ejercicio. Consider el siste de ecuciones ) Eiste un solución del iso en l que? ) Resuelve el siste hoogéneo socido l siste ddo. c) H un interpretción geoétric tnto del siste
FRACCIONES ALGEBRAICAS
FRACCIONES ALGEBRAICAS CÓMO ESTAMOS EN EL TEMA?. Cuáno dee ñdirse / r oener l unidd?. De ué número h ue resr / r oener l se re del número?. Qué número sumdo on sus / on sus / es?. Un erson inviere los
En el tema anterior se ha definido la integral de Riemann con las siguientes hipótesis
59 Memáics I : Cálculo inegrl en IR Tem 5 Inegrles impropis 5. Inroducción En el em nerior se h definido l inegrl de Riemnn con ls siguienes hipóesis Domf = [, ] es un conjuno codo. f: [, ] IR esá cod
1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de
Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo
lasmatematicas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas 10. Matrices y determinantes (2) Matemáticas II 2º Bachillerato 2 3 a
Resuelve ls siguientes ecuciones: 4 5 = 0 0 + 6 = 0 0 + 0 = 0 = 0 Hll el vlor de los siguientes determinntes de orden 4: 0 0 0 0 0 0 4 0 0 5 4 0 0 6 0 5 Clcul el vlor de los siguientes determinntes: 0
SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
el log e me e i: Memáis I. Sisems e euiones. pág. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Un sisem e os euiones e primer gro on os inógnis puee esriirse sí: += `+`=` one los oefiienes e ls inógnis los érminos
Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre )
Dds ls mtrices: ) Hllr A. b) Hllr l mtri invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PAU Septiembre 4-5) ) A = = A = = = O A 4 = A A= O A = O ; lo mismo A 5, A 6 por tnto A = b) B = = ; Es un mtri
el log de me de id CSII: mrices y deerminnes pág. DEFINICIONES Un cden de iends de elecrodomésicos dispone de curo lmcenes. En un deermindo momeno ls exisencis de lvdors, frigoríficos y cocins son ls siguienes:
Sistema lineal heterogéneo: es aquel en el que no todos los términos independientes son nulos. Ej:
BLOQUE II: Núeros Álger Te : Sises de ecucioes lieles Pági de.- CLSIFICICIÓN DE LOS SISTEMS DE ECUCIONES. Sise liel heerogéeo: es quel e el que o odos los érios idepediees so ulos. Ej: Sise liel hoogéeo:
2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.
. Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto
La raíz cuadrada de un número es otro nº que al elevarlo al cuadrado nos da el radicando La raíz cuadrado de 9 es 3. Pues 3 2 es
Curso 1/1 Mtemátics L ríz es l oerción contrri l otenci. c c L ríz cudrd de un número es otro nº que l elevrlo l cudrdo nos d el rdicndo. 9 L ríz cudrdo de 9 es. Pues es 9 9 L ríz cudrd de culquier nº
2º BACHILLERATO A TEMA 2. DETERMINANTES. 1.Calcula los determinantes de estas matrices: 2. Determina el valor de x 3 2 3
º BACHILLERATO A TEMA. DETERMINANTES..Clcul los determinntes de ests mtrices:. Determin el vlor de x 4 x 3 3 = b x 5 = 3. Clcul los siguientes determinntes: A = ( 3 5 5 4 B = ( 3 4 b 3 9 3 c 4 3 d 3 3
SOLUCIONES EJERCICIOS MATRICES
SOLUIONES EJERIIOS MTRIES Ejercicio nº.- Un hipermercdo quiere oferr res clses de bndejs,. L bndej coniene g de queso mnchego, g de roquefor 8 g de cmember l bndej coniene g de cd uno de los res ipos de
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3
UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch