TEMA 3. Sistemas de ecuaciones lineales Problemas Resueltos

Transcripción

1 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te wwweicsjco José rí ríne edino T Sises de ecuciones lineles Probles Resuelos Clsificción resolución de sises por éodos eleenles Resuelve uilindo el éodo de de reducción de Guss, los sises ) Se rnsfor el sise coo se irá indicndo ) Observción Pr cerciorrse de que l solución es correc es conveniene su coprobción, susiuendo los vlores hlldos en ls ecuciones iniciles, viendo que se cuplen Resuelve uilindo el éodo de Guss los sises ) 8 7 ) 8 (Dos ecuciones repeids) Resul un sise copible indeerindo, equivlene Si se hce, l solución puede escribirse coo sigue 7 (Un ecución bsurd) l sise es incopible

2 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te wwweicsjco José rí ríne edino plicndo el éodo de Guss discue, en función de los vlores del práero, los sises ) Se rnsfor el sise coo se irá indicndo ) ( ) ( ) prir de l ercer ecución ( ), puede deducirse Si, qued s ecución se cuple pr culquier vlor de l sise resulne es copible indeerindo Pr hllr su solución puede hcerse llevr ese vlor ls deás ecuciones Resul Si, de ( ) Observ que, despejndo l sise resulne es copible deerindo Pr hllr su solución se susiue en ls deás ecuciones, resulndo L ercer ecución, sólo iene senido si, resulndo Se pierde un ecución el sise será copible indeerindo, equivlene Su solución puede drse en función de lgun de ls incógnis sí, si se hce, el sise qued / / / Coo se h dicho, pr, el sise será incopible

3 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te wwweicsjco José rí ríne edino plicndo el éodo de Guss discue, en función de los vlores del práero, los sises ) Se rnsfor el sise coo se irá indicndo ) ( ) prir de l ercer ecución ( ), puede deducirse Si, qued s ecución es bsurd l sise resulne es incopible Si, el sise es copible deerindo Observ que de ( ), despejndo l vlor de ls deás incógnis se hll susiuendo ( ) / prir de l ercer ecución, puede deducirse Si, qued L ecución es bsurd l sise resulne es incopible Si, el sise es copible deerindo Observ que de l vlor de ls deás incógnis se hll susiuendo

4 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te wwweicsjco José rí ríne edino plicndo l regl de Crer hll l solución generl, en función del práero, del sise L ri de coeficienes es Su deerinne vle Coo pr poder plicr l regl de Crer h que eigir que, no puede or el vlor Con eso ; ; Puede observrse que es soluciones crecen de senido cundo so signific que pr el sise es incopible (Copr ese éodo resuldo con lo hecho en el proble nerior) sudi l copibilidd de los siguienes sises Cundo eis, d su solución ) Son sises de ecuciones con incógnis Pr esudir su copibilidd bs con plicr rnsforciones de Guss l sise será copible cundo prec un ecución repeid; en cso conrrio, será incopible ) Copible Incopible De or ner ) Se on L solución del sise l sise endrá solución cundo l solución obenid prir de dos de ls ecuciones vlg en l or es e sos vlores verificn l ercer ecución? Sí, pues n consecuenci, el sise es copible su solución es e Observción L solución es l is si se on ls ecuciones o

5 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te 7 wwweicsjco José rí ríne edino Se on L solución del sise es e sos vlores verificn l ercer ecución? No, pues 7 n consecuenci, el sise es incopible no iene solución Observciones ) L solución obenid prir de ls ecuciones, es e 9 ) l lecor sbrá que ls ecuciones del ipo c b se represenn coo recs en el plno Si ls res recs se corn en el iso puno, el sise socido es copible Si ess res recs no ienen ningún puno en coún signific que el sise socido es incopible n l siguiene figur se represenn ls recs socids bos sises 7 Pr qué vlor de endrá solución el sise ) ) ( ) Coo debe cuplir ls res ecuciones, susiuendo en se endrá ( ) Será copible cundo 7

6 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te 8 8 pres en l for ricil X B el sise de ecuciones lineles Resuélvelo clculdo l ri invers de despejndo X l sise ddo es equivlene L ri es inverible, pues Su invers es L solución de l ecución X B es X B Por no ; / 9 Resuelve el sise ( B), siendo B B 8 7 ( B) Trnsforciones de Guss 8 8 /( ) / 7 Coo precen dos ecuciones repeids, el sise es copible indeerindo, equivlene 7 7 Hciendo se obiene l solución wwweicsjco José rí ríne edino

7 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te 9 wwweicsjco José rí ríne edino Sises con un práero plicción del eore de Rouché sudi, en función del vlor de, l copibilidd del sise 7 Resuélvelo cundo eng infinis soluciones, d un pr de ess soluciones Sen ls rices de coeficienes plid 7 si ; cundo Con eso Si r() r() l sise será copible deerindo Si, se iene 7 Coo r() Coo C C C, el rngo de bién es r() Luego si, r() r() l sise será copible indeerindo, equivlene Hciendo, se obiene l solución Pr cd vlor de se obiene un solución disin Por ejeplo, si se obiene,, ; si, l solución es,, Resuelve el sise ) ( ) ( pr los vlores de que lo hgn copible Se l ri de coeficienes l ri plid l sise endrá solución cundo r() r() Coo pr odo, r() r() l sise es copible deerindo pr odo vlor de

8 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te wwweicsjco José rí ríne edino Su solución, plicndo l regl de Crer, es ; ; Discue, según los vlores del práero, el sise Resuélvelo pr el vlor de Ls rices de coeficienes plid son ( ) ) ( si o Por no Si,, el r() el sise será copible deerindo Si, se iene, siendo r() r(), pues C, C C son proporcionles l sise será copible indeerindo Si, se iene, con r() r(), pues el enor Luego, el sise será incopible Pr, el sise qued / / /

9 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te wwweicsjco José rí ríne edino ) Discue en función de los vlores de el sise ) ( ) ( Si es el posible, resuélvelo cundo cundo ) Ls rices de coeficienes plid son ( )( ) ( )( ) ) ( F F F F Por no si o r() ; si r() n consecuenci Si, r() r() Sise copible deerindo Si, e iene s evidene que r() Por or pre, coo el enor el rngo de es n ese cso, el sise será incopible Si, Coo F F r() r() n ese cso el sise es copible indeerindo Pr, el sise es copible deerindo Su solución puede hllrse por susiución Si, qued ) ( ) ( / / / Pr, el sise es copible indeerindo, equivlene

10 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te Si se hce, su solución es ) Hll, si eisen, los vlores del práero pr que el sise se copible deerindo Resuélvelo, si es posible, pr pr ) Se r de un sise de ecuciones lineles con incógnis Pr que eng solución únic (SCD) es necesrio que r() r(), siendo l ri de coeficienes l ri plid Si r(), el sise será incopible Ls rices son l deerinne de vle ( ) ( )( ) se deerinne vle si o Por no Si r() l sise será incopible Si o, r() r() l sise será copible deerindo Si el sise es Sundo bs ecuciones se obiene Si el sise es incopible ) Discue en función de los vlores de el sise Resuélvelo pr el cso ) ( )( ) ( )( )( ) L descoposición fcoril se hce plicndo el eore del reso viendo que un rí es, dividiendo por Ruffini resolviendo l ecución de segundo grdo Pr esudir l copibilidd del sise h que esudir los rngos de ls rices, wwweicsjco José rí ríne edino

11 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te wwweicsjco José rí ríne edino de coeficienes plid, respecivene Coo se h viso, ( )( )( ) si (rí doble) o Luego Si r() r() l sise será copible deerindo Si se iene r() r() l sise será copible indeerindo con dos grdos de liberd l sise inicil quedrá reducido { Si se endrá l rngo de es ; pero el rngo de es, pues el enor de, n ese cso el sise es incopible Pr, el sise es (Por Guss) L solución es /; /; / (Propueso en Selecividd 999, drid) sudi el siguiene sise linel, según los diferenes vlores del práero rel n los csos en que se copible, resuélvelo Ls rices de coeficienes plid son Luego, r()

12 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te l enor 9 si ; si Por no, r() si ; r(), si Luego Si, r() r() l sise es copible indeerindo Si, r() r() l sise será incopible Pr, el sise ddo es equivlene 7 (Propueso en Selecividd, L Rioj) sudi, según los vlores de, resuelve cundo se posible el sise de ecuciones s un sise con ecuciones incógnis Necesriene sobr un ecución, l enos Coo siepre, endrá solución cundo el rngo de l ri de coeficienes se igul l de l ri plid Ls rices de coeficienes plid son l rngo de es, pues el enor 7 Pr que el rngo de bién se es necesrio que su deerinne ( ) se 9 8 si Por no 9 Si, r() r() l sise será incopible 9 Si, r() r() l sise es copible deerindo 9 Pr el sise es equivlene (Se h supriido ) wwweicsjco José rí ríne edino

13 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te plicndo el éodo de reducción de Guss 7 /7 /7 /7 9 Luego, pr, l solución es ; ; Sises hoogéneos 8 Hll el vlor de pr que el sise eng solución disin de l rivil Pr dicho vlor de, clcul sus soluciones Coo el sise es hoogéneo siepre será copible Si el rngo de l ri de coeficienes es, solo endrá l solución rivil Por no h que hllr el vlor de que nule el deerinne de l ri de coeficienes, pr que su rngo se enor que Pr, el sise qued Hciendo 9 Ddo el sise ) Hll sus soluciones ñde or ecución pr que el sise sig siendo hoogéneo eng solución únic c) ñde or ecución pr que el sise sig siendo copible indeerindo ) Por rrse de un sise hoogéneo es copible Coo iene incógnis sólo ecuciones, será indeerindo Su solución puede hcerse despejndo, pr ello plicndo el éodo de Guss wwweicsjco José rí ríne edino

14 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te wwweicsjco José rí ríne edino Hciendo, su solución es Debe ñdirse un ecución que no depend de ls dos dds Por ejeplo l sise serí ; que por ser, solo iene l solución rivil ; ; c) Debe ñdirse un ecución que depend de ls dos dds Por ejeplo l sise serí ; que por ser, es copible indeerindo, equivlene l ddo Discue resuelve, en función de los vlores de, el sise ) ( ) ( s un sise hoogéneo; por no, siepre iene solución Pr que eng infinis soluciones, el rngo de l ri de coeficienes,, debe ser ) ( ) )( ( C C C C Con eso Si, el sise será copible deerindo; su solución Si, l ri de coeficiene qued, cuo rngo es Por no, el sise inicil es equivlene (Debe supriirse l ª o ª ecución; nunc l ª) Su solución es

15 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te 7 wwweicsjco José rí ríne edino Discue, según los vlores del práero, el sise ) ( ) ( Resuélvelo cundo se copible indeerindo Coo el sise es hoogéneo siepre será copible Si el rngo de l ri de coeficienes es, será copible deerindo; si vle enos que, copible indeerindo ( ) F F Por no Si r(), pues l sise será copible deerindo; su solución,, Pr, l ri qued, que iene rngo, pues el enor Por no, el sise será copible indeerindo con un grdo de indeerinción Pr ese vlor de, el sise qued (sobr un ecución) Por Crer ; Si se hce, l solución es

16 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te 8 Discue, según los vlores del práero, el sise Resuélvelo en los csos en que se copible, resolverlo s un sise hoogéneo Siepre es copible cundo /; si / Luego Si /, r() l sise es copible deerindo Si /, r() l sise será copible indeerindo Soluciones en bos csos Pr /, l solución es l rivil,, Pr /, el sise es equivlene / (sobr un ecución) / / Si se hce, l solución es Probles con enuncido (Propueso en Selecividd 9, Csill León) l dueño de un superercdo h coprdo ebuido, bebids conservs, por un ipore ol de l vlor de ls conservs es el iso que el de ls bebids ebuidos junos Si vende odos esos producos, ñdiendo un beneficio del % en el ebuido, el % en ls bebids el % en ls conservs, obendrá un ipore ol de Clcul lo que pgó por cd uno de ellos Se el ipore del ebuido; el de ls bebids el de ls conservs Se debe cuplir,,,,,, Por Guss,,,,, wwweicsjco José rí ríne edino

17 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te 9 (Propueso en Selecividd, Pís Vsco) n l eposición de un esbleciieno de eril de oficin h uniddes, enre láprs, sills ess, con un vlor ol de Si el vlor de un lápr es de, el de un sill el de un es 8,, deás, h ns láprs coo sills ess juns, cuáns láprs, sills ess h en l eposición? Sen,, el núero de láprs, sills es, respecivene Debe cuplirse que 8 8 Trnsforndo el sise Hll ls eddes cules de un dre sus dos hijos sbiendo que hce 9 ños l edd de l dre er veces l su de ls eddes de los hijos en quel oeno, que denro de 8 ños l edd de l dre será l su de ls eddes que los hijos endrán en ese oeno que cundo el hijo or eng l edd cul de l dre, el hijo enor endrá ños n l siguiene bl se resuen los dos ls relciones eisenes ddes dre Hijo º Hijo º Relción de eddes culene Hce 9 ños ( 9 9) Denro de 8 ños Denro de (*) (*) Puede observrse que el hijo or, que iene ños, endrá l edd de l dre ( ños) denro de ños Se obiene el sise 8 ( ) Luego ; ; L dre iene ños; los hijos, el or el enor 8 wwweicsjco José rí ríne edino

18 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te ncuenr l ecución de l prábol de ecución b c, cu gráfic ps por los punos (, ), (, ) (, ) Si un puno perenece un prábol, se deduce que cuple su ecución Por no Si (, ) es de l prábol b c b c Si (, ) es de l prábol b c b c Si (, ) es de l prábol b c 9 b c b c so es b c 9 b c Por Guss b c b c b c c 7 b c b b b 7 9 b c 8 b L ecución de l prábol es Se dese preprr un die bse de res lienos básicos, [], [] [] L die debe incluir ecene uniddes de clcio, 8 Uniddes por pquee uniddes de hierro uniddes de viin l lieno [] [] [] núero de uniddes de cd ingrediene por cd Clcio pquee de lienos se indic en l bl djun Hierro Cuános pquees de cd lieno deben eplerse Viin pr conseguir l die requerid? Sen,, el núero de pquees necesrios de los lienos [], [] [], respecivene Debe cuplirse que 8 8 Deben eplerse 8 pquees del [], pquees del [] pquees del [] wwweicsjco José rí ríne edino

19 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te 8 Un person dispone de euros pr inverir en bonos, fondos de inversión cciones L renbilidd edi de esos civos es de un, %, respecivene l inversor quiere inverir en cciones el doble que en bonos, conseguir un renbilidd edi del 7% Cuáno h de inverir en cd uno de esos bienes? Sen,, ls cniddes inverir en bonos, fondos cciones, respecivene Debe cuplirse que Tol de dinero Renbilidd previs desed,,,,7 Inversión en cciones Ls res ecuciones originn un sise que, resuelo por Guss, proporcion l cnidd inverir en cd bien,,, H que inverir en bonos; en fondos; en cciones 9 Un person decide inverir un cnidd de en bols, coprndo cciones de res epress disins, B C Inviere en el doble que en B C juns Trnscurrido un ño, ls cciones de l epres se hn revlorido un %, ls de B un % ls de C hn perdido un % de su vlor originl Coo resuldo de odo ello, Jun h obenido un beneficio de, Deerin cuáno invirió en cd un de ls epress Sen,, l cnidd inverid en cciones de ls epress, B C, respecivene Debe cuplirse que ( ),,,, Puede resolverse por susiución (l de l segund ecución se susiue en ls ors dos) ( ), ( ),,, 7 9 Despejndo 7 ; ; 8 wwweicsjco José rí ríne edino

20 eáics plicds ls Ciencis Sociles II Soluciones de los probles propuesos Te (Propueso en Selecividd, suris) Luis iene hor iso veces l edd de Jvier Denro de ños, Luis endrí el riple de ños que Jvier ) Plne un sise de ecuciones (en función de ) donde ls incógnis e sen l edd de Luis de Jvier, respecivene Bsándoe en un esudio de l copibilidd del sise nerior, es posible que Luis eng hor iso el riple de ños que Jvier? Resuelve el sise pr Cuános ños iene Luis en ese cso? ) n l siguiene bl se resuen los dos ls relciones eisenes ddes Luis Jvier Relción de eddes hor Denro de ños ( ) Se obiene el sise ( ) Resno ls ecuciones ( ), que solo iene senido si Por no, Luis no puede ener hor iso el riple de ños que Jvier Si wwweicsjco José rí ríne edino