Ejercicios de Matemáticas
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- Héctor Olivera Rojo
- hace 7 años
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1 Ejercicios resuelos de lger Ejercicios de Meáics. Se N M. ) Clcul e pr que MN = NM. ) Clcul M M ) MN ; NM = = = ) M = I M = M M = I M = M... Se ve que si el eponene es pr es igul l ri unidd si es ipr es igul M por lo no M = M M = I.. Se se que. Eplicndo que propieddes de los deerinnes se uilin sin desrrollr clculr el vlor de. () () () () = () l Perur ª ª fil el deerinne ci de signo. () Los eleenos de l ª colun los descoponeos en dos sundos. () El prier deerinne iene dos coluns proporcionles por lo no es igul cero. () Los eleenos de l ª colun los descoponeos en dos sundos. () El prier deerinne iene dos coluns igules por lo no es igul cero el segundo deerinne iene l ª colun uliplicd por luego el deerinne qued uliplicdo por.
2 Ejercicios resuelos de lger. Sen ls rices: B I. ) Esudir si eise lgún vlor de R pr el cul se sisfg I B. ) Teniendo en cuen que / deerinr el vlor de / ) I I Igulndo por ejeplo los eleenos :. hor s copror que pr los resnes vlores de s rices son igules. ) / () () () / / / / / Propieddes plicds: () () () Erer el fcor coún ¼ de l ª fil de l ª fil. Se l ri ) Sin uilir l regl de Srrus clculr el deerinne de dich ri. [ punos] ) Esudir el rngo de en el cso en que =. [ puno] SOLUCIÓN. ) () () () () () Propieddes plicds: () () scr fcor coún en l prier colun en l prier fil. () F F F F () () Desrrollo por los eleenos de l prier colun
3 Ejercicios resuelos de lger ) Pr = l ri es: coo los res vecores fil son linelene dependienes el rngo de l ri es.. Sen ls rices = B = C = D = / donde son desconocidos. ) Clculr ls rices (B) + C D. ) Siendo que (B) + C = D plner un sise de ecuciones pr enconrrlos vlores de. ) Esudir l copiilidd del sise. Cuáns soluciones iene? c) Enconrr si es posile un solución. )(B) + C = ; / D ) Qued: c) Por Guss : ; Rngo = = rngo * < núero de incógnis el sise es copile indeerindo por lo no iene infinis soluciones. d) Soluciones: = = = = Pr cd vlor rel de se oiene un solución. Por ejeplo si = sle = = =.. Deuesr l iguldd siguiene: = ( c d e f d f )( ) ( ) = f e d c () f ) d)( )( ( = f e f d c e d c () () cd fil le resos l nerior () El deerinne de un ri ringulr es igul l produco de los eleenos de l digonl principl
4 Ejercicios resuelos de lger. Dds ls rices I ) Copror que de de ) Esudir si pr culquier ri M de orden se cuple que de c d M de M c) Enconrr l relción enre los eleenos de ls rices M cudrds de orden que sisfcen: de M I de M de I de de de ) Por or pre: Luego en efeco: de de c d c d c d c d c dc c d c dc c d ) M de M c c d d c dc c d c cd c cd cd cd d c cd d c de M d c de M d c c d luego en efeco: M I de M I d c d d c (*) c d c) de M d c de I de M de I d c (*) de M de M M Coo ls igulddes (*) hn de ser igules: d d c d c d d luego ls rices M que sisfcen l relción fijd son de l for: M c. Clculr el rngo de l i = uilindo dos éodos disinos. ) Por deerinnes: El rngo de un ri de diensión n es el orden del or enor no nulo. Coo l ri no es l ri cero su rngo es or o igul que. Pr deerinr si iene rngo se usc un enor (deerinne) de orden no nulo. Por ejeplo:
5 Ejercicios resuelos de lger Pr deerinr si iene rngo priendo del enor de orden disino de cero se esudirán odos los posiles enores de orden que lo conengn. Si odos ellos son nulos el rngo de es. Si por el conrrio lguno de ellos es disino de cero el rngo es. En ese cso: rngo pero. B) Por Guss: Rngo = rngo = rngo = rngo =. Hllr el rngo de l ri = según los vlores del práero. Indicr cundo eise l invers de (junio ) Coo l ri es cudrd clculos su deerinne: = + = = = Si de () rngo = Si = : = rngo = ( iene dos fils igules l ercer es proporcionl) Si = : = el rngo de es enor que res pues de () = coo rngo =. L ri iene invers cundo pues de ().. Hll el rngo de l ri = según los vlores del práero : Coo l ri no es l ri cero su rngo es or o igul que. Pr deerinr si iene rngo se usc un enor (deerinne) de orden no nulo. Por ejeplo: Pr deerinr si iene rngo priendo del enor de orden disino de cero se esudirán odos los posiles enores de orden que lo conengn. ( ) ( ) = = = ½
6 Ejercicios resuelos de lger ( ) ( ) = = /. os enores de orden se nuln l ve pr = por lo no: Si = rngo = si rngo = pues l enos uno de los enores de orden es disino de cero.. Esudi el rngo de l ri M según los vlores del práero. Eise lgún vlor de pr el que se rngo (M) =?. ) Por Guss Rngo M = rngo = rngo = rngo = = = Si = Rngo M = rngo = Si = Rngo M = rngo = Si rngo M =. No eise ningún vlor de pr el cul el rngo M = pues pr = = el rngo es dos pr el rngo es res. ) Por deerinnes: de M) de( Si de() por lo no rngo = Si = = de () = eise lgún enor de orden disino de cero por ejeplo por lo no rngo =. Si = = de () = eise lgún enor de orden disino de cero por ejeplo por lo no rngo =.. Hll el rngo de l siguiene ri según los vlores del práero ( punos). Tiene invers cundo =? ( punos).
7 Ejercicios resuelos de lger Rngo = rngo ; el rngo de l ri será igul l núero de fils no nuls. Si = l segund fil endré odos los eleenos igul. L ercer fil endré odos los eleenos nulos si = = ó =. Si - el rngo de será Si = rngo = rngo por lo no rngo = Si = rngo = rngo rngo = Tiene invers cundo =? Si = es disino de de por lo no rngo de es el deerinne de será disino de cero endrá invers. =.. Clculr l ri invers de =. ) Se clcul = ) Se clcul l ri djun de.. Enonces: dj.() = c) Se clcul l rspues de l djun: (dj.()) = d) L ri invers de es: dj.( ) = =
8 Ejercicios resuelos de lger. Hll un ri X que verifique X + B = C siendo: C B X + B = C X = C B - (X) = - (C B) ( - )X = - (C B) I X = - (C B) X = - (C B) Vos clculr l ri invers de - : = dj. () = [dj. ()] = - = C B = ; X = = / /. Hll los vlores del práero p pr los cules l ri = p p p no iene invers. Tiene invers pr p =?. En cso firivo clculrl. p p p = p p p p. Por lo no no iene invers pr p =. Pr los deás vlores h invers iene invers pr p =. =.. dj() = [dj. ()] = - =. Dds ls rices = B = C = D = hll: ) L ri invers de C. ) L ri X que verifique: B + CX = D.
9 Ejercicios resuelos de lger ) C = = l ri C iene invers dj ( C ) = ; (dj.( C )) = ) dj.(c C C = / / ) B + CX = D CX = D B C (CX) = C (D B) (C C)X = C (D B) X = C (D B) B = ; D B = = X = / / = Or for: B + CX = D + d c = d c d c = d c d c c c c d d d X =. Dds ls rices e I se pide: ) Hllr n pr odo enero posiivo n. [ puno] ) Clculr si eise l invers de l ri de l ri I +. [ punos] (junio ) ) = = = = En consecuenci pr n n es l ri nul. ) Coo = l ri no iene invers L ri I + = I = = iene invers. L ri jun dj (I + ) = [dj (I + )] = (I + ) = I I dj =
10 Ejercicios resuelos de lger. Hllr un ri X c de orden l que d siendo X B B X B X B X B Clculeos : dj () = Por no: dj () dj.( ) = X. ) Pror que c c c c ) Hllr l solución del sise de ecuciones de los vlores correspondienes cd un de ls incógnis es. que deás sisfce que l su () () c () ( ) ( ) (c ) (c ) c c c ) c c c () () c c c c Propieddes uilids: () C C C C () Desrrollo por los djunos de l prier fil () Scr fcor coún en s coluns () C C () Desrrollo por los djunos de l prier fil ) Se dee ñdir ls dos ecuciones dds l ecución : Pr resolverlo plicos l regl de Crer:
11 Ejercicios resuelos de lger Por no:. Resuelve el siguiene sise: Vos resolverlo por Guss: = =. + = = = ; + + = = = = =. =. Se consider el sise ) ( ) Discúse según los vlores del práero rel. ) Resuélvse pr =. ) Si rngo = = rngo * = núero de incógnis el sise es copile deerindo. Si = rngo = rngo * = el sise es incopile ) Pr = el sise será copile deerindo. = = + = = = = =. Esudir según los vlores del práero el sise. ) ( =. Vos clculr el rngo de : El rngo de es disino de cero pues. Menores de orden dos que conengn :. El rngo de será si = rngo = si.
12 Ejercicios resuelos de lger Si rngo = rngo = < núero de incógnis el sise es copile indeerindo. Si = rngo = Rngo = rngo el sise es incopile.. Discuir según los vlores de el sise:. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Hllreos los vlores de que nuln de () = = ) ( ) Si rngo = rngo = = núero de incógnis sise copile deerindo. ) Si = ( = rngo < ) rngo = * rngo =. Por lo no: rngo = rngo = sise incopile. c) Si = ( = rngo < ) rngo = * = rngo = rngo = rngo = < nº de incógnis sise copile indeerindo. d) Si = ( = rngo < ) rngo = * = rngo = rngo = rngo = sise incopile.
13 Ejercicios resuelos de lger. Discuir el siguiene sise de ecuciones lineles según los vlores del práero resolverlo: Si rngo = = núero de incógnis sise copile deerindo; solo die l solución rivil: = = =. Si =. enonces rngo = < nº de incógnis el sise es copile indeerindo.. Discuir el sise ) ( según los vlores del práero. Resolverlo en los csos en los que el sise se copile. Si rngo = rngo = (nº de incógnis) el sise será copile deerindo. Veos que vlores de nuln l deerinne de pr esos vlores no es posile que se deerindo. ) Si rngo = rngo = = núero de incógnis el sise es copile deerindo: ) Si = ( = rngo < ) = coo rngo = * rngo = Por lo no rngo = rngo = Sise Incopile. c) Si = ( = rngo < ) rngo =
14 Ejercicios resuelos de lger * coo l segund ercer fil son igules rngo = Rngo = = rngo < núero de incógnis el sise es copile indeerindo: Resolución del sise: Si = Si ( ) ; ; ( ) ( ). Un uoús de l Universidd rnspor en hor pun vijeros de res ipos: ) Vijeros que pgn el illee enero que vle p. ) Vijeros con ono de descueno del %. ) Esudines con ono de descueno del %. L recudción del uoús en ese vije fue de p. Clculr el núero de vijeros de cd clse siendo que el núero de esudines er el riple que el núero del reso de vijeros. Sen los vijeros que pgn illee copleo los que ienen un % de descueno los esudines que iene un % de descueno. Se cuple que: ( ) = = = =. Luis Jun Oscr son res igos. Luis le dice Jun: Si o e do l ercer pre del dinero que engo los res endreos l is cnidd. Clculr lo que iene cd uno de ellos siendo que enre los res reúnen euros. (Jun. ) Sen ls cniddes de dinero que ienen Luis Jun Oscr respecivene. Se cuple que: + + = (enre los res reúnen euros) (Si Luis d l ercer pre Jun los res ienen lo iso) Despejndo en l segund epresión se iene: ; Susiuendo en l prier ecución: = = =. Cundo el ño Beehoven escrie su prier Sinfoní su edd es die veces or que l del jovencio Frn Schuer. Ps el iepo es Schuer quien copone su célere Sinfoní Incople.
15 Ejercicios resuelos de lger Enonces l su de ls eddes de os úsicos es igul ños. Cinco ños después uere Beehoven en ese oeno Schuer iene los isos ños que ení Beehoven cundo copuso su prier Sinfoní. Deerinr el ño de nciieno de cd uno de esos dos coposiores (Jun. ) No: Solene se clificrán los resuldos oenidos eáicene no los derivdos de los conociienos hisórico-usicles del einndo. Llos l edd de Schuer en. Con los dos del prole se oiene l siguiene l: Se iene el sise = Luego en Schuer ení ños Beehoven. Hín ncido respecivene en en. u v w sen linelene. ) Deerin el vlor de pr que los vecores dependienes. Forn se de R pr =?. Y pr?. Ron l respues. ) Se l ri cus fils son los vecores u v w. Pr qué vlores de iene invers?. Clculrl si es posile pr =. ) Los vecores u v w Si = + =. los res vecores son linelene independienes. son linelene dependienes si rngou v w Pr = los vecores son linelene independienes coo diensión de R es vecores de R linelene independienes forn se forn se. Si los vecores son linelene dependienes no forn se ) Un ri cudrd iene invers si solo si su deerinne es disino de cero por lo no l ri endrá invers si. Pr = iene por lo no invers. = ; De () = dj () = = [dj ()] = <
16 Ejercicios resuelos de lger. ) Discue según los vlores del práero el sise de ecuciones lineles:. ) Resuelve el sise pr =.. ) = * Si rngo = rngo = (nº de incógnis) el sise será copile deerindo. Veos qué vlores de nuln l deerinne de pr esos vlores no es posile que se deerindo. ; = Si rngo = rngo = = núero de incógnis el sise es copile deerindo: Si = ( = rngo < ) = coo rngo = * ; rngo = Por lo no rngo = rngo = Sise Incopile. Si = ( = rngo < ) = rngo = * coo ercer colun es nul rngo = Rngo = = rngo < núero de incógnis el sise es copile indeerindo. ) Resolución del sise: Si = ( ) el sise es copile deerindo. ; ; / /
17 Ejercicios resuelos de lger. Consider ls rices: = X = O = c) Hll el vlor de R pr el que l ri no iene invers. d) Resuelve l ecución X = O pr = (Ron l respues) ) L ri no endrá invers cundo = = Por lo no no iene invers si = ) El sise es hoogéneo: Rngo <. = = rngo = < núero de incógnis Podeos eliinr l úli ecución que será coinción linel de ls ors dos. El sise quedrá de l for.. Siendo: B C ) Clcul l ri invers de ) Hll un ri X que verifique X + B = C. ) endrá invers si de () iene invers. (dj ()) = ) X + B = C X = C B (X) = - (C B) ( - ) X = - (C B) I X = - (C B) X = - (C B) =
18 Ejercicios resuelos de lger. Considerr l ri = siendo un práero rel. Se pide: ) Discuir si eise solución según los vlores del práero del sise de ecuciones lineles:. En cso firivo resolver el sise. ) Pr = considerr el sise de ecuciones lineles:. Discuir si eise solución. ) Uilireos el éodo de Guss pr discuir resolver el sise hoogéneo de ecuciones lineles. = = Si rngo = = Rngo * = núero de incógnis el sise es copile deerindo. L solución es: = = =. Si = rngo = = Rngo * < núero de incógnis el sise es copile indeerindo (iene infinis soluciones). Soluciones: = = + + = = = ) Rngo = Rngo * = el sise es incopile.. Discue el siguiene sise resuélvelo cundo se posile: Uilireos el éodo de Guss pr discuir resolver el sise de ecuciones lineles. Inercios l prier con l segund ecución:
19 Ejercicios resuelos de lger ) ª( ª ) ª( ª ª ª = = Si rngo = Rngo * = el sise es incopile Si = rngo = = Rngo * < núero de incógnis el sise es copile indeerindo (iene infinis soluciones). = = + = + =. Se l ri resolver por el éodo de Guss: ) El sise de ecuciones lineles hoogéneo cu ri de coeficienes es. ) El sise de ecuciones lineles hoogéneo cu ri de coeficienes es. ) = ; =. El sise que eneos que resolver es: ; ; ; el rngo de l ri de los coeficienes es < núero de incógnis el sise es copile indeerindo. = = + + = = = = ) =.El sise que eneos que resolver es: ; el rngo de l ri de los coeficienes es = núero de incógnis el sise es copile deerindo: = =
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es incompatible: a) Si m = 1 b) Si m = 2 c) Ninguna de las anteriores. Solución:, siendo r(a) = 2 y r(m) = 3 Sistema incompatible.
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EJERCICIOS UNIDADES 1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES = = A donde ( ) ( ) 2. B calcule la matriz X que verifique.
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EJERCICIOS UNIDADES 5 y 6: MATRICES Y DETERMINANTES
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Determinantes y matrices
emáics SS Deerminnes José rí rínez edino Deerminnes mrices. Dds ls mrices:, Hll l invers de, l mriz l que. ; ; djun de De. lcul l mriz invers de l mriz L mriz invers viene dd por, siendo l mriz de los
λ = A 2 en función de λ. X obtener las relaciones que deben
Modelo. Ejercicio. Clificción áxi: puntos. Dds ls trices, ) (,5 puntos) Hllr los vlores de pr los que existe l triz invers. ) ( punto) Hllr l triz pr 6. c) (,5 puntos) Resolver l ecución tricil X pr 6.
X obtener las relaciones que deben
odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint
según los valores del parámetro a.
Selectividd hst el ño 9- incluido EJERCICIOS DE SELECTIVIDD, ÁLGER. Ejercicio. Clificción ái: puntos. (Junio 99 ) Se considern ls trices donde es culquier núero rel. ) ( punto) Encontrr los vlores de pr
MATEMÁTICAS II TEMA 3 Sistemas de ecuaciones lineales: Problemas propuestos
Álgebr: Sisems wwwmemicsjmmmcom José Mrí Mríne Medino MATEMÁTICAS II TEMA Sisems de ecuciones lineles: Problems propuesos Clsificción resolución de sisems por méodos elemenles Resuelve uilindo el méodo
ALGUNOS PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD PROPUESTOS EN 2013
ÁLGR (Seleividd ) José Mrí Mríne Medino LGUNOS PROLMS D SLCTVDD PROPUSTOS N Mries deerinnes rgón, junio Deerin el rngo de l ri, que ree oninuión, según los vlores de : ) Deerin, si eise, un ri,, que verifique
TEMA 2. DETERMINANTES
TEMA. DETERMINANTES A cd mtriz cudrd de orden n se le puede signr un número rel que se obtiene operndo de ciert mner con los elementos de l mtriz. A dicho número se le llm determinnte de l mtriz A, y se
TEMA 3 DETERMINANTES. Cálculo de determinantes. EJERCICIO 1 : Calcular los siguientes determinantes: a b c a b c.
Ejeriios volunrios Te Deerinnes y resoluión e sises Meáis CCSSII º Bh. TEMA DETERMINANTES Cálulo e eerinnes EJERCICIO : Clulr los siguienes eerinnes: ) ) ) ) e) f) g) h) i) j) ) l) ) n) ñ) o) p) q) r)
Resuelve. Unidad 3. Sistemas de ecuaciones. BACHILLERATO Matemáticas II. Los fardos de cereal. Página 89
Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Resuelve Págin 9 Los rdos de cerel Resuelve el role chino de los rdos de cerel rocediendo de or siilr coo lo resolvieron ellos. Recuerd el éodo de Guss que
m m = -1 = μ - 1. Halla la Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 27 - IV - 15 CURSO Opción A
S Instrucciones: EXAMEN DE MATEMATICAS II 3ª EVALUACIÓN Apellidos: Nobre: Curso: º Grupo: A Dí: 7 - IV - 5 CURSO 4-5 ) Durción: HORA y 3 MINUTOS. b) Debes elegir entre relizr únicente los cutro ejercicios
3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p
IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Mtrices deterinntes. Ejercicios de Selectividd. º.- Junio 99. i) Define rngo de un triz. ii) Un triz de tres fils tres coluns tiene rngo
Sistema lineal heterogéneo: es aquel en el que no todos los términos independientes son nulos. Ej:
BLOQUE II: Núeros Álger Te : Sises de ecucioes lieles Pági de.- CLSIFICICIÓN DE LOS SISTEMS DE ECUCIONES. Sise liel heerogéeo: es quel e el que o odos los érios idepediees so ulos. Ej: Sise liel hoogéeo:
el log de me de id CSII: mrices y deerminnes pág. DEFINICIONES Un cden de iends de elecrodomésicos dispone de curo lmcenes. En un deermindo momeno ls exisencis de lvdors, frigoríficos y cocins son ls siguienes:
MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A
MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes
Tema 8: Teorema de Rouché-Frobenius
www.selectividd-cgrnd.co Te : Teore de Rouché-Froenius Se lln ecuciones lineles ls ecuciones en ls que ls incógnits precen tods con grdo ; no están elevds ningun potenci ni jo ningún rdicl ni ultiplicds
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Hoja 2: Matrices
Profesor: Miguel Ángel Bez lb (º Bchillerto) Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II Hoj : Mtrices Operciones: Ejercicio : Encontrr ls mtrices X e Y tles que: 3 X + Y 4 5 X 3Y 7 Ejercicio : 3 5 Dds ls mtrices
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3
UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch
SELECTIVIDAD DETERMINANTES
SELECTIVIDAD DETERMINANTES Junio 8: Dds ls mtrices A = 5, B = y M = b, clcúlese y b pr que se verifiquen MA =, M + B =, donde se está usndo l notción hbitul (con brrs verticles) pr denotr l determinnte
Clasificación y resolución de sistemas por métodos elementales. 1. Resuelve utilizando el método de de reducción de Gauss Jordan, los sistemas:
Álgebr: Sisems José Mrí Mríne Medino MATEMÁTICAS II TEMA Sisems de ecuciones lineles: Problems propuesos Clsificción resolución de sisems por méodos elemenles Resuelve uilindo el méodo de de reducción
, verificar que x. vectores propios. Determinar los valores propios correspondientes. Solución: λ
re 7 Sen : definido por (, y ) ( + y, ) y f ( ) + Hllr f ( )(, y) f ( )(, y) ( y, + y) Pr l mriz A, verificr que (,,) y (,, ) son vecores propios Deerminr los vlores propios correspondienes λ, λ, respecivmene
Vamos a estudiar la existencia de soluciones, nº de soluciones y cómo calcular las soluciones de un sistema lineal.
Te 3 Sistes de ecuciones lineles. 3. Sistes lineles notciones triciles y vectoriles. 3. Teore de Rouché-Froenius. Sistes lineles hoogéneos. 3.3 Resolución de sistes de ecuciones. 3.4 Discusión de sistes
MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES
Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión
TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes
Tema 2. Determinantes
Memáics plicds ls iencis Sociles II Álger: Deerminnes Deerminne de un mriz Tem Deerminnes Definición de deerminne El deerminne de un mriz cudrd es un número Pr l mriz, su deerminne se deno por de() o por
1.MATRICES. Definición : Se llama matriz de dimensiones m x n ( m filas y n columnas) a una. colección de datos expresados de la siguiente forma A=.
.MATRICES. DEINICION, TERMINOLOGIA, TIPOS DE MATRICES Y OPERACIONES LINEALES: Definición : Se llm mri de dimensiones m n ( m fils n columns) un colección de dos epresdos de l siguiene form A=. m. m..........
TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...
Deprtmento de Mtemátics TEM : MTRICES Un mtriz de orden mxn es un conjunto de m n números reles dispuestos en m fils y n columns... n... n... m m m... mn los números reles ij se les llm elementos de l
TEMA 2. Determinantes Problemas Resueltos
Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem Clulo de deerminnes TEM. Deerminnes Prolems Resuelos. Hll el vlor de los siguienes deerminnes ) ) ) C Soluión ) Se desrroll por l
= 27. 1 1, con b un parámetro real. Se pide: a) Para qué valores del parámetro b el sistema de ecuaciones lineales A
ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSSII: º) (Andlucí, Junio ) Un cliene de un supermercdo h pgdo un ol de 56 euros por 4 liros de leche, 6 kg de jmón serrno liros de ceie de oliv Plnee resuelv un
B calcula: d) B. e) A + ) d) A. f) B. e) B f) C g) D h) D
IES Jun Grcí Vldeor ÁLGER. SELECTIVIDD Depreno de Meáics º chillero de CCSS Págin. Dds ls rices clcul: ) b) c) d) e) f) ) ( g) ) ( h) ) ( i) ) ( I. Dds ls rices clcul: ) b) c) d) e) f) g) ) ( h) i) ) (.
I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
Colegio San Agustín (Santander) Página 1
Mtemátics ºBchillerto Aplicds ls Ciencis Sociles er evlución. Determinntes ) Clcul el vlor de los siguientes determinntes: ) b) c) ) = (-)+ +(-) [ + (-) (-)+ ]= -++-[6++] = --6-= - b) = (-) + + -[ (-)+
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS Ejercicio nº.- Pon un ejemplo, cundo se posible, de un sisem de dos ecuciones con res incógnis que se: ) Compible deermindo Compible indeermindo c) Incompible
Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función
Regla de Sarrus: Para recordar con mayor facilidad el desarrollo del determinante de orden 3, podemos usar esta regla:
UNIDD 8: Determinntes. DETERMINNTES DE ORDEN Y Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ) = = = Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, not por det( ) ó, l siguiente
Método de Gauss. Pon un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que sea:
Méodo de Guss Ejercicio nº.- Pon un ejemplo, cundo se posible, de un sisem de dos ecuciones con res incógnis que se: ) compible deermindo compible indeermindo c) incompible Jusific en cd cso us respuess.
Leyes de Newton de la Dinámica: Momentum y Fuerza. Cálculo de la trayectoria de una partícula
Dino Slins Clse 6 Leyes de Newon de l Dináic: Moenu y uerz Cálculo de l ryecori de un prícul L prier ley es un refirción del principio de inerci glileno. Prier Ley de Newon: Todo objeo coninú en su esdo
2º BACHILLERATO A TEMA 2. DETERMINANTES. 1.Calcula los determinantes de estas matrices: 2. Determina el valor de x 3 2 3
º BACHILLERATO A TEMA. DETERMINANTES..Clcul los determinntes de ests mtrices:. Determin el vlor de x 4 x 3 3 = b x 5 = 3. Clcul los siguientes determinntes: A = ( 3 5 5 4 B = ( 3 4 b 3 9 3 c 4 3 d 3 3
3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:
PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:
SELECTIVIDAD: SISTEMAS DE ECUACIONES
SELECTIVIDAD: SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIO. El siste es coptible deterindo. ) Si se suprie un de ls ecuciones Cóo es el siste resultnte? Depende l respuest de l ecución supriid? b) Qué ecución h que
Tema 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Te SISTS D CUCIONS LINLS Sises de res ecucioes co res icógis So de l for: Ls lers i, ij i represe, respecivee, ls icógis, los coeficiees los érios idepediees L solució del sise es el cojuo de vlores de,
B y sus traspuestas,. c) Ninguna de las anteriores. Solución: En este caso se cumple b), pues:
nálisis eáio (eáis Eresriles ) José rí rínez eino ROLES DE TRCES DETERNNTES eguns e io es () Ls ries, y sus rsuess, y, ulen: ) ) ) Ningun e ls neriores Soluión: En ese so se ule ), ues: L resues es ) ()
SOLUCIONES EJERCICIOS SISTEMAS DE ECUACIONES
SOLUCIONES EJERCICIOS SISTEMAS DE ECUACIONES Ejercicio nº.- Pon un ejemplo cundo se posible de un sisem de dos ecuciones con res incógnis que se: ) compible deermindo compible indeermindo c) incompible
UNIDAD 8.- Determinantes (tema 2 del libro)
UNIDD 8.- Determinntes (tem del libro). DETERMINNTES DE ORDEN Y Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ) Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, not por det( ) ó,
Relación 3. Sistemas de ecuaciones
Relción. Sistes de ecuciones Ejercicio. Consider el siste de ecuciones ) Eiste un solución del iso en l que? ) Resuelve el siste hoogéneo socido l siste ddo. c) H un interpretción geoétric tnto del siste
TEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3
. DEFINICIÓN. http://mtemticsconsole.wikispces.com/ TE trices TRICES Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i=,,...m; j=,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic
MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn
Mtrices MATRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz A de m fils y n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,m; j,,...n, dispuestos en fils y columns, tl como se indic continución:... n... n A........... m
Tema 2. Determinantes
Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes. Deerminne de un mriz Tem. Deerminnes.. Definición de deerminne El deerminne de un mriz cudrd es un número. Pr l mriz, su deerminne se deno por de() o
MATRICES Y DETERMINANTES
MTRICES Y DETERMINNTES. Definición de mtriz.. Tipos de mtrices.. Sum de mtrices.. Producto de un número rel por un mtriz.. Producto de mtrices.. Ejercicios. Determinnte de un mtriz. 8. Menor complementrio
TEMA 1. NÚMEROS REALES
TEMA. NÚMEROS REALES. El número que indic los dís del ño es un número muy curioso. Es el único número que es sum de los cudrdos de tres números nturles consecutivos y que demás es sum de los cudrdos de
TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES
TEM VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES VECTORES Y MTRICES MTRICES: OPERCIONES ELEMENTLES Cocepo de riz Eleeos Tipos de rices Su y difereci de rices Produco de u úero por u riz Trsposició
Las siguientes matrices son, respectivamente, de orden 3 x 3, 3 x 2, 3 x 4 y 2 x )
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO Mrices Un mriz es un conjuno de números colocdos en un deermind disposición ordendos en fils y columns.
Tema 7: ÁLGEBRA DE MATRICES
ÁLGER DE MTRICES Tem : ÁLGER DE MTRICES Índice. Concepo de mriz... Definición de mriz... Clsificción de ls mrices... Tls, grfos y mrices.. Operciones con mrices... Sum de mrices... Muliplicción de un número
Determinantes: un apunte teórico-práctico
Deterinntes: un punte teório-prátio Definiión d triz udrd se le soi un núero denoindo deterinnte de. El deterinnte de se denot por o por det(). Cálulo de deterinntes Pr un triz de x el deterinnte es sipleente
CAPÍTULO 9. INTEGRALES IMPROPIAS 9.1. Límites de integración infinitos 9.2. Integrales con integrando que tiende a infinito 9.3. Observaciones a las
CAPÍTULO 9. INTEGRALES IMPROPIAS 9.. Límies de inegrción infinios 9.. Inegrles con inegrndo que iende infinio 9.. Oservciones ls inegrles impropis Cpíulo 9 Inegrles impropis f ( ) f ( ) f f ( ) () f()
Propiedades de la Potencia. Observación: La potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta.
Propieddes de l Potenci Distributiv con respecto l producto ( = b Distributiv con respecto l división b b Producto de potencis de igul bse n = n + División de potencis de igul bse n n Potenci de potenci
OPCIÓN A Problema A.1. En el espacio se dan las rectas. 3 : z. x r y. Obtener razonadamente:
OPCIÓN Proble.. En el espcio se dn ls rects : r : α s Obtener rondente: El vlor de α pr el que ls rects r s están contenids en un plno. puntos b L ecución del plno que contiene ls rects r s pr el vlor
funciones primitivas se le llama integral indefinida y se representa por dx = F(x) + C F'(x) = f(x) ( ) '( ) '( ) '( ) f x f x dx C f'( x)
INTEGRALES INDEFINIDAS Un función F() se dice que es primiiv de or función f() cundo F'() = f() Por ejemplo F() = es primiiv de f() = Or primiiv de f() = podrí ser F() = + 5, o en generl, F() = + C, donde
PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE VALENCIA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano)
I.E.S. CASTELAR BADAJOZ PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE VALENCIA SEPTIEBRE (RESUELTOS por Anonio enguino) ATEÁTICAS II Tiempo máimo: hors Se elegirá el Ejercicio A o el B, del que sólo se hrán