MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO

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1 MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO 5.- Geometí Afín Eulíde en el Epio tidimenionl.- (MODELO DE PRUEBA) Detemin p que lo punto A( ) B( ) C(5 - ) D( ) en oplnio. P el vlo de otenido nteiomente lul el áe del polígono ABCD. Jutifi l epuet. i) P que lo uto punto en oplnio de ente lo vetoe AB AC AD dee he ólo do linelmente independiente e dei que dee e do el ngo de l mti fomd on u oodend: A ( ) Aí pue ng A A - ii) P lul el áe del udiláteo de vétie ABCD lo dividimo en do tiángulo po ejemplo : ABD BCD. Clulmo el áe de d uno l ummo. Áe de ABD AB AD. Aho ien: AB (-) AD (). Po tnto: i j k AB AD AB AD i j k AB AD ( ) Áe de ABD Áe de BCD CB CD ; omo CB (-) CD (-) i j k CB CD. Lo ul quiee dei que lo punto B C D etán linedo; po tnto el "tiángulo" que fomn tiene áe eo. En oneueni l figu detemind po lo punto ABCD no e un udiláteo ino un tiángulo u áe e de u..- JUNIO 99 Ddo lo punto A( ) B( ) C( 6 ) e pide: i) Hll p qué vloe del pámeto etán linedo. ii) Hll i eiten vloe de p lo ule A B C on te vétie de un plelogmo de áe en o fimtivo lullo. iii) Hll l euión de l et que pndo po el oigen ote pependiulmente l et AB. Ron l epuet. i) P que lo te punto etén linedo deen e popoionle lo vetoe AB AC. B A C D

2 Como AB () AC (6 (-) ) h de oui que: 6 ( ) ii) Cundo A B C no etán linedo on evidentemente vétie de un plelogmo u áe e: AB AC. Aho ien B i AB AC ( ) i AB AC ( ) j 6 k ( ) Si quieo que ee áe vlg t on impone que ( ) E dei que h do vloe de p lo que el plelogmo tiene de áe. iii) L et que umo vendá dd omo el ote de do plno: : plno que p po el oigen O () e pependiul l et AB ' : plno que p po lo punto A B O. Comenemo on el pimeo: u veto oido (pependiul) eá AB () omo h de p po el oigen u euión eá En unto l egundo tendá po euión: - Po tnto l et ud eá:.- SEPTIEMBRE 99 Ddo el plno de euión - lo punto: A( ) B( ) Se C el pie de l pependiul td dede el punto A l plno. Se pide detemin el vlo de p que el tiángulo ABC e etángulo (ángulo eto en C) lul u áe. Hll lo do ángulo etnte de diho tiángulo. Ron l epuet. Como puede vee en l figu lo que no piden A en elidd e lul el vlo de p que el punto B e inidente on el plno. Sin má que utitui l oodend del punto en el plno - - P lul el áe del tiángulo ABC omo e etángulo t on e l longitud de u teto (e ltu). AC d( A ) C B AB d( A B) ( ) ( ) ( ) 7 A C Aplindo el Teoem de Pitágo CB ( ) Po tnto el áe del tiángulo ABC eá: u 9

3 Clulemo po fin el vlo de lo ángulo gudo del tiángulo. El ángulo A e el ángulo que fomn lo vetoe AC AB po tnto: AB AC o( AB AC) 9 A ˆ 86º 9' 9'' AB AC P lul el ángulo B t et el nteio 9º eult que: B ˆ º ' ' '.- JUNIO 995 Dd l et - lo punto P(- ) Q(5 ) e pide: i) Hll iendo que l et PQ e plel. ii) Hll l ditni ente lo punto P Q. ii) Hll el volumen del ilindo otenido l gi el egmento PQ en tono. Ron l epuet. i) Si en l euión que no dn de l et dividimo po do otenemo que: el veto dieto de l et e v () P que e plel PQ l oodend de v l del veto PQ (6 - ) deen e popoionle: ii) d( P Q) (5 ) (5 ) ( ) u iii) L ltu del ilindo l mo de lul: 6 u. Clulemo ho el dio de l e que eá l ditni ente del punto P ( p) v l et. Reodemo que d( P ) donde e el v veto de poiión de un punto po el que p l et en nueto o (-) v el veto dieto de l et en nueto o v() p el veto de poiión del punto P en nueto o p(-). i j k ( p) v v i j k ( p) v d( P ) u Po tnto el volumen pedido del ilindo eá: V 6 6 u 58 u SEPTIEMBRE 995 El veto i j - k e pependiul l plno el veto i -j k e pependiul un egundo plno '. i) Hll el ángulo detemindo po lo do vetoe. 9 P Q

4 ii) Se inteen lo plno?. Jutifi l epuet. iii) Si lo do plno e inteen hll de fom ond un veto plelo l et de inteeión. i) o( ) ( ) o 5 º 5' 7'' ii) Si pueto que u vetoe oido (lo vetoe pependiule d uno de ello) no tienen l mim dieión que p que eo ouie deeín fom un ángulo de eo gdo omo vimo en el ptdo nteio no e í. iii) El veto udo h de e pependiul lo do vetoe. Ee veto e el poduto vetoil. Clulémolo: i j k 5 j 5k ( 5 5) Po oniguiente un veto plelo l et detemind po el ote de lo plno ddo e el (-5-5) o i pefeimo uno popoionl de peto má enillo el () 6.- JUNIO 996 Dd l et de euione: i) Etudi u poiión. ii) Hll l et que ot e plel l et t () () λ (-) Ron l epuet i) L et p po el punto A () tiene omo veto dieto u (). L et p po el punto B () tiene omo veto dieto v (). P etudi l poiión eltiv de et do et vemo ómo etán itudo lo vetoe: u () v () AB (). Como el deteminnte lo te vetoe on linelmente independiente po tnto l et e un. ii) L et que umo vendá dd omo el ote de do plno: : plno que ontiene e plelo t. ' : plno que ontiene e plelo t. Clulemo eo do plno: Como ontiene pá po el punto A () uno de lo vetoe que lo deteminn eá el veto u (). El oto veto eá w (-) veto dieto de l et t que el plno queemo que e plelo l et t. Po tnto L euión de eá: Como ' ontiene pá po el punto B () uno de u vetoe eá: v (). El oto veto que lo detemin e el veto dieto de t po l mim ón de nte. Po tnto l euión

5 5 de ' eá: 6 ' En oneueni l et que uámo e: SEPTIEMBRE 996 i) Compo que lo punto: A () B (-) C () fomn un tiángulo lul u áe. ii) Clul el pie de l pependiul td dede el oigen l plno detemindo po A B C. Ron l epuet. i) P ompo que fomn un tiángulo t ve que no etán linedo. P ello ompoemo que lo vetoe AB (---) AC (-) no tienen l mim dieión eto e u oodend no on popoionle. En efeto:. El áe de ee tiángulo e egún emo l mitd del módulo del poduto vetoil de AB po AC. 5 ) ( AC AB j i k j i AC AB Po oniguiente el áe del tiángulo ABC eá: 5 5 u AC AB. ii) El punto pedido Q e el punto donde e otn el plno detemindo po lo punto A B C on l et pependiul pndo po el oigen O. Lo pimeo que deemo he e enont l euione de. El plno p po lo punto A B C. Po tnto u euión eá:. Po oto ldo l et po e pependiul tiene omo veto dieto el veto w ( - ) oido l plno. Y omo h de p po el oigen u euión eá:. P enont l oodend del punto donde e otn eolvemo el item detemindo po u euione. Sutituimo l inógnit de l et en el plno otenemo: ( ) - (-) - 6 / / Sutituendo ee vlo de en l euione de l et otenemo l oodend del punto udo 5 5 Q O Q

6 8.- JUNIO 997 Ddo el tetedo on un vétie O oe el oigen de oodend lo oto te A B C oe lo emieje poitivo OX OY OZ epetivmente e pide: i) Hll l oodend de A B C iendo que el volumen del tetedo e / l it OA OB OC tienen igul longitud. ii) L euión de l ltu del tetedo oepondiente l ABC. iii) Ditni ente l et AB OC. iv) Ángulo que fomn l it BC AB. El volumen del tetedo e l et pte del poduto mito de lo vetoe OA OB OC. Como no die el polem que l te it OA OB OC tienen igul longitud upongmo que miden "". Etemo en l ituión de l figu po tnto: C() 6 6 Lo punto eán: A ( ) B () C (). ii) Se ttá de enont l euión de l et que p po el oigen O() e pependiul l plno ABC. El veto otogonl l plno ABC eá i j k w AB AC i j k w e el veto de oodend ( ) ( ). En definitiv: l et que umo p po el oigen tiene omo veto dieto (). Su euión dd en fom ontinu eá: iii) Podímo p enont l ditni ente l et pedid u p d un de ell un punto po el que p u veto dieto utili luego l fómul que onoemo p lul l ditni ente et que e un. Peo en ete o e todo tn enillo que no neeitmo omplino l vid de ee modo. Como puede vee en l figu de i l ditni ente l et AB OC e l ltu del tiángulo OAB. Ee tiángulo e ióele etángulo; u teto miden l O hipotenu h E eá pue l ditni ente l et pedid. iv) No piden el ángulo má pequeño llmémole que fomn lo vetoe BC (-) AB (-).. Po tnto l ltu eá: ( ) u o BC AC BC AC Po tnto eá el ángulo del pime udnte uo oeno e / e dei 6º. Lo ul ímo de o pueto que el tiángulo ABC e equiláteo. 9.- SEPTIEMBRE 997 O B() Ddo el plno 5 7 l et: λ el punto A (75) λ i) Detemin l euión de l et : plel l plno que pe po el punto A e A() h A B 6

7 pependiul l dieión de l et. ii) Detemin l poiión del plno l et. iii) Clul l euión de l et t: que pe po A ote pependiulmente. Enontemo en pime lug el veto dieto u de l et que no piden. Po e e et plel el veto u dee e otogonl l veto w (57) oido l plno. Ademá po e pependiul l et u veto dieto u tmién dee e otogonl v () veto dieto de. En oneueni u po e otogonl eo do vetoe dee e el poduto vetoil de v po w. i j k u v w 5 7 5i j k e dei que u e el veto (-5-). Como l et que no piden h de p po el punto A (75) onluimo que u euión dd en 7 5 fom ontinu e: 5 i) Sutituendo l inógnit de l euión de l et en l euión del plno otenemo: 5 (λ ) 7 (λ) 9 λ 8. E euión tiene oluión (un) po tnto l et el plno e otn en un punto. Si no pegunten de qué punto e tt depejímo λ en e euión llevímo ee vlo l euión de l et oteniendo í l oodend del punto pedido (peo ho no no lo piden). iii) L et t vendá dd omo el ote de do plno: : plno inidente on el punto A pependiul l et. ': plno inidente on el punto A on l et. Clulemo l euione de lo plno '.. Po e pependiul u veto oido eá el veto dieto de : v (). Luego u euión eá de l fom: D. P lul D imponemo demá que pe po el punto A (75). 7D D -7. Luego -7. Pueto que l et p po el punto B () tiene omo veto dieto v () ' e el plno que p po el punto A (75) tiene omo vetoe dietoe v () AB (-65). 7 5 Su euión eá: oodendo YZ En oneueni p temin l euión de l et pedid e: ' e el plno e dei el plno 7 t.- (JUNIO 988) Lo punto P() Q() on do vétie ontiguo de un etángulo. Un tee vétie petenee l et : i) Detemin lo vétie de un etángulo que veifique l ondiione nteioe. ii) Qué poiión eltiv deeí tene l et l que ontiene l egmento PQ p que l oluión fuee úni?. Ron l epuet. 7

8 Y i) Se el plno pependiul l veto PQ que pe po P. Cotndo ee plno on l et otenemo A el punto A que eí un tee vétie del etángulo que umo. El uto vétie en ete o eí A A Q que e el punto otenido otndo el plno Z que p po Q e pependiul l veto PQ on l et plel PQ que pe po A. P Reliemo lo álulo que hemo indido nteiomente: X Veto PQ (-) Lo plno pependiule PQ on de l fom: -. Buquemo el que p po el punto P: -C C. El plno udo eá - P ot ee plno on l et que no indi el enunido eolvemo el item: - Cu oluión no d l oodend del punto A ( ) Bumo ho el plno pependiul PQ que p po el punto Q. Todo lo plno pependiule l veto PQ on omo dijimo nte de l fom: -. Bumo uno que pe po Q luego h de umpli que: C C -. El plno que umo e: - -. Y ho vmo on l et plel l veto PQ que p po A. Su euione pméti eán: Enontemo el punto A donde e otn el plno l et luldo nteiomente. P ot el plno l et utituimo l euione pméti de l et en el plno otenemo: ( ) Llevndo ete eultdo l euione pméti de l et otenemo que el punto que uámo e A ( ) Hemo pue enontdo lo vétie A A que junto on lo ddo P Q veifin l ondiione del polem. Aho ien eto do vétie no on únio poque i huiémo empedo lulndo el plno pependiul PQ que pe po Q (en ve de po P) otándolo on l et hímo otenido un punto A ; i luego otmo el plno pependiul PQ que pe po P (en ve de po Q) on l et plel PQ que p po A otendímo el punto A. Si te fij hemo heho lo mimo que nte peo mindo lo punto P Q. Pue ien lo punto A A junto on P Q tmién umplen l ondiione del polem e dei h do oluione: do etángulo difeente que tienen do vétie oneutivo en lo punto P Q oto vétie en l et. Eo do etángulo on: PQA A PQA A. ii) Aho ien eo no oue iempe poque undo l et el veto PQ on plelo l oluión e úni que lo do plno deito nteiomente on el mimo pueto que lo punto P Q l et on oplnio..- (SEPTIEMBRE 998) Lo punto P() Q() on do vétie de un tiángulo ióele. Otene el oto vétie iendo que petenee l et : E úni l oluión?. Ron l epuet. 8

9 En pime lug diujemo l ituión p tene un ide gáfi del polem. A ontinuión vmo eolvelo nlítimente. Bumo un punto A itudo en l et tl que: d (A P) d (A Q) () Aho ien todo lo punto de l et on í: ( ) Donde puede tom ulquie vlo. Imponiendo l ondiión () otenemo l oodend "" del punto A que etmo undo: ( ) ( ) ( ) Elevndo l uddo en lo do miemo de e euión otenemo que: po tnto el tee vétie que umo etá en el punto A (6 ) que omo vemo h de e únio pueto que l euión que hemo otenido e de pime gdo tiene po oniguiente un úni oluión. Ot fom de helo El punto A que umo h de et neeimente en el plno mediti del egmento PQ; peo omo demá tiene que et en l et lo que vmo he e: pimeo enont l euión de ee plno luego ve dónde e ot on l et. El veto oido l plno udo eá el veto PQ (- ). Po tnto l euión del plno eá de l fom: - D. Clulemo D imponiendo que pe po el punto medio M del egmento PQ. L oodend de ee punto medio omo ien emo e luln í: M ( ). Si h de p po M dee e: - 8 D D -8. El plno eá po tnto: Cotemo ho ee plno on l et o lo que e igul eolvmo el item: 8 6 Cu úni oluión e: Po oniguiente el punto que umo eá: A (6 ). ii) Ee punto e únio en ete o omo hemo podido ve en el ptdo nteio pueto que el item que hemo euelto p lullo e omptile detemindo. Sin emgo i l et fuee inidente on el plno mediti del egmento PQ eín ovimente oluione del polem todo lo punto de. En ee o que no e el que el polem no plnte l oluión no eí úni el item que hí que eolve p lullo eí omptile indetemindo..- (JUNIO 999) Lo punto P ( - ) Q ( - ) on do vétie opueto de un uddo que etá ontenido en un plno pependiul l plno de euión. i) Detemin lo vétie etnte. ii) Clul l euión de l et que p po lo vétie luldo. iii) Clul el peímeto del uddo ontuido 9 A P M Q

10 Z Hemo pimeo el egundo ptdo luego el pimeo. i) Llmemo l et en l que e enuentn lo oto do vétie A B que umo. E et dee e mediti del egmento PQ po tnto h de p po u punto medio M (-). Q Peo omo no dien que el uddo etá ontenido en M un plno pependiul l plno P el veto dieto de l et dee e el veto X oido e dei: u (). Po tnto l et vendá dd en pméti de l fom: λ λ Y ii) L Coodend de lo punto A B po et en l et eán de et fom: (λ -λ ). P que junto on P Q en lo vétie de un uddo deen e pependiule lo vetoe AP AQ. Aho ien: AP (λ- -λ -) (λ λ- ) AQ (λ- -λ -) (λ- λ -). Po tnto AP AQ AP AQ λ λ λ λ ± Lo vétie A B que no piden eán po tnto: A B iii) El peímeto del uddo eá vee el ldo "l". Aho ien: P B d d d l l peímeto d Peo [ d( P Q) ] ( ( ) ( ) ( ) ) d l Po oniguiente peímeto 6 unidde A Q.- (SEPTIEMBRE 999) Lo punto P() Q(-) on do vétie de un tiángulo el teeo S petenee l et : Z L et que ontiene P S e pependiul l et i) Detemin l oodend de S. ii) Clul el áe del tiángulo PQS. P Q Y i) Enont l oodend del punto S que no piden e mu enillo podemo poediendo gáfimente omo puede vee en l figu otene de un modo mu fáil l oluión: S ( ) X S Sin emgo vmo tmién eolve el polem nlítimente p tene ot viión del mimo.

11 No dien que l et que ontiene P S e pependiul ; luego el punto S h de et en el plno pependiul que p po P. Ee plno tendá omo veto oido el veto dieto de e dei el veto j ( ) que omo vemo en u euión e plel l eje OY. Po tnto l euión del plno que umo tomá l fom: D. Aho ien omo dee p po el punto P ( ) h de e D D -. Luego el plno e - o i e pefiee Como el punto S demá de et en ee plno dee de et en l et p enontlo t ot l et on el plno o lo que e igul eolve el item detemindo po u euione: No he flt ompee muho l e p de uent de que l oluión e dei el punto udo S tiene po oodend: S ( ). ii) Clulemo el áe del tiángulo PQS. P ello tommo lo vetoe PQ (- ) PS ( ). Como emo Ae( PQS) PQ PS Aho ien PQ PS i j k 5 j En oneueni PS PQ 5 El áe que no piden eá de 5 u 5 u.- (JUNIO ) Lo punto P ( ) Q ( 5 ) on do vétie opueto de un uddo ontenido en el plno -. i) Detemin l oodend de lo oto do vétie. ii) Clul l euión de l et que ontiene l oigen de oodend e plel l que ontiene l lo punto P Q. i) Se X ( ) uno de lo vétie que umo; de ee punto P X deonoemo u te oodend e dei tenemo te inógnit po oniguiente lo dto del polem deen pemitino plnte te euione. Impongmo l ondiione que dee umpli el punto X: Q ª.- - ( que etá ontenido en el plno ). ª.- d(p X) d(q X) ª.- PX QX L pime ondiión no popoion dietmente un euión; vemo qué euión otenemo deollndo l egund: d( P X ) d( Q X ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) E dei Reolvemo ho el item detemindo po e do euione: 8

12 Se tt ntulmente de un item omptile indetemindo on infinit oluione dependiendo de un pámeto ( que h do euione te inógnit). Reolviendo otenemo omo oluione: t- ; ; t. Po tnto el punto X que umo tendá de oodend: X (t- t). (*) Y ólo tenemo un inógnit "t" que podemo enont imponiendo l tee ondiión: PX QX. Teniendo en uent que PX ( t t ) QX ( t t ) t PX QX PX QX ( t )( t ) ( t )( t ) t 6t 6 t H po tnto do oluione p "t" e dei do punto (lo do vétie que uámo) u oodend e otienen utituendo d uno de eo vloe de "t" en (*). Lo do vétie del uddo que el polem no pide on: X X ' 8.- JUNIO ( ) ( ) ) Hll l euión del plno que ontiene l et t t t l punto B( - ). ) Clul l ditni del plno l punto P( ) ) Po ontene l et que no dn ontiene l punto A ( ) l veto v ( -). Como demá p po el punto B ( - ) dee de ontene l veto AB ( - ). Po tnto l euión del plno que no piden eá: β En pméti: β β Y en fom Genel o Ctein: 8 ) d( P ) 6 u. 5 E dei. 9.- SEPTIEMBRE t Se el plno l et. t ) Enuent l poiión eltiv de lo mimo. ) Hll l euión de l et que p po el punto P(- ) e plel l plno pependiul l et. ) El plno viene detemindo po el punto A ( ) lo vetoe u ( -) v ( ). L et etá detemind po el punto B ( - ) po el veto w ( ). u v w. P e l poiión eltiv de Há que hll el ngo del item de vetoe { } Rng { u v w} e otn en un punto. ) Pueto que de l et que no piden onoemo un punto po el que p P(- ) únimente

13 neeitmo onoe u veto dieto. Se el veto oido (pependiul) l plno. Como emo: ) ( k j i k j i v u Y egún no die el enunido del polem: k i k j i w w plel 5 Po tnto el veto dieto de l et e (-5 ) O i lo pefeimo (- ) que llev l mim dieión. L et que no piden e: 5 o ien.- JUNIO Sen lo plno: ) Detemin l poiión eltiv de lo mimo. ) Clul un et que eté ontenid en el plno e plel l inteeión de eo do plno pe po el punto (5 - ). ) P ve uál e l poiión eltiv de lo do plno tá ve i lo oefiiente on o no popoionle. Lo plno e otn lo lgo de un et. ) Como podemo ompo el punto P (5 - ) etá en lo do plno po tnto l et que no piden e jutmente l detemind po l inteeión de eto:.- SEPTIEMBRE Dd l et: λ ) Clul λ p que e oten en un punto. ) Hll el punto de ote p ee vlo de λ. ) L et p po el punto A( λ ) tiene omo veto dieto u( -). L et p po el punto B(- ) tiene omo veto dieto v(- ). Dede luego no pueden e plel poque u vetoe dietoe no on popoionle í que p que e oten en un punto t on que el ngo del item de vetoe u v AB e. Rng (u v AB) 7 λ λ λ ) Pongmo en fom pméti l do et dándole λ el vlo que oeponde l o en que l et e otn en un punto. P

14 β β Oev que lo pámeto β on ditinto. β P enont el punto de ote hemo de eolve ee item. Igulndo lo vloe de en un ot euión otenemo: β 9 7 () β Sutituendo eto vloe en ulquie de l do euione de β β 7 i ien en l pime o β en l egund otenemo el punto de ote: Oev un egund o: i l do et no e oten l eolve en el item () l do pime euione otendímo uno vloe de β que l utituilo en l tee no umpliín l euión. No e ete el o po upueto poque dede el pinipio emo que l et e otn que etmo hiendo el ejeiio p el vlo λ que otuvimo en el ptdo )..- JUNIO Se el pim tingul (tiángulo igule plelo) de l figu on A( - ) B( -) C( -) A ( - ). Clul: ) L euión del plno que p po lo punto A B C. ) El vlo de p que el plno ' que ontiene lo punto A B C dite un unidd del plno. ) P el plno ' el volumen del pim. ) El plno que p po A B C eá el plno detemindo po lo vetoe AB ( -) AC (- -) po el punto A. Su euión e: ) L ditni de ' e l ditni de A. Imponiendo que e ditni vlg ) lulmo : d( ' ) Siendo e tt de hll el plno que p po el punto A ( - ) e plelo l plno hlldo en el ptdo ). Todo lo plno plelo on de l fom: D. Se tt de enont el que p po A. Sutituimo l oodend del punto en el plno hllmo D. D D. El plno que no piden e: ' P hll el volumen del pim tommo lo vetoe AA () AB(-) AC(--). El volumen V e omo emo l mitd del vlo oluto del poduto mito de eto te vetoe: V [ AA' AB AC] u A A C ' C B B

15 .- SEPTIEMBRE Sen lo punto A(- ) B( ). Detemin: ) L euione pméti de l et que une lo punto. ) L euión del plno que p po A e pependiul l et. ) L ditni del punto B l plno. ) El veto dieto de e AB( ) l euione pméti de l et: ) El veto oido (veto pependiul) l plno que no piden e AB. Po tnto l euión del plno eá : D. Se tt de lul D p que el plno pe po A. Sutituimo l oodend del punto en el plno hllmo D: D D. El plno que p po A e pependiul eá: ) d ( B ) u..- SEPTIEMBRE Sen el plno l et ) Con etudi l poiión eltiv de l et el plno. ) Siguiendo on lul p que el punto ( -) petene l et l plno. ) Detemin lo vloe de p que l et eté ontenid en el plno. ) Eiimo l euión de l et en fom pméti: Como el plno e. P e l poiión eltiv de utituimo l inógnit de l euión de l et en el plno otenemo un euión on un ol inógnit : ( ) ( ) 8 (7 ) 7 7 E euión iempe tiene un oluión ulquie que e el vlo de. 8 8 Po tnto i l et el plno e otn en un punto. Ntulmente l oodend de ee punto dependen del vlo que le demo l pámeto. ) E evidente que el punto ( -) e un punto de l et. Si demá queemo que eté en el plno u oodend hn de umpli u euión: ( ) 7 ) Como en el pime ptdo utituimo l euione pméti de l et en el plno otenemo l iguiente euión on un ol inógnit : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P que l et el plno en inidente e euión tiene que tene infinit oluione tnt omo punto tienen en omún l et el plno p ello hn de e eo lo do oefiiente de l euión: 5

16 5.- JUNIO 5 Se el punto A ( ) el plno. Hll: ) L euión de l et que p po A e pependiul. ) L euión del plno ' que p po A no ot. ) L ditni ente lo do plno. ) El veto dieto de l et que no piden e el oido (pependiul) l plno: w ( ). Po tnto l euión de l et e: ) Se tt de un plno plelo que pe po A. Todo lo plno plelo on de l fom: D. De todo ello el que pe po A h de umpli: D D. El plno que no piden e: ' ) d( ') D( A ) u u 6.- SEPTIEMBRE 5 Se el tiángulo de l figu fomdo po A( ) B( ) C( 6) D( ). Clul: ) El áe del tiángulo limitdo po lo punto A B C. ) L euión del plno que p po lo punto A B C ) El vlo de p que el veto AD e pependiul. d) P 5 el punto D imétio de D epeto l plno. D A C B i j k ) AB ( ) AC ( 6) AB AC i 8 j 6k 6 Po tnto: Áe( ABC) AB AC u. ) El veto oido (pependiul) l plno e w AB AC (86 ) que lulmo en el ptdo nteio. Po tnto el plno que umo eá uno de lo del h de plno plelo: 8 6 D. Imponiendo que pe po A( ) otenemo D: 8 6 D D 6. Po tnto o ien implifindo: 6 Tmién podímo he heho ete ptdo teniendo en uent que el plno que no piden p po el punto A ontiene lo vetoe AB AC. Po tnto u euión e otiene í: ) Como vimo en nteioe ptdo El veto oido (pependiul) l plno e w AB AC (86). P que el veto AD ( ) e pependiul l plno dee llev l mim dieión que w en oneueni u oodend deen e popoionle:

17 d) Si 5 D(5 ). P hll el imétio de D epeto l plno D hllmo en pime lug el punto M pié de l pependiul td dede D. Como M h de e el punto medio del egmento DD M lulemo fáilmente l oodend de D onoiendo l de D M. El punto M e el punto en el que e otn l et pependiul pndo po D el plno. D El veto dieto de e el pependiul l plno e dei w 5 (). Po tnto: Cotmo e et on 6. (5 ) ( ) 6. Sutituendo ee vlo de en l euión de l et onluimo que M ( ). P enont l oodend del punto D ( ) t omo dijimo tene en uent que M 5 e el punto medio del egmento DD po tnto: D ' ( ) ) 7. JUNIO 6 Sen lo punto A( ) B( ) C( ). ) Con lul p que lo te punto deteminen un plno que pe po el punto P( ). Cuál e l euión de diho plno? ) Clul lo vloe de p que lo punto A B C etén linedo. ) P el plno detemindo po lo punto A B C tiene l iguiente euión que ntulmente viene dd en funión del pámeto : 7 No e tt de un plno ino de infinito plno dependiendo del vlo del pámeto. Aho ien i quieo eleion de ente todo ello el que p po el punto P ( ) t utitui en l euión (*). Sutituendo en (*) otenemo l euión del plno que no piden: ) P que A B C etén linedo lo vetoe AB AC hn de e popoionle. AB ( ) AC ( ) AB AC on popoionle (*)

18 8. SEPTIEMBRE 6 Ddo lo punto A( ) B( ) l et λ Hll: λ ) Un punto C de fom que el tiángulo ABC e etángulo on el ángulo eto en C. ) El plno que p po A B e plelo. ) El punto C que umo omo etá en l et tendá et oodend: C ( λ λ) (*) Se tt de enont el vlo (o vloe) de λ p que lo vetoe AC BC en otogonle. AC ( λ λ) BC ( λ λ ) B AC BC AC BC λ λ λ λ λ λ λ Po tnto h do punto C C en l et p lo que el tiángulo ABC e etángulo on el ángulo eto en C. C A C Eo do punto e otienen utituendo en (*) lo do vloe que mo de hll p λ : C( ) C'. ) P detemin el plno neeitmo onoe do vetoe un punto. En ete o el punto e B( ) (unque podí e A i quiiémo) lo do vetoe on AB (- - ) el veto dieto de l et : u ( ). L euión del plno eá l iguiente: e dei que 9. JUNIO 7 Ddo el punto A ( ) l et Clul: ) Un veto u dieto de l et. ) El plno que ontiene l punto A l et. ) L et que p po el punto A etá ontenid en el plno u dieión e pependiul l de l et. ) Reolviendo el item de do euione on te inógnit que detemin l et podemo eii et et en pméti í: L et p po el punto B (- -) tiene omo veto dieto u ( ) ) El plno que ontiene l et l punto A( ) viene detemindo po el punto B(- -) lo vetoe u( ) BA ( ) po tnto: 8

19 ) Se w (- ) el veto oido (pependiul) l plno nteio u( ) el veto dieto de l et. Como el veto dieto v de l et que no piden e pependiul eo do i vetoe v u w j i j k k L et p po el punto A( ) tiene omo veto dieto v( - ) Su euión e: OTRA FORMA de he ete ptdo eí detemin l et omo el ote de do plno: Uno el plno hlldo en el ptdo nteio oto el plno que e pependiul l et p po el punto A. Ee plno e mu enillo de lul poque u veto oido e el dieto de e dei u ( ). Po tnto u euión eí D omo h de p po A( ) D D el plno en uetión e -. L et que no piden e:. SEPTIEMBRE 7 Ddo lo punto A( ) B ( ) C ( ). ) Hll el plno que ontiene lo te punto. ) Clul el punto P que eté ditni unidde del plno del punto medio del egmento AB. ) Conidendo D ( ) lul el volumen del tetedo limitdo po lo punto A B C D. ) Do vetoe que deteminn ee plno on AB(- - ) AC(- - ). Tomndo po ejemplo B( ) omo punto del plno otenemo l euión que no piden: ) El punto medio del egmento AB e M( ). El punto M etá en el plno pueto que tife u euión. P Po tnto no etán peguntndo po do punto P P omo lo de l figu que e hlln en l et que p po el punto M e pependiul ditn unidde de M (o i e pefiee de ). L et que p po el punto M e pependiul tendá omo veto dieto el veto oido (pependiul) e dei ( ) omo p po M u euión eá M P Lo punto de e et en oneueni lo punto P P que umo tendán et oodend: ( ) Se tt de lul imponiendo l ondiión de que diten unidde de M. 9

20 d ( P M ) ( ) ( ) ( ) 8 Po tnto lo punto udo on: P( ) P (- - ) v v ) El tetedo de vétie A B C D etá detemindo po lo vetoe AB ( ) AC ( ) AD( ) u volumen V omo ien emo e l et pte del poduto mito de eo te vetoe (en vlo oluto poque un volumen nun puede e negtivo). V ( ) u 6 6. JUNIO 8 Un plno detemin oe l pte poitiv de lo eje OX OY OZ te egmento de longitude m. epetivmente. ) Hll l euión del plno. ) Hll l euión de l et que ontiene lo punto A ( ) B ( 6 ) etudi l poiión eltiv de l et el plno egún lo vloe de. ) P el o hll el punto donde e ot. ) Se tt de hll l euión del plno que p po lo punto M( ) N( ) P( ). Ee plno viene detemindo po lo vetoe MN(- ) MP(- ) po el punto M. Su euión e: 6 ) Vemo pimeo l euione pméti de l et que p po A B: 6 () ( ) L poiión de et et on epeto l plno del ptdo nteio dependeá del vlo del pámeto. P ve lo ditinto o que pueden peente utituimo () en el plno 6( ) 6 [ ( ) ] 9 ( ) () E e un euión de pime gdo en l que l inógnit e puede tene oluión úni (en uo o l et el plno e otn en un punto) o no tene oluión (en uo o on plelo). Nun puede tene infinit oluione poque el témino independiente e 9 ditinto de eo po eo l et el plno no on inidente p ningún vlo de.. Po tnto: on plelo. e otn en un punto. ) P l euión () e í: 9 9. Llevndo ete vlo () otenemo l oodend del punto Q en el que p el o e otn : Q ( 6)

21 . JUNIO 8 t Sen l et : : t k t ) Etudi i p lgún vlo de k l et on plel. ) Etudi i p lgún vlo de k l et on pependiule. ) Hll l ditni del punto A ( ) l et. k Eiimo l et en pméti: 5 k El veto dieto de e u v (k - k ) el de e v (- ). k k ) on plel k ) u v u v k 9k k k ) L et viene detemind po el punto P( ) el veto v (- ) AP v del punto A( ) l et plimo l fómul: d( A ) ; v. P hll l ditni AP ( -). i j k AP v i j k AP v 6 Po oniguiente: d( A ) v 9 8 u.. SEPTIEMBRE 8 Se denot po l et e l et que p po A ( ) B( ). ) Etudi i l et e otn i e otn hll el punto de inteeión. ) Hll l euión del plno que ontiene e plelo. ) Hll el punto de que equidit de A B. / Eimo en fom ontinu: () p po el punto M ( /) tiene omo veto dieto u ( ) L et p po el punto A ( ) tiene omo veto dieto v AB ( ) Su euión en pméti e omo igue: t t ()

22 ) P ve l poiión eltiv de etudimo el ngo del item de vetoe { u v AM } AM ( -/). / Rng { u v AM } on oplni Peo omo lo vetoe u v no on popoionle l et no on plel en oneueni e otn en un punto l que llmemo P. P hll l oodend de ee punto eolvemo el item detemindo po l euione t t / () (). Sutituendo () en (): t t / Llevndo ete vlo de t () otenemo l oodend del punto de ote P ( /). ) Como l et on oplni no etán pidiendo l euión del plno que l ontiene. Ee plno etá detemindo po lo do vetoe de l et un punto el que quemo de un de / ell: ) Eiimo en pméti: / El punto Q que umo po et en l et tendá et oodend: Q ( / ) () Imponiendo l ondiión de equiditni otenemo l euione que no pemitián hll. d( Q A) d( Q B) ( ) ( ) (/ ) ( ) ( ) / / Elevndo l uddo hiendo opeione: / / 6 Y llevndo ee vlo () tenemo l oodend del punto medio que no piden: Q ( / ) (/ ). JUNIO 9 Se l et 6 7 P el punto de oodend ( ). ) Hll l euión del plno que p po P e pependiul. ) Hll el punto de má póimo P l ditni de P. ) El veto dieto de l et e u ( ). Como el plno que umo e pependiul Su veto oido (pependiul) e el veto dieto de. Se tt po tnto del plno: D P hll D imponemo que el plno pe po el punto P ( ): D D ) El punto Q de má póimo P e el pie de l pependiul P td dede P. Ee punto e hll otndo el plno on l et Q.

23 A C D B Q P Q Eiimo en pméti: t t t 7 6 utituimo en l euión del plno : - t t -8 t 7 t 6 Llevmo el vlo de t l euione pméti de otenemo el punto que no piden: 6) 6 (5 Q L ditni del punto P l et e l ditni de P Q. ) (6 ) (6 ) (5 ) ( ) ( Q P d P d u 5. SEPTIEMBRE 9 Se oniden lo punto A ( - ) B (- ). ) Hll lo punto C D que dividen el egmento AB en te pte de igul longitud. ) Hll el plno epeto l ul lo punto A B on imétio. ) Sen ) ( ) ( d d d D C lo punto que dividen l egmento AB en te pte igule. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( AC AB C ( ) 5 ) ( d d d d d d d d d CD AB 5 D ) Del plno que no piden emo do o: que u veto oido (pependiul) e B A (- ) que p po M ( ) punto medio del egmento AB. D. Como h de p po M: D D El plno udo e: O ien : 6. JUNIO. Ddo el punto P(- ) l et lul: ) L euión del plno pependiul pndo po P. ) El punto de inteeión ente. ) L ditni del punto P l et. ) El veto oido l plno e el dieto de l et po tnto: A B M

24 D. Como dee p po el punto P - D D -. El plno que no piden e ) P enont el punto en el que e otn eiimo l et en pméti: utituimo en el plno: Se otn en el punto Q( ) ) d( P ) d( P Q) ( ) ( ) ( ) 8 8 u 7. JUNIO. Ddo el punto A( ) el plno hll: ) L et pependiul l plno que p po A. ) El punto de inteeión ente. ) El imétio de A epeto de. ) El veto dieto de e el veto oido (pependiul). Po tnto: ) P hll el punto en el que e otn utituimo l euione de l et en el plno hllmo. Se otn en el punto P( ) ) Llmemo B( ) l imétio del punto A epeto l plno. El punto P hlldo en el ptdo nteio e el punto medio del egmento AB po tnto: ; ; ; El imétio que no piden e el punto B( - ) P A B 8. JUNIO. Se oniden l et que p po lo punto P( ) Q( - ) el plno que ontiene lo punto A( ) B( - ) C( ). Clul: ) L euione implíit de. ) L poiión eltiv de. ) L et p po el punto P( ) tiene omo veto dieto u( - ). Aí podemo eiil en fom pméti: Y í en fom implíit (omo ote de do plno uno plelo l plno YZ oto plelo l XY: L euión implíit del plno eá: 7

25 5 ) P ve l poiión eltiv del l et el plno t utitui l euione de l et en el plno p de uent de que e otn en el punto 7 8 M 9. JUNIO. Dd l et ) Detemin u poiión eltiv. ) Otén i e poile un plno plelo que onteng. ) L et p po el punto A( ) tiene omo veto dieto u( ). L et p po el punto B(- ) tiene omo veto dieto v( ). P deidi oe l poiión eltiv de nliemo en ngo de lo vetoe u v AB. ) ( Rng v AB u Rng e un. ) El plno que no piden p po el punto A ontiene lo vetoe u v. po tnto: 5. SEPTIEMBRE. Se el punto A( - ) l et Hll l euión del plno que p po el punto A ontiene l et. Tommo el h de plno que pn po : ) ( De ente todo eo plno eleionmo el que pe po el punto A: ( ) ( El plno que umo e ( ) ) ( ) ( 7. SEPTIEMBRE. En el epio e oniden l et : p po el punto P( ) tiene omo veto dieto v( - ) p po lo punto A( ) B( ). ) Otén l euione de. ) Detemin l poiión eltiv de. ) β β β tiene omo veto dieto AB( - ) Oev que lo pámeto ( β ) hn de e difeente poque tomn vloe independientemente.

26 ) Lo vetoe dietoe de l do et on igule luego on plel o oinidente. Como el veto AP(- - -) no e popoionl lo nteioe on plel.. SEPTIEMBRE. Se oniden el plno que p po lo punto A( ) B( ) C( -) el plno que p po lo punto P( ) Q( 6 ) R( ). Clul: ) L euione genele o implíit (o tein) de lo plno. ) L poiión eltiv de. ) L ditni ente. ) vendá detemindo po el punto A( ) lo vetoe AB (- ) AC(- -) vendá detemindo po el punto P( ) lo vetoe PQ (- 6 ) PR(- -) 6 6 ) P e uál e l poiión eltiv de vemo i u oefiiente on o no popoionle: on plelo 6 ) Como on plelo p ve qué ditni e enuentn t tom un A punto de uno de ello hll l ditni dede ee punto l oto plno. 6 d ( ) d( A ) u. ( ) P A v B. SEPTIEMBRE. Ddo lo punto A( ) B( ) C( -). ) Otén l euione de l et que p po B C. ) Hll l euión del plno que p po A e pependiul. ) Enuent l oodend del punto de ote ente. d) Hll el punto imétio de A epeto de. ) L et vendá detemind po el punto C( -) el veto BC( - -). ) El veto oido l plno e el veto dieto de e dei BC( - -). Po tnto: D Peo omo ee plno dee p po el punto A( ): D D C ) P ve en qué punto Q e otn utituimo lo vloe de l et en el plno otenemo: ( ) ( ) 5 Q 5 A Sutituendo ee vlo del pámeto en enontmo l oodend B 6 A

27 del punto de ote que no piden: Q( /5 /5) d) El imétio de A epeto de eá el punto A tl que Q (pie de l pependiul td dede A e el punto medio del egmento AA. Como A( ) Q( /5 /5) upongmo que l oodend de A on: A ( ). 8 ; ; El imétio que umo e: 8 A ' JUNIO. Se onide l et ) Detemin el plno que ontiene p po el oigen de oodend. ) Hll l euión de l et pependiul que p po el punto ( ) ) Tommo el h de plno inidente on : 5 ( ) 5 Seleionmo el que p po el oigen: 5 5 El plno que no piden e: 5 ( ) 5 ) Llmemo l et que umo. Como dee e pependiul l plno nteio u veto dieto eá u ( 5) que e el veto oido l plno. Y omo dee p po el punto ( ) u euión e: 5 5. JUNIO. Se oniden l et el plno 5 5 ) Hll u poiión eltiv. ) En o de ote hll el punto de ote. ) Eiimo l et en pméti: Y utituimo en l euión del plno: 5 ( ) Otenemo l euión de pime gdo on un inógnit: que tiene un oluión. Po tnto l et el plno e otn en un punto. ) Llevndo ee vlo de l euión de l et otenemo el punto de ote: (- 5 ) 6. JUNIO..- Se el punto P (- ) el plno. Clul: ) L euión de un et que pe po el punto P ote l plno ) L ditni del punto P l plno. 7

28 8 )Tommo un punto ulquie del plno po ejemplo A ( ). L et que p po A P e un oluión. ) ( P A po tnto: ). ) ( u P d 7. JUNIO. Se oniden lo punto del epio A( - ) B( ). ) Hll l euione implíit de l et que p po A B. ) D l euión de un plno pependiul pndo po A. ) El veto dieto de l et que no piden e ) B( A po tnto et on u euione: 7 ) Todo lo plno pependiule tienen omo veto oido (pependiul) ) B( A po tnto u euione on: D. De ente todo eo plno deemo eleion el que p po el punto A( - ) : ) ( D D. En oneueni el plno que umo e: 8. JULIO. Hll un euión del plno que p po el punto P( ) e plelo l et t t t El plno que no piden vendá detemindo po el punto P lo vetoe dietoe de l do et. Lo vetoe dietoe de on: k j i k j i v u ) ( Po tnto: 9. JULIO. Hll l poiión eltiv de l et L et p po el punto A ( - ) tiene omo veto dieto u ( ). L et p po el punto B ( - ) tiene omo veto dieto v ( -). Dede luego que no on plel ni oinidente poque u vetoe dietoe no on popoionle. P onoe etmente u poiión eltiv deemo etudi el ngo del item de vetoe ) ( B A v u. Como ) ( B A v

29 9 ) ( Rng AB v u Rng pueto que Po tnto l et on oplni omo no pueden e plel e otn en un punto. 5. JULIO. Hll p que l et en plel L et p po el punto A( ) tiene omo veto dieto u ( ) Si eolviendo el item que detemin l et podemo eiil en pméti: ) ( Lo que no indi que p po el punto B( ) tiene omo veto dieto v ( - ). P que l et en plel u vetoe dietoe hn de e popoionle po tnto: 5. JULIO.. Se oniden l et t t m t ) Clul m p que l et e oten en un punto ) P ee vlo de m hll el punto de ote. ) L et p po el punto A( - -) tiene omo veto dieto u ( ) L et que p po el punto B( m -) tiene omo veto dieto v ( ). Como u vetoe dietoe no on popoionle podemo et eguo de que l et ni on plel ni oinidente. Si queemo que e oten en un punto deen e oplni po tnto: ) ( AB v u Rng. Como ) ( m B A v 6 8 ) ( m m m AB v u Rng ) P m - e ovio que el punto P ( - -) etá en l do et í que ee e el punto en el que e otn. 5. JUNIO Enuent l euión del plno que p po el oigen de oodend e plelo l plno detemindo po el punto P( - ) l et que p po el punto Q( ) tiene veto dieto v ( )

30 Llmemo l plno que no piden l et que p po el punto Q( ) tiene omo veto dieto v( ) ' l plno detemindo po el punto P( - ) l et. ' eá el plno que deteminn el punto P( - ) lo vetoe v( ) PQ( ) Po tnto: ' ' 5 6 e un plno plelo l nteio po tnto petenee l fmili de plno plelo de euión 5 D. Como tiene que p po el oigen dee umplie que: D D El plno que no piden e 5 5. JUNIO Se oniden l et lo plno iguiente t 5 5t t ) Detemin l poiión eltiv de l et epeto d uno de lo plno. ) Detemin l poiión eltiv de lo do plno. ) Clul l ditni de l plno ) Sutituimo l euione de l et en d uno de lo plno diutimo l euión de pime gdo on un inógnit que eult. E euión puede tene un oluión ningun o infinit eo no indiá que l et d uno de lo plno o ien e otn en un punto o on plelo o inidente. : t ( 5 5t) ( t) t 9 e otn en un punto poque e euión tiene un oluión. : t ( 5 5t) ( t) t no e otn en ningún punto e dei on plelo pueto que e euión no tiene oluión. ) P nli l poiión eltiv de lo do plno vemo i u oefiiente on popoionle. e otn lo lgo de un et. ) Como dijimo en el pime ptdo l et el plno on plelo. P lul l ditni ente ello tommo un punto ulquie de l et hllmo u ditni l plno. Po omodidd tommo el punto P ( -5 -) que pee en l euión. ( 5) ( ) d( ) d( P ) 5 u. 5. JUNIO ) Otén l poiión eltiv de lo plno que p po lo punto A( ) B( ) C( -) que p po A '() B'(6) C'( ) ) Bu l mínim ditni ente lo plno nteioe ) e el plno que p po el punto A( ) ontiene lo vetoe AB(- ) AC(- -)

31 Po tnto e el plno que p po el punto A ( ) ontiene lo vetoe A B (- 6 ) A C (- -). Po tnto: P onoe l poiión eltiv de eo do plno nlimo l popoionlidd de u oefiiente: Lo plno on plelo ) Como on plelo p hll l ditni que lo ep t tom un punto ulquie del pimeo po ejemplo A( ) hll l ditni dede ete punto l egundo plno: 6 d ( ) d( A ) u. 55. JUNIO ) Hll l poiión eltiv de l et el plno 5 ) En o de ote hll el punto de ote. ) Eiimo l et en pméti. Sutituimo en l euión del plno oevmo i l euión de pime gdo que eult tiene un oluión ningun o infinit: ( ) ( ) ( ) L et el plno e otn en un punto pueto que l euión eultnte tiene oluión úni. ) El punto de ote e otiene utituendo el vlo de hlldo en el ptdo nteio en l 9 8 euione pméti de l et: L et el plno e otn en el punto P (8 9 59) 56. JULIO Conide lo plno ) Etudi l poiión eltiv de ) Enuent i e poile un et plel que pe po el punto ( -) ) El veto oido e w ( ) el oido e w ( ). Como eo do vetoe no on popoionle no llevn l mim dieión po tnto lo plno no on plelo ni oinidente í que e otn lo lgo de un et. ) L et que no piden vendá dd omo el ote de do plno que eán plelo lo do plno nteioe peo pndo po el punto ( -). Plno plelo pndo po ( -) :

32 Plno plelo pndo po ( -) : L et que no piden eá: OTRA FORMA DE HACERLO El veto dieto v de l et que pide el ejeiio eá pependiul w w. Po tnto: i j k v w w i j v ( ) Como l et dee p po el punto ( -) u euione pméti on: 57. JULIO ) Detemin el vlo de k p que lo punto A( ) B( - ) C( ) D( k) e enuenten en el mimo plno. ) Hll l ditni del oigen de oodend l plno detemindo po lo punto A B C. ) P que A B C D etén en el mimo plno el ngo de lo vetoe AB AC AD dee e do. Como AB ( ) AC( ) AD(. k ) Rng( AB AC AD) 6k k k ) El plno detemindo po lo punto A B C e el plno que ontiene l punto A lo vetoe AB AC: 5 5 Y l ditni de O( ) l plno nteio eá: d ( O ) 5 ( ) u JULIO Ddo el punto O( ) u un punto O del epio tl que l et que p po O O e pependiul l plno de euión l ditni de O de O oinidn. No peguntn po el punto O' imétio de O on epeto l plno p enontlo poedemo de ete modo: Hllmo l euión de l et pependiul pndo po O. El veto dieto de e et e el pependiul e dei u ( ) Po tnto O() M O'() Clulmo l oodend del punto M en el que ot. P ello eolvemo el item detemindo

33 po u euione: M ( ) M e el punto medio del egmento OO'. Bumo l oodend ( ) de O'. ; ;. Po tnto O '( ) 59. JULIO Se oniden lo punto en el epio: A() B() C(). ) Hll l euión genel o implíit del plno que ontiene eo punto. ) Clul l euión de l et pependiul que p po el oigen de oodend enuent el punto de inteeión de l et el plno. ) El plno vendá detemindo po el punto A lo vetoe AB(- ) AC(- ) Se tt del plno oodendo XY que puede ve en l figu. ) Ete ptdo e tnte ovio. L et que no piden e el eje OZ e dei: Y el punto de inteeión de e el oigen de oodend O( ) X O Z Y 6. JUNIO. Hll lo plno que pndo po A( ) B( ) oten l eje OX en el punto C tl que el áe del tiángulo de vétie A B C e 6 u. El punto C po et en el eje OX tendá oodend ( ). Se tt de hll p que el tiángulo ABC teng un áe de 6 u. Áe de ABC AB AC i j k AB ( ) AC ( ) AB AC i j k AB AC () () 8 6 Po tnto: AB AC ± Lo punto que uámo on: P ( ) Q (- ). Po tnto lo plno que no piden on: : Plno que p po lo punto A B C : Plno que p po lo punto A B C'

34 6. JUNIO. Se onide el plno l et ) Hll l poiión eltiv de l et el plno. ) Enuent un et pependiul mo. ) Bu l mínim ditni ente l et el plno ddo. ) Eiimo l et en pméti: t utituimo en el plno t Oteniendo l euión de pime gdo: t t que omo vemo tiene infimit oluione. En oneueni l et el plno on inidente ) Un et pependiul mo pá po un punto ulquie de po ejemplo el ( ) tendá omo veto dieto el veto oido (pependiul) e dei w( -). Po tnto u euión eá: ) L mínim ditni ente l et el plno que no dn e ovimente eo. 6. JUNIO. Se el punto P(- ) el plno 8. Clul: ) L euione de un et que pe po el punto P e pependiul l plno. ) L ditni d del punto P l plno. ) L euión de oto plno plelo ditinto de él que dite de P l mim ditni d. ) El veto dieto de l et que no piden e el oido l plno: w ( ) Po tnto l et e : ) L ditni del punto P(- ) l plno 8 eá: ( ) 8 6 d ( P ) u. ( ) ) Todo lo plno plelo tienen omo euión ' D. 6 Vemo uánto dee vle D p que d ( P ) u. 6 6 D 6 d( P ) u. 8 D El plno que no piden e ' El oto 8 lo onoímo. 8 D 6 D 6 8 D 6 D 8 6. JUNIO. Se oniden lo punto del epio A( - ) B( ) ) Hll el punto medio de A B. ) Enuent l euión del plno epeto l ul on imétio A B ) El punto medio M del egmento AB eá: M A M B

35 5 ) El veto oido (pependiul) del plno que no piden e ( ) AB po tnto u euión eá: D P hll D olo tenemo que he que el plno pe po el punto M: 9 D D Po tnto: 9 6. JULIO L oodend de lo punto medio de lo ldo de un tiángulo ABC on: M( ) N( ) P( ). ) Hll l oodend de lo vétie A B C. ) Hll el áe del tiángulo. ) Lo vétie del tiángulo on: ) ( ) ( ) ( C B A M punto medio de AB () P punto medio de AC () N punto medio de BC Po tnto el vétie A tiene oodend ( - ). Y llevndo ete eultdo () () otenemo l oodend de lo oto do vétie: B( -) C(- ) ) El áe del tiángulo e omo emo: C A B A 8 ; ) ( ) ( AC AB k j i k j i AC AB AC AB Po tnto El áe del tiángulo e: u AC AB B A C P N M

36 6 65. JULIO Hll l euión del plno que p po el punto A ( ) e plelo l et El plno vendá detemindo po el punto A lo vetoe dietoe de l et. Hllemo en pime lug lo vetoe u v dietoe de e do et: ) ( ) ( v u El plno que no piden e: JULIO Se l et que p po lo punto A( ) B( ). Conide l et ) Eie l euione tein de l et. ) Detemin l poiión eltiv de. ) Hll l ditni de. ) L et p po el punto A ( ) tiene omo veto dieto AB ( ) Su euione pméti on: Y i queemo d l et omo el ote de do plno u euione tein on: ) L et omo puede ve en l figu on plel pueto que tienen el mimo veto dieto: ) ( i. L do llevn l dieión del eje OX. ) P hll l ditni ente ell tommo un punto ulquie de po ejemplo el C ( ) hllmo l ditni de ee punto l et. AB AB CB C d d v ) ( ) ( 5 AB CB k j k j i AB CB v v. 5 5 ) ( ) ( u AB AB CB C d d v

37 67. JULIO Conide un movimiento en el epio tl que d punto de oodend ( ) lo mueve l punto de oodend ( ) ) Enuent el onjunto de punto que e mueven l oigen de oodend. ) Hll l euión tein del plno que deteminn lo punto del ptdo ) el ( ). ) Clul l ditni del oigen de oodend l plno. ) Lo punto que no piden tienen oodend ( ) deen umpli l iguiente ondiión: ( ) ( ) L oluione omo vemo on lo infinito punto de l et que viene dd en pméti. E un et que p po el oigen O ( ) tiene omo veto dieto u ( ) ) El plno vendá detemindo po l et el punto A ( ). O diho de ot mne: po el punto O( ) lo vetoe u ( ) OA( ) : ) Pueto que el oigen de oodend e inidente on el plno l ditni ente lo do e ovimente CERO. 7