Belén Martínez Pérez. Profesora de Enseñanza Secundaria. I.E.S. Bajo Cinca, Fraga.

Transcripción

1 NUEVS GEOMETRÍS elén Mtínez Péez. Pofeso de Enseñnz Seundi. I.E.S. jo in, Fg. 1.- usndo l geometí. Entones el pinipito señló on gvedd: - No impot, es tn pequeñ mi s! Y gegó, quizás, on un poo de melnolí: -Deeho, mino delnte no se puede i muy lejos De est mne supe un segund os muy impotnte: su plnet de oigen e pens más gnde que un s Exupéy) Esto no podí somme muho. Sí muy ien que pte de los gndes plnets omo l Tie, Júpite, Mte, Venus, los ules se les h ddo nome, existen otos entenes de ellos tn pequeños vees, que es difíil distinguilos un on l yud del telesopio. (el pinipito, ntoine De Sint Viendo l seie Futum, que omo es sido emple muhos guiños mtemátios, enontmos est singul imgen. qué se efiee?. Si se tt de l mism gsoline, es posile?. L instntáne está tomd en Meuio, plnet on un dio de440km, es dei, uns 151 mills. Hiendo un pequeño álulo, mills de eudo. Es dei, l gsoline más en está situd extmente en el punto dimetlmente opuesto l señl. Supongmos ho que nuesto plnet fue muho más pequeño, si tnto omo el plnet del Pinipito, unos 3 ó 4 metos de dio. Seímos pes de onstui un etángulo del tmño de un nh de lonesto?. Podemos empez situándonos en el eudo y llí tz un líne todo lo et que podmos, (muy et no sldá poque osevmos que enseguid empezí uvse). ho, p l onstuión de ls nds, neesitmos dos línes pependiules l eudo 1

2 Y nos lo estámos imginndo ls ets se otn!. ms son pependiules l eudo y sin emgo no plels. Seá que no estmos tzndo ien ls ets? Seá que no hemos medido los ángulos de fom deud? Neesitmos un geometí espeífi p este pequeño mundo Mensje Tie. Semos que en l Tie hn existido gndes geómets de l tll de Eulides quien dedió gn pte de su vid l eloión de un geometí onsistente. Podá Eulides esolve nuesto polem?. Nuests uestiones son envids y ápidmente eiimos ví stélite ls espuests: No negmos l onsisteni de l geometí de Eulides peo es neesio tene en uent que los esultdos de est se sn en 5 xioms que dunte muhos ños se supusieon ietos. Los vnes en divess ms de ls Mtemátis y de l stofísi hn edo l neesidd de nuevs geometís elods po gndes mentes omo l de Riemnn, Lohevsky y olyi. Poponemos que sen ustedes mismos los que nlien que geometí deen pli en su pequeño plnet. P ello envimos un seie de dieties: L geometís que poponemos son: Geometí eulíde: los ángulos inteioes de un tiángulo sumn extmente º Geometí hipeóli: los ángulos inteioes de un tiángulo sumn menos de º Geometí elípti: los ángulos inteioes de un tiángulo sumn más de º P lleg onlui ul de ells se just sus neesiddes deeán demost utilizndo ls hemients y sees mtemátios que poseen un de ests tes ondiiones. He flt que se iet p todos los tiángulos. Seá neesio que tengn lo el onepto et, en ulquie geometí l et es el mino más oto que une dos puntos. on estos dtos, onfimos otengn un demostión file.

3 .- Nos ponemos en mh..1.- Geodésis. Lo pimeo que tenemos que nliz es si lo que hemos onsidedo un et elmente lo es, es dei si los eudoes son los minos más otos ente dos puntos. Neesimente este eudo es el mino más oto ente P y Q puesto que es l líne menos uvd que se puede tz en l esfe. Un iunfeeni máxim qued detemind po dos puntos que no sen dimetlmente opuestos P, Q junto on el punto O, ento de l esfe, sin más que he l inteseión ente el plno que deteminn los tes puntos y l esfe. P O Q Y tememos ls ets en nuest nuev geometí, ls iunfeenis máxims les llmemos geodésis. Ejeiio 1.- Dd un et en el plno euídeo, si situmos dos puntos soe ell, ómo qued dividid ést?. Qué ps si hemos lo mismo soe un geodési?. Ejeiio.- En l geometí de Eulides existe un únio mino mínimo ente dos puntos. Es esto siempe ieto en l geometí de l esfe?. Ejeiio 3.- Sís demost el teoem que sigue? Teoem: Dos iunfeenis máxims se otn en dos puntos dimetlmente opuestos (ntipodles). Pist: Tom los plnos que ontienen ls iunfeenis máxims y pens en su inteseión. on l demostión de este teoem podemos onlui el pime gn esultdo de nuest geometí: DOS RETS ULESQUIER TIENEN DOS PUNTOS EN OMÚN. Es dei, NO EXISTE PRLELISMO. Ejeiio 4.- Indi ls posiiones eltivs que pueden tene dos ets en el plno y en l esfe. Ejeiio 5.- Dds tes geodésis. de unts mnes puede qued dividid l esfe?. ompálo on el so de tes ets en el plno. uántos véties se deteminn en mos sos?. 3

4 Ejeiio 6 unts más ets/geodésis tes en ulquie de ls dos geometís, más egiones podás detemin. sís dei el númeo máximo de ells? Nº de línes N Plno Esfe..- Plno tngente: ángulos en l supefiie esféi. Ddo un punto ulquie de un supefiie esféi existe un únio plno tngente l esfe en ese punto. Este plno seá pependiul l dio de l esfe en diho punto. Si tenemos dos geodésis, el ángulo que fomn ms seá igul l ángulo fomdo po ls ets tngentes ls línes en el punto de inideni. Dihs ets nen de l inteseión del plno tngente en el punto on el plno que detemin d un de ls geodésis.3.- Tiángulos esféios. Un tiángulo esféio es un poión de supefiie esféi limitd po tes iunfeenis máxims. ho ien, tes ets soe un supefiie esféi deteminn 8 tiángulos esféios. Seá peiso detemin de qué tiángulo estmos hlndo. Si unimos el ento de l esfe on los véties del tiángulo, otenemos un tiedo que se oesponde unívomente on el tiángulo esféio. demás est oespondeni onsev los ángulos de l mne que se detll en l figu djunt. Po lo tnto, estudi ángulos de tiángulos esféios, equivle estudi los ángulos del tiedo oespondiente. Ejeiio 7.- lul ángulos de tiángulos esféios ) PN 0º,45º E 0º,45º W ) PN 0º,60º E 0º,60º W ) PS 0º,30º E 0º,30º W d) 45º N,0º 0º,90º E 0º,90º W e) 60º N,0º 0º,90º W 60º S,0º 4

5 .4.- Ángulos del tiángulo esféio. Teoem pevio: En un tiángulo esféio, l sum de l medid de los ldos es siempe meno que Demostión: Polongmos los ldos y hst l ntípod de ; omo es geodési, se veifi: ' ' ' ' ' ' R..q.d. Teoem: En un tiángulo esféio, los ángulos inteioes sumn más de º. Demostión: Lo pimeo que hemos seá onstui el tiedo suplementio: P ello neesitmos los tes dios de l esfe pependiules los tes plnos del tiedo de nuesto tiángulo esféio. Not:P tene un ide intuitiv del tiedo suplementio, podemos pens en el diedo suplementio. Osev que es evidente que los ángulos y sumn º. 5

6 6 Volviendo l tiedo suplementio: Los os de iunfeeni, y tendán uns longitudes de:. ; ; y los segmentos que deteminn, y :. ; ; Po lo tnto: Del mismo modo: ; Tomndo ls tes identiddes otenids y sumándols, otenemos: 3 omo Sustituyendo: q.d. Ejeiio 8.- Seá ieto el Teoem de Pitágos en Geometí esféi?..5.- Huso esféio. Denominmos Huso esféio ulquie poión de l supefiie esféi delimitd po dos geodésis. Ejeiio 9.- Siendo que el áe de l supefiie esféi es 4. uál seá el áe de un huso esféio de ángulo?.

7 .6.- Áe del tiángulo esféio. ómo lul el áe de un tiángulo esféio. ' ' 4 4 ' 4 ' ' 4 omo, (po se opuestos po el vétie) tenemos: Po tnto: 1 1 Ejeiio 10.- Supone que tenemos un tiángulo en l esfe on ángulos, y, podemos enont un tiángulo más gnde on los mismos ángulos?. Ejeiio 11.- Si de l fómul del áe del tiángulo esféio despejmos l sum de los ángulos, otenemos l siguiente fómul:. Siendo que el dio de l Tie es de 6350km. pti de que áe l sum de los ángulos supe en un gdo l sum eulíde (º)?. lul el áe de l Tie y ompál on el esultdo otenido. Podemos eliz los mismos álulos p l Lun (uyo dio es de 1736km) y p el plnet del pinipito (uyo dio podímos estim en 3m). Ejeiio 1.- Si onoiémos el áe de un polígono esféio. Podímos lul l sum de sus ángulos?. (Pens en el so de un polígono de 4 ldos) 7

8 UDRO OMPRTIVO Geometí Eulíde Un líne et es el mino más oto ente dos puntos Ls ets son infinits. L distni ente dos puntos no tiene ot supeio Existe un úni et que une dos puntos Existen línes que no tienen puntos en omún (plels) Dos ets no plels poseen un únio punto en omún Dos ets pependiules genen 4 ángulos etos Dos ets que se otn no tienen pependiul omún El polígono más senillo que se puede gene on ets se llm tiángulo Tes ets on un inteseión omún genen seis egiones infinits Si tes ets son sentes dos dos sin inteseión omún deteminn 7 egioines, seis infinits y un finit, tiángulo Si dos ets son plels y un es sente quedn deteminds seis egiones infinits Un tiángulo tiene, omo muho un ángulo eto Geometí esféi L geodési es el mino más oto ente dos puntos Un geodési tiene longitud finit π. L distni máxim que pueden tene dos puntos es π L geodési seá úni siempe y undo los dos puntos no sen ntipodles, en uyo so há infinits No existe plelismo Dos geodésis siempe tienen dos puntos ntipodles en omún Dos geodésis pependiules genen 8 ángulos etos Dos geodésis tienen pependiul omún El polígono más senillo que puede genese on geodésis es el huso esféio Tes geodésis on un punto en omún deteminn seis husos esféios (finitos) Tes iunfeenis máxims sin inteseión omún deteminn 8 tiángulos esféios. IMPOSILE! Un tiángulo esféio puede tene 0, 1, y hst 3 ángulos etos 8

9 3.- Geometí hipeóli. sí omo l geometí elípti ehz l existeni de plels, l geometí hipeóli ehz l uniidd de l plel un et psndo po un punto exteio ell. omo hímos omentdo, en est nuev geometí l sum de ls medids de los ángulos de un tiángulo es meno que º. Est geometí es l que se ven oligdos pli los hitntes de un pseudoesfe Puede pee sudo puesto que Quién puede vivi en un pseudoesfe?. Nosotos mismos, l teoí de l eltividd de Einstein, segu que el espio donde vivimos está uvdo de tl mne que es l geometí hipeóli l que deemos pli en él. modo de ejemplo: Newton entendí l gvitión omo un ión de fuezs. Dos mss (imginemos dos esfes) ejeen ente sí un fuez que se "mueve" (figutivmente hlndo) lo lgo de l et que ps po sus entos. P Einstein l gvedd se dee un "uvtu" del espio tiempo. P él tod ms poduií un distosión en el espio po el ul nosotos nos "deslizímos". Imginemos un m ien extendid, su supefiie se semej un supefiie eulidin, pln. Si soe es supefiie se poy un ol de plomo, dej de se pln p tnsfomse en "uv". ulquie ojeto que se enuente soe l sán e de l ol se deslizá hi él po efeto de l uvtu. En el so del espio tiempo, L Tie, po ejemplo, uví nuesto espio de mne que undo soltmos un lápiz él se deslizí po "es uvtu" hi el suelo 9