IES:Calderón:de:la:Barca:-:Gijón Departamento:de:dibujo Apuntes:de:dibujo:técnico:1º:bachillerato. primera:parte: dibujo:geométrico

Transcripción

1 IES:ldeón:de:l::-:Gijón eptmento:de:diujo puntes:de:diujo:ténio:1º:hilleto pime:pte: diujo:geométio Mteil:edutivo:fotoopile Ediión uso

2 IES:ldeón:de:l::3:Gijón eptmento:de:diujo puntes:de:diujo:ténio:7º:hilleto pime:pte: diujo:geométio Mteil:edutivo:fotoopile EdiiónlusolhÁGlálhÁH Índie ÁÁÁ Á Lh L, h hl hlh,,l,lh,l,,lí,li í íl ílh íl, ílí I IL ILh G GL GLh H HL HLh HL, HL,L RESl 8L 8Lh 8L, 8Lí 8LI 8LG 8LH 9L 9Lh 9L, 9Lí 9LI 9LG 9LH ÁL ÁLh ÁLhL ÁLhLh ÁL, ÁL,L ÁL,Lh ÁLí ÁLíL ÁLíLh ÁLI UsoldelllesudlylelltónL efiniioneslylonvenionlismosl TzdoslfundmentleslonlegllylompásL TzdoslfundmentlesLlLugeslgeométiosL TzdoslfundmentlesLlLugeslgeométiosL opoionliddl opoionliddl peioneslonlsegmentosl ÁngulosL onstuionesldelánguloslonlegllylompásl onstuionesldelánguloslonlesudlyltónl ÁngulosLlopieddeslylplelismoL olpzl olpzllolemldelothenotl TiángulosL TiángulospllíneslylpuntoslnotlesL TiángulospllíneslylpuntoslnotlesL TiángulosLlonstuioneslsenillsL TiángulosLlonstuioneslsenillslhL udiláteosl udiláteosllonstuionesl udiláteosllonstuioneslhl olígonoslegulesl olígonoslegulesllonstuiónlddllliunfeenil olígonoslegulesllonstuiónlddolellldol TnsfomioneslgeométisL TnsfomioneslgeométisLlIgulddlyltsliónL TnsfomioneslgeométisLlGiolylsimetíL TnsfomioneslgeométisLlHomoteiL TnsfomioneslgeométisLlHomoteilhL TngenislylenleslL TngenislylenleslhL Tngenislylenlesl,L TngenislylenleslíL TngenislylenleslIL TngenislylenleslGL TngenislylenleslHL uvslténisl uvslténislhl uvslténisl,l uvslténislíl uvslténislil uvslténislgl uvslténislhl uvslónisl uvslónisllelipsel uvslónisllelipselhl uvslónisllelipselltzdol uvslónisllhipéoll uvslónisllhipéollhl uvslónisllhipéollltzdol uvslónislláoll uvslónislláollhl uvslónislláollltzdol uvslónisllpliionesl Tzdos fundmentles opoionlidd Ángulos Tiángulos udiláteos olígonos egules Tnsfomiones geométis Tngenis: y:enles uvs:ténis uvs:ónis

3 IES0ldeón0de0l00-0Gijón pto.0de0diujo puntes0de0diujo0ténio01º0hilleto 000 Uso de l esud y el tón Sujet0ls0plntills0on0los0dedos0sepdos0sin0he0demsid0pesión tón Sostenemos0el0tón0 y0otmos090º0l0esud Esud lels hoizontles y línes 45º ependiul lels vetiles y línes 45º iuj on esud y tón upliión0del0uddo según0ltón

4 IESpldeónpdeplppMpGijón ptoypdepdiujo puntespdepdiujopténiop1ºphilleto 0 EINIINESpYpNVENINLISMS efiniiones unto Línepet Línepuv Semiet Segmento lno Ángulo Signospypsímolospgeométios

5 (ÁMeditizdeunsegmentoÁ IESldeóndelGijón ptoádediujo =puntesdediujoténio(ºhilleto TR=Z=SUN=MENT=LES=LGUN=SNSTRUINESNREGL=YMÁS )ÁependiulunsemietensuoigenÁ imepoedimientoá ááependiulunsemietensuoigená Segundopoedimientosdoenopzde25ºU MásdelnteestudiemosopzU 0ÁependiulunetpounpuntoexteioÁ xálelunetundistnidd 9ÁependiulunetpounpuntodeellÁ ( Lsonstuionesoneglyompásfomnpte delsedelgeometílásigiegáomlmente sdsenlostespimeospostuldosdeeulidesá LeglnotienemsogduiónYseutilizsólo ptzlínesetsá Eningléstienenuntéminoespeífiopeste instumentoystightedgeá EnlpátiYptzplelsypependiulesY usemosesudytóná = = ( 9 = ( 9 0 ) = ( 9 0 = ( 9 3ÁlelunetpounpuntoÁ =plimosonseutivmentelovistoen0y9 Tzmosunpependiullet ysoeellllevmosldistniddá =plimoslospoedimientos vistosenestpáginá Elsímolo signifi ánguloeto,25ºu

6 IESldeóndelÉGijón ptoádediujo puntesdediujoténioyºhilleto yá5 TRZSUNMENTLESÉLUGRESGEMÉTRISÁSIS Lug geométio es el onjunto que omponen todos los puntos que poseen ls misms popieddes geométis, es dei, que umplen detemind ondiión (o ondiiones) El onepto de lug geométio es muy útil p esolve polems geométios. yáliunfeeniomoluggeométiodelos puntosqueequidistndeunofijollmdoentoá 5ÁHllelluggeométiodelospuntosdelplno quedistndeunpuntoddo 3ÁHllelluggeométiodelosentosdels iunfeenisdedioddoquepsn pounpuntofijo EllugesÁÁÁ HÁLmeditizluggeométiodelospuntosdel plnoqueequidistndedospuntosfijosy ÁLmeditizonsidedomoluggeométio delosentosdelsiunfeenisquepsn podospuntosfijosy 6Áiunfeenisde dioquepsn podospuntosddos

7 IESTldeónTdeTlTTfTGijón ptoqtdetdiujo puntestdetdiujotténiot(ºthilleto (q8 TRZSTUNMENTLESTTfTTLUGRESTGEMÉTRISTÁSIS zqtiunfeenitquetpstpottestpuntost ddost7ttyttlnotlinedosé mqtistnitdetuntpuntottuntet d 9qTdosTdosTpuntosT7TTyTunTetTToteneT untpuntottdetelltquetequidistetdetlostddos (yqtistnitdetuntpuntotttuntiunfeenitq d ((qttztuntiunfeenitquetpsetpotunt puntotddo7ttytequidistetdetotosttesttmién ddos7t7ttyt

8 IESldeóndelUGijón pto3dediujo puntesdediujoténioxºhilleto ' RRINLI Rzón opoión:iguldddezones Selee:es Unoestes x y Selee:esomoesd Unoestesomodosesseis x y = ' 7 x ' TeoemdeThles "Un hz de plels equidistntes inteept dos onuentes según segmentos igules en d un". Extensióndelteoem: "Segmentos ulesquie peteneientes un de ls onuentes, llevdos medinte plels soe l ot, poduen en est últim segmentos popoionles los pimeos". : : :: = ytmién :: :: = :: : ivisióndeunsegmentoen unnúmeoulquiedeptesigules ivisióndeunsegmento enptespopoionlesotsdds x ' y vu : : : x ' y v utopopoionltessegmentosddos"" = x x = x ien: sev que si intemimos los téminos, l popoión no ví. Teeopopoionl'segmentosddos" x x

9 IESldeóndelfGijón ptoádediujo puntesdediujoténioqºhilleto "áq RRINLI Medi popoionl n h á á m H sevlfiguáeltiánguloesetánguloálltuh dividesuhipotenusendossegmentosnvmá demásvlltudivideendostiánguloshyhá Estossontmiénetángulosysemejntesxpoque tienenlosmismosángulosxeuedángulosdeldos espetivmentepependiulestienensusángulosigulesgá Luego n h h = h " =nmá m demástendiendolsemejnzenteyd unodeloshyhvseumple " =ny " =m Teoemdelltu "L ltu de un tiángulo etángulo es medi popoionl ente los segmentos que detemin soe l hipotenus". Teoemdelteto "Un teto es medio popoionl en l hipotenus y l poyeión otogonl de diho teto soe ell". Medipopoionl onstuióndelmedipopoionlx entedossegmentosddosvemplendo l popiedd de l ltu. x " = á Medipopoionl onstuióndelmedipopoionlx entedossegmentosddosvplindo l popiedd del teto. x " = á x x onemosyunoontinuióndeoto ytzmoslsemiiunfeenidediámetoh Supeponemosyytzmosl semiiunfeenidediámeto tenión de l medi popoionl plindo poteni de un punto espeto un iunfeeni á T " ==kxonstnteg x " = á = = x á T Supeponemoslosdtosyytzmos uniunfeenidediámetosudifeeniá LtngenteTeslmedientey Not: veemos tngenis y poteni de un punto on más detlle más delnte.

10 IESldeóndel=Gijón ptovdediujo puntesdediujoténioxºhilleto ERINESNSEGMENTS /v/ Sumdesegmentosf Restdesegmentos= odutolinelgáfiodedossegmentos, ddoelsegmentou=x,unidd Seesuelveutilizndolonstuión delutopopoionl,hiendo =xpquex= ivisiónlinelgáfidedossegmentos, ddoelsegmentou=x,uniddv x = v hohemos=xpquex= tenióndelsegmentoxzddoelsegmento yelunidd,u=x plimoslonstuióndelteeopopoionl x = Hemos=xpquex= x tenióngáfidelízudd Utilizmosmedipopoionlplindolpopiedd delltu,undounodelossegmentosenlosque dividelhipotenuseselsegmentounidd=x u=x u=x u=x u=x f = x x x x x x x x

11 IES3ldeón3de3l33z3Gijón ptoá3de3diujo puntes3de3diujo3ténio3)º3hilleto 3 ÁNGULS Los ángulos son muy impotntes en geometí. omn pte de innumeles onstuiones y pliiones. Ángulo:3poión3del3plno3ompendid ente3dos3semiets3onuentesá ldo onstuiónzdezunzánguloz igulzzoto (tnspotezdezunzángulo) to: ) 2 3 vétie ldo Sumzdezángulos ifeenizdezángulos 3M3 3z3 isetizzdezunzángulo Soe3mos3ldos3se3tomn3puntos3T33equidistntes del3vétie3y3se3hll3oto3punto3m3equidistnte3de3t33 M isetiz isetizzdezunzángulozonzelzvétiezinesile imezpoedimiento: Tzmos3un3sente3y3diujmos3ls3iseties de3los3ángulos3inteioes isetizzdezunzángulozonzelzvétiezinesile Segundozpoedimiento: Tzmos3un3plel33uno3o3dos3ldos p3onsegui3un3ángulo3on3vétie3l3ul3le tzmos3l3isetiz3uxili isetiz3uxili isetiz isetiz M3,punto3medio3de3q

12 IES3ldeón3de3l33-3Gijón pto.3de3diujo puntes3de3diujo3ténio31º3hilleto 3.1 NSTRUINES0E0ÁNGULS Ángulos0sin0yud0del0tnspotdo0utilizndo0sólo0egl0y0ompás onstuión3del3ángulo3eto: Ve3págin313gtzdos3fundmentlesg onstuión0de0un0tiángulo0 equiláteo0ddo0el0ldo onstuión0de0un0ángulo0de062º onstuión0de0un0ángulo0de032º 15º0=0isendo0un0ángulo0de032º 45º0=0isendo0un0ángulo0de092º 75º0=045º04032º 125º0=045º04062º 122º0=062º04062º 135º0=092º0445º 152º0=092º04062º

13 IES3ldeón3de3l33-3Gijón pto.3de3diujo puntes3de3diujo3ténio31º3hilleto 3.2 NSTRUINESEÁNGULS onstuióndeángulosutilizndosóloesudytón 9vº 45º.35º 3vº 6vº.5vº.2vº66v+6vó9v+3v2 75º645+3v2.v5º675+3v2.5º.65º LuggeométiodeTles Se)denomin)sí))ulquie)semiiunfeeni de)diámeto)ddo))uy)popiedd)es)que ulquie)punto))de)ell)es)vétie)de)un ángulo)eto)uyos)ldos)psn)po)los)extemos,))de)diho)diámeto)(el)lug)ompleto es)l)iunfeeni). Es)un)LG)impotnte)que)se)pli)po)ejemplo en)tngenis)y)utens)mónis. Nuevonstuióndeángulosetosm to3poedimiento3p3tz3l3pependiul 3un3et3en3un3punto33de3ell

14 IES3ldeón3de3l33z3Gijón pto.3de3diujo puntes3de3diujo3ténio31º3hilleto 3.3 ÁNGULSººopieddesººlelismo esºdeºángulosºqueºseºfomnºenteº dosºplelsºyºunºsente Losºtesºángulosºinteioesºdeºunºtiánguloºsumnº180º sev(l(iguldd(de(los(ángulos(ltenos(intenos que(se(fomn(l(tz(un(plel((l(se(po(el( vétie(opuesto. plel((l(se G E H = = E E puestos3po3el3vétie = ; = ; E = H ; = G oespondientes:3uno3exteio3y3oto3inteio33ls3plels3y3mos3l3mismo3ldo3de3l3sente = E ; = ; = G ; = H ltenos3intenos:3uno33d3ldo3de3l3sente3y3mos3inteioes33ls3plels = ; = E ; ltenos3extenos:3uno33d3ldo3de3l3sente3y3mos3exteioes33ls3plels = H ; = G Losºángulosºfomdosºpoºdosºetsºinidentes tienenºsusºisetiesºpependiules isetiz isetiz s Ángulosºdeºldosºespetivmenteº pependiulesºsonºigules sev(que(los(dos(tiángulos(que(se(fomn( son(etángulos(y(poseen(ángulos(opuestos(igules Vx V3=3Vx Retsºntiplels os(ets(,(s(son(ntiplels((ots(dos(',(s' si(se(umple(que(los(pes(de(ets(homólogs ((homólog(de('(y(s(homólog(de(s') se(otn(jo(ángulos(igules( Los(ángulos(fomdos(po(pes(de(ntiplels( son(igules. V V3=3Vx s x sx V x sx s Vx

15 IES3ldeón3de3l3383Gijón pto03de3diujo puntes3de3diujo3ténio31º3hilleto 304 R Z o3pz:3lug3geométio3que3oupn3los3véties3de3un3ángulo3 de3etu3onstnte3uyos3ldos3psn3po3dos3puntos3fijos33 Lug geométio de Tles Se9denomin9sí99ulquie9semiiunfeeni de9diámeto9ddo99uy9popiedd9es9que ulquie9punto99de9ell9es9vétie9de9un ángulo9eto9uyos9ldos9psn9po9los9extemos,99de9diho9diámeto9(el9lug9ompleto es9l9iunfeeni). sev3lo3que3oue3si3desplzmos3 vetilmente3el3ento3del3o0 onstuión del o pz de un ángulo ddo on9ento9en9un9punto9ulquie9de9l9meditiz de99onstuimos9el9ángulo9ddo99de9mne9que uno9de9sus9ldos9se9dih9meditiz. Luego9lo9desplzmos9medinte9plel9hst9que su9oto9ldo9ps9po99 tos:3 ángulo3 segmento3 to poedimiento Situmos9el9ángulo9ddo9omo9semiinsito,9 on9uno9de9sus9véties9en9uno9 de9los9puntos9ddos9,9 (onstuimos9el9ángulo9on9uno9de9sus9ldos en9el9segmento99y9su9vétie9en99o9en9 y9ompletmos9hst990º9que9nos9d9el9 ento99donde9un9ldo9ot99l9meditiz9de9 o pz ompleto de un ángulo eto Es3l3iunfeeni3de3diámeto33 o pz del suplementio ompletndo3l3iunfeeni3 180º383

16 IES3ldeón3de3l33z3Gijón ptof3de3diujo puntes3de3diujo3ténio31º3hilleto olem de l t de othenot etemin3en3l3t3min3l3posiión3de3un3o3desde3el3ul3se3ven: unt3de3l3espteñ3y3ly3del3muelle3jo3un3ángulo3de330º ly3del3muelle3e3isl3del3ievo3jo3un3ángulo3de3135º Soluión:3onstui3dos3os3pes3y3su3inteseión3define3l3posiión3del3of ts pliiones Hemos3visto3en3onstuión3de3tiángulos3ots3pliiones3de3o3pzf 3f5 R Z pliiones

17 IES4ldeón4de4l4404Gijón pto>4de4diujo puntes4de4diujo4ténio48º4hilleto x TRIÁNGULS olígono4que4tiene4tes4véties4y4tes4ldos4no4linedos> plel l se Notión Los4tes4ángulos4de4un4 tiángulo4sumn4 siempe48tlº> E d4ldo4es4meno4que4l4sum4de4los4otos4dos> 4onstui4un4tiángulo4son4neesios4tes4dtos4 Uldos94ángulos94línes4notles>>>m> Uno4de4los4dtos4dee4se4un4mgnitud4linel> Un4ángulo4exteio4mide4 igul4que4l4sum4de4los4 dos4ángulos4inteioes4 opuestos44él> lsifiiónsegúnsusldos Equiláteo 4=44=4 Isóseles 4=44=4 Esleno 4=44=4 lsifiiónsegúnsusángulos utángulo 94944<4zLº Retángulo Un4ángulo4=4zLº tusángulo Un4ángulo4>4zLº Tiángulospopoionles Teoemdelisetizinteio Teoemdelisetizexteio Si44qq4s4qq4t4entones4q4=4qE s Si4MN4qq44entones4MqM4=4NqN M N t E Uonseueni4o4oolio4del4Teoem4de4Tlesm v 4q44=44q4 o4ien44q44=44q4 En4todo4tiángulo94l4isetiz4de4 un4ángulo4inteio4divide4l4ldo4 opuesto4en4dos4segmentos4 dietmente4popoionles4 4los4ldos4que4fomn4 v diho4ángulo> ) 4q44=44q4 isetiz exteio de (pependiul v) En4un4tiángulo94l4isetiz4de4un4ángulo4exteio divide44l4polongión4del4ldo4opuesto4en4dos segmentos44y44dietmente4popoionles 4los4ldos44y44que4fomn4diho4ángulo4

18 IES4ldeón4de4l44=4Gijón pto,4de4diujo puntes4de4diujo4ténio4íº4hilleto M,í LÍNESuYuUNTSuNTLESuELuTRIÁNGUL isetiesuinteioes:uinentou(entoudeuluiunfeeniuinsit) isetiesuexteioes:uexinentosu(entosudeulsuiunfeenisuexinsits) Ls4iseties4inteioes4del4tiángulo44 se4otn4en4el4inento4i, d4isetiz4exteio4es4pependiul4 4su4espetiv4inteio, os4iseties4exteioes4más4un4inteio (polongd)4deteminn4los4exinentos, E I E sev4que4ls4iunfeenis4exinsits son4tngentes44los4tes4ldos4del4tiángulo, Se4umple4tmién4que4ls4iseties4inteioes son4ltus4del4tiángulo4de4exinentos, Luego4el4inento4del44es4otoento del4e E E 4 sev4los4puntos4de4tngeni, E L4distni44del4inento44ulquie4de4los4ldos se4llm4indio4del4tiángulo, Se4umple4que4x4=4xf4y4=4yf4z4=4z4 (ls4tg4desde4un4punto4ext4 son4igules)4luego 4=4y4q4zf44=4x4q4zf44=4x4q4y44444 z z Eule4intodujo4l4ostume4 I y de4llm4s4l4semipeímeto de4un4tiángulof4es4deif4 x s4=4(qq)y/ y Luego4x4q4y4q4z4=4s x Medities:uiunentou(entoudeuluiunfeeniuiunsit) M m m M M m

19 IES4ldeón4de4l44y4Gijón ptoh4de4diujo puntes4de4diujo4ténio41º4hilleto 4H2 LÍNES(Y(UNTS(NTLES(EL(TRIÁNGUL Medins:(iento((ento(de(gvedd(del(tiángulo) M G M El4iento4se4denot4on4l4let4GH El4iento4divide44d4medin4en4 dos4segmentosá4el4segmento4que4une4 el4iento4on4el4vétie4mide4el4dole4 que4el4segmento4que4une4iento4 on4el4punto4medio4del4ldo4opuestoh G4=42GM 4ien4444GM4=41;34M M ltus:(otoento ompue4dónde4e4el4otoento4 en4un4tiángulo4etángulo4 y4en4uno4otusánguloh H h h h Ret(de(Eule GH El4otoentoá4el4iento4y4el4iunento4de4un4tiángulo4no4equiláteo4están4linedos;4 es4deiá4peteneen44l4mism4etá4llmd4et4de4euleh4ompuélo4diujándoloh

20 IES4ldeón4de4l44H4Gijón pto.4de4diujo puntes4de4diujo4ténio41º4hilleto TRIÁNGULS. onstuiones senills 4.3 onstui un tiángulo son neesios tes dtos (ldos, ángulos,línes notles...). Uno de los dtos dee se un mgnitud linel. LLLR4los4tes4ldos LLR4dos4ldos4y4el4ángulo4 ompendido LR4dos4ángulos4y4el4ldo4ompendido LLR4dos4ldos4y4un4ángulo4 opuesto44uno4de4ellos LR4dos4ángulos4y4un4ldo (no4ompendido) onstui4o4pz R4h R4 onstui4o4pz4del4ángulo4ddo4soe4 su4ldo4opuesto.4onstui4lg4de4l4ltu. R4h R4m onstui4lg4de4l4ltu4y4lg4de4l4medin 4 v R4R4 h R4R4 Resolve4en4pinipio4el4tiángulo4R4HR4

21 IES4ldeón4de4l44-4Gijón 4.4 pto.4de4diujo puntes4de4diujo4ténio41º4hilleto TRIÁNGULS. onstuiones senills 2 onstui un tiángulo son neesios tes dtos (ldos, ángulos,línes notles...). Uno de los dtos dee se un mgnitud linel. h,4,4 Resolve4en4pinipio4el4tiángulo4,4H,44 y4el4,4h,4 h,4,4 Resolve4en4pinipio4el4tiángulo4,4H,4 h,4,4 Resolve4en4pinipio4el4tiángulo4,4H,4 h,4,4 Resolve4en4pinipio4el4tiángulo4,4H,44 y4el4,4h,4,4,4v Resolve4en4pinipio4el4tiángulo4v,4,4 onstuiones de tiángulos etángulos Los4dos4tetos4,4 Un4teto4y4un4ángulo4dyente Un4teto44y4el4ángulo4opuesto L4hipotenus4y4un4teto L4hipotenus4y4un4ángulo4Lno4etoU L4hipotenus44y4l4ltu4soe4ell4h 4

22 IES5ldeón5de5l55T5Gijón pto25de5diujo puntes5de5diujo5ténio5yº5hilleto URILÁTERS U Notión lsifiiónm Si5los5ángulos5opuestos5de5un udiláteo5son5suplementios= el5udiláteo5se5puede5insii en5un5iunfeeni2 L5sum5de5los5ángulos inteioes5de5un5udiláteo es5(xº2 Si5l5sum5de5los5ldos opuestos5de5un5udiláteo oinide=5el5udiláteo iunsie55un5iunfeeni2 Tpezoides:m ningúnmldomplelo Tpeios:mdosmldosmsonmplelosmállmdosmsesv lelogmos:mlosmldosmopuestosmsonmplelosmemigules.mángulosmopuestosmigules iguszplnszlimitdszpozutozetsz quezsezotnzdoszzdos,zdeteminndoz unoszsegmentoszquezsonzloszldosz delzudiláteo. Loszpuntoszdondezonuen doszldoszontiguoszson loszvéties. Lszdigonleszunenzdoszvéties nozonseutivos. d opieddes y)xº y)xº sevzómozsezdesompone enzdosztiángulos =5(xº T y T z T T R x y y x z z t t 5+55= =55+55=5y)xº tendiendozlzplelismozentezsuszldos,zlsifimos loszudiláteoszonvexoszenzplelogmos,ztpeioszyztpezoides. uddo Retángulo Romo Romoide uto5ángulos5igules5y5etos2 igonles5igules5y5se5otn en5el5punto5medio2 uto5ldos5igules2 igonles5pependiules2 uto5ldos5igules5y5etos2 igonles5igules5y pependiules igonles5desigules5y5 no5pependiules2 Isóseles Retángulo Esleno Uno5de5los5dos5ldos no5ásios5es5pependiul 5l5ltu Ldos5no5ásios5igules2 igonles5igules2 eltoide udiláteo5simétio5espeto5de un5de5sus5digonles2 igonles5pependiules2 os5pes5de5ldos5ontiguos5igules2 udiláteomonvexo 6o5simplemente5gudiláteog0 udiláteomónvo

23 IES5ldeón5de5l55-5Gijón pto.5de5diujo puntes5de5diujo5ténio51º5hilleto URILÁTERS onstuiones 5.1 udiláteo5ddos5sus5uto5ldos5y5un5digonl Elynúmeoydeydtosyqueyneesitmosypyonstuiyunyudiláteoydependeydeysuytipo. d Tpeio5dds5ls5ses5y5los5ldos e e iguydeynálisis: onstuiyenypinipio elytiánguloyuxiliy' enyelyque: 'y=yy-yyyyyy'y=y Tpeio5dds5sus5ses,5un5ldo y5l5ltu h lelogmo5ddo5un5ldo y5ls5digonles e f eteminyelyentoyyde inteseiónydeylsydigonles diujndoyelytiánguloy Romo5ddo5un5ldo5y5un5ángulo

24 IES5ldeón5de5l55-5Gijón pto.5de5diujo puntes5de5diujo5ténio51º5hilleto 5.2 URILÁTERS onstuiones El númeo de dtos que neesitmos p onstui un udiláteo depende de su tipo. Romo5ddo5un5ldo5y5un5digonl Romo5dds5ls5digonles Retángulo5dd5l5digonl5y5un5ldo e n Retángulo5dds5ls5digonles5y5el5ángulo5 que5fomn e uddo5ddo5el5ldo l uddo5dd5su5digonl e uddo5dd5l5sum5fo5l5difeeni(5de5su5digonl5y5un5ldo. sum

25 IES6ldeón6de6l66,6Gijón ptoá6de6diujo 5puntes6de6diujo6ténio6yº6hilleto LÍGNS REGULRES á olígono egul es el que tiene sus ldos y sus ángulos inteioes igules ente si. Elementos de un polígono egul IRUNERENI56IRUNSRIT5Á6 iunfeeni6que6ps6po6los6véties6del6polígonoá IRUNERENI56INSRIT5Á6 iunfeeni6tngente66los6ldos6del6polígonoá ENTRÁ6 El6ento6de6ls6dos6iunfeenis6ntedihs6es66su6vezz6ento6del6polígonoÁ R5IÁ6 istni6del6ento66un6vétiez6dio6de6l6iunfeeni6iunsitá ÁNGUL6ENTR5LÁ Tiene6omo6vétie6el6ento6y6sus6ldos6psn6po6dos6véties6onseutivosÁ Su6vlo6en6gdos6es6igul66dividi60ámº6ente6el6númeo6de6ldos6del6polígonoÁ ÁNGUL6INTERIRÁ omdo6ente6dos6ldos6onseutivosá6 Su6vlo6en6gdos6es6igul66yMmº6menos6el6vlo6del6ángulo6entlÁ6 5TEM5Á6 Rdio6de6l6iunfeeni6insit6del6polígono6 o6pependiul6del6ento66un6ldo6del6polígonoá ERÍMETRÁ6 Sum6de6ls6longitudes6de6los6ldosÁ6Se6denot6po63pÁ ÁRE5Á6 oduto6de6l6potem6po6el6semipeímetoá656x66á6p L5Á6 Une6dos6véties6onseutivosÁ6Su6meditiz6ps6po6el6ento6del6polígonoÁ I5GN5LESÁ Unen6dos6véties6no6onseutivosz6sus6medities6psn6po6el6ento6del6polígonoÁ sev que el áe de este pentágono equivle ino tiángulos uy ltu es igul l potem del polígono y su se es igul l ldo. olígono onvexo Todos6los6véties6del6polígono6 se6unen6de6fom6onseutivá y olígono estelldo Nos6vmos6sltndo6véties6y6el6polígono6 ie6después6de6d6más6de6un6vueltá lso6estelldo26se6supeponen6vios6 polígonos6onvexosá so del estelldo: númeo6de6ldos6que6nos6sltmosá 3 0 tógono6egul6onvexo tógono6egul6estelldo de6pso60 6veigu6si6un6polígono6tiene6onstuión6 de6estelldosz6y6ómo6uni6los6vétiesz6 usmos6los6númeos6enteosz6 menoes6que6l6mitd6del6númeo6de6ldos6 del6polígonoz6y6de6ellos6los6que6sen6pimos6 espeto66diho6númeo6de6ldosá6 Ejemplo26p6el6otógono6vM6ldosíz6 los6númeos6menoes6que6l6mitd6de6sus6 ldos6son6el60z6el636y6el6yz6y6de6ellosz6 pimos6espeto66m6solo6tenemos6el60z6 po6tnto6el6otógono6tiene6un6únio6estelldo6genuino6 que6se6otiene6uniendo6los6véties6de606en60á vsupeponiendo6dos6uddosz6uno6de6ellos gido6ú8ºz6otenemos6un6flso6otógono6estelldoíá6 tógono6egul6estelldo de6pso60 tógono6vflsoí6estelldo de6pso63

26 IES6ldeón6de6l666Gijón ptoñ6de6diujo puntes6de6diujo6ténio6,º6hilleto 6ñ, LÍGNSHREGULRESHonstuiónHddHlHiunfeeni d0l0iunfeeni0(=0división0de0l0iunfeeni0en0ptes0igules) 3,060y012,,, 6 m, 6 m L M 7 M 7 M 7 m M TiánguloHequiláteo Tzmos6un6diámeto6vetil6y6on6ento en6su6extemo6infeio6l6tzmos6el6o de6dio6el6mismo6que6l6iunfeeni que6nos6d6los6puntos6m6y676 L Hexágono*Hegul oedemos6omo6en6el6so6nteio ñdiendo6un6segundo6o6de6ento el6punto6,6que6nos6popoion6los puntos66y66 L odeágonohegul Tzmos6un6hexágono6y6después on6tes6medities6m, 46m L 6y6m M otenemos6el6dodeágonoñ L 1ElóREódmiteólóesituódeóhexágonoósinóhóiniiló-exágonoMópoqueóhósidoóunóesituómuyóomúnódunteóviosósiglos,ómientsóqueóheptágonoósinóhóiniiló noóhótenidoóestótdiiónóesit.óóóelóó-iionioópnhispánioódeódudsmóonsej,ósinóemgo,óqueóseópefieólóesituóqueóonsevólóhóiniil. 40y08, 7, M 7 M M 7 L L uddo tógonohegul HeptágonoHegul Tzmos6dos6diámetos6pependiules que6nos6dn6los6puntos6,46l46m6y67 50y010 oedemos6omo6en6el6so6nteio y6después6tzmos6dos6meditiesñ on6ento6en6punto6l6tzmos el6o6m7ñ6l6mitd6de6l6ued6m7 es6el6ldo6del6heptágonoñ -ompletóllevndoólómedidó3-m ómosóldosódeó1ópóeduióeomó entágonohegul Tzmos6dos6diámetos6pependiules que6nos6dn6los6puntos6,46l46m6y67ñ,, on6ento6en6el6punto676y6dio6el6mismo que6l6iunfeeni6tzmos6el6o66ñ on6ento6en6m46punto6medio6de664 imos6el6ompás6hst6el6punto6, y6tzmos6el6o6que6nos6d6el6punto67ñ M 7 M 7 L6medid6,76es6el6ldo6del6pentágono4 que6llevmos66pti6del6punto6,66mos6 ldos6p6edui6el6eo6de6tzdoñ L6medid676es6el6ldo6del6deágonoñ L 6 L 6 ompletóelótzdo

27 IES6ldeón6de6l66L6Gijón ptov6de6diujo puntes6de6diujo6ténio65º6hilleto ªv7 LÍGNSxREGULRESxonstuiónxddoxelxldo 3 y 6 ' 5 U ' ' M í Tiánguloxequiláteo Hexágonoxegul entágonoxegul on6ento6en6los6extemos656y67 y6dio66tzmos6dos6os6que6 nos6dn6en6su6inteseión6el6punto6' oedemos6omo6en6el6so6nteio y6hemos6ento6en6el6punto6'6on6l6 mism6etu6de6ompásg6tzndo6l6 iunfeeni6iunsit6l6hexágonov Luego6tzmos6os6on6igul6diov Levntmos6pependiul67L'g6de6medid igul6l6ldog6soe6punto67v on6ento6en6mg6punto6medio6de65l7g y6dio6m'g6tzmos6o6que6nos6dg en6l6polongión6de65l7g6el6punto6ív L6medid65Lí6es6l6digonl6del6pentágonov oedimiento genel n ldos dd l iunfeeni 5 ldo ( 7 ' í U 5 73 ' ividimos6el6diámeto6vetil6en6tnts6 ptes6igules6omo6ldos6h6de6tene6 el6polígonov on6ento6en656y676y6dio6el6diámeto tzmos6dos6os6que6se6otn6en6punto6'v Unimos6punto6'6on67ª6división6del6diámetov Llevmos6l6medid6otenid66mos6ldos p6edui6eov un6síg6este6método6es6poximdo6y6dee hese6on6gn6peisión6p6evit6eoesá ª ( 7 oedimiento genel n ldos ddo el ldo ldo6ddo Hemos6l6onstuión6nteio y6luego6plimos6un6homotei6 de6ento66p6olo6el6dtov ' í U ª (

28 IES7ldeón7de7l77T7Gijón ptor7de7diujo puntes7de7diujo7ténio7(º7hilleto TRNSRMINES GEMÉTRIS Q LsItnsfomionesIgeométisIsonIopeionesIgeométisIqueIpemitenIeIunInuevIfiguI IptiIdeIunIpevimenteIdd.IEstInuevIfiguIseIdenominIHMÓLGIdeIlIRIGINL. LsItnsfomionesIgeométisIsivenIpIesolveIpolems Reued7los7oneptos7de7RZÓN7ñZM7y7RRIÓN7ñZ7=7ZdMR Ls7tnsfomiones7geométis7que7onsevn7l7fom7y7el7tmño7de7l7figu7oiginl7se7llmn7MVIMIENTSR Los7elementos7LES7o7INVRINTES7en7un7tnsfomión7geométi7son7quellos7que7l7 pliles7l7tnsfomión7se7tnsfomn7en7si7mismosr IGUL EQUIVLENI

29 IES7ldeón7de7l777Gijón ptom7de7diujo puntes7de7diujo7ténio7lº7hilleto vml TRNSRMINES GEMÉTRIS Iguldd y tslión Iguldd os7figus7plns7son7igules7si7sus7ldos7y7ángulos7son7igules7y7están7dispuestos7en7el7mismo7odenm SiR7demásR7l7supepone7dos7figusR7oiniden7extmente7y7se7onfunden7en7un7solR7entones7son7IÉNTISM REIMIENTS7R7TENER7UN7IGUR7IGUL77UN7IGUR7RIGINL7 o7tingulión y o7pependiules y E Ey y7 y L ' Ly 'y 2y 3y 4y o7diión o7opi7de7ángulos7o7odeo y y y y E Ey y E Ey y y y y Tslión de un figu pln onsiste7en7pli77l7figu7un7movimiento7etilíneo7en7un7dieión7estleidm y y y Ey ' y E y y

30 IES7ldeón7de7l77'7Gijón pto7de7diujo puntes7de7diujo7ténio7lº7hilleto TRNSRMINES GEMÉTRIS Gio y simetí 3á Gio o otión Todo7gio7es7un7isometí7diet7vl7figu7homólog7 onsev7l7oientión7de7l7oiginl) El7únio7punto7dole7de7un7gio7es7su7ento Sentido7dextógio:7omo7 ls7mneills7de7un7eloj mgnitud7ngul7positiv) Sentido7levógio:7sentido nti'hoio vmgnitud7ngul7positiv) f sev que si gimos un figu 180º otenemos un simetí entl. 80º f f (omplet el diujo). Simetí xil Simetí entl Los7puntos7simétios7están77en7un7pependiul7l7 eje7de7simetí7y77igul7distni7de7él Los7puntos7del7eje7son7doles Los7puntos7simétios7están7linedos7on7el7ento:7 7igul7distni7y7distinto7ldo Ls7ets7simétis7son7plels El7ento7es7punto7dole Equivle77un7gio7de7L40º E y eje, L'Lf á ''f f f f,f áf yf Ef f f f

31 IES7ldeón7de7l77g7Gijón /> pto7de7diujo puntes7de7diujo7ténio7vº7hilleto TRNSRMINES GEMÉTRIS Homotei 1 Homotei k7=7zón7de7l7homotei efiniión do77un77punto77del7plno7y7un7númeo77el7 k =z7se7llm7homotei7de7ento77y7zón7k 7l7tnsfomión77geométi7que7soi77 d7punto77del7plno7oto7punto7y Ejemplos k7=7 y k7puede7se7positiv7úk>=k7 o7negtiv7úk<=k Si7es7negtiv7el7ento7qued7ente7 los7puntos7homotétios El7ento77es7punto7dole Ls7ets7que7psn7po77son7doles Ls7ets7homotétis7son7plels k7=7('v=7( k > 0 k < 0 y k7=7v'(7=7=z< k7=7gv7 y y (Equivle un simetí entl) k7=7(7'7v y Resoluión po homotei de uddo dd l sum del ldo y l digonl Ey y E y y k7=7g7(7'7v y Ey y y y E k7=7gv E y y k7=7v7'7> k7=7>7'7v y y Ey y y

32 IES7ldeón7de7l77,7Gijón (gúg ptog7de7diujo puntes7de7diujo7ténio7º7hilleto TRNSRMINES GEMÉTRIS Homotei 2 Homotei y semejnz k707m7q7 igus homotétis (y po tnto, semejntes) igus semejntes (y no homotétis) E E 7efetos7pátios7un7homotei7y7un7semejnz7son7lo7mismoz7y7po7tntoz7se7ope7igul7en7un7que7en7otg L7difeeni7es7que7en7un7homotei7siempe7hy7un7ento7de7homotei7definidoz7ls7figus7tienen7l7mism7 oientión7y7los7segmentos7homotétios7son7plelosg7o7ello7que7undo7se7plnte7un7polem7de7homotei7 siempe7te7dn7el7ento7o7dtos7p7lullog7mients7que7en7l7semejnz7no7lo7suelen7dz7sino7que7ees7tú7el7 que7eliges7ul7te7onviene7másg7 Hitulmente7se7esoge7uno7de7los7véties7de7l7figu7po7omodiddz7unque7se7puede7utiliz7ulquie7punto7 inluidos7los7que7estneestán7exteio7o7inteio7de7l7figug iunfeenis homotétis ds7dos7iunfeenisz7exteioesz7inteioes7o7sentesz7l7et7que7une7los7extemos7de7un7p7de7dios7 homotétios7inteept77l7que7une7los7entos7en7el7ento7de7un7homotei7que7lig77ls7iunfeenisg Est7homotei7puede7se7de7zón7positiv7o7negtivz7según7el7sentido7de7los7dos7dios7homotétios7que7se7tomng Si7ls7iunfeenis7son7igulesz7l7homotei7de7zón7positiv7tiene7ento7impopio7ftslióná7y7l7de zón7negtiv7tiene7ento7popio7fsimetí7entlág Not7N7os7iunfeenis7tngentes7exteioes7finteioesá7tienen7un7ento7de7homotei7oinidente7on7el punto7de7tngeni7y7el7oto7exteio7finteioá77ells7fslvo7que7ls7iunfeenis7sen7iguleság Not7MN7os7iunfeenis7onéntis7tienen7los7dos7entos7de7homotei7fde7zón7positiv7y7negtivá7 oinidentes7on7los7de7tles7iunfeenis7fhomotei7entlág 7 k>l k<l k>l k<l k>l k<l k>l k<l k>l k<l

33 IES8ldeón8de8l888Gijón ptou8de8diujo puntes8de8diujo8ténio8qº8hilleto 8Uq TNGENIS)Y)ENLES)1 opieddes q T v m T q v T t L8et8tngente88un8 iunfeeni8es8siempe pependiul8l8dio en8el8punto8de8tngeni8tu El8punto8de8tngeni8T de8dos8iunfeenis tngentes8siempe petenee88l8líne8de8 entos8 q v L8meditiz8m8de8un8 ued8ps8siempe8 po8el8ento8de8 l8iunfeeniu L8isetiz8de8dos8ets8 onuentes8ps8siempe8 po8el8ento8de8ls8 iunfeenis8tngentesu Ret)tngente))un)iunfeeni en)un)punto)t)de)est. Rets)tngentes))un)iunfeeni plels))un)dieión)dd)(d). t T Tzmos8el8dio8T y8po8t8tzmos8l pependiul8l8diou t q d T q Tzmos8un8diámeto pependiul88l dieión8ddu Los8extemos8de8diho diámeto8son8los8puntos de8tngeni8t q 8y8T v U Tzmos8ls8tngentes t q 8y8t v 8plels88l dieión8ddu tv T v Rets)tngentes))un)iunfeeni)desde)un)punto)exteio))est. T q t q Utilizmos8el8lug8geométio8de8Thles: síx8tzmos8l8iunfeeni8de8 diámeto8x8que8otá88l8 iunfeeni8dd88en8los8puntos de8tngeni8t q 8y8T v sev8ómo8en8dihos8puntos8los8 dios8son8pependiules88ls8tngentesu 2Lug8geométio8de8Thles:8o8pz de89,ºzu T v t v

34 IES8ldeón8de8l88Y8Gijón 8(g pto(8de8diujo puntes8de8diujo8ténio8"º8hilleto TNGENIS Y ENLES 2 Rets tngentes omunes exteioes dos iunfeenis " R - T : " T q T " T g " g g R8Y8 t g t " ux g o8medio8de8un8diltión tnsfommos8ls8dos8 iunfeenis8dds8en un8punto8 " 8y8un8iunfeeni uxili( Restmos8 " 88l8iunfeeni g 8y8otenemos8l8uxili, uyo8dio8es8r8y8( Y8tenemos8un8iunfeeni uxm8y8un8punto8 " m( ho8podemos8esolve8 tngentes8desde8un8punto8 8un8iunfeeni,8oteniendo los8puntos8"8y8g( ho8poedemos88eveti l8diltión: esde8 g 8polongmos8dios que8psn8po8"8y8g8hst ot88 g,8oteniendo8t " 8y8T g ( o8 " 8tzmos8dios plelos88los8t " 8y8T g, oteniendo8t : 8y8T q Rets tngentes omunes inteioes dos iunfeenis R + " t " En8este8so8summos8 los8dios8de8ls8iunfeenis dds( sev8que8los8dios8plelos vn8uzdos( T " ux T : g " " g R T q R8y8 T g g t g Not: si no te ueds de si hy que est o sum dios, simplemente hz un oquis ápido.

35 IES8ldeón8de8l88-8Gijón pto.8de8diujo puntes8de8diujo8ténio81º8hilleto 8.3 TNGENIS.Y.ENLES.3 iunfeeni.que.ps.po.un.punto.,.ddo,. y.es.tngente..un.et,.,.onoido.el punto.de.tngeni,.t,.en.l.et. lo que es lo mismo, iunfeeni.que.tiene.el.ento soe.un.et.n,.ps.po.un.punto.,.t,.de.ell y.po.oto.punto..exteio. iunfeeni.que.ps.po.un punto.,.ddo,.y.es.tngente..ot.iunfeeni..tmién.dd, onoido.el.punto.t.de.ontto. 1 T T Si el punto petenee l soluión es l popi. iújlo on el punto inteio. iunfeenis.tngentes..dos.ets.dds, onoido.el.punto.de.tngeni.en.un.de.ells. lo que es lo mismo, iunfeenis.que.tienen.su.ento.soe. un.et.n,.psn.po.un.punto.t.de.ell y.son.tngentes..ot.et,.. iunfeenis.tngentes..un.et.y un.iunfeeni.dds.onoido.el.punto de.tngeni.en.l.iunfeeni. t t 2 2 n T T 1 1 T 2 T 1 T 2 T 1

36 IES8ldeón8de8l88R8Gijón pto,8de8diujo puntes8de8diujo8ténio8uº8hilleto 8,4 TNGENIS2Y2ENLES24 iunfeenis2tngentes22ots2dos2 iunfeenis2dds,2onoido2un punto2t 1 2de2tngeni2en2un2de2ells. 4 tos:iunfeenis 1 y 2 ypuntodetngenit 1 quepetenee 1 1.8Tzmos8l8et88que8ps8po8el8ento8 Uy 8po8 el8punto8de8tngeni8t U Tsldmos8los8segmentos8T U 8y8T U 8igules8l dio8de8 2, Unimos88y88on Tzmos8ls8medities8de8 2 8y8 2, U T U T Ls8inteseiones8de8dihs8medities8on8 l8et88son8los8puntos8 3 8y8 4 entos8de8ls8soluiones, 3.8tenemos8los8puntos8de8tngeni8T 2 8y8T 3 uniendo8 3 8y8 4 8on8 2 3 U T 2 nálisis: Losentostienenqueestenletqueps po 1 ypoelpuntodetngenit 1 sevque,supuestoesueltoelpolem,si hemosentoen 3 ondio 3 2 = 3 tzímos uniunfeenionéntilqueusmos, esdei,onelmismoento 3 Elsegmento 2 esunued dedihiunfeeni.sumeditiztienequeps poelento 3 queeselqueusmos. Elmismozonmientoonelpuntoy 4 iunfeenis2tngentes22tes2ets que2se2otn2dos22dos. s Tz2un2et2tngente22un2o2de2 iunfeeni,2de2ento2desonoido,2 ddo2el2punto2de2tngeni2t T 2 3 U t 4 Ls8iunfeenis8que8usmos8son8l8insit8y8ls8exinsits8 l8tiángulo8que8fomn8ls8tes8ets8dds, Reuedg8p8gn8tiempo8en8el8tzdog8que8ls8iseties8 inteioes8y8exteioes8son8pependiules,

37 IES8ldeón8de8l88á8Gijón 8.5 pto.8de8diujo puntes8de8diujo8ténio81º8hilleto TNGENIS Y ENLES 5 iunfeenis de dio ddo tngentes un et. iunfeenis de dio ddo tngentes un iunfeeni. LG1 LG1.8dd LG2 s LG2 Tzndo8plels88l8et88un8distni8 igul8l8dio8otenemos8el8lug8geométio de8los8entos8de8ls8posiles8soluiones. Sumndo8y8estndo8el8dio8otenemos8el8LG de8los8entos8de8ls8posiles8iunfeenis. iunfeenis de dio ddo tngentes un iunfeeni y un et. LG3 iunfeenis de dio ddo tngentes dos iunfeenis. LG1 LG1 LG4.8dd81 LG2.8dd LG2 El8númeo8de8soluiones8depende8de8los8 dtos8y8l8posiión8de8estos. Los8entos8de8ls8soluiones8están donde8se8otn8los8lg. LG3 LG4.8dd82 En8este8so8tenemos888soluiones.

38 IES8ldeón8de8l88,8Gijón =M pto=8de8diujo puntes8de8diujo8ténio8)º8hilleto TNGENIS Y ENLES 6 Enle de dos ets onuentes po medio de un o de dio onoido. Enle de dos ets plels medinte dos os de igul dio, ddos los puntos de enle y. dio8ddo T ) ) M á T á dio8ddo s Tzmos8plels88ls8ets88un8distni8 igul8l8dio= Los8puntos8de8tngeni(enle8los8onseguimos8 tzndo8pependiules8desde8el8ento8= )=8Unimos88y88on8un8et= á=8hllmos8punto8medio8m8de8= 3=8Medities8de8M8y8M= U=8o88y88levnt8pependiules que8otn88ls8medities en8los8entos8de8ls8soluiones= Enle de dos ets plels medinte dos os del mismo o distinto sentido, ddos los puntos de enle y. ig. 2 á ig. 1 ) á ) )=8Tzmos8pependiules8po88y8= á=8soe8ls8pependiules8llevmos8un distni8ulquieq8tl8que8 ) 8=8=8sev8que8p8otene8los8dos8os8on8el8mismo8sentido8fig=8á28el8dio desde8 ) 8dee8se8tl8que8el8punto88quede8dento8de8l8iunfeeni8de8ento8 ) =8Si8qued8fue8fig=8)28el8enle seá8on8os8de8distinto8sentido= 3=8iujmos8l8meditiz8del8segmento8 ) = Est8meditiz8ot88l8pependiul8po88en8 á ento8del8segundo8o=888

39 IES8ldeón8de8l888Gijón pto38de8diujo puntes8de8diujo8ténio81º8hilleto 837 TNGENISmYmENLESm7 Enlemdemdosmetsmsentesmonmdosmos demsentidomontiomddosmlosmpuntosmt1mymt2m demenlemymelmdiomdemunomdemlosmos. EnlemdemunmomdemiunfeenimdemdiomR ymunmetmmedintemunmomdemsentidomontio ymdemdiomr1mddo. tos :, s, T 1, T 2 dio dio8ddo T R 1 2 s dio8ddo T 2 R 1 2 T 2 s Tzmos8plels88ls8ets88un8distni8igul8l8dio3 tenemos8 1 8y88en8ls8pependiules8po8T 1 8yT 28 Unimos88y8 1 8on8un8segmento8uy8meditiz8nos8d8 2 El8punto8de8enle88en8l8líne8de8entos3 lel88l8et8y8sum8dio8l8o3 onde8se8otn8es8el8ento8 2 8del8o8soluión3 Enlemdemiunfeenis onsiste8en8sum8o8est8dios3 Esto8se8us8muho8p8tz8hll8los8entos8de8los8os8de8enle8en8piezs3 Los8puntos8de8enle8siempe8en8l8líne8de8entos388

40 IES9ldeón9de9l999Gijón pto39de9diujo puntes9de9diujo9ténio9º9hilleto 93 URVSTÉNIS Óvlo uv9ed9pln9on9dos9ejes de9simetí9pependiulesí9ompuest9po9 uto9os9de9iunfeeni9tngentesí igules9dos99dosí9uyos9entos9peteneen 9dihos9ejes9de9simetí3 : Regióndelosóvlosdeejesddos. 9dos9ejes9ddosí9existen9tntos9óvlos9omo9 onfiguiones9pueden9otenese9vindo9los9dios3 Los9sos9límite9seín: 9igul99eo:9figu9puntd9on9fom9de9vesi3 9igul99semije9meno:9fom9olong39 L T entos99y9l9dio9 entos9:9y9t9dio9l Óvloóptimo. Es9el9ompuesto9po9os9que9psn po9el9inento9,y9son9tngentes9en9élf9 del9tiángulo9etángulo9í9fomdo po9ls9tngentes9en9los9extemos9de9 los9semiejes9y9l9hipotenus9 que9une9dihos9extemos3 I Tzdo9pátio3 En9este9so9el9mio9de9 uvtu9es9mínimo3 L9et9que9une9los9entos9es9 pependiul99l9hipotenus y9ps9po9el9inento9i3 L L Tzdoptideuníulo (útilppespetivisométi). Tzdoptideunuddo enpespetivisométi.

41 IES9ldeón9de9l99f9Gijón ptoú9de9diujo puntes9de9diujo9ténio93º9hilleto 9ú4 URVS.TÉNIS Óvlo.ddos.sus.ejes.y.uno.de.sus.dios.(onstuión.po.diltión) do.el.dio.myo. 2 do.el.dio.meno. 1 T 3 S 4 9f9 3 T 3 S 4 T S 3 4 9f T 3 L9opeión9se9efetú9 estndo9diosú 3 S Llevmos9 3 9desde99 hi9jo9oteniendo9el9 punto9sú Unimos9S9on9 3 9y9su9 meditiz9nos9d =9 3 9=9 3 T9=9S 4 Llevmos soe9el eje9myo99pti9de99oteniendo el9punto9sú 49 =9 4 9=9 4 T9=9S Óvlo.ddos.sus.ejes. Emplemos9l9onstuión9nteioú9yve9diujo9de9l9izquiedáú9Situmos9los9ejes9y9llevmos9un9dio9 3 9ulquie9 soe9el9eje9myo9y9pti9de9áú9esto9y9nos9ondiioná9 4 Tzdos.senillos.de.óvlos.de.eje.myo.ddo.., g, Tzdo.del.o.pnel. El9o9pnel9es9un9o9ejdoú Se9utiliz9l9mitd9de9un9óvloú o pnel o9de medio9punto d9un9detemind9flehu9 se9h9genelizdo9el9tzdo9y9 onstuión9del9pnel9óptimou que9utiliz9l9mitd9de9un9óvlo9óptimoú 3 fleh 4 luz

42 IES9ldeón9de9l99,9Gijón ptoz9de9diujo puntes9de9diujo9ténio9:º9hilleto 9z3 URVS TÉNIS El ovoide uv9ed9y9pln9fomd9po9os9de9iunfeeni9tngentes9on9un9solo9eje9de9simetíz Tzdo senillo del ovoide ddo su eje meno. 3 4 : pliión9del9ovoide9p onduiones9hidúlis: onfome9ument9el9udlú se9inement9tmién9l supefiie9de9ozmientoú onsiguiendo9un9veloidd unifomez Tzdo del ovoide ddo su eje myo. 3 : ividimos9el9eje9myo9en9seis9ptes9igulesz Ls9dos9pimes9se9tomn9omo9dio9de9 l9iunfeeni9:9y9l9últim9omo9dio9de9l : onstuión del ovoide ddos sus ejes. esde9:ú9punto9medio9del9eje9menoú tzmos9un9semiiunfeeniz omo9en9el9so9del9óvlo9onstuido po9diltiónú9p9hll9los9otos9entos ptimos9de9un9o9de9dio9itio9 que9llevmos9desde99soe9el9eje9myo y9desde99soe9el9eje9menoú9en mos9sos9hi9dentoú9oteniendo los9puntos9:9y92z Meditiz9de9:,29nos9d9el9ento93z 39simétio9de949espeto9l9eje9myoz 3 : : 2 4

43 IES9ldeón9de9l9939Gijón ptol9de9diujo puntes9de9diujo9ténio97º9hilleto 9LT URVS TÉNIS Espil de químedes o espil itméti 7L39ividimos9el9segmento9uy9longitud9 es9igul9l9pso9de9l9espil9desed9en9un9 nº9ulquie9de9ptes9igules29po9ejemplo9 doe29en9un9númeo9de9ptes9igulesl9 Se9tzn9iunfeenis9onentis9 que9psn9po9tods9ls9divisionesl9 unts9más9divisiones9más9puntos9 se9otendán9p9tz9l9espill 9 98L39Se9dividen9ls9iunfeenis9 en9el9mismo9nº9de9ptes9igules que9el9segmento9oiginl9 y9se9tzn9los9dios9espetivosl9 9 0L39Ls9inteseiones9de9d9dio9 on9sus9os9oespondientes9nos9 deteminn9los9puntos9de9l9espil29que9 se9unen99mno9lzdl Espil de Teodoo Tmién9llmd9espil9de9íes9udds2 espil9de9einstein9y9espil9pitgóil Llev9el9nome9del9mtemátio9pitgóio Teodoo9de9iene9úT(í zL 7 7 ( ) í T ) T 7í 7(

44 IES9ldeón9de9l99z9Gijón ptoq9de9diujo puntes9de9diujo9ténio91º9hilleto 9q5 URVShTÉNIS Voluts uv9iet9y9pln9fomd9 po9os9de9iunfeeni tngentesq En9quitetux9l9volut9es9el9pinipl9onmento del9pitel9de9oden9jónioq9osteiomente9seí utilizd9en9el9enimiento9y9en9el9oox9sí9omo en9muelesx9eámiq Ls9voluts9están9fomds9po9os de9iunfeeni9tngentes9ente9siq o9tntox9en9igox9no9son9espilesq Los9entos9de9dihos9osx9si9son9 más9de9dosxfomn9un9polígono9egulq Ls9volutsx9omo9los9óvlosx9no9existen9en l9ntulezx9son9un9onstuión9humn que9simplifi9ls9fomsx9pues9son9más fáiles9de9onstuiq Voluthdehdoshentos omhentífughdehvolut,hrihds,h1894 Voluthdehteshentos Voluthdolehdehteshentos

45 IES9ldeón9de9l999Gijón pto29de9diujo puntes9de9diujo9ténio95º9hilleto 92( URVS TÉNIS Espil logítmi Est9uv9se9enuent9en9numeosos fenómenos9de9l9ntulez:9glxisq ilonesq9onhs9minsq9el9vuelo9de un9hlón9hi9su9pes222 L9espil9logítmi9se9distingue9de9l9 espil9de9químedes9po9el9heho9 de9que9ls9distnis9ente9su9zos9 se9inementn9en9pogesión9geométiq9 mients9que9en9un9espil9de9 químedes9ests9distnis9son9onstntes2 En9est9uv9el9movimiento9de9tslión9 no9es9unifomeq9sino9que9sigue9un9pogesión9 geométiq9de9tl9modo9que9el9pso9es9vile2 onstuión:9 529Tzmos9dos9ejes9pependiules9ente9síq9 que9se9otn9en9el9punto929 iujmos9un9tiángulo9etángulo9q9uyos9 tetos9fomen9on9l9hipotenus9 los9ángulos9que9se9quieen9dej9onstntes9 dunte9el9eoido9del9punto9genedo29 timos9del9tiángulo9esogido92 T29o9el9punto99tzmos9un9pependiul9 9l9hipotenus9q9lo9que9nos9detemin9 soe9el9oto9eje9el9punto99po9el9queq9 9su9vezq9tzmos9ot9pependiul9 l9segmento9q9oteniendo9 el9punto99soe9el9oto9ejeq9 y9sí9suesivmente2 á29tzmos9ls9medities9de9los9segmentos9 q9q9q9et2q9y9ésts9otn9 9ls9iseties99de9los9ángulos9etos9 que9fomn9l9líne9poligonl9definid9po9ellosq9 otenemos9los9entos9 5 q9 T q9 á q9et2q9 de9los9difeentes9os9de9iunfeeni9 que9onfigun9l9espil29 xtommos9de9dio9p9 59 su9distni9l9punto9,2 9 5 y á T

46 ú ú IES9ldeón9de9l9959Gijón pto89de9diujo puntes9de9diujo9ténio9úº9hilleto 980 URVS Espil áue Es9un9so9ptiul9de9l9espil9logítmi3 sd9en9l9popoión9áue9o9gdivin9popoióng3 que9estudiemos9on9más9detlle9el9póximo9uso8 Espil de ioni Es9un9poximión99l9espil9áue9sd9en9l9suesión9infinit9de9númeos9ntules9de9ioni9 vleondo9onzzi9o9leondo9de9is3939úú0f9598úzfq999(tz l uv) zz )9 ú( ( ) z (L ú

47 IES0ldeón0de0l000Gijón pto'0de0diujo puntes0de0diujo0ténio01º0hilleto 1'1 URVS ÓNIS ónis Son0ls0uvs0que0esultn0l0seion0un0supefiie0óni0on0un0plno' zl0supefiie0óni0omplet0de0evoluión0es0engendd0po0un0et)0llmd0genetiz)0que0gi0lededo0de un0eje0l0que0ot0en0un0punto)0llmdo0vétieq'0 Elipse El0plno0es0oliuo0l0eje0del0ono y0ot00tods0ls0geneties' so0ptiul:0si0el0plno0es pependiul0l0eje)0tenemos0 un0iunfeeni' Hipéol El0plno0es0oliuo0o0plelo l0eje0del0ono0y0plelo0 dos0geneties' uv0iet0on0dos0ms' áol El0plno0es0oliuo0l0eje0 y0plelo00un0genetiz' uv0iet0on0un0m' ónis0degeneds:0undo0el0plno0ps0po0el0vétie)0podemos0tene0un0punto)0dos0ets0o0un0et' ve mejo ls ónis, se eomiend ve nimiones, que puedes enont en Youtue y en Geoge. Esfes de ndelin esuiets0po0el0mtemátio0elg0g0ndelin'0inteioes0l0ono)0 Son0tngentes0l0plno0sente0y00l0supefiie0óni'0Su0punto0de0ontto0on0el0plno0sente0es0el0foo0o0foos' dietiz0d plno de l dietiz plno de l dietiz dietiz0d plno de l dietiz v dietiz0dv plno de l dietiz dietiz0dv plno de l dietiz dietiz v

48 IES0ldeón0de0l00/0Gijón ptof0de0diujo puntes0de0diujo0ténio0º0hilleto 'ft ÓNISu Elipse uv0ed0y0pln0lug0geométio0de0los0puntos0uy0sum0de0distnis00dos0puntos0fijos llmdos0foos0es0onstnte0e0igul00t0<0eje0myof uv0ed0y0pln0lug0geométio0de0los0puntos0uy0zón0de0distnis00un0punto0oo)0y0 0un0et0ietiz)0es0onstnte=0igul00l0exentiidd0e0siendo0e0<0 Elementos de l elipse Simetís ( Los0elementos0de0simetí0soní os0ejes00y00pependiules0ente0sif Un0ento00de0simetíf ( iámetos X N M Tod0ued0que0pse0po0el0ento0es0un0 diámeto0de0l0elipsef ento0de0los0infinitos0diámetos0posiles=0hy0unos0 pes0llmdos0diámetosuonjugdos=0omo0mm(0y0nn(=0 en0los0que0se0umpleí0x0<0x( X( M( N( Véties ( oos ( L0elipse0tiene0uto0véties0que0son los0puntos0donde0los0ejes0otn00l0uvf Ls0mgnitudes0de0los0ejes0se0designní u=uejeumyou=u2 u=uejeumenou=u2 Son0los0puntos00y0(0soe0el0eje0myof Son0simétios0on0espeto0l0ento0f fu=udistniufolu=u2 sev0el0tiángulo0etángulof u=u 2 u+u 2 Rdiosuvetoes ( ( Son0los0segmentos0que0unen0ulquie punto0de0l0uv0on0los0foosf Su0sum0es0onstnte0y0se0umpleí uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu 1 u+uf 1 u=u2 ietiesuyuexentiidd ( Ls0dieties0son0dos0ets0soids0 0los0foos0en0ls0que0se0umple0l0onstnteí d T ( e0<0 e0<0 d Mide0el0gdo0de0htmiento0de0l0elipseU0sus0límites0soní0'0;0e0;0 e0<0'0000<0'000iunfeeni e0<00000<0000segmento0( T L0exentiidd0tmién0se0puede expes0omo0el0oiente0de0los0pámetos00y0

49 IES0ldeón0de0l00z0Gijón pton0de0diujo puntes0de0diujo0ténio0xº0hilleto x=nqnx ÓNIS Elipse. iunfeeni pinipl. L0iunfeeni0pinipl0de un0elipse0tiene0po0ento0 y0su0diámeto0es0q0áeje0myomn y Es0el0lug0geométio0de0los pies0de0ls0pependiules0 0ls0tngentes0tzds0 desde0los0foosn y Nos0pemite0tz0l0elipse0 po0envolventesn0 Elipse. iunfeenis foles. L0elipse0tiene0dos0iunfeenis0folesN x0 simétio0de0 Sus0entos0son0los0foosN Su0dio0es0q0álongitud0del0eje0myomN y x0 simétio0de0y Son0los0luges0geométios0de0los0puntos simétios0de0los0foos0espeto00ls0tngentesn y tngente Elipse. Rets dieties. 0ulquie0de0ls0seiones0ónisg0 l0distni0de0un0punto0fijo0áel0foom0 es0popoionl00l0distni0desde0 un0líne0fij00llmd0dietizn0 Est0onstnte0de0popoionlidd0 es0llmd0exentiiddn L0elipse0tiene0dos0dietiesg pependiules0l0eje0myon En0l0figu0vemos0ls0dieties0d0y0dyg0 son0l0inteseión0del0plno0en0el0ul0suge l0óni0áplno0m0on0los0plnos00y0g0 pependiules0l0eje0del0onog0que0 ontienen0ls0iunfeenis0de0tngeni0 de0ls0esfes de ndelin0on0l0supefiie0ónin sev0los0foos0de0l0elipseg0son0los0puntos0 de0tngeni0de0ls0esfes0on0el0plno0n0 d y dy d Tzdo0p0otene0ls0dietiesN e0=0exentiiddn0onstnte0que0mide0el0gdo0de0htmiento0 de0l0elipse;0sus0límites0son:0=0<0e0<0x e0=0=000iunfeeni e0=0x000segmento0y e0=0 y dy

50 IES0ldeón0de0l00,0Gijón ptof0de0diujo puntes0de0diujo0ténio0qº0hilleto q3fáfá ÓNISv Tzdovdevlvelipse.v onstuiónvpovpuntos tosv0de0los0tes0pámetos0y0y00nos0dn0dosf v á Est0onstuión0se0s0en0el0iteio de0lug0geométiov00x0:0m00m0áf v á q : q Se0tomn0puntos0uxilies0soe0el eje0myoy0ente0el0ento0y0un0foof 0ontinuión0se0tzn0os0de0 iunfeeni0 q y0 á y0 v00 fff0de0dios0 qy0áy0v0fff0que0se0otán0 oeltivmente0on0los0os0: q y0: á 0fff y0dios0qy0áy0ffff Se0unen0los0puntos00mno0lzdf Tzdovpovfinidd L finidd es un tnsfomión geométi que veemos el póximo uso. Est0onstuión0se0s0en0l finidd0ente0iunfeeni0y0elipsef Se0tzn0dos0iunfeenis0de0ento0 y0diámetos0l0longitud0d0elos0ejesf : Se0tomn0puntos0:y0Q:y0R:0fff0en0l iunfeeni0myo0y0se0otienen0sus0 homólogos0y0qy0r0fffy0que0son0de0l0elipsey en0l0inteseión0de0ls0plels00los0ejesf TzdovpovenvolventesvVe0iunfeeni0pinipl0hoj0q3fq+ Tzdovddosvdosvdiámetosvonjugdosv(povfinidd) M: os0diámetos0onjugdos0son0quellos0que0oesponden00l0poyeión0ilíndi+ de0dos0diámetos0de0l0iunfeeni0que0se0otn0pependiulmentef N Un0diámeto0onjugdo0ps0po0los0puntos0medios0de0ls0ueds0plels0l0otof M N: N U3º M: N U3º M: N X: M: M N: M N: X M V0punto0medio0de0XX: N: Tzmos0un0pependiul0l0diámeto myo0y0diujmos0l0semiiunfeeni de0diámeto0nn: sev0que0l0elipse0soesle0 de0l0iunfeeni0nn:

51 IESéldeónédeéléé:éGijón ptoqédeédiujo puntesédeédiujoéténioé(ºéhilleto (zq) ÓNISg Hipéol Lugégeométioédeélosépuntosédeléplnoéuyédifeeniédeédistniséédosépuntoséfijosé llmdoséfooséeséonstnteqéelélugéeséunéuvéietéplnédeédosémsq Tmién:élugégeométioédeéloséentosédeélséiunfeenisétngentesééotéddé queépsnépoéunépuntoéfijoéexteioéééstq Elementos de l hipéol Simetís:élosédoséejesésonéejeédeésimetíq Ejegpiniplgogel:égéenéléetéqueépsépoéloséfoosq Ejegseundiogogimginio:égéenélémeditizédelésegmentoég g g ento:épuntoééinteseiónédeélosédoséejesq Véties:élosépuntosééyégésonélosévétieséelesq Losépuntosééyégésonélosévétieséimginiosq Ejeémyoém2y:ésegmentoégé=é2 Ejeémenoém2y:ésegmentoégé=é2 oos:ésonélosépuntoséfijosééyégq istnigfolém2y:éeséelésegmentoégé=é2é 2 g=g 2 g+g 2 g g Losépuntosééyégéseéotienenéenéléinteseiónédel ejeéseundioéonéléiunfeeniédeéentoégéyédioéq Rdiosgvetoes:ésonélosésegmentosééyégéqueévné desdeéunépuntoédeéléhipéolééloséfoosq Suédifeeniéeséonstnteq g-gíg=g2 síntot M g síntot g síntots:ésonélsédoséetséqueépsnépoéel entoéyéqueétiendenééeseééléuvé sinéenontseénunémtngenteséenéeléinfinitoyq SeétznéonstuyendoéelétiánguloéMgq undoélsésíntotséfomnéunéánguloédeé=íº onéeléejeéeléléhipéoléseéllméequiláteq

52 IES0ldeón0de0l00g0Gijón pto0de0diujo puntes0de0diujo0ténio0=º0hilleto =í= ÓNIS Hipéol iunfeeni pinipl Su0ento0es00y0su0diámeto00/ t M, = simétio de0 Es0el0lug0geométio0de0los0pies0de0ls0pependiules0 0ls0tngentes0desde0los0foos Es0tmién0el0lug0geométio0de0los0puntos0 medios0ente0un0foo0y0su0simétio0espeto00l0tngente El0punto0TL0punto0de0ontto0de0un0tngente0on0l0uvL0 está0linedo0on0un0foo0y0el0simétio0del0oto0on0espeto0 0es0tngente0(ve0líne0de0puntos0en0el0diujoz0 L0tngente0es0isetiz0del0ángulo0fomdo0po0TL00y0 = T iunfeenis foles Sus0entos0son0los0foos0y0su0dio0/ L0iunfeeni0fol0de0un0foo0es0el0lug0 geométio0de0los0puntos0simétios0del0oto0 foo0on0espeto00ulquie0tngente00l0hipéol t t / = S N, iámetos Se0denomin0diámeto0el0de0l0hipéol00ulquie0et0 que0pse0po0el0ento0y0ote00l0uv0(ve0mnz0 Se0denomin0diámeto0imginio00ulquie0et0que0 pse0po0el0ento0y0no0toque00l0uv0(ve0rsz0 El0seto0oespondiente00los0diámetos0 imginios0está0detemindo0po0ls0síntots M R iámetos onjugdos El0diámeto0onjugdo0RS0de0uno0ddo0MN0es0el0lug0geométio0 de0los0puntos0medios0de0ls0ueds0plels00él0 Si0un0diámeto0es0elL0su0onjugdo0es0imginioL0y0vieves Ls0tngentes00l0hipéol0(Ve0t = 0y0t / z0en0los0extemos0de0un0 diámeto0el0son0plels0l0diámeto0onjugdo0imginio d d, ieties y exentiidd e0<00q0 y0tmién e0<00q000, L0hipéol0tmién0puede0definise0omo0el0 lug0geométio0de0los0puntos0uyo0oiente0de0distnis0 0un0punto0fijo00llmdo0foo0y00un0et0fij0d0llmd0 dietizl0es0un0onstnte0myo0que0=0 Es0onstnte0es0l0exentiidd0 L0hipéol0tiene0un0dietiz0p0d0foo Ls0dieties0se0otienen0en0l0inteseión0de0ls0 síntots0on0l0iunfeeni0pinipl ExentiiddM0mide0l0myo0o0meno0etu0de0ls0ms0de0l0uv0 0myo0vlo0de0exentiiddL0myo0etu0(l0uv0se0e00l0dietizz 0meno0vloL0l0uv0se0e0l0eje0elL0doptndo0un0fom0puntd =0R0e0R0 2 e0<0=000000< dos0semiets e0< <0í meditiz0de0, 2

53 IESsldeónsdeslssfsGijón ptolsdesdiujo puntessdesdiujosténiosyºshilleto ygltlí ÓNIS Hipéol Tzdo de l hipéol po puntos onsestesmétodosotenemosspejssdesdios vetoesh uysdifeenissiempesessonstntesesigulssíl sfs=s=sí y MmosspuntossyHsíHsqLLLssoeselsejespiniplL = = = y Hemossentosenselsfoosstomndosomo dioslsdistnisyhsíhsqlll Hemossentosenselsotosfoosonsdios=yHs=íHs=qLLL sevsques =ysfsys=sí =ísfsís=sílll Losspuntossdeslsotsmsdeslsuvssesonsiguen onslsmismsopeiónhsinvitiendoslossentosssys=h osienspossimetíl Tzdo de l hipéol po hes poyetivos R imeossitumossunspuntossdeslsuvh otenidosmedinteselsmétodosnteiol 3 TzmosselsetángulosRSL = = 2 1 S ividimosslossldossrsysssenselsmismosnúmeo desptessigulesl Luegostzmossetssquesunenselsvétiess onslssdivisionessdesrhsyselsvéties=s onslssdivisionessdesshsoteniendosens sussinteseionesspuntosspeteneientessslsuvl Lsmitdsinfeiosdesestsm yslsotsmssespuedensotenespossimetíl

54 IES0ldeón0de0l00=0Gijón ptom0de0diujo puntes0de0diujo0ténio0íº0hilleto íám) ÓNIS áol Lug0geométio0de0los0puntos0del0plno0que0equidistn0de0uno0fijo0denomindo0foo0 y0de0un0et0denomind0dietizm0es0un0uv0pln0y0ietm dietiz 0=0 ulquie0punto0de0l0uv0equidist0del0foo0y0de0l0dietizm Los0dios vetoes00y00unen0ulquie0punto00de0l0uv0 on0el0foo00y0pependiulmente0on0l0dietiz0dm V eje uent0on0un0eje0de0simetí0e0pependiul00l0dietiz0 y0en0el0que0se0enuent0el0foom 0000 El0vétie0V0es0punto0de0inteseión0de0l0uv0on0el0ejeM0 L0tngente pinipl t v 0es0plel00l0dietizM0 o0se0v0un0punto0de0l0uv0 equidist0del0foo0y0l0dietizm0v0=0v d t v ámeto0es0l0mitd0de0l0ued0 que0ps0po0el0foo0y0es0plel00l0dietizm ámeto0=0distni0del0foo00l0dietiz0=00 L0páol0puede0onsidese0omo0un0elipse0 uyo0segundo0foo0está0en0el0infinito0zes0impopiovm V eje L0dietiz0de0l0páol0equivle00l0iunfeeni fol del0foo0impopio0zy0po0tnto0se0onviete0en0un0etvm L0tngente0pinipl0t v zplel00l0dietiz0po0el0vétiev0 se0oesponde0on0l0iunfeeni pinipl0de0l0elipsem pámeto d í simétio de0 t v M T t y0zimpopiov eje L0dietiz0ziunfeeni0fol0del0foo0impopiov0es0 el0lug0geométio0de0los0puntos0simétios0del0foo00 on0espeto00ulquie0tngente00l0páol0z í 0en0l0figuvM L0tngente pinipl t v 0es0el0lug0geométio0de0los0puntos0 zm0en0l0figuv0que0estndo0en0ls0tngentes0son0 los0intemedios0ente0un0foo0y0su0simétio0on0espeto0 0ulquie0tngente00l0páol0es0dei0es0el0lug0 geométio0de0los0pies0de0ls0pependiules0 0ls0tngentes0desde0el0fooM El0punto0T0punto0de0ontto0de0un0tngente0 on0un0páol0está0linedo0on0un0foo0zel0impopiov zve0líne0de0puntos0en0l0figuvm0 y0el0simétio0del0oto0on0espeto00es0tngentem0 L0tngente0en0T0es0isetiz0del0ángulo0fomdo0po0T00y0 í M

55 IES0ldeón0de0l00v0Gijón ptom0de0diujo puntes0de0diujo0ténio0(º0hilleto (,mím( ÓNIS Exentiidd en l páol e0=000 0=0V 0=0V V0=0V e0=0( L0páol0es0l0úni0óni0uy0exentiidd0es0invilem0Siempe0vle0(m o0tntox0tods ls páols son semejntes0ltienen0l0mism0fomám 0simple0vistx0no0pee0sím0L0zón0de0esto0es0l0difeeni0de0esl0yo0 que0estmos0viendo0un0poión0de0l0uvm sev0l0páol0gnde0de0l0izquied0(0y0l0de0l0deeh0fm0son0l0mismx0peo0vemos0 sólo0un0fgmento0de0f 0l0izquiedx0(0y0)0son0homotétis0on0ento0de0homotei0en0Vm0L0difeeni0de0esl0 nos0he0vels0difeentesx0peo0lo0ieto0es0que0su0fom0es0igul30son0semejntesm sev0omo0ls0tngentes0son0plelsm d d V dt V TT T f T eje eje t tt ) (

56 IES0ldeón0de0l00y0Gijón ptoq0de0diujo puntes0de0diujo0ténio0nº0hilleto Nñq)q: ÓNIS Tzdo de l páol Tzdo po puntos dietiz Este0método0se0s0en0l0popiedd0fundmentl0de0que d0punto0de0l0uv0equidist0del0foo0y0de0l0dietizq V eje Mmos0divisiones0en0el0ejeq0onviene0que0sen0de0igul tmño0o0muy0peido0p0otene0puntos0distiuidos unifomementeq Numemos0ls0divisionesq o0d0división0tzmos0ets0pependiules0l0ejeq on0ento0en0el0foo,0tzmos0os0de0dio0l0distni0 ente0d0división0y0l0dietizq Ejemplo:0on0ento0en0el0foo0y0distni0Nd,0tzmos0os que0otn00l0pependiul0del0punto0nq Tzdo po ets o hes poyetivos d N imeo0otenemos0un0punto00gstnte0lejdo0del0ejev po0el0método0nteioq V 2 1 M eje onstuimos0el0etángulo0vmn0y0lo0dividimos0hoizontl y0vetilmente0en0el0mismo0númeo0de0ptes0igulesq Tzmos0ets0hoizontles0po0ls0divisiones0vetilesq Tzmos0ets0que0unen0el0vétie0V0on0ls0divisiones0 hoizontlesq0ests0ets0intesetn00ls0hoizontles en0puntos0de0l0uvq L0ot0mitd0de0l0uv0se0puede0otene0po0el0mismo método0o0plindo0simetíq0 Tzdo po tngentes envolventes d t v L0tngente0pinipl0t v0 es0el0lug00 geométio0de0los0pies0de0ls0pependiules0 0ls0tngentes0desde0el0fooq V eje Siendo0esto,0st0tz0vios0segmentos0desde0el0foo y0donde0enuentn00l0tngente0pinipl, tz0sus0pependiulesq0e0est0mne0diujmos muhs0tngentes0que0n0mostndo0l0uvq

57 IES0ldeón0de0l00v0Gijón ptof0de0diujo puntes0de0diujo0ténio0zº0hilleto záf URVS ÓNIS lguns pliiones de ls ónis demáshdehlshets,híulos,hplnoshyhesfeshquehonoehulquiehestudintehdeheulides,h loshgiegoshsínhlshpopieddeshdehlshuvshquehsehotienenhlhothunhonohonhunhplno:h lhelipse,hlhpáolhyhlhhipéol.hkeplehdesuióhlhnlizhsushosevioneshstonómish -yhnewtonhlohdemostóhmtemátimentehsoehlhsehdehlhleyhuniveslhdehlhgvitión-hqueh loshplnetshdesienhelipses.hsíhsehhizohdehlhgeometíhdehlhgeihntiguhpiedhngulhdehlh stonomíhmoden.h Jf0Lf0Synge09zÓíNvzíí7 Segund ley de Keple x i0 tn dis áe0x eihelio lnet Elhplnethuehlhdistnihx yhlhdistnihyhenhelhmismohtiempo. Lsháeshxhehyhsonhigules. Elhplnethsehmuevehmáshápido undohestáhmáshpóximohlhsol 0 9Sol7 áe0y felio 0y i n ist d Óits0elíptis0de0los0plnets0on0difeente0exentiiddf Sistem0LRN09Long0Rnge0Nvigtion7 L0uiión0de0todos0los0puntos0en0los0que0 ls0señles0de0ls0dos0estiones0están0 sepds0un0detemindo0intevlo0de0tiempo0 se0puede0epesent0medinte0un0hipéol0 uyos0foos0se0enuentn0en0 ms0estiones0emisosf0 áol0de0seguiddf0envuelve00tods ls0posiles0páols0lnzds0desde0un punto09p0poyetiles0on0igul0empuje7f Hono0solf0oloide0de0evoluiónf Los0yos0soles0se0onentn0en0el0foof Simil00un0nten0pólif L0tyetoi0de0un0poyetil09no0utopopulsdo7 po0ejemplo0un0l0o0un0fleh0es0siempe0un0páol desde0el0mismo0instnte0que0sle0del0ñónf