Capítulo 1: Ondas Electromagnéticas. Parte I Revisión Electromagnetismo Ecuaciones de Maxwell Relaciones Constitutivas

Transcripción

1 Capítulo : Ondas letomagnétias Pate I Revisión letomagnetismo uaiones de Maxwell Relaiones Constitutivas Gupo de Radiofeuenia, UC3M Tema : Ondas letomagnétias Mioondas--

2 Revisión letomagnetismo Idea intuitiva de Campo letomagnétio: Funión Matemátia (sala o vetoial) Ψ D R 4 3 : R Fenómenos obsevables (Las fueas sobe patíulas agadas) Popiedades físias fundamentales (La aga) La aga está uantiada Ley de Coulomb q 9 e,6 C qq C F ˆ Pinipio de Supeposiión: La fuea que expeimenta una aga debida a una distibuión de agas es la suma vetoial de las fueas individuales de ada una de ellas n un sistema aionaliado de unidades (MKSA) q q F ˆ 9 ε ( F / m) 8,854 ( F / m) 4π o 36π Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias fetos de pomedio; se estableen densidades volumétias, supefiiales y lineales de aga Mioondas--

3 Revisión letomagnetismo Po aones pátias y oneptuales se hae abstaión de los fenómenos obsevables y se genealia el modelo definiendo un ampo elétio que pesenta existenia de foma independiente a los efetos que genea Ε F q q 4πε Se tata de un ampo de fueas entales Sus unidades más habituales en MKSA son N/C ó V/m l pinipio de supeposiión se expesa entones omo ˆ Se intodue un nuevo veto de ampo (Veto desplaamiento elétio) asoiado de foma más intuitiva a la aga, asumimos una elaión lineal ente este veto y el veto ampo elétio ste veto pesenta la popiedad de se independiente del mateial en uyo seno se enuenten las agas. Su flujo a tavés de una supefiie eada que englobe a la aga es igual a la aga total (Teoema de Gauss) D D ds εε V ρdv Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Ε N i D qi 4πε ˆ Mioondas-- 3 i ρ

4 Revisión letomagnetismo LCTROSTÁTICA Las agas no vaían on el tiempo Las agas son las fuentes de l ampo es onsevativo Ε dl Ε Un ampo que umple esta popiedad se puede alula omo la divegenia de una funión esala φ Diha funión se denomina potenial eletostátio; la difeenia ente dos puntos es igual al tabajo que hay que ealia paa taslada una aga unidad ente ellos Una supefiie equipotenial seá aquella en la que se veifia que la funión potenial eletostátio es onstante, siendo el ampo pependiula a estas supefiies en todo momento Ε W Ε dl φ φ Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 4

5 Revisión letomagnetismo Se ha logado una desipión que inluye omo pinipales ventajas l poblema de la supeposiión queda eduido al de una funión esala l ampo se obtiene mediante una senilla difeeniaión No tiene sentido físio habla de niveles absolutos de potenial (o de niveles absolutos de enegía) φ' Tomando la divegenia del ampo se tiene la denominada euaión de Poisson ( ) φ( ) + te φ ρ ε Paa los puntos en los que se umpla que la densidad de aga es nula tenemos la vesión homogénea o euaión de Laplae φ La metodología básia en este tipo de álulos tataá de esolve el poblema de suma planteado en estas euaiones. Paa posteiomente obtene el ampo mediante una opeaión de gadiente. φ ( ) ρ( ') dv' 4 πε V ' Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Ε φ Mioondas-- 5

6 Revisión letomagnetismo MAGNTOSTÁTICA Las agas se mueven on veloidad unifome, las oientes son onstantes xpeimentalmente se obsevaon los efetos meánios ente líneas de oiente Una oiente elétia se ompota omo un imán poduiendo un ampo magnétio Se define un veto densidad supefiial de oiente elétia, la oiente quedaá estableida en téminos de la integal de diho veto J ρ v I J La aga ni se ea ni se destuye. Ley de onsevaión de la aga o euaión de ontinuidad de la aga S ds J t V ds + ρdv S J + ρ t Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 6

7 Revisión letomagnetismo Si la densidad de aga es una funión úniamente de la posiión y no vaía on el tiempo, la euaión anteio se onviete en: La intepetaión de diho esultado es que las líneas de flujo de oiente se iean sobe sí mismas, esto es, foman laos eados Cuando la oiente se podue dento de un onduto y dento del onoido omo magen lineal, se veifia expeimentalmente la onoida Ley de Ohm J σ Ε J Siendo sigma la ondutividad del medio (Ω - m - en MKSA), el valo de σ pemite a su ve lasifia a los medios omo ondutoes, semiondutoes y aislantes Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 7

8 Revisión letomagnetismo Fueas ente ondutoes: xpeimentalmente se deteminó la fuea mutua ejeida po dos iuitos de oiente, esta inteaión es popoional a las oientes que iulan po los iuitos y a una integal que depende sólo de la geometía dl dl µ dl ( dl F II π C C 4 3 ) I I 7 µ 4π ( / m) Siendo µ la pemeabilidad magnétia del medio Podemos intodui el onepto de ampo magnétio Una de las oientes podue un ampo que atúa sobe la ota Definimos el veto intensidad de ampo magnétio poduido po I I dl F µ I dl 3 4π n este sentido podemos afima que las J son las fuentes de ampo magnétio Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 8

9 Revisión letomagnetismo A efetos de alula el ampo magnétio, los medios mateiales se aateian mediante momentos dipolaes magnétios. Se define el veto de induión magnétia B omo B µ + B µ P m l heho de habe enontado el ampo (o B) mediante iuitos no signifia que no exista una inteaión magnétia F m µ qq 4π s una evidenia expeimental que no existen monopolos magnétios, lo que taduido al lenguaje matemátio signifia que la divegenia del veto B en un volumen difeenial debe se nula v v q v B B Se demuesta apliando lo visto hasta ahoa que el otaional de está dietamente elaionado on las oientes J (las fuentes), esta elaión es la onoida ley de Ampee J Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 9

10 Revisión letomagnetismo LCTRODINÁMICA Suponemos que las agas se mueven de foma abitaia A difeenia del aso eletostátio No es fatible sepaa las inteaiones poduidas po y, la fuea de Loent desibe la inteaión eletomagnétia Ley de Faaday Ley expeimental independiente Se asoia una fem a la vaiaión de flujo magnétio que pasa po un iuito Maxwell genealia la ley de Ampee, asumiendo que la oiente debe inlui la oiente de desplaamiento Ε dl F fem q( + v B) B t D J + t Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas--

11 uaiones de Maxwell B t D J + t D ρ B J σ D ε B µ ρ J + t uaiones de Maxwell Las dos pimeas son igualdades vetoiales que evidenian el aoplo del CM en su vaiaión tempoal La teea y uata son igualdades esalaes que deteminan la no existenia de fuentes puntuales paa B y el heho de que las fuentes de ampo son las agas -N L DOMINIO DL TIMPO- Relaiones onstitutivas stas tes euaiones vetoiales intoduen las onstantes mateiales que aateian eletomagnétiamente el medio sopote del ampo Paa un medio homogéneo e isótopo σ, ε y µ son esalaes Postulado de onsevaión de la aga elétia Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas--

12 uaiones de Maxwell Vamos a supone una dependenia de tipo amónio on el tiempo, en nuestas soluiones a las euaiones de Maxwell ste tipo de soluión se denomina estaionaia n la pátia tenemos ampos que feuentemente son de esta foma No se piede genealidad, ualquie dependenia on t puede se epesentada en una base de ondas monoomátias ( x, f ( t) y,, t) e jωt ( x, y, ) e jωt L CAMPO S FACTORIZABL emos onsideado el ampo instantáneo La foma fasoial oespondiente es ( x, y,, t) xa ˆ ( x, y, )os( ω t + φ) jφ ( x, y, ) xa ˆ ( x, y, ) e Paa tansfoma la soluión espaial dada po nuestos fasoes, en el ampo instantáneo on signifiado físio, seá sufiiente on inlui la dependenia tempoal amónia y quedanos on la pate eal ( x, y,, t) Re { x y e j t } ω (,, ) Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas--

13 uaiones de Maxwell s muho más pátio tabaja on la epesentaión fasoial Nuesto esfueo iá diigido a enonta en el dominio de la feuenia la pate espaial de la soluión Queda lao que omo la únia dependenia tempoal es de tipo amónio las deivadas on espeto al tiempo pueden eemplaase po multipliaiones jωµ J + jωε t jω CUACIONS D MAXWLL N L DOMINIO D LA FRCUNCIA nˆ ( D D ) ρs nˆ ( B B ) nˆ ( J J) jwρs nˆ ( ) J s nˆ ( ) CONDICIONS D CONTORNO Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 3

14 Relaiones onstitutivas CONDICIONS D CONTORNO N LA FRONTRA CON OTRO MDIO Medio mateial de ondutividad infinita La omponente tangenial del ampo se anula La omponente nomal de se anula l ampo vendá dado po las oientes J supefiiales Medio onduto no pefeto Pasamos a una desipión en téminos de una pemitividad ompleja σ + jωε jωε Si el medio es onduto podemos tatalo omo aislante de pemitividad ompleja σ ε ε j ωε ε ε ε ( j tanδ ) Si tenemos pesentes las esonanias de dipolos e iones ' ε ε '' ωε tanδ ' ωε '' jε + σ σ j ωε TANGNT D PÉRDIDAS LÉCTRICAS DL MATRIAL Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias nˆ B nˆ nˆ nˆ J s Medio mateial de ondutividad nula s lo que se onoe omo aislante pefeto Las euaiones se deduen sin más que anula la ondutividad σ Mioondas-- 4

15 Relaiones onstitutivas RLACIONS CONSTITUTIVAS (Resumen) emos visto la elaión ente los vetoes que desiben el eletomagnetismo (,,D,B) La desipión ompleta debe inlui los efetos de polaiaión en los medios mateiales tanto elétia P e omo magnétia P m emos intoduido un veto adiional que desibe la oiente J, dihas oientes sugen omo fuentes paa el ampo magnétio D B D εε B µ ε Ε + µ + J σ Ε P e P m Los paámetos que aateian el ompotamiento tanto elétio y magnétio omo la apaidad del mateial paa ondui la oiente son en geneal tensoes de segundo ango n nuesto aso suponemos que los medios a onsidea son homogéneos e isótopos y dihos paámetos se eduen a esalaes (en geneal omplejos, al inlui las pédidas del mateial) Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 5

16 S Veto de Poynting l ampo eletomagnétio almaena una antidad de enegía elaionada on las magnitudes de sus vetoes de ampo. La enegía ontenida en un volumen V seá. l álulo oeto de la enegía que popaga el ampo eletomagnétio debe inlui La onsideaión de los ampos omo magnitudes fasoiales, se debe alula el valo medio (el flujo instantáneo de potenia vaiaá de foma peiódia on t) Se debe intega el flujo en la seión a onsidea l valo intepetable seá la pate eal del veto de Poynting omplejo W em D dv + B dv La enegía eletomagnétia se popaga. Una desipión de diho fenómeno puede haese en téminos de veto de Poynting s el flujo de la enegía eletomagnétia a tavés de una supefiie po unidad de tiempo La dieión espeifiada po el veto de Poynting es peisamente la dieión en la que se popaga diha potenia eletomagnétia P m V S V S * * ds Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 6

17 Capítulo : Ondas letomagnétias Pate II Ondas planas Ondas planas en medios on pédidas Ondas planas y obstáulos Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 7

18 Ondas planas Planteamos las soluiones de las euaiones de Maxwell paa el ampo omplejo en medios sin fuentes, homogéneos, isótopos, sin pédidas y on vaiaiones del tipo, f ( ) e Tomando otaionales sobe las euaiones de Maxwell y simplifiando se llega a las euaiones de ondas + k l paámeto k eibe el nombe de númeo de ondas o onstante de popagaión sus unidades son (/m) Simplifiamos el poblema al aso D Cualquie dependenia de la pate espaial puede desomponese en una base de ondas planas s la soluión más senilla e intepetable Pemite intodui los oneptos de una foma iguosa e intuitiva jωt + k k ω εµ Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 8

19 Ondas planas Suponemos que nuestas soluiones no son funión ni de x ni de y, úniamente dependen de la vaiable espaial. Tomamos, sin pédida de genealidad, el ampo según el eje x. xx ˆ jωµ xˆ x x yˆ y y ˆ + Los ampos están en uadatua espaial Se veifia que si entones Qué aateístias tiene diha soluión onda plana? ˆ La amplitud es onstante e unifome en el plano, lo que nos lleva a una antidad de enegía infinita (no existen ondas planas) Los ampos y son tansvesales, no tienen ninguna omponente según el eje sobe el que se podue la popagaión Pemite apoxima soluiones eales, po ejemplo una onda esféia en ampo lejano es loalmente plana x yˆ y y ˆ Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 9

20 Ondas planas La euaión paa esta aso simplifiado se onviete en unidimensional, la soluión más geneal puede esibise en téminos de dos exponeniales omplejas La bondad de la soluión puede ompobase po una simple sustituión Las onstantes que apaeen en la soluión son omplejas y quedaán deteminadas en elaión a las ondiiones iniiales y de ontono d + k d [ i jk + jk e + e ]xˆ [ i jk + jk e + e ]yˆ Diha soluión puede intepetase en el dominio del tiempo en base a dos ondas viajeas (tavelling wave) Re { j t } ω e [ i os( ωt k) + os( ωt + k]yˆ [ i os( ωt k) + os( ωt + k]xˆ Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias n el dominio de la feuenia identifiamos e e jk + jk viaja viaja Mioondas-- +

21 Ondas planas INTRPRTACIÓN GOMÉTRICA [ i jkx + jkx e + e ]yˆ [ i jkx + jkx e + e ]ˆ Planteamiento geneal, la dieión de popagaión es abitaia v ( ) kˆ jk e Caateístias Vetoes y tansvesales a la dieión de popagaión (Ondas TM) Planos de fase onstante que se popagan según una dieión k Fente de onda plano os( ωt k ) Si la dieión de popagaión oinide on uno de los ejes se simplifian las expesiones Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas--

22 Ondas planas Tomemos un sentido de popagaión, un plano de fase onstante es un plano móvil pependiula a la dieión de popagaión ωt k te Se define la longitud de onda omo la distania ente dos máximos o mínimos onseutivos ( ωt k) [ ωt k( + λ)] π λ π k v f f La veloidad a la ual se mueve un punto de fase fija se denomina veloidad de fase La veloidad de fase en un medio mateial es siempe infeio a la veloidad de la lu en el vaio v f v f d dt ε d dt µ ωt te ω k k µε Donde es la veloidad de la lu en el vaío Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas--

23 Ondas planas Conepto de IMPDANCIA INTRÍNSCA Busamos una elaión ente las soluiones paa y Apliando la euaión del otaional se obtiene una elaión ente x y y Se sigue que la impedania intínsea liga el oiente ente y, paa una onda viajea La impedania es funión de los paámetos aateístios del mateial η x jkx jωµ µ ε [ Ω] y + [ i jk jk e e ]yˆ η Podemos entones esibi el ampo magnétio en elaión al elétio vía impedania intínsea Paa el vaío la impedania intínsea toma un valo eano a π ohmios, ualquie oto medio puede queda efeeniado al de esta antidad Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias µ η π ε µ η η π ε [ Ω] µ ε Mioondas-- 3 [ Ω]

24 e γ [ i jγ + jγ e + e ]xˆ [ i jγ + jγ e + e ]yˆ Ondas planas en medios on pédidas Al onsidea medios on pédidas empleamos pemitividades y pemeabilidades omplejas La onstante que apaee en las euaiones de ondas es ompleja La onstante de popagaión ompleja queda definida en téminos de la pemitividad y pemeabilidad del medio γ α + Consideando el fato de popagaión paa la onda viajea positiva vemos que queda una expesión en el dominio del tiempo α jβ α e e e os( ωt β) dominio de la feuenia jβ γ γ γ jω µ ε stas soluiones on una onstante de popagaión de la foma dominio del tiempo α β Cte de atenuaión (/m) Cte de fase (/m) Las unidades más feuentes de alfa son Nep/m o db/m y las de beta, ad/m. Un nepeio equivale a 8,68 db Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 4

25 Ondas planas en medios on pédidas n este aso tenemos una epesentaión de en téminos de γ [ i jγ + j e e ]yˆ η η µ ε jωµ γ Podemos analia algunos de los asos más impotantes y ve si se puede intodui alguna simplifiaión Ondas planas en medio buen dielétio (desaollando po Taylo en base a onsidea la tangente de pédidas pequeña) γ jω µ ε β ω jω µ µ ε ε j tanδ µε ε k tanδ α Ondas planas en medio buen onduto, las oientes de onduión son muho mayoes que las oientes de desplaamiento γ σ jω µε ε ( + jωε j) ωµε Se define la pofundidad de penetaión o espeso de piel δ s α ωµσ Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 5

26 Ondas planas y obstáulos Vamos a intodui algunas ideas elaionadas on la inteaión de ondas planas y obstáulos Suponemos dos medios aateiados po sus onstantes mateiales y sepaados po una supefiie plana S Consideamos úniamente el aso de inidenia nomal en el que la dieión de popagaión de la onda dada po k es pependiula a S i t Sea una onda plana inidente sobe S (desde la iquieda) on veto ampo oientado según el eje x Como esultado de la inteaión on el obstáulo se podue ^ Una onda eflejada en el medio, on sentido de popagaión haia la iquieda Una onda tansmitida o efatada en el medio, on sentido de popagaión haia la deeha Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 6

27 Mioondas-- 7 Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Ondas planas y obstáulos ^ i t y Te x Te t t ˆ ˆ γ γ η y e x e ˆ ˆ γ γ η Γ Γ Qué foma tienen nuestas ondas paa la soluión popuesta? y e x e i i ˆ ˆ γ γ η η η η η + Γ η η η + T ) ( ˆ ) ( ˆ n n Apliando la ondiiones de ontono de los ampos en la disontinuidad S obtenemos las elaiones que oespondes a los oefiientes de eflexión y tansmisión Γ T oefiiente de eflexión del ampo elétio en la disontinuidad oefiiente de tansmisión del ampo elétio en la disontinuidad

28 Qué foma tendá el ampo total en el medio? /4 / / e γ e η Ondas planas y obstáulos γ max min [ + Γ( ) ] xˆ [ Γ( ) ]yˆ γ i + e i + e η ( + Γe γ γ ( Γe La pinipal novedad en el poblema eside en la apaiión de un ampo total en el medio que es la suma de una onda inidente y una onda eflejada Diha ombinaión podue lo que se denomina una onda estaionaia en el medio Podemos intodui un oefiiente de eflexión genealiado que es funión de la vaiable Γ( ) Γ() e γ ) xˆ γ ) yˆ Se desplaa a lo lago del eje on una fase doble Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 8

29 Ondas planas y obstáulos Vamos a alula el módulo del ampo elétio total en el medio. l esultado es el onoido omo diagama de onda estaionaia. Vamos a analia el esultado en funión del tipo de medio, onsideando siempe el medio sin pédidas / max min Medio sin pédidas; el oefiiente de eflexión es un númeo eal + Γ() + Γ() os k Medio on pédidas; el oefiiente de eflexión es en geneal omplejo. La onda estaionaia omiena en un punto de fase abitaia + Γ() + Γ() os(k + φ) Γ( ) Γ() e jφ RO /4 s / max min Se define la elaión de onda estaionaia s omo el oiente ente el máximo y el mínimo valo del ampo elétio Γ Γ S S + Γ Γ Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 9

30 Ondas planas y obstáulos Suponemos ahoa que el medio es un medio onduto elétio pefeto / No puede existi ampo en un PC, tenemos paa los oefiientes T Γ l módulo del veto paa el medio es ahoa, lo que se onoe omo una onda estaionaia pua /4 / o Nulo n el aso geneal en el que onsideemos los medios y on pédidas La onda inidente y eflejada se atenúan Ya no es oeto (en sentido estito) habla de RO los valoes de max y min vaían on Γ( α jβ ) Γ() e e Gupo de Radiofeuenia, UC3M Ondas letomagnétias Mioondas-- 3