si trabajamos en el plano, o de tres r r r r k son los vectores unitarios en las r r

Transcripción

1 UNIDAD DIDÁCTICA 0. REPASO DE PRIMERO DE ACHILLERATO 1. EXPRESIÓN DE UN VECTOR SUS COMPONENTES Cualquie veto a uede eesase omo la suma de dos vetoes a, a b si tabajamos en el lano, o de tes vetoes a, a, a si tabajamos en el esaio, ada uno b z de ellos en la dieión de uno de los ejes de oodenadas. a = a i + a j donde a =a osα, a =a sen α e i, j son los vetoes unitaios en la dieión de los ejes e. a = ai + a j + azk donde i, j, k son los vetoes unitaios en las dieiones de los ejes, z. a = a + a + a El módulo del veto a es: z Si α, β γ son los ángulos que el veto a foma on los ejes de oodenadas, los omonentes son: a = a.os α a = a.os β a z = a.os γ Y se denominan osenos dietoes. Ejeiio 1: Dado el veto a = 3 i j + 4k, dedui su módulo el valo de sus osenos dietoes.. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES a b, El oduto esala de dos vetoes a b es un esala definido o la eesión: a b. = a. b. os α on α el ángulo que foman los dos vetoes El oduto esala de vetoes unitaios: i. i = j. j = k. k = 1 i. j = j. k = i. k = 0. A ati de los odutos esalaes de los vetoes unitaios se obtiene el oduto esala en funión de las omonentes de dihos vetoes: a. b = a. b + a. b + a. b z z 1

2 El oduto esala de dos vetoes es un númeo umle la oiedad onmutativa del oduto. De la definiión del oduto esala se dedue que uando dos vetoes son eendiulaes su oduto esala es eo. Ejeiio : Dados los vetoes a = i + j 5k b = i 6 j + 3k. Calula: a) El oduto esala. b) El valo del módulo de a b. ) Qué ángulo foman ente sí los vetoes a b?. 4. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES a b El oduto vetoial de dos vetoes a. b Λ es oto veto eendiula al lano que deteminan los vetoes a b de sentido indiado o la egla del tonillo, -figua 1.3-, que gia del veto a al veto b v siguiendo el amino más oto de módulo: = aλ. b = a. b. senα on α el ángulo que delimitan los vetoes El oduto vetoial de dos vetoes no umle la oiedad onmutativa figua 1.3- del oduto, ues aλ. b = bλa. Los odutos vetoiales i, j, k, umlen: i Λi = jλj = kλk = 0 i Λj = k jλk = i kλi = k kλj = i jλi = k A la eesión analítia del oduto vetoial se uede llega fáilmente o los deteminantes. Consideemos los vetoes a = ai + a j + azk b = bi + b j + bzk i j k a. b Λ = a a a z = (a b z - a z b ) i + (a z b - a b z ) j + (a b - a b ) k b b b z Ejeiio 3: Dados los vetoes a (1,-,5) b v (,-1,3). Halla el oduto vetoial a. b Λ.

3 5. DINÁMICA A) MASA Y MOMENTO LINEAL Desde el unto de vista inétio, el movimiento de un oheito de juguete que se mueve a m/s es idéntio al de una aisonadoa que se moviea on la misma veloidad. Peo si deseamos modifia ambos movimientos, entones evelan se mu distintos. La azón de esta difeenia adia en su difeente ineia o tendenia a mantene el estado de movimiento. Diha ineia es aateizada mediante la masa (ineial), de modo que: La masa es la medida uantitativa de la ineia de un ueo Esto nos india que el estado de movimiento de un ueo debe definise no sólo o su veloidad, sino también o su masa. Eisten dos magnitudes que ombinan masa veloidad: la enegía inétia el momento lineal o antidad de movimiento. El momento lineal o antidad de movimiento es la magnitud que aateiza el estado de movimiento de un ueo = m.v Como se dedue de la eesión, la dieión sentido de son los mismos que los de v. ) LEYES DE LA DINÁMICA DE NEWTON Vamos a eoda los enuniados de las lees de la Dinámia de Newton que enunió en Pimea le o le de ineia. Un ueo emanee en su estado de eoso o de movimiento unifome si no atúa ninguna fueza sobe él, o si la esultante de las fuezas que atúan es nula - Sobe un ueo sieme atúa una fueza (su eso, el ozamiento ). No obstante, si la esultante de todas las fuezas que atúan sobe el ueo es nula, la situaión equivale a que no atúe ninguna fueza sobe él. - Paa que un ueo se mantenga en MRU debe atua sobe él una fueza que se oonga a la de ozamiento la neutalie. Ejemlo 1. Calula la fueza que debe omuniase a un ueo de 300 Kg de masa aa que se deslie o el suelo on veloidad onstante si el oefiiente de ozamiento inétio es de 0,3. Soluión: 88 N. Segunda le o le fundamental de la dinámia Si sobe un ueo atúa una fueza F, éste adquiee una aeleaión, a v, dietamente ooional a la fueza aliada, siendo la masa, m, del ueo la onstante de ooionalidad. v F = m. a 3

4 - Si la fueza esultante sobe el ueo es eo, su aeleaión también es eo éste emaneeá en eoso o en MRU omo afima la imea le. - Si la fueza esultante es difeente de eo, la aeleaión tiene la misma dieión sentido que la fueza esultante. Ejemlo. Calule la aeleaión de un aquete de kg que asiende vetialmente atado a una ueda ua tensión es de 30 N. 5, m/s. Teea le o le de aión eaión Si un ueo ejee una fueza F 1 sobe oto ueo, éste a su vez ejee sobe el imeo una fueza F 1 on el mismo módulo dieión, eo de sentido ontaio v F1 = F 1 - Las dos fuezas F 1 F 1, llamadas de aión eaión, son simultáneas. - Aunque ambos fuezas son ouestas, no se anulan mutuamente, debido a que ejeen sobe ueos distintos. Ejemlo 3. Dibuja la fueza eso de un objeto su fueza de eaión e india sobe qué ueos están aliadas. ) EL IMPULSO MECÁNICO La veloidad final que alanza un ueo sobe el que atúa una fueza no deende sólo de la oia fueza, sino también del intevalo de tiemo duante el uál ésta inide sobe aquél. Así, el efeto de una fueza de gan intensidad que atúe duante un beve intevalo de tiemo uede se el mismo que el de una fueza de oa intensidad que se olongue duante más tiemo. Se denomina imulso meánio a la magnitud que ombina la fueza aliada el tiemo que dua su aliaión. Según se desende de la segunda le: ( vf vi) F = m. a F = m F. t = m( vf vi) I = t suoniendo que el tiemo iniial es eo. El imulso meánio I es igual a la vaiaión de la antidad de movimiento de un ueo. En el aso más simle de que dos atíulas totalmente aisladas inteaionen ente sí, o ejemlo que hoquen omo las bolas de dos éndulos, según la teea le de Newton: v F1 = F 1 I = 0 ; o tanto, v = 0 i = f El momento lineal que haa edido una atíula en la inteaión lo habá ganado la ota, de modo que en su onjunto no habá vaiado. Po onsiguiente, el momento lineal total de un sistema emanee onstante. 4

5 Ejemlo 4. Una oa iniialmente en eoso, tas se dinamitada elota dividiéndose en tes tozos iguales. Dos de ellos salen on veloidades de 80 m/s 60 m/s haia el Note el Este, esetivamente. Calula la veloidad la dieión del tee fagmento. Soluión: 100 m/s; 53,1º. Ejemlo 5. Dos bolas de kg 5 kg se mueven en la misma dieión sentidos ontaios on veloidades esetivas de 3 m/s 4m/s, hoan quedan unidas. Calula la veloidad del sistema desués del hoque. Soluión: m/s. d) TRAAJO MECÁNICO El tabajo meánio ealizado o una fueza onstante F que atúa sobe un ueo que ealiza un deslazamiento es igual al oduto esala ente la fueza el deslazamiento. Es dei: W = F. = F osα Esta definiión tiene las siguientes onseuenias: - Si la fueza que atúa es eendiula al deslazamiento, no ealiza ningún tabajo. La azón es que en este aso os α = os 90º=0, o lo que W=0. - Si la fueza atúa en la misma dieión sentido del deslazamiento, el tabajo que ealiza es máimo. En este aso, os α = os 0=1,, en onseuenia, W = F. - Si la dieión de la fueza foma ieto ángulo on la dieión del deslazamiento, sólo ealiza tabajo la omonente de la fueza que atúa en la dieión del deslazamiento. Po la definiión del oduto esala, vemos que justamente la omonente de F en la dieión del deslazamiento. F osα es - Si el sentido de atuaión de la fueza o de su omonente en la dieión del deslazamiento es ontaio a éste, entones el tabajo ealizado o diha fueza es negativo, ues se oone al deslazamiento. Esto oue uando el ángulo que foma la fueza el deslazamiento tiene un valo omendido ente 0º 180º. El oseno de ualquie ángulo omendido ente esos valoes es negativo. Ejemlo 6. Un ueo de 1 kg se desliza o un lano inlinado de 10 m de inlinaión 30º. Calula el tabajo ealizado o todas las fuezas que atúan sobe el ueo si se sabe que el oefiiente de ozamiento inétio es 0,1. e) TRAAJO Y ENERGÍA CINÉTICA. TEOREMAS DE LAS FUERZAS VIVAS La enegía inétia es la enegía que uede inteambia un objeto o el heho de esta en movimiento eseto a un sistema de efeenia. Suongamos un ueo que se deslaza o una taetoia ualquiea bajo la aión de una fueza, F. Como a sabemos que la únia omonente que ealiza tabajo es aquella que atúa en la dieión del 5

6 deslazamiento, que llamamos fueza tangenial. Así ues, el tabajo ealizado o la fueza uando el ueo se taslada una distania ente dos untos A es: dv d 1 W = F d A = dt dt. = Ft. d = m. d m. dv. m. v. dv mv mv A A = A = A A Suoniendo que la masa emanee onstante duante el deslazamiento. Po onsiguiente sea ual sea el tio de fueza que atúa, el tabajo ealizado equivale a la difeenia de dos téminos idéntios elaionados on la masa del ueo su veloidad en ada unto. 1 El témino ½ mv se denomina enegía inétia. Así ues: Sea ual sea la natualeza de la fueza o fuezas que atúen sobe un ueo, el tabajo total ealizado al tasladalo ente dos untos es igual a la vaiaión de la enegía inétia f) TRAAJO Y ENERGÍA POTENCIAL: FUERZAS CONSERVATIVAS Suongamos que dejamos ae un ueo desde una osiión A hasta ota. El tabajo ealizadazo o la fueza eso vendá dado: W = F. d = mg.( d) = mg d = mg( A ) = E A A donde mg es la enegía otenial gavitatoia en un unto a una altua. A En este desaollo suonemos que g es onstante en el desenso, lo ual úniamente es ieto aa altuas equeñas en omaaión on el adio teeste. De la eesión anteio se dedue que: El tabajo ealizado o la fueza gavitatoia sobe los ueos es igual a la vaiaión negativa de la enegía otenial gavitatoia. Al mismo esultado habíamos llegado si se tata de un ueo que ae, desués de habe sido lanzado hoizontalmente, baja la aión de la fueza gavitatoia desibi una taetoia aabólia. A la hoa de alula el tabajo, sólo había inteesado onoe las osiiones iniial final del ueo. Este heho es ieto úniamente aa un deteminado tio de fuezas, que se denomina fuezas onsevativas. Una fueza es onsevativa si el tabajo ealizado sobe un objeto (sistema), uando desibe una taetoia eada, es eo; es dei, el tabajo ealizado o una fueza onsevativa deende úniamente de las osiiones iniial final del objeto; es indeendiente de la taetoia. Ejemlos de fueza onsevativa: la fueza gavitatoia, fueza eletostátia la fueza elástia. El alifiativo de onsevativa se debe a que, bajo su elusiva aión, la enegía meánia de un ueo emanee sieme onstante. 6

7 g) CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA Suongamos un sistema en el que solamente oban fuezas onsevativas. Según vimos al estudia el tabajo la enegía, el tabajo ealizado o las fuezas de ualquie tio es igual a la vaiaión de la enegía inétia del sistema: W = E C Peo hemos omobado que si las fuezas son onsevativas, el tabajo ealizado o ellas también equivale a la vaiaión negativa de la enegía otenial. W = E Dado que estamos hablando en los dos asos del mismo tabajo, entones: E = C E Y o tanto: E + E = 0 ( E + E ) = 0 C Po onsiguiente, si sobe un sistema solamente atúan fuezas onsevativas, entones la suma de la enegía inétia más la otenial no vaía (emanee onstante). La eesión anteio, también, se uede esibi: ( E + E ) ( E + E ) = 0 ( E + E ) = ( E + E ) final iniial si a la suma de la enegía inétia más a la otenial la denominamos enegía meánia del sistema, odemos enunia el llamado iniio de onsevaión de la enegía meánia del siguiente modo: La enegía meánia de un sistema emanee onstante si las fuezas que atúan sobe él son onsevativas. iniial final h) CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA EN PRESENCIA DE FUERZAS NO CONSERVATIVAS (DISIPATIVAS) Estas fuezas se denominan así oque disian la enegía meánia de un sistema. Un ejemlo es el ozamiento que hae que un ueo aabe ediendo su enegía inétia hasta que se aa o omleto. El tabajo ealizado o las fuezas no onsevativas es igual a la vaiaión de la enegía meánia del sistema. Este tabajo es negativo, o lo que oduiá sieme una disminuión de la enegía meánia del sistema. Así; Las fuezas disiativas ealizan un tabajo que se emlea en disminui o disia la enegía meánia del sistema. El tabajo ealizado o la fiión, o ejemlo, hae que ate de la enegía meánia del sistema se disie en foma de alo, Q, de modo que: 7

8 Q = ( E + E ) ( E + E ) + Q = 0 eesión que onstitue una fomulaión más geneal del iniio de onsevaión de la enegía. EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD: APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON Y DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA 1. Un tineo de 100 kg ate del eoso desliza haia abajo o la ladea de una olina de 30º de inlinaión eseto a la hoizontal. a) Haga un análisis enegétio del deslazamiento del tineo suoniendo que no eiste ozamiento detemine, aa un deslazamiento de 0 m, la vaiaión de sus enegías inétia, otenial meánia, así omo el tabajo ealizado o el amo gavitatoio. b) Elique, sin neesidad de álulos, uáles de los esultados del aatado a) se modifiaían uáles no, si eistiea ozamiento.. Un bloque de 10 kg desliza haia abajo o un lano inlinado 30º sobe la hoizontal de longitud m El bloque ate del eoso eeimenta una fueza de ozamiento on el lano de 15 N. a) Analie las vaiaiones de enegía que tiene luga duante el desenso del bloque. b) Calule la veloidad del bloque al llega al etemo infeio del lano inlinado. 3. Un automóvil aana sobe una aetea eta hoizontal, alanza una ieta veloidad que mantiene onstante duante un ieto tiemo, finalmente, disminue su veloidad hasta detenese. a) Elique los ambios de enegía que tienen luga a lo lago del eoido. b) El automóvil iula desués o un tamo endiente haia abajo on el feno aionado mantiene onstante su veloidad. Razone los ambios enegétios que se oduen. 4. Comente las siguientes afimaiones: a) Un móvil mantiene onstante su enegía inétia mientas atúa sobe él: i) una fueza; ii) vaias fuezas. b) Un móvil aumenta su enegía otenial mientas atúa sobe él una fueza. 5. Se deja ae un ueo de 10 kg de masa o un lano inlinado 30º on eseto a la hoizontal desde 30 m de altua. Si el oefiiente de ozamiento ente el ueo el lano es igual a 0,, alula: a) La enegía meánia del ueo en el instante iniial. b) La enegía edida en el desenso a ausa del ozamiento. ) La veloidad del ueo al llega al final del lano. 6. Un bloque de 5 kg se desliza on veloidad onstante o una suefiie hoizontal mientas se le alia una fueza de 10 N, aalela a la suefiie. 8

9 a) Dibuja en un esquema todas las fuezas que atúan sobe el bloque elia el balane tabajo-enegía en un deslazamiento del bloque de 0,5 m. Soluión: Se disia en foma de alo. b) Dibuja en un esquema todas las fuezas que atuaían sobe el bloque si la fueza que se le alia fuea de 30 N en una dieión que foma 60º on la hoizontal, e india el valo de ada fueza. Calula la vaiaión de enegía inétia del bloque en un deslazamiento de 0,5 m. Dato: g = 10 m/s. 7. Un tineo de 100 kg desliza o una ista hoizontal al tia de él on una fueza F, ua dieión foma un ángulo de 30º on la hoizontal. El oefiiente de ozamiento es 0,1. a) Dibuje en un esquema todas las fuezas que atúan sobe el tineo alule el valo de F aa que el tineo deslie on movimiento unifome. b) Haga un análisis enegétio del oblema alule el tabajo ealizado o la fueza F en un deslazamiento de 00 m del tineo. g = 10 m/s 8. Un bloque de 50 kg de masa asiende una distania de 6 m o un lano inlinado 37º on la hoizontal que esenta un oefiiente de ozamiento de 0,, aliándole una fueza onstante de 490 N aalela al lano. Calula: a) El tabajo ealizado o la fueza aliada; b) el inemento de enegía inétia del bloque; ) el aumento de enegía otenial del bloque; d) el tabajo ealizado onta la fueza de ozamiento; e) a qué equivale la suma de los téminos alulados en la segunda, teea uata egunta?. 9. (Seletividad 008). a) Consevaión de la enegía meánia. b) Un ueo desliza haia aiba o un lano inlinado que foma un ángulo α on la hoizontal. Razone qué tabajo ealiza la fueza eso del ueo al deslazase éste una distania d sobe el lano. 10. (Seletividad 010).Po un lano inlinado que foma un ángulo de 30º on la hoizontal se lanza haia aiba un bloque de 10 Kg on una veloidad iniial de 5 m/s. Tas su asenso o el lano inlinado, el bloque desiende egeso al unto de atida on una ieta veloidad. El oefiiente de ozamiento ente el lano el bloque es 0,1. a) Dibuje en dos esquemas distintos las fuezas que atúan sobe el bloque duante el asenso duante el desenso e indique sus esetivos valoes. Razone si se veifia el iniio de onsevaión de la enegía en este oeso. b) Calule el tabajo de la fueza de onsevaión de la enegía en este oeso. g = 10 m.s - 9