CAPITULO 5. EL SISTEMA COMPLETO DE ECUACIONES.

Transcripción

1 CAPIULO 5. EL SISEMA COMPLEO DE ECUACIONES. ECUACIÓN DE CONINUIDAD. La onseaión de la masa es un iniio fundamental en meánia de fluidos. Afima que la masa no uede se eada ni destuida, o lo que la masa de una aela de fluidos se debe onsea. Matemátiamente, el iniio de onseaión de la masa se exesa on la euaión de ontinuidad. Si dm es la masa ontenida en un olumen dv de densidad, la masa total M en V es: M = ρ dv V La antidad de masa que deja el olumen V a taés de la suefiie da en un intealo de tiemo es ( ρ nˆ da) = dm. Esta exesión se uede dedui on la ayuda del siguiente esquema, que es una ista de lado de un áea da de la suefiie A del olumen. ESQUEMA De la figua se obsea que el olumen ontenido en las ajas on lados y (osθ) es el mismo, y omo: ( os θ) = nˆ osθ = nˆ 1 Ca. 5

2 el olumen es dv = ( nˆ )da, y la masa es dm = ρdv = ρ nˆ da El flujo de masa F m a taés de la suefiie A en un tiemo es. F ( nˆ da) m = ρ A La aiaión de masa M en el olumen V M = ρ dv = ρ dv donde se uede difeenia el integando ya que, el olumen es abitaio, eo fijo. Po el iniio de onseaión de la masa, la édida de masa dento de V debe se igual al flujo neto de masa en el intealo, así: M = Fm M ρ = = ρ nˆ da A ρ d + ρ nˆ da = 0 V A Usando el teoema de la diegenia, se uede esibi: V ρ dv + V ( ρ ) dv = 0 2 Ca. 5

3 Como el olumen es abitaio y ale la hiótesis del ontinuo, se obtiene: ρ + ( ρ ) = 0 que es la euaión de ontinuidad, india que la densidad en un luga fijo del esaio ambia debido a la diegenia de momentum. Al témino ( ρ ) se le llama también diegenia de masa. Ota foma de esibi la euaión de ontinuidad es desaollando la diegenia de masa ( ρ ) = ρ + ρ entones se uede eemlaza en la euaión de ontinuidad ρ + ρ + ρ = 0 dρ + ρ = 0 que die que el ambio de la densidad de una aela on el tiemo es ooional a la diegenia de la eloidad, es dei al ambio de olumen de la aela de fluido. La última euaión de ontinuidad se uede esibi también en la foma: Como 1 dρ = ρ M = ρv dm dv = ρ + V dρ / 1 ρv 3 Ca. 5

4 1dM 1dV 1 dρ = + M V ρ 1 d 1 dv = ρ V Ya que dm/ = 0 ues la aela onsea su masa, eemlazando en la euaión de ontinuidad queda: 1 dv = V 1 dv = V que die que la diegenia de la eloidad eesenta la tasa de ambio del olumen de la aela o unidad de olumen. Si la densidad de una aela de fluido en moimiento no ambia, dρ/ = 0, eo esto no signifia que la densidad sea onstante, ya que, ni dρ/ ni ρ son neesaiamente eo. Se define: Fluido inomensible: Es aquel en el ual la densidad de una aela no es afetada o ambios de esión isotémios. Fluido homogéneo: Es aquel que tiene una densidad onstante y unifome. dρ dv Paa un fluido inomensible = 0 = 0 ontinuidad se edue a: = 0 y la euaión de 4 Ca. 5

5 Así en un fluido inomensible, o no diegente, el olumen de la aela se uede defoma, eo no ambia su alo numéio. En la atmósfea, aa flujos en gan esala, la diegenia tíia es del oden 6 1 de dρ s, esto es 10 s o lo que la atmósfea uede se ρ tatada omo un fluido inomensible, aunque de heho, no lo es. LA ECUACIÓN DE ESADO Paa ualquie substania homogénea (sólido, líquido o gas) existe una elaión definida ente la esión, olumen eseífio y temeatua, tal que: F(, α, ) = 0. donde α = V/M es el olumen eseífio 1/ρ. Esta elaión se llama euaión de estado y existe aa ada substania, aunque no es osible esibi una exesión analítia simle en el aso geneal. Gas ideal: Es un gas aa el ual α m / = R *. Aquí R se llama onstante uniesal del gas, R * = J/(kgmol K), y α m es el olumen mola eseífio, α m = V/n, on n el númeo de moles del gas. Po definiión, la euaión de estado de un gas ideal es: α m = R O bien: V = nr Si 0, V 0 y 0 son los aloes en ondiiones nomales (1 atm, 0 º C), aa un mol de gas se tiene: 5 Ca. 5

6 R = 1mol ( J / kg mol K) K = 1mol Pa 0 V0 5 0 V o = m 3 = 22.4 lt. es el olumen que oua un gamo mol de ualquie gas en ondiiones nomales y se llama olumen mola. Si PM es el eso moleula del gas y M la masa total del gas, entones el númeo de moles n de gas esente, se elaiona a taés de: M = n(pm) Ahoa si M 0 es la masa de una moléula, y si N 0 es el númeo total de moléulas esente, la masa total M del gas es: M N 0 0 M = n( PM ) = M N n = 0 0 PM El númeo N 0 es una onstante uniesal llamado númeo de Aogado, es igual al númeo de moléulas de un mol de substania, su alo es: N 0 = x /mol ± 6.3 x Así un gamo - mol de ualquie gas ontiene 6.02 x moléulas. Se uede extende la euaión de estado de un gas ideal a un gas ualquiea en la foma: α = R donde R es la onstante del gas, tiene un alo difeente aa distintos gases. 6 Ca. 5

7 Como α = 1/ρ = V/M V = MR = ρr Ahoa, omo M = n(pm), entones Y omo PV = n(pm)r = n(pmr) PV = nr nr = n( PMR ) R = R PM La onstante del gas eseífio es igual a la onstante uniesal del gas diidido o el eso moleula del gas onsideado. La atmósfea es una mezla de gases, y el alo de la onstante del aie R aie deende de su omosiión. Paa aie seo se denota o R d y omo el eso moleula del aie seo es PM = , su alo es R d = 287, 05 J / kg K LA ECUACIÓN DE ENERGÍA ERMODINÁMICA. La imea ley de la temodinámia es una afimaión del iniio de onseaión de la enegía, y die que el flujo neto de enegía a taés del límite de un sistema es igual al ambio neto en la enegía del sistema, es dei la enegía no uede se eada ni destuida. Piniio de onseaión de la enegía: La aiaión de la enegía total de un sistema es igual a la suma de alo tansfeido al sistema y el tabajo heho sobe el sistema. 7 Ca. 5

8 Si e t es la enegía eseífia total de un sistema, dq el alo agegado a una masa unitaia y dw el tabajo, ositio uando el sistema ealiza tabajo sobe su ambiente, negatio en aso ontaio, entones del iniio de onseaión de enegía se exesa en la foma de t = dq dw. La e t se omone de muhas fomas de enegía, las más omunes en fluidos geofísios son: 1 = du + d( ) + dφ 2 de t 2 u: Enegía intena : Enegía inétia (meánia) φ: Enegía otenial (meánia) En nuesto aso nos inteesan sólo las tansfomaiones aa un sistema en equilibio. Entones el alo entegado al sistema es usado sólo aa hae tabajo onta el medio y aa ambia la temeatua del sistema, es dei aa ambia su enegía intena. Así de t = du solamente, y la exesión de la imea ley de la temodinámia toma la foma: de t = du = dq dw dq = du + dw Reasando los onetos de temodinámia, se tiene que aa un gas ideal du = d Y el tabajo temodinámio o unidad de masa es dw = dα( o dw = dv ) 8 Ca. 5

9 o lo que la imea ley de la temodinámia se tansfoma en: dq = d + dα ambién se sabe que = + R, y de la euaión de estado α = R dα + αd = Rd eemlazando en dq, queda: dq = d + Rd αd = ( + R )d αd dq = d αd Paa aie seo, se tiene: = 1004, 64 = J kgk J kgk = = R d R d Genealmente la euaión (o imea ley) de la temodinámia se esibe en foma más usual tomando su deiada temoal. Si dq/ es la tasa de alentamiento o unidad de masa debido a adiaión, onduión o oneión, entones: dq = d α d 9 Ca. 5

10 Poeso adiabátio: Un oeso duante el ual un sistema no inteambia alo on el ambiente. Paa un gas ideal dq=0 y: 0 = d 0 = d αd d d α = = + dα α dα = d = te dα d(ln ) = d α ( ln1 α ) Usando la euaión de estado, se obtienen: ( ) 1 = te R = te α 1 = te Un oeso que oue nomalmente en la atmósfea es aquel en que una aela de aie se llea adiabatiamente desde un niel donde la esión es 1 la temeatua y 1 a oto niel on aloes 2 y 2, entones: 1 R R = Si una aela de aie seo fuea exandida o omimida adiabátiamente al niel de esión de 1000 Ha = 1, tendía en ése niel una temeatua θ, llamada temeatua otenial, entones 10 Ca. 5

11 Θ R 0 = R Θ = R 0 ; = hpa La entaja de defini Θ es que una oiedad onseatia es un oeso adiabátio. Entoía. tiene: omando la imea ley de la temodinámia y diidiendo o, se dq = d α d De la euaión de estado α/ = R/, eemlazando se obtiene: dq = dq = d d R ( lnθ) d = dθ θ La antidad d( lnθ) es una difeenial exata, o lo tanto dq/ también debe selo, o lo que debe se la difeenial de alguna oiedad del sistema que es sólo funión de estado. Esta oiedad se llama la entoía eseífia s, entones dq ds = = d ln ( Θ) En un oeso adiabátio, dq = 0 y dθ = 0, entones ds = 0, la entoía es onstante en un oeso adiabátio, que a su ez es isentóio. 11 Ca. 5

12 La segunda ley de la temodinámia afima que el inteambio de alo en un oeso eesible es dq = ds Combinando on la imea ley aa un gas ideal ds = d αd diidiendo o y usando la euaión de estado, luego tomando la deiada temoal, se tiene: ds = d ( ln ) d( ln ) R que es una foma altenatia de la Pimea ley de la temodinámia (foma entóia). ambién se uede esibi en funión de la temeatua otenial θ aa aie seo: ds = d ( lnθ) Es ota foma de la euaión temodinámia; die que es un oeso eesible la toma de ambio faional de θ es ooional a la tasa de ambio de la entoía. Una aela onsea su entoía siguiendo al moimiento a lo lago de una suefiie isentóia θ=te. 12 Ca. 5

13 EL SISEMA DE ECUACIONES. La desiión del moimiento del fluido está basada en las leyes físias de onseaión del momentum, de la masa y de la enegía, a las uales se agega la euaión de estado aa el aso de un gas ideal, que se exesan matemátiamente o las euaiones: d 1 + 2Ω + g = F ρ dρ + ρ = 0 dq d dα = + α = R R Este se onoe omo el onjunto de euaiones imitias. Suoniendo onoida la fueza de fiión F R, y que se uede eseifia dq/, entones este sistema onstituye un onjunto de seis euaiones aa las seis aiables deendientes u,, w,, ρ y, y las uato aiables indeendientes x, y, z, t. Aliadas a la atmósfea, onstituyen el onjunto de euaiones de onóstio del tiemo, usadas en el oblema de la ediión. odas las euaiones son de ime oden en el tiemo, exeto la euaión de estado que es dieta. El sistema uede se esuelto imoniendo ondiiones iniiales y de ontono. Su soluión analítia no es onoida, ya que las euaiones difeeniales aiales son no lineales. Se ueden obtene soluiones aoximadas o métodos numéios. Peo suge ota difiultad fundamental: no se onoen las aiables deendientes (u,, w,, ρ, ) omo funiones ontinuas de (x, y, z, t), ni aún en el instante iniial. Los análisis de los maas intentan ooiona su onoimiento en foma geogáfia. Paa alia los métodos numéios se debe imagina que se tiene una ed de obseaiones sufiientemente densa que uba todo el fluido omo un etíulo tidimensional. El oblema fundamental es: ómo onstuimos una distibuión ontinua de aámetos atmosféios (u oeánios) de los datos medidos en untos ubiados al aza? 13 Ca. 5