Temas Teóricos. (Tomadas de los autores: J. Jackson, J. Stratton, E. Fermi y W. Panofsky)

Transcripción

1 1 Temas Teóios Eletomagnetismo Reisión de temas Eletomagnétios. Lino Spagnolo. (Tomadas de los autoes: J. Jakson, J. Statton, E. Femi y W. Panofsky) Alededo del año 1960 hubo una auténtia eoluión en la ompensión de las fuezas de la natualeza: la fueza fuete en el inteio del núleo del átomo, la fueza débil en los poesos de desintegaión o deaimiento, la fueza eletomagnétia en las inteaiones ente el núleo atómio y los eletones o ente ualquie onjunto de agas elétias y la fueza gaitatoia que atúa ente las masas, desde las atómias hasta las integalátias. También se pofundizó en el onoimiento de la omposiión de la mateia y en otas amas de la ienia omo la biología y la químia. En los años 90 la Eletodinámia, juntamente on la Teoía Standad, se oniete en el seto ientífio que mejo desibe las aateístias e inteaiones de las patíulas elementales. Es la époa en que se desibe on peisión omo las inteaiones fuetes, débiles y eletomagnétias, basadas en sus onstituyentes, quaks y leptones, atúan a taés de sus mediadoes de fueza, que son espetiamente los gluones, bosones W y Z, y los fotones. El esquema teóio que unifia estas dos teoías se fundamenta en los pinipios de la inaiania gauge de las fuezas, y en las simetías disetas de las popiedades de las patíulas. En el Modelo Standad, la Eletodinámia Clásia es un límite on la Eletodinámia Cuántia (llamada beemente QED), que toma peeminenia paa los aloes pequeños de: el impulso, la enegía de inteambio y on la pesenia de gandes antidades de fotones ituales o eales. Luego del Big Bang las inteaiones eletomagnétias y las inteaiones débiles ean un ontinuo y los mediadoes ean de masa nula, omo en el aso de los fotones. Posteiomente (millones de años luego del Big Bang) ouió el fenómeno de la otua espontánea de la simetía y las dos fuezas se difeeniaon, po un lado la fueza débil y po el oto la eletomagnétia. La QED es la teoía unifiada que tata ambas fuezas. Con el fotón omo potado de la fueza eletomagnétia (Ley de Coulomb) y un adio de aión pátiamente infinito. Mientas que on la fueza débil o de baja enegía, apaeen dos potadoes de la misma; on un adio de aión muy pequeño del oden de y que adquieen masas del oden de 80 a 90 Ge. La teoía unifiada QED m, demuesta que el adio de aión y la intensidad de la inteaión débil están ligados a taés de la onstante de estutua fina 1 α. 137 El Modelo Standad, junto on la Teoía de la Relatiidad Geneal, popoiona una desipión muy peisa de los fenómenos de la natualeza en sus aspetos que an

2 desde el inteio del núleo, la nano y mioeletónia, a los fenómenos otidianos inulados a los teléfonos elulaes, mioomputadoas, edes de omuniaión, adaes, et. No obstante la Meánia Clásia y la Eletodinámia Clásia fueon los pogenitoes paa la ompensión global atual y ontinúan desempeñando un ol fundamental en la ida pátia, en las taeas de inestigaión teóia y en los laboatoios de inestigaión. Notas aea de las euaiones de Maxwell. De las popiedades integales de los ampos elétios y magnétios se pueden dedui las euaiones difeeniales de Maxwell. Desde un punto de ista pedagógio, las expesiones difeeniales de las leyes de Maxwell, siempe han esultado más simples de ompende que las expesiones integales, si bien las euaiones integales son más senillas de utiliza paa el álulo numéio o paa el álulo on medios omputaizados. I ) : Flujo del ampo elétio o de la induión elétia. Ley de Gauss. Φ = D nˆ ds = D d = ρ d = Q e S Si en una egión existen agas elétias puntuales ρin D = ρin E = ε Q o una densidad de agas ρ en un olumen finito, se alula el alo del ampo elétio E o de la densidad de flujo elétio D en ada elemento de la supefiie que odea la aga, y luego es posible alula su flujo a taés de la supefiie. Φ e = D nˆ o on la integal: Φ e = D nˆ ds = ε E nˆ ds S S i La popiedad integal que aateiza al flujo de induión elétio se halla en base al teoema de Faaday, según el ual, si una supefiie metália odea ompletamente una ieta aga en su inteio, se indue en la aa inteio de la supefiie ondutoa una aga igual y de signo opuesto a la ontenida. (Esto oue on ualquie supefiie, peo el aso de la supefiie metália es pedagógiamente más laa paa el alumno). Como esa aga es popoional al flujo del eto densidad de induión elétia D a taés de la misma supefiie, se obtendá, ía la Ley de Gauss, el alo: Φ = D nˆ ds = D d = ρ d = Q Caga total ontenida. e S in T T S

3 3 De la ual se dedue la euaión difeenial: in D = ρin E = ρ ε II) : Tabajo o iulaión del ampo eletostátio. La popiedad integal del ampo eletostátio E se obtiene a pati de la Ley de Faaday, según la misma, el tabajo de la fueza neesaia paa moe una aga unitaia q ( F = qe), po un amino eado, en un medio en que existe una distibuión de agas elétias, es nulo. Es dei, al se la aga unitaia la integal es tanto de la fueza omo del ampo: W F dl = = 0 E dl = 0 Esto signifia que el ampo elétio existente en esas ondiiones es onseatio y que se deia de una funión potenial que depende de las oodenadas. E = o sea : E = 0 Si la iulaión en luga de ealizase en un iuito eado se efetúa ente dos puntos R1 R la integal uilínea seá: E dl = dl = ( ) = R R R1 R1 C C R R1 R1 R Esta euaión nos señala que el tabajo de la fueza elétia paa moe la unidad de aga ente dos puntos es igual a la difeenia de potenial ente los mismos. El signo negatio de la difeenia de potenial se debe a que el potenial ee de R a R, mientas que el ampo elétio ee en el sentido ontaio. 1 = R E dl R1 R R1 El amino señala una disminuión del potenial. Los aloes de 1 epesentan la difeenia de enegía potenial (o R R potenial, po tatase de la unidad de aga) ente 1 ealizó ente un punto de enegía potenial mayo a oto de enegía potenial meno. La iulaión del ampo elétio se denomina difeenia de potenial o fueza eletomotiz, siendo su expesión: R y R, o sea, la iulaión se

4 4 R e = E dl = R R 1 ( ) R1 II ') y III ) : Flujo del ampo magnétio y Ley de Faaday. Supongamos que junto al ampo elétio E también existe un ampo magnétio H, o un ampo de induión magnétia B. En estas ondiiones los fenómenos elétios y magnétios ambian fundamentalmente. Además debe onsidease omo asos difeentes aquellos en que B es unifome y onstante en el tiempo de los asos en que B es aiable en el tiempo. En la figua se muesta una espia de alambe onduto que eniea una supefiie S. Si a taés de esa supefiie pasan líneas de fueza de un ampo B aiable en el tiempo; el flujo del ampo B a taés de la supefiie S ale, po definiión de flujo: Φ B = B n ˆ ds s Si B es aiable en el tiempo, el flujo del ampo a taés de la supefiie eneada po la espia aía; en tal aso se ompueba expeimentalmente (Ley de Faaday) que apaeeá en los bones 1 de la espia una fueza eletomotiz (o oltaje) de alo: dφ dt d dt B fem = e = = B ds S Cuyo módulo seá popoional a la eloidad de aiaión del flujo. Si la espia se iea a taés de una esistenia u oto tipo de aga, iulaá una oiente elétia. Peo Maxwell genealizó este onepto señalando que paa un iuito ualquiea, dento del ampo magnétio aiable, paa que haya moimiento de agas elétias debe habe un ampo elétio que punto a punto, a lo lago del amino, efetúe el tabajo paa tanspotalas. Po tal motio, si no hay un onduto pesente en los puntos anteioes, de igual manea se geneaá un ampo elétio puntual aiable a lo lago de todo el iuito itual. Como onseuenia de lo anteio, la iulaión de E a lo lago de un amino pooaá la apaiión de una fueza eletomotiz (o oltaje) que se podá ombina on la deduida en el páafo II ) :

5 5 d fem = e = E dl = B ds C dts Es dei, el tabajo del ampo elétio a lo lago de un amino ualquiea C, equiale a la aiaión del flujo del ampo B a taés de la supefiie limitada po la ua C. Esta es la Ley de Faaday. Una difeenia impotante se tiene al onsidea el flujo a taés de una supefiie. En el aso desipto mediante la Ley de Faaday, la supefiie S es abieta y la ua que la ontiene es eada. Supongamos ahoa que se toma una supefiie eada, omo en el aso de una esfea; ahoa ya no hay un amino que onstituya un bode C, más bien, el bode no existe más, y la euaión: e = E dl = 0 0 La fueza eletomotiz se anula on lo ual también se anula el flujo: Apliando la Ley de Gauss: S 0 d E dl = B ds = 0 dt S B ds = B d = 0 B = 0 Esta onstituye ota de las Leyes difeeniales de Maxwell, las aateístias del ampo magnétio es la tene líneas de fueza eadas, o sea, se un ampo solenoidal. La popiedad impotante de los ampos solenoidales es que su diegenia es nula. Se demuesta también que admiten omo oigen un ampo potenial etoial A tal que: B = A. Ota euaión difeenial de Maxwell se obtiene onsideando la euaión: d B e = E dl = B ds = ds C dts S Y apliando el teoema de Stokes a la pimea integal se obtiene la Euaión difeenial de la Ley de Faaday. B E dl = ( E) ds = ds B E = t C S S

6 6 I ): Ciulaión del ampo magnétio. Ley de Ampèe. El moimiento de agas elétias po un onduto (oiente elétia) onstituye oto de los fenómenos a onsidea. Como se e en la figua, hay un onduto de longitud infinita po el ual iula una oiente I. Expeimentalmente se detetó que la misma podue un ampo magnétio a su alededo, on líneas de ampo eadas tal omo oesponde a los ampos solenoidales. La Ley expeimental de Ampèe estipula que la iulaión del ampo magnétio H alededo de la ua eada que eniea la supefiie S, es popoional a la intensidad de la oiente que ataiesa la supefiie. Su alo está dado po la Ley de Ampèe: H dl = I = J ds (I-01) En la ual oiente de onduión po unidad de supefiie. C J es el ampo etoial densidad de oiente: equialente a la La fómula anteio es álida tanto paa oientes ontinuas omo aiables on el tiempo omo las altenas. Sin embago debe poedese on uidado. Cuando en un iuito de oiente ontinua, o uasi estátia, se inteala un apaito uyo dielétio, po se no onduto omo el aso de la eámia, inteumpiá la oiente; sin embago la misma se mantiene a taés de una aga del apaito o de una aga y desaga en aso de la oiente aiable. Maxwell postuló que había una oiente de desplazamiento en el inteio del dielétio debido a una posible eoientaión que sufen las agas en el dielétio on la apaiión de un ampo elétio. Si el dielétio fuese el aío, donde no hay agas elétias, la oiente de desplazamiento existe igualmente y su expliaión es la más ajustada al modelo eal. Maxwell popuso una ontinuidad iuital de oientes onsideando la oiente en el onduto I más una oiente de desplazamiento I D en el inteio del dielétio. De modo que la oiente total seía: S

7 7 I I I = + D o on las densidades de oientes: J = J + J D En ealidad la idea ental de Maxwell ea afima que no hay un ampo elétio y oto magnétio, sino que ambos son uno solo. Si hay un ampo elétio existe oto magnétio y eípoamente. Esta unidad del ampo eletomagnétio sólo pudo ompobase años más tade mediante las expeienias de Hetz y Helmholtz. Desde el punto de ista pedagógio no paee esta eada la expliaión del fenómeno poediendo on ada ampo po sepaado. Po definiión, el flujo elétio a taés de ualquie supefiie eada equiale a la aga total ontenida en el olumen que abaa diha supefiie. φe = Qin = D ds = ρ S in d = D d (I-0) D = ρ De lo ual se dedue una de las fómulas de Maxwell: Si deiamos la fómula del flujo elétio: dφe d D = = = = dt dt D ds S ds J S S D ds ID (I-03) En la ual Maxwell definió que la densidad de oiente de desplazamiento equialía a: D J D = t D H = ( J + ) = J + J Justifiada po la fómula genealizada de Ampèe-Maxwell: D Retonando a la fómula (I-0), onsideemos el témino similitud on la fómula de Faaday fem dφ dt I in dφ dt (I-04) (I-05) e D =, que guada m = e =. Esto signifia que si un flujo magnétio aiable podue una fueza eletomotiz o ampo elétio aiable de auedo a la fómula: dφ dt m = C E dl (I-06) Así mismo, un flujo elétio aiable podue un ampo magnétio aiable de auedo a la fómula: dφ dt e H dl = I C D = (I-07) El esultado intoduido po Maxwell, onfoma una eipoidad ente ampos elétios y magnétios, un ampo magnétio aiable podue un ampo elétio (Ley de Faaday) y un ampo elétio aiable podue un ampo magnétio (Ley de Maxwell-Ampèe). Reoda el páafo del ampo eletomagnétio.

8 8 De esta foma, uando una oiente elétia de onduión enta al apaito, podue una aiaión en su aga elétia dq = I dt, este aumento de aga podue una aiaión del flujo elétio que se tansmite al aío y que mediante la Ley de Gauss se define omo: φ e = = Q (I-08) De lo ual, deiando: D ds S dq dφe = = ID (I-09) dt dt Po lo tanto, de auedo a la Ley de Maxwell-Ampèe, aún si el dielétio es el aío, se poduiá una oiente debido a que un ampo elétio aiable podue un ampo magnétio aiable desplazamiento onduión. d dt H dl = I C H dl φ e = C D que iea el iuito junto on la oiente de Po lo ual la euaión de iulaión queda: uya iulaión oigina la oiente de D H dl = I + ID = ( J + ) ds C (I-10) S Haiendo nueamente uso del teoema de Stokes, se tiene: D H dl = ( H ) ds = ( J + ) ds C S (I-11) S D ( H ) = ( J + ) = J + J D (I-1) Que es la fómula difeenial de Maxwell-Ampèe paa la iulaión del ampo magnétio.

9 9 Resumen de las euaiones difeeniales del Eletomagnetismo. Po una pate están las euaiones difeeniales de Maxwell: (La densidad de aga neta en el inteio del olumen se designa on ρ in ). También están las euaiones de la Fueza: fómula o pinipio. ρin D = ρin E = (1) ε B E = () B = 0 (3) D H = ( J + ) J J D (4) = + 1 Q1Q F = ˆ 4πε F = Q( E + B) Euaión de Coulomb deiable de E = εin ρ Euaión de Loentz no deiable de ninguna ota. También foma pate del onjunto la euaión de ontinuidad de la aga, también deiable de otas euaiones. ρ J + = 0 ( ρin = ρ densidad de ag a ont. en ol. ) Mientas que las elaiones onstitutias son útiles paa defini el medio de que se tata, es dei, fija sus aateístias de: linealidad, isotopía y homogeneidad. D = ε E = εoe + P B = µ H = µ o ( H + M ) J = σ E + ρu ( u elo. pomedio de ρ ) (I-13) Obseaiones de Julius Statton. a ).

10 10 ρ J eemplazando en la diegenia de (4) : D H = J D = J ρ Intoduiendo la deiada de (1) : + J = 0 b ). (4) : La euaión de ontinuidad + = 0 se obtiene deiando (1) y Las dos euaiones de la diegenia son esultados de las euaiones () y Si se toma la diegenia de (): B E = 0 = B = 0 B = Cte. La onlusión es que la diegenia del ampo magnétio es onstante, peo omo el ampo pudo se eo en algún momento (no naió desde un tiempo infinito), la onlusión es que esa onstante es nula. Poediendo de igual foma on (4) : B = D H = 0 J + = 0 ( D ρ ) = 0 Con el azonamiento anteio se llega a que: 0 ( D ρ ) = Cte. ó D = ρ Flujo de enegía y Masa eletomagnétia. (Del libo Elettodinamia de E. Femi, Ed. Hoepli 006.). a1. Flujo de enegía: Estudiaemos el poblema de la popagaión de la enegía eletomagnétia en el espaio libe, en foma de adiaión u ondas eletomagnétias. El tema fue analizado oiginalmente po Poynting en 1910 junto on el tema de la pesión de adiaión Se eisaán estos dos temas junto on las euaiones de los ampos E y H poduidos po agas en moimiento definiéndose también la masa eletomagnétia.

11 11 Paa el análisis se usaán las euaiones de Maxwell paa el aío: B D D = ρ; B = 0; E = ; H = J + F = ρ E + B : Y la fueza de Loentz: ( ) ρ aga po unidad de olumen. La enegía y la potenia que hay po unidad de olumen se alulan a pati del tabajo de las fuezas: P = F d = E + B d ρ ( ) ( Una foma equialente es el álulo de la potenia en un onduto: W P = ( ) E J m 3 s omo densidad olumétia de potenia po unidad de olumen y de tiempo ). El desaollo de la euaión (01) podue algunas simplifiaiones: B = P = ρ E d D ρ = JC = H t Dado que: 0 Además omo: Nos llea a las expesiones: D P = E ( H ) d E d = P E ( H o ) d ε ( ) E = d Po el análisis etoial, se tiene que: Reemplazando: E ( H ) = H ( E) ( E H ) ε o P = H ( E) d ( E H ) d ( E ) d Y también: µ o εo P = ( ) ( ) ( ) H d E d E H d µ oh + εoe P = d ( E H ) d Tansfomando la última integal on el teoema de Gauss, se tiene: (01) (0)

12 µ oh + ε oe P + d = ( E H ) nˆ ds (03) S Esta es la fómula de Poynting que nos die: El flujo entante del eto de Poynting Γ = E H, epesenta la enegía total del ampo eletomagnétio; suma de una enegía P, que se tansfoma en alo po efeto Joule y que epesenta el tabajo de las fuezas eletomagnétias ontenidas en el olumen del ampo analizado, más la enegía popia del ampo, que figua ente ohetes. Este flujo de enegía entante (po el signo menos) a taés de la supefiie S, equiale a la enegía ontenida, o que enta, en la unidad de olumen onsideado. 1 a. Pesión de Radiaión: Si F son las fuezas olumétias analizadas en el páafo anteio, que atúan sobe las agas ontenidas en el olumen unitaio, la esultante total de su integaión la denominamos R : Como: R = F d = ρe d + ρ B d D ρ = ε o E y ρ = J = H t D Reemplazando: R = ε o ( E) E d + µ o ( H ) H d B d D B Teniendo en uenta en la última integal que: ( D B) B D = + R + ( D B) d = ε o E( E) E ( E) d µ o H ( H ) H ( H ) d (04) Con las dos integales del segundo miembo, si se aplia el teoema de Gauss, pemite halla el flujo a taés de la supefiie S que enuele al olumen. a 1: Se pueden onsidea dos asos:

13 13 Que tanto las fuezas elétias omo las magnétias se anulen sobe la supefiie S. En tal aso el olumen onsideado de enegía se desplaza libe de fuezas extenas, aislado en el espaio, y el témino de la izquieda esulta nulo: R + ( D B) d = 0 (05) La fueza olumétia esultante R la podemos iguala a la antidad de moimiento de las masas ontenidas en el olumen. d R p = p + ( D B) d = 0 dt El ontenido del paéntesis es la antidad de moimiento total del sistema eletomagnétio del sistema aislado, po lo tanto la onseaión del impulso ya no es la antidad de moimiento meánio sino la suma de dos impulsos: p + ( D B) d = p + G = Cte. En la ual apaee una nuea antidad de moimiento llamado impulso eletomagnétio. El eto ( D B) epesenta la densidad del impulso o de la antidad de moimiento eletomagnétio. Este impulso eletomagnétio G no es debido a las masas de las agas elétias ontenidas en el olumen sino que se debe a una espeie de ineia de la enegía eletomagnétia paa desplazase on la eloidad. (e libo de Panofsky, Pág. 381) a : En el aso en que las fuezas sobe la supefiie S no sean nulas, dihas fuezas eaán una pesión sobe la supefiie del sistema que eibe el nombe de pesión de adiaión. (06) Casos onoidos son los ayos de luz sola sobe una supefiie potetoa absobente. Este fenómeno ha sido ompobado expeimentalmente y los esultados de las mediiones oiniden on la teoía que lo sustenta. a3. Gupo de agas elétias en moimiento unifome. Este tema onstituye oto enfoque del anteio tabajo Euaiones de Maxwell paa uepos en moimiento. Una impotante onseuenia de las euaiones de Maxwell onsiste en el heho notable de pee que un onjunto de agas elétias en moimiento unifome en el

14 14 aío, omo en los asos del eletón o del potón, pesentan una ineia al moimiento de oigen puamente eletomagnétia. Paa llega a esta ompobaión, en foma independiente a lo isto en el tabajo itado anteio, se debeá alula el ampo eletomagnétio poduido po tal onjunto de agas elétias en moimiento. Supongamos que el onjunto de agas se mueen en la dieión del eje x on una eloidad unifome. Llamemos S al sistema ineial en eposo de oodenadas x, y, z, t y ineial en moimiento on solamente las oodenadas: Los ampos E ' y H ' paiales se alulan de la foma: S ' al sistema x ' = x t; y ' = y; z ' = z (07) seán funiones solamente de x ', y ', z ' uyas deiadas x' = ; = ; = ; = = x x ' y y ' z z ' x ' x ' Las euaiones de Maxwell, tanto en el sistema S omo en el inaiantes, o sea, tene la misma foma. S ' debeán se Como tataemos on sistemas móiles, las expesiones de dihas euaiones que mejo se adaptan paa el análisis son las esitas en unidades gaussianas. 1 E 1 H S : E = 4 πρ ; H = 0; H = + 4 πρ ; E = (08) 1 E ' 1 H ' S ': ' E ' = 4 πρ ; ' H ' = 0; ' H ' = + 4 πρ ; ' E ' = x ' x ' Se india los opeadoes x ', y ', z '. ' pimados paa señala que deben deiase espeto a En el tabajo Euaiones de Maxwell paa uepos en moimiento se io que las euaiones anteioes onduían a las siguientes elaiones ente los ampos pimados y sin pima: 1 1 E ' = E + H y H ' = H E Expesadas en sus omponentes esibiemos: (09)

15 O sea: ˆ ' ( ) ˆ E = E ( ) ˆ xi + Ey H z j + Ez + H y k ' ˆ ( ) ˆ H = H ( ) ˆ xi + H y + Ez j + H z Ey k Ex ' = Ex H x ' = H x Ey ' = Ey H z H y ' = H y + Ez Ez ' = Ez + H y H z ' = H z Ey (10) (10 ) 15 Calulemos ahoa las euaiones de Maxwell ubiándonos en el sistema E E E x ' y ' z ' x ' y ' ' E ' = + + eemplazando: z ' Teniendo en uenta la elaión (09) y E E x ' y ' E ' 1 z ' E ' = + + = ' E + ' ( H ) x ' y ' z ' S '. Como es una onstante, la diegenia: ( H ) = H H anula el oto 1 E ', además el oto ' H x = + 4πρ x ' Reemplazando: E E x ' y ' Ez ' ' E ' = + + = 4 πρ + ' H = x ' y ' z ' Ex ' E ' E ' = 4πρ 4πρ 4 πρ(1 ) + x' = + x ' x ' (11) oliendo a eemplaza en la expesión de la diegenia: E E x ' y ' E + + x ' y ' z ' z ' Ex ' Ey ' Ez ' (1 ) + + = 4 πρ(1 ) x ' y ' z ' Con el ampo magnétio es más senillo: ' H ' = 0 (1) (13)

16 16 El álulo de los otoes de los ampos eletomagnétios en el sistema senillamente: ' E ' = 0 y ' H ' = 0 De donde puede suponese que ambos deian de poteniales esalaes: Reemplazando en (1) y (13): E ' = ' Φ y H ' = ' Ψ S ' da Φ Φ x ' y ' Φ z ' (1 ) + + = (1 )4πρ x ' y ' z ' Ψ Ψ x ' y ' Ψ z ' (1 ) + + = 0 x ' y ' z ' (14) Como estas euaiones no epesentan a una euaión de Poisson ni a un Laplaiano, es oneniente intodui una nuea aiable paa homogeneiza las euaiones. Poniendo la nuea aiable: Las euaiones (14) se onieten en: u ' = 1 1 x' Φ x ' y ' Φ z ' + + = Φ (1 )4πρ u ' y ' z ' Ψ x ' y ' Ψ z ' Ψ + + = 0 u ' y ' z ' (15) Ahoa se tiene una euaión de Poisson paa el ampo elétio y una euaión de Laplae (o Laplaiano) paa el ampo magnétio. En el aso del Laplaiano, en el ual el segundo miembo es nulo, signifia que el potenial tiene po soluión la ya onoida integal: Ψ ( ') = 1 ρ( ') d 4 πε (16) ' o

17 17 En la ual, omo no existen ondiiones de fontea que espeifiquen que paa un ieto ' = ' o existe algún potenial Ψ o, se onluye que el potenial Ψ es nulo. Ψ = 0 (17) En la euaión de Poisson paa el ampo elétio, existiá un potenial de alo: Φ ( ') = 1 En esumen, on las ondiiones istas: o ρ( ') du ' dy ' dz ' (18) o ' Ψ = 0 H ' = ' Ψ = 0 Las euaiones (10 ) de los ampos eletomagnétios en el sistema móil quedan eduidas a: ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ x ' + y ' + z ' = 1 x + y + z E i E j E k E i E j E kˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H ˆ x ' i + H y ' j + H z ' k = H xi Ez j + Eyk Po lo tanto las euaiones del ampo eletomagnétio seán: E = E H = H x ' x x ' x E E H E 1 Ez Ez ' = H z ' = Ey 1 y y ' = y ' = z Nomalmente la eloidad es muy infeio a la eloidad de la luz, on lo ual el témino 1 1 es ieleante, y las euaiones anteioes quedan:

18 18 Ex ' = Ex H x ' = H x E = E H = E Ez ' = Ez H z ' = Ey y ' y y ' z (19) a4. Masa eletomagnétia. De los esultados obtenidos en el puntoa 1:, pesión de adiaión, una de las onlusiones fue que la masa olumétia de agas ρ que se desplazaba libe en el espaio on eloidad unifome, tiene una antidad de moimiento onstante dado po la fómula: O en unidades gaussianas: p + ( D B) d = p + G = Cte. 1 p + ( E H ) d = p + G = Cte. 4π (0) En la fómula, si p ea la antidad de moimiento meánio debido a las masas de las agas en moimiento, o sea de los sopotes de taslaión de las agas, aso de los eletones o potones, paa que se mantenga la onseaión del impulso lineal debe agegase una nuea antidad denominada antidad de moimiento eletomagnétio G. Como esta antidad de moimiento o impulso es popoional a la eloidad del sistema, el fato que aompaña a la eloidad la llamaemos masa eletomagnétia. Si en el alo de ampos paa el aso de medilos en el sistema 1 G = ( E H ) d 4π eemplazamos los aloes de los S ', seán ahoa los de la euaión (19). Tomando en onsideaión que el sistema se desplaza en la dieión de x, el poduto etoial, siempe en las mismas unidades, nos da: ' ' ( ) ˆ ( ) ˆ E H = Ey + Ez i + EzH x ExEy j ( ExEz + EyH x ) Tomando sólo la omponente según x, se tiene: ( E ' H ') x = E y + E z ( ) (1)

19 19 Como la enegía total es: Podemos pone: ( y z ) U 1 1 = ( x y z ) 8π E d = 8π E + E + E d (8 ) 3 3 E + E d = E d = π U () Reemplazando en la antidad de moimiento eletomagnétio el alo (1): 1 G = ( E ' H ') ( ) 4 x d E 4 y E z d π = π Teniendo en uenta la fómula (): 4 U G = ( E ) (8 ) y Ez d πu 4π = 4π 3 = 3 (3) Po lo tanto la masa eletomagnétia seá el oefiiente de la eloidad: 4 U m = (4) 3 La intepetaión de la masa eletomagnétia a eibiendo difeentes intepetaiones y peisiones a medida que el desaollo de las teoías uántioelatiistas an aanzando. Una intepetaión muy elemental onsiste en onebi una aga en moimiento etilíneo y unifome on eloidad, peo tal que sea. Este moimiento genea un ampo magnétio, peo si ese moimiento se modifia, aiaá el ampo magnétio y po lo tanto apaeeá una fueza eletomotiz induida y un ampo elétio. El ampo elétio atuaá sobe la aga elétia geneando una fueza que se opondá al ambio de eloidad. Esta esistenia que apaee uando se le aplia una fueza puede intepetase omo debida a una masa ineial que po su oigen puede llamase masa eletomagnétia. Lo impotante en esto es que en eletomagnetismo la onseaión de la antidad de moimiento no se umple teniendo en uenta la sola masa de sopote de las agas elétias. Tal el aso de las ondas eletomagnétias que tienen un impulso o antidad de moimiento suma de diesos téminos (inluyendo los de oigen elatiista). Un lago tatamiento lásio y elatiista está desipto en el libo de Panofsky en las Págs. 381 a 383, y en 390 a 399.

20 e también J. D. Jakson Pág