El método de Descartes para trazar normales a curvas

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1 47 Noviembe 004, pp El método de Desates paa taza nomales a uvas El tabajo que hemos desaollado en este atíulo es un estudio de un método históio desaollado po Desates paa alula la eta nomal a una uva, y que puede se apovehado paa alula deivadas puntuales y geneales de funiones. El método, equiee de la esoluión de euaiones algebaias y tansendentes, que en pinipio pueden se ompliadas (po eso ha aído en el olvido), peo que pemite intodui en el aula una gan antidad de aspetos doentes. Además, la idea en la que se fundamenta el método de Desates puede se apovehada paa alula la distania de un punto a una eta o un plano. This atile deals with a study of Desates's method to deteminate the tangent line to a uve. This poedue an be used fo alulate the deivative of a funtion. The method is vey ih fom a geometial point of view and it equies the esolution of algebai and tasendent equations, may be vey ompliates to solve (this is the eason why the method has been foget), but it povides us to intodue in the lassoom a huge among of doent aspets. Moeove, the main idea in whih Desates's method is based an be used to alulate the distane fom a point to a line o a plane. L a históia ontovesia Leibniz-Newton sobe la invenión del Cálulo Difeenial en el siglo XVII ha elipsado otas ontibuiones que se hiieon en ese ampo on anteioidad, y que fueon en su momento un testigo que eogieon tanto Leibniz omo Newton paa avanza en la aea del onoimiento matemátio. Po ota pate, las apotaiones (independientes) tanto del alemán omo el sajón fueon tan geniales que todavía ontibuyeon más a que el tabajo de sus anteesoes quedase aún más elegado a un segundo plano. Como onseuenia de todo ello, algunos métodos históios paa el álulo de nomales (o equivalentemente de tangentes) a uvas son, hoy día, muy poo onoidos. Tal es el aso del método que ideó René Desates ( ), y que estudiaemos en el póximo apatado. Haiendo un poo de histoia, paee se que los pimeos estudios sobe tangenias a uvas y supefiies se deben a Aquímedes de Siausa (98-1) AC y a Apolonio de Pega (6-?) AC, aunque sus apotaiones se limitan a algunas ónias, tal y omo sabemos po la oba de Pappus de Alejandía (90-350) AC que eoge omentaios sobe el tatado Tangenias de Apolonio, y en patiula del famoso poblema de las iunfeenias tangentes. Después de la fétil ea helénia en el estudio de poblemas geométios, hay que espea hasta el siglo XVII paa que se vuelvan a podui impotantes avanes en el poblema del tazado de tangentes a uvas. El pogeso lo ealizaon, on métodos independientes, tanto Desates omo Piee Femat ( ). Leyendo los textos (Boye, 1987), (Gaukoge, 1995) y (Chia, 001), esulta evelado el heho de que paee se que on su potente Méthode, Desates ea onsiente de que todas las popiedades de una uva estaban ompletamente deteminadas si se es apaz de da su euaión en dos vaiables y taza su nomal, y esibe (véase, Boye pág. 435): Habé dado aquí todo lo que es neesaio paa el estudio de uvas, una vez que dé un método geneal paa taza una línea eta que fome ángulos etos on una uva en un punto abitaio de ella. Y me ateveía a dei que este no es sólo el poblema más útil y más geneal que onozo, sino de los que hubiea deseado onoe. Sin embago, Desates no fue apaz de ealiza gandes avanes en su método paa el tazado de nomales, ya que omo veemos después, ondue a euaiones dif íiles de esolve en la époa en que lo desaolló. No obstante, la popuesta de Desates esulta, a nivel didátio muy sugeente hoy poque equiee onjuga aspetos geométios (sobe todo elativos a las popiedades de la iunfeenia) on otos de natualeza algebaia, que pueden se abodados, bien analítiamente o bien mediante el uso del odenado, poteniando un apendizaje más global de las matemátias. Juan Calos Cotés López Univesidad Politénia de Valenia. Gema Calvo Sanjuán IES Els Évols, L'Alúdia. Valenia. 41

2 Noviembe 004 El método de desates: desipión En este apatado, y siguiendo el magnífio libo de C.B. Boye sobe Histoia de las Matemátias (Boye, 1986), en pime luga, desibiemos el método de Desates paa el tazado de etas nomales a uvas y posteiomente lo taduiemos a lenguaje algebaio. Textualmente, Boye (pg. 435) explia de la siguiente foma: El método de Desates: Desates sugeía que paa halla la nomal a una uva algebaia en un punto de diha uva, se debeía toma un segundo punto vaiable sobe la uva, y halla la euaión de la iunfeenia on ento en el eje de oodenadas (puesto que utilizaba un únio eje, el de absisas) y que pase po los puntos y. Igualando entones a eo el disiminante de la euaión que detemina las inteseiones de la iunfeenia on la uva, puede hallase el ento de la iunfeenia tal que oinide on y, onoido el ento, pueden deteminase fáilmente tanto la nomal omo la tangente a la uva en el punto. Como podemos intui desde la desipión que Boye hae del método, uno de los inonvenientes del mismo adiaá en la difiultad de enonta ondiiones que gaantien que la euaión que se deduiá de (1) tenga soluión eal únia (salvo m.a.), poque más allá del aso en que se obtiene una euaión polinómia de gado dos (omo veemos luego, este es el aso del ejeiio que popone Boye) uya espuesta es muy senilla en téminos del disiminante, en geneal, esta no es una uestión senilla, ni siquiea en el aso patiula polinómio (de gado tes o mayo); y desde luego el poblema es muho más sofistiado uando la euaión que se deiva de (1) involua funiones tasendentes. y=f(x) y P t n C(,0) x Posteiomente, en la página 46, C.B. Boye popone en el ejeiio 1 halla la nomal a la uva y = 4x en el punto (1,), utilizando la ténia de Desates. En lenguaje algebaio, el método de Desates puede expesase omo sigue (véase figua 1): dada una uva y = f(x) un punto P(a, f(a)) de la misma (a Dom(f(x)), paa alula la pendiente n de la eta nomal n : y - f(a) = n(x - a) a y = f(x) en P debemos onsidea la iunfeenia Γ de ento C(, 0) (sobe el eje de absisas) y adio = CP Γ: (x - ) + y = (a - ) + f (a) y exigi que Γ e y = f(x) se oten en un únio punto (el de tangenia) que debe se P, paa lo ual se debe impone que el sistema de euaiones (x - ) + y = (a - ) + f (a) y = f(x) tenga una únia soluión eal: x = a, sin onta su multipliidad algebaia (que a pati de ahoa denotaemos po m.a.). Esto pemitiá alula y en onseuenia n, ya que f a n = ( ) a Ahoa, utilizando la elaión ente las pendientes de dos etas pependiulaes, el álulo de la pendiente t de la eta tangente t : y - f(a) = t(x - a) busada es muy senillo ( ) a t = f a f ( a = ) ( ) ( 3) (1) Apliaiones Figua 1. El método de Desates A ontinuaión mostaemos vaias apliaiones del método de Desates. Empezaemos esolviendo el poblema popuesto po Boye, que es el más senillo. El esto de las apliaiones las hemos seleionado, de ente las geneadas nosotos mismos, paa ilusta aquí los divesos aspetos que nos inteesa subaya a popósito de este método. Apliaión 1 Detemina, po el método de Desates, las etas nomal y tangente a la uva y = 4x en el punto P(1, ). Según hemos visto anteiomente, debemos enonta el ento C(, 0) de una iunfeenia tangente a la gáfia G de y =4x en el punto P(1, ) (obsévese, según la figua, que la intuiión geométia nos india que >1). Paa ello exigimos que el sistema Γ: (x - ) + y = (1 - ) + G: y = 4x (4) tenga omo únia soluión eal (sin onta la m.a.) x = 1. Esto nos ondue a que la euaión polinómia de gado dos en x 4

3 Noviembe 004 x x+ + 4x= x + ( 4 ) x+ 5= 0 debe tene a x = 1 omo aíz eal doble. Gaantiza esto es equivalente a exigi que el disiminante sea nulo: = (4 - ) - 4( - 5) = 0 (5) de donde, esolviendo esta euaión uadátia en obtenemos = 3 > 1 (obsévese que omo es intuitivamente plausible, esta euaión también debe tene soluión eal doble, al se el ento C(, 0) únio). En onseuenia, apliando () y (3) n : y = ( x 1) 1 3 ( n= 1) 3 t : y = 1 ( x 1) ( t = 1) po lo que f (1) = 1, tal y omo puede ompobase utilizando las eglas de deivaión. y que ondue a x 4 + x -x = 0 (6) La intepetaión geométia nos india que > y que esta euaión debe tene omo únia soluión eal (salvo m.a.) x=. Ahoa no disponemos de un iteio tan senillo omo el del disiminante paa las euaiones polinómias uadátias, peo podemos detemina azonando omo sigue. Como (6) es una euaión polinómia de gado uato y x= debe se su únia aíz eal (salvo m.a.) debe satisfaese alguno de los siguientes asos: Caso 1: x = tiene m.a. uato. Caso : x = tiene m.a. dos y las otas dos aíes son omplejas (onjugadas). Sin embago, la pimea posibilidad no puede dase, ya que, en ese aso se tendía x 4 + x -x = (x - ) 4 = x 4-8x 3 +4x - 3x + 16 lo ual es imposible, omo se dedue ompaando los oefiientes que aompañan a x. Po lo tanto, n 4 t P G x 4 + x -x = (x - ) [x - (α + iβ)] [x - (α - iβ)] x 4 + x -x = (x - ) (x - αx + α + β ) desaollando el témino de la deeha y ompaando oefiientes fomamos el sistema - - C(,0) 4 6 x x 4 : 1 = 1 x 3 : 0 = -α - 4 x : 0 = α + β α x 1 : - = -4(α + β ) - 8α x 0 : 4-0 = 4(α + β ) -4 Figua. Apliaión 1 del método de Desates Exploaemos ahoa otas apliaiones del método paa alula deivadas, donde los esenaios que apaeen son notablemente más sofistiados. Apliaión Utilizando el método de Desates, alula f () siendo f(x)=x. En esta oasión debemos esolve el sistema Γ: (x - ) + y = ( - ) + 4 G: y = x del ual sólo nos inteesa alula. Esto es senillo, pues de las euaiones x 0 : 4-0 = 4(α + β ) y x 3 : 0 = -α - 4, es dei, -8α = 16, sustituyendo en la euaión de x 1 tenemos: = = 18 > Ahoa basta sustitui en (3) los datos y obtenemos f () = (18 - )/4 = 4 tal y omo es senillo ompoba utilizando las eglas de deivaión. A tavés de la apliaión hemos podido obseva que el método de Desates apliado al álulo de la deivada de una funión senilla puede ondui a un poblema de natualeza algebaia ompliado de esolve. El siguiente ejemplo po- 43

4 Noviembe 004 fundiza más en este sentido, y apota una foma atativa de tatalo en el aula utilizando paa ello algún asistente matemátio, tipo Mathematia. Apliaión 3 Calula, po el método de Desates, f (1) siendo f(x) = x 3. Razonando omo en las apliaiones anteioes, llegaemos a que la euaión polinómia p (x) = x 6 + x - x + - = 0 (7) debe tene omo únia aíz eal (salvo m.a.) x = 1 po lo que sólo aben las siguientes posibilidades: Caso 1: p (x) = (x - 1) 6 Caso : p (x) = (x - 1) 4 (x - αx + α + β ) Caso 3: p (x) = (x - 1) 4 (x - αx + α + β ) (x - γx + γ + δ ) Posiguiendo omo en la apliaión, es senillo ve que el únio aso que puede dase es el teeo. La esoluión del sistema de euaiones nos ha llevado a que = 4 y po lo tanto tenemos f (1) = 3. Sin embago, omo los álulos que se equieen paa llega a estas onlusiones son bastante laboiosos, podemos mosta un amino altenativo epesentando la familia unipaamétia {p (x)} dada po (7) y seleionando de diho haz, la funión que ote al eje de absisas una únia vez en x = 1. Como puede vese en la figua 3, esto oesponde a = 4 (paa llega a este valo o una apoximaión del mismo deben ealizase divesas puebas, utilizando estategias del tipo: ensayo y eo, la funión zoom de apoximaión loal en la visualizaión de gáfias y en geneal toda la infomaión que esté a nuesto alane, omo po ejemplo ahoa, que la intepetaión geométia del poblema nos india que > 1 ). p (x) = x n + x - x - a + ax - a n = 0 (8) Paa el álulo de debe onsidease que (8) tiene omo únia aíz eal x = a, sin onta la m.a., (es inmediato sustituyendo en (8) ve que p (a) = 0). Más aún podemos asegua que su multipliidad algebaia seá dos, pues la intepetaión geométia del poblema de tangenia nos india que la euaión (8) tiene a x = a omo únia aíz eal, y además omo p (x) es un polinomio de gado pa, la m.a. de x = a Rdebe se también un númeo pa de ente {, 4,..., n}, po lo que al menos podemos gaantiza que n 1 p ( a)= 0 na + a = 0 ( 9) (ya que, un númeo es un eo de m.a. dos de un polinomio sí y sólo sí también es eo del polinomio deivado), peo omo tenemos, n p ( a)= ( n) ( n 1) a + 0 a podemos afima que la m.a. de x = a es exatamente dos. Hasta ahoa en las apliaiones hemos alulado deivadas puntuales, sin embago, el método puede utilizase paa obtene la funión deivada. Veamos un ejemplo on una funión difeente a las tatadas hasta ahoa, la funión anónia de popoionalidad invesa. Apliaión 4 Utilizando el método de Desates, dedui la egla de deivaión de la funión f(x) = 1/x. Consideemos R - {0} y alulemos f (). La apliaión del método nos ondue a la euaión 1 0,8 0,6 = =3 =4 1 1 ( x ) + = ( ) + x 0,4 0, 6 p(x)=x +x -x+- p ( x )= 4 x 3 x + 1 x + 1= 0 ( 10) -0, -0,4 0,5 1,5 Figua 3. Apliaión 3: esoluión gáfia El poblema polinómio geneal onsistente en detemina f (a) siendo f(x) = x n, lleva vía el método de Desates, a la euaión que debe tene omo únia aíz eal x = (sin onta su m.a.), po lo que se debe satisfae alguno de los siguientes asos: Caso 1: p (x) = (x - ) 4 Caso : p (x) = (x - ) (x - αx + α + β ) El pime aso no puede dase, ya que 44

5 Noviembe x x + x + 1 = ( x ) = = x 4x + 6 x 4 x+ y ompaando los oefiientes que aompañan a x, se dedue que = 0, lo ual es imposible. El segundo aso nos ondue al sistema euaión de la esfea y del plano tenga soluión únia, lo ual signifia que la esfea y el plano se otan en un únio punto, esto es, que son tangentes, y omo el veto adio de la esfea es nomal al plano tangente, el adio R de la esfea seá peisamente la distania d(p, π) busada. Paa alula R impondemos que la euaión de segundo gado que se deiva de esolve el menionado S.E.L.N. po el método de sustituión tenga soluión únia, esto es, que el disiminante sea nulo. x 4 : 1 = 1 x 3 : - = -(+ α) x : x 1 : + 1 = 0 = -(α + α + β ) + 4α + α + β x 0 : 1 = (α + β ) desde el ual podemos alula dietamente. En efeto, omo 0 de la euaión x 0 : 1/ = (α + β ) y de la elaión x 1 se dedue: 4α = -4(α + β ) = -4/. Sustituyendo todo esto en la euaión de x y despejando obtenemos: + 1 = = 1 3 Llevando esto a (3) obtenemos 1 ( )= = 3 f t = 1 = 1 1 on lo ual hemos deduido la egla de deivaión de la funión f(x) = 1/x. Más allá del método de desates La idea que en la que se fundamenta el método de Desates puede se apovehada paa esolve otos poblemas de natualeza ompletamente distinta. Po ejemplo, el álulo de la distania de un punto a una eta en el plano, o el álulo de la distania de un punto a un plano en el espaio. Como el azonamiento es análogo, y hasta ahoa las apliaiones mostadas se han heho en dos dimensiones, abodaemos este poblema en el aso tidimensional. Supongamos que deseamos alula la distania de un punto P a un plano π que denotaemos po d(p, π). Paa ello, y basándonos en la idea del método de Desates onsideaemos la esfea Γ de ento P (véase figua 4) y impondemos que el sistema de euaiones no lineales (S.E.N.L.) fomado po la Figua 4. Apliaión de la idea de Desates a álulo de la distania de un punto a un plano Veamos un ejemplo paa mayo laidad. Apliaión 5 Calula la distania del punto p(1,, 5) al plano π: x + y - z = 5 utilizando la filosof ía del método de Desates. En pime luga onsideaemos la esfea de ento el punto P y adio R, Γ: (x - 1) + (y - ) + (z - 5) = R y alulamos su inteseión on el plano π, esolviendo el S.E.L.N.: que nos ondue a Γ: (x - 1) + (y - ) + (z - 5) = R π: x + y - z = 5 (x - 1) + (y - ) + (x + y - 10) = R 5x + (8y - 4)x + (5y - 44y R ) = 0 Fijada la vaiable y, la euaión anteio es una euaión de segundo gado en x, omo el S.E.L.N. debe tene una únia soluión, el disiminante x debe se eo: x = (8y - 4) - 0(5y - 44y R ) = 0 45

6 Noviembe y + 08y R = 0 Al igual que el S.E.L.N., esta euaión de segundo gado en debe tene soluión únia, luego y = 08-4(-36)( R ) = 0 que nos da una euaión en R, de donde tal y omo puede ompobase po los métodos estánda. Conlusiones R= d( P,π )= = El tabajo que hemos desaollado en este atíulo es un estudio de un método históio desaollado po Desates paa alula la eta nomal a una uva, y que puede se apovehado paa alula deivadas puntuales y geneales de funiones. El enfoque, muy io desde el punto de vista geométio, equiee de la esoluión de euaiones algebaias y tansendentes, que en pinipio pueden se notablemente ompliadas (po eso ha aído en el olvido), peo que pemite intodui en el aula una gan vaiedad de aspetos doentes: Histoia de las Matemátias, geometía de la iunfeenia, popiedades de las soluiones de euaiones polinómias (elaiones de Cadano-Viète, fatoizaión de polinomios, aateizaión de la multipliidad algebaia de las aíes de un polinomio a tavés de los polinomios deivados...), esoluión numéia y gáfia de euaiones algebaias y tasendentes... Además, de que la idea en la que se fundamenta el método de Desates puede se apovehada paa alula la distania de un punto a una eta o un plano. Po todo ello pensamos que esta popuesta puede se inteesante, poque pemite ealiza un itineaio intedisiplina dento de la enseñanza de las Matemátias en un segundo uso de bahilleato o un pime uso ientífio-ténio univesitaio. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOYER C.B. (1986): Histoia de la Matemátia, Ed. Alianza Univesidad, Madid. CHICA BLAS A. (001): Desates: Geometía y Método, Ed. Nivola. N.º 8 Coleión La Matemátia en sus Pesonajes, Madid. CORTÉS LÓPEZ, J.C. y CALBO SANJUAN, G. (001): "Reflexiones sobe geometía métia en el espaio: un enfoque distinto paa tes poblemas lásios", Puig Adam, n.º 59, GAUKROGER S. (1995): Desates, an Intelletual Biogaphy, Ed. Oxfod Univesity Pess, Oxfod. WOLFRAM S. (1999): The Mathematia book, 4th edition Cambigde Univesity Pess, Cambidge. 46